（光学工程专业论文）一维光子晶体全角度反射器.pdf

摘要 一维光子晶体是一种从垂直入射到掠入射的全角度范围内在特 定波长范围内对t e 波和t m 波均具有极高反射率的周期介质反射器， 该波长范围就是一维光子晶体的光子禁带。它打破了以往金属反射镜 和介质反射镜的壁垒，实现了低损耗和全角度反射，因而在太阳能收 集、热电转换和微腔激光器及目标搜索和成像方面有重要的应用价 值。 一维光子晶体由两种或多种介质在一个方向上周期排列构成，本 文分别从电磁波传播以及薄膜光学的角度分析了这种周期结构产生 禁带的原因，分析结果表明对于特定的周期结构，某个频段的入射波与 晶体中的传播解不匹配，光波不能传播，从而构成一维光子晶体的禁带。另外。 本文还从理论上探讨了由各向异性介质构成的一维光子晶体的光学特性。 光子禁带的宽度由介质的折射率决定。折射率的比值越大，则禁 带越明显。由于本研究着重于可见光区和近红外区的一维光子晶体， 我们在实验中采用的是z n , s e 和n a 3 a i f b 两种材料。 由于在可见光波段，禁带比较窄，为获得一个较宽的禁带我们 采用几个膜堆迭加的结构，即结构为( h ，l 1 ) 5 ( h 2 l 2 ) 5 ( h 3 l 3 ) 5 h 的膜系，并取得较好的效果。 在制作过程中，遇到大量的工艺问题，我们通过反复实验，分析 了，不同基板温度、蒸发速率等因素对材料成膜的影响，并由此确定了 制作一维光子晶体的最佳工艺条件。 另外还用容差分析的方法分析了膜层折射率和厚度的偏差对其 禁带的影响，并由此对结构设计作了一些调整。 根据大量的实验数据和分析结果，我们镀制出可见光区和近红外 区的一维光子晶体，禁带分别有几十到一百纳米。 最后我们还介绍了国内外在一维光子晶体领域的一些研究进展与应用。、， a b s t r a l c t o n e d i m e n s i o n a l p h o t o n i c c r y s t a l i sak i n do f p e r i o d i c m e d i u m r e f 1 e c t o rt h a th a sv e r yh i g hr e f e c t i v i t yi nt h ew h o er a n g eo fi n c i d e n t a n g l ew i t h i n ag i v e nw a v eb a n d ，w h i c hi st h eb a n dg a po ft h e o n e d i m e n s i o n a lp h o t o n i ec r y s t a l i tb r e a k st h e1i m it so fi l l e t a lr e f l e c t o ra n d p e r i o d i cm e d i u mr e f l e c t o rf o rr e a l i z a t i o no fl o - l o s sa n do m n i d i r e c t i o n a l r e f l e c t i o n s oi tc a nb ea p p l i e di nm a n yf i e l d ss u c ha ss o l a rp o w e r c o l l e c t i o n ，h i g hp r e c i s i o nf i l t e r ，o b j e c ts e a r c h i n ga n di m a g i n g 。 o n e d i m l e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a li sc o m p o s e do ft w oo rm o r ek i n d so f m e d i a mv h i c ha r r a yp e r i o d i c a l l yi no n ed i r e c t i o n t h i sp a p e ra n a y s e st h e r e a s o nf o rt h eb a n dg a pe x i s t i n gi nt h i sp e r io d i es t r u c t u r ew i t hb o t h e l e c t r o m a g n e t i s i l lt h e o r ya n dt h i nf i l i l lo p t i c s t h er e s u l t o fa n a l y s i s p o i n t so u tt h a tf o ras p e c i a lp e r i o d i cs t r u c t u r e ，t h e r ei saw a v eb a n d i nw b i c ht h ei n c i d e n tw a v ed o e sn o tm a t c hw i t ht h eo p t i c a ls t a t e si nt h e o n e d i i l l e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l s ot h ei n c i d e n tw a v ei nt h ew a v eb a n d 。a nn o tt r a n s m i ti nt h eo n e d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a la n dt h ew a v eb a n d f o r m l st h eb a n d g a p h d d i t i o n a l l y ，t h i sp a p e ra n a l y s e s t h e o p t i c a l p r o p e r t i e s o fo n e d i m e n s i o n a l p h o t o n cc r y s t a l m a d eo fs t r a t i f i e d a njs o t r o p i cm e d i u mi n t h e o r y t h eb a n dg a po fo n e d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a li sd e t e r m i n e db y 1h er e f r a c t i o ni n d e xo fm e d i u m t h el a r g e rt h er a t i oo fr e f r a c t i o i li n d e x ， t h em o r eo b v i o u si st h eb a n d g a p f o r o u rr e s e a r c h e m p h a s i z e s o n e oi m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a li nv i s i b l e l i g h ta n dn e a ri n f r a r e dl i g h t b a n d s ，w ea d o p tt w o k i n d so f m a t e r i a lz n s ea n dn a 3 a i f sw h ic ha r eb o t h tr a n s p a r e n tf n v is ib le 1 i g h tb a n d b e c a u s et h eb a n dg a pi sv e r yn a r r o wi nv i s i b l e1i g h t b a n d ，w eh a v e t7 p i 】eu ps e v e r a ls t a c k so fl o wa n dh i g hi n d e xf i l ms y s t e m s w i t ht h ef i n a l 2 s t r u c t u r eo f ( h 1 l 1 ) 5 ( h 2 l 2 ) 5 ( h 3 l 3 ) 5 h ，w h i c hg e t sg o o de f f e c t s in p r a c t i c e d u r i n gt h ep r a c t i c e ，a1 0 t0 ft e c h n i c a lp r o b l e m sw e r em e t w ea n a ly s e st h ei n f l u e n c e s0 f d i f f e r e n tf a c t o r ss u c h a s s u b s t r a t e t e m p e r a t u r e a n d e v a p o r a t i o n r a t eb a s e d o f f m a n y e x p e r i m e n t s a t1 a s t w e g o t t h eb e s tt e c h n ic a lc o n d i t i o n sf o r m a k in go n e d i m e n s i o n a lp h o t o n i c c r y s t a l m o r eo v e rw ea n a l y z et h ei n f l u e n c eo f1i t i l ed i s p a r i t yo fb o t hl a y e r t h i c k n e s sa n dt h er e f r a c t i o ni n d e xw i t ht h em e t h o do ft o l e r a n c ea n a l y s i s b a s e do np l e n t yo fe x p e r i m e n td a t aa n da n a l y z i n gr e s u l t s ，w em a d e s e v e r a lo n e d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l su s e di nv i s i b l e1 i g h ta n dn e a r in f r a r e d1i g h tw h i c hh a v eb a n dg a p sf r o mt e nt oah u n d r e dn m a tl a s tw ei n t r o d u c e dt h ep r o g r e s s e si nm a k i n ga n dp r o p e r t ym e a s u r i n g o fo n e d i m e n s i o n a l p h o t o n i cc r y s t a l s a th o m ea n da b r o a d ，a n dt h en e w a p p l i c a t i o n s i np r a c t i c ea sw e l l 3 1 1 一维光予晶体概述 第一章 绪论 光子晶体是介质或金属材料在空间呈周期排列的晶体。受电子在固体晶格中 的运动规律的启发，人们通过类似的方法，套用许多固体物理的概念，如布里渊 隧，色散关系、布洛赫波等来讨论光子的运动规律，结果发现光予在周期结构中 有相似的运动规律。光子晶体亦具有光子能带和禁带结构，频率位于禁带内的电 磁波无法在晶体中传播。光子能隙的发现意味着可以抑制自发辐射，在基础研究 和实际应用两方面都具有重要意义。同样，类似于半导体中的掺杂，光子晶体中 掺杂，也会在光子晶体的能带结构中引入新的电磁波模式，这将给激光技术和非 线性光学等带来全新的应用，如制作零阈值的激光器、光滤波器等。光子晶体理 论的提出为精确控制光子的运动提供了可能，如同现在在半导体中控制电子的运 动一样。与电子相比，光子具有速度快，彼此之间不存在干扰的优点，一旦实现以 光子替代电子传递信息，则可大大提高信息传输的速度和质量。光子晶体是新一 代光子器件的基础，对它的研究必将给今后的电子工业和信息产业带来深远的影 响。 厕一一一 一媾七子品l = 蛙七乎墓i 三t 七f 品律 图l - 1光子晶体空间结构示意图 f i g 1 1 t h es t r u c t u r eo fp h o t o n ic c r y s t a l 光子晶体概念是二十世纪8 0 年代提出，而把光子晶体的概念运用于一维周 期结构，提出维光子晶体全方位反射器和一些其它方面的应用，则是近凡年的 事。一维光子晶体由两种或多种介质在一个方向上周期排列构成( 图 一1 ) 。1 9 9 8 年底，麻省理工学院的f i n ke t a l 和d o w l i n g 分别在s c i e n c e ，w i n n t a l 和y a b l o n o v it c h 分别在o p t c sl e t t e r s 上发表了四篇重要的文章，介绍 r 他们研制成功的一种维光子晶体全方位反射器( o m n i d i r e c t i o n a l 4 ，。f 1 。t 。r ) ，引起了学术界极大的关注。f i n k 等几位学者把半导体的研究方法 用于电磁波在周期介质中的传播，认为电磁波在周期介质中的传输矩阵满足 b l o c h 波解，即 瓯( 工，：) = e ( 工弦“e 啦 ( 卜1 ) 式中k 即为b l o c h 波数，k 的实数解对应传播态，虚数解对应衰减态，也就 是禁带。对于频率位于禁带内的入射电磁波，由于一维光子晶体内没有其对 应的传播态，因而不能传播。 一维光子晶体是介质只在一个方向上呈周期性排列的结构，其光子禁带的表 现形式就是对位于禁带内的入射电磁波，不论偏振状态和入射角度都可以实现全 部反射。 最初的反射镜是金属镜，它具有几乎全角度和宽频带反射，但是它有较大的 吸收损耗。多层周期介质反射镜损耗极低，因而在高增益激光器和低损耗滤光器 中得到了重要的应用，但这种反射镜的反射带对入射角很敏感，在b r e w s t e r 角 附近对p 偏振分量的反射率接近于零，具有一定的局限性，只能在特定入射角下 工作。如果我们把前面两种反射器视为第一代和第二代反射器，那么第三代反射 器就是一维光子晶体全方位反射器，它打破了金属镜和介质反射镜的壁垒，实现 了低损耗和全角度反射，是一种新型的反射器件。 在一维光子晶体的周期结构中掺杂，即局部破坏其规则排列，可能会导致一 维光子晶体的禁带中出现掺杂模式，形成能带。一维光子晶体的禁带和能带为实 现精确控制光子的运动提供了可能，越来越多的国内外研究人员致力于该项研究 中，并不断有新的研究成果见诸于各种学术论文中。 1 2 研究背景 麻省理工学院的f i n k 、w i n n 、d o , l i n g 和y a b l o n o v i t c h 等人根据式( 卜1 ) 所得出的一维光子晶体的平行波矢与频率图可以形象地看出光子禁带的产生( 图 】- 2 ) 。 ( b ) 图1 - 2 平行波矢频率 f i 9 1 - 2k v 图1 - 2 ( a ) 中n o = l ，n l = 2 2 ，n 2 = 1 7 ，两种介质的厚度比为h 2 m l = 2 2 17 。图( b ) 中介 质的折射率为n 1 叫6 ，1 1 2 = 1 6 ，厚度比为h 2 m 严1 6 08 。灰色部分是介质中的传播态， 白色部分是消逝态，黑色部分是全角反射带。全角反射带由正入射时的反射带 w h ( k x = y l a ，k y = 0 ) 以上和t m 波在光线w f ( k x = j i a 。k y = w f c ) 以下之间的部分构 戎，如图l 一2 ( b ) 中黑色部分所示。f i n k ，w i n n 等人根据计算结果，采用聚苯乙烯和 碲两种材料，作成的膜系兼有金属镜和多层介质的优点，实现了全角反射，频率 选择和低损耗。 同济大学波耳固体物理研究所的研究人员也傲了类似的探讨。当一束频率为 。的光正入射到图i - 3 的周期结构中，其电矢量所满足的m a x w e l l 方程可写为 一甲2 e + v ( x 7 e ) 一芒( r ) e ：篓e 。e c2 c2 ( 1 - 2 ) d，a ，b 、 图1 - 3 一维光子晶体的周期结构 f i g1 - 3t h ep e r i o d i cs 仃u c t u r eo f o n c - d i m e r i s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l 其中e 。为介质的平均介电常数，ed r ) 是扰动介电常数，。( r ) = e 。( v - d ) 。 电子能带理论中的薛定谔方程 k 2 一言v 2 + v 由2 胁 ( 1 - 3 ) 其中等效势场v ( r ) 其有周期为晶格常数r 的周期性v ( r ) = v ( r + r ) 比较式( 1 - 2 ) 和( 1 - 3 ) ，可以看出它们的形式十分相似，光子在一个折射率周 期变化的结构中的运动规律类似于在周期性势能变化下电子的运动规律：具有能 带结构，在一定条件下具有光子能隙。 寰i光予矗体棒丰导体i 盹的比较 走予体半导体 垴为年旁介电t 介震的一铮枷一期性眷 屯t l 觉) 在体率曲柠屯子曲蕾行痔 爵兜对囊 t 色干曩皋午 【甲x ( 志可x ) 】肌， 【- 差它m ， 术缸靠矗 = 菩日 一( f ，= 。e 一一 奉鬣矢电焉曩虞蠢焉重度：矢t 渡曩簟：标t 光乎繁带电子l 膏 静砭菇麓矗埯盼詹麓式t 整鑫 表面毒裹孵悉 足匿f气鼍竞) 竣i 是点子r 咔 1 3 本课题研究的内容 目前国内外在光子晶体和一维光子晶体领域的研究大多还是局限于微波段和 红外波段，对于波长更短的近红外波段甚至可见光区，由于材料特性和工艺条件 的限制，研究较为困难，有关这方面的报道也很少。 我们浙江大学光学与光电子薄膜研究所通过研究一维光子晶体全方位反射器 的理论和设计、电磁波在一维光予晶体内的传播规律以及全角度反射的边界条 件。探寻一维光子晶体的光子禁带的理论依据，并利用自己的技术专长，设计出可 见光和近红外区的一维光子晶体反射器，最终实验制备出着两种反射器件。具体 的研究内容包括： 1 在理论上，要研究从垂直入射到掠入射( 如8 5 0 ) 的整个角度范围内获得 某一频率高反射的理论问题。第一是带隙移动的问题，当入射角增加 时，带隙要向高频移动；第二是角度变化时，t e 和t m 波要有一个重叠 带：第三是t m 波( p 一分量) 在b r e w s t e r 角时对任何频率都将出现透射 带。这三个问题是解决维光子晶体全方位反射器的关键。要研究为 什么一维光子晶体能实现所有偏振光的完全反射，电磁波在一维光子 晶体内的传播规律，一维光子晶体满足全方位反射的边界条件，以便 更全面地了解一维光子晶体的工作机理，并获得更有效的设计方法。 2 在设计上，采用传输矩阵方法，在频率和波矢的光锥相空间探求一个 重叠带隙，这个带隙从垂直入射到掠入射的范围内对t e 和t m 波不存 在传播态，而是一个完全的反射态； 3 研究周期结构的折射率和折射率比，厚度和厚度比，以及周期数等参 数对全方位反射的影响； 4 设计出可见光区和近红外区实用的一维光子晶体全方位反射器，特别 是在可见光区，这种一维光子晶体全方位反射器应用前景很好，但由 于材料的限制，很难设计出宽频全方位反射器，为此将在设计和材料 上作深入的研究； 5 对不同材料和不同工艺进行实验，最终制造出上述两种全方位反射器； s 第二章一维光子晶体的禁带产生机理 2 1 光子禁带的电磁理论基础 光子晶体最根本的特征是具有光子禁带，落在禁带内的光是被禁止传播的。 为了探寻光子禁带产生的原因，下面我们以两种介质构成的周期结构为例讨论 ( 更多介质可类推) ，折射率分别为n 。和n 。，如图2 - 1 所示。 x 设入射面为x z 平面，x 方向与介质表面垂直，介质中的场分布可写为 e ( x ，z ) = e ( x ) e 杜 ( 2 - 1 ) 其中b 为平行波矢，z 是与介质平行方向。每层介质中的电场分量由正向波 和反向波叠加，二者合成的复振幅可用一列向量表示，则第r l 周期的a 层的电场 可以表示为 于是同一层的电场分布可以表示为 e ( x ，z ) = ( 口：。e 聃一”+ 醚8 p 聩m 。一”) p 2 廖 ( 2 2 ) 其中后。= 蕾( 国c ) 】2 一：y 2 ，口：1 ，2 ( 2 - 3 ) 列向量彼此之间并不独立，它们通过界面上的连续条件相互关联，实际上只 何一个列向量是可以任意选取的。以t e 波( e 矢量在y - z 平面内) 为例，由e 阳a e a x 在边界上的连续，可以得到以下等式 9 a n 一1 + b n 一】= e 一1 k h d c n + e k a d d n i k l x ( a n _ 1 - b n _ 1 ) = i k 2 x ( e - i k z z d c n - e i 。a d d n ) e - i k h a c n + e i k2 勺n = e 一1 k l t 8a n + e i k l ab n i k 2 x 箩 k h a c n - - e i kz * a d n ) = i k h ( e 一1 ”a n e i k l ab n)(2-4) 七面的四个方程可以写成如下的两个矩阵方程： 1 ) ( 鼍) _ ( 髻篷班一 ) ( 盘：_ e i e l k 婚“a ) ( 2 ) _ ( 筝k a 一i a ) 。， 这里我们是定义 a n = a 2 ，b n = b 鲁 c 。= a 铲d n = b 紫 涓去 ( 餮) 则得到矩阵方程 = ( 罢雅 c z 删 矩阵元素为 4 = 一m l c o s a 2 b 一tc 等+ 苦，勘k 2z b 占撕4 一号tc 等一鲁m 6 j c 一- j l _ 。 i 1 tc 每一等，血占j 。4 卜tc 等+ 每mk 6 j， 于是得到了( a i r ，b ，。) 到( b t i ) 的传输矩阵，并且可以验证a b c d = l 。 对于( c 。d 。) 到( c d ) 层的传输矩阵可以类推，它与式( 2 - 6 ) 中的矩阵不同， 但是可以发现二者的迹相同。本文后面会讲到，正是传输矩阵的迹( a + d ) 与这种周 朗介质的能带结构直接相关。 t m 波( h 矢量在y - z 平面内) 的传输矩阵的元素与t e 波稍有不同，具体形 t 0 式为 a = 口一4lc o s 卜吾jc 案兽+ 芸每，血 口一卜丢tc 薯每一豢妇k 6 e 一陋案等一簧每mk 6 。h - 卜k 。+ 专，c 案告+ 吾 ) s m 七2 # b j( 2 - 8 ) 若设第0 周期的n 。层电场分量为( a o ，b o ) ，则第n 周期的n 层电场分量可 表示为 = ( 三b i - o ( o 如0 ( 2 - 9 ) 一维光子晶体的周期结构又可以看作是一个周期场，所以b l o c h 定理成立， 可以用b 1 0 c h 波解的理论来解释。在如图2 - 1 周期介质中传播的波应具有以下形 式 e x ( z ，z ) = e k ( x 弦“口班 ( 2 1 0 ) 其中 e r ( 工+ 口) = e f ( 工) 常数k 即1 3 1 0 c h 波数，它决定了周期结构的通带结构。仍采用列向量的表示 方法，由式( 2 - 2 ) 和式( 2 1 0 ) 可得 眨 4 易知相位因子p m 是传输矩阵( a ，b ，c ，d ) 的本征值，可由下式确定： 口一i i d = ( 4 + d ) ，2 ( 4 + d ) ，2 】2 1 ) 1 7 2 ( 2 - 1 2 ) 等式两边实部与虚部分别相等，从而b l o c h 波数 足( f ，) = ( 1 d ) c o s 一1 k 矗+ o ) ，2 ( 2 1 3 ) 满足i ( a + d ) 2 1 1 的区域对应复数的k ，即b l o c h 波的衰减解，它所对应的波在介质 中的光学状态密度迅速衰减，入射波与晶体中的传播解不匹配，从而不能传播， 即一维光子晶体的禁带。 至此，我们已经把探寻一维光子晶体的光子禁带的问题，归结为寻找满足 判据i ( 4 + d y 2 l 1 的频率范围的问题，由式( 2 6 ) 和( 2 8 ) 可知，对于给定 结构，a 和d 是介质垂直方向波矢七一( n = 1 ，2 ) 的函数，也就是入射波矢和入射 角的函数。 以上推导都是针对无限周期结构，对于有限周期的结构，y 方向波矢不变， 而x 方向不再保持对称的形式，k 因为完全由单层介质的特性和周期结构决定， 形式不变。在k 为复数的区域内( 即禁带) ，电磁波无传播态，只能反射；随周 期数增大，反射率趋向于1 。 根据以上的推导过程，可以设计一个计算程序。利用计算机的高速运算功能， 对不同的频率和入射角进行扫描。确定某一波长范围，即确定了响应的频率( m ) 和波矢( k ) ，平行波矢b = 黔s i ne 。利用后。= ( c ) n 。】2 一2 y ”，口= 1 , 2 ，分 别求出t e 和t m 波的a 、d 值，然后根据判据l ( 彳+ d ) 2 i 1 进行判断。禁带计算 程序流程如图2 2 所示。 把数值代入程序运算。因为一维光子晶体的周期结构适于通过镀膜的方法实 现，所以我们选取光学镀膜中较为常用的两种材料的参数：h ( z n s e ) 和l ( m o f 2 ) 。z n s e 的透明区域在0 5 5 1 5 p m ，折射率为2 5 8 ( 0 6 3 3 p m ) ，m g f 2 的透明区域在0 1 1 6 扯m ，折射率为1 3 8 ( 0 5 5 p - m ) 。 采用最常用的x 4 膜系，即基本周期单元为( h l ) ，膜厚a 、b 由镀膜的控制波 长( 这里我们选为可见至近红外光波段) 决定。具体的计算结果如表2 - 1 所示： 表2 1 根据判据i ( 爿+ d ) 2 i 1 计算所得的禁带范围 f 控制波长( 1 3 1 1 1 ) 7 0 08 0 09 0 01 0 0 0 j 禁带范围( n m ) 5 8 6 6 2 46 6 9 - 7 1 47 5 3 - 8 0 38 3 7 8 9 2 j 2 2 周期介质反射镜 薄膜光学中的周期介质反射镜是利用高低折射率介质的 4 膜层周期排列 来达到某一波段的高反射，其结构符合一维光予晶体的条件。实际中发现某些为 正入射条件设计的反射镜也可作为全角度反射镜工作，其全角度反射带实际上就 是一维光子晶体的光子禁带，所以说满足特定条件的周期介质反射镜同样具备一 维光子晶体的特征，是一维光子晶体的一种特例。 要实现全角度反射，面临的困难有：( 1 ) 带隙移动的问题，当入射角增加时， 图2 - 2 禁带计算程序流程图 f i 9 2 2 c a l c u l a t i n gp r o g r a mo fp b g 反射带要向高频移动；( 2 ) 角度变化时，t e 和t m 波反射带分离：( 3 ) t m 波在 b r e w s t 。r 角时对任何频率都将出现透射带。下面针对这几个问题作逐个分析。 对商低折射率介质间隔的 4 膜系，在某一入射角下达到最大反射率的条 件是一个周期的光学厚度是该入射角反射带的中心波长的一半，数学表达式为 d 2 = t hn hc o s 0h + t l n l c o s0l( 2 - 1 4 ) 其中1c 是入射角为0 。时反射带的中心波长，t h 和t l 分别是两种介质层的 物理厚度，n h 和n l 是两种介质的折射率，0h 和0l 是介质中的折射角。 t l = d ( 4 n l ) ，t h = 0 ( 4 n i l ) ，其中 0 是膜系制备的设计波长 根据折射定律s i n oi = n l s i n0l = n h s i n0h( 2 1 5 ) 由式( 2 - 1 4 ) 和( 2 - 1 5 ) 可得出 九c = ( xo ，2 ) 【( 1 s l n 2oi ，n l 2 ) 1 ，2 + ( i - s i n 2oi i n h 2 ) 1 ，2 】 ( 2 1 6 ) 式( 2 - 1 6 ) 反映出反射带的中心波长随着入射角的增加向短波漂移。 反射带的边缘波长xe = x c ( 1 g ) ( 2 - 1 7 ) 其中带宽修正因子g = ( 2 ) s i n 1 ( f l h - nl ) ，( n h + nl ) 1 ( 2 - 1 8 ) u 和n h 分别是高低折射率层的有效折射率。有效折射率的定义是 对于s 光( t e 波) ，qs = n s o 对于p 光( t m 波) ，r t p ：n c o s 0 ( 0 是介质中的折射角) 于是可以画出该反射镜的反射带随入射角的变化示意图( 图2 3 ) 。图中实 线是s 光反射带，虚线是p 光反射带。注意s 光和p 光在正入射时的反射带是重 合的，但随着入射角增大，两种偏振方向的光的反射带向短波飘移，并逐渐分离， s 光反射带增大，p 光反射带减小。如果p 光在9 0 0 入射时反射带的长波边al o n g 大于s 光在正入射时的反射带的短波边九s h o r t ，则它们之间的部分就构成一个 全角度反射带，波长位于该反射带中的入射光可实现全偏振全角度反射。 全角度反射带 a = x l o n g - s h o r t ( 2 - 1 9 ) 其中 l o n g = ( 1c ) 。詹f 1 + ( ag p ) ，脚 九s h o r t = ( 1c ) o d - ( g0 0 1 ( 2 2 0 ) 1 4 图2 - 3 反射带与入射角的关系示意图 f i g 2 - 3t h er e l a t i o nb e t w e e nr e f l e c t i r eb a n d sa n d i n c i d e n ta n g l e s 把上一节举的例子，即h ( z n s e ) 和l ( m g f 2 ) 两种材料构成的周期结构 代入式( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 计算，结果如下表所示。把计算结果与与表( 2 1 ) 比较，可以发现两种方法得出的禁带基本吻合。 表2 - 2 根据式( 2 1 9 ) 计算所得的禁带范围 控制波长( 1 1 1 1 1 ) 7 0 08 0 09 0 01 0 0 0 禁带范围( n m ) 5 8 3 6 2 56 6 5 - 7 1 67 5 0 8 0 48 3 5 - 8 9 0 至此我们已从薄膜光学的角度分析出对于周期介质反射镜这样一种特定的 一维光子晶体，其禁带的产生原因与表现形式。周期介质反射镜虽然只是一维光 子晶体的一种特例，但却对一维光子晶体的理论研究与实验制备有着重要的意 义。 以上根据传统薄膜光学原理得出的介质高反膜的全角度反射带与一维光子 晶体的光子禁带的思想是不谋而合的，而且经实际计算它们在数值上也是基本吻 合，但这却是两个不同的概念。光子晶体的概念来源于固体物理中的周期结构思 想以及电动力学中的电磁场理论，受电子在固体品格中的运动规律的启发，人们 通过类似的方法，套用许多固体物理的概念，如布里渊区、色散关系、布洛赫波 等来讨论光子的运动规律，结果发现光子在周期结构中有相似的运动规律。光子 晶体亦具有光子能带和禁带结构，频率位于禁带内的电磁波无法在晶体中传播。 f 而传统的光学膜系主要来源于在衍射光学基础上发展起来的薄膜光学。多层膜体 咖啪哪瑚伽咖咖咖咖枷咖 )pio gd芑：oh 系大都在x 4 波长的基础上发展起来，而一维光子晶体从光子能带结构的角度 出发，在结构上没有入4 波长之说，只要存在周期性结构即可。所以具有周期 结构的高反膜系只是一维光子晶体的一个特例，高反膜的全角度反射带是一维光 子晶体的光子禁带的特殊表现形式。全角度反射带的提出正是受到一维光子晶体 光子禁带思想的启发，它不仅丰富了薄膜光学的内容，同时又从薄膜光学的角度 验证了光子禁带的存在。 尽管介质高反膜只是一维光子晶体的特例，但却有着重要的意义。到目前为 止，只有光学镀膜的方法可以将一维光子晶体的晶格常数作到可见光波段，其它 微加工方法不仅制作成本高，而且精度最高也只能达到远红外波段。实际中可根 据需要选取适当材料和控制波长，由式( 2 - 1 9 ) 计算其全角度反射带，这种方法 不仅设计简单，而且制备工艺成熟，在实际中有着广泛的用途。 2 3 各向异性介质构造的一维光予晶体的探讨 以上所讨论的一维光子晶体全方位反射镜的每层介质都是由非晶态材料 ( 非晶体) 或晶态材料中的多晶体构成，介质内部均表现出各向同性。各向异性 的介质材料是否可以构成一维光子晶体并具有类似的禁带结构，迄今为止还未见 相关的报道。虽然由于晶体材料的限制，目前很难作这方面的实验，但我们还是 从理论上对各向异性介质构造的一维光子晶体的特性作了分析。基于对单轴晶体 的光学特性的研究，我们分析了各向异性的介质构成的周期结构，该结构的每层 介质都有一个光轴，与光轴垂直方向的折射率为n 。，沿光轴方向的折射率为n 。， n o n 。，即每一层都相当于一块单轴晶体，而相邻两层的光轴的夹角为9 0 0 ( 如 图2 4 所示) 。 p 】芒兰兰三要三三三三三三三= 勇_ p 2 芒兰三三= 三= 三三! 苎= 竺司 f p 3 已! 竺竺= 三三习_ e 三三= 三三三三三三三苎三三三三， 芒= 三三三三三兰兰三三= 国叶 ：芒三= 三三要三= = 兰= 苎三苎= 三j f l a y e r so fm e d i a d if e e t i o n so fo p t j c a la x e s 图2 4 各向异性介质的周期结构 f j g 2 - 4p e r i o d i cs t r u c t u r eo fu n i a x i a la n is o t r o p icm e d l a 对于各向异性的介质，我们采用b e r r e m a n s4 4 矩阵法。4 4 矩阵法的核 心是一个联系介质入射处和出射处的电场和磁场的切向分量的传输矩阵p 。 对于如图2 - 5 所示的介质层，光轴与入射面( x z 平面) 的夹角为妒，则该介 质层的传输矩阵为 f = 风7 + 届五+ 屁銎+ 尼盈 ( 2 2 1 ) 图2 - 5 介质层中的坐标关系 f i g 2 - 5 c o o r d i n a t er e l a t i o ni nt h em e d i a l a y e r 其中，a = a 1 3 0 a 2 3 0 0 m a 4 3 0 l l = 1 3 。0 x 2 a l o 1 ， e 3 3 h = 气半k 一气宇 ( 2 2 2 ) 斟2 1 厶萨气生兰壁生一z ： 置b ： 占2 ”0 2 ，e 2n t 2 ，x = os i n 0 , 锄2 屯。f = 8 一气 屈是方程 e x p ( i k o 丑 ) = 风+ 届 + 屈名，2 + 屈乃3 ( 2 2 3 ) 的解，其中= = 。，九是入射单色波的波长。 五是五的特征值 矗：g 一z ：) ：， = 哮m l 一w 、o ” j 屈的解为 风一i l l 乃舢，焘o o h 屈= 善4 q ”铂) 击 屈= 乜以+ a ， + 以丑) 了筹 l l “。n “ 履一喜阮帆+ 乃) 去 l i l7 0 i f 7 叶7 0 “ ( 2 - 2 4 ) 肛一善赤 托屯孙 其中 兄口= 一乃，z = e x p ( i k 。 】h ) ，f ，女，f = l ，2 ，3 ，4 。所有的f ，j ，z 是相互不同 的值。当有不同下标的特征值有相同的值时，可用l h o s p i t a l s 法则来确定屈 的值。这样我们就得到了4 4 矩阵法在单轴晶体中的传输矩阵p 。 由多层各向异性膜组成的结构，可分别计算它们的传输矩阵p 1 、p 2 、p 3 ，总的传输矩阵是各个矩阵的连乘。 户= 兀只 扣l( 2 - 2 5j 有了膜系的传输矩阵，可以得到它的反射率。如图2 - 6 所示，以 妒= e ，e ，h 。，h ， 7 来表示电磁场矢量，则、y ，和分别表示入射，反射和 透射的电磁场矢量，和n 表示入射和出射介质内的电磁场矢量。假定器件被 央在两种折射率分别为啊和n ：的各向同性的介质中，系统有如下关系： ，+ ，= y 。，= l ，吵1 = 户 ( 2 2 7 ) f 1 j r r 图2 - 6 入射，反射和透射矢量示意图 f i g 2 - 6s c h e m eo fi n c i d e n t ，r e f l e c t e da n dt r a n s m i t t e dv e c t o r s 在各向同性介质中根据m a x w e l l 方程组和物质方程，可以得出e 和h 之间 的关系，这样我们就可以把、昕和虬改写为( 为便于标注，反射与透射的电 场矢量用r 和t 表示) ： 舻褂舻斟= 蚓 兵甲 。= 。b ，r y = n ic o s 口1 ，7 = 。眈，。矾s 幺， 岛为入黼1 9 2 = s i l l - l ( 删。 【疗， 根据式( 2 - 2 7 ) 、( 2 2 8 ) ，可得 t = g l l e 。+ 9 1 2 r + 9 1 3 e y + 9 1 4 b ， 0 = 9 2 l e ，+ 9 2 2 r ，+ 9 2 3 e ，十9 2 4 r y ， t y = g m ex + g 辊r x + g n e y + g m r v ， 1 。p = 9 4 1 e x + g n r x + g n ey + g r y ， 其中 g - ，2 舅l + 只2 ，g j 2 = e 1 一日2 ，9 1 3 = 鼻3 + 0 鼻。，9 1 4 = 鼻3 0 只4 譬2 】= 只l + ，；屹 9 2 25只。一另2 ，g ：，：二掣，g ：。：_ t l - r ，t 2 , 0 昏，= = 只，+ 只：，g 。= 只，一& ，g ”= b 3 + 匕，9 3 42 只3 0 8 4 ； g 。，= ：! 量单，g 。：! 华，g 。，：! 掣，g 。：p 4 3 - r ，y p 4 4 。 r pr y r y r y 解上面的方程组，就可以得到系统的透、反射系数j r 。= r n ex + r 口ey ， r r = r 口e 。+ r 口ey ， t = ( g 。+ g 。：k + g 。虹+ b 。，+ g ，：勺+ 酌。归， e = 如，+ g ，：o + g 。废+ k 3 ，+ 占，：勺+ g 。白皿 其中 o = q 一1 【( g ：，一g ，x g 。一g 。) 一( g 。，一9 3 | x g 一9 2 4 ) 】， = q 一1 【( g ：，一g ，x g 。一g 。) 一( g 。，一g a a x g ，。一9 2 4 ) 】， k = q c g 。：一g 。x g 。- g ，) q 。：- g 。：x g ：- g ，。) 】， r 。= q 。【( g 。：一g ：2 x g 。，一9 3 3 ) 一( g 。：一9 4 2 x g ：，一g ，) 】， q = ( g 。：一g ：x g 。一g 。) 一( g 。- g 。：x g 】4 一g 。) ( 2 2 9 ) ( 2 _ 3 0 ) ( 2 - 3 1 ) 针对图2 4 所示的周期结构( 同一种介质，相邻两层的光轴夹角为9 0 度) ， 用上酾分析的结果计算反射系数。这里我们假定n 。= 】8 ，n 。= 1 3 ，周围介质都是 空气，入射面在x z 平面内，共有9 个周期。计算结果标明，r 。r 。 2 ，则可以在较宽频带中获得p 光的高反射率。另外，p 光有效折射率在n - - 1 5 附近有最小值，当某一种介质折 射率取在1 5 附近时，不仅可避免b r e w s t e r 角，还能获得较大的p 光折射率比。 3 2 材料的选择 作为光学薄膜材料有以下几方面的性质是很重要的，即透明度、折射率、机 械牢固度和化学稳定性以及抗高温辐射等。 介质材料一般在一定的光谱区域是透明的，如图3 - 2 ，在短波吸收带，由于 光子的作用使材料中的电子由价带跃迁到导带，这种情况只有当光子能量大于禁 带宽度才能发生。在透明区，光子能量不足以使价电子激发，此时除了少量杂质 吸收和半导体中的自由载流子吸收外，没有其它吸收能量的机理。而随着