（应用数学专业论文）测量误差对统计推断的影响及其对策.pdf

摘要 由于测量资源的不完善，测量环境的影响，加之测量人员的认识能力等因 素的限制，使得测得的值与客观真值不一致，即存在测量误差。因此，测量误 差自始至终存在于一切科学实验和各种测量活动中。早在1 8 世纪，经典误差理 论就经历了萌芽和发展。直到2 0 世纪7 0 年代中期开始，随着现代误差理论的 形成和发展，测量误差分析与数据处理在科学实验和生产实践中逐渐占据重要 地位。 本文探讨了误差理论的起源、误差的分类以及误差的不同表示方法。对测 量误差模型的一些基本思想以及实现过程进行了研究。其中，对模型的设定、 参数的估计以及真值的估计进行了分析，并简单介绍了测量误差模型中的具有 代表性的一种方法一似然法。详细阐述了测量误差对统计推断的影响，并用不 同的实例在模拟的方式下验证了测量误差会对判别分析造成错判影响。然后提 出了消除测量误差的常见方法并给出相应的数学模型。这里，对于模型的稳定 性以及假设检验的实质进行了分析，通过对一些概念的定义，说明了判别影响 的理论依据。最后提出应用刀切法来提高测量结果的精确度，并通过实例证明 这种方法对于降低测量误差有较好的作用。虽然计算量较大，不过随着计算机 速度的不断提高，这种方法也会有着更好的应用。 关键词：测量误差、测量误差模型、精确度、似然法、判别分析、刀切法。 a b s t r a c t d u et ot h ef a u l t i n e s so fm e a s u r e m e n tr e s o u r c e s ，t h ei n f l u e n c eo fm e a s u r e m e n tc o n d i t i o n s a n dt h er e s t r i c t i o no fm e a s u r e m e n ts t a e l c o m p e t e n c e t h ev a l u em e a s u r e db yi n s t r u m e n t sa r c d i s a c c o r dw i t ht h e 缸1 坤v a l u e , w h i c hm e a n st h em e a s u r e m e n te r r o ra 陀i ne x i s t e n c e h e n c e , m e a s u r e m e n te r r o ri n d w e l l st h r o u g h o u ta l lo ft h es c i e m i f i ce x p e r i m e n t sa n dm e a s u r e m e m a c t i v i t i e s a se a r l ya st h e1 8 血c e n t u r y , m ec l a s s i c a le r r o rt h e o r yc a m et h r o n g hs p r o u ta n d d e v e l o p m e n t u m i lt h em i d d l eo f1 8 7 0 s ，t h ea n a l y s i so fm e a s u r e m e n te l t o ra n dd a mp r o c e s s i n g g r a d u a l l yh o l da ni m p o r t a n tp o s i t i o ni ns c i e n t i f i ce x p e r i m e n ta n dt h ep r a c t i c eo f p r o d u c t i o na l o n g w i 虹lt h ef o r m a t i o na n dd e v e l o p m e n to f t h em o d e me r r o rt h e o r i e s t h i sp a p e rd i s c u s s e st h eo r i g ma n ds o r to fe r r o rt h e o r i e sa n dd i f f e r e n tr e p r e s e n t a t i o n so f e r r o r , t h a ni tw o r l ( so v e rs o m ee l e m e n t a r yt h o u g h t sa n dp r o c e s so fr e a l i z a t i o no fm e a s u r e m e m e r r o rm o d e l ， w h e r et h ea u t h o rp a r t i c u l a r l y a n a l y s e st h ee n a c 舡l e mo fm o d e l ，e s t i m a t eo f p a r a m e t e r sa n dt r u ev a l u e s a f t e r w a r dt h i sa r t i c l ei n t r o d u c e sat y p i c a lm e t h o d - 一l i k e l i h o o di nt h e m e a s u r e m e me r r o rm o d e l s i td e t a l l e d l ye x p o u n d st h ei n f l u e n c eo fo b s e r v a t i o n a la r o ro n s t a t i s t i c a li n f e r e n c e u s i n gd i f f e r e n te x a m p l e su n d e rt h es i m u l a t i n gm e t h o d s 幻v a l i d a t et h a t m e a s u r e m e me r r o rw o u l dh a v e 缸i n a c c u r a t ei m p a c tt ot h ed i s e r i m i n a n ta n a l y s i s t h e nt h i sa r t i c l e p u t sf o r w a r dt h ec o m m o nm e t h o d sa n dt h e i rm a t h e m a t i c sm o d e l st oe l i m i n a t et h em e a s u r e m e n t e r r o r h e r e ，a u t h o ra n a l y z e st h er o b u s t n e s so ft h em o d e la n dt h ee s s e n t i a lo fh y p o t h e s i st e s t t h r o u g hd e f i n i n gaf e wc o n c e p t i o u s ，t h i st e x ti n t e r p r e t st h e o r e t i c a le v i d e n c ef o rd i s c r i m i n a n t i n f l u e n c e s a tl a s t , t h e j a c k k n i f em e t h o di su s e dt or a i s et h ea c c u r a c yo f t h em e a s u r e m e n tr e s u l t s t h r o u g ht h ei n s t a n c e ，t h ec o n c l u s i o ni sp r o v e dt h a tj a c k k n i f em e t h o di sb e t t e rf o rr e d u c i n gt h e m e a s u r e m e me r r o r a l t h o u g ht h ec a l c u l a t i o nq u a n t i t yc o m p a r e sg r e a t l y , t h i sm e t h o dw i l lh a v e f t l r t h e ra p p l i c a t i o ma l o n gw i t ht h ei m p r o v e m e n to f c a l c u l a t o rs p e e d k e yw o r d s ： m e a s u r e m e n te r r u r , m e a s u r e m e n te r r o rm o d e l ，p r e c i s i o n , l i k e l i h o o dm e t h o d s ， d i s c r i m i n a n ta n a l y s i s j a c k k 面f e 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以。求实，创新。的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意 作者签名：盈终 日期：! b ： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规 定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论 文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有 关数据库进行检索：有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密 的学位论文在解密后适用本规定 作者签名：纽丝 日期： ! 五i 第一章绪论 l - 1 概述 由于测量设备计量性能的局限性、周围环境的影响、模拟式仪器的读数存在人为偏差 以及测量方法和测量程序的近似性等原因，观测值和真值之间总是存在一定的差异，在数 值上即表现为测量误差。因此，测量误差自始至终存在于一切科学实验和各种测量活动中。 随着生产与科学技术的发展以及人类认识水平的不断提高，测量误差越来越受到人们 的关注。许多科学家曾为此作出了重要贡献，从而推动了误差理论的形成和发展。其发展 历程大约可分为以下几个时期： 1 经典误差理论的萌芽期 误差理论的起源最早可以追溯到1 8 世纪。1 7 9 4 年，德国数学家高斯首先阐述了最小二 乘法的原理，并于1 8 0 9 年在其著作天体沿圆锥截面围绕太阳运动的理论中发表。他的 方法奠定了测量数据处理的理论基础。同一时期，法国数学家勒让德尔于1 8 0 5 年在其著作 决定彗星轨道的新方法中也用最小二乘法处理观察结果。因此。可以说误差理论的研 究首先是从数学和物理天文学开始的这两位数学大师采用的最小二乘法奠定了测量数据 处理的理论基础，这个时期称为经典误差理论的萌芽期。 2 经典误差理论的成熟期 在二十世纪前后，苏联科学家对误差理论进行了大量的系统研究。如契比雪夫、克雷洛 夫、马利科夫等发表了许多卓有成效的研究成果。其中最著名的是马利科夫在1 9 4 9 年出版 的计量学基础一书，它是当时最全面、最系统地介绍误差理论的专著，也是经典误差 理论的总结。实际上，该书的内容影响了我国2 0 世纪5 0 年代和6 0 年代的计量测试的实践 活动。初期的经典误差理论仅有误差的概念和误差的统计分布，后来发现对测量值产生影 响的某些因素是可以分开处理的，所以有了不同性质特征的三类误差，即随机误差、系统 误差和粗大误差。例如，著名科学家牛顿计算中使用的地球半径值有较大误差，导致他测 得的月球加速度值与理论值相差1 0 。由于这个较大系统误差的存在，导致牛顿推迟了2 0 年才发表他的引力理论。随着科学实验活动的深入，误差理论逐渐从单一测量值的数据处 理而延伸到多个测量值的数据处理，从处理直接测量的数据问题发展到处理间接测量的问 题，从对误差的单一因素分析发展到对误差多因素的合成评定等。 经典误差理论是以统计学理论为基础，以静态测量误差为研究对象，以服从正态分布为 主的随机误差估计和数据处理方法为特征，最后也是用测量误差来表征测量结果的质量。 随着现代科学技术的发展，对测量结果评价的完备性和可靠性提出了更高的要求。用测量 误差来表征测量结果，是相对真值而言的，但由于真值是相对的、理论的，导致完善确定 该测量误差的困难，而且测量误差中包含的系统误差和随机误差这两类不同性质的误差也 难以综合表征。随着国际贸易的不断扩大，质量管理不断得到重视。测量数据的质量高低 需要在各国之间得到一致公认的评价，并依此开展国际间的验证、比对实验、计量确认、 实验室认可等活动。这就需要有一种统一的、广泛适用的、简明的评定测量质量的方法。 显然，经典误差理论难以适应现代社会和科学技术发展的要求。 3 现代误差理论的形成和发展期 随着科学技术和社会的发展，需要在更广泛的领域里进行越来越精密的定量活动。显然， 也暴露了经典误差理论的不足。1 9 7 3 年，j e , b u m s 在误差和不确定度一文中正式提出 “不确定度”一词。不确定度是对测量结果质量的定量表征。反映了测量结果的分散程度， 决定了测量结果的可用性。不确定度越小，说明测量结果质量越高，适用越可靠，价值也 越大。因此，测量结果必须附有不确定度说明才是完整并有意义的。这种更为科学、合理、 实用的表征方法，成为现代误差理论的核心之一。1 9 8 0 年，国际计量局在征求各国意见的 基础上，提出了实验不确定度建议书i n c 1 。1 9 9 3 年，国际标准化组织i s o 、国际理论 化学与应用化学联合会i u b a c 、国际理论物理与应用物理联合会n 碱p 、国际计量局b 口m 、 国际电工委员会i e c 、国际悔床化学联合会i f c c 和国际法制计量组织o i m l 联合颁布了测 量不确定度表示指南，建立了在测量中评定和表达不确定度的一般规则，适用于不同准确 度要求的测量领域。与此同一时期，误差分离与修正技术的研究与应用、动态测量误差的 评定等均有了较大的发展，形成了较为完整的现代误差理论体系。因此，从2 0 世纪7 0 年 代中期开始，进入了现代误差理论的形成和发展时期。 2 现代误差理论拓宽了误差理论的研究和适用范畴，克服了经典误差理论的不足，将静 态测量误差与动态测量误差、系统误差和璇机误差、测量数据与测量系统、不同误差分布 等融为一体以常见误差源的误差性质及其分布为研究基础，以测量不确定度的原理及应 用、动态测量不确定度的分析与评定等为主要研究内容，以紧密结合工程测量与仪器制造 技术的误差修正与补偿技术为研究热点口l 。在理论上突破了以统计学理论为基础的传统研 究方法，在实践上力求统一、实用、可靠的评定准则和方法，在水平上实现了误差理论与 计算机应用技术、近代数学物理方法、测量和计量实践，以及与标准化等紧密结合，正朝 着现代化、科学化、实用化和高准确度的目标推进。 测量误差分析和数据处理在科学实验和生产实践中占有极其重要的地位，也是提高测量 准确度，保证获取信息可靠性的重要手段。在科学研究中，测量准确度的研究和测量误差 的深入研究，往往是重大科学新发现的前导。如英国物理学家瑞利( r a y l e i g h ) 在测定氮气的 密度时，发现从大气中分离出的氮的密度为1 2 9 7 8 9 l ，而用化学方法提取的氮的密度与此相 差1 2 0 0 0 0 。分析结果表明，空气中分离的氮含有其他成分，由此导致了后来雷塞姆发现了 空气中的惰性气体一一氦。如我国科学家吴有训教授和美国科学家康普顿教授通过对x 射 线散射角和波长改变的精密设定，奠定了光量子的能量守恒定律。在工业生产中，测量准 确度不仅对工程技术和工业产品的质量起着监督和保证作用，而且还是工程成败、产品优 劣的一项决定性因素。如发射人造卫星的控制和遥测系统，测量最后级运载火箭的速度 如有2 1 0 0 0 的相对误差，则卫星就会偏离预定轨道1 0 0 k i n ，真可谓“失之毫厘，谬以千里”。 因此，科学的进步，生产的发展是与测量理论、测量技术与手段以及误差理论与数据处理 技术的发展和进步相辅相成，相互促进的。测量理论、测量技术与手段以及误差理论与数 据处理技术的水平在一定程度上也体现了一个国家科学技术的水平。 1 2 测量误差模型的产生 人们很早就认识到，对同一事物进行多次测量后，会得到不同的测量值。自然而然地， 就把这种产生于测量中的变异称为测量误差。通常认为，r ja d e o c k 是最早研究测量误差 的人。他提出了在误差方差之比已知的条件下测量误差模型的估计【3 1 。k a r l p e a r s o n 在1 9 0 1 3 年验证了a d c o c k 的结论，随后。p e a r s o n 在1 9 0 2 年的一篇文章中提出了这种误差会对 实验结果产生影响，尤其会影响到模型参数的估计。 k a r lp e a r s o n 的测量误差模型可以简单地描述为：掌是研究对象某指标的真值，玛为第 j 个测量者所得的测量值，那么日9 一孝就是第j 个测量者的。个体方程”。第j 个钡4 量者 的测量变异用c r o ，表示。这里，测量变异指的是由于测量仪器的性能及观察者的操作效能 而引起测量过程中出现的误差。 在p e a r s o n 研究的基础之上，c o c h r a n 于1 9 6 8 年把几种简单的数学模型应用于测量误 差的研究中，他把测量定义为：k 为对第i 个研究对象的第t 次测量值，) ( j 是第i 个研究 对象某指标的真值，是由测量引起的误差。测量值满足：u _ 龟。 c o c h r a n 的测量误差模型可以用于许多方面，他先后研究了测量误差对于许多统计学方 法的影响，例如方差和回归分析等等【4 l 。他还指出，同样的测量误差模型可以用于不同方 式的调查研究，例如比较电话调查和面对面调查。 到1 9 8 7 年，f u f l e rw a 详细地讨论了各种假设之下测量误差模型的参数估计，以及 测量误差对于单一变量模型、向量模型、非线性模型、因子分析等统计学方法的影响。我 们现在所说的测量误差模型也主要指的是f u l l e r 的测量误差模型嗍。 1 3 本文研究的主要内容 本文主要研究内容包括： ( 1 ) 系统阐述各类误差来源及其影响因素，指出系统误差和租大误差可以避免，但随机 误差是不可避免的。 ( 2 ) 引入测量误差模型的基本思想及其实现过程，分析模型的设定和参数估计以及对真 值的估计，并简要介绍模型中的一种方法似然法。 ( 3 ) 用实例说明测量误差对统计推断的影响，本文着重分析了其对判别分析的影响，然 后提出消除测量误差影响的一般方法及其数学模型。 ( 4 ) 采用刀切法( j a c k k n i f e ) 来提高测量结果的精确度，降低测量误差造成的影响。并 举出计算实例，说明刀切法计算所得的数据要比一般方法求得的结果精确度高。 4 2 1 引言 第二章测量误差的基本概念 误差作为计量学研究的一个重要分支，对推动测量科学本身的发展起到了重要且不可 替代的作用。计量学是研究测量，保证测量统一和准确的科学。其中，测量统一是指，在 不同地点、不同时间及用不同测量方法和器具所得到的测量结果在一定的误差和计量单位 的情况下是可以比对的。测量准确度是表示测量结果与被测量真值之间的一致程度，这是 一个定性而不是定量的概念。准确度，我们通常又称为“精确度”，简称“精度”。可见，对 于测量误差的分析，以及测量结果的合理表征，是测量所必须关注的一个基本问题。现代 科学技术的发展进一步表明，没有精密和超精密的测量就没有科学的发展和进步，没有细 致丽周密的误差分析和对测量结果的含理评定，也就缺少了实现精密和超精密测量必不可 少的软件手段。随着测量日趋精密，测量手段日趋多样化，测量对象也越来越扩展到微小 和超大量值领域、极不稳定状态下的测量、现场或远程监测和控制多参数及其特性的过程 测量，凡此种种，对发展在统计数学、随机函数理论以及各种不确定性、模糊、灰色问题 等研究的基础上的误差理论与数据处理分支领域不断地提出新的任务【6 】。 2 2 误差的基本概念 2 2 1 真值与平均值 真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努 力要求测到的。严格来讲，由于测量仪器、测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等 都不可能是完善无缺的。故真值是无法测得的，是一个理想值。科学实验中真值的定义是： 设在测量中观察的次数为无限多。则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各 观察值相加并加以平均，在无系统误差的情况下，可能获得极近于真值的数值。故“真值” 在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值( 或是写入文献手册中所谓的“公认值”) 。 然而对一般的工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限的观察次数求出的平均值， 只能是近似真值，或称为最佳值。一般我们称这一最佳值为平均值。常用的平均值有下列 几种： ( 1 ) 算术平均值 这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明： 在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。 ；：鲨坐：k 翌 n刀 式中：x l 、x 2 x n 各次观测值；n 一一观察的次数a ( 2 ) 均方根平均值 兰i 兰i ：兰i = v i 一。 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 3 ) 加权平均值 设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时 常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。 式中：。i 、。2 x n 各次观测值 w i 、w 2 各测量值的对应权重。各观测值的权数一般凭经验确定。 ( 4 ) 几何平均值 ( 5 ) 对数平均值 x = x l x 2 x 3 工h ；。= 三! = 兰2 = 兰! 二兰2 “2 蒿2 苫 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 以上介绍的各种平均值，目的是要从一组测定值中找出最接近真值的那个值。平均值 的选择主要决定于一组观测值的分布类型。 6 摩 娑乳 半鬻 一忙 2 2 2 误差的定义及分类 在任何一种测量中，无论所用仪器多么精密。方法多么完善，实验者多么细心，不同 时间所测得的结果不一定完全相同，而有一定的误差和偏差。严格来讲，误差是指实验测 量值( 包括直接和间接测量值) 与真值( 客观存在的准确值) 之差，偏差是指实验测量值 与平均值之差，但习惯上通常将两者混淆而不以区别。 根据误差的性质及其产生的原因，可将误差分为：1 ) 系统误差；2 ) 偶然误差；3 ) 过 失误差三种。 1 系统误差 又称恒定误差，由某些固定不变的因素引起的。在相同条件下进行多次测量，其误差 数值的大小和正负保持恒定，或随条件改变按一定的规律变化。 产生系统误差的原因有：1 ) 仪器刻度不准、砝码未经校正等；2 ) 试剂不纯，质量不 符合要求；3 ) 周围环境的改变如外界温度、压力、湿度的变化等；4 ) 个人的习惯与偏向 如读取数据常偏高或偏低，记录某一信号的时间总是滞后，判定滴定终点的颜色程度各人 不同等等因素所引起的误差。可以用准确度一词来表征系统误差的大小。系统误差越小， 准确度越高，反之亦然。 由于系统误差是测量误差的重要组成部分，消除和估计系统误差对于提高测量准确度 就十分重要。一般系统误差是有规律的。其产生的原因也往往是可知或找出原因后可以清 除掉。至于不能消除的系统误差，我们应设法确定或估计出来。 2 。偶然误差 又称随机误差，由某些不易控制的因素造成的。在相同条件下作多次测量，其误差的 大小、正负方向不一定，其产生原因一般不详，因而也就无法控制，主要表现在测量结果 的分散性，但完全服从统计规律，研究随机误差可以采用概率统计的方法。在误差理论中， 常用精密度一词来表征偶然误差的大小。偶然误差越大，精密度越低，反之亦然。 在测量中，如果已经消除引起系统误差的一切因素，而所测数据仍在末一位或末二位 数字上有差别，则为偶然误差。偶然误差的存在，主要是我们只注意认识影响较大的一些 因素，而往往忽略其他还有一些小的影响因素，不是我们尚未发现，就是我们无法控制。 7 而这些影响，正是造成偶然误差的原因。 3 过失误差 又称粗大误差，与实际明显不符的误差，主要是由于实验人员粗心大意所致，如读错、 测错、记错等都会带来过失误差。含有粗大误差的测量值称为坏值，应在整理数据时依据 常用的准则加以剔除。 综上所述，我们可以认为系统误差和过失误差总是可以设法避免的，而偶然误差是不 可避免的，因此最好的实验结果应该只含有偶然误差。 2 2 3 精密度、正确度和精确度( 准确度) 测量的质量和水平，可用误差的概念来描述，也可用准确度等概念来描述。国内外文 献所用的名词术语颇不统一，精密度、正确度、精确度这几个术语的使用一向比较混乱。 近年来趋于一致的多数意见是： 精密度：可以称衡量某些物理量几次测量之间的一致性，即重复性。它可以反映偶然 误差大小的影响程度。 正确度；指在规定条件下，测量中所有系统误差的综合，它可以反映系统误差大小的 影响程度。 精确度( 准确度) ：指测量结果与真值偏离的程度。它可以反映系统误差和随机误差综 合大小的影响程度。 为说明它们间的区别，往往用打靶来作比喻。如图2 - 1 所示，a 的系统误差小而偶然 误差大，即正确度高而精密度低；b 的系统误差大 而偶然误差小。即正确度低而精密度高；c 的系统 误差和偶然误差都小，表示精确度( 准确度) 高。 当然实验测量中没有像靶心那样明确的真值，而是 abc 设法去测定这个未知的真值 圈2 1 精密度、正确度、精确度含义示意图 对于实验测量来说，精密度高，正确度不一定高。正确度高，精密度也不一定高。但 精确度( 准确度) 高，必然是精密度与正确度都高。 8 2 3 误差的表示方法 测量误差分为测量点和测量列( 集合) 的误差，它们有不同的表示方法。 2 3 1 测量点的误差表示 1 绝对误差d 测量集合中某次测量值与其真值之差的绝对值称为绝对误差。 d=防一xl(2-6) 即x x = dx d x s 工+ d 式中：z 真值，常用多次测量的平均值代替； x 测量集合中某测量值。 2 相对误差e r 绝对误差与真值之比称为相对误差 e r 。簖 心刁 相对误差常用百分数或千分数表示。因此不同物理量的相对误差可以互相比较，相对 误差与被测之量的大小及绝对误差的数值都有关系。 3 引用误差 仪表量程内最大示值误差与满量程示值之比的百分值。引用误差常用来表示仪表的精 度。 2 3 2 测量列( 集合) 的误差表示 1 范围误差 范围误差是指一组测量中的最高值与最低值之差，以此作为误差变化的范围。使用中 常应用误差的系数的概念。 x ；三 ( 2 8 ) 式中：足最大误差系数； 工甍围误差； 口算术平均值。 范蜀误差最大缺点是使芷只取决于两极端值。而与测量次数无关。 2 算术平均误差 算术平均误差是表示误差的较好方法，其定义为 6 = 翌，f ：l 2 月( 2 - 9 ) 月 式中： 观测次数。 d ，一一测量值与平均值的偏差，砖= 毛一口。 算术平均误差的缺点是无法表示出各次测量间彼此符合的情况。 3 标准误差 标准误差也称为根误差。 ( 2 1 0 ) 标准误差对一组测量中的较大误差或较小误差感觉比较灵敏，成为表示精确度的较好 方法。 上式适用无限次测量的场合。实际测量中，测量次数是有限的，改写为 ( 2 1 1 ) 标准误差不是一个具体的误差，盯的大小只说明在一定条件下等精度测量集合所属的 任一次观察值对其算术平均值的分散程度，如果盯的值小，说明该测量集合中相应小的误 差就占优势，任一次观测值对其算术平均值的分敬度就小，测量的可靠性就大。 算术平均误差和标准误差的计算式中第f 次误差可分别代入绝对误差和相对误差，相 对得到的值表示测量集合的绝对误差和相对误差。 上述的各种误差表示方法中，不论是比较各种测量的精度或是评定测量结果的质量， 均以相对误差和标准误差表示为佳，而在文献中标准误差更常被采用。 1 0 2 3 3 仪表的精确度与测量值的误差 1 电工仪表等一些仪表的精确度与测量误差 这些仪表的精确度常采用仪表的最大引用误差和精确度的等级来表示。仪表的最大 引用误差的定义为 最大引用误差；堡墨星至堡塑竺翌堡差1 0 0 ( 2 1 2 ) 该仪表相应档次量程的绝对值 式中仪表显示值的绝对误差指在规定的正常情况下，被测参数的测量值与被钡参数的标准 值之差的绝对值的最大值。对于多档仪表，不同档次显示值的绝对误差和程量范围均不相 同。 式( 2 - 1 2 ) 表明，若仪表显示值的绝对误差相同，则量程范围愈大，最大引用误差愈 小。 我国电工仪表的精确度等级有七种：o 1 ，0 2 、0 5 、1 0 、1 5 、2 5 、5 0 。如某仪表的 精确度等级为2 5 级，则说明此仪表的最大引用误差为2 5 。 在使用仪表时，如何估算某一次测量值的绝对误差和相对误差? 设仪表的精确度等级p 级，其最大引用误差为1 0 - 设仪表的测量范围为x 。仪表的 示值为x ，则由式( 2 1 2 ) 得该示值的误差为 绝对误差d ，。尸1 相对误差e ：旦s 丑x p 心。1 3 工j j 式( 2 1 3 ) 表明。 ( 1 ) 若仪表的精确度等级p 和测量范围x 。已固定，则测量的示值一愈大测量的相 对误差愈小。 ( 2 ) 选用仪表时，不能盲目地追求仪表的精确度等级。因为测量的相对误差还 与盘有关。应该兼顾仪表的精确度等级和苎生两者。 善工i 2 天平类仪器的糟确度和测量误差 这些仪器的精度用以下公式来表示： 仪器的精密度2 ；粪；豢 c ：。， 式中名义分度值指测量时读数育把握正确的最小分度单位，即每个最小分度所代表的 数值。例如t g - 3 2 8 4 型天平，其名义分度值( 感量) 为o 1 毫克，测量范围为0 - 2 0 0 克， 则其 精确度：j 坚，；5 1 0 7 ( 2 - 1 5 ) ( 2 0 0 一o ) 1 0 若仪器的精确度已知，也可用式( 2 1 4 ) 求得其名义分度值。 使用这些仪器时，测量的误差可用下式来确定： 绝对误差s 名义分度匐 相对臌鬻 q 。6 3 测量值的实际误差 由于仪表的精确度用上述方法所确定的测量误差，一般总是比测量值的实际误差小的 多。这是因为仪器没有调整到理想状态，如不垂直、不水平、零位没有调整好等，会引起 误差；仪表的实际工作条件不符合规定的正常工作条件，会引起附加误差；仪器经过长期 使用后，零件发生磨损，装配状况发生变化等，也会引起误差；可能存在有操作者的习惯 和偏向所；f 起的误差：仪表所感受的信号实际上可能并不等于待测的信号：仪表电路可能 会受到干扰等。 总而言之，测量值实际误差大小的影响因素是很多的。为了获得较准确的测量结果， 需要有较好的仪器，同时也需要有科学的态度和方法，以及扎实的理论知识和实践经验。 2 3 4 。过失误差的舍弃 这里加引号的“过失”误差与前面提到真正的过失误差是不同的，在稳定过程中，不 受任何人为因素影响，测量出少量过大或过小的数值，随意地舍弃这些“坏值”，以获得实 验结果的一致，这是一种错误的做法，“坏值”的舍弃要有理论依据。 如何判断是否属于异常值? 最简单的方法是以三倍标准误差为依据。 从概率的理论可知大于3 0 ( 均方根误差) 的误差所出现的概率只有o 3 ，故通常 把这一数值称为极限误差，即 & 限= 3 盯 ( 2 1 7 ) 如果个别测量的误差超过3 0 ，那么就可以认为属于过失误差而将舍弃。重要的是如何 从有限的几次观察值中舍弃可疑值的问题，因为测量次数少，概率理论已不适用，而个别 失常测量值对算术平均值影响很大。 有一种简单的判断法，即略去可疑观测值后，计算其余各观测值的平均值口及平均误 差占，然后算出可疑观测值x 与平均值口的偏差d 。 如果d48 则此可疑值可以舍弃，因为这种观测值存在的概率大约只有千分之一。 第三章测量误差模型及误差的影响 3 1 引言 测量误差模型基于经典的统计分析模型，充分考虑测量误差的作用，从而正确分析变 量间的真实关系。它不是独立于其它模型之外的一种“新”的方法，也不会取代相应的传 统模型。测量误差模型的真正作用在于：使用传统模型时，如果所得的结果似乎有问题， 或者在数据收集的过程中发现测量误差太大而无法忽略，在这些情况下使用测量误差模型 就是一个非常重要的选择 6 j 。 不论是随机误差还是系统误差，都存在概率分布闯题。若误差是随机误差，可视其为 一个随机变量，知道其概率分布也就清楚该误差分布的特征和表示方法。系统误差按掌握 的程度可分为已定系统误差和未定系统误差。对于未定系统误差可估计出其可能变动范围 妇，因此可认为它在( 一e ，托) 有某种概率分布。在进行误差合成时，也必须依据各个分量 的概率分布处理再进行合成。因此，研究测量误差源及误差合成的分布，是现代误差理论 研究的一个重要基础问题。 近年来，具有观测误差的线性与非线性回归模型受到重视，是当前热门课题。在一些 线性回归模型中，有的采用的方法是多次测量结果和偶然误差的估计以及一次测量结果误 差的估计。而非线性模型中采用的方法包括稳健估计、有偏估计及相关抗差有偏估计等方 法【1 4 】。本章先着重介绍各种误差分布和各类统计量分布，然后说明他们的分析和检验方 法，最后举出特例说明测量误差改变大r 方检验和判别分析的结果，进而造成错误，并且 研究了测量误差影响假设检验和判别分析的原理。 3 2 测量误差模型的基本思想 3 2 1 测量误差模型与最小二乘法 线性回归是研究中使用较为广泛的一类统计分析方法。其中。最为简单的形式就是直 线回归。模型的形式为： 1 4 z = 属+ 届t + q f = 1 ，2 ，h ( 3 1 ) x 为自变量，e t 为误差项，通常，我们使用最小二乘法来得到模型中参数的无偏估计 磊：窆( t 耐陛”碱厕 ( 3 - 2 ) l f t lj t - i 然而，在实际的研究工作中，往往不能够通过直接的观察来得到客观存在的真值x ， 仅仅可以得到与之对应的观测值x ，这样，测量误差就产生了： x | = x t + u t ( 3 3 ) “就是所谓的测量误差，我们把可以观测得到的变量x 称作显变量( m a n i f e s tv a r i a b l e ) ， 也可以叫做指示变量( i n d i c a t o rv a r i a b l e ) 。把不能够通过观测来得到的真值x 称为潜变量 ( 1 a t e n tv a r i a b l e ) 。舍有固定的x 的模型称为函数模型( f u n c t i o n a lm o d e l ) ，含有随机的x 的模 型称为结构模垄d ( s t r u c t u r a lm o d e l ) 。这样，我们就可以得到最简单的测量误差模型： r = 届+ a 墨+ b e = 工f + l g r t = l ，2 ，栉 ( 3 4 ) 那么，能否用最小二乘法来得到对测量误差模型参数的无偏估计，或者说，测量误差 对于最小二乘法有无影响，下面我们来分析这个问题。 假定，测量误差模型为结构模型，x 为随机变量。 ( ，q ，坼) a 7 k 乒，o ，o ) ，d i a g ( o - = ，0 0 ，o 乞 n i 指的是独立正态分布，d i a g 指对角阵。( r ，五) 的均数向量和协方差阵为： 以( y ，z ) ) = r ，脚) = ( 磊+ a 以，段) ： = 陉+ 屹 如果用观测变量z ，代替真值t ，可以求得一个新的回归系数n 1 5 ( 3 5 ) b 薹舰咐 幺2 l 善( z j r j 善r 一牙) ( r 一两 i h i e ( 幺) = 畦= 届( + ) 。 ( 3 6 可见，直接用观测值代替真值，估计回归系数，得到的结果与真实的情况是有差异的。 最小二乘法用于测量误差模型参数的估计是不恰当的。 3 2 2 测量误差对模型中参数的影响 测量误差对于模型中参数的影响是存在的。通过式( 3 6 ) 可以看到：测量误差使回归 系数偏向于零，或者说测量误差减弱y ( a t t e i l u a t e ) 回归的效果。减弱的程度为 ( d 0 + d k ) 一1 0 k ，把这种减弱的作用定义为衰减效应( a t t e n u a t i o n ) ，衰减效应的大小用可 信度比( r e l i a b i l i t yr a t i o ) 来衡量：k = 仃未= ( + ) 一 3 2 3 测量误差模型的识别条件 所谓模型的识别( i d e n t i f i c a t i o n ) 指的是模型中参数的唯一确定性。具体来说：假定z 是 观测变量的向量，模型中的参数为0 ，当z = a 时，z 的分布函数为兄：占) 。如果品岛， 则一定有： e ( 口：岛) 易( 口：岛) 我们就可以说模型中的参数是唯一确定的，即模型是可以识别的。从另外的角度来看 模型的识别：如果两个不同的参数向量鼋岛，可以对应相同的观测向量z ，那么，我们 就认为模型不能识别p 1 。 对于测量误差模型( 3 4 ) z = 屈+ 届葺+ q 置- - - - x t + f t = 1 ，2 ，疗 模型中未知的参数向量为：疗= ( 以，c r ，吒，属，屈) ，观测向量为z = ( 】：，砭) ， 1 6 相应地就可以通过计算得到其协方差阵， 5 个已知的参数为：，y ，9 ，d 打，d h ) 。z 的分布就由这5 个已知参数来确定。但是，模型中却有6 个未知的参数，这样就会出现不 同的参数向量对应相同的观测向量的分布，即模型不能识别。 例如在模型( 3 - - 4 ) 中，我们取两个不同的参数向量： 毋= ( 以，o k ，o - ，o r - 删，属，届) = ( 1 ，1 ，l ，1 ，1 ，1 ) 岛= 饥，吒，屈，屈) = ( 1 ，2 ，1 5 ，0 ，1 5 ，0 5 ，0 ) 它们共同的观测向量为： z 。= 卧砌棚， 可见，在仅仅知道观测向量的条件下，测量误差模型是不能够识别的。测量误差模型 还需要识别的条件，一般来说，主要有以下六个方面【7 1 ： ( 1 ) 误差方差之比五= 吒。d k 已知； ( 2 ) 可信度比k 。= o - 未o - = 已知； ( 3 ) 已知。 ( 4 ) 已知。 ( 5 ) 和均已知； ( 6 ) 截距p 0 已知，且戥0 值得一提的是，在误差方差之比旯= a k ，口埘已知的前提下，测量误差模型与垂直 回归有着密切的关系。若 = 1 ，测量误差模型的最大似然估计与垂直回归是一致的。所谓 垂直回归就是实测点到估计直线的垂直距离最短的直线回归模型。垂直回归直线通常位于 普通最小二乘回归的二条直线( y 对于x 的回归和x 对于y 的回归) 之闻，在以上的六个 识别条件下。除外风已知，测量误差模型的直线也是这样的嘲。 1 7 3 。3 测量误差模型的实现过程 与经典的统计分析模型类似，测量误差模型的实现也要根据资料的具体情况选用恰 当的模型形式，对模型中的未知参数进行有效的估计，并且针对模型以及参数作统计学检 验。此外，测量误差模型还需要一些识别条件，同时，我们也可以利用测量误差摸型对真 值作出有效的估计。这里所说的测量误差模型主要指的是多元线性的测量误差模型。 3 3 1 模型的设定 多元线性的测量误差模型是直线回归测量误差模型的直接扩展，根据模型的方程式 中是否含有误差项将模型分为两类，这里主要讨论的是方程式中含有误差项的测量误差模 型： l ；= & + x t p + e | x f = x ，+ ， 上式中，一是k 维行向量，是k 维列向量，岛= ( g ，强) 是独立正态的k + l 维行向量， 岛一n i ( 0 ，b - ：。) 。模型中的自变量有多个，但是并不是每一个自变量都存在测量误差。换 句话说向量屿中的有些元素可能取值为0 。并且有： 五f 岛 “f m ： 埘啦 。0 0 0 吒。 0 。 我们可以利用最大似然法，进一步研究测量误差模型中参数之间的关系； ( i ) 岩= 疋； ( 2 ) 罗= 磊+ 众多； ( 3 ) b = 。+ 埘： ( 4 ) 。= 毋+ 。多+ ； ( 5 ) 舸- - z 。彦+ 嵋； 1 r ( 6 ) 日= 。+ 邑。 3 3 2 模型中参数的估计 对于测量误差模型，需要有附加的识别条件才可以完成模型中参数的估计。这里， 在。和。已知的识别条件下讨论测量误差模型孛参数的估计。 在结构模型中， ，“，e t ) 为正态分布，( x ：，z ) 也是正态的均数为： ( 疋，胁) = ( 疋，属+ 段) ，协方差阵为： 。1 r 。+ 。p + z 。 l 。盯，j l p 。+ 。+ j 最大似然法是基于样本均数和协方差阵对鳓，脚，日，灯，玎，作估计 的，根据最大似然法中函数的恒定性，可以得到： 反= 牙，岛= 尹= 豌+ 声。牙，至。+ 。= 至。矽+ 。= j 5 ：。，夕主。矽+ = 这样，就可以估计模型中参数： 岛= 牙，夕= ( 腰一。) - 1 ( 。一。) ，磊= y 一- 劫 统。= 玎之。夕+ 彦宝。夕+ 2 。矽一声。至。夕 乙= 崩一k 测量误差模型的参数估计过程以及在处理含有测量误差的数据时要比最小二乘的估 计方法更具优越性。 3 3 3 真值的估计 测量误差模型