（光学专业论文）半导体激光器光混沌和同步的理论研究.pdf

摘要 半导体激光器光混沌和同步的理论研究 学科专业：光学研究方向：激光与光纤通信 指导教师：吴正茂作者：张毅( 2 0 0 2 3 8 0 ) 摘要 近年来，以混沌信号作为载波的混沌通信由于在保密通信中的潜在应用得到 了人们广泛的关注。由于通过引入反馈或外部注入后，半导体激光器可以产生较 大混沌载波带宽和高维混沌，从而成为目前的研究热点。目前，人们基于半导体 激光器( s l ) 提出了多种的方案来实现光混沌通信。 半导体激光器的混沌和混沌同步研究一般都是基于l a n g - k a b a y a s h i 的速率 方程组进行的，但是在大量的研究中都是采用常数载流子寿命近似( c c l a ) 的方 法，这种近似对于处理一般的工作于闽值以上的半导体激光器是合理的，但在处 理半导体激光器的混沌动态中是不合理的。因此，本文在考虑了s l 中载流子的 实际复合机制后，得到了基于s l 的光混沌系统的工作特性，并把所得结果与采用 常数载流子寿命近似所得的结果比较，结果表明：采用常数载流子寿命近似对于 判定半导体激光器是否处于混沌区以及分析主副系统的同步误差与参数失配的 关系时均存在较大的偏差。 在此基础上，本文对外部光反馈对半导体激光器完全同步进行了研究。研究 结果表明：在反馈系数变化的过程中，光反馈半导体激光器混沌同步系统只能在 一定的范围内实现完全同步；并且在较强反馈区域实现的完全同步对参数失配更 为敏感。 关键词：混沌，混沌同步，完全同步，广义同步。参数失配，同步误 蒡 t h e o r e t i c a l i n v e s t i g a t i o no n t h ec h a o sa n dc h a o s s y n c h r o n i z a t i o nb a s e d o ns e m i c o n d u c t o tl a s e r s m i j o r ：o p t i c s d i r e c t i o n ：l a s e r o p t i e a lc o m m u n i c a t i o n a d v i s o r ：p r o f z h e n g m a o w u a u t h o r ：y i z h a n g 佗0 0 2 3 8 0 ) a b s t r a c t r e c e n t l y , c h a o ss y n c h r o n i z a t i o nh a sa t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o nf o ri t sp o t e n t i a l a p p l i c a t i o n si n s c c l l r ec o m m u n i c a t i o mi nw h i c hac h a o t i cs i 掣l a li su t i l i z e da sa n i n f o r m a t i o nc a r r i e r s e m i c o n d u c t o rl a s e r ( s l ) ，w h i c hc a l l g e n e r a t el a r g eb a n d - w i t h a n d h y p c r - d i m e n s i o n c h a o s s i 掣l a lt h r o u g hf e e d b a c k a n d i n j e c t i o n ，h a s b e e n e n t h u s i a s t i c a l l ys t u d i e d a n d v a r i o u ss c h e m e sb a s e do nt h es e m i c o n d u c t o rl a s e r sh a v e b e e n p r o p o s e da n di n v e s t i g a t e df o rc h a o t i ct r a n s m i s s i o n a t p r e s e n t ，r e s e a r c h e s o nc h a o so fs e m i c o n d u c t o r l a s e r sa n dc h a o s s y n c h r o n i z a t i o na r eg e n e r a l l yb a s e do nl a n g - k a h a y a s h ir a t ee q u a t i o n b u ti nm o s t r e s e a r c h e s ，c o n s t a n tc a r r i e rl i f ea p p r o x i m a t i o nm e t h o d ( c c l a ) i so f t e na d o p t e d f o r s e m i c o n d u c t o rl a s e r sw o r k i n ga b o v et h r e s h o l dt h ea p p r o x i m a t i o ni s a p p l i c a b l e ，b u t f o rc h a o t i cc o n d i t i o n st h em e t h o di sn o t a p p r o p r i a t e t h e r e f o r e ，a f t e rc o n s i d e r i n gt h e a c t u a l l yr e c o m b i n a t i o nm e c h a n i s mo f t h ec a r r i e ri nt h es l ，t h ec h a r a c t e r i s t i c so f t h e s e m i c o n d u c t o ro p t i c a lc h a o t i cs y s t e mh a v eb e e ni n v e s t i g a t e dn u m e f i c a l l y ，a n dt h e o b t a i n e dr c s l l l t sh a v eb e e nc o m p a r e d 、i mt h o s eo b t a i n e d 帕t 1 1c c l a i th a sb e e n s h o w nt h a tc c l aw i l ln o t o n l yr e s e t i nt h ew r o n gd e f i n i t i o no f t h ec h a o t i c r e g i o n b u t a l s oi n f l u e n c et h ea n a l y s i so nt h er e l a t i o no ft h em a s t e r - s l a v es y n c h r o n i z a t i o ne r r o r w i t h p a r a m e t e rm i s m a t c h i n g b a s e do nt h ea b o v ea n a l y s i s ，t h ei n f l u e n c eo f o p t i c a lf e e d b a c ko nt h ec o m p l e t e s y n c h r o n i z a t i o no f t h ee x t e r n a l - f e e d b a c ks lh a sb e e ni n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e r t h e r e s u l t ss h o wt h a t , d u r i n gt h ev a r i a t i o n so ft h ef e e d b a c kc o e f f i c i e n t , t h e c o m p l e t e ” a b s t r a c t s y n c h r o n i z a t i o nc a no n l ya c h i e v ei nc e r t a i nn m g o s ，a n dt h es ”1 c h f o l l i 黯d o n sr e s u l t f r o mt h e s t r o n gf e e d b a c k a 豫m o s e n s i t i v et ot h e p a r a m e t e r m i s m a t c h k e yw o r d s ：c h a o s ，c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ，c o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o n , g e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n ，p a r a m e t e rm i s m a t c h , s y n c h r o n i z a t i o n e r r o r m 西南师范大学研究生学位论文原创性声明 秉承我校勤奋、严谨学风，本人申明所呈交的论文是在导师指导下进 行研究工作所取得的成果，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含在我校或其他教 育机构获得学位论文上的材料，与我共同工作的同事对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 该申请学位论文与资料如有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：銎趟日期：理喳：塞：3 西南师范大学研究生学位论文版权协议书 本人完全了解西南师范大学有关保护知识产权之规定，即：研究生在 攻读学位期间所完成的论文的知识产权人单位为西南师范大学。本人保证 毕业离校后，发表攻读学位期间所完成的论文或使用这些论文中的原创性 技术成果时，署名单位为西南师范大学，或在明显位置标明，该成果是作 者在西南师范大学攻读学位期间完成的学校有权保留并向国家有关部门 或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 学位论文的全部或部分内容( 保密内容除外) ，可以采用影印、缩印或其 他手段保存论文 论文作者签名：；选起 指导教师签名：丞窒蕴。 日 期：迦 ：兰：! ： 第一章绪论 第一章绪论 随着计算机技术、信息技术和通信技术的迅猛发展，特别是有关信息 基础结构( 信息高速公路) 的概念和建设计划的提出，以计算机为核心的庞 大信息网络正在全世界范围内逐渐形成，信息已成为当今社会的一种重要 财富。但是，目前的信息安全仍然存在许多隐患。就以i n t e r n e t 为例， 目前在电子商务和金融证券的网上交易，用户的密码、身份认证、交易信 息都是极为重要的信息，一旦被非法入侵者窃取，就会造成很大的损失。 因此，网络数据业务的发展，必须首先解决网络信息安全问题，只有足够 的安全保证，人们才能广泛的接受这种网络业务【l 】o 保密通信的要旨是用某种方法将被传送的信息加密，在接收端只有掌 握适当的密钥，才能对收到的信息解密 2 1 ：否则即使信息被截取，也难以 破译。然而随着现代化计算机技术的发展，它为破译加密系统提供了强有 力的工具。近年来，利用计算机来窃取经济或者军事情报等犯罪活动屡有 报道。在这种情况下寻找一种新的途径，采用新的保密通信方法来确保网 络通信的安全性，已迫在眉睫。 混沌信号的非周期性连续宽带频谱和类似噪声的特性【3 4 】，使它具有天 然的屏蔽性；另外，混沌信号对初始条件的高度敏感( 以正的l y a p u n o v 为特性) ，即使是两个完全相同的混沌系统从极为相近的初始条件开始演 化，它们的轨迹很快将变的互不相干。这使得混沌信号具有长期的不可预 测性和抗拦截的能力 5 1 ；具有多个正的l y a p u n o v 指数的超混沌系统，有着 更为复杂的运动轨迹嘲，这使得混沌信号具有很高的复杂度；同时混沌系 统本身又是确定性的，由非线性系统的方程、参数和初始条件所完全决定， 因此又使得混沌信号易于产生和复制【7 酊。混沌信号的隐蔽性、不可预测 性、高复杂性和易于实现等特性都特别适用于保密通信。 然而，利用混沌的特性进行保密通信需要解决的一个至关重要的问题 第一章绪论 就是实现混沌同步f 9 】。所谓混沌同步，就是让混沌通信系统中发射系统的 混沌载波信号与接收系统的混沌信号同步，并且与初始条件无关。实际上， 同步是人们早已熟知的一个现象，在自然界里存在大量的同步现象 1 0 - t 3 1 。 然而由于混沌运动具有对初始条件极度敏感的特点，要制成能实现同步的 混沌系统，长久以来混沌同步一直被认为是不可能的。直到1 9 9 0 年美国海 军实验室研究员p c c o r e 和c a r o l l 1 4 1 5 1 等人首次证明了混沌同步，且在电路 系统中观察到混沌同步现象n 6 j 。至此混沌同步的实现，打破了以往人们的 概念，开启了混沌应用的新领域。 近十几年来，人们对混沌、混沌同步以及混沌保密通信进行了大量的 研究1 撑”，特别是电学混沌通信方面的理论和技术成果比较丰富，人们先 后提出了很多基于混沌同步的保密通信方案 一9 t ，这些理论的研究必将推 动混沌同步通信的进一步发展。但是由于电路系统中带宽的限制和较高的 衰减，因而电路混沌在远程有线通信中的应用都受到严重的限制，而激光 混沌系统具有很大的带宽( 光频的特性) 和低的衰减( 光纤的低损耗) 、动力 学行为复杂和系统对参数的高度敏感等特点，因而更适合于进行高速远程 通信口m 习。目前的研究中，信息在混沌通信系统中进行编码和解码，电子电 路实现的混沌通信实验已经证实可传输几十k 赫兹信息，而光信号显示的 快速动力学过程提供了传输几百赫兹或更高信息的可能性，可见光混沌同 步通信的研究具有更高的实用价值。 半导体激光器是目前光纤通信中的主要光源，在很多方面都具有很大 的优势。最近几年，国外对采用半导体激光器混沌同步通信系统在理论和 实验等方面都进行了大量的研究，并对半导体激光器混沌同步提出了很多 信息传输方案1 3 6 - 醅 。这些对于光混沌同步在保密通信的发展都具有十分重 要的意义。就国内而言，对光学混沌保密通信的研究仅处于开始阶段，需 迎头赶上。 1 2 混沌以及同步研究的发展和现状 9 0 年代初国际上关于混沌控制理论取得了突破的进展，为混沌的应用 第一章绪论 开辟了广阔的前景，目前全世界就像一阵旋风一样刮起了混沌控制的应用 研究热潮。混沌是非线形动力学系统所特有的一种运动形式，它广泛的存 在于自然界，诸如物理、化学、生物学、地质学，以及技术性科学和社会 科学等各种科学领域。一般而言，混沌现象隶属于确定性系统而难以预测 ( 基于其动力学性态对于初始条件的高度敏感性) ，隐含于复杂系统但又不 可分解( 具有稠密轨道的拓扑特性) ，已经里现多种“混沌无序却又颇有规 则”的图象( 如具有稠密的周期点) 。 2 0 世纪7 0 年代，特别是1 9 7 5 年以后，是混沌科学发展史光辉灿烂的 年代。在这一时期，作为- f l 新兴的学科混沌学正式诞生了田1 。1 9 7 5 年，法国数学物理学家r u e l l e 和荷兰学者t a k e n s 一起发表了论湍流的 本质，在学术界首次提出了用混沌来描述湍流生成机理的新观点，通过严 密的数学分析，独立地发现了动力学系统存在“奇怪吸引子” 2 s 2 9 1 , 他们形 容为“一簇曲线，一团斑点，有时展现为光彩夺目的烟云，有时展现为非 常可怕和令人生厌的花丛，数不清的形式有待探讨，有待发现。” 1 9 7 3 年，日本京都大学的y u e d a 在用计算机研究非线形振动时，发现了一种 杂乱振动形态，称为u e d a 吸引子p o l 。1 9 7 5 年，李天岩( t y l i ) 和j a y o r k e 在他们著名的论文“周期3 意味着混沌”中给出了闭区问上连续自 映射的混沌定义，在文中首次提出了c h a o s 这个名词，并为后来的学者所 接受。1 9 7 7 年夏天，物理学家j f o r d 和g c a s a t i 在意大利组织了关于混 沌研究的第一次国际性会议，进一步营造了混沌研究的氛围。1978 年， 费哥包姆( f i g e n b a u m ) 用手摇计算机彻夜工作，发现了一类周期倍化通向 混沌的道路中的普适常数【2 8 2 9 1 。1 9 8 0 年，意大利的v f r a n c e s c h i n i 用计 算机研究流体从平流过渡到湍流时，发现了周期倍化的现象，验证了费哥 包姆( f i g e n b a u m ) 常数删。1 9 8 1 年，美国麻省理工大学的p s l i n s a y 第 1 次用实验验证了费哥包姆常数。1 9 8 9 年，召开了美苏混沌研讨会。1 9 9 0 年，在德国专门召开了分岔与混沌研讨会。同年，o t t g r e b o g i 基于参数 扰动方法，成功地实现了混沌系统的控制( 0 6 y 方法) 【3 们，随后d i t t o 。 r o u s e o 及s p a n o 三人在实验上验证o g y 方法【3 ”。还是在这一年，美国海军 实验室研究人员p e c o r e 和c a r r 0 1 1 首次证明并实现了混沌同步【1 4 1 ，且在 3 第一章绪论 电路系统中观察到混沌同步的现象i 坝。次年，p e c o r e 和c a r r o ll 再次提出 了驱动一响应混沌同步方法，实现了两个混沌系统的同步 1 7 , 3 3 】，从此混沌应 用于保密通信中的研究成为可能。1 9 9 1 年4 月，在日本由联合大学和东京 大学共同召开“混沌对科学与社会的影响”的国际会议，1 9 9 1 年l o 月， 在美国召开了首届混沌实验研讨会。这些会议的召开促进了混沌学研究世 界性热潮的到来。近十年来，人们对混淹和混沌控制等在很多领域进行了大 量的研究，人们先后发现或实现了混沌同步，并对混沌控制提出了很多的混 沌控制方法和理论。目前，它更是与许多的学科相互渗透，无论在生物学， 气象学，经济学，甚至是在音乐，哲学，艺术等方面都得到了广泛的应用。 如今，混沌的发现被认为是2o 世纪最伟大的物理学三大成就之一。 1 3 激光混沌同步以及激光混沌保密通信的发展历程 近年来，激光器的混沌现象作为混沌理论的一个分支，一直十分活跃。 人们先后在各种各样的激光系统中发现了激光器输出的自脉动、周耘、准 周期和混沌现象。由于电路系统中带宽的限制以及较高的损耗，它在远程有 线保密通信中的应用受到了严重的限制，人们开始把注意力转移到激光混 沌保密通信中。光通信具有极大的带宽以及极小的传输损耗，非常适合于远 程通信。另外，激光混沌动力学行为更加复杂【2 l l ，并且具有对参数的高 度敏感性得特点，可以弥补电路混沌通信的缺陷，具有更重要的研究和应用 价值。 激光器输出的不稳定性在1 9 6 0 年问世时就被人们发现，但直到7 0 - 8 0 年代这一现象才被人们重新注意。1 9 7 5 年，h h a k e n 利用m a x w e l l b l o c h 方程并通过坐标转换，把用于描述一个均匀加宽单模半导体激光器的非线 性耦合方程组化为大气对流中l o r e n z 模型，预言在“坏腔”条件下，其阈 值约为激光阈值的9 倍以上将有混沌现象出现。1 9 8 5 年，w e i s o 等首先在 n h 3 激光器中发现并证实h a k e n 模型的l o r e n z 型激光混沌现象，以后又在 远红外激光器中进一步证实了h a k e n 模型中许多激光混沌性质【1 0 l 。1 9 8 5 年， c a s p e r s o n 在研究非均匀加宽x e 激光器中观察到由于模分裂不稳定性而产 第一章绪论 生的激光自脉动，并可用m a x w e l l - s c h r s g e r 半经典方程模型解释这一现 象，其原因是两能级间直接自发弛豫振荡和碰撞产生速率方程变化光谱交 叉驰豫效应【l o l 。1 9 9 4 年，r r o y 和k s t h o r n b u r g 在激光系统中首先实 现了激光混沌同步1 3 3 1 ，同年，t s u g a g a r a 等也在实验中实现了混沌同步 【州。1 9 9 6 年，v a l o d i 等应用混沌反馈同步方法实现了注入激光系统的 同步；随后，他又利用混沌反馈控制的方法实现了延时反馈光混沌系统的 同步哪, 3 6 1 。1 9 9 8 年，有几个研究小组分别对混沌反馈同步方法对激光二极 管，分布反馈激光器、垂直腔表面发射激光器和掺饵光纤激光器等激光混 沌系统实现了混沌同步，并对反馈强度、参数失配、噪声等因素的进行了 分析和研究1 3 7 , 3 8 1 。1 9 9 8 年，j p i e r r e 提出激光超混沌同步系统 2 4 1 。1 9 9 9 年，a u c h i d a 等利用主动一被动混沌同步方法实现了n d ：y v 0 4 激光器系统 的激光混沌长时间的稳定同步【3 9 1 ，同年c l a u d i o 和s p e n c e r 分别对分布反 馈半导体激光器和垂直腔表面发射激光器中实现了激光混沌同步，并研究 了频差、反馈量、延时效应对同步的影响 4 0 , 4 1 1 。2 0 0 0 年，c j u a n g 等利用 驱动一响应混沌同步方法计算了最大l y a p u n o v 指数，实现了自脉动激光二 极管的混沌同步，并分析了同步的全局稳定性和同步误差1 4 2 。同年，基于 驱动一响应混沌同步方法h f c h e n 和j m l i u 提出了开环激光混沌同 步的方法，分析了激光相位、参数失配等因素对同步的影响【4 3 1 。在这一年， 还有几种激光器系统中实现了激光混沌同步h 7 1 。2 0 0 1 年，r a m e s 等实现 了非线性光纤环镜振荡器系统产生的激光混沌同步【4 s 1 。同年，e a v i k t o r o v 利用l a n g e a b a y a s h i 的速率方程组的扩展，分析表明多模半导 体激光器也可以产生混沌同步1 4 9 】。另外h f u j i n o ，s s i v a p r a k 晏s a n l 和 i w e d e k i n g 分别在实验上实现了半导体激光器在相互耦合【5 0 】和外腔反馈 下的混沌同步f 5 ，f r e g i s t e r 又提出了采用非相干光反馈的同步方案f 5 2 1 。 人们进一步对几种激光器的同步进行了分析田一7 1 。2 0 0 2 年，y l i u 在实验 中实现了完全同步，从而为完全同步可以应用于保密通信提供了重要依据 【5 8 1 。同一年，人们对半导体激光器的混沌以及同步进行了大量的分析【5 9 - 6 0 l ； j m l i u 等对目前适用于高速通信的半导体激光器混沌同步方案进行了 总结【6 1 1 ，从而让人们对半导体激光器混沌系统有了比较全面的认识。2 0 0 3 第一章绪论 年光混沌的研究大多是基于原有同步模型的基础上，对同步中相位同步、 副系统对主系统的响应以及注入锁定的情况进行分析，并提出了一些提高 混沌信号的载波能力的方法【】。 激光混沌保密透信的理论以及方案是随着激光同步的实现而发展建立 的。自从1 9 9 4 年实现了激光混沌同步以来，激光混沌保密遥信的思想也就 随之被提出，应用大量的电学混沌通信的研究成果，出现了各种各样激光 混沌保密通信体系。1 9 9 4 年，p c o l e t 等提出激光混沌数字通信思想【2 l l ， 随后，1 9 9 6 年、1 9 9 7 年，v a l o d i 等【3 5 j 6 1 就给出全光激光混沌保密通信 的注入混沌同步系统和延时混沌同步系统，并对模拟通信和数字通信进行 了研究，分析了参数失配、同步误差和系统参数的影响。1 9 9 6 年，c r m r i r a s s o 等数字模拟了在光纤中传输长度2 0 0 公里的激光混沌保密系统， 1 9 9 9 年又给出此混沌保密通信系统的实验结果 4 0 , 4 9 。1 9 9 8 年，有几种激光 混沌通信体系相继被提出，人们对几种混沌调制下信号对同步性能的影响 进行了研究 2 4 a 0 5 邸”。1 9 9 9 年，有几种激光混沌通信体系相继提出进行了 数值模拟分析1 4 0 , n 。2 0 0 0 年，相继提出几种激光混沌通信体系州喇。2 0 0 1 年，r a m o s 等建立了非线性光纤环振荡器系统的激光混沌通信体系( 4 8 1 。f r o g i s t e r 有提出了非相干光反馈的通信方案。2 0 0 2 年，提出了采用单个接 收系统的混沌键控畔】。2 0 0 3 年，f z h a n g 考虑了采用掺铒光纤激光器同 步通信系统中光纤传输对混沌系统的影响 6 5 】。2 0 0 4 年，分析了多模半导体 激光器的混沌同步通信方案l 删，从而提出了利用多模半导体进行波分复用 的设想进行了分析。同年，有人研究了双信道的外腔混沌光通信系统【6 7 l 。 1 4 本文的研究内容 本文对半导体激光器的混沌和混沌同步理论和研究现状进行了概括， 对半导体激光器产生混沌的条件、混沌同步的实现进行了分析。本文着重 对半导体激光器混沌同步研究中所采用的常数载流子近似的不合理性进行 分析，并进行了比较。在此基础上本文又研究了反馈系数变化时光反馈半 导体激光器混沌系统同步情况。本文的结构共分为六章。 6 第一章绪论 在第一章中，我们总结了混沌研究的发展进行了简要的介绍，并且对 激光混沌的发展历程研究现状进行了简单的总结。 在第二章中，我们对混沌以及混沌同步的基本理论进行了比较系统的 介绍，了解了混沌的定义，混沌同步的定义，以及混沌同步在保密通信中 的主要研究内容。 在第三章中，我们主要对半导体激光器混沌的产生，半导体激光器混 沌及同步研究的理论模型、半导体激光器中的混沌同步类型，同步性能的 衡量、同步方案建立并对目前在保密通信中所采用的混沌同步的信息调制 和解调方案进行简要的介绍。 在第四章中，我们对半导体激光器混沌以及同步研究所采用的常数载 流子寿命近似的不合理性进行了分析，并与采用实际复合机制的情况进行 了比较。 在第五章中，我们分析了单向耦合的光反馈半导体激光器混沌同步系 统中，外部反馈系数对半导体激光器混沌同步的影响。 在第六章中，我们对本文进行了总结，并对目前半导体激光器混沌保 密通信的发展前景进行了展望。 参考文献： 1 谭伟贤等编， 0 m 对任意x ，y s ，有 l i r a 彬i ，“( x ) f ”( y ) l = 0 对任意的x e s 和f 的任意周期点y ，有： ( 2 1 ) ( 2 - 2 ) l i m 脚i 厂一( x ) 一，一( y ) 0 ( 2 3 ) 则此f ( x ) 是混沌的。 在此定义中：第一个条件表明混沌系统存在所有阶的周期轨道；第二个条 件说明子集的点x ，y 相当分散又相当集中；第三个条件说明子集不会趋近于任 何周期点。1 9 8 6 年，迪万尼( r l d e v a n n e y ) 给出了一个更赢观、更易于理解的 定义【8 】： 定义2 设u 为一集合。f ：u u 称为在u 上是混沌的，如果： ( 1 ) f 有对初始条件的敏感依赖性。 j 4 第二章混沌以及同步 ( 2 ) f 是拓扑传递的。 ( 3 ) 周期点在u 中稠密。 该定义说明混沌的映射所具有三个要素：不可预测性，不可分解性、还有一 种规律性的成分。对初值的敏感依赖性，所以混沌的系统是不可预测的；因为拓 扑传递性它不能被细分或不能被分解为两个在f 下不互相影响的子系统；上述两 条一般说来是随机系统的特征。但第三条是周期点集的稠密性，意味着系统具有 很强的确定性与规律性，决非一片混乱，形似紊乱而实则有序，这正是混沌的耐 人寻味之处。 2 2 2 混沌运动的基本特性： 混沌运动是一种不稳定有限定常运动，即为全局压缩和局部不稳定的运动。 这里的所谓有限定常运动，指的是运动状态在某种意义上不随时间而改变。这个 定义指出了混沌运动的两个基本特引9 】：不稳定性( 该性质可用平均l y a p u n o v 指数来精确刻画) 和有限性。混沌运动是确定性非线形系统所特有的复杂运动形 态，它的定常状态不是通常概念下确定性运动的三种状态：静止、周期运动和准 周期运动，而是局限于有限区域且轨道永不重复、性态复杂的运动，它有时可以 被描述成具有无限大周期的周期运动或者貌似随机的运动等。与其他的复杂现象 相区别，混沌运动有着自己独有的特性，主要有口1 0 , h , 1 2 ： ( 1 ) 有界性。混沌是有界的，它的运动轨迹始终局限于一个确定的区域里面， 这个区域叫做混沌吸引域。无论混沌运动多么的不稳定，它的轨迹都不会走出混 沌吸引域。所以整体上说混沌运动是稳定的。 ( 2 ) 遍历性。混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限时问内混 沌轨道经过混沌区内每一个状态点。 ( 3 ) 内随机性。一定条件下，如果系统的某个状态可能出现，也可能不出现， 就可以认为该系统具有随机性。一般说来当系统受到外界干扰时才产生这种随机 性，一个确定的系统( 能用确定的微分方程来表示) 在不受外界干扰的情况下， 其运动状态也应该是确定的，既是可以预测的。 ( 4 ) 分维性。它是指混沌的运动轨迹在相空间中的行为特征。混沌系统在相 空间的运动轨线，在某个有限区域内经过无限次折叠，而分维性正好可以表示这 种无限次的折叠。分维性表示混沌运动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越 第二章混沌以及同步 细，表现为无限层次的自相似结构。 ( 5 ) 标度性。它指混沌运动是无序中的有序。其有序可以理解为：只有数值 或者实验的精度足够高，总可以在小尺度的混沌区域看到其中的运动花样。 ( 6 ) 所谓普适性。它不同系统在趋于混沌态时所表现出来的某些共同特征， 它不依具体的系统方程或者参数而变，具体体现为几个混沌普适常数。普适性是 混沌内在规律的体现。 ( 7 ) 统计特性，正的l y a p u n o v 指数以及连续功率谱等。 2 2 3 通向混沌的道路： 我们知道，一个动力学系统运动的充分发展是进入混沌状态。进入混沌状态 有哪些方式呢? 这是非线性动力学研究中的一个重要问题。目前研究发现通向混 沌的道路有4 种： 1 倍周期分岔道路 这条道路是由分形理论创始人b b m a n d e l b o r t 和p m y r b e r g 的一批科学 家共同努力而发现的。1 9 7 6 年，p m y r b e r g 在一篇对混沌理论研究起了很大作 用的综述性文章中指出，生态学中的一些非常简单的数学模型，具有极为复杂的 动力学行为，包括分岔系列和混沌。随后，m f e i g e n b a u m 发现了倍周期分岔中 的标度性和普适常数由于m f e i g e n b a l i u l 的出色贡献，有时也称倍周期分岔道 路为f e i g e n b a u m 道路，即从周期不断加倍而产生的混沌，起基本特点是：不动 点一两倍周期点一四倍周期点一无限倍周期凝聚( 极限点) 一奇怪吸引子。 2 阵发( 间歇) 混沌 这是由法国科学家y p o m e a u 和p m a n n e v i l l e 于1 9 8 0 年提出的一条通向混 沌的道路，故又称为刚类间歇道路“”。阵发混沌的产生机制和切分岔密切相关。 阵发混沌发生于切分岔起点之前，表现为时间行为的忽而周期忽而混沌，随机地 在两者之间跳跃。当系统的某一参量r 低于( 或高于) 某一个值时，系统呈 现规则的周期运动：而当参数r 逐渐增加( 或减少) 时，系统在长时间内仍然表 现出明显的近似周期的行为，但这种近似的周期运动将被短暂的突发混沌运动所 扰乱，突发之后又是周期运动，这种情况不断重复，显现出一阵周期一阵混沌的 阵发运动；随着r 的迸一步增加，突发现象出现的越来越频繁，近似的周期运动 几乎完全消失，最后系统完全进入混沌。 1 6 第二章混沌以及同步 3 准周期混沌 这是由法国科学家和于7 0 年代提出来的。混沌可以看作具有无穷多个频率耦 合而成的振动现象，但并不像朗道所说的那样要经过无数次的分岔出现无穷多的 频率才能出现混沌，而是只要四次甚至三次分岔即可。其基本特点是从不动点( 平 衡点) 一极限环( 周期运动) 一二维环面( 准周期运动) 一奇怪吸引子( 混沌运动) 。 4k a m 环面破裂 k a m 定理指出，近h a m i l t o n 系统的轨迹分布在一些环面( 称为k a m 环面) 上， 它们一个套在另一个外面，而两个环面之内充满了混沌区。它在法向平面上的截 线称为k a m 曲线。可积h a m i l t o n 系统中，相平面被鞍点连续分割，相平面中各部 分的运动互不相混；在不可积的情况下，只有鞍点附近发生的一些变化，鞍点连 线破断并在鞍点附近产生剧烈振荡。这种振荡导致等价于s m a l e 马蹄结构，从而 引起混沌运动，相应的区域称为混沌区。 2 2 4 混沌的研究方法 混沌混动来自于系统的非线性性质，但非线形只是产生混沌的必要非充分条 件，那么究竟怎么才能确定系统具有混沌运动? 下面我们给出常见混沌的研究方 法【1 2 1 。 1 直接观测法。该方法是利用动力学系统的数值运算结果，画出相空间中 的相轨迹随时间的变化图，以及状态变量随时间的历程图。通过对比分析和综合 以确定解的分岔和混沌现象。这个方法可以确定分岔点和普适常数。 2 分频采样法。为避免复杂运动在相空间中轨迹的混乱不清，可以只限于 观察隔一定时间间隔( 称为采用周期) 在相空间的代表点( 称为采样点) ，这样原 来在相空间的连续轨迹被一系列离散点所代表。分频采样法目前是辨认长周期混 沌的最有效的方法。分频采样法适用于一切由周期外力驱动的非线性系统，具有 远高于其他方法的分辨能力。其分辨能力的进一步提高将受计算机字长的限制。 但该方法也存在一定的缺点：一是解释不唯一，二是不能分辨比采样频率更高的 频率。 3 庞加莱截面法。对于含多个状态变量的自治微分方程系统，可采用庞加 莱截面法进行分析。其基本思想是在多维相空间中适当选取一截面，在此截面上 对某一对共轭变量取固定值，称此截面为庞加莱截面。原来相空间的连续轨迹在 1 7 第二章混沌以及同步 相空间的连续轨迹在庞加菜截面上表现为一些离散点之问的映射。由他们可得到 关于运动特性的信息。 4 相空间重构法。当对数学模型的未知的动力系统的混沌特征分析时，分 频采样法和庞加莱截面法就不适用了。而且，在实验过程中，有时只便于对某一 个变量进行测量，这时可以用测得的时间序列重构相空间。相空间重构法中重构 相空间的轨线可以反映系统状态的演化规律。 5 l y a p u n o v 指数法。对耗散系统混沌运动的吸引子。初始条件的微小差别 将使得轨道最终变的迥然不同。耗散作用从整体上说是一种稳定因素，它使轨道 收缩，但从局部上看，相邻的两轨道却又相互排斥而分离。为了定量的刻画混沌 运动系统相临的两点相互分离的快慢，人们引入了l y a p u n o v 指数。 6 自频率谱密度分析法。它是根据f o u r i e r 分析可以知道，非周期的信号 在频率空间中对应的是连续谱线，这是因为在混沌运动中，轨道“访问”了各个 混沌带的平均周期，根据这个特点很容易识别运动特性是否为混沌。 在实际的应用中，为了获得更精确的方法，往往不是只采用一个方法，而是 采用定性方法和定量方法相结合的方法来研究混沌的性态。 2 3 混沌同步 混沌同步，从总体上说属于混沌控制的范畴，就是要通过适当的方法让两个 处于不同初始条件出发的两个混沌系统，随着时间的推移，他们的子轨道逐渐一 致。迄今人们已经提出很多种类型的混沌同步方案。驱动一响应同步 t 3 , 1 4 ，它是 由p e c o r a 和c a r r 0 1 1 p 在1 9 9 0 年首先提出来的混沌同步方案，其中存在驱动与 响应关系；相互耦合的同步方案习，酃通过适当的方式由两个或更多系统互相 耦合来达到混沌同步，是研究流体湍流的时候提出来的；连续变量的反馈控制方 案【1 6 】，是利用与时间相关的小扰动进行连续反馈控制实现同步的方法；自适应 同步【1 7 1 ：外部噪声作用导致的混沌同步1 擘】等等。下面我们把几种同步方法的原 理进行简要的介绍。 1 p c 方法的混沌同步。 它的基本思想是用一个混沌系统的输出作为信号去驱动另外一个混沌系统 第二章混沌以及同步 来实现这两个混沌系统的同步。用其中一个混沌系统去驱动另一个混沌系统的含 义就是指两个系统是单向耦合的。第一个系统决定第二个系统的行为，而第一个 系统的行为不受第二个系统的影响。其基本原理如下： 设混沌系统为n 维复合动力学系统，将其分解为两个自系统： f 矿：z ( y ，形) 2 4 i 矿= 五( 矿，叨 式中，v 为驱动予系统：w 为响应子系统。利用v 作为驱动信号，复制一个 与驱动系统完全相同的系统作为响应系统表达为： 旷= l ( v ，矽) ( 2 5 ) 假如系统式( 1 ) 和系统式( 2 ) 有完全相同的初始条件，他们之间能够保持一 种同步。现在的关键问题是系统从不同的初始条件出发或响应系统受到一定的扰 动时，响应系统是否是一个稳定的系统。如果响应系统是稳定的，那么不管响应 系统的轨道从何处出发，它总是可以收敛于一条轨道上的，这条轨道与驱动系统 响应分量的轨道是一致的，即卜，m 这时，d 矽= 矿w 这时候可以说驱动系 统和响应系统达到了稳定的同步状态。 2 相互耦合的同步方案。 相互耦合的同步法是通过适当的耦合方式，把两个或者多个混沌系统相互 耦合起来达到同步的一种方法。这种方法是8 0 年代g a p o n o v 和g r e k h o v 等人在 研究湍流时采用的一种方案。1 9 9 0 年w i n f u l 和r a h m a n 在理论上论证了半导体 激光器激光数字阵列系统的同步问题，大量的研究表明：相互耦合的混沌系统， 在一定的条件下，可以达到同步。 3 连续变量的反馈控制方案。我们知道可以将混沌同步看作是混沌控制问 题的拓展，即混沌同步问题看成是一种让被控系统轨道按照目标混沌轨迹运动的 控制问题。这里的被控系统就是指响应系统，而耳标系统就是驱动混沌系统。利 用驱动系统与响应系统的误差信号，通过施加反馈控制就可以使响应系统跟踪响 应系统，从而实现两个混沌系统的同步。在混沌同步中，用到反馈方法的可以分 为两种：参数反馈和状态变量反馈两种。参数反馈是指利用反馈的信号去调整系 统的参数，这是因为混沌系统对参数的极端敏感性，所以通过调整参数就可使两 个混沌系统实现同步化，这类似于混沌控制中的o g y 方法。状态变量反馈指的是 j 9 第二章混沌以及同步 反馈的信号直接加到响应系统的状态变量上，不改变系统的参数。我们只讨论状 态变量反馈的原理。 设一个n 维自治非线性动力学系统可用以下的常微分方程来描述： j = f ( x ，p ) ( 2 6 ) 式中，x = ( x lx 2 x 3 驯7 ，f = ( f l f 2 f 3 删7 ，为n 维矢量。 具有变量反馈的两个系统实际是耦合系统，近年来研究证明，相互耦合的 混沌系统在一定条件下可以达到同步。为此在复制的响应系统方程中加入一个反 馈项，表达为： 又一f f x 倒胡x ：田 ( 2 7 ) 式中，f ( x ，x ) 可以是一个向量函数，也可以是一个标量函数。通过选择合适的 f i x ；，使得r - - + 时，珥：一o 和z - m 从而使系统实现同步。 2 4 同步保密通信研究的问题。 混沌同步的理论和实验的研究经过了十几年的发展历程，已经建立了一些概 念和同步方法。而混沌同步通信的发展是随着混沌同步理论的发展而发展起来 的。目前混沌同步通信大多是利用混沌信号将有用信息隐藏起来，根据混沌同步 的特点利用接收端的差值把有用信号恢复出来f 1 9 1 。但是建立一个实用的混沌保 密通信系统还是有一定难度的，在实际中还需要解决很多的问题。其中有： 1 信道干扰。现在对混沌同步的研究大部分是基于理想信号的，而实际上 任何一种传输信道在一定程度上都存在幅度衰减，相位的线性和非线性失真【2 仉 2 1 1 。当混沌信号经过这样的信道时，必然会产生畸变。这种畸变无疑会对混沌同 步产生巨大的影响，如何消除这一影响，将是一个重要的研究课题。 2 参数匹配【2 2 1 。从理论上讲，混沌系统对参数匹配精度要求越高，混沌通 信的保密程度也就越高。但是在实际应用中，要制作两个或者多个参数精确匹配 的系统是根本不可能的。因而在混沌同步通信中，首先需要找到一种比较好的同 步方法，使得系统在一定程度的参数失配下，仍然具有良好的同步性能。另一方 面，对系统在参数失配情况下的同步进行研究，在保密性能和系统的可实现性( 参 数失配的容限) 之间进行权衡，找出符合安全要求且可以实现的同步通信系统。 3 噪声干扰。在混沌信号的实际传输过程中，噪声的干扰是必然存在。由 第二章混沌以及同步 于混沌信号具有类似噪声类似的信号的特点，而且混沌系统具有对条件极为敏感 的特点，噪声的干扰对混沌系统的同步将产生直接的影响】。在同步通信中， 激光器的随机噪声、混沌信号在传输过程中引入的噪声，都有可能影响系统信息 的恢复。需要通过有效方式抑制或消除信号中的噪声，从而保证信息的顺利解调。 4 提高抗破译和抗干扰的能力。目前研究较多的混沌流密码和混沌加密方 案，仅仅利用了混沌信号对初