（固体力学专业论文）张拉膜结构的有限元静力分析.pdf

中山大学硕一l 二学位论文 中山大学硕士学位论文：张拉膜结构的有限元静力分析 专业：固体力学 硕士生：赵大伟 指导教师：陈树辉教授 摘要 本文采用有限元方法对平面膜结构进行静力分析。 首先分别采取几种不同的单元：3 节点三角形单元、6 节点三角形单元、4 节点矩 形单元和8 节点矩形单元，对平面膜结构进行了有限元静力分析，推导平面应力膜单 元刚度矩阵和荷载列阵，得出静力平衡方程。针对每种单元编制相应的f o r t r a n 程序， 计算了具体算例，比较各个单元划分下的计算结果，并且分析不同单元的特性。 然后采用平面四节点矩形单元对平面膜结构进行了非线性有限元分析。采用 n e w t o n r a p h s o n 法求解非线性方程组，编制m a t l a b 程序，通过算例，分析了几何非 线性、张拉刚度矩阵、初始预应力等因素对位移的影响。 关键词：张拉膜结构；有限元法；静力分析；几何非线性 张拉膜结构的有限元静力分析 t h es t a t i ca n a l y s i soft e n s i o nm e m b r a n es t r u c t u r e b y f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s p e c i a l i t y ：s o l i dm e c h a n i c s n a m e ：z h a od a w e i s u p e r v i s o r ：p r o f c h e ns h u h u i a b s t r a e t i nt h i sp a p e r , t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di sa p p l i e dt ot h es t a t i ca n a l y s i so ft e n s i o n m e m b r a n es t r u c t u r e i n c h a p t e rt w o ，f o u rm e m b r a n ee l e m e n t si n c l u d i n gt h r e e n o d et r i a n g u l a re l e m e n t ， s i x - n o d et r i a n g u l a re l e m e n t ，f o u r - n o d er e c t a n g u l a re l e m e n ta n de i g h t - n o d er e c t a n g u l a r e l e m e n ta r ee m p l o y e dt od ot h es t a t i ca n a l y s i so fp l a n em e m b r a n es t r u c t u r e t h es t i f f n e s s m a t r i xo fp l a n es t r e s sa n dt h el o a d i n gm a t r i xf o re v e r ye l e m e n ta r ed e r i v e d t h ef o r t r a n p r o g r a m sa r ec o m p i l e d s e v e r a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt os h o wt h ee f f i c i e n c yo ft h e e l e m e n t s i nc h a p t e rt h r e e ，t h ef o u r - n o d er e c t a n g u l a re l e m e n ti se m p l o y e dt od ot h en o n ，l i n e a r f m i t ee l e m e n ta n a l y s i s t h en e w t o n - r a p h s o nm e t h o di s a p p l i e dt o s o l v et h en o n l i n e a r e q u a t i o n s s e v e r a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt oa n a l y s et h ee f f e c to f t h eg e o m e t r i cn o n l i n e a r i t y , t h ep r e s t r e s s ，t h et e n s i l es t i f f n e s sm a t r i x , a n ds oo n k e yw o r d s ：t e n s i o nm e m b r a n es t r u e t r u r e ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ：s t a t i ca n a l y s i s ； g e o m e t r i cn o n l i n e a r i t y n 论文原创性声明内容 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引 用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或 撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：卡卡 日期：a , i 一年歹月多e t 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定 机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢 利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室 被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索， 可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 n 学位论文作者签名：名卟导师签名：r 事- 厂矛q r 乏卜 e t 期：凡p 年6 月 日日期：【o 年月?日 中山大学硕i 学位论文 第一章绪论 1 1 引言 建筑大师富勒一直在寻求全张力结构体系，他认为：自然中并不利用实际存在的 抗压性，因此在结构中也应该尽可能的减少受压状态而使结构处于连续的张力状态， 从而“让压力成为张力海洋中的孤岛”【1 l 。 一个最为经济的结构它应当满足这个结构中最大限度多的构件均受拉力，这样它 就可以充分的利用材料的强度，特别是对于大跨度结构。膜结构就是建筑与结构的完 美统一，具有很好的材料效率和结构效率，是一种典型的张拉结构体系。在1 9 7 0 年日 本大阪万国博览会上膜结构第一次集中展示并引起广泛的关注。在经历了半个多世纪 的发展，其现已成为一种成熟的结构体系嘲。 为了使柔软的膜材产生空问刚度并承受外荷载，可以通过对其施加预应力实现。 在材辩构造和受力特点方面。与传统的砖石、钢筋砼等传统的承重结构相比，这种新 颖的建筑结构体现出报多优势，可以在诸如体育馆、马戏团等大跨度、大空问的建筑 中实现人们所追求的那种特殊的空间效果，如图卜1 所示几种现代大型膜结构建筑( 引 自建设阿httowwwbuildnetcnr2 0 1 0 年4 月1 51 3 ) 。现代膜结构在美国、日本、欧 洲等工业化国家发展较早在我国首次应用是上海八万人体育场，目前在中国也有很 大的发展，比如水立方以及其他大型膜结构建筑还有已经完工投入使用的2 0 1 0 年上 海世博园区世博轴膜结构大型建筑等。 张拉膜结构的有限元静力分析 圈卜1 现f 噍结构建筑 在薄膜结构的发展过程中先后出现了充气式膜结构和张拉式膜结构两种基本形 式。所谓充气膜结构，与气球的原理相似，就是利用膜内外空气的压力差为膜材施加 预应力，使膜面能覆盖所形成的空间。上世纪7 0 年代始，l u k a s i c w l c z 与pgg l o c k n e r s 等首先对充气膜结构进行了研究，对规则形状的预张力充气膜建立了静力计算方程。 对结构受不同荷载的情况进行了分析。充气膜结构实现了大型体育馆的室内化、大型 娱乐设施以及便携式膜结构等大跨结构，取得了极佳的技术经济效果，但其中也存在 着不少问题。丁是人们更多地专注于研究张拉膜结构。 所谓张拉膜结构就是通过给柔性的薄膜施加预拉力使之具有空间剐度并承担外荷 载的结构形式。通常张拉膜结构由薄膜、支架、钢索及边缘构件组成。当结构覆盖空 间的跨度较小时，可以通过膜面内力直接将荷载传递给边缘构件，即整体式张拉膜结 构i 当跨度较大时，由丁既轻且薄的膜材本身抵抗局部荷载的能力较差，难以单独受 力，需要与钢索结合，形成索一膜组台单元：当跨度更太时，可将结构划分成较多个 较小单元，形成多个整体式张拉膜单元或索膜组合单元的组合结构。 从受力特性上看，由于薄膜结构没有抗弯刚度和抗压刚度，柔性膜只能承受面内 拉力，在垂直丁膜面荷载作用下产生的弯矩、剪力都需通过结构的变形转换为面内拉 力。当其受较大竖向荷载，特别是集中荷载，或初始曲率较小时由垂直于膜面的位 移引起的面内变形会很大，导致面内的拉力也会很大。为了防止膜内拉力过大引起结 构破坏，预应力膜面应避免受集中荷载，并且初始形状最好保证具有一定的曲率。冈 此张拉索一膜结构本身也可以属于壳体范畴”1 。 中山大学硕士学位论文 1 2 膜材的力学性能 现代建筑膜材一般由中间层和外涂层组成。中间层称之为纤维纺织布基层，是受 力构件，起到承受和传递荷载的作用；外层称之为树脂涂层织物，树脂涂层除起到密 实、保护基层的作用外，还具备防火防潮、透光隔热等性能。它们均属于复合材料【3 1 。 1 2 1 膜材产品 将各种纤维纺织布基层与树脂涂层相结合可以得到多种建筑膜材，常用的有：外 涂聚四氟乙烯的玻璃纤维膜( 一般称之为p t f e 膜材) 、外涂聚氯乙烯的聚酯纤维膜( 一 般称之为p v c 膜材) 和外涂硅酮的玻璃纤维膜。膜材的厚度一般为l m m 左右，自重 约为l k g m 。永久性建筑中一般用p t f e 膜材，临时性建筑一般应用p v c 膜材【3 1 。 1 2 2 膜材的本构模型 如前所述，建筑膜材由基层和涂层两部分组成，其受力特性主要是由纺织成形的 基层纤维布决定。纤维布的力学性能和变形方式与制造工艺和经纬编制方式都有密切 的关系。 由于膜材薄且柔，在结构中只能承受拉力作用，故其力学性能就是指其在拉力作 用下所表现出来的性能，可通过单向拉伸实验来测的。膜材的应力应变关系具有非线 性性质，且在初始受力阶段较大。而当拉力达到一定值以后，非线性程度将降低。由 于膜材均为柔性材料，为使其具有一定的形状和刚度必须施加预应力，这使得材料的 非线性程度在承担荷载阶段得到显著降低，故在受力分析阶段可做弹性假设【4 】。 1 3 膜结构设计概述 膜结构的设计由于其自身的特点不同于一般传统结构形式，技术上必须经过如下 三个步骤。 1 3 1 初始形态分析( 找形分析) “在膜结构初始形态确定阶段，基于已确定的边界条件，得到均匀预应力分布下 的最小曲面或者应力分布不均匀的平衡曲面的过程就是所谓的找形”吲。 找形分析是膜结构设计的基础。传统的观点认为最优化的膜结构形态应该满足“膜 张拉膜结构的有限元静力分析 面预应力处处相等”的原则，其相应的形状就是最小曲面。最小曲面稳定性好且膜面 几何最光滑。最早的膜结构找形分析方法是物理模型法，其中主要包括肥皂模型法和 丝网模型法，此类方法得到的均为最小曲面。但是用物理模型法确定初始曲面，不但 设计量测极为不便，而且测量精度也难以保证。随着计算机技术的迅猛发展，不少学 者提出并发展了以计算机技术为依靠的张力结构的找形分析，逐步取代了传统的模型 量测法。在初始形态分析的研究过程中，国内外学者大多采用动态松弛法【铺】( d y n a m i c r e l a x a t i o nm e t h o d ，简称d r 方法) ，非线性有限元法【9 1 ，力密度法和能量法【1 1 1 等。 由于膜结构柔且薄，是通过预张力来产生空间刚度，因此对载荷作用很敏感。所 以所谓的最优曲面在载荷作用下必将发生较大变形，膜面的预应力分布也必将变得不 再均匀。所以通常是通过对具体膜建筑的功能分析，基于专业的思考和经验来衡量建 筑需求和结构可行性，提出初步的建筑造型方案从而得出空间膜结构的基本造型，此 类找形就不是最小曲面。总之，膜结构的初始形态分析不但要满足边界条件和合理预 张力的要求，而且得满足建筑造型和使用功能的要求。膜结构中的预张力值应根据膜 材类型、膜面设计荷载可能产生的变形以及施工等因素确定。预张力设计值必须保证 在荷载效应组合下，所有索、膜构件均处于受拉状态【9 】。 1 3 2 荷载分析 膜结构的荷载分析是找形分析的后续步骤，主要包括静力分析和动力分析 1 2 - 1 5 】。 在经过初始形态分析确定几何形状，以及确定预张力的基础上，然后进行膜结构的荷 载效应分析。在分析过程中应考虑各种可能的荷载组合情况( 膜结构技术规程规定) 对膜结构内力和变形的影响。通过荷载分析，可以检验找形后的膜结构在外荷载作用 下是否安全。当计算结果不能满足要求时，应重新确定初始形态。 膜结构受到的力一般包括体积力与面力。风荷载与雪荷载等外部荷载属于面力， 自重属于体积力。膜结构对风的动力作用十分敏感，在设计中必须考虑风的动力作用。 计算膜的内力和位移时，应考虑风荷载的动力效应。对于形状较为简单的膜结构可采 用乘以风振系数的方法考虑结构的风动力效应【1 6 】。 与形态分析类似，在荷载分析的研究过程中，一般采用的方法有动态松弛法【锄】、 非线性有限元法【9 】、力密度法和能量法等。主要是计算膜结构在受荷载情况下， 膜面产生应力重分布后最大应力值是否还满足强度等要求。同时，由于膜只能承受拉 4 中山大学硕士学位论文 力，因此在荷载分析中要验算薄膜是否处于受压状态。国内外有不少关于此类问题的 研究文献，大多采用最大应力值来判定膜材是否出现受压状态，若最大主拉应力小于 0 则处于受压状态，表示有褶皱出现。可以通过修正受压单元刚度来减小或忽略受压 单元对整体刚度矩阵的作用，再重新回到原来的非线性方程组进行迭代求解。若迭代 求解过程中计算不收敛，则证明由于应力重分布导致局部单元刚度不足，需重新进行 找形。此时可以通过调整边界条件或预张力大小后重新进行结构的荷载分析。 1 3 3 裁剪分析 裁剪分析是膜结构设计中的一个关键问题，其目的是将由找形分析得到并经荷载 分析后符合要求的预应力状态的膜材空间曲面剖分，然后转换成无应力的平面下料图， 以便对市售膜材进行裁剪，再热合成整体，通过施加预应力以张拉成设计曲面f 5 1 。裁 剪下料图的准确与否直接关系到施工安装后的平整度，即形态分析所得的膜曲面与实 际施工安装后的曲面形状是否相吻合，进而影响到荷载分析结果的准确性。 裁剪分析通常包含如下三个步骤【5 】： ( 1 ) 将空间膜面剖分成空间膜条，膜条的边界位置就是未来热合缝之所在，膜条 的最大宽度要小于拟用膜材的幅宽； ( 2 ) 将空间膜条展开成平面膜片； ( 3 ) 进行应力状态向无应力状态的转换，亦即释放预应力，进行应变补偿。 裁剪分析方法主要有：物理模型法、力学模型法和几何模型法等。与找形技术的 产生及发展过程相类似，裁剪分析也是从量测肥皂模型、丝网模型物理模型开始的。 现代概念上的裁剪分析，主要还是依赖于计算机技术的发展而发展的。在此过程中， 各国学者提出了一些不同的方法，如测地线法、有限元法、优化分析法等等。每种方 法都有其优点，但都有不同程度的近似，且不能完全适应复杂多变的几何外形。从应 用程序的角度来看，测地线法( g e o d e s i cl i n em e t h o d ) 1 7 q s 应用比较广泛。测地线为 空间曲面内任意两点最短曲线，在切平面内展开为为直线。采用测地线裁剪膜片面积 最小，膜纤维与主应力夹角最小，使用受力性能最好。测地线法最早由i s h i i 提出。在 总结前人经验的基础上，国内学者倪志军提出采用最小势能原理【1 9 】，证明了用几何非 线性等张力索在膜面上自由滑动可以寻找测地线。使得测地线的精度，收敛性，计算 速度都得到了很大提高，可以用于现在大多数的膜结构裁剪设计。 张拉膜结构的有限元静力分析 综上所述可见：找形分析是基础，荷载分析是关键，裁剪分析是目标和归宿。 1 3 4 影响膜结构找形、受力计算和裁剪分析的主要因素 ( 1 ) 预应力膜面用以找形和荷载分析的数值模型都要精确考虑后续的裁剪制作。 ( 2 ) 除了考虑结构变形引起的几何非线性问题外，还要考虑索松弛和膜材褶皱引 起的材料非线性问题，还应考虑褶皱对膜材应力及应变关系的影响等。 ( 3 ) 由于膜结构的质量轻，其刚度低，需考虑周围与之接触的空气引起的附加质 量。 ( 4 ) 剪应力的影响。因为膜材剪切刚度很低，剪应力总是很小，所以在数值模拟 方法中往往忽略了剪应力的影响。然而在应力高度集中的区域，尽管剪切刚度很低， 仍会对应力流产生显著的影响，进而影响膜材的剪切刚度。 1 4 平面问题的有限单元法概述 1 4 1 有限元法基本思想 早在几个世纪前，“有限元这个理念就已产生并得到了应用，例如用有限个直线 单元逼近圆来求得圆的周长。但作为一种系统的方法而被提出，则是最近几十年的事， 起源于上世纪5 0 年代航空过程中飞机结构的矩阵分析。这种处理问题的思路在1 9 6 0 年被推广来求解弹性力学的平面应力问题，并且开始采用“有限单元法 这个术语。 有限元法的基本思想是假想的把一连续体分割成数目有限的单元，并在每个单元上指 定有限个节点，组成一个单元的集合体以代替原来的连续体，再在节点上引进等效力 以代替实际作用于单元上的外力。然后假设一个简单的函数来近似地表示位移分量的 分布规律，建立节点的位移和节点力之间的力学特殊关系，得到一组以节点位移为未 知量的代数方程组，从而求解节点的位移分量。然后可以利用插值函数确定单元集合 体上的场函数。在单元满足问题收敛性的前提下，随着缩小单元的尺寸，增加求解域 内单元的数目，近似解将收敛于精确解。 有限元法的实质是：把有无限个自由度的连续体，理想化为只有有限个自由度的 单元集合体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问题 2 0 1 。 1 4 2 有限元法算题的基本步骤 6 中山大学硕士学位论文 ( 1 ) 力学模型的选取 根据分析是否为平面应变问题，平面应力问题，轴对称问题，空间问题，板、梁、 杆或组合体，对称或反对称等问题，选择合适的力学模型。 例如【2 1 】： 图1 - 2 原平面薄板 如图1 2 中间有圆孔的平面薄板，为平面应力问题，由于结构的对称性可取结构的 1 4 来研究，故所取为如下力学模型： 图1 - 3 简化后的力学模型 ( 2 ) 单元的选取、结构的离散化 根据不同的要求，可选择适当的单元把结构离散化。对于平面问题可用三角元， 四边元等。、例如： 7 张拉膜结构的有限元静力分析 图1 - 4 网格划分示意图 ( 3 ) 选择单元的位移模式 结构离散化后，要用单元内节点的位移通过插值来获得单元内各点的位移。在有 限元法中，通常都是假定单元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的项 数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取 多少项，则应视单元的类型而定。 杪) = 【】p y( 1 i ) 扩) 单元内任一点的位移列阵； 【】单元的节点位移列阵； 侈r 单元的形函数矩阵；( 它的元素是任一点位置坐标的函数) ( 4 ) 单元的力学特性分析 把( 1 - 1 ) 式代入几何方程可推倒出用单元节点位移表示的单元应变表达式： p ) = 防广 ( 1 2 ) 话) 单元内任一点应变列阵： 陋】单元的应变矩阵；( 它的元素仍为位置坐标的函数) 再把( 1 2 ) 式代入物理方程，可导出用单元节点位移列阵表示的单元应力表达式： 缸 = 【d p y ( 1 - 3 ) p 单元内任二点的应力列阵； 【d 】单元的弹性矩阵，( 它与材料的特性有关) 最后利用弹性体的虚功方程建立单元节点力阵与节点位移列阵之间的关系，即形 成单元的刚度方程式： 扭y = 陆r p ) 9 ( 1 - 4 ) 陆r 单元刚度矩阵， k r = 胪r 【d p k 纰 ( 5 ) 建立整体结构的刚度方程 中山大学硕士学位论文 用直接刚度法将单刚陋r 组集成总刚k 】，并将识r 组集成总载荷列阵轵) ，形成总 体结构的刚度方程： k 】p ) = 伍) ( 1 5 ) ( 6 ) 求解修改后的整体结构刚度方程 考虑整体结构的约束情况，修改整体刚度方程之后，( 1 5 ) 式就变成以节点位移 为未知数的代数方程组。解此方程组可求出节点位移。 ( 7 ) 由单元的节点位移列阵计算单元应力 解出整体结构的节点位移列阵 万 后，再根据单元节点的编号找出对应于单元的位 移列阵p ) 8 ，将p ) 。代入( 1 - 3 ) 式就可求出各单元的应力分量值。 ( 8 ) 计算结果输出 求解出整体结构的位移和应力后，可有选择地整理输出某些关键点的位移值和应 力值，可以输出结构的变形图、应力图、应变图、结构仿真变形过程动画图及整体结 构的弯矩、剪力图等。 1 4 3 有限元解的优越性 ( 1 ) 有限元法能够给出所需要的模型任意部位的应力和位移状态； ( 2 ) 不仅能给出数据结果，还能由计算机自动给出立体图象： ( 3 ) 一旦各类模型被转化为数学力学模型，就可反复使用同一模型进行各种加载 荷状况的计算，保证了模型的完全相似； ( 4 ) 同一种计算机程序，还可以用来对多种不同模型进行计算分析； ( 5 ) 由于使用了计算手段，使大量的数据处理变得较为容易，不管研究对象的几 何形状、材料性质、支持条件和加载荷方式多么复杂，都能进行分析，能迅速得出结 果。 ( 6 ) 为了验证其分析结果是否正确，有时需要用实验应力分析法，或用已知的基 础知识等加以验证、判断，得到客观依据，去伪存真，总结出符合实际的规律性，更 具有科学性和可信性。 1 4 4 平面问题概述 工程中所遇到的弹性体都是空间物体，严格地说，所有的弹性力学问题应全部为 9 张拉膜结构的有限元静力分析 空间问题。但是在材料力学和结构力学中，我们可以将梁可简化为一维问题来求解， 抽象简化后的力学问题仍能反映其主要特征，由此求得的解答亦能反映其构件受力后 的强度、刚度和稳定性的分析。同样，在实际工程中许多问题都可以通过略去次要因 素而化简为平面问题。空间实际问题若能化简为平面问题后所得解答仍能满足工程上 对其精度的要求，其求解过程必然容易些，分析和计算工作量也将会减少，这是所期 望的情形。下面讨论两种平面问题。 ( 1 ) 平面应力问题： 平面应力问题讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度 【2 7 1 。薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不 变。总的来说：平面应力问题是只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略。 如果平面是0 孵平面，那么只有正应力似，缈，剪应力则( 它们都在一个平面内) ， 没有仍，垆，戤。例如薄板拉压问题、柔壳受力问题可视为平面应力问题。 ( 2 ) 平面应变问题： 平面应变问题讨论的是如压力管道、水坝等弹性体，这类弹性体是具有很长的纵 向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且 沿长度不变：柱体的两端受固定约束。总的来说：只在平面内有应变，与该面垂直方 向的应变可忽略。同样如果平面是o 灯平面，则只有正应变蹦，砂和剪应变y x y ，而 没有z ，舻，肛。例如水坝侧向水压问题。 膜结构静力问题属于平面应力问题，本文着手于利用有限元方法进行平面膜结构 的静力分析。 1 5 膜结构静力分析研究现状 从1 9 7 1 年起，很多学者就开始将有限元技术应用于膜结构的实际设计中，可以说 到目前为止大部分膜结构建筑的设计计算都是由基于这套理论编制的程序实现的。这 些研究一般是将一块膜张拉固定成某一简单形状，然后考虑各种复杂情况，应用薄膜 力学理论和一些诸如有限元和有限差分的数值方法来进行研究的，这些方法的应用也 取得了不少杰出的研究成果【2 2 】【2 6 1 。 上世纪7 0 年代始，s l u k a s i c w i c z 与p g g l o c k n e r 等首先对充气膜结构进行了研 l o 中山大学硕士学位论文 究，对形状单一的充气膜建立了静力计算方程，对结构受不同荷载的情况进行了分析。 e h a u g ，g h p o w e ll ，k m o n y a ，m u e m u r a 【2 2 】于1 9 7 2 年首先将非线性有限元技术用于 膜结构的实际设计中。由于此法与非线性有限元的找形方法类似，有很好的继承性， 所以得到了较好的应用。随后，m f u j i k a k e ，b t a b a r r o k 2 3 1 等将该理论进行了完善。 p b h a b e r 、j w l e o n a r d 在1 9 8 8 年出版的t e n s i o ns t r u c t u r e s ) ) 【2 4 】对膜结构的 静力和动力问题进行了大量的研究，针对简单的张拉结构研究了其承受荷载时的位移 解，由于其实质是一种解析解，很难适应一些复杂边界或受荷复杂的薄膜结构，因此 该理论并没有得到很好的推广应用。 目前，同找形分析类似，在膜结构的静力分析问题上主要应用的方法有：力密度 法、动力松弛法和非线性有限元法这三类方法。e a u z g i d e r 、w l e o n a r d 基于平板单 元采用动力松弛法进行了静力荷载的研究。而后，p b h a b e r 2 4 】根据实验给出一个粘弹 性的本构关系，考虑膜材非线性，对膜结构进行了初步分析。k a i - u m e b l e t z i n g e r 、 p d g o s l i n 9 1 2 7 。2 8 1 等采用曲面壳单元对膜结构进行了有限元静力分析。国内学者沈金、 李沐钢等也在国外学者研究的基础上对膜结构的静力分析进行了更深一步的研究。其 中非线性有限元法【2 9 】是最常用的方法，它也可用于动力分析。由于膜单元具有小应变、 大位移的强几何非线性特点，因此单元模型建立时，须考虑几何非线性效应，非线性 有限元理论一般采用常应变3 节点三角形单元。还有采用8 节点曲面四边形单元或6 节点曲面三角形单元来模拟膜单元的，这些理论和方法由于积分点多，计算复杂，所 以实际工程中采用的较少。静力分析的主要难点就是要考虑膜材在受压时其单元刚度 矩阵便等于零，进而产生应力重分布。 考虑到索膜结构分析计算的复杂性，此类问题在理论公式推导后需编制计算程序 进行协助分析。目前，有大型有限元软件a n s y s 可以应用于这类计算，但是其中没有 膜单元这类单元。采用a n s y s 计算薄膜问题时，需采用壳单元( s h e l l 4 1 单元) 【3 0 】， 薄膜的预张力是通过施加温度应力而得到的，这对于任意边界形状和复杂的空间薄膜 结构而言，用这种方式很难获得张力，应用不方便。所以，有必要特别构造有预张力 的膜单元，方便对膜结构进行线性和非线性有限元分析。在大型的工程设计程序中尽 量采用能满足一定精度的较为简单的计算理论，主要是因为大型工程本身设计计算量 已经很大，复杂的理论将导致计算速度大幅度减慢，结果难以控制。今后的目标就是要 张拉膜结构的有限元静力分析 研制能够达到一定精度的又切实可行的计算程序。 1 6 本文工作概述 本文应用有限元方法进行膜结构的静力分析。 第一章首先对膜结构进行了简要的概述，包括膜结构的特点、发展现状、研究范 围以及膜材特性等。然后简述了平面问题的有限单元法。 第二章采取几种不同的单元：3 节点三角形单元、6 节点三角形单元、4 节点矩形 单元和8 节点矩形单元对平面膜结构进行有限元静力分析，分别推导了其刚度矩阵和 荷载列阵。根据该理论编制f o r t r a n 计算程序，通过采取不同的单元划分方式计算具体 算例得出相应的结论。 第三章采取4 节点矩形单元对膜结构进行了非线性有限元分析，推导其单元刚度 矩阵、荷载列阵，得出静力平衡方程：k ( a ) a = r ，其中： a 为单元节点位移列阵； r 为荷载列阵。 k ( 口) = k 。+ k l + k 。为切线刚度矩阵，右边的三项分别为线性刚度矩阵、初始位移 刚度矩阵和初始应力刚度矩阵。 说明了用n e w t o n r a p h s o n 迭代法求解此方程的具体步骤。通过具体算例比较线性 计算结果和考虑几何非线性的计算结果，得出结论。并且分析了膜材参数对其受力性 能的影响。 第四章为对本文的总结以及对该研究领域的展望。 中山大学硕士学位论文 第二章平面膜的有限元静力分析 2 1 引言 经研究分析表明，在膜结构工程中，当荷载较小时薄膜结构的线性刚度在总刚度 中占的比重较大3 1 ，可以忽略非线性，从而可以简化计算过程。 膜结构荷载分析中包括静力分析与动力分析。中山大学林文静利用有限元研究了 平面膜结构的自由振动，构造了3 节点三角形膜单元 1 4 】、6 节点三角形膜单元【3 、4 节点矩形膜单元和8 节点矩形膜单元【”】。本章采用上述这几种膜单元，+ 进行平面膜 的静力分析。 由于薄膜不能抗弯、抗扭，所以每个节点只有3 个自由度。膜单元的位移包括平 面内位移u ，、v ，和垂直于膜平面的位移嘶。林文静研究平面膜自由振动时，每个节点 只取一个垂直于膜面的位移w ，本章研究平面膜的静力分析，每个节点有3 个位移。 本章采用林文静构造的几种膜单元的位移模式和对应于位移w 的单元刚度矩阵，自己 推导对应于位移材，的单元刚度矩阵和荷载列阵，采用f o r t r a n 语割3 2 1 ，编制计算程 序，计算了平面膜结构静力荷载下的位移及应力，比较了几种膜单元的计算精度。 设薄膜是一个完全柔性的等厚度薄片，在任何方向被均匀的拉力张拉着。由于膜 为柔性材料，为使其具有一定形状和刚度必须施加预应力，根据膜材的本构关系特性， 在受力分析阶段可先做弹性假设【4 1 。 取x o y 平面与薄膜变形前的平面一致，z 轴垂直于薄膜平面，构成右手坐标系，如 图2 1 所示【12 1 。记薄膜单位长度上的张力为乃单位面积上的质量为p ，受z 方向的均 布面力为p ，沿z 轴方向的位移为w 。 张拉膜结构的有限元静力分析 图2 1 【1 2 】 由于膜的厚度很薄，不考虑z 方向的应变，只考虑由z 方向位移引起的x ，y 方向 的应变。 2 2 三节点三角形膜单元 林文静在研究索膜结构自由振动时，构造了3 节点三角形膜单元，应用最小势能 原理，统一推导了刚度矩阵和质量矩阵【1 4 】。由于膜单元的应力状态，是由u ，平面的 平面应力和位移w 引起的应力的叠加，膜单元的应变状态，也是由甜，v 平面的应变和 位移w 引起的应变的叠加，因此，可分别推导对应于u 、，的刚度矩阵及荷载列阵，和 对应于w 的刚度矩阵及荷载列阵，然后，再将他们叠加起来形成单元刚度矩阵和单元 荷载列阵。本文就是采用这种方法，借用林文静构造的几种膜单元的位移模式和对应 于位移w 的单元刚度矩阵，自己推导对应于位移u ，1 ，的单元刚度矩阵和荷载列阵。 采用林文静的3 节点三角形单元体【1 4 】，如图2 - 2 所示，采用面积坐标【3 3 】： 0 6 = l 图2 - 2 三节点三角形单元 1 4 】 各节点的平面标为( x l ，y 1 ) ，( x 2 ，y 2 ) ，( x j ，y j ) ，面积坐标为 1 4 中山大学硕士学位论文 节点1 缶= l ，磊= 0 ，磊= 0 节点2 磊= o ，乞= l ，磊= 0 缶= 去( q + 6 l x + q y ) 彘= 击( 口2 + 6 2 x + c 2 y ) 彘= 击( 时6 3 x + c 3 y ) 其中，2 4 = i ：蒌兰i ，4 为单元的面积。 q ，6 f ，q 分别表示行列式( 4 ) 第i 行第1 ，2 ，3 个元素的代数余子式 即q = i 三芰l ，6 t = 一l ：芰l ，q = l ：乏i c ；= t ，2 ，3 ， 2 1 1 对应于位移矿的单元刚度矩阵m 3 ( 1 ) 位移模式 取垂直于膜平面的位移w 的位移模式为： w = 蠡w l + 参w 2 + 彘w 3 记为矩阵的形式 w = n u ? 其中： n = 【ln 2 3 1 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 张拉膜结构的有限元静力分析 同理 即： u ：= 【w 3 1 t l v , = 专l ，n 2 = 2 ，n 3 = 岛 ( 2 8 ) ( 2 9 ) l ，2 ，3 一坐标的函数，它们反映单元的位移状态，因此称为形函数。 ( 2 ) 应变 记薄膜厚度为，初张力为t ，位移w 引起的应变为q ，勺，则 d s 一出 q = f = 注意到位移模式( 2 6 ) ，有 得到： d x q j 1 ( 瓦0 w ) 2q j ( 瓦) 罢：娑u 1 ：r ：g 3 1 ，u i l l l i ：r一= 一l = 苏缸。 。 g ，= 警警 j 1 ( 瓦0 w y ( 2 1 。) a n , 一a n , 8 考l ta n , a 考2 。8 n la 专3 一= = 一- 卫_ - 一二，三i 二二二王 o x a 考l o x a 考2 o x a 氏o x a 己a _ = _ l ， 缸 4 a 薹，b ， 卫= 二 缸 4 箜：6 _ 3 缸 4 o n , 一8 n t a 专t ta n la 考2 二8 n i8 考3 一= 上卫+ l ：誓l + l 二l o y8 考lo y8 考2o ya 考3o y a 毒q 上= _ l ， 钞4 8 考2c 2 _ = = = 。 砂4 1 6 篮：c _ l 砂4 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 中山大学硕士学位论文 得 式中， 同理， 式中， g ，= 扫6 l 6 2 6 3 】 g ：= 烈 粥 o n , a 磊 o n , a 磊 毗 。善1 o n , a 彘 鹏 a 磊 6 2 6 3 】 a 3 粥 a m a 岛 o n 3 a 磊 g ，= b o n 3 8 n 3 a 乞 毗 a 磊 = b g f ( 2 - 1 8 ) r 10 o l li = 10 10i li l001 lj 豢：i o n u ? ：g y u ：r i2 一u e2u 。 砂砂 g y = 扣乞巳】 c ：上c ，岛 4 lo 0 0lo 0 ol 将( 2 1 2 ) 代入( 2 1 0 ) ，得 q = i 1 ( i o w ) 2 ：丢u ? t g ：g 、u ? 么c ! xz 将( 2 2 2 ) 代入( 2 1 1 ) ，得 1 7 = c ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 张拉膜结构的有限元静力分析 ( 3 ) 应力 q = 丢( 爹2 = 三u w t t g y u ? o = o o + d e ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 。也吖，。叩盯，叱订，。= 可e 匕： 协2 8 ， 把( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 代入( 2 2 7 ) ，得 叫舞鲁：； 料j 1 。 ( 4 ) 静力平衡方程 膜单元的初张力具有的势能 u 。= 儿( 丁即t 6 y 础d y = 知睁+ c 螂 把公式( 2 2 5 ) ，( 2 - 2 6 ) 代入上式，得 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 以2 j 1 丁尸g t ，g h w t g y t g y u ? 】姗 = 扣t k n ( 2 - 3 1 ) 其中， k ：r 称为对应于位移w 的单元刚度矩阵。 由缶+ 参+ 磊= 1 ，得到： 霹= ts t g ：g ，+ g ；g ，l d x d y 4 1 8 ( 2 3 2 ) 1，j 现白岛qu嵋 2 2 + + 岛巳如乞心m心 2 2 + + 乞乞历以m 屹m 嵋 2 2 + + p p 岛龟，l，l + + p p 吃乞 比l，k + + 铲铲 - 1 q m m ，lk l d l 一2 + 1j r r l = 6 1 q ，瑚， 中山大学硕士学位论文 经计算得单元刚度矩阵： k ? = r 【b t b + c t c l 出砂 l ，w r k 2 巧 坟+ t b i b 2 + c i t 2 b i b 3 + g c 3 6 1 6 2 + c l c 2 霹+ c ； 6 2 6 3 + c 2 c 3 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) k ? 是薄膜初始张力引起的刚度矩阵，我们也可以称之为初始张力刚度矩阵。 单元e 上的外力( 均布荷载p ) 具有的势能： 圪= 一j 爿w p 出d y 代入位移模式( 2 6 ) ，有 圪= 一u ? t f 其中，f w 称为单元等效节点荷载列阵： 均布力：i o = s a n t p d a 根据面积坐标的幂函数在三角形单元上的积分，可利用公式【3 3 】 艚酝：蛐= 器2 彳 得： f = j f a n t p 以= ；旭【1 1 1 】t ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 如果是集中力，则集中力用脉冲函数( d e l t 函数) 表示。 因此，单元e 总势能泛函： 亿= 配+ 圪 ( 2 4 0 ) 根据最小能势能原理，位移w 要满足变分方程。 5 1 7 , = 0 ( 2 4 1 ) 把方程( 2 - 3 1 ) 和( 2 3 6 ) 代入( 2 4 1 ) ，经过变分运算，得静力平衡方程。 k ? u ? 薯r 1 9 ( 2 4 2 ) 张拉膜结构的有限元静力分析 方程( 2 - 4 2 ) 就是在垂直于膜平面荷载作用下，求位移w 静力平衡方程。求得位 移以后，可由方程( 2 - 2 9 ) 求应力。 2 1 2 对应于位移，、矿的单元刚度矩阵( 张拉刚度矩阵) ( 1 ) 位移模式 平面内每一节点有两个位移，分别是，_ 。取单元平面内位移甜，的位移模式 “2 + x + y ( 2 4 3 a ) 1 ，2 0 f 4 + 吩x + a 6 y ( 2 4 3 b ) 即 “= v l u l + 2 吃+ n a u 3 ( 2 4 4 a ) 1 ，= l m + 2 屹+ 3 b ( 2 4 4 b ) i2 击( q 脚坳) ( 2 4 5 ) 公式( 2 - 4 4 a ) 、( 2 4 4 b ) 可写成矩阵形式 u = n u e ( 2 4 6 ) 其中， u - - uv 】t ( 2 4 7 ) u 。= “lm “2 屹“3 屹】t ( 2 4 8 ) n = n 。n 2n 3 】 ( 2 4 9 ) 耻瞄是 i = 1 , 2 , 3 协5 。， ( 2 ) 应变 根据弹性力学理论，应变和位移的关系为 = b u 。 ( 2 5 1 ) 中山大学硕士学位论文 其中， ( 3 ) 应力 = 工 0 u z2 _ 劣 勺 t ， a v y2 万 b = 球呲呲磬一1 lo c 1 0 c 2 0 2 a , b l b 2 8 3 】 2 4c 3 j 一 2 耻却兰 a = o o + d e = o o + d b u 。 o ，o o ，8 ，d 取( 2 - 2 8 ) 式，b 取( 2 5 4 ) 式。 ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) 耻蛆= 焘眨等 i = 1 , 2 , 3 协5 8 ， ( 4 ) 静力平衡方程 单元体的应变能 饥= 吾f 【t a d x d y = 寻f 【u j b t ( t j o + d b u e 蚴 忽略膜自身重量，单元体外力势能 k = 一f 【u t p d x d y 总势能 - l = 玑+ 圪 根据最小势能原理 6 皿- - 0 2 1 ( 2 5 9 ) ( 2 6 0 ) ( 2 6 1 ) ( 2 6 2 ) us ，瑚 + o o l l o b t d 张拉膜结构的有限元静力分析 = f c n 。螂+ n t p d x d y k ：u 。= 其中对应于甜、1 ，的单元刚度矩阵： 均布荷载等效节点力： 初张力等效节点力： 计算得： k ：= 覃：一卜墨； b t d b d x c l y 酣= 儿n t p d x d y ( 2 6 3 ) ( 2 6 4 ) ( 2 6 5 ) ( 2 6 6 ) f = 一虿1 几如。姗= 一a 6 q 岛c 2 也巳】t ( 2 - 6 7 ) k ：=4 ( 1 一“2 ) 4 2 1 3 单元刚度矩阵 砰良c l p6 1 6 26 1 c 2 p岛6 3b l b 3 1 t 6 l c l p彳6 2 q 1 tc i c 2b 3 c l “c i c 3 b l c 2 p b