数学证明ppt课件

目标：了解证明的各种形式；理解数学证明的形式及本质。,4数学证明,1,一、证明的含义与结构1.证明的含义,在一门科学理论中，证明是用某个或某些命题（判断）的真实性来断定另一命题（判断）的真实性的思维过程。数学命题的证明是用一些已知真实的命题为前提，通过推理来实现的。例1如图，已知：B=C,AB=AC.求证：AE=AD.,2,2.证明的结构,任何证明都是由论题、论据和论证三个部分组成的。论题是指需要确定其真实性的那个判断或命题。例1中以“已知”为条件，以“求证”为结论所组成的命题“（B=C）（AB=AC）AE=AD”就是论题。论据是确定论题的真实性时所依据的判断或命题，即证明的根据和理由。例1中，能重合的量相等（公理），三角形全等的判定定理“ASA”，本论题的题设“（B=C）（AB=AC）”，以及定理“全等三角形的对应角相等”等，都是论据。论证（也称为证明方式）是由论据得出论题的推理形式，它是由一系列命题，根据逻辑推理规则构成的一个逻辑推演的程序。一个论证可以只包含一个推理，也可以包含一系列推理。例1中包含了三个演绎推理，其中最后一个演绎推理完整地写出来就是：全等三角形的对应边相等，ABEACD,AE=AD.,这种推理形式是（充分条件）假言判断的肯定式。,3,通俗地讲，证明的论题告诉我们“要证明什么”，论据告诉我们“用什么来证明”，而论证告诉我们“怎样证明”。数学证明常分为已知、求证和证明三部分。其中：“已知”是有待证明其真实性的命题（论题）的题设；“求证”是有待证明其真实性的命题（论题）的结论；“证明”就是论证，即说明论题真实性的推理过程。可作数学证明的论据的有：本论题的题设；证明论题真实所引用的那些数据；已知的公理、公式、定理或者已证明了的论断；以及学过的概念的定义、性质等命题。,4,3.证明与推理的关系证明与推理有密切的联系，又有明显的区别。其联系表现在：证明必须运用推理，证明的论题相当于推理的结论，论据相当于推理的前提，证明的方式，即论证相当于推理形式。其区别表现在：（1）推理是先有前提，再由前提推出结论，证明是先有论题，再探求论据；（2）推理只是断定了前提与结论之间有必然性联系或或然性联系，并不要求前提和结论是真实的，证明则要以真实的论据来确定论题的真实性。,5,二、如何证明数学命题,1.数学命题证明的过程数学命题大都具有假言判断“如果p，那么q”即“pq”的形式，根据假言判断的逻辑特性，要证明命题pq，只须在假设p真的条件下，根据公理、定义、已知定理等真命题，运用正确的推理形式，合乎逻辑地推出q为真。故，“从p推出q”就是论题pq的证明过程。在“从p推出q”的过程中，一般要经过一系列的推理，前面推理的结论是后面推理的前提，这些首尾相接的推理组成一个推理序列，最后一个推理的结论是论题的结论q.任务：深入分析例1的证明过程。,6,逻辑思维对数学命题证明的基本要求是：证明要有说服力，即证明要有真实理由，并且应遵守证明的规则2.数学命题证明应遵守的规则规则1论题要明确.论题是证明的基本目标，只有把论题清楚、明确地表述出来，才能使证明有的放矢。例2连结四边形四边的中点成一平行四边形。规则2论题应当始终同一.根据同一律的要求，在证明过程中，论题应当始终同一，不得中途变更。违反这条规则的逻辑错误，叫做偷换论题。例3求证“四边形的内角和等于360”，证明时用矩形代替四边形。规则3论据要真实.论据是确定论题真实性的理由。如果论据是假的，那就不能确定论题的真实性。违反这条规则的逻辑错误，叫做虚假论据。,7,规则4论据不能靠论题来证明.论题的真实性是靠论据来证明的，如果论据的真实性又要靠论题来证明，那么结果什么也没证明。违反这条规则的逻辑错误叫循环论证。规则5论据必须能推出论题.证明是特殊的推理，证明中论据必须是推出论题的充足理由。否则，从论据就推不出论题。违反这条规则的逻辑错误，叫做不能推出。,8,9,3.常用的证明方法,证明：如图，连接AC.,（1）演绎法和归纳法演绎法是用演绎推理来证明论题的方法，也就是从包含在论据中的一般原理推出包含在论题中的个别、特殊事实。例7在四边形ABCD中，AB=CD,BC=AD.求证：四边形ABCD为平行四边形.,10,例8和相交，过一交点P任作一直线交两圆于A、B，A在上，B在上，分别过O1、O2作于C，于D.求证：,证明：关于P、A、B三点的相对位置，分三种情况考察：,归纳法是用归纳推理来证明论题的方法，也就是从包含在论据中的个别、特殊事实推出包含在论题中一般原理的。,11,（2）分析法和综合法分析法用分析法证明数学命题pq，就是从结论q出发，一步一步地探求使结论成立的充分条件，直到所探求的充分条件是题设p。例如基本不等式的证明。必修5第三章3.4（P98）：,12,13,选修1-2第二章2.2（P39）：,14,15,分析法证明数学命题时，要步步探求结论的充分条件，最后达到题设。这种方法合乎人们探求真理，解决问题的思维过程，比较容易开拓思路找到证明途径。教学中经常使用分析法，对培养学生分析问题和解决问题的能力是很有益处的。综合法用综合法证明数学命题pq，就是从题设p出发，逐步进行推理，最后导出结论q。,16,有时，很难从题设出发找到证明途径，这时用综合法比较困难，应用分析法。例如，选修1-2第二章2.2（P39）：,17,分析综合法（“两头凑”方法）由上面的例子可以看出，探索论题pq的证明途径，无论是分析法，还是综合法，都是要构成一个联系题设p和结论q的推理系列。只不过分析法是由后向前构造，即“执果索因”或“逆推”；综合法就是由前向后构造，即“由因导果”或“顺推”。由此想到，如果同时用分析法和综合法去探索，即从前后两个方向构造推理序列，则一般可以较快地找到证明途径。这种“两头凑”的方法，或称“分析综合法”，尤其适宜结构比较复杂的问题。例10自O外一点P作O的切线PA，切点为A，再由PA的中点M作O的割线，交O于B、C两点，PB、PC分别交O于D、E,求证：EDPA.,18,（3）直接证法和间接证法直接证法直接证法是从正面推出论题的证明。数学命题大多数是用这种方法证明的。直接证法的一般形式是：即从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。间接证法间接证法不是从正面证明确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假或改证它的等价命题为真，以间接地达到目的.间接证法有反证法和同一法两种.,19,反证法反证法是通过证明矛盾命题的虚假性，进而确立论题的真实性的证明方法。例11用反证法证明：在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，必定与另一条也相交。例12用反证法证明：一个三角形的内角中，不能有两个钝角或直角。例13用反证法证明：如果一个整数的平方是偶数，那么这个整数也是偶数。例14用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大。例15用反证法证明：如果m是奇数，n是整数，那么方程x2+mx+m=0没有相等的实根。注：在反证法由假设推出矛盾的推导过程中，必须保证每个推理都合乎逻辑。否则，即使得出矛盾，也不能由此矛盾判定假设不正确。,20,.用反证法证明命题“pq”的全过程和逻辑依据可以用下图来表示：反证法的一般步骤如下：（1）假设命题的结论不成立（即结论的否定成立）；（2）从否定结论出发，进行层层推理，得出与公理，或前述的定理、定义（例11、例12）或题设条件（例13、例14），或与临时假设等自相矛盾（即说明结论不能否定），或含有自相矛盾命题（例15）的结论；（3）根据排中律，最后肯定原命题成立。,21,.在应用反正法时，如果命题结论的否定方面只有一种可能情况，那么，只要把这一情况推翻，就能肯定结论成立，这种反证法叫做归谬法（例11、12、13、15）。如果命题的结论的否定方面不只一种情况，那就必须把否定方面所有的可能情况逐一驳倒，才能肯定结论成立，这种反证法叫做穷举法（例14）。同一法在几何中，要证明某个图形a具有属性P，可以先作出具有属性p的图形b，然后证明图形b和图形a是同一个图形，从而证明图形a具有属性p.这种证明方法叫做同一方法。例16已知：ABC中，AD=DB,AE=EC.求证:DEBC./（人教版，八年级下，“第十九章四边形”，“第一节平行四边形”中，“19.1.2平行四边形的判定”，P8889.）,22,23,人教A版，选修4-1，“第一讲相似三角形的判定及有关性质”，“一、平行线等分线段定理”。,24,25,26,同一法的依据是同一原理。同一法的一般步骤如下：（1）当命题的条件与结论所含事项都唯一存在时，先作出符合命题结论的图形；（2）证明所作图形符合已知条件；（3）根据唯一性，确定所作图形与已知图形重合；（4）最后肯定原命题成立。同一法的另一定义：对于符合同一原理的命题，当直接证明有困难时，可以改证和它等价的逆命题，只要它的逆命题正确，这个命题就成立，这种证明方法叫做同一法。（此种观点有局限！）（4）数学归纳法一个与自然数n有关的命题，可以采用下述方法来证明：先证明n=1时命题成立，然后假设n=k（k1）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立，于是断定，对所有自然数n，命题成立。这种证明方法叫做数学归纳法。,27,数学归纳法不属于归纳推理，而是根据归纳原理综合运用归纳、演绎推理的一种特殊的证明方法。归纳原理，即自然数皮亚诺公理的第五条：任意一个自然数的集合，如果含有1，并且假设含有n，也一定含有n的后继n，那么，这个集合含有所有的自然数。,小贴士：,皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是意大利数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。,这五条公理用非形式化的方法叙述如下：1）1是自然数；2）每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a，a也是自然数；（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）3）如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b=c；4）1不是任何自然数的后继数；5）任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n也真，那么，命题对所有自然数都真。(这条公理保证了数学归纳法的正确性)注：若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。,28,归纳原理也可表述为：如果M是自然数集N的一个子集，且满足：（1）1M；（2）若nM，则n+1M.那么，M=N.用数学归纳法证明命题时，必须证明下列两个命题的真实性，然后根据归纳原理，得出对于一切自然数命题是真实的结论：当自然数n=1时，所证命题是真实的；假定n=k时，所证命题真实，然后以此为根据推导出当n=k+1时，所证命题也真实.,29,由此得，用数学归纳法证明与自然数n有关的命题P(n)的步骤是：（1）证明P(1)成立；（2）假设P(k)成立，证明P(k+1)成立.根据（1）和（2），可以断定对所有的自然数n，P(n)都成立。根据归纳原理容易证明数学归纳法的正确性。通常我们把“证明P(1)成立”这一步叫作奠基步骤，“假设P(k)成立，证明P(k+1)成立”叫作归纳步骤，其中的P(k)叫作归纳假设。,30,注意：有些关于自然数的命题，不是对所有自然数都真实，而是对大于或等于某一自然数N0(N01)的所有自然数都真实，用数学归纳法证明这一的命题时，第一步，验证当n=N