（数量经济学专业论文）基于CVaRCopula的养老基金投资模型及应用研究.pdf

华北电力大学硕士学位论文 摘要 为了实现养老基金保值增值的目标，本文结合中国国情，选取股票、国债、企 业债券和银行存款作为养老基金的投资工具，利用c o p u l a 函数研究股票、国债和 企业债券间的相关结构，运用g a r c h 模型分析各自资产收益率的边缘分布，从而 建立多元c o p u l a - - g a r c h 模型刻画三种资产收益率的联合分布。在此基础上，引 入c v a r 作为优化目标，建立基于c v a r - - c o p u l a 的养老基金投资组合优化模型。 结合历史数据，利用蒙特卡洛模拟方法分析资本市场未来收益情景，通过线性规划 求解该模型，最后得到养老基金的最优投资策略。结果表明，对于降低养老基金投资 风险，提高养老基金的投资收益，具有一定的理论和实践意义。 关键词：养老基金，c o p u l a ，投资组合，g a r c h ，c v a r i no r d e rt op r e s e r v et h ep e n s i o nf u n da n da c c u m u l a t ei t sv a l u e ，a c c o r d i n gt o c h i n a ss i t u a t i o n ，w es e l e c tt h es t o c k ，n a t i o n a ld e b t ，t h eb o n da n dt h eb a n ka c c o u n t i n ga s t h ei n v e s t m e n tt o o l s w ed e r i v ec o r r e l a t e ds t r u c t u r e so ft h es t o c k n a t i o n a ld e b ta n dt h e b o n db yu s i n gt h ec o p u l af u n c t i o na n da n a l y z et h em a r g i n a ld i s t r i b u t i o no fr i s ka s s e t s b yu s i n gg a r c hm o d e l s c o p u l af u n c t i o na n dg a r c ht h e o r ya r eu s e dt ob u i l da c o m b i n a t i o nd i s t r i b u t i o no ft h et h r e ek i n do fa s s e t sr e t u r n m e a n w h i l ea no p t i m a l p o r t f o l i os e l e c t i o nm o d e li sc o n s i d e r e du n d e rt h em i n i m a lg o a lo fc v a rt ob u i l d c v a r c o p u l am o d e l c o m b i n i n gw i t ht h eh i s t o r i c a ld a t aa n du s i n gt h em e t h o do fm o n t e c a r l os i m u l a t i o n ，w ea n a l y z et h es c e n a r i oo ft h ef u t u r er e t u r n f i n a l l y , w eo b t a i nt h e o p t i m a ls t r a t e g yb yu s i n gl i n e a rp r o g r a m m i n g t h en u m e r i c a lr e s u l t sv e r if i e dt h a tt h e s t r a t e g yc a nr e d u c ep o r t f o l i om a n a g e m e n tr i s ka n dg e tp r o f i t s i tp r o v i d e dat h e o r ya n d t h ep r a c t i c eu s e f u lr e f e r e n c e l i ul i n g h u i ( q u a n t i t a t i v ee c o n o m i c s ) d i r e c t e db yp r o f g a oj i a n w e i k e yw o r d s ：p e n s i o nf u n d s ，c o p u l a ，p o r t f o l i o ，g a r c h ，c v a r 华北电力大学硕士学位论文 摘要 为了实现养老基金保值增值的目标，本文结合中国国情，选取股票、国债、企 业债券和银行存款作为养老基金的投资工具，利用c o p u l a 函数研究股票、国债和 企业债券间的相关结构，运用g a r c h 模型分析各自资产收益率的边缘分布，从而 建立多元c o p u l a - - g a r c h 模型刻画三种资产收益率的联合分布。在此基础上，引 入c v a r 作为优化目标，建立基于c v a r - - c o p u l a 的养老基金投资组合优化模型。 结合历史数据，利用蒙特卡洛模拟方法分析资本市场未来收益情景，通过线性规划 求解该模型，最后得到养老基金的最优投资策略。结果表明，对于降低养老基金投资 风险，提高养老基金的投资收益，具有一定的理论和实践意义。 关键词：养老基金，c o p u l a ，投资组合，g a r c h ，c v a r i no r d e rt op r e s e r v et h ep e n s i o nf u n da n da c c u m u l a t ei t sv a l u e ，a c c o r d i n gt o c h i n a ss i t u a t i o n ，w es e l e c tt h es t o c k ，n a t i o n a ld e b t ，t h eb o n da n dt h eb a n ka c c o u n t i n ga s t h ei n v e s t m e n tt o o l s w ed e r i v ec o r r e l a t e ds t r u c t u r e so ft h es t o c k n a t i o n a ld e b ta n dt h e b o n db yu s i n gt h ec o p u l af u n c t i o na n da n a l y z et h em a r g i n a ld i s t r i b u t i o no fr i s ka s s e t s b yu s i n gg a r c hm o d e l s c o p u l af u n c t i o na n dg a r c ht h e o r ya r eu s e dt ob u i l da c o m b i n a t i o nd i s t r i b u t i o no ft h et h r e ek i n do fa s s e t sr e t u r n m e a n w h i l ea no p t i m a l p o r t f o l i os e l e c t i o nm o d e li sc o n s i d e r e du n d e rt h em i n i m a lg o a lo fc v a rt ob u i l d c v a r c o p u l am o d e l c o m b i n i n gw i t ht h eh i s t o r i c a ld a t aa n du s i n gt h em e t h o do fm o n t e c a r l os i m u l a t i o n ，w ea n a l y z et h es c e n a r i oo ft h ef u t u r er e t u r n f i n a l l y , w eo b t a i nt h e o p t i m a ls t r a t e g yb yu s i n gl i n e a rp r o g r a m m i n g t h en u m e r i c a lr e s u l t sv e r if i e dt h a tt h e s t r a t e g yc a nr e d u c ep o r t f o l i om a n a g e m e n tr i s ka n dg e tp r o f i t s i tp r o v i d e dat h e o r ya n d t h ep r a c t i c eu s e f u lr e f e r e n c e l i ul i n g h u i ( q u a n t i t a t i v ee c o n o m i c s ) d i r e c t e db yp r o f g a oj i a n w e i k e yw o r d s ：p e n s i o nf u n d s ，c o p u l a ，p o r t f o l i o ，g a r c h ，c v a r 声明尸明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文基于c v a r - c o p u l a 的养老基金投资模 型及应用研究，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究 工作和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：二目j 坠日 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手 段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅：学校可以学术交流为 目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播 学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：社 导师签名： 日期： 山7 华北电力大学硕士学位论文 1 1 选题背景与意义 第一章引言 养老保险制度( e n d o w m e n ti n s u r a n c es y s t e m ) ，又称养老金制度( p e n s i o n s y s t e m ) ，是国家按照法律规定，在劳动者年老退休后，对其提供维持基本生活的 物质帮助的一种社会保险制度。中国自2 0 世纪8 0 年代对养老保险体制改革试点， 到1 9 9 7 年国务院颁发关于建立统一的企业职工基本养老保险制度的决定( 国发 【1 9 9 7 1 2 6 号文件) ，使养老保险制度由过去的现收现付制( p a ya sy o ug o ) 转变为 以社会统筹( s o c i a lp o o l i n g ) 和个人账户( i n d i v i d u a la c c o u n t ) 相结合的部分积累 制( p a r t i a lf u n d i n go fp e n s i o ns y s t e m ) ，其中社会统筹采用待遇预定型( d e f i n e d b e n e f i t ) 筹资方式，个人账户采用缴费预定型( d e f i n e dc o n t r i b u t i o n ) 筹资方式， 这标志着中国新型养老保险制度的形成。为改革完善中国养老保险政策，“十一五一 开局之际，国务院颁布国务院关于完善企业职工基本养老保险制度决定，规定 自2 0 0 6 年1 月1 日起，改革养老金计发办法，改革的主要变化为：一、缴费基数 变化；二、基本养老金计发与缴费年限关系更密切；三、新办法鼓励延长工作时间。 尽管目前养老金计发办法得到改进，但由于人口老龄化趋势的日益严重，加之社会、 经济、历史等因素的影响，中国养老保险基金缺口问题仍未得到有效解决，这将牵 动整个国民经济的发展和国家的安定团结。目前现有投资管理模式不能有效规避与 分散基金管理风险，提高基金投资效益。因此，必须依据中国国情，制定科学性的 投资策略以解决本世纪养老金支付危机。 1 2 研究现状 1 2 一1 国外研究现状 国外学者研究养老保险基金投资主要基于两种理论方法，第一，利用随机控制 理论( s t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o lt h e o r y ) ，第二，利用经典投资组合理论( p o r t f o l i o t h e o r y ) 。利用随机控制理论研究投资策略时，其研究方法主要有两类：一、效用最 大化方法；其主要步骤：首先将动态效用问题转化为静态效用优化问题；其次利用 鞅方法或贝尔曼动态规划原理解决静态效用优化策略，如h a b e r m a na n dv i g n a ( 2 0 0 1 ) f l 】，c h a m p a ta n dm i l e v s k y ( 2 0 0 2 ) ( 2 】，d e v o l d e re ta 1 ( 2 0 0 3 ) 【3 1 ，b l a k ee t a 1 ( 2 0 0 3 ) 【4 1 ，g e r r a r de ta 1 ( 2 0 0 4 ) 【5 】，c a i r n se ta 1 ( 2 0 0 6 ) 【6 】等人工作。二、 损失函数方法。其思路是将基金实际水平与目标水平的期望偏离程度( 通常用二次 损失的期望进行刻画) 最小化为优化目标，通过一系列嵌套技术将问题化归为随机 l q 控制问题，运用贝尔曼动态规划原理寻求原问题最优策略，如k h o r a s a n e e l 华北电力大学硕士学位论文 ( 2 0 0 4 ) ，h a b e r m a n ( 2 0 0 5 ) 等人研究。 利用经典投资组合理论研究投资策略时。其思路主要是沿用m a r k o w i t z ( 1 9 5 2 ) 研究方法。m a r k o w i t z ( 1 9 5 9 ) 提出用半方差度量投资组合的风险，包括两种半方 差度量：均值半方差和目标半方差。b a w a ( 1 9 7 5 ) 和f i s h b u m ( 1 9 7 7 ) 将半方差的 思想进一步推广，提出了风险度量l p m 。在理论上，l p m 具有非常大的优势，是 最具代表性的下方风险度量方法，而且l p m 是与随机占优相一致的，故在某一效 用函数下与个人期望效用相一致。这就意味着在均值相同的情况下，选择较小的 l p m ，就会实现较大的期望效用。但是因为其在计算上的困难，并没有在投资组合 选择的实践中得到广泛应用。k o n n o 和y a m a z a k i ( 1 9 9 1 ) 提出用收益率的绝对离差 来度量投资组合的风险。此外，一些学者提出利用v a r 度量投资风险，如a l a n 、 b o u d o u k h 和w h i t e l a w ( 1 9 9 9 ) ，l i t t e r m a n ( 2 0 0 0 ) 等人研究。但v a r 不满足次加性， 为此，r o c k a f e l l e r 和u r y a s e v ( 2 0 0 0 ) r 7 】提出了一种基于情境的使用c v a r 的投资组 合优化模型，考虑将c v a r 作为用来替代v a r 的一致性风险度量方法。但计算c v a r 时，通常假定风险资产的收益率服从正态分布，许多实证研究都表明( e n g l e 1 9 8 2 t 引， b o l l e r s l e v 【1 9 8 6 9 】) 风险资产的收益率具有偏态和过度峰态等非正态分布特征，甚 至出现极端波动的情况，风险资产的收益率并不服从正态分布。 将c v a r 风险度量方法作为优化目标建立投资组合模型，当投资到不同类资产， 或即使是同类资产却有不同的边缘分布时，往往基于传统的多元分布建立多项资产 的联合分布是不符合现实情况的，这时如何找到收益率间的联合分布对于计算 c v a r ，进而得到最优投资策略是个至关重要的问题。近年来，一些处理非正态分 布的统计学理论被逐渐提出并应用于金融领域，其中具有代表性的如c o p u l a 函数， c o p u l a 本身是一个分布函数，这个分布函数代表了随机变量间的相依结构。采用 c o p u l a 函数构造多元分布模型，可以将边缘分布和随机变量间的相关关系分开研 究，而且c o p u l a 函数方法并不限制边缘分布的类型，可以用不同类型的分布函数 描述不同金融资产的收益率。采用c o p u l a 函数连接边际分布建立多元分布模型， 可以克服多元正态分布、多元t 分布等传统多元分布的缺陷，可以更好的描述投资 组合收益率的概率分布，这增强了金融模型的灵活性。 最早的c o p u l a 函数可追溯到s k l a r ( 1 9 5 9 ) 1 0 】，但当时条件限制了它的发展和 应用，直到9 0 年代后期c o p u l a 函数理论才得到重视并迅速发展。j o e ( 1 9 9 7 ) t l j 研究了多变量c o p u l a 理论、模型和相依结构。n e l s e n ( 1 9 9 9 ) 1 1 2 】则比较系统地介绍 了c o p u l a 的定义、构建方法等。m a t t e i s ( 2 0 0 1 ) 【1 3 1 介绍了阿基米德c o p u l a 函数 在数据建模中的应用，并且对再保险的信用风险和投资风险进行了分析。r o c k i n g e r 和j o n d e a u ( 2 0 0 1 ) 1 1 4 1 把g a r c h 模型与c o p u l a 函数结合起来，动态地对金融变 量间的相依性和风险加以研究，建立了c o p u l a g a r c h 模型，并对金融指数间的相 关性进行分析，发现t - c o p u l a 能较好描述金融变量之问的相关性。r o m a n o ( 2 0 0 2 ) 2 华北电力大学硕士学位论文 【l5 】对意大利股市收益率进行了分析，使用c o p u l a - r 具模拟组合风险因子的收益。 e m b r e c h t s ，l i d s k o g 和m c n e a l ( 2 0 0 3 ) 1 6 1 对不同c o p u l a 函数模型进行了比较研 究，发现对于相同的线性相关系数和边缘分布，两种不同的相关结构将导致不同的 结果，并且得到结论：相对于g u m b e lc o p u l a ，t - c o p u l a 具有更大的灵活性，有时 可能是更好的选择。r o s e n b e r g 和s c h u e r m a n n ( 2 0 0 4 ) 1 7 】采用v a r 作为风险测度， 运用正态c o p u l a 理论研究市场风险、信用风险和运作风险的风险聚合问题。p a l a r o ( 2 0 0 6 ) 【1 8 】使用c o p u l a 计算由n a s d a q 和s & p 5 0 0 指数构成的投资组合的v a r 。目 前，c o p u l a 己成为风险分析和投资组合的重要工具。 1 2 2 国内研究现状 进入2 0 世纪9 0 年代以来，养老保险投资研究成为中国政府和学术界一致重视 的研究课题。但至今，对中国养老保险投资策略研究大多处于宏观理论研究、框架 体系的定性分析和设计，进而提出改革的对策或建议。这些对策往往是从宏观角度 提出的原则性的意见，结论大致相同，如耿志民( 2 0 0 0 ) 1 9 】，余筱箭等( 2 0 0 3 ) 【2 0 】 提出多元化投资解决养老基金保值增值问题。张立富( 2 0 0 3 ) 【2 1 1 ，卿智群等( 2 0 0 5 ) 2 2 1 针对目前国内不成熟的资本市场分析了养老基金在投资工具上的选择，分析了通 过发行国债、国有资产转移等途径解决未来养老金缺口问题。李文浩等( 2 0 0 5 ) 【2 3 】 对国内外养老保险基金运用进行了比较分析，对我国养老保险基金的投资选择提出 了建议，指出通过发行国债进行筹资融资的可行性。于慧君( 2 0 0 6 ) 【2 4 】论述我国养 老基金投资模式的选择与对策。在定量研究方面，邓留保( 2 0 0 4 ) 2 s 】对我国社保基 金投资的风险预算与控制方法进行研究。柳清瑞( 2 0 0 5 ) 2 6 】利用均值和标准差研究 养老基金投资的不确定性与投资组合分析。王健俊( 2 0 0 7 ) 【2 7 】研究基于v a r 模型的 养老保险基金资产配置，并结合上证综合指数和国债指数收益率及存款利率作为养 老基金的投资标的进行实证研究。冯颖颖( 2 0 0 7 ) 2 s 】在国债和股票投资收益率服从 正态分布的假设下，研究了c v a r 在我国养老基金投资风险控制中的应用，这些成 果均是基于金融资产服从传统多元分布的假设基础上，但这与金融资产往往具有波 动聚集性特征相矛盾，实际中这种假定并不成立。使最后结果偏离实际的最优投资 策略。 国内学者从2 0 0 2 年开始研究c o p u l a 在金融数据分析中的应用。张尧庭( 2 0 0 2 a ， 2 0 0 2 b ) 2 9 】从理论上探讨了c o p u l a 在金融上应用的可行性，张明恒( 2 0 0 4 ) 3 0 】构造 多金融资产风险价值的c o p u l a 计量方法。韦艳华和张世英( 2 0 0 4 ) 3 1j 结合g a r c h t 模型和c o p u l a 函数，建立c o p u l a g a r c h 模型。史道济和关静( 2 0 0 4 ) 3 2 】介绍了 几个关联性度量指标与c o p u l a 所度量的变量间相关结构的关系。吴振翔，叶五一 和缪柏其( 2 0 0 4 ) 3 3 1 运用a r c h i m e d e a nc o p u l a 给出了确定两种外汇最小风险( v a r ) 投资组合的方法，朱世武( 2 0 0 5 ) 3 4 】采用c o p u l a 函数来度量违约概率之间的相关 3 华北电力大学硕士学位论文 性，并且用于信用衍生产品的定价和信用风险的度量。曾健和陈俊芳( 2 0 0 5 ) 【3 5 】 运用c o p u l a 函数对上海证券市场a 股与b 股指数的相关结构进行分析。国内相关 文献，大多数文章较多集中于c o p u l a 函数的理论与方法引介，实际应用方面的文 献较少。 1 3 主要分析框架及研究内容 本文分析框架： c v a r 风险度量方法 上 基于均值c v a r 的投资组合模型l 上 金融资产非传统多元分布 上上 i c o p u l a 函数g a r c h 模型 li 1 r l 基于c v a r - c o p u l a 的养老保险基金投资优化模型 上 m o n t ec a r l o 模拟仿真未来收益率情景 土 m a t l a b 求解线性规划模型 土 养老保险基金投资策略 论文所作的主要工作及创新有以下几点： ( 1 ) 传统的投资组合模型基于资产收益率服从多元正态分布假设下，利用方 差度量收益的风险，随着多元正态分布假设存在不足的理论出现，方差也随之不能 有效地度量投资组合的风险。v a r 是近年来流行的代替方差的风险测度方法，介绍 了v a r 的概念及其性质，对v a r 优缺点做出总结。针对v a r 度量风险的不足，引 入一致性风险度量方法c v a r ，在均值方差的基础上，建立并分析均值c v a r 投资 组合优化模型。 4 华北电力大学硕士学位论文 ( 2 ) 养老基金投资管理者关心的是发生极端损失的部分。即需要关注资产收 益率尾部的相关性，因此只有能准确评估出金融资产间的相关节结构才能有效避免 金融机构最大的风险。运用c o p u l a 理论可以将多元分布分解为单个变量的边缘分 布和一个描述变量之间相关结构的c o p u l a 函数，将边缘分布与相关结构分开来研 究，这使建模问题大大简化，同时提高了模型的实用性，本文在已建立的均值c v a r 模型基础上，选择c o p u l a 函数来描述资产间的相关性，建立g a r c h 模型分析各 自金融资产收益率的边缘分布。 ( 3 ) 对c o p u l a 函数做了细致地梳理和总结，介绍有关c o p u l a 的概念、性质、 分类及参数估计以及最优c o p u l a 函数的确定方法。为了更好的理解不同c o p u l a 函 数所描述的相关结构特征，在2 3 1 6 节中，选取上证综合指数与深证成份指数收盘 价的对数收益率作为样本，对二者的相关结构进行实证研究，目的是帮助读者对 c o p u l a 在金融中的实际应用有一个全面、清晰的认识。 ( 4 ) 养老基金因具有安全第一等特点，其在投资过程中，将与研究一般证券 投资问题有所不同。必须结合中国国情。首先是养老基金投资工具的选择，其次是 对不同投资工具有着不同投资比例的限制。经研究，本文将养老基金投资于股票、 国债、企业债券和银行存款四类资产，建立了基于c v a r c o p u l a 的养老基金投资组 合优化模型。 ( 5 ) 根据历史数据，建立上证股票综合指数、国债指数、企债指数三种风险 资产收益率的c o p u l a g a r c h 模型，然后运用m o n t ec a r l o 模拟仿真方法生成符合 此c o p u l a g a r c h 模型的未来交易日收益率情景，并给出详细计算步骤。在养老基 金投资组合收益的预期方面，结合通货膨胀率，以期达到养老基金在保值的同时， 使得养老基金投资风险最小。最后，借助m a t l a b 7 0 求解此线性规划问题，获得 不同置信度( 9 9 ，9 5 ) 下的最优投资策略、v a r 及c v a r 值，分析此结果，证 明本文建立的基于c v a r c o p u l a 的养老基金投资模型有一定的理论及实践意义。 5 华北电力大学硕士学位论文 第二章基于c v a r c o p u ia 的投资模型研究 自从m a r k o w i t z 于1 9 5 2 年提出均值一方差投资组合理论，资产组合预期收益 和风险定量分析进入一个新时代。根据现代证券组合优化理论，针对投资者的期望 收益率和风险等约束条件，通过对数学模型的求解，可以给出在风险约束下或以风 险最小化为目标的投资组合时，资金在各类资产上的投资比例，使投资者可以了解 所有的投资机会和各种风险收益状况，然后再根据各自的偏好，权衡每一个组合， 从中选择满足自己要求的最优投资组合。不可否认，m a r k o w i t z 的组合投资理论开 创了对金融风险进行定量测度与防范的先河，是后续许多其它理论研究的基础。但 是随着金融理论与实践的不断深化和金融计量建模技术的不断发展，该理论的不足 之处也逐渐显现出来，虽然方差风险测度便于人们对风险的理解并且计算简便，然 而它并非是令人满意的风险测度方法。首先，它具有对称性，把收益与损失按照同 样的方式处理；其次，方差不适合描述小概率事件的风险；同时，在收益不服从正 态分布或效用函数不选择二次效用函数时，均值一方差决策与期望效用方法不吻 合。这一章主要建立以期望收益为约束条件，c v a r 最小化为目标的投资组合优化模 型。 2 1c v a r 风险度量方法 设f ( x ，) ，) 为损益函数，其中工xcr 为决策向量，x 为可行集；】，为随机向 w _ r y e r ”，它的密度函数p ( y ) ，为使问题简化，先假定p ( y ) 是连续的，当y 是一 个已知分布的随机变量时，f ( x ，y ) 就是一个依赖于x 的随机变量，它不超过临界值口 的概率为： 伊( 础) = k 施p ( y 陟 ( 2 - 1 ) 则对于任意固定的x ，缈( x ，口) 作为口的连续函数是在投资组合x 下的累积分布 函数，假定概率分布函数没有跳跃点，也就是伊( x ，口) 关于口是处处连续的。对于给 定的置信水平( o ，1 ) ： = m i i l 口r ：缈( x ，口) 如= e ，y ) i m ，y ) v a r ( x ) = 南k 附) m ，y ) p ( y 陟 6 ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) 华北电力大学硕士学位论文 ( 2 2 ) 式表示，口疗( x ) 为伊( x ，口) = 时口所在的非空闭区间的左端点，称它为 一v 报，( 2 3 ) 表示，s ( x ，y ) - - ( x ) 的概率值等于1 - , a ，称办为p - c v a g 。 引理l ：( r o c k a f e l l a r 和u r y a s e v ) 嘶九( x ) 一b 艇袅且易( x ，口) ，而且，( x ，口) 使 得等式右端取得最小值当且仅当，使得等式左端达到最优且口e 以( x ) ；当以( z ) 退化为一个点时，最小化r ( x ，a ) 产生的l ，口) 使得，最小化c v a r ，口就是相应的 v a r 。 v a r 模型具有许多优点：v a r 提供了一个统一的方法来测量风险，应用范围也 非常广； c a r 为高层管理人员比较不同部门的风险大小、资本配置、绩效评估、设 置风险限额等，提供了简单可行的方法；。v a r 方法具有灵活性，使投资者可以自由 地在不同类型的风险资产上进行投资时，只需考虑它们的v a r 值即可。 然而，经过很多学者的不断探索和实际运用部门的实践证明，v a r 无论在理论 上还是应用上，都存在巨大缺陷，主要表现在以下几方面：( 1 ) v a r 计算方法不同 ( 如方差一协方差法、历史模拟法、蒙特卡洛模拟法) 导致计算结果相差甚大。( 2 ) v a r 不满足一致性公理( 3 ) 不具有凸性。由于它不具有次可加性，从而不具有凸 性，因而它的优化问题就很难解决。在进行投资组合优化时，由于v a r 不能表示为 各种组合资产的头寸的函数，至今仍无法对其直接进行优化。另外，以v a r 为目标 函数的规划问题一般不是凸规划，其局部最优解不一定是全局最优解，因此在求解 时将遇到很大困难。( 4 ) 尾部损失测量的非充分性。v a r 将注意力集中在一定置信 度下的分位点上( 即最大的预计损失) ，使得我们忽略了小概率发生的巨额损失情 形，甚至是金融危机事件，而这恰恰是风险管理所必须关注的情形。因此将它作为 风险度量工具会低估极端事件发生时所产生的风险。 若组合的随机损失为一z ( 爿 o 其中材l ，“2 ，m ，吃【o ，1 】，“l ，y 1s 屹，其中f 是条件集。 条件( 1 ) 给出了分布函数的下限，并确保边缘分布是均匀分布：而矿事实上可以 表示观测点落在区域h ，越：】【v l ，屹】中的概率，因此条件( 2 ) 确保观测点落在区域 h ，u ：】【h ，v 2 】中的概率非负。 令随机变量u = f ( f ) 是随机变量五的概率积分变换，不管五服从什么分布， 均服从f o ，1 1 均匀分布。 引理3 ：( s k l a r ) 令h 是一个具有边缘分布，( ) 和g ( ) 的条件二元分布函数， 是条件集，那么，存在一个唯一的条件c o p u l a 函数c ( ，) ，使得： h ( x ，y f ) = c ( f ( x f ) ，g f ) 乃，v x ，y r ( 2 1 4 ) 其中材= f ( x i d ，v = g ( y i f ) ，豆暑r u ) ，若f ( ) 、g ( ) 连续，则c ( ，) 唯一 确定；反之，若c ( - , - ) 是条件c o p u l a 函数，( ) 、g ( ) 是随机变量x 、y 的条件分 布函数，那么由式( 2 1 4 ) 定义的函数日( ，) 是具有边缘分布，( ) 和g ( ) 的二元条 件分布函数。 华北电力大学硕士学位论文 2 3 1 2 基于c o p u i a 函数的相关性度量 一、用c o p u l a 函数表示秩相关系数 随机变量之间如果不是独立的，那它们之间一定会有联系的，本文只介绍经常 用来描述变量特征相关的测度中的k e n d a l l z 。 定义3 ：设( 而，艺) ，“，y 2 ) 是来自总体( x ，】，) 的独立同分布的样本，则k e n d a l l ；的 表达式为： f = p ( ( 五一屯) “一躬) 0 一( 西一恐) ( 咒一儿) 0 ，则q ，= c ( n 柏( “，前者表示连接玉，的c o p u l a 函数， 后者表示连接( a ( 五) ，一( ”的c o p u l a 函数。 c o p u l a 函数中连续随机变量间的一致性测度和相关性测度的一个重要性质即 由c o p u l a 函数导出的相关性指标，是严格单调增变换下的相关性，比线性相关的 范围要宽，就来源于上述定理，如k e n d a l l f 的值对严格单调增的变换也是不变的。 二、尾部相关性， 在金融风险分析中，更有意义的是随机变量的尾部相关性，这一特性用c o p u l a 函数来处理非常方便。 设x 与y 是两个随机变量，其分布函数分别为f 和g ，那么z 与】，的上端尾部 相关性和下端尾部相关性的定义分别如下： 屯引i m 一= 研】， g 1 ( 甜) i x f 。1 ( “) 】 - - h l 和。l 卅i m = p y s g 1 ( “) l x 外- 1 ( ”) 】 ( 2 1 7 ) 其中f 一( u ) ：i n f ( x l x u ) ，g 。1 ( “) = 砒( y l 】，) ，如果屯( 或丑) 存在且 屯( o ，1 】( 或五( o ，1 】) ，那么x 与y 具有渐进上端( 下端) 尾部相关性，如果乞= o ( 或五= o ) ，x 与l ，在上端( 下端) 尾部独立。 1 2 华北电力大学硕士学位论文 结合尾部相关系数的定义和c o p u l a 函数的定义我们可以得到尾部相关系数的 c o p u l a 表示形式： 元：l i m 坐塑匕型五：l i i i l 型型 。：二甜二z 弛 一吼甜厂 协18)li：l i i i l ! 二竺二竺垫：尘：m 垡盟 2 3 1 3o o p u ia 函数族 目前己经知道很多的c o p u l a 族，它们刻画了随机变量之间不同的相依性质。 e m b r e c h t s ( 2 0 0 1 ) 列出了两种常见的c o p u l a 族：椭圆c o p u l a s 和阿基米德 c o p u l a s 。它们主要的不同在于对变量问相依结构的刻画能力及由二维变量扩展到 多维变量的难易程度，其中椭圆c o p u l a 函数和阿基米德c o p u l a 函数是经常用到的两 类c o p u l a 函数，而且已经出现了一些相应的估计程序。 一、椭圆c o p u l a 函数 ，假设f 是一个椭圆分布的多元累积分布函数，e 表示其边缘分布，矸1 是边缘 分布函数的逆函数( 或分位数函数) 。那么由，确定的椭圆c o p u l a 函数形式为： c ( ，z ) = f ( 互- 1 ( m ) ，巧1 ( ) ，巧1 ( z 啊) ) ( 2 - 1 9 ) 椭圆族c o p u l a 函数在图上绘制出来呈现椭圆分布，拥有与多元正态分布类似 的性质。但对于描述极值事件时，这类c o p u l a 函数可以构造出一种非正态的极值 关系。并且在具体应用上，椭圆c o p u l a 函数的参数估计也较为容易。其中在椭圆 c o p u l a 函数族中，最常用的是正态c o p u l a 函数和t - c o p u l a 函数。椭圆族c o p u l a 函数在金融领域的应用十分广泛，其主要原因是椭圆族c o p u l a 函数的性质容易掌 握，而且模拟比较容易实现。 定义4 ：( n e l s o n ) 多元正态c o p u l a 分布函数和密度函数的表达式为： c ( u l ，“；岛v ) = ，( 一( z 。) ，。_ ( ) ，巾- 1 ( ) ) c ( “，耵；p ) = i p l e x p ( 一 f r ( p - t 一，) f ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 其中p 为对角线上的元素为1 的对称正定矩阵，川表示与矩阵p 相对应的行列 式的值，p 表示相关系数矩阵为p 的标准多元正态分布，- 1 ( ) 表示单维标准正态 分布函数的逆函数，乞= 币。1 ( ) ，为单位矩阵。 1 3 华北电力大学硕士学位论文 定义5 ：( n e l s o n ) 多元t - c o p u l a 分布函数和密度函数的表达式为： c ( ，u n ；p ，v ) = 巧，( 1 ( ) ，1u 。) ，1 ( ) ) ( 2 - 2 2 ) c ；cz，。，t，。，够；，、，)2：i，r!：v+n c ：；) 其中p 为对角线上的元素为1 的对称正定矩阵，l p l 表示与矩阵户相对应的行列 式的值，易，表示相关系数矩阵为p ，自由度为y 的标准多元t 分布，( ) 为自由度 为1 ，的一元t 分布的逆函数：厶= 1 ( ) ，为单位矩阵。与g a u s s i a nc o p u l a 不 同，t - s t u d e n tc o p u l a 函数存在对称的尾部相关性，并且其尾部相关性随p 和自由度 1 ，的增大而增大，其计算公式为： 五= 屯 1 一“( 4 ( v + 1 ) ( 1 - p ) i 万+ - p ) ) ( 2 2 4 ) 二、阿基米德c o p u l a 函数族 阿基米德族c o p u l a 是通过算子p ( 一个完全单调函数) 构造而成的，此种函 数与椭圆函数比起来，它们的构造和计算都比较容易，并且具有一些良好的性质， 比如对称性，结合性。由于阿基米德c o p u l a 函数族内的函数种类丰富，能很好的 描述资产间的各种相关结构，又易于计算，所以经常用来描述二元随机变量间的相 关结构。 定义6 ：( g e n e s t 和m a c k a y ) 阿基米德c o p u l a 函数的具体表达式为： c ( 约，) = 伊。1 ( 妒( ) + 矿( ) + + 伊( ) )， ( 2 2 5 ) 其中，生成函数缈：【o ，1 卜【o ，】是连续的且严格单调递减的，t p ( 1 ) = o ，缈卅是伊 的逆函数( 或者分位数函数) ，缈的伪逆形式： 小髂冀鬲釜型 ( 2 2 6 ) 当伊( o ) 是有限值时，构造c o p u l a 的缈q 是算子，通过阿基米德族c o p u l a 的形 式可以知道，我们仅需要知道作为算子缈的表示形式就可以确定一种相应的c o p u l a 1 4 华北电力大学硕士学位论文 形式。不同的算子选择会产生不同类别的阿基米德族c o p u l a 。 阿基米德c o p u l a 函数的计算比较简单。因此阿基米德c o p u l a 函数在实际应用 中占有重要地位。g e n e s t 等人对几种重要的二元阿基米德c o p u l a 数及其生成函数 作了详细介绍。 常见的二元阿基米德c o p u l a 函数： ( 1 ) g u m b e lc o p u l a 函数表明了非对称的尾部相关性，气= 2 2 古，石= 0 ，有 上尾相关的特性，是一个极值c o p u l a 函数，生成函数为( 叮) = ( - h a q ) 口，口【1 , o o ) ， 其表达式为： c ( u ，1 ，) = e x p 咄一l n u ) 口+ ( - l n v ) 口】当 ( 2 2 7 ) ( 2 ) c l a y t o nc o p u l a 函数有下尾相关性，屯= o ，五= - 2 古，可见与g u m b e l c o p u l a 函数刚好相反，生成函数为( g ) = g - 1 ，口( o ，) ，其表达式为： i c ( u ，功= ( 甜吨+ ，一一1 ) 1 ( 2 2 8 ) ( 3 ) f r a n kc o p u l a 函数具有对称相关性，屯= 五= 0 ，说明变量在f r a n kc o p u l a 函数分布的尾部都毫渐近独立的。生成函数为纷( g ) = 一l n ；萼 ，口( 棚，佃) 。) ， 其表达式为： c ( “，v ) = 一1 口l n ( 1 + 里受二= _ 掣 口 p 一一i ( 2 2 9 ) 2 3 1 4c o p u i a 函数参数估计 c o p u l a 函数是连接随机变量边缘分布的累积分布函数，运用c o p u l a 函数对多 元