（信号与信息处理专业论文）基于压缩感知理论的图像重构.pdf

u n i v e r s i t yo fs c i e n c e a n dt e c h n o l o g yo fc h i n a ad i s s e r t a t i o nf o rm a s t e r sd e g r e e 懋 幽 i m a g er e c o n s t r u c t i o nb a s e d o nc o m p r e s s e ds e n s i n g t h e o r y a h 曲o r sn a m e ： s p e c i a l i t y ： s u p e r v i s o r ： f i n i s h e dt i m e ： q i a o l i n g w u s i g n a la n di n f o r m a t i o np r o c e s s i n g a s s o c i a t ep r o f l i nn i m a y1 “，2 0 1 2 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名：娶逆殓 签字日期：丝艟：臣! 芝 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入中国学 位论文全文数据库等有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存、汇编学位论文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 圈么开口保密( 年) 作者签名：巽盈殓 签字日期：丝建：臣! 丕 翩签名：5 泣 签字日期：硷 生! f ! 缈 摘要 摘要 为避免信号失真，传统的采样技术需要满足n y q u i s t 采样定理：采样信号的 频率不能比原始信号频率的两倍还要小，以保证从采样值中无失真的重构出原始 信号。这种过程通常是先采样后压缩，会造成一定的资源浪费，因此人们希望采 样率越低越好。压缩感知理论的提出打破了上述定理的局限，它将采样和压缩过 程合并，其理论指出对可压缩信号或在某个变换域内可以稀疏表示的信号，可以 通过远低于n y q u i s t 采样定理所要求的采样值下无失真的恢复出原始信号。 目前在诸多论文著述中已经提出了很多应用压缩感知理论的图像重构算法， 但随着现代科技的发展，人们需要更快的图像重构速度和更高的图像重构质量。 压缩感知理论在图像重构领域的相关应用，能够再大大降低硬件采集系统的复杂 度和耗费成本的前提下，进一步提高重构图像的速度和质量。本文的主要工作和 贡献如下： ( 1 ) 分析压缩感知压缩方案与传统压缩方案，概括了传统的压缩编码过程， 以及压缩感知的重构过程，并总结了压缩感知压缩方案相对于传统压缩方案的优 良特性，概述了压缩感知的理论原理和三个主要的理论框架。分析了信号的稀疏 特性及构造压缩感知的测量矩阵需要满足的特性，如限制等容性、不相干性等。 给出了几种常用的测量矩阵结构和一系列常用的重构算法。最后，分析了压缩感 知在一维信号中的应用，并通过实验验证其对一维信号的重构效果。 ( 2 ) 传统的压缩感知图像重构算法所恢复的图像质量不高，而且在稀疏表 示过程中，对小波变换的层数要求较高，需要多层小波变换来保证恢复图像的质 量。对传统方案进行改进，将小波变换高、低频分量分别处理，仅对高频分量进 行测量，保留低频分量不变，用测量得到的高频系数和未经测量的低频系数进行 重构，得到高质量的重构图像。进一步，由于小波变换不能捕捉到图像的边缘信 息，即使是可分离小波变换也只能捕捉到有限的方向信息，而非下采样 c o n t o u r l e t 变换恰好可以克服以上缺陷，它具有很好的频率特性和更高的冗余 度，低频分量没有频率混淆现象，具有更强的方向选择性，这会使得图像经过非 下采样c o n t o u r l e t 变换后所得到的各个子带的视觉特征较好且信息完整度较 高。因此我们采用非下采样c o n t o u r l e t 变换对图像做稀疏变换，同样，对高频、 低频分量分别处理，实验结果表明了算法的有效性。 ( 3 ) 提出改进的分块的压缩感知图像重构算法，将分块的方法与以上的选 择性测量的方法相结合，分块降低了重构过程所需的数据量和计算复杂的杂度， 选择性测量保证了恢复图像的质量。进一步，实验过程中发现，将图像分成小的 图像块后，图像块的纹理复杂度相差较大，有纹理很简单的平滑块，这些块用很 摘要 少的测量数据可达到很好的重构效果，有纹理很复杂的纹理块，这些块需要相对 较多的测量数据来达到较好的重构效果。所以，将图像分块后又将其分类，将纹 理简单的块分为一类，测量时选用较少的测量数据，将纹理复杂的块分为一类， 测量时选用较多的测量数据，然后整合成一整幅图像。这样可以使总的观测值数 目减少，达到用更少的观测值获得高质量重构图像的目的。经过实验验证，所恢 复图像质量较高，而所用数据量却大大降低。 关键词：压缩感知图像重构稀疏表示测量重构算法小波变换非下采样 c o n t o u r l e t 变换分块 i i a b s t r a c t a b s t r a c t i no r d e rt oa v o i ds i g n a ld i s t o r t i o n ，t h et r a d i t i o n a l s i g n a ls a m p l i n gt e c h n o l o g y m u s to b e yt h en y q u i s ts a m p l i n gt h e o r y ，w h i c hp o i n t e do u tt h a tt h es a m p l i n g f r e q u e n c ym u s tb ea tl e a s tt w i c et h eh i g h e s tf r e q u e n c yo ft h es i g n a lt o e x a c t l y r e c o n s t r u c tt h eo r i g i n a ls i g n a l t h i sp r o g r e s sf i r s ts a m p l i n gt h e nc o m p r e s s i n gm o d e w i l lc a u s ew a s t eo fr e s o u r c e s ，s o p e o p l eh o p et ou s es m a l l e rs a m p l i n gr a t ef o rb e t t e r t h ec o m p r e s s e ds e n s i n gc o m b i n e st h es a m p l i n ga n d c o m p r e s s i n gt o g e t h e ru n d e rt h e a s s u m p t i o nt h a tt h es i g n a li sc o m p r e s s i b l eo rs p a r s ei nac e r t a i ns p a r s et r a n s f o r m d o m a i n ，w h i c hb r e a k st h r o u g ht h en y q u i s ts a m p l i n gt h e o r y n o w a d a y s ，t h e r ea r em a n ya l g o r i t h m sa b o u ti m a g er e c o n s t r u c t i o nb a s e do n c o m p r e s s e ds e n s i n gt h e o r y w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h em o d e m t e c h n o l o g y ，p e o p l e n e e df a s t e ra n dh i g h e rq u a l i t ym e t h o d st o c o m p l e t et h ei m a g er e c o n s t r u c t i o n t h e c o m p r e s s e ds e n s i n gm e t h o d o l o g ya p p l i e dt ot h ei m a g er e c o n s t r u c t i o nw i l ll e a dt o m o r ev e l o c i t ya n dq u a l i t yi m a g er e c o n s t r u c t i o nm e t h o dw h i c hi s 1 e s sc o m p l e xa n d l e s sc o s to ft h es a m p l i n ge q u i p m e n t t h em a i nw o r ka n d c o n t r i b u t i o n sa r ea sf o l i o w s ： ( 1 ) a n a l y z ea n ds u m m a r i z et h ec o m p r e s s e ds e n s i n ga sw e l la st h e 仃a d i t i o n a l c o m p r e s s l o np r o c e s st os h o wt h ee x c e l l e n tc h a r a c t e r i s t i c so ft h e c o m p r e s s e d s e n s i n g t h e no u t l i n et h ep r i n c i p l eo ft h ec o m p r e s s e ds e n s i n gt h e o r ya n di n 仃o d u c em e s p a r s er e p r e s e n t a t i o n ，m e a s u r e m e n tm a t r i xa n dr e c o n s t r u c t i o n m o d e l s r e v i e wt h e s p a r s ec h a r a c t e r i s t i c so ft h es i g n a la n dt h et w ob a s i cc r i t e r i ao fm e a s u r e m e n tm a t r i x d e s i g n ：r e s t r i c t e dl s o m e t r yp r o p e r t ya n di n c o h e r e n c e g i v e ns e v e r a lc o m m o i l i vu s e d m e a s u r e r n e n tm a t r i xs t r u c t u r ea n das e r i e so fr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m s t h e na n a l y z e t h ea p p l i c a t i o no ft h ec o m p r e s s e ds e n s i n gi no n e - d i m e n s i o n a ls i g n a lb ys i m u l a t i o n ( 2 ) t h eq u a l i t yo ft h ei m a g ei sn o th i g hr e c o n s t r u c t e db yt r a d i t i o n a la l g o r i t h m b a s e do nc o m p r e s s e ds e n s i n g w h a t sm o r e ，i tn e e d sm o r e l a y e r so fw a v e l e t 订a n s f o n n t o 钮s u r et h ei m a g eq u a l i t yd u r i n gt h es p a r s e r e p r e s e n t a t i o np r o c e s s p r o p o s ea l l 1 1 n p r o v e da l g o r i t h mt h a ti sm e a s u r et h eh i g hf r e q u e n c yc o e f f i c i e n t so n l ya n d r e t a i nt h e l o wf r e q u e n c yc o e f f i c i e n t s r e c o n s t r u c tt h ei m a g eb yt h em e a s u r e dh i g hf r e q u e n c v c o e f f i c i e n t sa n dt h eo r i g i n a ll o wf r e q u e n c yc o e f f i c i e n t s f u r t h e r , t h e w a v e l e tc a i m ，t c a p 眦t h ee d g ei n f o r m a t i o na n de v e ni ft h es e p a r a b l ew a v e l e tc a l lo n l yc a p 慨 l i m i t e dd i r e c t i o n a li n f o r m a t i o n i n s t e a d ，t h en o n s u b s a m p l e dc o n t o u r l e tt r a 咀s f o 彻c a l l o v e r c o m et h ea b o v ed e f e c t s ，w h i c hh a sg o o d f r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i c s h i g h e r r e d u n d a n e ya n ds t r o n g e ro r i e n t a t i o ns e l e c t i v i t y t h e s ew i l le n s u r em ev i s u a lf e a t u r e s a n dt h ei n t e g r i t yo ft h ei n f o r m a t i o no f t h ei m a g en o n s u b s a m p l e dc o n t o u r l e t 仃a l l s f o 姗 i i i s u b b a n d s t h e r e f o r e ，w ea d o p tt h en o n s u b s a m p l e dc o n t o u r l e tt r a n s f o r ma st h es p a r s e r e p r e s e n t a t i o n ，a n ds i m u l a t i o nr e s u l t sd e m o n s t r a t e de f f e c t i v e n e s so ft h ea l g o r i t h m ( 3 ) p r o p o s e a ni m p r o v e di m a g er e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m b a s e do nb l o c k c o m p r e s s e ds e n s i n g ，w h i c hc o m b i n e st h eb l o c kc o m p r e s s e ds e n s i n ga n dt h ea b o v e s e l e c t i v em e a s u r e m e n ta l g o r i t h m t h eb l o c k - b a s e da l g o r i t h mr e d u c e sd a t aa n d c a l c u l a t i o nc o m p l e x i t yo ft h er e c o n s t r u c t i o np r o c e s s ，a n dt h es e l e c t i v em e a s u r e m e n t e n s u r e sq u a l i t yo ft h er e c o n s t r u c t i o ni m a g e w ef i n dt h a tt h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h e c o m p l e x i t yo fi m a g eb l o c k si sl a r g ew i t hf u r t h e re x p e r i m e n t t h e nw ed e r i d et h e b l o c k si ns o m ec l a s s s i m p l et e x t u r eb l o c k sw i l ld i v i d e di n t oo n ec l a s sa n dt h e s e b l o c k sn e e dl e s sm e a s u r e m e n td a t a a n dc o m p l e xt e x t u r eb l o c k sw i l ld i v i d e di n t o a n o t h e ra n dt h e s eb l o c k sn e e dm o r em e a s u r e m e n td a t a t h i sw i l lr e d u c et o t a ld a t ao f t h em e a s u r e m e n tg r e a t l y , w h i l ee n s u r i n gt h eq u a l i t yo ft h ei m a g e k e y w o r d s ：c o m p r e s s e ds e n s i n g ，i m a g e r e c o n s t r u c t i o n ，s p a r s er e p r e s e n t a t i o n ， m e a s u r e m e n t ， r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m ， w a v e l e t t r a n s f o r m ， n o n s u b s a m p l e dc o n t o u r l e tt r a n s f o r m ，b l o c k 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 目录v 第l 章绪论1 1 1 课题研究背景和意义1 1 2 国内外研究现状一2 1 3 压缩感知的应用3 1 4 本文主要内容及结构安排5 第2 章压缩感知理论简介7 2 1 压缩感知压缩方案与传统压缩方案比较7 2 2 压缩感知理论的原理8 2 3 稀疏表示9 2 4 测量矩阵1 2 2 4 i 测量矩阵满足准则1 2 2 4 2 常用测量矩阵1 3 2 5 重构模型1 5 2 6 压缩感知应用于一维信号的重构1 8 2 7 本章小结2 0 第3 章基于非下采样c o n t o u r l e t 的压缩感知图像重构2 1 3 1 压缩感知应用于图像重构2 1 3 1 1 算法设计2 1 3 1 2 实验结果分析比较2 1 3 2 基于单层小波变换的压缩感知图像重构2 7 3 2 1 小波变换2 7 v 目录 3 2 2 算法设计2 9 3 2 3 实验结果分析比较3 0 3 3 基于非下采样c o n t o u r l e t 的压缩感知图像重构3 l 3 3 1 非下采样c o n t o u r l e t 变换3 l 3 3 2 算法设计3 6 3 3 3 实验结果分析与比较3 7 3 4 本章小结4 0 第4 章基于改进的分块的压缩感知图像重构4 3 4 1 分块的压缩感知图像重构4 3 4 1 1 算法设计4 3 4 1 2 实验结果分析与比较4 4 4 2 改进的分块的压缩感知图像重构4 6 4 2 1 算法设计4 6 4 。2 2 实验结果分析与比较，4 7 4 3 分块分类的压缩感知图像重构5 l 4 3 1 算法设计5 1 4 3 2 实验结果分析与比较5 3 4 4 本章小结5 9 第5 章总结与展望6 1 5 1 本文总结6 1 5 2 研究展望6 2 参考文献6 5 致谢6 9 攻读硕士期间的研究成果7 1 v i 第1 章绪论 1 1课题研究背景和意义 第1 章绪论 传统信号采集系统及信号处理过程所要遵从的理论基础是f o u r i e r 变换，遵 循准则是n y q u i s t 采样定理，采用的手段是频谱分析，该定理要求信号的采样频 率不得低于信号带宽的两倍，即在一个频带为( o ，以) 内的时间连续信号x ( f ) ，为 保证能够完全的恢复出原始信号，信号的采样频率厂应该满足下式要求： ，2 ( 1 1 ) 如果采样率不满足上式要求信号就会有频谱混叠现象，不能精确的重构出原始信 号。这几乎是所有的雷达通讯、医疗影像设备、视听消费电子等信号处理系统所 必须遵循的准则。然而，这个准则所限制的采样率必须满足的范围已经严重限制 了相关领域的发展，比如在宽带模拟数字化过程中采样率非常高，数据量非常大， 而又要对这些大量的采样数据进行压缩、传输和接收等后续处理，这将会造成极 大的资源浪费。再加上电子器件本身所固有的物理特性的约束，高采样率将给硬 件设备提出了更高的要求，带来更大的挑战。而n y q u i s t 采样定理成为制约信息 等相关领域进一步向前发展的主要瓶颈之一，因此，如何突破n y q u i s t 采样定理， 建立新的信号处理框架，这种框架能够无失真的恢复出原始信号，成为信息领域 进一步向前发展的关键。 在图像处理领域，通常在图像处理之前，要对图像数据构造有效的表达模型， 这种模型选择的优劣对图像处理效果有很大影响。基于过完备字典的稀疏表示 ( s p a r s er e p r e s e n t a t i o n ) 利用表示系数中较少的非零元素来压缩表示图像，是一 种非常有效的表示模型，为图像处理提供较好的便利条件。o l s h a u s e n 等在文献 1 中指出自然图像本身存在一定稀疏性，首次指出了图像数据的稀疏性本质， 之后，稀疏表示理论在图像处理领域得到了广泛的发展和应用。2 0 0 4 年，由 d d o n o h o 和e c a n d e s 、j r o m b e r g 、t t a o 等 2 6 提出了压缩感知( c o m p r e s s e d s e n s i n g o rc o m p r e s s i v es e n s i n g ，c s ) 理论框架，该理论框作为一种新的创新思想 一经出现便引起了诸多研究人员的关注，并迅速的扩展到很多相关领域。该定理 是针对信号的稀疏特性的先验知识，在信号逼近和稀疏分解基础上，把信号表示 的稀疏分解理论的发展推到一个新的高度。与以上介绍的传统的信号处理理论基 础、准则和处理手段不同的是，压缩感知理论在处理信号过程中是以空间变换作 为理论基础，通过构造随机测量矩阵为处理手段，以最优化算法作为重构信号方 第1 章绪论 法。该理论表明：如果原始信号或图像可以进行稀疏性表示，在此先验知识的基 础上，通过选择适当的优化算法，可由少量的采样数据或观测值来进行信号或图 像的重构。这样将采样和压缩合并进行的过程将减少大量的处理数据量，也将有 效的降低硬件采集系统的复杂度，提高了重构效率，降低了运行成本。目前，已 出现大量的有关压缩感知的理论成果及应用，主要研究方向包括图像高效获取、 a i 模信转换、信道估计等，其中，基于压缩感知的图像获取及重构是目前的研 究热点之一。 1 2 国内外研究现状 压缩感知理论自2 0 0 4 年提出至今，得到了飞速的发展，目前，压缩感知的 理论研究相对较成熟，但对于实际的算法大多是基于正交小波域可稀疏表示的先 验知识，而由于正交小波的方向选择性不强，没有平移不变性，导致得重构的效 果不佳，且多数算法收敛速度较慢，因此，越来越多的专家针对压缩感知理论的 测量矩阵设计和重构模型构造两个主要方面进行了深入的研究和探讨 7 】。 压缩感知理论中，随机测量矩阵必须与稀疏变换域的基向量y 不相干， 即矩阵不能够用基向量、壬，表示，以满足限制等容性准则( r i p ) 的要求。随机 块阿达玛组( s c r a m b l e db l o c kh a d a m a r de n s e m b l e ，s b h e ) 是基于阿达玛变换的 随机投影矩阵，置乱快速f o u r i e r 变换( p e r m u t ef a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ，p f f t ) 抽 取部分f o u r i e r 变换系数作为观测值，基于离散余弦变换d c t 的置乱离散余弦变 换( p e r m u t ed i s c r e t ec o s i n et r a n s f o r m ，p d c t ) 是抽取部分d c t 变换细说作为观 测值。目前压缩感知技术中比较常用的随机测量矩阵主要包括三类 8 ：g a u s s i a n 随机测量矩阵，b e r n o u l l i 随机测量矩阵；由部分f o u r i e r 集构成的测量矩阵；结 构化测量矩阵等。这三类随机测量矩阵各有优劣，也是常用的测量矩阵，研究其 他具有更高普适性的随机测量矩阵是研究热点之一。 基于压缩感知理论的信号重构模型是首先获得包含一定信息量的观测值，通 过对这些观测值寻求最稀疏解的过程，该过程是一个t 非凸优化问题，直接求解 这个问题非常困难，所以人们通常将这个问题转化为一系列其他的优化算法来间 接求解，常用的如凸优化问题、贪婪搜索算法和局部非凸优化问题等 6 】。 贪婪追踪算法中一系列算法如文献 9 】中的匹配追踪算法通过每一步迭代过 程从原子库中寻找最匹配原子，经过多次迭代，该信号可由一些原子线性表示， 但要获得好的收敛效果，迭代次数较多。随后提出的正交匹配追踪 o m p ( o r t h o g o n a lm a t c h i n gp u r s u i t ) 算法 1 0 对以上方法进行改进，它也是一个原 子选择过程，增加正交化处理过程，减少迭代次数，效率比最小t 范数法快，本 2 第1 章绪论 文在之后的实验中也主要选用该算法，但此法对压缩感知的要求比限制等容性准 则的要求更加严格。d o n o h o 等在文献 1 1 中提出的逐步正交匹配追踪算法对以上 算法做了改进，它的计算效率要高。b l u m e n s a t h 在文献 1 2 中提出的梯度追踪和 近似共轭梯度追踪算法也优于匹配追踪算法。以上介绍的匹配追踪类算法对维数 较低的小尺度信号有较高的运算效率，重构效果也较好。但对于维数较高的大尺 度信号的运算效率较低，而且恢复的效果较差。 目前，对于压缩感知重构问题的求解，大多数算法是基于互凸优化问题的求 解。例如文献 1 3 中提到的基追踪算法，在每次迭代时寻求最匹配的原子。在文 献 1 4 中的的迭代收缩i s t 算法确定步长值和阂值后就可以直接求解。 b i o u c a s d i a s 提出的两步迭代收缩算法 1 5 ，1 6 ，更好的解决了模糊图像的复原问 题，对i s t 算法做出了改进，其运算速度更快，效率更高。b e r g 等在文献 1 7 1 中提出的s p g l l 算法用一种迭代算法求解最少绝对收缩和选择操作问题。y i n 等 1 8 】在前人的研究基础上，将上述算法与固定点延续算法相结合达到了不错的 恢复效果。o s h e r 、c a i 等 1 9 提出了线性b r e g m a n 迭代算法，这种算法的重构效 果也非常有效，同时收敛速度更快。 在凸优化算法相关研究迅速发展的同时非凸优化问题的求解也得到了相应 的发展。比如，c h a r t r a n d 在文献 2 0 中提出用，( 0 p 1 ) 范数代替f 范数来进行 p 1 重构。t r z a s k o 在文献 2 1 ，2 2 中提出的同伦t 最小化算法，基本思想是选用一个 和矗范数同伦的函数来代替t 范数。目前，对于重构算法的研究比较多，然而大 多算法仅局限于理论研究或仿真实验。因此，要将重构算法从理论仿真推向实际 应用，目前要着重解决的问题之一是怎样既能够保证重构信号的质量又能够提高 重构信号的效率。 1 3 压缩感知的应用 由于新兴理论压缩感知突破了n y q u i s t 采样定理的限制，其强大的优势吸引 了国内外众多学者的研究和关注，它在理论研究上取得不断发展的同时，在应用 上也取得了很多成果。压缩感知技术表现出优越性并被应用于越来越多的领域， 下面介绍其中的几方面应用： ( 1 ) 医学成像 医学成像中最典型的应用是核磁共振成像m r i 2 3 ，2 4 】( m a g n e t i cr e s o n a n c e i m a g i n g ) ，由于医学成像预先无法知道原始图像，所以只能通过设备观察再根据 测量值恢复出原始图像。核磁共振成像采用傅里叶欠采样的方式用核磁共振扫描 仪进行数据采集，相当于在压缩感知中测量矩阵为局部傅里叶矩阵，这就大大缩 第1 章绪论 短了成像时间，比如腹部成像从原来的一小时缩短为半小时。另外，压缩感知在 高光谱成像、x 射线断层成像、脑磁源成像等方向也有相应的应用。 ( 2 ) 单像素相机 随着d s p 的运算、处理能力的不断提升，数码相机的像素越来越高，然而， 像素的增加相应的提高了硬件的成本。压缩感知理论的出现，使得在硬件成本较 低的条件下，得到高像素的图像效果成为可能。美国r i c e 大学将压缩感知技术 应用于相机的c c d 成像技术中 2 5 ，设计并利用硬件实现了了单像素相机。与 传统的相机结构不同，单像素相机具有全新的理论思想基础和相机结构，主要构 件有透镜、光子检测器和数字微镜器件。单像素相机所需要的c c d 有效感光单 元数与传统相机相比要少得多，且具有传统成像器件所不具备的对图像波长的自 适应能力。 ( 3 ) 模信转换 传统的方法是模数a d 转换( a n a l o g - t o d i g i t a l ) ，但其采样率限制在1 g h z 范围内，而a i 模信转换( a n a l o g t o 。i n f o r m a t i o n ) 可以直接将模拟信号转换为信 息，提高了转换效率。文献 2 6 中设计了一种模信转换器，它应用了压缩感知理 论的思想，由于压缩感知理论中的测量数据中已经包含了足够的信息量，可以从 中恢复完整的信号，利用以上原理先获取原始信号的线性测量，然后通过数字信 号处理器恢复出信号。 ( 4 ) 信道编码 压缩感知理论可以用来进行快速误差校正编码，并且能够在数据传输过程中 不受误差的影响，而且的编码过程并不需要考虑其编码器的结构，仅仅在译码和 恢复原始信号时才需要，所以压缩感知可用通用的编码策略进行编码。文献 2 7 】 中证明，如果一个信号的可压缩程度高或者该信号的信噪比够大，那么该方法能 够有效的抵制噪声的干扰，准确的恢复出原始信号，这进一步证明了压缩感知在 信道编码中无法比拟的优越性。 ( 5 ) 生物传感 压缩感知在生物传感中也有相应的应用，比如在文献 2 8 中设计了基于压缩 感知的d n a 芯片，这种芯片基于压缩感知理论和群组检测原理，由于芯片中所 有探测点均可以识别一组目标，所以其优势是能明显减少所需探测点的数量。另 外，文献 2 9 1 中给出了实现基于压缩感知的生物传感d n a 芯片的信号恢复的新 的有效方法。 除以上应用之外，压缩感知作为一种新型的信号处理方式，其在高光谱影像 3 0 、雷达成像 3 1 ，3 2 、地球物理数据分析 3 3 、通信 3 4 】、遥感 3 5 等很多方面 具有应用。 4 第1 章绪论 1 。4 本文主要内容及结构安排 本课题的研究内容是压缩感知理论的图像重构，压缩感知理论在图像重构中 的应用有着巨大的理论意义和实际意义。它进一步满足了人们对信息领域发展提 出的更高的要求，极大的推动了相关领域的发展和进步。在分析前人提出的算法 的基础上，我们对前人的算法进行了研究和实验仿真，改进并提出新的基于压缩 感知理论的图像重构算法，本论文的主要研究内容和结构安排如下： 第一章为绪论，在该部分内容中我们介绍了本课题研究的背景和研究意义， 并从总体上介绍了压缩感知理论在国、内外的发展概况及研究现状等，随后在第 三节中介绍了压缩感知的几方面主要应用。 第二章主要介绍了压缩感知基本理论以及其构成框架。在第一节中将压缩感 知压缩方案与传统的压缩方案进行比较，总结了压缩感知压缩方案相对于传统压 缩方案所具有的一些优良特性。在本章接下来的内容中，主要介绍了压缩感知的 理论原理以及信号和图像的稀疏表示、测量矩阵的构造方法和信号重构模型三方 面介绍压缩感知理论框架。详细分析了信号和图像的稀疏表示方法，在测量矩阵 构造方面，给出了设计测量矩阵应该遵循的准则，比如限制等容性准则，不相干 性准则等等，并给出了几种常用的测量矩阵的结构，在重构模型部分，给出了几 种常用的重构算法模型。最后，分析了压缩感知理论在一维信号中的应用。 第三章首先介绍了传统的压缩感知图像重建算法，并用实验证明小波变换层 数对恢复图像效果的影响。随后，从理论方面讲解基于一层小波变换的压缩感知 重构算法在图像中的应用，并通过实验验证其算法的有效性。第三节介绍了非下 采样c o n t o u r l e t 变换，并将其与压缩感知理论相结合，提出了基于非下采样 c o n t o u r l e t 变换的压缩感知图像重构算法。并通过实验对以上几种算法的重构效 果进行了比较。 第四章中介绍了分块的压缩感知图像重构及其改进算法。由于传统压缩感知 图像重构算法是对一整幅图像进行处理，这样耗时较长，不利于实时处理，故对 其进行分块，并结合第三章的算法，对分块算法进行改进。进一步发现不同的图 像块的纹理复杂度相差较大，故将图像块做分类处理，对每一类采用不同大小的 测量点数进行测量，这样达到进一步减少重构数据量的目的。 第五章为总结与展望。在该部分对全文的内容进行总结，主要突出了本文算 法的贡献和创新之处，然后针对本文算法存在的不足，提出了应做出的改进之处， 并对压缩感知总体上存在的问题和不足作了相关总结，对接下来的研究工作进行 了展望。 第1 章绪论 6 第2 章压缩感知理论简介 第2 章压缩感知理论简介 2 1压缩感知压缩方案与传统压缩方案比较 压缩感知压缩方案与传统的压缩方案具有不同的思路和基本思想，压缩感知 压缩方案更行之有效，所以得到人们的广泛关注。数字信号处理的核心是处理结 构特性的信号。在过去人们所熟悉的信号压缩编码的基本思想是利用去相关去掉 信号中的相关信息，减少信号的信息量，达到压缩的目的。这里主要对二维图像 进行研究，二维图像的图像像素点之间也存在一定的相关性，我们可以充分利用 这些相关性达到对二维图像压缩的目的，减少图像中的冗余信息。而且完全可以 根据人眼的某些特性，比如对颜色分辨率不高的特性等，进一步减少图像中的相 关信息，而又保证图像对人眼的视觉效果。传统的信号压缩方案其主要过程包括 采样、量化编码、压缩去冗余、通过信道传输和存储等过程。详细过程 3 6 描述 如下： ( 1 ) 利用信号采集系统对模拟信号做采样处理，获取信号点数为的离散 信号，即采样点的个数为； ( 2 ) 然后计算在完备集秒( 玎) ) 下的测量系数0 = ； ( 3 ) 对这些系数中最重要的k 个系数进行保留，舍弃其他所有系数，并记 下这些最重要系数的位置信息，用这k 个最重要系数进行信息表达，以达到压缩 的目的； ( 4 ) 做编码处理，通过对以上保留的这k 个最重要系数以及其对应的位置 信息进行编码。 通过以上压缩去冗余和编码过程，很大k 很小达到压缩的目的，但是在 保留很少的k 个最重要系数的同时却丢失了大量的不重要系数，而丢失的这些大 量的不重要系数也是通过一定计算得到的，也就是说也耗费了相关的内存资源和 计算时间，这样的处理过程计算效率低且将会占用大量的内存信息。另外，信号 的采样率要求满足n y q u i s t 采样定理，给硬件系统采样速率提出了很高的要求， 尤其是在采样率要求较高时，硬件系统较难满足要求。 而在压缩感知理论中则不同，作为一种新的信号获取和处理方面的理论，它 充分利用了测量信号的稀疏性的先验条件，有效的降低了所需要的采样率，把采 样和压缩过程合并进行，以小于n y q u i s t 采样速率对源信号测量编码。由于测量 值是源信号从高维到低维上的投影，所以他们已经包含了所有信号的少量的相关 信息。这样，利用很少的采样数据，可以精确的恢复出信号，同时节省了大量的 第2 章压缩感知理论简介 采样数据和存储资源。传统的信号采样压缩过程如图2 1 所示，压缩感知理论的 框架如图2 2 所示。 传牺仔储 原始信号 采样 量化变换压缩编码信号重构 图2 1 传统的信号采样压缩过程 图2 2 压缩感知理论框架 压缩感知与传统的压缩方案相比具有一些优良特性，主要包含以下几个方面 f 3 6 - 压缩感知理论打破了传统的数据采样规则的限制，传统的信号采样要求满 足n y q u i s t 采样定理，采样后需经过编码，而压缩感知的数据采样率远远低于传 统的n y q u i s t 采样率，数据采样的过程就完成了高维信号在低维空间的编码过程。 压缩感知理论是一种新的数据采样方式；压缩感知理论的编码测量过程带有一定 的随机性，所以具有一定的保密性，对通讯等保密性强的工作具有一定意义；在 压缩感知理论中，编码端的工作原理是高维空间到低维空间的投影过程，工作简 单易行，而解码端的工作相对较为复杂，它是根据信号的测量矩阵和稀疏矩阵求 解最稀疏解的过程，使得压缩感知的编码端和解码端的工作具有非对称性；另外， 压缩感知理论不会有重点的选择某个分量，对信号的不同分量具有一定的公平 性，对测量有损和量化编码是稳定的；压缩感知的测量编码过程也具有一定的通 用性，均匀性等特征。而这些优良特征是传统的编解码方式所不具备的，这必将 会推动压缩感知理论研究的进一步发展，将压缩感知理论普遍应用于实际当中， 给人们的生活带来更大的方便。 2 2 压缩感知理论的原理 与数据获取领域通常的经验相反，压缩感知理论认为：许多自然或人造信号 或图像是稀疏的或者在某个变换域内具有稀疏性表示，利用随机测量矩阵可把具 有稀疏性表达的高维信号投影到低维空问上，然后通过选择合适的优化算法，可 以由少量的观测数据恢复出原始信号或图像。通过这种方式就能够直接获得信号 第2 章压缩感知理论简介 的高效表达。 假定一长度为的信号x 是k 稀疏的， 个基向里t j m 。爿的线性组合来表达，即 x = 、壬，s 则它能够由冗余基甲的k ( k n ) ( 2 。1 ) 其中s