（工程力学专业论文）01规划的连续化解法及其对连续体结构拓扑优化的应用.pdf

摘要 摘要 结构拓扑优化本质上是o 1 规划问题，i c m 方法建立的优化模型使之成为具 有高度非线性特征的连续变量问题。本文通过利用高阶缩并方法对优化模型的目 标函数及约束函数在对数空间上展开，从而实现对于模型较泰勒展开更为精确的 近似描述，进而使其后的优化求解得到更为精确的最优解。同时根据i c m 方法 建立连续体结构拓扑优化的模型，将本文提出的解法用于此模型的求解 本文主要工作内容是： ( 1 ) 利用高阶缩并方法对广义几何规划问题求解。 ( 2 ) 利用磨光函数近似处理0 1 规划问题，将离散的o 1 规划问题连续化 为非线性优化问题并使用缩并解法求解。 ( 3 ) 利用过滤函数近似处理连续体拓扑优化问题，使用缩并解法实现了 对连续体拓扑优化问题的求解。 ( 4 ) 开发了基于缩并解法的o 1 规划求解软件和基于缩并解法的连续体 拓扑优化软件。 关键词：o 1 规划；i c m 方法；高阶缩并；广义几何规划；拓扑优化；软件设 计 a b s t r a c t a b s t r a c t s t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nb e l o n g st o0 - ! p r o g r a m m i n gp r o b l e me s s e n t i a l l y t h e s t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nm o d e l ，w h i c hi se s t a b l i s h e db yi c m ( i n d e p e n d e n tc o n t i n u o u s m a p p i n g ) m e t h o d ，i se x t r e m e l yn o n l i n e a r i nt h i st h e s i s ，a c c o r d i n gt ot h eh i g ho r d e rc o n t r a c t i o n m e t h o d t h eo b j e c tf u n c t i o n sa n dt h ec o n s t r a i n tf u n c t i o n so ft h es t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o n m o d e la r ee x p a n d e di nl o g a r i t h ms p a c e ；c o n s e q u e n t l y , i tg e t s am o t ep r e c i s ea p p r o x i m a t e d e s c r i p t i o nt h a nt h em o d e le x p a n d e db yt y l e re x p a n s i o n ，t h ep r o c e d u r eo f m o d e lo p t i m i z a t i o ni sa m o r ep r e c i s es o l u t i o n t h ei c mm e t h o db a s e do nt h i st h e s i s ，t h et o p o l o g yo p t i m i z a t i o np r o b l e mo f c o n t i n u u ms t r u c t u r e si ss o l v e d i h ec e n t r a lc o n t e n tl s ( 1 ) g e n e r a l i z e dg e o m e t r i cp r o g r a m m i n gp r o b l e mi ss o l v e db yh i g ho r d e rc o n t r a c t i o nm e t h o d ( 2 ) t h ed i s c r e t e0 - 1p r o g r a m m i n gp r o b l e mi st r a n s l a t e di n t oc o n t i n u o u sn o n l i n e a ro p t i m i z a t i o n p r o b l e mb yp o l i s hf u n c t i o n ，a n dt h en o n l i n e a ro p t i m i z a t i o np r o b l e m i ss o l v e db yc o n t r a c t i o n a l g o r i t h m ( 3 ) t h et o p o l o g yo p t i m i z a t i o np r o b l e mi sa p p r o x i m a t e l y m o d e l e do fc o n t i n u u ms t r u c t u r e sb y f i l t e rf u n c t i o n ，t h e nt h eo p t i m i z a t i o np r o b l e mi ss o l v e db yc o n t r a c t i o na l g o r i t h m ( 4 ) t w os o f t w a r ea r ed e s i g n e d ：s o l v e0 - 1p r o g r a m m i n gs o f t w a r eb a s e dc o n t r a c t i o na l g o r i t h m a n dc o n t i n u u ms t r u c t u r e so p t i m i z a t i o ns o f t w a r eb a s e dc o n t r a c t i o na l g o r i t h m k e y w o r d s 0 1 p r o g r a m m i n g ；i c mm e t h o d ；h i g h o r d e rc o n t r a c t i o n ；g e n e r a l i z e d g e o m e t r i cp r o g r a m m i n g ；t o p o l o g yo p t i m i z a t i o nd e s i g ns o f t w a r e i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 关于论文使用授权的说明 侈必g 5 - 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：驰导师签名黔日期? 2 屿 l 象豺。勿 7 第1 章绪论 1 1 研究背景及意义 第1 章绪论 结构设计的早期阶段是建立在经验、半经验的基础上。随着自然科学的发展， 人们逐渐掌握了力学分析的方法，从此分析的方法成为结构设计的重要手段之 一，并取得了丰硕的成果。此时的结构设计一般按照这样的步骤进行：( 1 ) 拟 订结构的计算简图；( 2 ) 确定作用在结构上的载荷：( 3 ) 选择合适的材料；( 4 ) 根据结构可能出现的失效形式，选用相应的判定条件，确定结构的形状和主要尺 寸。可以看出，在这一设计过程中，分析方法的应用仍然局限在校验设计是否可 行的阶段，但是不能保证这样的设计是否最优。分析方法本身也存在着一定的局 限，对于复杂问题难以得到精确的解，例如板、壳以及其它几何构型复杂的结构。 要想解决这类复杂的结构分析问题，需要更高效的方法。有限单元法也被称作 有限元法，是随着电子计算机的使用而发展起来的一种有效的数值计算方法，可 以有效地确定结构在载荷作用下的静力、动力、热和流动等行为，研究结构的强 度、刚度以及稳定性等问题。在此基础上，如何对于结构的设计作出改进，并且 保证这种改进是结构最优的形式，这就是结构优化设计的重要工作。 结构优化设计本质上是一个确定结构的材料及几何尺寸的过程，同时充分考 虑到成本、生产条件等因素的限制，使产品的性能达到最佳。从这个意义上来说， 结构优化设计在追求产品性能的同时又符合了人类社会的经济学规律。 结构优化设计一般利用有限元分析方法建立优化模型，然后针对模型的特征 选择合适的优化算法求解。其中结构拓扑优化本质上是0 1 规划问题。对于o 1 规划问题的求解目前主要有离散解法和连续化解法两类。 0 1 规划的离散解法是利用整数规划的直接解法，将整数规划的变量仅取0 或1 从而转化为0 1 规划问题，传统的整数规划直接解法大多属于组合优化方法， 如线性整数规划中的穷举法、隐枚举法( 如分枝定界法) 等，这类方法随着问题 规模的增大将会出现组合爆炸问题，计算代价巨大。另一种离散解法是启发式算 法，如用o 、l 编码表示的遗传算法。 0 1 规划的连续化解法是将原问题转化为关于连续变量的规划问题然后求解， 一类办法是把0 、l 变量松弛为 o ，1 】区间上的连续变量，求解后再“舍入化整”。 文献 1 】在结构拓扑优化中提出的i c m 方法利用过滤函数及磨光函数将0 1 拓扑 变量连续化，从而将离散变量的0 1 规划问题转化为高度非线性的数学规划问题 进行求解。这些对于0 1 变量的连续化处理方法皆为模型近似的连续化方法。 北裘工业大学硕士学位论文 i i ii i i i i i l 。2 结构优化设计研究现状 1 2 1 结构优化设计概述 结构优化设计按照不同的优化目标和求解难易程度可捌分为3 个层次：( 1 ) 尺寸优化设计：设计变量为结构的几何尺寸，如桁架的横截面积，板壳的厚度等； ( 2 ) 形状优化设计：设计变量除了尺寸变量一般还有杼系结构的节点坐标，或 连续体结构的形状；( 3 ) 拓扑优化设计：设计变量除了尺寸变量和形状变量一 般还有杆系结构的节点布局，节点之间单元的连接关系，或者连续体结构内部空 洞和夕 部空缺的形状、分布以及大小等。 在尺寸和形状优化中，可以把杆件的横截面积、节点坐标以及板壳的厚度等 作为设计变量，其变量数是有限的。然而在拓扑优化问题中，由于存在无限多可 能的拓扑结构，在设计域内任意位置都有可能存在节点，任意位置的任意方向也 都可能存在枵件；或者在连续体内，任意位置都可能存在任意大小和形状的孔， 因此不可能用有限多的参数来描述无限多的拓扑结构。 结构拓扑优化比尺寸优化和形状优化节省材料更为显著。被认为是一个更具 挑战性的领域。可以广泛应用于建筑、机械、航空航天、海洋工程以及船舶制造 等领域。 1 2 2 结构拓扑优化模型的建立 结构拓扑优化首先面对的困难即是优化模型如何建立的问题，人们运用解析 方法和数篷方法对此间题作了多方面的研究。 在解析方法方法上，m i c h e l l 理论具有重要意义。对于结构拓扑优化的解析 方法研究最早是在1 8 5 4 年，m a x w e l i l 2 】首次进行了应力约束下最小重量桁架酶基 本拓扑分析。其后m i c h e l l 在1 9 0 4 年用解析方法研究了应力约束、一个荷载作用 下的结构，得到最优桁架所应满足的条件，后称m i e h e l l 准则，并将符合m i c h e l l 准则的桁架称为m i c h e l l 桁架，这被认为是结构拓扑优化理论的一个里程碑。 m i c h e l l 桁架是建立在严格的理论基础之上的，从而它具有极其重要的理论 价值。m i c h e l l 桁架揭示了优化拓卦的类桁架特性；它是验证其它优化方法豹最 可靠的标准之一；不仅如此它还可以同时求解出多个最优拓扑结构，而数值方法 仅能随机地得到其中一个。但是由于m i c h e l l 理论数学求解困难，且其结果是非 均质各向异性连续体，不便于工程应用，所以仍处于理论研究阶段。 由于解析方法存在的这些困难，使得人们致力于研究有效的数值求解方法。 数值求解方法一般是将拓扑优化闯题转化为参数优化问题，然后借鉴目前较为成 熟的参数优化方法求解。结构拓扑优化问题转化为参数优化问题的主要困难是设 计变量如何选取，也即怎样选取合适的设计变量才能有效地表征结构的拓扑形 式，同时兼顾到优化模型便于求解。考虑到结构拓扑优化的力学模型主要有离散 - 2 - 第1 章绪论 体结构和连续体结构两种，为了将这两种模型的拓扑优化问题转化为参数优化问 题，目前主要利用的是基结构法l 3 】，这一方法来自理论与解法都比较完善的尺寸 优化和形状优化。 对于离散体结构的拓扑优化( 如杆件结构拓扑优化) ，基结构法是在设计空 间中规则地布置足够多的节点，再将每一节点与所有其它节点用杆件连接起来形 成基结构，然后对杆件进行截面尺寸优化，在优化过程中删除截面过小的单元， 实现拓扑优化。在这一模型中，设计变量是杆件的截面尺寸。 连续体结构拓扑优化研究对象是连续体结构，求解此类问题首先可以根据基 结构法将设计域划分为有限单元，然后利用优化算法删除部分单元，形成带孔连 续体，实现拓扑优化。 可见在基结构法中，设计变量的选取从内涵上来看是要表征基结构单元的有 无。根据这一思想，拓扑优化问题就转化成0 1 规划问题，令保留单元的设计变 量为l ，删除单元的设计变量为0 ，目前主要有两类方法求解此0 1 规划问题： 一类是直接求解离散的o 1 规划问题；另一类是放松设计条件将离散的0 1 规划 问题连续化，允许中间变量的存在。 将拓扑优化问题转化成0 1 规划问题，并直接求解此离散的o 1 规划模型， 其优化方法主要有： ( 1 ) 以遗传算法为代表【4 - 6 的穷举搜索法，遗传算法是传统 的离散变量优化方法，且具有全局优化的能力，对于设计变量规模较小的拓扑优 化设计，用遗传算法容易求解，但对于设计变量规模较大的拓扑优化设计问题，遗 传算法的求解时间与设计变量的数量呈指数上升关系，计算量是非常巨大，在这 种情况下优化设计计算过程有时甚至无法进行；( 2 ) 基于梯度搜索算法的渐进 优化法( e v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ，e s o ) 7 j 和模拟生长法( m e t 锄o r p h i c d e v e l o p m e n t ，m d ) 【8 】等； ( 3 ) 启发式搜索方法，如胞元自动搜索等们。 将离散变量的拓扑优化设计问题放松为连续变量的优化问题，主要有 b e n d s o e 和k i k u c h i j 提出的均匀化方法( h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ，h m ) ，后来发展 为密度法【1 2 j ，以及隋允康提出的i c m ( 独立、连续、反演) 方法【l 】。 在结构拓扑优化设计的相关研究中，目前使用较多的还是均匀法、密度法、 i c m 方法以及渐进法。 均匀化方法是基于含微结构材料的模型的优化方法，这种方法是结构拓扑优 化研究中应用最广的方法。其基本思想起源于程耿东和o l h o f f 1 3 15 】的工作，他们 首次明确地将微结构( 无限细无限密的肋骨) 引入结构优化设计，拓展了设计空 间。b e n d s o e 和k i k u c h i p 6 j 、考虑屈曲的连续体问题、三维壳体问题在连续体结 构拓扑优化研究中，引入了具有空心的单胞微结构，以单胞尺寸做设计变量，利 用b e n s o u s s a n t l 。7 】等人发展的套基于摄动理论的关于周期性结构分析方法，建立 材料微结构尺寸与材料宏观弹性常数之间的关系，在优化过程中以单胞尺寸的变 化决定微结构的增删，并允许介于中间尺寸的单胞构成复合材料，从而实现了结 - 3 一 北京工业大学硕士学位论文 构拓扑优化模型与尺寸优化模型的统一和连续化。其后，b e n d s o e 墙砭o j 等人的一 系列研究工作逐步完善了这一方法。这些工作包括：微结构模型的研究，提出了 方型空心微结构16 1 、两级排列分层微结构【2 0 】、长方形空洞微结构【2 1 】、三维分层 排列微结构【2 2 l 等模型，并提出正交微结构假设必将导致错误结果【2 3 】；均匀化方 法在各类拓扑优化问题中应用研究，研究范围涉及多工况平面问题1 2 4 j 、三维连续 体问题【2 5 1 、考虑振动情况的二维问题【2 6 , 2 7 】、热弹性问题2 8 1 、考虑屈曲的连续体 问题【2 9 1 、三维壳体问题1 3 0 1 、薄壳结构问题【1 8 1 及复合材料拓扑优化问题【3 1 1 等众多 方面的问题。h a s s a n i 与h i n t o n 3 2 3 4 】对均匀化方法理论、数值模拟分析等进行了 详细介绍。 变密度法通过人为引入一种假定密度可变的材料，根据经验公式建立密度与 材料属性的函数关系式，如密度与弹性模量之间的关系式，由此以单元的密度为 设计变量，将结构拓扑优化问题转化为设计材料的最优分布问题，然后利用优化 算法求解。变密度法中常见的插值模型有：固体各向同性惩罚微结构模型( s o l i d i s o t r o p i cm i c r o s t r u c t u r e sw i t hp e n a l i z a t i o n ，s i m p ) 3 5 - 3 8 】、材料属性的有理近似模型 ( r a t i o n a la p p r o x i m a t i o no fm a t e r i a lp r o p e r t i e s ，r a m p ) p 圳。s i m p 或r a m p 通过 引入惩罚因子对中间密度值进行惩罚，使中间密度向在【o ，1 】取值范围内o 1 两端 聚集，使连续变量的拓扑优化模型能很好地逼近0 1 离散变量优化模型。代表性 的工作有：m l e j n e k 建立的变密度法模型 4 0 , 4 1 】；y a n gr e n j i e 4 2 刊】对于车身结构的 拓扑优化；王健和程耿东【4 5 j 解决了应力约束下平面弹性结构的拓扑优化问题；袁 振等人1 4 6 j 研究了基于杂交元和变密度法的连续体结构拓扑优化问题。 i c m 方法是在分析前面几种连续体结构拓扑优化方法特点的基础上提出来 的。均匀化方法将拓扑变量依附于微结构的尺寸上，优化后的结构常常含有多孔 质材料，给工程应用带来一定难度；变密度法法将拓扑变量依附于单元材料的弹 性模量上；而变厚度法则将拓扑变量依附于单元厚度上。这种依附的做法由于不 能显现出拓扑优化的特征所以不能有很好的求解效率，而且在建模及求解方面还 会带来其它一些问题。i c m 方法将拓扑变量从依附单元特征的低层次变量( 如单 元的尺寸、密度) 中独立出来，以独立于单元具体特征参数的变量来表征单元的 “有”与“无”，为模型的建立带来方便；同时引入磨光函数和过滤函数的概念，利 用磨光函数逼近实际的0 、1 拓扑变量，将离散的0 1 独立拓扑变量映射为【0 ，l 】区 间上的连续变量，建立了拓扑优化问题光滑的数学模型，提高了求解效率；之后 利用合适的优化算法求解此连续化的拓扑优化模型，将得到的在区间 0 ，1 】上的最 优设计变量反演回离散的最优设计变量。利用i c m 方法有效地解决了应力、位移 约束下以重量为目标的连续体结构拓扑优化问题，实现了离散体结构和连续体结 构在拓扑优化模型上的统一，并且克服了以柔顺性为目标函数难以处理多工况的 困难1 4 7 5 引。 渐进结构优化( e v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo pt i m i z a t i o n ，e s o ) 方法1 7 j 是由澳大利 4 第1 章绪论 亚华裔学者谢亿民于1 9 9 3 年提出的，简称渐进法，主要用于连续体结构拓扑优化设 计问题。通过逐渐将无效或低效的材料删除，实现连续结构拓扑优化，避免了多变 量数学规划求解。渐进法的思想源自于力学准则法，代表了一类基于力学准则法 的拓扑优化设计方法。 1 2 3 结构拓扑优化模型的求解 结构拓扑优化模型的求解需要充分利用优化模型的特征，而模型的建立同时 也要兼顾到是否便于求解，从结构拓扑优化设计的发展历程可以看出，优化算法 的发展决定了优化模型的建立，反过来各种不同的模型又对优化算法的性能提出 出新的挑战，促使其向前发展。目前拓扑优化的数学求解方法主要有准则法、数 学规划法和概率搜索法。 准则法是从早期的结构设计中发展出来的，应用比较多的是满应力设计，还 有同时破坏模式和均匀能量密度方法。准则法主要基于一种启发式的显式的变量 更新方案来更新设计变量，不需要进行敏度分析，对设计变量增加不敏感，迭代 次数少，计算效率高，而且概念简单，容易程序实现，特别适合工程应用。但是 准则法也有其局限性，对于多约束问题，由于要依次引入相应约束的l a g r a n g e 乘子，每个l a g r a n g e 乘子要采用不同的准则，这样就会导致优化求解效率将大 大降低，有时不能收敛到局部最优解，或者不收敛t 5 9 j # b 准则法需要建立准则和相 应的迭代公式，而这方面还欠缺理论依据，同时这些准则和迭代公式还与研究问 题的特点有关，因此导致了准则法的通用性较差，这些缺点都阻碍了其更广泛的 应用。 2 0 世纪中叶期计算机和有限元的发展，使的有限元与数学规划结合起来成为 新的结构优化方法。在数学规划法中，结构优化问题成为被结构的状态变量( 如 应力、位移、频率等) 所约束的多维设计域中的目标函数的极值问题。数学规划 法主要有序列线性规划法( s l p ) 、序列二次规划法( s q p ) 、序列凸规划法( s c p ) 和 序列增广拉格朗日法( s a l ) 等【6 0 击2 1 。数学规划法进行拓扑优化时不仅要进行结构 分析，还需要进行敏度分析。特别对于大规模系统，优化效率低，运算费用高。 f l e u r y 6 3 】将准则法和数学规划法结合起来，表明数学规划方法中的原对偶列式所 得到的结果与准则法得到的结果相同。几何规划是一类形式特殊的非线性规划问 题，其求解方法也得到的广泛的研究，它是本文所做研究工作的重要基础，将于 第2 章中着重介绍。 在概率搜索法中，遗传算法( g a ) 是研究比较多的一种方法j ，遗传算法是借 鉴生物进化的原理产生的一种人工智能算法。e k i t a 和h t a n i e j 应用边界元法 分析了遗传算法优化连续体结构的拓扑和形状优化，n a k a n i s h i 【6 6 j 应用g a 算法对 三维结构进行了拓扑优化，b u r e z y n s k it a d e u s z 等【67 】也用g a 算法对连续体结构 进行优化。此外模拟退火算法( s a ) 、粒子群优化算法( p s o a ) 等也属于概率搜索 - 5 - 北京工业大学硕七学位论文 法。s s r a o 等用s a 方法设计出并行算法对连续体结构进行拓扑优化，f o u r i e 等运用p s o a 对连续体结构进行拓扑优化。这些算法直接基于离散的拓扑变 量，不建立近似的模型，对于小规模的问题，概率搜索方法具有较好的全局收敛 性，但收敛速度都较慢。当问题规模较大时，求解空间呈“爆炸式”变化，优化效 率问题需深入研究。 1 3 课题研究内容 本文基于i c m 方法的建模思想，使用过滤和磨光函数将0 1 拓扑变量连续化， 然后利用广义几何规划的原二阶算法求解此拓扑优化模型，从而形成缩并解法， 并且利用缩并解法来求解0 1 规划问题，得到它的最优解。最后将该求解方法推 广到结构拓扑优化中，并在m s c p a t r a n 平台上作二次开发，利用p c l 语言 编写了程序。 1 广义几何规划理论( 第2 章) 因为结构拓扑优化问题本质上属于0 1 规划问 题，研究0 1 规划问题的求解方法具有重要的意义。0 1 规划可以通过磨光函数 连续化处理后可转化为高度非线性的优化问题，其非线性特征属于广义几何规划 问题，本章中介绍了广义几何规划的理论。 2 o 1 规划的缩并解法( 第3 章) 本章利用前一章介绍广义几何规划理论理论， 将其应用到经磨光函数连续化处理的0 1 规划数学模型上，并在此基础上提出缩 并解法用于该0 1 规划问题的求解。 3 二维连续体结构在位移约束下的拓扑优化( 第4 章) 在拓扑问题的建模过程 中，结构拓扑优化归结为解决组成整体结构的子系统的“有”与“无”的最优分布。 传统的拓扑变量用1 代表“有”，用0 代表“无”，因而离散值的拓扑变量建立起来的 优化模型为一个整数规划问题。由于求解整数规划问题目前还没有高效的算法， 所以通常人们将拓扑变量依附于尺寸或材料等低层次变量上，这样不能体现拓扑 变量的特性，而且建模的过程中还会带来其他一些问题。i c m 方法将拓扑变量独 立出来，通过映射、反演原理建立拓扑优化的数学模型。本章中基于i c m 方法的 建模思想，建立了以结构重量为目标的模型，但是在模型的建立过程中使用过滤 函数，建立关于拓扑变量的连续化数学模型。利用第3 章提出的缩并解法进行求 解。 4 程序实现( 第4 章) 以m s c 为平台进行二次开发，使用p c l 语言编写程序， 实现数据提取和拓扑优化模型的建立，调用m a t l a b 语言编写的缩并解法求解 器来求解拓扑优化模型，然后生成结果文件，并且提取结果中的数据重新建立模 型并分析计算，如此直到得到结构的最优拓扑图形。其中关于拓扑建模的程序大 部分是在实验室以往工作的基础上改进完成的，基于缩并解法的优化求解子程序 是利用m a t l a b 语言编写得到的。各程序之间数据的传递主要靠中间文件传输。 一6 - 第1 章绪论 算例表明，该程序运行良好，能够得到结构合理的拓扑图形。基于缩并解法的优 化求解子程序可以用来求解o 1 规划问题，运用j a v a 语言编程实现了基于缩并解法 的0 1 规划求解器软件。 7 第2 章广义几何规划理论 2 1 引言 第2 章广义几何规划理论 几何规划是非线性规划的一个分支，最初是由数学冢r j d u 硒n 和e l p e t e r s o n 及c m z e n e r 等人于1 9 6 1 年在研究工程费用极小化问题基础上提出的， 直到1 9 6 7 年文献【7 0 】出版后才正式定名。几何规划的数学基础是g h 哈代的平 均理论。由于几何平均不等式的关键性作用，几何规划由此得名。几何规划的标 准形式可定义为： f 求x e ” l m i nf o ( x ) s t z g ) lu = l ，m ) ( 2 1 ) lg k g ) = 1 = 1 ，p ) 【x i 0( f = 1 ，n ) 定义单项式函数为 i x l = c f ix ? o ( 2 2 ) 其中常系数c 0 ，幂指数口( ，) r ( 待1 ，2 ) 。由单项式之和组成正项多项式函 数，故定义正项多项式函数为 厂& ) = 圭c ，n x ( 2 - 3 ) 其中c ，0 ，口j 7 ) r ，式( 2 1 ) 中厂g ) o = o ，”) 为正项多项式函数，g 。g ) = 1 ，p ) 为单项式函数，则 乃o ) ：兰e ，n ( 2 - 4 ) g k g ) = g 兀 ( 2 - 5 ) 门。何规划的标准形式可举仞j 如下 r 求 一( f = 1 ，3 ) lm i n x x f + 2 3 x i x 3 + 4 x l x 2 墨 卜( 1 3 ) x _ i - 2 x 2 + ，( 2 3 ) x ：l 止铲 0 ( f = 1 ，3 ) 目标函数系数为正，不等式约束右端项系数为正，等式约束右端项为单项式。 北京_ t 业大学工学硕士学位论文 在实际工程中，有很多结构优化问题通过各种设计规范即可构造出优化模 型，而这些设计规范往往有着相似的高度非线性特征。几何规划是一类特殊的非 线性规划，利用其对偶原理，可以把高度非线性的优化问题转化为具有线性约束 的优化问题求解，使计算大为简化。几何规划理论研究和算法软件开发、发展都 很快，并且在化工、机械、土木、电气、核工程等部门的工程优化设计和企业管 理、资源分配、环境保护以及技术经济分析等方面都得到广泛应用。 几何规划的算法可分为对偶算法与原算法两大类。对偶算法适合于正定几何 规划问题，利用对偶理论可将正定几何规划问题转化为线性等式约束下的非线性 目标函数极大化问题。几何规划的原算法有线性化方法【7 1 1 、序列线性化方法【7 2 1 、 二阶和全二阶原算法【7 3 , 7 4 j 等。 2 2 广义几何规划 广义几何规划是对几何规划问题的推广，相比较几何规划，这里对于目标函 数、约束条件的形式更为宽松。例如设计变量的幂可以是小数，而不仅仅是整数， 同时目标函数、约束条件可以是正负项多项式，而不仅仅是正项多项式，广义几 何规划的数学表达如下： f r 求x e ” i m i nk g ) = r o 。g ) 一y o ：0 ) s t z 0 ) = r ，g ) 一：b ) 10 = l ，1 7 1 ) ( 2 7 ) le g ) = k 。g ) 一圪：g ) l = l ，p ) l 0 t x 7g = 1 ，刀) 其中巧。g ) 、髟：g ) ( 卢0 2 ，的都是正项多项式，因此广义几何规划更准确的数学模型可 表示为： 求x e ” m i n k = c o ，兀妒“一c o ，兀妒“ t = ii = 1 ，- 晶i + 1 t = l l 力 乃 一 s t 巧= q ，n 矿一巳兀x 7 j 1 u = 1 ，m ) k ：珀c f ”i x i 一羔g n 垆1 ：1 ，一，p ) ( 2 - 8 ) t = li = l t = t k l + l i = l 0 彰x ，x ?o = l ，刀) c i i o( t = l ，乃) 瓯0( t = 1 ，瓦) 对于广义几何规划问题的求解，一般是对目标函数和约束条件作近似处理， 以得到满足数学规划求解条件的优化模型，这种近似处理如泰勒展开往往损失过 1 伊 第2 章广义几何规划理论 多的精度，而文献【l 】中提出二阶原算法是对广义几何规划模型经过处理后，对 其目标函数在对数空间上作二阶缩并展开，约束条件在对数空间上作一阶缩并展 开从而得到了对数空间上的二次规划模型，利用二次规划算法求解，将优化结果 反演回原模型，得到原问题的优化解。 广义几何规划问题的二阶原算法基于高阶缩并展式的概念。高阶缩并展式是 隋允康【l 】所作出的对于泰勒展式在函数变换意义下的推广，在一定取值范围内， 较之泰勒展开能够获得对原函数更为精确的近似。对于函数触) ，其聊阶缩并展 式如下： 刷吲 o ( s ( x 。) ) + 薯苷嵩冉k k ) 一甄雠) 】) j = l l ( 2 - 9 ) 其中，令f e 1 ：x e ”；函数风o ) ，h 。( ，) ，圮( ，) 皆为单质函数并存在单 值反函数且肛) 的值域不违背夙( f ) 的定义域，则有夕g ) 对炽) 在x 0 点具有朋阶 逼近关系，其具体证明见文献 1 】。实际应用中可以取h o o ) = 且o ) = = 以o ) = l ，则式( 2 9 ) 变为 厂g ) 兰e x p ( 旷仁。) + 善去砉k l 砉差 i = 1 - n 吾- a , k , ) c 2 - 。， ，= l l ： ；1岛= 1l 7 1 - j k l j j 七， 当m = l 时，式( 2 1 0 ) 即为几何规划中用到的达芬( d u f f i n ) 缩并公式。缩 并展开对于原函数具有较高精度的近似。对于缩并展开的应用可举例如下。 例2 1 对原函数 y = 对“+ x 2 1 “( 2 1 1 ) 在( 1 ，1 ) 点分别应用一阶缩并与二阶缩并可得近似展式： 夕= 2 ( x , y 墙仗) l 胆 ( 2 1 2 ) 萝砒广时8 唧( 两1 2 ( 2 - 1 3 ) 式( 2 - 1 2 ) 为原函数( 2 1 1 ) 的一阶缩并展式，式( 2 - 1 3 ) 为原函数( 2 1 1 ) 的二阶缩并展 式。在t 0 0 5 ，1 】o = 1 ，2 ) 区间内对原函数与缩并近似函数画出二维曲面图。 i ! 至：；兰查耋三耋至圭尘堡兰兰 记飞， 图2 - l 一阶缩并与原函数 f i g2 - 1f i r s t o r d e rc o n t r a c t i o na n d o r i g i n a l f u n c t i o n 圈2 - 2 二阶缩井与原函数 f i g2 2 s e c o n do r d e re o n 口a c t i o na n d o r i g i n a lf u n c t i o n 原函数( 2 - 1 1 ) 的一阶泰勒展式为： ，= j 3 + i 1 “+ x 2 ) 原函数( 2 一1 1 ) 的二阶泰勒展式为： f 2 1 4 ) ；= ；+ ；g + ，：) 一砉( 砰+ 砖) ( 2 - j 5 ) y 2 i + i ：卜雨w + j 在一 0 0 5 i 】o = l ，2 ) 区间内对原函数与泰勒近似函数画出二维曲面图。 ! i 匆尹；尹一 图2 - 3 一阶泰勒展开与原函数 f i g2 - 3f i r s t o r d e r t a y l o re x p a n s i o n a n do r i g i n a lf u n c t i o n l 圉2 - 4 二阶泰勒展开与原函数 f i g2 - 4s e c o n d o r d e r t a y l o re x p a n s i o n a n d o r i g i n z d f u , 科i o n e 雨2 苹广义j l t ：, i 规划理论 闭2 - i 、圈2 - 2 、用2 - 3 和图2 - 4 叶 ，深色同格为原函数曲而，】i 色网格是近似曲 而u 对比图2 - 1 、罔2 - 2 可见二阶缩并比一阶缩井更为精确对比嗣2 - 1 、图2 - 3 可见阶缩并比阶泰勒展开更为精确，, w i z 崮2 - 2 、罔2 - 4 可见二阶缩并比二 阶泰勒震丌更为精墒。 例22 对原函数 ，= j 】+ - ( 2 1 6 ) 在( 1 ，1 ) 点应用一阶缩并可得近似展式： ，= 2 g y2 0 ：y 2 ( 2 1 7 ) 在( 1 ，1 ) 点应用二阶缩井可得近似展式： 硒唧驯 p 在e o 0 5 1 】o = 1 2 ) 区间对原函数与缩并近似函数画小一维曲面图。 图2 - 5 一阶缩并与原函鼗 f i g2 - 5f i r s t o r d e rc o n t r a c t i o na n d o r i g i n a lf u n c g o n 圈2 - 6 二阶缩并与原函数 f i g2 - 6s e c o n do r d e rc o n t r a c t i o na n d o r i g i n a lf l l n c t i o n 图2 - 5 、图2 - 6 中，深色网格为原函数曲面，白色网格是近似曲面。对比图2 - 5 、 罔2 - 6 可见函数y = + 乇的二阶缩并比一阶缩并更为精确，对比图2 - i 、图2 - 5 可见函数y = z + x ；2 的一阶缩并近似比函数，= 一+ 屯的一阶缩并近似效果 更好。 例23 霉 北京丁业人学l 学硕士学位论文 对原函数 y = x 卜x ；( 2 1 9 ) 在( 1 1 ) 点应用一阶缩并可得近似耀式： 芦= 2 x 1 x ，( 2 - 2 0 ) 在( 1 ，1 ) 点应用二阶缩并可得近似展式： y = ：1 l nx , 在t 田0 5 1 0 = 1 ，2 ) 区间对原函数与缩并近似函数画出二维曲面图 闰27 一阶缩并与原函数 f i g2 - 7f jr s lo r d e rc o m r a c t i o na n d o r i g i n a lf u n c t i o n 图2 - 8 二阶缩并与原函数 f i g2 - 8s e c o n do r d e rc o n t r a c t i o na n d o r i g i n a lf u n c t i o n 图2 7 、图2 - 8 中，深色网格为原函数曲面，白色网格是近似曲面。对比圈2 7 、 图2 8 可见函数y = 0 + t 的二阶缩并比一阶缩并更为精确。由图2 7 可以看出 函数y = 并+ z ；的一阶缩井近似在x 的取值范围过大时，近似效果较差。对比图 2 - 1 、圈2 - 7 可见函数y = x ：2 + x ：2 的一阶缩并近似比函数y = 奸+ 蔓2 的一阶缩并 近似效果更好。 2 由上述3 个算例可以看出对于函数，= r ( 0 1 1 ) ，当0 a 1 时，对该 j 1 函数的一阶缩并效果较好，这一现象对于连续体结构拓扑优化模型的近似处理有 重要影响，在本文第4 章4 23 节中将加以说明。 下面基于高阶缩并的概念对于广义几何规划问题式( 2 3 ) 作缩并处理，为此将 第2 章广义几何规划理论 式( 2 7 ) 等价为 求x e ” m i l l k b ) = r o 。g ) 一r o ：g ) + c s t 州= 描蛳乩川 ( 2 2 2 ) 删= 熟吼 o x ；一x ? ( f = 1 ，狞) 其中，c 是适当的常数以保证k g ) 0 。 对等价后的广义几何规划问题式( 2 2 2 ) 1 拘目标函数取二阶缩并，对约束取一 阶缩并，得 求x e ” m x 扣嘻掣n 私咎智n 号h 考 s t e x 扣嘻掣n 和o - - 1 , - , m ， 唧g 。) 嘻掣h 非吼一 0 五1 一芹 ( f = 1 ，刀) 对式( 2 2 3 ) 各式取对数，同时引入刁= l i l 等，得到如- f - - 次规划： 工 f 求弓 = l ，刀) m i n ( 1 2 ) z 7 a z + 西7 z ( 2 - 2 4 ) i - s t c z d ，o5 毛z ? 解此二次规划问题式( 2 2 4 ) ，利用反演关系式t = p 五( f = 1 ，甩) ，即可得到原几 何规划问题的最优解，通过以上步骤即可实现广义几何规划问题的二阶原算法。 2 3 小结 本章讨论了几何规划与广义几何规划问题的模型及目前的求解方法，着重引 入了二阶原算法的概念，同时通过实例显示了这一算法在求解精度上的优越性， 为实现后文0 1 规划的缩并解法以及连续体结构拓扑优化的缩并解法提供了数 学基础。 - l ， 第3 章o - 1 规划的缩并解法 3 1 引言 第3 章0 - 1 规划的连续化缩并解法 结构拓扑优化问题本质上是0 1 规划问题，因此研究0 1 规划的求解方法对于结 构拓扑优化问题的解决具有重要意义。o 1 规划是整数规划的特殊形式，其设计变 量仅能为0 或1 ，因此其数学模型的设计域是离散的，基于这一离散模型的求解方 法( 如线性整数规划中的穷举法、隐枚举法) 在变量超过一定数目后就会引起组 合爆炸现象，求解效率低下。连续化方法将0 1 规划模型的设计域松弛为 0 ，1 】区 间上的连续变量，建立连续化的非线性数学模型，借助基于梯度搜索的优化方法 进行求解。i c m 方法是在研究结构拓扑优化问题中提出来的，这一方法利用磨光 函数的概念以实现在一定精度上逼近0 、l 变量，同时将其连续化为【o ，1 】区间上的 连续变量，将原模型化为非线性的优化模型，借助合适的优化方法加以求解。本 章首先将0 1 规划借助i c m 方法化为非线性的优化模型，鉴于0 1 变量经磨光函数 处理后，其目标函数、约束符合广义几何规划的特征，故而利用第2 章中介绍的 广义几何规划二阶原算法【l j 对其求解。 3 2o 一1 规划的缩并解法 以o 1 线性规划的数学模型为例说明解法： r 求= 0 或lf ，扛l ，刀) l 一 m i nf o ( t ) = w , t ， ( 3 - 1 ) i - 1 ls t 厶一夕= c 删t f “。( ，聊= l ，m 夕 f - 1 式( 3 1 ) 是离散的优化模型，为实现对此模型的连续化处理最简单的办法是把 0 、1 变量松弛为 o ，l 】区间上的连续变量，求解后再“舍入化整”。这样做虽然简单， 但是不能保证得到问题的真正最优解。文献 1 】在结构拓扑优化中提出的i c m 方 法利用磨光函数将离散的0 、1 变量连续化，使其逼近实际o 、1 离散变量。 - l7 北京t j l k 大学下