（固体力学专业论文）虚拟激励法求解随机热传导问题.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 在实际工程中，大量的导热现象具有随机性。例如边界条件和内热源的随机性、导 热俗热物性的不确定性等方面都将引起导热体温度的随机变化。随机热传导的主要任务 之一，就是根据激励的统计特征和系统特性，求出响应的统计特征，即响应的均值，均 方值，鸯相关函数，功率谱密度等。对于复杂盼实际问题，响应的统计特征的计算非常 困难。虚拟激励法是一种用于随机搬动分努亍的高效精确的方法。这种方法将平稳隧机扳 动分析转化为简谐振动分析，将非平稳随机振动分析转化为确定性时间历程分柝，从而 使计算步骤大大简化，却仍保持了理论上的精确性。对于复杂问题，计算效率大大的得 到了提高。虚拟激励法己成功应用于地震工程、风工程、海洋工程等领域。本文基于有 限元和虚拟激励法建立了求解一，二维随机激励热传导问题的数值求解模型，进行了数值 验证，得到了令人满意的结果。此外，本文还对相应的随祝逆蛔题进行了初步探讨，并 验证了相应算倒。 本文仅讨论了随机激励引起的导热体温度的随机变化，而不考虑导热体热物性的不 确定性等原因的影响。 本文研究内容主要包括娃下几个方面： 1 介绍了虚拟激励法的基本原理； 2 利用有限元霸虚拟激励法建立了随机热传导问题的数值求解模型： 3 求解了受平稳随机激励的随机热传导问题； 4 求解了受非平稳随机激励的随机热传导问题： 5 在以上研究的基础上，本文又采用逆虚拟激励法研究了随杌热传导逆问题中的 葡载识别问题。 关键词：随机过程，有限元，随机热传导，虚拟激励法，逆问题 虚拟激励法求解随机热传导问题 p s e u d oe x c i t a t i o nm e t h o df o rs o l v i n gs t o c h a s t i ch e a tc o n d u c t i o n p r o b l e m s a b s t r a c t t h et e m p e r a t u r ef i e l d so fr e a lo b j e c t su n d e rr e a lc o n d i t i o n so ft h e i rf u n c t i o n i n ga r e s t o c h a s t i c t h es t o c h a s t i cc h a r a c t e ro ft h et e m p e r a t u r e sf i e l dd e n ( 1 so nt h ed o m i n a t i n g r a n d o mf a c t o r s 0 f t e ns u c hf a e t o r $ ，s u c ha st h ep o w e r so fh e a ts o u r c e s ，t h e r m a lc o n d u e t i v i t y c o e f f i c i e n t s ，c o e f f i c i e n t so fh e a tt r a n s f e rf r o mt h eb o d ys u r f a c et ot h em e d i u m ，a m b i e n t t e m p e r a t u r e ，a n dt h ew i d t ho fg a pb e t w e e nc o n t a c t i n gb o d i e sa r er a n d o m i nt h o s ec a s e sw h e n t h er a n d o mc h a r a c t e ro ft h et e m p e r a t u r ef i e l dc a n n o tb en e g l e c t e do rh i g hr e q u i r e m e n t sa r e i m p o s e do nt h ea d e q u a c yo ft h et e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o ns i m u l a t i o n ，i ti sn e c e s s a r yt os o l v e t l l es t o c h a s t i ch e a tc o n d u c t i o ne q u a t i o n t h em o s tp r a c t i c a l l yi m p o r t a n tc h a r a c t e r i s t i c so ft h e s t o c h a s t i ct e m p e r a t u r ef i e l d sa r et h ef l e l d so f i t sf n s ta n ds e c o n dm o m e n t s ，v i z o f e x p e c t a t i o n a n dd i s p e r s i o n t h e s ea r ec a l l e dt h es o l u t i o no f 也es t o c h a s t i ch e a tc o n d u c t i o ne q u a t i o n 。 i nt h i sp a p e r , t h er e c e n t l yd e v e l o p e dp s e u d oe x c i t a t i o nm e t h o df o rs t r u c t u r a lr a n d o m v i b r a t i o ni se x t e n d e dt ot h es o l u t i o no fs t o c h a s t i ch e a tc o n d u c t i o np r o b l e m s ，b a s e do nt h e s i m i l a r i t yb e t w e e nt h er a n d o mv i b r a t i o na n ds t o c h a s t i ch e a tc o n d u c t i o n s e v e r a ln u m e r i c a l e x a m p l e sa r ec a r r i e do u tt ov e r i f yt h ep r o p o s e dm e t h o dw i 也s a t i s f a c t o r yr e s u l t s t h et h e s i sf o c u s e so nt h el a wo fs t o c h a s t i ch e a tc o n d u c t i o nu n d e rr a n d o mi n p u t s ，w i t h o u t r e g a r dt ot h ei n f l u e n c eo f s t o c h a s t i c 也e r m a lp a r a m e t e r s t h em a j o rw o r ko f t h i st h e s i si n e l u d e s ： 1 t h et h e o r yo f p s e u d oe x c i t a t i o nm e t h o di si n t r o d u c e di nd e t a i li nt h ep r e s e n tp a p e r ； 2 t h en u m e r i c a lm o d e lo f s t o c h a s t i ch e a tc o n d u c t i o ni se s t a b l i s h e d ； 3 1 1 1 ep s e u d oe x c i t a t i o nm e t h o di sa p p l i e di nt h i sp a p e rt os o l v es t o c h a s t i ch e a tc o n d u c t i o n p r o b l e m sw i t hs t a t i o n a r yr a n d o mp r o c e s si n p u t s ； 4 t h ep s e u d oe x c i t a t i o nm e t h o di sa l s ou s e di nt h i sp a p e rt os o l v es t o c h a s t i ch e a t c o n d u c t i o np r o b l e m sw i t hn o n s t a t i o n a r yr a n d o mp r o c e s si n p u t s ； 5 t h ei n v e r s es t o c h a s t i ch e a tc o n d u c t i o np r o b l e mi ss t u d i e db vt h ei n v e r s ep s e u d o e x c i t a 【t i o nm e t h o d k e yw o r d s ：r a n d o mp r o c e s s f i n i t ee l e m e n t ；s t o c h a s t i ch e a tc o n d u c t i o n ；p s e u d o e x c i t a t i o nm e t h o d ；i n v e r s ep r o b l e m 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 储躲垒趟嗍雄瑚 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教烯完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查耀和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名 导师签名 锄岛始 碰钨丝月丝曰 墼 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 引言 在实际工程中，许多热传导问题要考虑随机性的影响。一些学者对此进行了研究。 本文首先阐述和回顾随机热传导问题的相关工程背景以及研究进展，以确定本文的工作 重点。 1 2 研究背景 1 2 1 随机热传导问题的工程背景 在实际工程中，边界温度、边界热流密度、内部热源、导热系数等等往往是随机变 化的，它们对导热体的温度变化的影响在很多情况下是无法忽略不计的。在许多工程领 域都需要考虑随机性对导热体温度变化的影响。例如：在能源动力领域，对电厂锅炉进 行热应力和疲劳分析时，炉内烟气温度的随机性使得人们必须考虑各受熟面的温度偏差 对设备运行可靠性和安全性的影响【1 1 。对内燃机活塞热冲击分析时，车辆在实际运行中， 外界负荷及路况的变化具有极大的随机性，加上活塞材料的物性参数( 如导热系数、机械 强度等) 随活塞温度变化呈非线性变化，因此，活塞熟冲击问题是一个随机激励下的非线 性导热问题【2 1 。在核工业领域，核燃料芯棒中裂变元素分布的随机性会引起发热不均【i 】。 在暖通工程方面，考虑了环境温度的随机规律可以改善暖通空调系统的成本【i 】。 1 2 2 随机热传导问题的研究历史与现状 传热学界对随机热传导现象早在本世纪六十年代就有人注意。1 9 6 6 年，美国h o w a r d 大学的j c s a m u e l s 口】利用分离变量法首次研究了随机激励下平壁导热的部分规律。 a b e c u s h l 、a c a m p o 和t y o s h i m u r a t 5 ) 获得了随机热传导方程的某些解析解。a h m a d i 应用由k e l l e r 提出的摄动法6 1 求解了随机导热系数下的导热规律川。t u 嘲【9 1 、 g e o r g i a d i s d e 等b 0 解决了具有随机导热系数的一维温度场的统计计算。s u n ”j 、 p a d o v a n f l 2 】、m a d e r a ”】等人将随机有限元和随机有限差分法应用于随机热传导的研究。 随机热传导( s t o c h a s t i ch e a tc o n d u c t i o n ) 一词由俄国科学家a g m a d c t a 【1 4 1 在1 9 9 4 年提 出。b m n i c o l a i 、j d b a e r d e m a e k e t i ”】研究了边界条件是随机的热传导问题的求解方法。 a f e m e r y _ r 1 6 】将边界元法应用于随机热传导向题的研究。s c h a n t a s i r i w a n b 7 】应用无网格 法研究了随机热传导问题。x i u d b 、g e k a r n i a d a k i s b 明采用广义正交分解的随机有限 元研究传热的随机性。k m a l e k n e j a d 、f m i r z a e e 1 9 1 将线性随机传热方程转化为积分方 程进行了求解。东北大学的于国安、邓智泉和彭兆行口0 】把随机热传导应用于研究闸瓦温 虚拟激励法求解随机热传导问题 升问题，进行了闸瓦温度场的一维解析分析，描述了在制动过程中不同时刻闸瓦沿厚度 方向的温度分布以及温度场的随机特性。1 9 9 9 年，胡亚才【i j 将随机理论、统计理论、特 别是随机激励下线性动态系统的随机响应理论应用于导热随机规律的研究。沈季胜【2 】分 析了内燃机随机热冲击对活塞温度场的影响。此外，还有刘宁、刘光廷1 2 ”，刘长虹、陈 虬嘲，康健、赵明鹏和梁冰等进行了相关的研究。 1 3 本文主要工作 考虑了随机性影响的热传导问题的求解，其计算花费非常大；对于复杂的实际工程 问题，其计算的困难性将会更加明显。 针对此种情况，本文利用了有限元和虚拟激励法建立了求解一，二维随机激励热传导 妞题的数值求解模型，进行了数值验证，得到了令人满意的结果。 本文仅讨论了随机激励引起的导热体温度的随机变化，对于其它随机因素的影响， 在本文中暂不予考虑。 本文的主要工作包括： 1 利用有限单元法，采用高精度的八节点等参单元在空间域离散随机热传导方程，并 考虑到各类边界和初始条件，结合虚拟激励法建立了随机激励热传导问题的数值求 解模型。 2 进行了边界条件和内热源是平稳( 非平稳) 随机过程的随机热传导问题求解 3 在随机热传导正问题求解的基础上，又初步探讨了随机热传导的逆问题，反演了平 稳随机激励的功率谱密度。 大连理工大学硕士学位论文 1 虚拟激励法 2 1 引言 虚拟激励法 2 4 - 2 9 】是用于随机振动分析的高效精确方法其最大特点是将平稳随机振 动分析转化为简谐振动分析，将非平稳随机振动分析转化为确定性时间历程分析，从而 使计算步骤大大简化，却仍保持了理论上的精确性。对于复杂问题，计算效率大大的得 到了提高。已经在许多工程领域进行了具体的应用。例如应用于大型桥梁的风激随机振 动分析p d 】，线性转轴系统动力响应分析p ”，海洋平台随机冰力谱的识别【3 2 】等等。 2 2 随机理论基础知识踟 2 2 1 随机过程 乱随机过程的概念 对于每个时间t m t ( r 是某个固定的时间域) ，工o ) 是一随机变量。则这样的随机 变量族防似t e 州称为随机过程( r a n d o m p r o c e s s ) 。如果r 是离散时间域，则x ( f ) 是一随 机时间序列。对振动过程离散采样时，得到的就是时间序列。 如图2 i 所示，以) ，屯o ，) t o 。) 即为随机变量x ( f o ) 的一个。样本点” 图2 1 样本函数 f i g 2 1 s a m p l ef u n c t i o n b 随机过程的统计特征 随机过程的各个样本在固定时刻t 取值进行集合平均，得到随机过程的数学期望， 可表示为 虚拟激励法求解随机热传导问题 防( f ) 】= 声o ) = 弦k r ) = x 挑，f k ( 2 1 ) 式中，g 。f ) 和p k f ) 分别是x o ) 的概率分布函数和概率密度函数。 方差为 d k 啡。1 0 ) = e 盼帅圳= 腓) 一一( f ) 护仅f ) ( 2 2 ) = m ) 一一晰p g ，r 陋 自相关函数 r 加z ) = e 防o ，扮【，2 = c 厶“k 也如毛) ( 2 3 ) = c & “k 以) p “，焉，k 呶 自协方差函数 c “) = e 肛“舭o ，) 一o z ) ) 1 ( 2 4 ) = c c g “) 一p o ，) x - ：o ：) 一o ：) ) ，“f i ；x zj f z 陋- d x ： 二个随机过程o ) 和y o ) 的互相关函数为 矗w = 凇：；c 脚她妒m ) ( 2 5 ) = c d o ，批 抛姗， 互协方差函数 c ”戗，) = f 【( “) 一一z “) x r 0 ：) 一肼以) ) 】 ( 2 6 ) = c c g “) - u ，“舭o ：) 一所也) ) p g f l m f ，蛔 c 平稳随机过程 平稳随机过程的特点是其概率特性不随时间变化。严格平稳定义要求概率密度函数 不随时间变化，在工程中通常很难满足这样严格的条件。因此又引入了广义平稳( 又称 弱平稳或宽平稳) 的概念，只需平均值与相关函数保持平稳就认为是平稳随机过程。如 果仅要求协方差函数具有平稳性，对平均值的平稳性也不作要求，则称之为协方差平稳 随机过程。 随机过程o ) ，如果其任意一个时刻的值x o ) ，砒) ，x o ) 的联合分布都是正 态的，则称x o ) 为正态随机过程。由于这一个值的联合密度函数只与这一个值的均值和协 方差矩阵有关，所以对于正态随机过程而言，其严格平稳和广义平稳是等价的。 在平稳随机过程中最为重要的一类，是具有各态历经性的平稳随机过程。如果一个 平稳随机过程由集合平均和时间平均得到的所有各组概率特性都相等，那么这类平稳随 机过程就认为具有各态历经性。也就是说，其中任意一条样本曲线基本上包含了该随机 过程所具有的所有统计特性。 大连理工大学硕士学位论文 2 2 2 平稳随机过程的相关函数 a 均值 任意时刻t ，平稳随机过程o ) 的均值不变，即 o ) = e 防( f ) 】= f 知g 垮；= 常数 b 自相关函数与自协方差函数 任意时刻f ，平稳随机过程x o ) 的自相关函数为 胄。( f ) = 冒防o 皿o + f ) 】= c c 薯o k e + r 弦k ，t ；x 2 ，t + o = c 厶o k o + r b “，1 ；x 2 ，t + r ) d x d x 2 记# 0 ) 是础) 的零均值随机分量 = 工o ) 一一x ( o 的自协方差函数为 c 0 ( r ) = 。( f ) = 石皓o 蜘+ d l 因此，不论平均值为多大。x ( f ) 的自协方差函数都是相同的。 c 互相关函数与互协方差函数 平稳随机过程x o ) 和托) 的互相关函数( f ) 和r 。( f ) 为 ( f ) = 层o + r = c + r 如k f + r ) = c + r 1 p 一姗 b ，( f ) ；f 【y 0 弦o + f ) 】= c 胱+ r ) 护饥r ；而，+ f ) ；c 胱+ r ，t ；x , t + r ) d x d y 互协方差函数为 o ( f ) ；( f ) = 础o + r c 。= r 。( f ) = 占b o 磐o + r 2 2 3 平稳随机过程的功率谱密度 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 相关函数体现了随机过程的时域特征，而功率谱密度函数( p s d f ) 则反映了随机过 程的频域特征。 a 自功率谱密度函数 设如) 是各态历经平稳随机过程工o ) 的一个样本函数( 符号“”表示随机过程的样 本函数) 。它在区间t e ( _ 鸭m ) 内一般是不绝对可积的。为此可以定义一个辅助函数 j ，d ) ： 钝) 。叫2 螂吖2 ( 2 1 4 ) io t 为其它值 定义 虚拟激励法求解随机热传导问题 屯= 驶专阵驴1 2 ( 2 i s ) 为j 0 ) 的自功率谱密度函数，则 咖2 ( f ) 】= e 矿 ( 2 1 6 ) 当x o ) 为零均值平稳随机过程时，方差为 一= 矿 ( 2 1 7 ) 所以只要求出了自功率谱密度函数s 。，就可以求得其方差。对于正态随机过程 而言，就等于得到了其概率分布( 或密度) 函数，其概率特性就完全确定了。 b 维纳辛钦关系 维纳和辛钦证明了平稳随机过程膏( f 的自功率谱密度函数和自相关函数 构成傅氏变换对，即 = ( f ) e 7 如 ( 2 1 8 ) 。( f ) = f x e ” ( 2 1 9 ) 根据维纳一辛钦关系，在自功率谱密度函数( 厂) 和自相关函数( f ) 之中，只需任意 求出其一，另一也就可以立即求得。 若用圆频率m = 2 n 作为积分变量，则维纳一辛钦关系可以写为 白) = 去( f ) e - , u w 打 ( 2 2 0 ) ( f ) = 如e “如 ( 22 1 ) 平稳随机过程的自功率谱密度函数如0 ) 的主要性质有： ( 1 ) 是非负实数。 白) 0 ( 2 2 2 ) ( 2 ) 是一偶函数。 ( 3 ) b ) ；m 2 0 )白) = m 。白) ( 2 2 3 ) 在负频率处的功率谱值并无直观的物理意义。在工程应用中，往往引入如下单边功率谱 密度函数 吒) = ：笔 ( 2 2 4 ) 考虑到如) 是一偶函数，于是由( 2 2 1 ) 式 砖= 如( o ) = 妇跏= 2 f 白= f g 。如 ( 2 2 5 ) c 互功率谱密度函数 大连理工大学硕士学位论文 互功率谱密度函数定义为 s a , 4 - 去k 镰d r ( 2 2 6 ) = 石1c k ( r k “出 ( 2 2 7 ) 2 ，2 4 线性系统的脉冲响应函数和频率响应函数 脉冲响应指系统对单位冲量作用的响应，它表征系统在时域的动态特性：频率响应 是指系统对单位复简谐激励的响应。它表征系统在频域的动态特性。两者有确定的关系， 即傅氏变换对的关系。 a 脉冲响应函数 考虑初始静止单自由度体系。设在初始时刻作用一个单位脉冲艿o ) 。艿o ) 可看作是在 一个非常短暂的时间间隔一内作用以一个常量力1 一，亦即看作一个d i r a c 函数。于是该 体系的运动方程为 i 戊+ c + _ b = 占( f ) i 如) ；也j ( o ) = 0 ( 2 2 8 ) 应用冲量定理。曲；p a t ：i u = 1 ，可以将初始时刻的单位脉冲转化为在f ；时刻的速度， 一 即a v f f i l m 。 因为口非常微小，所以系统可以视为仍处于初始时刻，于是以上运动方程转化为以下形 式 r a + 商+ h = 0 1 荆；o ；i ( o ) = l m ( 2 2 9 ) 它的解，记作谁) = 砸) ，是 ( ，) ： 磊i 8 。“s 。m 白，) 2 0 ( 2 3 0 ) 【0 t 4 ”d r ； p k ( f 一日k ”d 甜r = ( 咖。2 ”d 口屯( f 一日k 4 州“d ( f 一 = h 0 l l ( 厂) 相似地可得 s 。( ，) = ( 厂s o c 厂) 以上三式的结果也可仍用圆频率m 来表示，成为 殴) = i 0 1 2 叉= 丹如k 殴) = 日( 4 s 。如) 利用以上各式，不难对多输入扛蚴= k 娃艺o k ，o ) ) 7 ，多输出龇) ) ； 情况写出其响应的谱矩阵 k 例= 口r i s = p r 以及输入与响应之间的互谱矩阵 ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 a ) ( 2 ，5 3 b ) ( 2 5 3 c ) 执o l 咒0 1 ，儿o ) 】r 的 ( 2 5 4 ) k 0 = k 0 w 旧r ( 2 5 5 a ) k 训= 陋r p 。训 ( 2 5 5 b ) 涉及响应的功率谱矩阵i 】、陵】及i 砖】都可由激励功率谱矩阵k 】与频响函数矩阵陋】通 过简单的矩阵乘法来得到，而无须进行积分计算。由于计算上的方便，这些公式在工程 中得到十分广泛的应用。但是对于大型问题来说，除了生成矩阵陋】之外，还要取许多 离散频点直接按( 2 5 4 ) 式进行矩阵连乘，效率很低。 e 协方差矩阵的计算 将撕) ) 与执) ) 表为 燃5 慰搬l ( 2 ，5 6 ) 狮) j ；饼+ 如鲫 ” 其中斜与眵 为扛【f ) 与龇) 的均值分量。则扛( f ) ) 与移( f ) 】的协方差矩阵，亦即倍( f ) ) 与矾* 的 互相关矩阵，是 如如州= 矗。( f ) ( f ) ( f ) ( f ) r 。* ( f ) ( f ) l( 2 5 7 ) r ；。r 。钠r 。t f l l 第j 行、第，列元素c o v k ，乃) 可由维纳一辛钦关系得到 c o v b 。一) = 心。( f ) = fs , 。0 ) e “如 ( 2 5 8 ) 虚拟激励法求解随机热传导问题 若平稳随机过程y o ) 是激励z o ) 的响应，则其相干函数为 帕) = 揣 ( 2 i5 9 ) 对于严格线性的系统而言，正如) 恒为1 。 2 3 结构随机响应的虚拟激励法 2 3 1 平稳随机激励 线性时不变系统在平稳随机激励 球) 的作用下，设其功率谱矩阵为【& ( 妨】，为计 算任意响应 y ( f ) 的功率谱矩阵 勤( 功 及它与激励间的互功率谱矩阵 ( 动 和 ( 回 ，传统计算公式为 勤( 功 - 【日r 【( 训【r ( 功 = 【日九& ( 训 ( 2 6 0 ) 岛( 功 = 【( ) 】【日】r 【h 】为频率响应矩阵，上标+ 表示求复共轭，上标t 表示求转置。以上公式形式简洁， 被认为是线性随机振动分析的核心作用理论成果，成为平稳随机理论工程应用的基础。 但如果工程结构具有很高的自由度时，即使采用振型迭加法降价处理。计算量也十分庞 大。虚拟激励法将上述基本算法做了进一步推进，使随机振动问题的计算效率得到了极 大的提高。为工程界应用这些理论成果提供了极其有效的手段。 ( 4 ) & 任日一= p 1 2 “伍丑一y 一 ；再w 伍团一歹= 厨 i = 瓜匠羔二嚣； 圈2 1 虚拟激励法的基本原理图 f i 2 2 1b a s i cv r i n c i v l eo f t h ev s e u d oe x c i t a t i o nm e t h o d 1 2 一 大连理工大学硕士学位论文 a 单点激励或同源多点同相位激励 虚拟激励法的基本原理可用图2 i 所示的单源激励问题予以阐述。在图2 1 ( a ) 中， ( 曲为一个零均值平稳随机激励x ( t ) 的自功率谱密度，日( 功为结构频率响应函数， 则任意输出响应量_ ) ，( f ) 也为平稳随机过程，其功率谱密度如图2 1 ( a ) 右端所示。 当线性系统作用单位简谐激励e x p ( i w t ) 时，相应的响应为h e x p ( i o 瞳 ) ，如图2 1 ( b ) 所 示显然，当作用为简谐激励孑= 瓦( 妨e x p ( 栅) 时，其相应的响应必为 夕= ( w ) h e x p ( i a , , t ) ，如图2 1 ( c ) 所示。将带“”的蹙称为虚拟量。 考虑简谐激励舅= ( 功e x p ( i w t ) 作用于线性系统，容易证明响应量歹和自谱密度函 数岛有如下关系式 夕萝= 钟- - 1 日1 2 ( 功= 勘( 叻 ( 2 8 1 ) 同样，也容易证明互谱密度函数、s 。同激励工和响应y 之间有如下等式成立 雾，= 0 s 。e x p ( i r a t ) 0 s 。h 哪堪= s 。h = s 。 ( 2 6 2 ) 矿i = 0 s 。鼢曩e x p ( i 肼) 0 s 。唧t ；啦= h - s 。 = s 口 心6 3 ) 在上述虚拟简谐激励孟= ( 回e x p ( f 耐) 作用下，考虑两个响应量只和凭，其相应的频 率响应函数分别为县和码，如图2 1 ( d ) 所示。贝有 歹i “y 2 = ( 功q e x p ( i a 】t ) ( 耐吃e x p ( i t o t ) = + s f f i ( c o ) h ：= n ( 谚 ( 2 6 4 ) 兄+ 歹。= 见e x p ( i c o t ) ( 叻日e x p ( i w t ) = - 2 q = 矗h ( 奶 ( 2 6 5 ) 由式( 2 6 2 ) 至式( 2 6 5 ) 可以看出，通过引入虚拟激励i = ( 功e x p ( i c o f ) 可以很方便地通 过简谐振动分析计算计算结构随机响应的功率谱。 对于线性时不变系统受单源多点同相位平稳随机激励问题，则可将随机激励代之以 虚拟简谐激励膏= 6 ) 瓦( 动e x p ( i t o t ) ，其中实值向量 6 ) 为幅值向量，岛2 ( 西为第f 个 激励的自谱密度。设 歹j 和 z 为由该虚拟激励激发的两种稳态简谐响应，则下列谱密度 矩阵公式成立 b ( 功 = 研防 阪( 功 = 研汀 ( 2 6 6 ) 陵( 刎= 汀f 辫7 若将激励 斟看作一类特殊的响应，则式( 2 6 6 ) 便具有式( 2 6 0 ) 的功能。 虚拟激励法求解随机热传导问题 b 单源多点异相位激励 用虚拟激励法很容易处理线性时不变系统受单源多点异相位平稳随机激励问题。只 需要很少的计算量就可以得到理论上的精确解。假设线性系统受单源多点异相位平稳随 机激励为 x ( f ) = - 0 一岛) ( 2 6 7 ) 各输入具有相同的函数形式m ) ，只是存在不同的初相位。设缸f ) 的谱密度为c o j ) 。 口，( ，= 1 ，2 ，”) 是实数；f ，( ，；l ，2 ，n ) 为滞后时间。这种多相位随机激励问题可看作 广义单激励问题。在求解时可构造虚拟激励 f 口i 唧( - 嘲) 1 z ( f ) ) ： 吒唧( ：- i 叱 丽e x p ( f 耐) ( 2 6 8 ) 【钙唧( _ f 纠) j 只要求出该确定性激励作用下系统的稳态简谐响应 y ) 、 z 等，就仍可按式( 2 6 6 ) 计g 有关的功率谱密度矩阵a 如将 石) 看作一类特殊的响应 z ，同样可以按式( 2 6 6 ) 计算与 响应间的互谱密度矩阵。 2 3 3 虚拟激励法的特点 以结构受单源同相位平稳随机地震激励为例，此时结构的运动方程为 阻】 j ；) + 【c 】 夕 + 【置】 y ) = 一阻】( e ) 墨 ( 2 9 7 ) 其中 e ) 为惯性指示向量；专为地面加速度，其功率谱密度( 功已知。 对于上述问题，传统的c q c ( c o m p l e t eq u a d r a t i cc o m b i n a t i o n ) 算法为 岛( 叻 = 窆窆研( 功q ( 奶 妒) ： 刃：( 奶 ( 2 9 8 ) j i ij - i 其中 伊 ，、日f 分别为第_ ，阶阵型向量及相应的振型参与系数和频响函数。这是平 稳随机响应理论上的精确解。但由于式( 2 9 8 ) 的计算量很大，当结构的参振频率分布稀 疏且各阶阻尼比很小时，许多文献都推荐将式中的交叉项忽略，得到 m 础；m 旧隅 大连理工大学硕士学位论文 易( 劝 = 窆乎 或 彬阿( 酬2 ( 2 9 9 ) 这一算法称为s r s s ( s q u a r er o o to f t h es u mo f s q u a r e s ) 。 如采用虚拟激励法( p s e u d oe x c i t a t i o nm e t h o d ，简称p e m ) ，则按下式计算 陬( 幼 = 研 y ) 7 j ， ：妻_ q ( 动 妒 ，小：丽 2 1 0 0 其中，哺应 力为虚拟激励f y 8 ) = 一阻j 曰0 i 二丽e x p ( 耐) 作用下计算得到的筒谐响 应。实际上，如果将式( 2 1 0 0 ) 展开就可得到式( 2 9 8 ) 。两式计算步骤不同，但在数学上 是等价的。故用虚拟激励法求出的响应功率谱矩阵也是理论上的精确解。 如果令 协，= 髟( 回，厄 ( 2 1 0 1 ) 则c q c 、s r s s 和p e m 三种算法可表示为 c q c 算法 ( 功 = 芝童协： z ； ( 2 1 0 2 ) s r s s 算法 ( 功 = 主饼： z ： ( 2 1 0 3 7 p e m 算法 e 回 = ( 喜斜j ( 委 ： ，) 7 ( 2 1 0 4 ) 从式( 2 1 0 2 ) 、( 2 ，m 3 ) 和( 2 1 0 4 ) 可以看出，三种算法在计算响应功率谱矩阵时， 分别要计算q 2 次、q 次1 次月维向量相乘。对于大跨度桥梁，由于空间振型的耦合作 用，参振型数口需要取1 0 2 量级，可见三种算法计算量上的差别是巨大的。p e m 算法 和传统c q c 算法都为理论上的精确解，计算效率却相差2 - 4 个数量级。s r s s 算法的 假定条件在三维分析时很难满足，计算结果并不准确，其计算量却比p e m 算法大得多。 2 4 小结 虚拟激励法是近些年在理论及实际工程中得到广泛应用的动力方程求解的新方法， 其较传统计算方法在精度和效率方面的优越性已经得到了广泛的验证。本章给出了这种 方法的基本原理及应用，是后续章节分析计算的理论基础。 虚拟激励法求解随机热传导问题 3 导热系统受平稳随机激励的响应分析 3 1 引言 众所周知，工程中的导热体离不开周围的液体介质，对导热温度有重要影响的液 体温度及流动往往是随机的。研究外界温度的随机变化对导热体温度的影响规律，是随 机热传导的重要内容。也是适用性最广、最有应用价值的一个方面。引起导热体温度随 机变化的其它原因还有随机的内热源、初始条件的随机变化和导热体热物性的随机性。 此外，导热体几何形状的随机变化也能引起导热体温度随机变化。以上的事实在导热中 具有极大的普遍性，研究这些事实中的随机性对导热规律的影响，也具有普遍性的意义。 本文仅讨论随机激励下的导热规律而不打算对上述的几种情况都作分析。 3 2 随机热传导方程及有限元方程 3 2 1 随机热传导方程 随机非定常热传导问题的控制方程可写为【1 4 1 ： 卢詈+ 砒妒= q 功 丁代表随机湿度场，q 代表热源的相关项， 坐标向量。 边界条件可写为： t = 瓦g ，t ，功 z o ( 3 1 ) q 代表问题的域，z = 伉，x 2 ，而) 代表三维 k ( x , t ，功婴= q ( x ，毛功 | g ，f ，甸罢+ 口g ) 口一l 0 ，f ，刎= g g f ，国 初始条件可写为：r g ，0 ，动= 矗g ，功 随机算子4 g ，f 动的形式： 舭咖一喜甜如 动期+ c ，咖 在方程( 3 1 q 6 ) 中国是表示随机单元事件。k ，口，c 是热物性参数。 本章仅讨论平稳随机激励下的导热规律，上述控制方程可简化表示为： ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 大连理工大学硕士学位论文 p p - = a - t + 彳g ，f f = q g ，f ) ( 3 7 ) 边界条件： ，= 五& d ( 3 。8 ) j i 娶：口 ( 3 9 ) | | g ，f ) 娶+ a g ，f ) 口一疋g ，f ) 】：g g ，f ) ( 3 1 0 ) 初始条件：r g ，o ) - - 兀g ) ( 3 i z ) 算子一g ，f ) ： 如悟 爿删朗”妒 ( 3 1 2 ) 3 2 2 随机有限元方程 利用加权余量技术，方程( 3 ”1 2 ) 离散的有限元形式为【3 3 】： 取弦m 【c 悟小舻( f ) ( 3 1 3 ) 【q 是热容矩阵，【明是热传导矩阵， q 与【捌都是对称的正定矩阵；伊( f ) 是温度 荷载列阵。 矩阵嗣，陶，护e ) 的元素由单元的相应的矩阵元素集成，即 k 。= 巧+ 蟛 ff q = q f 鼻= 琵+ 巧+ fff ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 b ) 式中k 。，是单元对热传导矩阵的贡献。日。是单元热交换边界对热传导矩阵的修正，c i ，是 单元对热容矩阵的贡献，露是单元熟源产生的温度荷载，只是单元给定热流边界的温 度荷载，巧是单元的对流还热边界的温度荷载。 3 3 虚拟激励法求解平稳随机热传导问题 在随机导热过程中，求出时间函数的频率结构( 即把函数展为f o u r i e r 级数或f o u r i e r 积分) ，从而把时域上的讨论转为频域上的讨论是一种行之有效的方法。谱密度在工程 虚拟激励法求解随机热传导问题 上常看成随机振幅，而平稳过程则是具有随机振幅的随机简谐振动的线性叠加。关于随 机温度激励的相关分析与谱分析，统计分析与参数估计，有很大的实用性。 随机热传导的主要任务之一，就是根据激励的统计特性和系统特性，求出响应的统 计特性，即温度场的均值，均方值，自相关函数，功率谱密度等。 鉴于虚拟激励法可以非常方便高效的求出响应功率谱密度，所以本文将虚拟激励法 引入到随机热传导问题的研究。 3 3 1 有限元方程 以一维随机瞬态热传导方程为例： 胪詈+ t 窘= q g ，r ) ( 3 1 7 ) 边界条件： 七娑= 9 k f ) ( 3 1 8 ) 初始条件：r g ，o ) = 瓦g ) ( 3 1 9 ) 七为常数。 考虑热传导边界热流密度g 是同源的( 形式和相位完全相同的) 平稳随机过程( 但幅 值可相差一常数倍) ，热源q 为零：不失一般性，假定g ( f ) 为一零均值平稳随机过程， 其功率谱密度疋已知。 式( 3 1 7 3 1 9 ) 进行有限元离敖，可表示为： 【c 】留 + k 1 口 = 扫) 茸( f ) ( 3 2 0 ) f c 】是热容矩阵，【司是热传导矩阵，f c 与【吲都是对称的正定矩阵。 有限元方程( 3 2 0 ) 采用模态叠加法分解口3 1 ，其齐次形式是 【c j 挈+ 刚r - 0 ( 3 2 1 ) 该方程的解假设为如下指数形式： 研= p “ 代h ( 3 2 1 ) 式得到 ( - 科c 】+ f 足】) 刃= o 上式要有非零解，则要求 i x 卜科c l = 0 ( 3 2 2 ) ( 3 ，2 3 ) ( 3 2 4 ) 大连理工大学硕士学位论文 显然式( 3 2 4 ) 是广义特征值问题，当c 和k 是正定矩阵时， 值，可求得一组相应的特征向量 ) ，也可称为模态。 对于i j ，则有 玎【x 】 辨，- - 0 泐h c 】 辨，= 0 对于i = _ ，则有 m 是正实数，对应每个特征 模态有相互加权正交的性质， ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 硝【吲 ) ，= k s ( 3 2 7 ) 形 ；【c 】 纯= q ( 3 2 8 ) 在从齐次方程( 3 2 1 ) 求出特征值与特征向量后，利用模态叠加法求式( 3 2 0 ) 的瞬态响应。 令 r ) = 归】伽鼢= “，铆， ( 3 2 9 ) 将陋r 左乘以方程( 3 2 0 ) 各项，并以( 3 2 9 ) 式代入，得 扛缸 + j 啦 = 睁】，妇 q ( f ) ( 3 3 0 ) 分解得n 个独立的单自由度方程 阮+ c t l = 吼 3 - 3 1 1 其中p l = 庐) j p ) g ( f ) ( 3 3 2 ) 3 3 2 一阶线性系统脉冲响应函数和频率响应函数 频响函数 一阶单自由体系 c 骨( f ) + b c ( f ) = e “ 令x ( t ) = 日( 功g “ 方程可表示为： c n ( 神f 钟“十k h ( 功= e “ 于是方程( 3 3 3 ) 的频响函数为 1 日( 动。孟矗 同理对于微分方程组 k y ( t ) + c y ( f ) = ，( f ) 频响函数矩阵可表示为； i - i ( 功- k + i a x 7 “ ( 3 3 3 ) ( 3 3 3 )