（岩土工程专业论文）考虑固结系数为非常数时固结方程差分解.pdf

铁道科学研究院硕士论文 i i i i 宣皇i i ,1 1 1 i i i 葺i - 摘要 采用太沙基固结理论为基础的高木俊介法计算软土固结沉降，结果与实测沉降存在 差异。原因是：太沙基固结理论的基本假设与软土的变形性状有较大差别。全面考虑各 种影响因素，采用大变形、非线性固结理论计算软土固结沉降比较符合实际，但是理论 复杂，参数选取较难，实际应用存在困难。软土随着压密，孔隙比发生较大变化，土的 性质也发生变化，其中固结系数的变化不容忽视。研究固结系数为非常数的固结方程差 分解，参数易取，计算程序简单，而且结果较太沙基经典方法接近实际，具有实用意义。 本文的主要工作：( 1 ) 推导出了太沙基一维竖向固结方程和太沙基伦杜立克径向 固结方程，固结系数为非常数时的差分方程，用m a t l a b 语言编制了差分程序；( 2 ) 深 圳湾淤泥主固结系数随荷载增加而逐渐变小，通过室内固结实验结果分析和工程实际数 据统计，给出固结系数的变化规律；( 3 ) 选用了珠江三角洲地区三个工程实例，用差分 解沉降曲线与实测曲线进行了对比，说明了传统固结计算方法和差分法的适用范围；( 4 ) 应力固结度与应变固结度是不同的，通过对时间固结度曲线的分析，得出在压缩量很 小的情况下，应力固结度和应变固结度可以互相代替，在较大变形条件下( h e 0 5 5 时) ， 应力固结度和应变固结度有在工程上不可忽视的差异。 关键词：软土，固结，有限差分法 铁道科学研究院硕士论文 a b s t r a c t t h ec o n s o l i d a t i o ns e t t l e m e mc u r v eo b t a i n e db yg a o m u l u n j i em e 也o dc r i t e r i o nb a s e do n t e r z a e i a ic o n s o l i d a t i o nt h e o r yi sc o m p a r a t i v e l yd i f f e r e n tf r o mm e a s u r e di ns i t e ，m a i n l y b e c a u s et h eb a s i ch y p o t h e s i so ft e r z a g h ic o n s o l i d a t i o nt h e o r yi sn o ti d e n t i c a lw i t ht h es o f t s o i ld e f o r m a t i o nc h a r a c t e r i n d e e d ，c o n s i d e r i n ga l lk i n d so fi n f l u e n c i n gf a c t o r s ，i t sm o r e c o n f o r m i n g t of a c tt oc a l c u l a t es o i lc o n s o l i d a t i o nw i t ht h e l a r g es t r a i nt h e o r y b u t a i l - p e r v a d i n ga p p l i c a t i o ni sl ! n o t t y s i n c et h ec o m p l e x i t yo ft h et h e o r ya n dd i f f i c u l t yo f p a r a m e t e rs e l e c t i n g t h ec h a r a c t e r so fs o i lc h a n g eg r e a tw h i l eb e i n gp r e s s e dd e n s e l y , e s p e c i a l l yt h ec o e f f i c i e n to fc o n s o l i d a t i o nc a n n o tb ei g n o r e d s ot h es t u d yo ft h ef i n i t e d i f f e r e n c er e s e ti nc o n s o l i d a t i o ne q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n to fc o n s o l i d a t i o ni s p r a c t i c a ls i g n i f i c a n t t h em a i nw o r ki n c l u d e s ( 1 ) b a s e do nt e r z a g h ic o n s o l i d a t i o nt h e o r y , t h ec o r r e s p o n d i n gf i n i t ed i f f e r e n c e 砸m v a r i a b l ec o e f f i c i e n to f c o n s o l i d a t i o ni so b t a i n e da n dt h ep r o g r a mi sw r i t t e ni nm a t l a b ( 2 ) t h ec h a n g i n gr u l e o fc o e f f i c i e n to fc o n s o l i d a t i o ni s a n a l y z e dt h r o u g hi n d o o r e x p e r i m e n tr e s u l t sa n dp r o j e c ts t a t i s t i ci ns h e n z h e nb a y 0 ) a p p l y i n gb o u n d so ft h et e r z n g h ic o n s o l i d a t i o nt h e o r ya n dd i f f e r e n c em e t h o da r e e x p l a i n e db yc o n t r a s t i n gt h ec o n s o l i d a t i o ns e t t l e m e n tc u r v e so ft h r e en u m e r i c a ls o l u t i o n s r e s p e c t i v e l yi ns h e n z h e n , g u a n g z h o ua n df o s h a n ( 4 ) mc o m p r e s s i o nq u a n t u mo fs o i li sc h a n g e dt og e tas e r i e so f c u r v e si n a s m u c ha st h e s t r a i nc o n s o l i d a t i o na n ds t r e s sc o n s o l i d a t i o na r en o to n ea n dt h es a m e w h e nt h ec o m p r e s s i o n q u a n t u mi sl i t t l e ，r e p l a c e m e n to f e a c ho t h e ri sa c c e p t e d k e yw o r d ：s o rs o i l ；c o n s o l i d a t i o n ；f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d 铁道科学研究院学位论文 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中己经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：骂驰 日期：如。6 年f 月i t n 铁道科学研究院硕士论文 第一章前言 1 1 、本项研究工作的意义 软土地基排水固结法处理的目的是利用预压荷载达到：1 ，消除或部分消除建筑物 和构筑物地基可能产生的沉降；2 ，提高软土地基的强度。由于排水固结法处理的效果 取决于在预压荷载作用下超静孔隙水压力的消散和土层的固结，因此固结水平的估算是 排水固结法设计的关键问题之一。 对于固结水平的估算，规范上推荐采用以太沙基固结理论为基础的高木俊介法，该 法建立在小变形、线弹性的基础上，有其较好的适用性。但是，工程实践发现，对于大 孔隙比、压缩性高的超软粘士采用该法估算软土的固结水平，计算结果与实际存在较大 差异。例如，深港西部通道采用堆载预压法处理大孔隙比海相淤泥，规范法计算预压1 2 0 天可满足卸载要求，而实际2 6 0 天才可以卸载，由此可见理论分析和实际的差距之大。 造成计算结果与实际存在较大差异的原因是太沙基固结理论的基本假设与大孔隙 比软土的变形性状有较大差别。早在2 0 世纪6 0 年代很多学者就注意到这个问题，做了 大量的研究工作，提出了大变形固结理论。由于大变形固结理论比较复杂，参数选取较 难，实际应用存在困难。研究表明，采用固结系数为非常数的固结方程差分解( 下简称 差分法) ，较接近实际，而且参数易取，计算程序简单，具有实用意义。 1 2 、本文工作简介 1 、推导出了固结系数为非常数时太沙基圃结方程的差分方程，用m a t l a b 语言编制 了差分程序。 2 、深圳湾淤泥主固结系数随荷载增加而逐渐变小，通过室内固结实验结果分析和 工程实际数据统计，给出固结系数的变化规律。 3 、选用了珠江三角洲地区三个工程实例，用差分解沉降瞌线与实测曲线进行了对 比，说明传统固结计算方法和差分法的适用范围。 4 、分析了应力固结度和应变固结度的区别，提出在何种情况下，可以采用应力固 结度代替应变固结度。 1 3 、固结理论研究与发展 1 3 1 、小变形固结理论发展与回顾 1 9 2 5 年t c i z a g l l i 建立了饱和土一维固结基本微分方程： 1 铁嫩科学研究院硕士论文 黼i i i i i ii ! ii 1i i i i i i _ 竺望垒。丝 ( i 。1 ) 一一= 一 tll ， 。8 。藐i 穰 该理论是建立在以下假定的基础上的： ( 1 ) 俸是均质取完全镪和的： ( 2 ) 骨架是线弹性俸； ( 3 ) 绽隙水渗流符合达西定律，土的渗透系数为常数： ( 4 ) 与韵始厚度穰比鹣土俸圈镣交形为小变澎； ( 5 ) 搿载是一次瞬盼施加斡并维持不变。 这些假定的采用，使得土体限制于一维变形，维渗流，恩荷载恒定。t e r z a g h i 固 结理论灵熊泛辍诗算固缓沉终，聱，懑过巍鹾变缘攘求备对刻潮结度，进蕊求沉降。 d a v i s & r a y m o n d ( 1 9 6 5 ) 在研究疆常固结粘主的圜结方稳辩，应用基予圈结试验 e l o g c r 关系，通过假定固结方程中渗透系数屯与体积压缩系数坞变化是同步的，得 笺了霾镰系数兔僵羹下熬一维 # 绞瞧嚣结方程，势盈褥笺了荚辩撰瓣。 r e n d u l i e ( 1 9 3 6 ) 假您土体发生竖向变形，多向渗流，将t e l z a g h i 的一维围结理论推 广至二维、兰维情况，褥戮t e r z a g h i - - r e n d u l i c 扩散方程。虽然t e r z a g k i - - r e a d u l i e 固结 瑾论并j # 囊征意义上静多缍国结瑾谂，但是由予箕摩焉方便，工程中常常使耀t e r z a g h i - - r e n d u l i c 圊结方程解决砂井固结问题。 b l o t 予1 9 4 1 年提恕了更普遍鲍三缝固结理论。b i o t 从较严糖的固结帆璎出发，推 导了准确反淤孑0 压清敖与土骨架变形籀互关系的三维固结理论。b i o t 匿结蓬谂可| ：主考虑 三向渗流，兰向变形以及衙载的变化。这与t e r z a g h i 理论相比前根本性的区别，即b i o t 罄整理论劳没有嫂定露缝过程中法恕慈应力之窝不随对阕变化，蓉增热忿镁宛，将褥到 和t e r z a g h i 瑟结方程完众致的形式。函此可戳说，t e r z a g h i 圈缝方程是b i o t 豳结方程 的一种特殊形式。 z n i d a r i c & s c h i f f i n a n ( 1 9 8 2 ) 在对t e r z a g m 一缕罄结理论翳概念终了避步熬研究 后指出，t e r z a g h i 予1 9 2 3 年最早提出一维圆结方稷时采用了基予有限变形的耪质坐标描 述土体变形，但是在引入边界条件时，为了求解的方便，又加上了小变形的假定。谢新 字( 1 9 9 6 ) 搀窭t e r z a g h i 手1 9 3 6 年绘懑熬霾结方程是蓑手枣变形缓定豹。 传统的闺结理论是黎于小变形假定的，虽然旋实际中有较好的适用性，但是对于新 近沉积的软土，人工吹填土等，在自重及荷载作用下将产生很大的固结沉降，而且其固 结系数也随时间改变，采用小变形的假定，所求的结果与实际情况相差甚远。w e b e r ( 1 9 6 9 ) 曾报道土体压缩层在固结期间厚度减小8 0 ，如此大的变形量已经远远超过了 小变形假定的范围。在这种情况下，只有采用大变形、非线性固结理论计算，才更符合 实际情况。 1 3 2 、大变形固结理论的研究与发展 1 3 2 1 、大变形固结理论的研究 大变形固结理论的研究始于2 0 世纪6 0 年代。g i b s o n 等( 1 9 6 7 ) 采用了一种全新的 坐标固相物质坐标z ，由土体平衡条件、流量平衡条件、达西定律和有效应力原理 提出了以孔隙比e 为控制变量的一维大变形固结方程。 皓一 象胎鲁鼢警外否0 e = 。 ：， 式中y 矿儿一土体液相、固相重度；七，一渗透系数，为孔隙比函数；仃一有效应力，为 孔隙比的函数；t 一时间。当坐标方向与重力方向相反时取负号。 李冰河( 1 9 9 9 ) 指出g i b s o n 固结方程对于土体的应力一应变关系、渗透性、土层 厚度变化的大小以及土体自重的影响都没有限制，因此是一维固结方程的通式。当假定 应变为小应变时，如果采用线弹性应力一应变关系，并假定渗透系数丸为常数，可将式 ( 1 2 ) 退化为最简单的t e r z a g h i 一维固结方程；而如果不考虑土体自重，同时引入 e l o g o 关系，并假定生删掣：恒量，就得d a v i s & r a y m o n d ( 1 9 6 5 ) 关于非线 y_de 性小变形的固结方程。由此可见，无论线性还是非线性的小变形理论都是大变形固结理 论的特例( s e h i f f m a n ，1 9 8 0 ) 。 此后大变形固结方程沿着两个方向发展：一方面，基于g i b s o n 等人的理论，进行 理论的完善和数值求解以及试验验证等，另一方面，随着非线性连续介质力学的发展， 建立在有限变形理论基础之上的大变形固结理论及数值分析也不断取得进展。 g i b s o n 等( 1 9 9 5 ) 指出，大变形固结理论要考虑的不仅是固结过程中土层厚度的变 化，渗透系数丸的变化以及e 口的非线性关系都是大应变固结问题的重要影响因素。 因此一般情况下要获得能考虑各种影响因素的一维大应变固结方程的解析解是相当困 3 铁道科学研究院硕士论文 难的。 p o s t i t t ( 1 9 6 9 ) 采用摄动法求解考虑渗透系数和压缩性变化的一维固结方程，但是 为了能够用摄动法分析问题，必须要有一个无量纲的小量，因此p o s i t t 在求解过程中采 用了与g i b s o n 等( 1 9 6 7 ) 采用差分法计算时类似的近似代换，虽然他们都对非线性大 应变固结性状作了探讨，但是参数意义不够明确，所以不能直观而全面的表述各个因素 的影响特征。 谢新宇、潘秋元、曾国熙( 1 9 9 5 ) 建立了以位移为控制变量的饱和土体一维大变形 固结方程，李冰河( 1 9 9 9 ) 采用半解析解法以获得较普遍情况下g i b s o n 固结方程的解 答，固结系数随固结过程变化，讨论了各种因素影响下地基的孔压消散，沉降以及固结 度的发展情况。t a n & s c o t t ( 1 9 8 8 ) 则给出了不考虑土性变化条件下半无限土体一维大 应变固结的一个解析解，谢康和等( 2 0 0 2 ) 假设土体固结中压缩性和渗透性的非线性变 化遵循一定条件，得到大变形固结方程的解析解。谢康和等( 2 0 0 3 ) 建立了能考虑土体 自重、荷载变化等影响因素的拉格朗日坐标系下以超静孔压u 为变量的一维大应变控制 方程，并通过对土体压缩性和渗透性的假定获得了方程的解析解。 g i b s o n 等人理论的计算与传统的小变形固结理论相比，更多的是体现了材料的非线 性，若要真正的反应土体固结的几何非线性，则宜采用连续介质力学大变形理论。 基于连续介质力学的大变形固结理论的研究始于七十年代，同时，由于在平面或空 间问题中计入大变形的因素，只有通过数值分析的方法来实现。近三十年来，基于连续 介质力学基本理论的大变形固结理论有了较好的研究。c a t e r ( 1 9 7 6 ) 基于欧拉描述建立 了般形式的三维大变形固结方程，并应用有限元法进行数值求解，但是该理论表达式 复杂，不便于建立计算模式，周正明( 1 9 9 0 ) 采用物质描述的有限元法，在原有小变形 有限元计算程序的基础上，增加了大变形分析计算程序段，比较了两种理论的地表沉降 的差别；谢永利( 1 9 9 4 ) 建立了空间描述的大变形固结微分方程，以及物质描述的控制 方程并编制了完全拉格朗日描述大变形固结有限元程序，并进行了土工离心模型试验对 数值分析做了验证。谢新宇( 1 9 9 6 ) 基于连续介质力学基本原理，建立了物质描述下和 空间描述下以位移为控制变量的一维大变形固结微分方程，说明了不同方法得到的固结 微分方程的差异并考虑了固结过程中渗透系数和压缩系数的变化，进行了一维固结问题 有限元分析，讨论了不同计算模式下的地表沉降、超静孑l 隙水压力和固结度的变化规律。 蒋明镜( 1 9 9 8 ) 采用完全拉格朗日描述，引入剑桥模型，考虑刚性旋转不变性的影响， 4 铁道科学研究院硕士论文 得出大变形沉降量小于小变形的沉降量。 1 3 2 2 、数值方法在大变形固结理论研究中的应用 在用数值方法进行分析大变形固结理论时，最常用的是有限差分法和有限元法。 o l s o n & l a d d ( 1 9 7 9 ) 指出，在用有限差分法计算时，将各节点看成界面节点可以自 动考虑大应变和非均质应变的影响，他们研究了时间沉降曲线对各种e 盯关系的 敏感程度，同时还说明了固结系数c 。作为有效应力的参数的变化对固结的影响。 t o w n s e n d ( 1 9 9 0 ) 、泱振舜( 1 9 8 7 、1 9 8 8 ) 也曾用有限差分法研究了g i b s o n 的一维大应 变固结方程。文海家( 2 0 0 3 ) 在g i b s o n 固结方程的基础上，建立了以位移为控制变量 一维大应变固结方程，采用有限差分求解对不同软土层间的边界进行连续性处理，最后 得到了多层超软土大变形固结有限差分解。 同时有限元法在大应变固结问题中的应用也十分广泛：c a t e r 等( 1 9 7 7 ) 首次用g 琦e n 应变张量表述变形量，给出了一般形式的的饱和土体三维大变形固结理论，并给出空间 描述下有限元法分析结果，开创了大变形固结有限元法的先河；p r e v o s t ( 1 9 8 2 ) 使用空 间描述有限元分析比较了一维大应变和小应变固结沉降量的差别，同时，还给出了一个 二维固结问题的算例：周正明( 1 9 9 2 ) 采用了物质描述的有限元法，用加权残数法离散 得到了一组大变形固结方程，在原有小变形有限元程序的基础上，增加了大变形的计算 程序块，比较了大应交和小应变固结理论的地表沉降和应力分布结果；谢永利( 1 9 9 4 ) 推导出空间描述下和物质描述下三维大变形固结方程及完全拉格朗日表述的增量有限 元法，编制了有限元分析软件l s c f e a 对非线性的增量有限元固结方程的求解进行讨 论：谢永利( 1 9 9 6 ) 在软件l s c f e a ( 谢永利，1 9 9 4 ) 中考虑了土体压缩模量和渗透系 数的变化，进行了双非线性的一维固结方程的有限元分析。谢新宇等( 1 9 9 5 ) 推导出物 质描述下三维大变形增量固结方程，并给出有限元方程解答。蒋明镜( 1 9 9 8 ) 采用空间 描述下进行弹塑性大变形固结有限元分析，并将分析结果与小变形的计算结果做了比较 分析。 也有人采用半解析解的方法来研究大变形固结问题。郭志强( 1 9 9 5 ) 将大变形的固 结过程看成由一系列的小变形线性固结分过程组成，对每一个分过程采用t e r z a g h i 固结 理论求解，并取得较满意的效果。李冰河( 1 9 9 9 ) 将土体划分为许多小土层，假定土体 应力应变关系为线弹性和非线性条件下，采用半解析解法研究了软粘土维大应变的 固结性状。李冰河( 2 0 0 0 ) 以孔压为控制变量采用半解析解法进行一维大应变固结分析， 铁道科学研究院硕士论文 _ - _ - _ 渊i i i i i 篁葺i 昔宣_ _ 一 褥到的结论与g i b s o n ( 1 9 6 7 ) 用有限麓分法得到的结论相一致。 蜃兹，关予一维大交形鬻结理论静诗算结栗院较演蘸，c a t e r 等( 1 9 7 7 ) 、p r e v o s t ( 1 9 8 2 ) 认为，考虑大变形时，生呶淡沉降小于小应变分析结果。g i b s o n ( 1 9 8 1 ) 、谢新- y - ( 1 9 9 6 ) 认为对于同时刻，考虑大变形时，按沉降定义的平均固结度较大。谢永利( 1 9 9 5 ) 认 为大变形固缝理论褥蘩静趣基固结沉降较大，超静琵隙承压氇艮小应交理论靛张大。霹 于通常的荷散大小和地基压缩性，两种理论得到的沉降和应力分布的差异不鼹根明显。 事实上，如果针对网一潮结问题，即使固结控铡方程、坐标系以及变量豹选择不一 致，计算褥到静孑l 压、霹络潋及沉降辩采也应该蹩一致懿。这一点，m e v a y 等( 1 9 8 9 ) 曾用理论和宓例进行了诫明。而现在大变形研究的现状是，即使对同一个固结问题，得 劐豹结果也棚去甚远。这主要是有以下三个原透造成静： 一，不同学者考虑闷题的前提条传不阕：c a t e r ( 1 9 7 7 ) 、p r e v o s t ( 1 9 8 2 ) 程精有限 元计算时，袋用的是线弹性模型；p r o s k i t t ( 1 9 6 9 ) 程用摄动法计辫时，考虑了应力应 变懿j i 线性关系以及渗透系数熬 # 线性交诬；周歪暖( 1 9 9 0 ) 采建靛是弹牲模黧，毽是 考虑了渗透系数随固结遗糨的变化：谢永利( 1 9 9 5 ) 考虑的是非线髓弹性d t m e a n - - z h a n g 模型，而谢新宇( 1 9 9 6 ) 剡考虑了渗遴系数的变化。 二，当大变形采翅j # 线性瘟力疲变关系霹，悉缭摸量熬不潮敬法也会导羧结果豹 差异。 三，数值计算方法的选择，由于计算时分层、时间步长的不同取法等原因盥接导致 了缝采豹差剃。 8 铁道科学研究院硕士论文 第二章软粘土的一维固结方程 2 1 、概述 太沙基一维固结理论在推导过程中假定固结系数c v 为常数，而软土的固结系数c v 在固结过程中有很大的变化，此时考虑g 为常数计算固结沉降与实际存在较大的差异。 本章研究了固结系数随有效应力线性递减时，一维固结方程的差分方程。通过与室内压 缩曲线及线弹性大应变解析解的比较，结果表明，差分解比较接近实际，而且参数易取。 2 2 、近似考虑固结系数为非常数的一维固结方程 图2 1 单层地基示意图图2 2 荷载与时间关系图 2 2 1 、问题的描述 图2 1 为厚度为的饱和黏土层，顶面透水，底面为不透水( 或透水) 。顶面作用 随时间而变化的均布荷载q ( f ) ，其初始值为q o ，最大值为甄，加荷历时为岛，如图2 2 所示。 太沙基一维固结微分方程为 百0 u , = c 争 ( 2 1 ) 式中：c ，竖向固结系数，e ：l 。根据试验统计，c v 可以认为有效应力 ，w m v 的函数， c 。= c o n s t a n t ( 2 2 ) 铁道科学研究院硕士论文 i i i i | i i i i i _ i i c ，= 口，仃+ 风 ( 2 3 ) q = g p ) ( 2 4 ) 口，风系数，由试验统计确定； _ 毛竖向渗透系数； z 叫又考虑竖向渗流时，地基任一深度的孔压； m 。体积压缩系数。 太沙基固结理论认为固结系数e 为常数，并采用分离变量法求得式( 2 1 ) 的解析 解。但是软土的固结系数是随着固结过程而变化的，要求其解析解非常困难。 假设固结系数c 。为有效应力的线性函数，见式( 2 3 ) ，式( 2 1 ) 可以看成近似考虑 固结系数为非常数的固结方程。 根据有效应力原理； z , v = 仃一盯 ( 2 5 ) 由式( 2 5 ) 、( 2 1 ) 可得： 鲁= g p l ) + 力等 眨s ， 求解条件： 1 “，h 1 0 = u o ： ( 2 7a ) 2 “，l = 0 ； ( 2 7 b ) 3 警j = 0 ； ( 2 7 c ) 式中：零时刻地基任- - 正2n 孑l n _ , ： “。仅考虑竖向渗流时，土层内任一深度的孔压； 式( 2 1 ) 为一次加荷条件下的固结方程，对于任意变速加荷情况见图2 2 ， 由式( 2 5 ) 、( 21 ) 可得： 一0 0 ：e 。0 t 2 u v ( 2 8 ) 一o t q 万 。2 5 鲁十q 警 ( 2 ，) 式中：口加荷速率，口= 睾 讲 一：盯(一10)e e o c 一 =ej gl_-7 2 s ；再1j o s e l g o , a ( 2 1 1 ) s 。= 再1 上h c , l g 挚 ( 2 1 2 ) u b = 生 ( 2 1 3 ) = 要 ( 2 1 4 ) 吣 眩 9 铁道科学研究院硕士论文 2 2 。4 、竖向固结方程差分法求解过程 0 z 1 z 2 z 3 z i 一1 z i zn 一1 z n z 12j j m 图2 3 空间与时间的离散示意 考虑固结系数为非常数的固结方程( 2 1 ) ，定解条件为式( 2 7 ) ，为非齐次非线性 二阶偏微分方程组，很难求得其解析解，为此采用差分法进行求解。其基本思想是将 土层划分为n 个土层，将固结过程划分为, 个微小的时间段，在每个时间段内认为固 结系数不变。具体步骤如下： ( 1 ) 将单层土划分为足够多的相同厚度的子层，使每个子层厚度足够小，如果土 层厚度为h ，划分子层数为雄，则子层厚度为h n ，这样就建立了成层系统。取地表为 坐标z 原点并以该原点到土层顶面和底面的垂直距离分别为缸j 和句，有z o = 0 ； z j = i h i n ，i = l ，z 九；z 。= h 。 ( 2 ) 把固结过程划分为足够多的微小时段，任意的时间段用_ ，来表示，其相应的时 ， n n l 辗a t j = f 厂t j _ l ，= j ，“；f = 址j 。 j = l 由于新建立的土层厚度和时间间隔非常微小，所以在任意时间段内土层的固结系 数可以认为是一常量，在出，的固结过程中采用t 。时刻的固结系数c 卜1 。而且荷载虽然 可能随时间变化，但是在任意微小的时间段内可以将荷载视为常量。 等速加荷条件下，在出，的加荷过程中，实际加荷是个变量，用口t 代替实际荷载 进行差分求解。时间一荷载关系离散示意图见图2 4 。 p ( k p a ) 图2 4等速加荷情况下时间一荷载关系离散示意图 采用c r a n k - n i c o l s o n 有限差分求解方程( 2 1 ) 噶p 苎鼍孝出i = 掣 眨 式中，为空间步长；出为时间步长；i 代表空间节点数，i = l ，2 , 3 行，其中行为土层 离散节点数；代表时间节点数_ ，一j ，2 ，扎； = 斋，。1 = 气。 求解条件：1 、甜，o ( f ) = 2 、j ( o ) = 0 3 、删= “女删。 将方程( 2 1 6 ) 和求解条件表示成矩阵形式： “j 一1 r ，= b _ 1 式中： 1 = 山如 如4 24 3 a | a ia | “ 4 ，脚 2 4 。 z ，：b 州心，叫甜州1 7 ( 2 1 7 a ) ( 2 1 7 b ) ( 2 1 7 c ) ( 2 1 8 ) riill如 b h ：慨b 2 b t b n 。坟广 4 。，= 2 似嚣+ 1 ) ，4 ，= 4 + l ，一_ _ ，坤j - 1 ) ； 易= 一五c 东；0 茹一2 茹) 一2 甜茹； b i = 一 。“j - 。1 ) 、? ，j ( - “1 1 ) 一2 “h y - 。1 4 ) + “茹! 1 ) ) 一2 “j - 1 ) i 。 b n = 一2 ，j ( - 。i ) ( _ ”，( - 。1 ) + “妄j _ ，) ) 一2 甜“j - 。i ) 。 b 卜1 = c 卜1 x j 1 ( 2 1 9 ) 式中。 d 1 = q 。巳 q ：岛 c ，= 2 血嚣- 2 ，c 。，i = c 如= 一缸嚣 把式( 2 1 7 ) 带入式( 2 1 6 ) 得 4 一1 z = c 。一1 x 卜+ 口出 ( 2 2 0 ) 多级加载的情况下孔压的计算见式( 2 2 1 ) ，等速加荷情况下时间一荷载曲线如图 ( 2 5 ) 。 x j = b 川。a j 一1 r + 吼 ( 2 2 1 ) 式中：吼各级加载的加载速率。 1 2 一器 0 图2 5等速加衙情况r 时i n 一衙载衄线 2 2 5 、一维固结i - 程解析解 假设固结系数c v 为常数，荷载次瞬时施加的，并维持不变，即矛= o 。方程2 1 即为太沙基单向固结微分方程，其单面排水条件下的解为： 瓦= 吉r 啦= 耋专 ( 2 ：2 ) 仉= 警：卜薹刍耳 旺2 s ， 跗日瞧刍一1 2 。， 式中，m = 2 m 研- _ _ 生1 万；咒为时间因素，l = 箬- 研 一 2 3 、一维大变形固结方程 2 3 1 、坐标系 如图2 6 所示，设饱和软粘土初始厚度为日，底面为固定边界。拉格朗日坐标系和 流动坐标系方向均以向下为正。 在拉格朗日坐标系中口和r 是独立的基本变量，而流动坐标系中的鲫叫是依赖于a 和f 的变量，即f = f 白，f ) 。两种坐标系之间的关系为 堂：旦 ( 2 2 5 ) o a 1 + d o f = 口+ s ( a ，f ) ( 2 2 6 ) 铁道科学研究院硕士论文 i 一i i i i i i 一 由式( 2 2 5 ) 酾式( 2 ，2 6 ) 可撂 a 一0a = 口 p = s ( o ，t p ， 犍 器， p o = h o = h毒= h a ( a ) 初始构形( b ) 现时构形 阁2 6拉格朗曰坐标系署h 流动坐标系 帮；曼二鱼如( 2 2 7 ) 1 + e 0 对此积分可得任一点沉降公式为 渊心扣f 饕 ( 2 _ 2 8 ) 式中：s = s ( a , o 为沉降；e = e ( a , o 为孔艨魄；e o ；8 鼠鳓必翅始孔隙魄。 2 3 2 、基零方程及重要关系式的疆繇 为不必般性，现研究土体在施加均布荷载q = q ( o 后，土体的总应力、肖效应力、 孔压、沉降等稳瘦关系，翔图2 ；7 所拳。镁设屡森塑重应力及暇有赫载彩作雳下已圈 结完毕，水位在秸层顶面以上茸，娥。当旌加均布荷载q 最，体发生固结。在通常 荷载作用下，土颗粒和孔隙水自身的愿缩性很小，w 以忽略。 铁道科学研究院确士论文 重。 婆悫警鬻方程： 图2 7一维大变形成变问题示意 鲤：羔g 立业! ( 2 2 9 ) a a 1 十“ 式中：为竖蠢惫寝力：辽= 以，轰粒察度：以兔主髂容重；尹。为藐豫承容 扶方獠( 2 2 7 ) 可褥总应力为 盯叫列加( 哟+ “篱咖 式孛：盯( o ，妁为主层习l 蠢( 露= 0 ) 处豹整淘慈瘦力，墓 盯( o ，t ) = q ，+ 譬+ ，。i 。+ s ( o ，f ) j 有效嫩力原理： 秽拶+ 达西怒律： 一毪。一丛垫2 墼 一乎 i c 3 a 式中：k 和心分别为孔聪i 水和土粒的运动速率：越静孔压梯度挚为 t t a 锄。劬 l + e 百。翥而，w ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 从方程( 2 3 4 ) 可得孔隙水压力p 为 p 2 p ( d ，f ) = ”，+ ，w 【日w + s ( 。，f ) 】+ ，。r j l + e o ( 2 3 5 ) 由式( 2 2 9 ) 、( 2 3 0 ) 、( 2 3 1 ) 、( 2 3 4 ) 得有效应力盯7 为 盯7 = 盯( 口，r ) = 盯一p = “+ q ( t ) p ( 2 3 6 ) 式中：为初始有效应力 “2 盯( 口，。) 。g ，+ 凡( q 一1 l - i l e o 如 ( 2 3 7 ) 连续方程： 言i i + e v ，) 一去鲁 ( 2 3 8 ) 从方程( 2 3 2 ) 和方程( 2 3 7 ) 可得到拉格朗日坐标系下饱和土体的一维大应变固结控 制方程： 土旦型吐塑盟 ：1 _ 一a e ( 2 3 9 ) ，加l 1 十gd aj 1 + s 0d t 利用式( 2 2 8 ) ，可得流动坐标下的相应方程为 去毒卜割= 击塞 q 4 虽然方程( 2 4 0 ) 的形式比( 2 3 9 ) 更简单，但由于固结中，孝是随时间变化的， 因此流动坐标中关于边界条件的描述比拉格朗日坐标中要困难得多。 2 3 3 、简化假定下的一维大变形固结方程 2 3 3 1 、以孔隙比为控制变量的维大变形固结方程( a i b s o n 1 9 6 7 ) 不考虑土体的流变性，则由式( 2 3 5 ) 可得 挚：堕一掣：血曼二! ! d a c 8 e ( 2 4 1 ) 乩加a a1 + e 、d e8 n 将式( 2 4 0 ) 代入控制方程( 2 3 8 ) ，即得与g i b s o n 等( 1 9 6 7 ) 一致的拉格朗日坐 标系下以孔隙比为控制变量的一维大应变固结方程 1 6 击妾屯- 1 ) 芝熙去鲁群型d e 丝a a j b 眨。z ， 若不考虑土体自重的影响，则式( 2 4 1 ) 可变为 土旦l 生= q 盟型一8 e | - l a e ( 2 4 3 ) ，。a al 1 + 8 d e j1 + e 0a t 对应于式( 2 4 1 ) 、( 2 4 2 ) 的大变形固结系数为 c ，= 一孤( 1 + e 丽o ) 2 k i d c r ( 2 4 4 ) 地基单面排水时，定解条件分列如下 上边界排水边界条件为 “识叫。b = e i ( 2 4 5 a ) 下边界不排水则 鲁f 一= o ( 2 4 5 b ) 根据土体有效应力原理和平衡方程，上式可以化为 妻l 。：一号i 。 ( 2 4 5 c ) 刮矿一( 1 + e o 露。 4 ” 初始条件为： g ( 口，f ) l 。= 0 = e o ( 2 4 5 d ) 用固相坐标z 表示的固结方程为 _ a a f e + 撕a f w 【l k 刊d 如c r 出a e 一嗟( 圭甚= 。 ( 2 4 s ) a f 出l ，。【l + p ) 比如i 十旺一1 秀l 再i j 瓦2 0 旺4 此时固结系数为 g ( e ) 一k 土_ d o - r ( 2 4 7 ) 酬一万鬲i 旺 2 3 3 2 、以位移为控制变量的大变形固结方程( 谢新宇，1 9 9 7 ) 谢新宇( 1 9 9 7 ) 推导出了以位移地为控制变量的一维固结方程，其空同描述的围结 方程为： 羔等( ，一割一( ，一勃等等o y = 翮一( t 一爹) “塑o t 旺4 s ， 九g + 岛) 锣歹l秒歹靠 2 t旁， 式中，俐土体固相与液相表观速度之和，由排水条件确定( l e e & s i l l s ，1 9 7 9 ) ，对 予下表瑶不摊承鹩边界条件，蒯翘( 谢衢字，1 9 9 7 ) e 现时坐标下的土体压缩榛豢； 此时大变形圆结系数为 岛= 鲁 t 一钎 眩4 9 ， 若改为用孔隙比来袭述。则： ： = 等，错考 晓鼢 物质描述下的固结方程为： 一案矧e o + 鲁。( t 一塑o y 厂磐a a = 一弹，+ 警 e 2 s t ， ，。( 1 十) ，l， 。 a 此时大变形固结系数为 弘等卜酊 泣s ：， 若改为用孔隙比来袋述，盟h ： c ，：堡坠盐鱼( 2 5 3 ) 一凡1 + e ) 2 d e 方程( 2 + 4 8 ) 在地綦单西排水的条件下，定勰条件为： 上透赛捺求逑赛条佟为 掣卜d ( 2 5 4 a ) 式中，搿为蘅载q 律掰下趣基上袋甏豹位移撵发， 掰：( 2 叮毋十1 ) 专一1 ( 2 5 4 b ) 下边豢不攘本裂 虬( 谚0 k 。= 0 ( 2 5 4 c ) 铁道科学研究院硕士论文 1 1 1 一一 i i i _ 初始条终兔： 虬( 岛，) f = 0 ( 2 ，5 4 d ) 式中， c 、y 分别为初贻坐标与现时娥标；其它符号周前。 由式( 2 5 4 ) w 知，满足方獠( 2 5 1 ) 豹逑弊条件为 齐次第二粪逑器条侔( 潘褪巍等，1 9 8 8 ) 2 3 3 3 、以超静孔压为控制变量的火变形固结方程( 谢康和，2 0 0 2 ) 土体鹣渗透系数毛、主体熬孑l 豫魄口坟及髂蠢效应力一郝楚睫固纺过程举叛变化 的。 士体谯固结过程中渗透系数葶孔隙比e 的变化可以根据目前比较公认的 e l o g o 酾# l o g 关系确定： e e o2 c , l o g o o ( 2 5 5 ) 8 一e 。：岛l o g 譬 ( 2 5 6 ) k o 虿辍求缮； 纠。睁 妻 辑一击嘉= 孟青 e 2 嚣， 辑2 一f ；7 面2 石乏 了 2 嚣) 斌中：为土体的一维大成变体积压缩系数；缸。为土体的初始渗透系数。b e r r y & w i l k i n s ( 1 9 6 9 ) 措嬲般在0 , 5 2 0 之阗，蕊m e s r i 等( 1 9 7 4 ) 则指出对于大量精釉页岩而 。 言，q 在0 , 2 5 0 之间，其中软糙，常见的范慝斑0 5 2 。0 之阉。 程。 谢康帮( 2 0 0 2 ) 假设怖为常数，得到了以孔聪为控制变最托线弹性大变形筒结方 瑟多 霰浚篱载军一狻瓣薄施熬完孥，j l l 获式( 2 。5 5 ) 霹褥 铁道科学研究院硕士论文 g ：ol 够粤岛 ( 2 ，5 9 ) 萨 g l 锷粤 旦兰；! + i( 2 6 0 ) 1 + e o1 + e o 通过忒( 2 5 6 ) 和式( 2 5 9 ) ，控制方程( 2 3 9 ) 便转化为以超静孔压撕为变量的 一缳大斑燹簿线性蠢缭方程( 落素释，2 0 0 2 ) ，帮： 降帆2 r 泣s t ， 式中：蠢= 且为体初始圄缩系数。 2 3 3 4 、一维大变形潮结方程的求解 盎予敷孔豫魄稻彼移为控隶l 变鬃题求簿稻对较蘧，下嚣臻究滋超静魏悉麓控露l 交羹 的固结方程( 2 6 1 ) 的解析解( 谢康和，2 0 0 2 ) 。 单西鞭 冰求解条l 牛沌： ( 1 ) 据，( o ，f ) = 0 ( 2 ) 鍪 。= 0 o a ( 3 ) 虬( d ，o ) = q 将方稷( 2 - - 6 1 ) 传如下变换： w = w ( a , t ) = e x p ( m u ) - i ( 2 + 6 2 ) 如此，方程( 2 - - 6 1 ) 变化为： 。空：塑 ( 2 t 6 3 ) e 萨2 百 u 相应的求解条件为： ( 1 ) 颤0 ，玲= 0 铁道科学研究院硕士论文 ( 2 ) 娑 a = l t = 0 ( 3 ) w ( a ，0 ) = e x p ( m ，q ) 一1 ( 1 ) 超静孔施 易得固结方程( 2 6 1 ) 的解析解为 w = 【e x p 嘶) _ 1 壤知治) 唧( - 心) 旺s 4 ， 将式( 2 6 2 ) 代入式( 2