（固体力学专业论文）结合材料界面端脆断准则的理论研究与实验验证.pdf

结合材料界面端脆断准则的理论研究与实验验证 摘要 基于弹性力学平面问题的基本方程，推导了结合材料界面端附近的位移场 和奇异应力场。 在v 型切口的脆性断裂准则的基础上，提出了结合材料界面端问题的应变 能密度因子准则、形状改变能密度因子准则、最大周向拉应力准则和最大周向 拉应变准则。这些准则均基于两个基本材料参数：抗拉强度q 、和断裂韧度k 。， 因而，便于工程应用。 为了检验上述脆断准则的正确性，用脆性材料p m m a 和金属材料铝相结合 加工成几种不同结合角的界面端试样进行了拉伸破坏实验。运用上述各准则对 这些界面端模型的起裂角和临界载荷进行了理论预测，并与实验结果进行了比 较。结果表明，各准则在预测裂纹起裂角方砸，与实验结果比较吻合；但在预 测临界载荷方面，除盯。准则与实验结果吻合的较好外，其它准则与实验结果 差别较大。 关键词：结合材料，界面端，脆断准则，理论预测，实验验证 t h e o r e t i c a ls t u d ya n de x p e r i m e n t a lv e r i f i c a t i o no fb r i t t l e f r a c t u r ec r i t e r i o nf o ri n t e r f a c i a le d g eo fb o n d e dm a t e r i a l s a b s t r a c t b a s e do nt h eb a s i ce q u a t i o n so ft h ee l a s t i cp l a n ep r o b l e m ，d i s p l a c e m e n tf i e l d s a n ds i n g u l a rs t r e s sf i e l d sn e a rt h ei n t e r r a c i a le d g eo fb o n d e dm a t e r i a l sa r eo b t a i n e d b a s e do nt h eb r i t t l ef r a c t u r ec r i t e r i o nf o rv - n o t c h e s ，t h es t r a i ne n e r g yd e n s i t y f a c t o rc r i t e r i o n ，t h ed i s t o r t i o n a ls t r a i ne n e r g yd e n s i t yf a c t o rc r i t e r i o n ，t h ec i r c u m - f e r e n t i a lt e n s i l es t r e s sc r i t e r i o na n dt h ec i r c u m f e r e n t i a lt e n s i l es t r a i nc r i t e r i o nf o r i n t e r f a c i a le d g eo fb o n d e dm a t e r i a l sa r eg i v e n t h e yc a nb ep e r f e c t l ya p p l i e di n e n g i n e e r i n g ，b e c a u s et h e ya r ed e s c r i b e do n l yb yt w oe l e m e n t a r yp a r a m e t e r so ft h e m a t e r i a l ：t h et e n s i l es t r e n g t h t 7 c a n dt h ep l a n es t r a i nc r a c kt o u g h n e s s 墨o f i no r d e rt ov e r i f yt h e s ec r i t e r i o n s ，t e n s i l ee x p e r i m e n t sa r ec a r r i e do u tf o rs e v e r a lk i n d so fs a m p l e sm a d eo u to fp l e x i g l a sa n da l u m i n i u m ，a n dt h ec o m p a r ei sd o n e b e t w e e nt h e o r e t i c a lp r e d i c t i o na n dt h ee x p e r i m e n tr e s u l t sf o rt h ed i r e c t i o n so fc r a c k o r i e n t a t i o na n dt h ec r i t i c a ll o a d s t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ed i r e c t i o n so fc r a c ko r i e n t a t i o np r e d i c t e db yt h ea b o v ec r i t e r i o n sc o i n c i d ew i t ht h ee x p e r i m e n tr e s u l t s h o w e v e r ，e x c e p tc i r c u m f e r e n t i a lt e n s i l es t r e s sc r i t e r i o n ，t h ec r i t i c a ll o a d sp r e d i c t e db y t h eo t h e rc r i t e r i o n sd on o tc o i n c i d ew i t ht h ee x p e r i m e n tr e s u l t s k e y w o r d s ：b o n d e dm a t e r i a l s ；i n t e r f a c i a le d g e ；b r i t t l ef r a c t u r ec r i t e r i o n ；t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n ；e x p e r i m e n t a lv e r i f i c a t i o n 图2 1 图2 2 图23 图2 ，4 图25 图4 1 图4 2 图4 3 图4 4 图4 5 图4 6 图4 7 圈4 8 图4 ，9 图4 图4 图4 图4 图4 1 4 插图清单 奇异点。处的坐标8 结合材料界面端的一般模型。9 乱= 口2 = f 2 时，d u n d u r s 复合参数，卢对特征值a 的影响n 1 3 在a = 9 1 0 、卢= 卅4 和b = 口2 = 2 条件下的应力角函数与目角之间的 ；j ；1 6 在n = 9 1 0 、芦= d 4 和日l = 口2 = 2 条件下的应力角函数与p 角之问的 豸；，1 6 应变片在试样上的布置2 8 全桥电路的接法2 9 结合材料界面端模型3 1 界面端角移= 4 5 。对的界面端附近的有限元嗣格3 2 界面端角口= 6 0 。时的界面端附近的有限元网格3 2 界面端角口= 7 5 。时的界面端附近的有限元网格3 2 结合材料p m m a a l 在界面端角口= 4 5 。时沿一7 0 。方向所得的有限元解与渐 进解的比较3 3 结合材料p m m a a l 在界面端角口= 6 0 。时沿一8 0 4 方向所得的有限元解与渐 进解的比较3 4 结合材料p m m a a l 在界面端角口= 7 5 9 时沿一1 0 5 。方向所得的有限元解与渐 进解的比较3 4 结合材料界面端在单向拉伸载荷作用下的断裂情况3 5 各准则对界面端起裂角酿的理论预测值的比较3 7 各准则对界面端临界载荷疋，的理论预测值的比较3 7 界面端起裂角鼠的理论预测值与实验值的比较3 7 界面端临界载荷t 。的理论预测值与实验值的比较3 8 表格清单 表4 1 实验材料弹性模量e 和泊松比v 的测定结果2 9 表4 2 结合材料界面端特，征值 的理论解和数值解的比较3 l 表4 3 结合材料界面端特征值也的理论解和数值解的比较3 l 表4 4 结合材料界面端应力强度因子的计算结果3 2 表4 5 r o 值和片值的计算结果3 4 表46 界面端起裂角岛的理论预测值和实验结果的比较3 6 表4 7 界面端临界载荷只，的理论预测值和实验结果的比较3 6 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导f 进行的研究l ：作及取得的研究成果。 据我所知除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包吉其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得 盒蟹些厶堂 或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名签字日期：西羼钿7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 合肥工业大学有关保留、使用学位论文的规定 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权台肥工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 签字日期聊。僻i 月吁日 i 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 导师签名 刮一掣 签字日期：p ；年6 月目 j 电话 邮编 致谢 本论文是在导师刘一华教授精心指导下完成的。 在三年的硕士学习阶段，导师给了我许多教导和帮助，他诚恳待人，诲人 不倦，严谨的治学态度、丰富的实践经验、敏锐的学术思想、渊博的专业知识 和勤奋的工作精神更是一种无声的语言，影响并激励着我要认真、要勤奋。他 崇高的品德是我永远的楷模，将使我终身受益，对我今后的学习和工作产生深 远的影响。同时，在作者的研究生期间，导师为作者创造良好的学习环境，帮 助和关心作者的生活。谨此，对导师致以崇高的敬意和忠心的感谢。 此外，忠心感谢工程力学系的各位老师在日常生活和学习上的诸多关心和 照顾。特别感谢我的师弟陈继光在本文实验过程中给予的大力支持和帮助，他 参与了实验材料的采购和部分实验试样的加工。 最后，感谢所有多年以来对作者学习和生活上给予支持和帮助的同事、室 友、朋友和同学。 本文得到了安徽省教育厅自然科学重点科研项目( n o 2 0 0 3 k j 0 4 5 z d ) 的资 助，在此表示衷心感谢。 作者；崔书文 2 0 0 6 年5 月 第一章绪论 固体力学既是一门基础学科又是一门技术学科。它主要研究固体材料在各 种载荷和环境作用下的运动和变形规律。就其研究内容来说，一切以研究固体 材料的力学响应及其性能评价为主要内容的学科，都可以认为是固体力学的分 支。固体力学的内容实质上可以分为两个方面，一是求取材料力学响应的方法， 即应力分析技术；二是性能评价( 强度评价) 的方法。这两个方面既相互独立 又相互联系，前者是后者的基础，后者是前者的目的。随着计算机的迅速发展， 高性能数值计算软件的不断出现和发展完善，固体力学研究的重点，有逐渐向 性能评价方面移动的趋势。 界面力学是8 0 年代未才开始出现的一个新的固体力学分支，是以研究不同 材料结合的材料( 简称异材或异种结合材料) 的应力分析和强度评价方法为主 要内容的学科。它的产生和发展，是与现代工业中广泛应用复合材料、结合材 料等新型材料密切相关的。这类新型材料，已经超出了早期的作为功能材料的 应用范围，而开始被用作承载构件，应用于核电站、飞机、汽车等行业。因此， 结合材料的力学性能及其可靠性评价，是一个工程实际中亟待解决的问题。结 合材料问题有两个特殊的现象，即界面端的应力奇异性和界面裂纹尖端的振荡 应力奇异性。因此，原先的强度评价方法，已无法适用于结合材料的强度评价， 而必须重新确定强度评价的参数及强度准则，所以需构筑一个新的理论，才能 对结合材料进行正确的强度评价，界面力学就是这样一种新的理论。 1 1 界面断裂力学及其发展概述“ 许多现代的材料系统都是由两种以上的材料构成。作为两种不同材料之间 边界的定义，界面对于这些材料系统来说，实质上是一种几何概念。在大多数 情况下，界面是一种依赖于制造工艺的很脆弱的几何结构。而且，材料系统的 可靠性很大程度上受到这种界面状况的影响。界面在工程材料中几乎无处不在： 组合构件的搭接界面，复合材料层台结构的层间界面，不同材料扩散连接形成 的界面，多晶体材料中不同晶粒之间的界面等。依不同的尺度划分，可将这些 界面分别划分为宏观界面、细观界面和微观界面。然而，对于实际的材料系统， 往往不能严格区分不同层次界面的界限，它可以同时存在这些界面结构，也可 能只存在其中任何一种层次的界面。 由于界面两侧材料的失配，使连接界面产生应力集中，且在界面形成过程 中会不同程度地留有连接的工艺性缺陷，使得界面往往成为发生断裂的源泉： 多相材料的大多数断裂现象源于硬软相的界面；复合材料中常见的分层和纤维 拔出也是典型的界面断裂。由于界面断裂成为多相材料的主要破坏模式，针对 以韧度为主要性能指标的先进结构材料，对材料界面进行研究并通过界面设计 提高材料断裂韧度就显得尤为重要。 在断裂力学被成功的应用于研究同种材料的裂纹问题之后，界面断裂力学 被认为是评估多材料系统可靠性的有效工具。与单相材料的断裂力学一样，界 面断裂力学的基本任务是寻找控制界面开裂和失稳扩展的物理参量，并建立扩 展准则。 w i l l i a m s ”1 于1 9 5 9 年最先分析了各向同性双材料界面裂纹问题。他采用渐 进级数展开法发现了界面裂纹尖端应力场的振荡奇异性、裂纹面叠合和材料的 相互嵌入现象。这种裂纹面的相互嵌入虽然在数学上是严密的，但在物理上明 显是不合理的。为了消除这种物理上的不合理现象，许多研究者提出了一些有 用的界面裂纹模型。其中最具影响的是接触区模型和界面层模型。 界面接触区模型是c o m n i n o u 73 于1 9 7 7 年提出的。c o m n i n o u 的研究结果表 明：( i ) 裂纹在任何情况下，总有一端的接触域非常微小。在垂直于界面的方 向均匀受拉时，两端的接触域都非常微小。( 2 ) 当裂尖附近的接触较小时，不 管另一端的接触域大小如何，该裂尖附近的应力场，除了裂尖附近极微小的区 域外，基本上仍与振荡奇异应力场相同( 在振荡区域外) 。c o m n i n o u 在此研究 基础上假设裂纹面在裂尖附近光滑( 无摩擦) 接触，得到了静态界面裂纹在裂 纹尖端附近存在平方根奇异性的结论。王晓东、邹振祝等人”采用此模型讨论 了动态载荷下界面裂纹的奇异特征。他们用带有运动边界的积分方程型的控制 方程证明了对于受动载作用的界面裂纹和扩展的界面裂纹都仅存在平方根奇异 性。这一结果说明，采用界面接触区模型，界面裂纹尖端的应力场仅具有，叫2 阶 的应力奇异性，而无应力振荡性。c o m n i n o u 建议的这种界面接触区模型，虽然 应力振荡消失了，但应力状态从本质上的复合型却退化成为纯i i 型的。i t o u 。1 就此进行了实验研究，观察了界面裂纹尖端区域的变形情况，实验未能确认这 种接触区的存在与分布。 界面层断裂模型由d e l a l e 和e r d o g a n “”于1 9 8 8 年在理想界面模型的基础上 提出。他们研究了双各向同性均质材料之间存在一个弹性模量五和泊松比v 连 续变化的过渡层对界面裂纹的影响。y a n g 及其合作者1 讨论了材料性质可任意 连续单调变化的界面层，并用他们所得的界面层断裂理论重新解释了界面断裂 力学的概念。界面层概念的提出不仅成功地消除了界面裂纹解的振荡奇异性， 而且从物理概念上解释了双材料结合面的构成状态。实验已经证明了界面层的 存在。r a h l e 、o d o w d 等人“。”1 实验观察证实，界面层宽度从纳米级到微米级 不等。n i x “”测量了界面层厚度和材料性质的变化情况。这些理论与实验奠定 了界面层断裂研究的基础。由于界面层中弹性模量连续分布与相邻材料无模量 间断，因而振荡奇异性不再是一个问题，问题在于更合理建立界面层模型。 e r d o g a n 提出的界面层模型认为，沿界面层厚度方向，模量分布取为a 2 ( z ) = t 。e ”， 其中y = i n 0 3 h ) ( “和鸬分别为界面两端材料的模量) 。从e r d o g a n 近几年给 出的很多数值结果容易发现，他提出的模型完全依赖于与界面层相邻的材料特 性和界面层厚度、这与实际未必相符，另外也极大地限制了界面层中模量分布的 类型。正是基于这种原因，王旭跃、邹振祝等“提出了一种更为一般的界面层 模型；取2 倒= 如+ 蚓。，这里辟= h ，b = f 为一v “) h ，k 与“、, u 3 及界面层 厚度h 无关。文中在此模型的基础上，给出了双材料间承受扭转载荷的币形裂纹 的分析与计算结果。并与e r d o g a n 的结果进行了比较，结果表明，他们所提的 所谓广义界面层模型更灵活更具有一般性。e r d o g a n 的界面层模型可以通过对 此模型取k 哼+ 时获得。 除了以上两种模型外，还有人提出了种弹簧界面模型( 拉伸型和剪切型) 。 此模型认为界面层两侧应力仍满足连续条件，位移量可以间断，界面两侧的相 对位移和相对错动与界面应力有关。在实际界面结构中，界面两侧材料相互作 用、相互溶合、相互渗入到对方内部并形成一定厚度的界面层，由于界面形成 工艺过程中的化学与物理反应不同，加之尺寸效应使界面层成为复杂结构。上 述作为理论分析和数值计算基础的各种界面模型，究竟在多大程度上与实际界 匾力学行为相符，目前尚未有充分的实验提供明确的支持，一些研究工作表明 按照界面模型理论所预估出来的结果与实验结果之间还存在相当大的差距。 无论是用理论方法还是实验方法，研究界面断裂力学问题的一个关键环节 在于选定或者测定一个控制参量，使其能较为准确或近似地表达界面裂纹的强 度( 即界面裂纹对开裂的抵抗能力) ，并以此为基础建立界面裂纹起裂破坏的 扩展准则。在界面断裂研究中一般采用界面断裂韧度来作为这个参量。断裂韧 度可被取为界面裂纹起裂的临界应力强度因子，也可被取为临界能量释放率或 临界j 积分。 在断裂力学的基础上，人们很容易想到将临界应力强度因子作为断裂韧度。 但在实际应用中，直接将临界应力强度因子作为断裂韧度却遇到了困难。其一 是，界面裂纹应力强度因子具有甚为复杂的量纲，不宜直接做为强度评价的参 数。因此，r i c e ”从裂纹的相似性原理出发，引进了一个基准长度三，从而使 界面裂纹应力强度因子的量纲与均质材料中裂纹应力强度因子一致。后来， e n g l a n d “7 1 研究发现，裂纹长度不同，应力振荡区就不同，也就不可能有相同的 应力场。因此，在实际应用中需注意基准长度l 的选取。另一个困难是，界面 裂纹的复应力强度因子的实部和虚部并不简单的对应于i 型或i i 型乡卜载，而是 互相耦合的，不能象单相材料那样通过单一参数丘来表示材料的断裂韧度。 用临界能量释放率作为断裂韧度可以避免具体讨论五和丘。界面断裂研究 中一般采用界面断裂能作为表征材料界面断裂抗力的特征参量，其值通常可由 界面裂纹扩展时的应变能释放率来估算。界面的韧度由两个参数( 断裂能和相 位角) 来表示，其中断裂能对应裂纹能量释放率的临界值，可以认为是依赖于加 载模式的有效表面能。相位角表示外载的混合度，亦即i 型与i i 型断裂的相对 值。一般来说，裂尖断裂混合度越高，界面断裂韧度也越高。界面断裂韧度对断 裂混合度依赖极大，对某些材料甚至可高达一个量级。 在测定界面断裂韧度方面，许多学者做了大量的工作。c a o 和e v a n s 一介 绍了四种测量界面断裂韧度的试件并给出了能量释放率的表达式。 c h a r a l a m b i d e s 等人利用其中的一种试件测量了p m m a a l 的能量释放率、应力 强度因子和相应的相位角；s u o 与h u t c h i n s o n 提出了一种夹层试件用以测量界 面的断裂韧度，并讨论了裂尖复应力强度因子与远场应力强度因子的关系： w a n g 和s u o “”则提出了一种圆盘夹层试件，它的优点在于可以通过改变加载角 度来改变相位角。经过研究表明，界面断裂韧度是相位角的函数，并且随着相 位角的增大而增大；在界面断裂力学的实验应力分析中，l e i c h t i 的工作较为引 人注目，他用环氧树脂玻璃试件测量了裂纹张开位移并研究了相位角对断裂 韧度的影响。向毅斌等人”则基于界面断裂力学理论，以界面的断裂能和混合度 为基本细观参数，揭示了界面断裂韧度随断裂混合度的变化规律，综述了双悬臂 梁( d c b ) 试样测定双材料界面纯i 型断裂韧度不同的数掘处理方法，为评价实际 材料的界面抗裂性能提供了必要的研究方法和实验手段。以上这些设计性的实 验工作为分析界面韧度以及建立界面断裂力学理论奠定了基础。 1 2 结合材料界面端断裂问题的研究现状 由于结合材料界面端应力奇异性的存在，界面端成为个潜在的断裂起裂 点。对于大多数形状的界面端而言，应力奇异性总是存在的。因此，需要重点 研究界面端的奇异特征和裂纹起裂判据。在过去的三十多年里，大多数研究都 集中在前者，相对而言，对起裂判据的研究很少。在线弹性范围内，大多数结 合材料界面端附近的应力场都具有西“的形式，式中，为离开界面端的距离，丘 为界面端的应力强度因子，l 一丑为奇异性次数。 界面端的奇异应力场与结合材料界面端的几何形状、材料属性及远场载荷 有关。有关应力强度因子k 的求解，r e e d y ”“、m u n z 和y a h g ”“、a k i s a n y a 和 f l e c k ”及i m 和k i m ”“各给出了一些相应的解法。 结合材料界面端的断裂判据是在研究含有初始裂纹的结合材料断裂问题的 基础上发展起来的。对于无明显初始缺陷的尖锐切口和界面端的断裂问题的研 究中，目前已经提出了三种不同的判据：周向拉应力准则，临界体积能密度准 则和临界界面端应力强度因子准则。s u z u k i ”于1 9 8 7 年将周向拉应力准则描述 为，当周向应力在界面端正前方处等于1 一1 5 0 r ，( 盯，为结合材料的结合强度) 时，材料发生起裂破坏，而矗的选取依赖于界面端形状和材料属性。i 旌界体积 能量密度准则由s i h 和h o 。“于1 9 9 1 年提出。此准则与应力奇异性次数无关， 并且已经用于预测集成电路材料尖切口的裂纹起裂和扩展方向，但对于结合材 料尚需验证。 临界界面端应力强度因子准则是目前被广泛讨论的准则，但此准则只局限 于结合材料的对接问题( 即界面端结合角成1 8 0 。的情况) 。此准则假设当界面端 应力强度因子达到临界值时，材料发生起裂破坏。在过去1 0 多年里，有许多研 究支持了这一准则的使用。其中最显著的工作是由r e e d y 等”7 。“所做的。他们 证明了这一准则对钢环氧和铝环氧结合材料进行断裂分析的台理性。同时， 他们的工作还表明了结合材料的d u n d u r s 复合参数口、p 和结构的几何尺寸( 在 他们的研究中指双材料的结合厚度) 对弹性应力场和失效应力的影响。l i u 和 f l e c k ”“、p a h n 和e a r m m e 。“在此基础上将临界界面端应力强度因子准则用于预 测界面端的裂纹扩展方向，并取得了一定的成果。g r a d i n ”“、g r o t h ”“、h a t t o r i 和s a k a t a o ”以及q i a n 和a k i s a n y ac 3 7 等人则对临界界面端应力强度因子准则进 行了实验方面的研究。 临界界面端应力强度因子准则能成功用于断裂分析的关键原因是，线弹性 断裂力学中小范围屈服理论的扩展。在界面端附近存在着被称为k 场的环形区 域( 不包括近界面端非线性区和远场紊乱区) ，且在此区域内弹性解是精确的 ”。在这个环性区域内，特定载荷模式下的弹性场为一种普通形状，它的大小 由应力强度因子来度量。尽管对于不同的结合尺寸，测得的临界应力强度差别 很大，但是对于具体的界面端形状来说，临界应力强度却是一个常量。 此外，m o h a m m e d 和l i e c h t i 姐”对不同结合角度的铝环氧双材料的界面端 进行了研究；l a b o s s i e r e ”等对硅玻璃双材料界面端的断裂问题进行了研究。 以上研究在特定条件下均取得了一定的成果。 1 3 所选课题的目的、意义及工作背景 断裂是材料失效的重要形式，人们从大量断裂事故的分析中发现，断裂皆 与构件中存在缺陷或裂纹有关，因此可以说缺陷和裂纹是酿成灾难性事故的祸 根。而现今工程实际中的构件或材料都不可避免的存在着缺陷和裂纹，因为构 件在加工制造和使用过程中，即使有了先进的冶炼技术和制造工艺，也很难消 除构件中的全部缺陷。 随着复合材料和异种结合材料在工程实际中的广泛应用，界面问题逐渐引 起人们的关注。由于结合材料界面端存在应力奇异性，界面端成为了一个潜在 的断裂起裂点，从而严重影响了构件的承载能力。而对于大多数形状的界面端 而言，应力奇异性总是存在的，因此建立结合材料界面端的脆性断裂准则是十分 必要的。目前，在这一领域中，对结合材料对接( 即界面端结合角成1 8 0 。的情 况) 所形成的界面端问题研究较为活跃，并得出了一些有用的断裂准则。但对 于具有任意结合角的结合材料界面端的脆性断裂问题研究较少。因此，本文试 图在文献 4 0 、 4 1 和 4 2 的基础上，借助复合型裂纹断裂准则的思想，建立 结合材料界面端的脆性断裂准则。 1 4 本文的主要内容 本文的主要内容包括： 1 由平面问题的基本方程出发，推导出结合材料界面端附近的位移场和奇 异应力场。为建立界面端的脆性断裂准则奠定理论基础。 2 从复合型裂纹断裂准则的基本思想出发，基于i i i 复合型v 型切口的 脆性断裂准则，提出了结合材料界面端的应变能密度因子准则、形状改变能密 度因子准则、最大周向拉应力准则和最大周向拉应变准则。 3 为了验证上述脆性断裂准则的正确性，用脆性材料有机玻璃( p m m a ) 和金属材料铝( a l ) 相结合，加工成几种不同结合角的界面端试样，进行拉伸 破坏实验，并与上述脆性断裂准则预测的起裂方向及临界载荷进行比较。 第二章结合材料界面端问题的基本理论 b o g y “”于1 9 7 1 年利用m e l l i n 变换，从基本方程出发，就曾提出了结合材 料界面端具有应力奇异性的观点，但未给出奇异应力场的具体形式，而只讨论 了界面上的奇异应力。此后，众多研究者利用各种方法对界面端附近的位移场 和奇异应力场的具体形式进行了求解。如，久保”“等人于1 9 9 1 年利用a i r y 应 力函数求得了虚力奇异性次数为实数时的位移场和奇异应力场；许金泉、丁皓 江“”等人借助弹性力学中的g o u r s a t 公式，于1 9 9 6 年给出了具有任意结合角的 结合材料界面端附近的位移场和奇异应力场。 本章将由平面问题的基本方程出发，推导出结合材料界面端附近的位移场 和奇异应力场，为建立界面端的脆性断裂准则奠定理论基础。 2 1 平面问题及其基本方程 在平面极坐标系( r ，0 ) 中，各向同性材料平面问题在无体积力作用情况下 的基本方程“”为 1 平衡方程 丝上+ 土丝业十! ! ：o c n ，rf 0r 上巫生+ 旦三业+ 卫卫：o( 2 1 ) rd horr 式中o r 、和为应力分量。 2 几何方程 铲警 岛= 等+ ；鲁 = 警+ j 1 万o u r 一7 u o ( 2 - 2 ) 式中g ，、岛和) ，。为应变分量，而“，和“。为位移分量。 3 平面应力问题的物理方程 = 去一v o o ) 白= 专瓴v g r r ) ，：一1f ( 2 3 ) 一口= 一f r 0 、。 t 式中e 、v 和分别为材料的弹性模量、泊松比和切变模量。对于平面应变问 题，只需将( 2 3 ) 式中的换成彰( 1 一r 2 ) ，r 换成v 0 一v ) 即可。 2 2 平面问题奇异点附近的位移场和奇异应力场 由( 2 - 1 ) 式( 2 - 3 ) 式经过推导，可以得到平面奇异点0 附近的位移场和奇 异应力场为 。 图2 1 奇异点d 处的坐标 “，= ，。_ 1 4s i n ( 2 + 1 p + b 】c o s ( a + l p + 0 一盯牡2s i n ( 2 一1 p + 日2c o s 以一l p z “ 2 r 2 去 4c 。s 以+ 1 p 一蜀s i n 以+ l 矽+ 以+ r 粉：c 。s 以一1 p b s i n o l 矽b ( 2 4 ) q = j 4 s i n 0 + 1 矽+ 马c 。s 以+ l p 十以一3 ) a 2s i n 以一1 p + b 2 c o s 以一l 矽】 = 一j 4s i n 以+ 1 汐+ 蜀c o s 以+ 0 0 十( 五+ i 牡：s i n 以一1 矽+ 盈c 。s 以一i 汐口 z 一= 孑 4 c 。s 以+ 1 ) 0 一目s i n 以+ 1 ) 0 + 以一1 ) - z c 。s 以一1 p b zs i n 0 一l 汐b ( 2 5 ) 式中1 一五为应力奇异性次数；a 。、b ，、a 2 和b 为待定系数，可由边界条件和连 续性条件确定；而 。：手罟 平面应力 ( 2 6 ) 2 3 结合材料界面端附近的位移场和奇异应力场 2 3 1 结合材料界面端模型 为了方便起见，将x 轴置于结合材料界面上，即取如图2 2 所示的界面端 模型。在极坐标系( r ，臼) 中，材料1 所占的区域为一岛口o ；材料2 所占的区 域为0 蔓臼蔓皱。 y 图2 2 结合材料界面端的一般模型 界面上位移和应力的连续性条件为 “，o ，o ) = u r 2 ( r ，0 ) “。p ，o ) = u a 2 0 ，0 ) c r e jr ，o ) = 盯d 2p ，0 ) t r 。p ，o ) = o 。：o ，0 ) 边界条件为 ，p ，一岛) = 0 o 。p ，一岛) = 0 盯。：( ，岛) = 0 ：p ，岛) = 0 式中下标i 和2 分别表示材料1 和材料2 。 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 2 3 2 结合材料界面端的应力奇异性特征方程 将奇异点附近的位移场( 2 - 4 ) 式和奇异应力场( 2 5 ) 式分别代入界面连续性 条件( 2 7 ) 式和边界条件( 2 8 ) 式，并经过化简可得到下列含八个待定参数一。和 ( m ，= 1 ，2 ，这里的下标聊= 1 表示与材料1 有关的量，下标m = 2 则表示与 材料2 有关的量) 的线性齐次代数方程组 式中 ( r - 0 a 。，+ ( 五一1 x r 一1 ) + r ( k + 1 m ：一( q + 1 1 4 2 ：= 0 ( 1 1 1 l 喝。+ f ( 五+ 1 ) ( r i ) - r ( 一+ i ) l 昌：+ ( k + 1 l 巴：= 0 a i l = a 12 c i l + 骂2 s 2 且l = a 1 2 墨l 一骂2c l2 a 2 l = a 2 2 c 2 1 一b 2 2 受2 岛，= 一4 z 曼l 一岛：c 2 ： 4 + ( 一1 ) a 。：一a 2 ，一 一1 ) a 2 2 = 0 岛+ 以+ 1 ) 皇：一垦，一0 + 1 - 呸：= 0 r ：丝 “ c l i = c o s 2 ) a 1 2 c o s 2 ( 9 i g 2 = c o s 2 , 媚+ 2 c o s 2 a t c 2 1 = c o s 2 , z 0 2 一) c o s 2 0 2 c 2 2 = c o s 2 t 0 2 + t c o s 2 0 2 s i l = s i n 2 a o i a s i n 2 舅 s 2 = s i n 2 2 ( 9 1 + 2 s i n 2 q 曼i = s i n 2 , t 岛一2s i n 2 ( 9 2 & 2 = s i n 2 a t 9 2 + 9 s i n 2 8 2 令 a = r ( q + 1 ) 一o 吃+ 1 ) = r 氐一1 ) 一o 呸一1 ) 埘= f ( ，c l 十1 ) + ( 吒+ 1 ) 则双材料的d u n d u r s 复合参数口、可表示为 口 a = 一 口：丛 一监1 ) 一沁+ 1 ) r ( k + 1 ) + ( 妈+ 1 ) = 甓封矧r + 1 ) + ( k + 1 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 一1 2 ) ( 2 13 ) 于是由( 2 1 2 ) 式和( 2 - 1 3 ) 式可得 r ( k + 1 ) = 罢缸+ 1 ) q + 1 = 一昙 一1 ) r 一1 = 罟0 一p ) ( 2 - 1 4 ) 将( 2 1 4 ) 式代入( 2 9 ) 式中的前两个方程，并化简可得 1 0 ( 甜一p ) 4 ，+ 阻0 一) + 卢+ 1 k ：+ 一1 ) a 。= 0 缸一她，+ 缸0 一声) 一一l k ：一如一1 逸：= 0 ( 2 15 ) 将( 2 9 ) 式中的第三和第四两个方程分别代入( 2 1 5 ) 式中，可得 ( 口一1 n ：= 一【( 口一p x c ，+ a ) + 声+ q a ：一姣一声碜，：b i ： 慨一1 ) b 2 ：= q 一声碜。a i ：一l k 一卢) ( c 。：一z ) + 卢+ 1 l b 。： ( 2 1 6 ) 将( 2 - 1 6 ) 式代入( 2 9 ) 式中的第五和第六两个方程，可以得到 ( 口一1 工4 2 。= 一 仁一x c j ，c 2 。+ s ，& ：) + 阻q 一) + + 1 c 2 。 一： + 仁一x c l ：是：一c ：。s i ：) 一阢q 一) 一一1 虹： 旦： 仁一1 l 岛。= 扛一卢x c l ，是。一c 2 ：s ，) + 阻0 一f 1 ) + f l + l k ， a i 。 + “口一卢x c 。：c ：+ s 1 2 s ：。) 一协如一声) 一声一1 】c ： 马： ( 2 1 7 ) ( 2 9 ) 式中的第三和第四两个方程为 a l i = a 1 2 c 1 l + 骂2 s 2 b 1 1 = a 1 2 s l 一县2c 1 2 ( 2 18 ) 将( 2 - 1 6 ) 、( 2 - 1 7 ) 和( 2 18 ) 式代入( 2 - 9 ) 式中的第七和第八两个方程，可得 a r i a l 2 + a 1 2 且2 = 0 a 2 1 4 2 一a 2 2 8 1 2 = 0 ( 2 一1 9 ) 式中 q 。= p 一x q 是。一s 。c 2 ：) + k p 一) 一+ 1 b ， + 阢仁一f 1 ) + f l + l k 。 吼：= 0 一卢x c t ：c 2 ：+ 墨：是) + ( d 一1 ) - 0 + 1 口一) k ： 一盼( 口一) 一一1 】( 1 2 ：+ 以+ 1 ) 以( 口一) 一口一卢】 口：，= 0 一v x c , 。c 2 + s 。是：) + 肛0 一) + 卢一l k 。 + n 缸一f 1 ) + f l + 1 c ：。+ 0 一l n 缸一卢) + 口+ 纠 a 2 ：= 0 一v x c , ：是：一c z ，s i ：) 一阻0 一) + 一l l s , ： 一瞳如一) 一一1 1 s 岛 ( 2 2 0 ) 由线性代数齐次方程组( 2 1 9 ) 式有非零解的条件，即其系数行列式为零， 可得到下列关于特征值五的特征方程 a + 忙+ c c o s 2 2 0 i + d c o s 2 a s 2 妒+ e c o s 2 , z 8 , c o s 2 2 0 2 + f s i n 2 a 0 】s i n 2 a 0 2 + g c o s 2 2 8 , + h c o s 2 2 g + ，= 0 ( 2 2 1 ) 式中 a = 2 ( c o s 2 0 1c o s 2 g c o s 2 0 1 一c o s 2 t ，2 + 1 ) ( 口一) 2 b = 2 陋- s ) 2 + 筇k o s 2 0 , + c o s 2 0 2 2 ) + ( s i n 2 0 ls i n 2 0 2 一c o s 2 8 1c o s 2 8 2 + 1 x a2 1 ) + 2 f l ( e o s 2 0 2 一c o s 2 8 1 1 c = 2 一t 2 ) ( + 1 x 1 一c o s 2 0 5 ) d = 2 ( p 一口) ( 卢一1 ) ( 1 一c o s 2 0 e ) e = 2 口2 一口2 1 f ：1 一口2 g = 2 ( 口一2 ) 日= 一2 b + 2 ) ，= d 2 + 2 口2 + l( 2 2 2 ) 由特征方程( 2 2 1 ) 式可以看出，特征值旯与界面端o 处两种材料的结合角 鼠和0 2 以及d u n d u r s 复合参数t 2 和有关。考虑到满足特征方程( 2 2 1 ) 式的兄， 只有0 r e 且 1 的解才表示界面端附近应力的奇异性次数( 根据( 2 5 ) 式可以看 出) 。所以可以将求解范围限定为0 r e a 1 。 的值可能为实数，也可能为复 数。根据b o g y “”的分析，a 的值最多可达到六个，但满足0 r e 旯 o ) 和声( o 卢口4 ) 值，利用( 2 2 1 ) 式求出对应 的特征值 ，并做出图2 3 所示的口一五曲线。 a 图2 3o l = 0 2 = , r 2 时，d u n d u r s 复合参数口、口对特征值a 的影响 从图中可以看出，特征值五随着的增加而增加，但随着口的增加反而减 小了。因此，当口增加或口为定值而减少时，界面端附近应力场的奇异性将 会变大。 当日= 0 2 = 厅时，界面端问题变成了界面裂纹问题，特征方程( 2 2 1 ) 式可进 一步简化为 s i n 2 以，r 扮2 + c o s 2 0 疗) = 0 ( 2 2 4 ) 其解为 五：0 5 圭l n f 拦1 - o 5 招 ( 2 2 5 ) 2 万 l 1 一 一 显然界面裂纹的特征值为复数，即界面裂纹具有振荡奇异性。( 2 2 5 ) 式与 文献 4 7 中关于界面裂纹的结果完全一致，这说明界面裂纹可当作界面端的一 种特殊情况来处理，界面裂纹裂尖附近的应力场，可由界面端奇异应力场的特 例来得到。 2 3 3 结合材料界面端附近的位移场和奇异应力场 当结合材料界面端的特征方程( 2 - 2 1 ) 式有一个实数根a 时 数，由( 2 一1 9 ) 式的第一个方程可得 a 1 2 = 且2 式中 4 = 一生 q i 将( 2 2 6 ) 式代入( 2 18 ) 式中，可以得到 a j l = 晟2 b 1 1 = 爵8 1 2 式中 取县：为待定系 ( 2 - 2 6 ) ( 2 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) ( 2 2 8 ) 彳：一堕c l l + s 2 ( 2 2 7 + ) 爵：一a 1 2s i l c i 2 ( 2 2 8 。) 将( 2 2 6 ) 式代入( 2 1 7 ) 式中，可以得到 421=彳；1812(2-29) b 2 l = 鼋】b l2(2-30) 式中 4 ：。= j a - 一1 旦a 旦r t 扛一声x c l c z + s ，s z z ) + 堕a l i u 缸一) + 卢+ 1 f z ， + 0 一p x c , ：足：一c 2 ，s ：) 一阻扛一p ) - p 一1 k ： ( 2 2 9 + ) 瓦= 击 - 等仁一x c l 函一s l c 2 2 ) 一等阻b 一) + “k + 0 一p x c , ：c ：+ s ，：s ：，) 一【a 如一p ) - p l 】c ： ( 2 3 0 + ) 将( 2 - 2 6 ) 式代入( 2 - 1 6 ) 式中，可以得到 4 ：= 4 2 骂