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北方交通大学硕士学位论文 机器人奇异位形分析及控制方法研究 摘要 f 奇异位形是机器人机构的固有特性，当机器人处于奇异位形时， 对于给定操作器的从关节空间映射到工作空间的雅可比矩阵就变为奇 异矩阵，因而无法求得它的运动学反解，从而基于雅可比矩阵的各种 控制算法就失效了，这样其轨迹控制和运动控制都无法准确实现。如 何在保证机器人工作性能和运动精度的前提下使其通过奇异位形是机 器人应用的关键技术之一，该问题的解决对扩大机器人的应用范围、 提高操作精度、灵活性和运动学及动力学性能都有着十分重要的实际 意义。因此这方面的研究已经吸引了国内外许多研究者，为使机器人 在工作空间通过奇异位形，研究者们提出了各种各样的控制方法，但 这些方法未能很好的解决这个问题【1 1 。j 一 奇异位形的分析是机器人通过奇异位形时轨迹控制的关键。7 而机 器人处于奇异位形时，由于自由度的减少，机器人实质上变成了少自 由度机构，所以对少自由度机构运动特性的研究是进行机器人奇异位 形分析的基础。因此本文第二章着萤分析了少自由度机构的特殊运动 性质。 一+ ， 、 。q 螺旋理论和线几何理论是进行机器人奇异位形分析的主要理论， ，一程本文的第三章，) 对工业上应用最为广泛的p u m a 型机器人首先运用 传统的螺旋理论进行了奇异位形分析，找出了其在工作空间的所有奇 异位形。然后介绍了目前国内外比较新颖的机器人奇异位形分析理论 一线几何理论( 目前该理论已经成功运用到并联三角平台机器人的奇 异位形分析中) ，并运用该理论对p u m a 型串联机器人进行了奇异位 形分析，同样也找出了该型号机器人在工作空间的所有奇异位形。f 并 且分析结果同螺旋理论的分析结果是一致的。但该理论所表现出来的 简洁、直观，发人深省。这样为p u m a 机器人通过奇异位形的轨迹控 制奠定了基础。 设计具有冗余度的机器人是机器人通过奇异位形的重要研究方向 之一，但具有冗余自由度的机器人却又带来了运动学逆解不唯一的难 题，使得本来就很复杂的传统的运动学逆解变的更为复杂。在第五章广， 在考虑机器人的高度非线性和强耦合性的基础上，运用c m a c 网络对 具有一个冗余自由度的机械手的控制器的设计进行了研究，基于 c m a c 网络原理，针对具有一个冗余度的三自由度平面机械手，设计 了具有正模型( 辨识) 和逆模型( 控制) 的控制器，并对此控制器的 控制性能进行了仿真研究，愤真的结果表明该控制器具有很好的稳定 性和良好的鲁棒性。从而表明该控制器是有效和可靠的。由于机器人 北方交通大学硕士学位论文 机器人奇异位形分析及控制方法研究 的奇异位形可以通过设计具有冗余度机器人而得以避开，所以该控制 器的研究，对设计具有一个冗余度的机器人的控制器具有重要的意 义。从而为机器人通过奇异位形的轨迹控制，另辟蹊径。，一一 论文的最后还就整个课题的研究工作以及研究方向进行了总结， 阐明了研究过程中所获得的经验教训【，并对今后的研究方向进行了展 望。 关键词：机器人，奇异位形，冗余度，神经网络，c m a c ，控制器，p u m a 中图法分类号：t p 2 4 、 文献标识码：a i i ! ! 查奎望奎兰堕主兰焦兰苎 塑壁查童墨垡兰坌堑墨兰型互! i ! ! 翌 a b s t r a c t s i n g u l a rc o n f i g u r a t i o n s o rk i n e m a t i cs i n g u l a r i t i e sa r et h e i n t r i n s i c c h a r a c t e r i s t i c o fr o b o tm e c h a n i s m s a t a s i n g u l a rc o n f i g u r a t i o n ，t h e k i n e m a t i cm a p p i n gw h i c h r e l a t e st h e j o i n ts p a c e t ot h ew o r ks p a c et h r o u g h t h ej a c o b i a nm a t r i xo fag i v e nm a n i p u l a t o rb e c o m e s r a n k - d e f i c i e n ta n dt h e s o l u t i o no ft h ei n v e r s ek i n e m a t i cp r o b l e m i su n d e f i n e d i ti so n eo ft h ek e y 。 t e c h n i q u e si nt h er o b o ta p p l i c a t i o na b o u t h o wt oe n a b l ear o b o tm a n i p u l a t o r t op a s st h r o u g ha s i n g u l a rc o n f i g u r a t i o n w i t h o u t c o m p r o m i s i n g i t sw o r k i n g p e r f o r m a n c ea n da c c u r a c y t h ei n v a l u a b l ei m p o r t a n c e o fas o l v i n gt h e s i n g u l a r i t yp r o b l e mh a si n v o k e dm a n yr e s e a r c h e r s i n t e r e s t s a n di n t e n s e r e s e a r c he f f o r t sh a v eb e e nd e d i c a t e dt ot h i ss u b j e c ta n d av a r i e t yo fc e n t r e l m e t h o d sh a v eb e e np r o v i d e dw h i c hc a nn o ts o l v et h i sp r o b l e mc o m p l e t e l y y e t f i r s to fa l l ，i nc h a p t e r1 ，a no v e r v i e wo ft h er e s e a r c ho nt h es i n g u l a r c o n f i g u r a t i o n so fr o b o ti sp r e s e n t e da n dt h es u b j e c to ft h i sp a t ) e r i sa l s o p r o v i d e d s e c o n d l y , i nc h a p t e r2 t h ee m p h a s i si s o nt h es p e c i a lc h a r a c t e r i s t i c a n a l y s i s o ft h ef r e e d o m 1 a c km e c h a n i s m t h ea n a l y s i so ft h es i n g u l a r c o n f i g u r a t i o n so f ar o b o ti st h ek e y - t e c h n i q u eo nw h i c ht h ec e n t r e lp o l i c y b a s e s w 1 l c nar o b o ti si ni t ss i n g u l a rc o n f i g u r a t i o n ，i tm a y1 0 s eo n eo rm o r e d e g r e eo ff r e e d o m i ns u c hc a s e ，t h er o b o tm e c h a n i s mb e c o m e sa n o t h e r k i n do fm e c h a n i s mc a l l e df r e e d o m 1 a c km e c h a n i s m s ot h er e s e a r c ho ft h e c h a r a c t e r i s t i c so ft h ef r e e d o m l a c km e c h a n i s mi st h eb a s eo f 也es i n g u l a r c o n f i g u r a t i o na n a l y s i so f a r o b o t t h i r d l y , s i n c es c r e wt h e o r ya n dg e o m e t r yt h e o r ya r et h em a i n t o o lt o a n a l y z et h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h es i n g u l a rc o n f i g u r a t i o n so far o b o t ，i n c h a p t e r3 ，t h es i n g u l a rc o n f i g u r a t i o na n a l y s i so f r o b o tp u m ai sc a r r i e do u t i nd e t a i lu s i n gt h ef o r m e ra n dm el a t t e ro n er e s p e c t i r e l y a l lt h es i n g u l a r c o n f i g u r a t i o n si nt h ew o r k i n gs p a c eo f t h ep u m ar o b o ta r ef o u n do u t , b u t t h es a m ec o n c l u s i o ni sr e a c h e d i ti sw o r t hp o i n t i n go u tt h a tt h eg e o m e t r y t h e o r yi s an e w t h e o r yt h a th a sb e e ns u c c e s s f u l l ya p p l i e dt ot h es i n g u l a r c o n f i g u r a t i o na n a l y s i so f t h ep a r a l l e lr o b o t i ti ss u c c i n c t , i n t u i t i o n i s t i ca n d e a s y t of i n do u tt h es i n g u l a r c o n f i g u r a t i o no f s o m e k i n do f r o b o t t h ed e s i g no fr e d u n d a n tr o b o ti sa ni m p o r t a n tw a yt om a k ear o b o t p a s st h r o u g hi t ss i n g u l a rc o n f i g u r a t i o n s s oi nc h a p t e r4 ，r e s e a r c ho nt h e c e n t r e lo ft h er e d u n d a n tr o b o ti sc a r r i e do u ta n dac o n t r o l l e ra i m i n ga tf l p l a n e - m a n i p u l a t o rt h a th a so n er e d u n d a n tf r e e d o mo fd e g r e eb a s e do i lt h e c m a cn e u r a ln e t w o r k si sp r e s e n t e d t h ec o n t r o l l e ri sc o m p o s e do ft h e n o r m a lm o d e la n dt h er e v e r s em o d e lt h a ti sb a s e do nt h e p r i n c i p l eo f c m a cn e u r a ln e t w o r k s a ne x p e r i m e n tt oe m u l a t et h ec o n t r o l l e ri sm a d e i i i 北方交通大学硕士学位论文 机器人奇异位形分析及控制方法研究 t ot e s tw h e t h e ri tw o r k sw e l l a n dt h er e s u l t sp r o v e dt h a tt h ec o n t r o l l e rh a s ag o o dr o b u s t n e s sa n ds t a b i l i t y f i n a l l y , ac o n c l u s i o no f a l lr e s e a r c hw o r k so ft h i sp a d e ri sm a d ea n d t h ef u r t h e rr e s e a r c hd i r e c t i o n sa r ep o i n t e do u t k e yw o r d s ：r o b o t ，s i n g u l a rc o n f i g u r a t i o n ，r e d u n d a n c y , n e u r a ln e t w o r k s ， c m a c ，c o n t r o l l e r , p u m a ，l i n eg e o m e t r y , s c r e wt h e o r y ! ! 塑奎塑盔兰堡主兰垡笙苎 垫塑叁童墨垒丝坌塑垦笙型查堕! ! 翌 第一章绪论 1 1 课题的背景 奇异位形是机器人机构的固有特性，当机器人处于奇异位形时， 对于给定操作器的从关节空间映射到工作空间的雅可比矩阵就变为奇 异矩阵，因而无法求得它的运动学反解，从而基于雅可比矩阵的各种 控制算法就失效了，这样其轨迹控制和运动控制都无法准确实现。如 何在保证机器人工作性能和运动精度的前提下使其通过奇异位形是机 器人应用的关键技术之一，该问题的解决对扩大机器人的应用范围、 提高操作精度、灵活性和运动学及动力学性能都有着十分重要的实际 意义。因此这方面的研究已经吸引了国内外许多研究者，为使机器人 在工作空间通过奇异位形，研究者们提出了各种各样的控制方法，但 这些方法未能很好的解决这个问题。本课题得到了国家自然科学基金 资助项目“机器人通过奇异位形的轨迹控制方法研究”的支持。 1 2 研究现状 我们知道雅可比矩阵，( 口) 定义了 主= ，( g ) 尊( 1 ) 其中口为机器人关节速度矢量，童为机器人操作器速度矢量。因为我 们能够通过机器人控制器来控制关节速度，所以如果矩阵j ( g ) 的逆存 在，则通过该方程可以很方便的导出相应的关节速度 口= j 1 ( g ) 主( 2 ) 从而实现对操作器的控制。然而，因为雅可比矩阵，( 口) 是位置g 的 函数，总会存在一些位形，在这些位形处，l j ( g ) l = o ，即，) 为奇异 矩阵，这些位形就叫奇异位形。由此出现两种情形：1 ) 在奇异位形 处，对于给定的主，微分运动反解或速度反解4 不存在；2 ) 在奇异位 形附近，关节速度特别大，因此反解不可行。一般的，奇异位形有两 种类型：第一类是边界奇异位形，这种奇异位形出现在机器人操作器 位于工作区的边界时，这种奇异位形并不特别严重，只要操作器远离 工作区边界即可。第二种类型是内部奇异位形，如出现在两个或更多 个关节轴线共线时，这种奇异位形很难处理，因为它可能出现在工作 ! ! 查奎望查堂堡主堂垡堡壅 ! ! 堡宣墨垡型坌塑墨丝型塑鲨婴窒 区的任何位置，并且机器人操作器在这种奇异位形附近的可操作性会 变坏，这样极大地减少了机器人的可行区。由于如何在保证机器人工 作性能和运动精度的前提下使其通过奇异位形是机器人应用的关键技 术之一。所以解决机器人通过奇异位形的问题已经引起了许多国内外 研究者的极大的兴趣。而且很多研究者在这方面做了大量的工作，迄 今为止，对机器人通过奇异位形时轨迹控制方法的研究可以大致可分 为如下四种情形2 1 ： 1 ) 回避机器人操作器的奇异位形 、 既然操作器的奇异位形使工作空间出现了不可行区，很自然的想 到预测奇异位形的可能出现位置，并避免它。基于这种思想，研究者 们提出了分析奇异位形的各种方法。我们知道，在奇异位形处雅可比 行列式的值是零，因此，理论上，对给定的机器人操作器，只要令其 雅可比行列式的值等于零，即可找到它的奇异位形。g o r l a t ”在1 9 8 1 年，就是用这种方法，对简单特殊的几何机构推导出了它的奇异位 形。然而，当操作器的几何结构比较复杂和一般时，这种直接方法就 失效了。尽管现在工业生产中所应用的操作器的机构都相对比较简 单，但却有其极其复杂和不可预测的的奇异位形。w a l d r o n f 2 1 在1 9 8 5 年提出了另一种方法，即通过把雅可比矩阵转换成一种固定坐标系 中，得到一种简化的雅可比矩阵的解析形式。w a l d r o n 的方法对很多 工业机器人来说是可行的，但它却是一种基于特定结构的方法，不 具有普遍性。h u n t t “i 在1 9 8 6 和1 9 8 7 年提出了一种更为一般的方法， 这种方法运用螺旋理论来分析机器人操作器的奇异位形，是一种有效 的方法。j p m e r l e t 【5 】在1 9 8 9 年提出了一种新方法，这种方法运用 g r a s s m a n ng e o m e t r y 理论来分析并联机器人操作器的奇异位形，从几 何的角度出发形象、有效的分析了并联机器人操作器t s s m 的所有奇 异位形。很明显，上面所提到的方法限制了机器人操作器在其工作空 间中的活动范围和运动路径，使得机器人在奇异位形处及其邻域成了 运动轨迹的盲点。 2 ) 根据机构的各向同性原理设计机器人操作器 基于优化设计的思想，很多研究者还致力设计没有奇异位形的机 器人操作器。( s a l i s b u r y a n d c r a i g 1 9 8 2 ；y o s h i k a w a t ”1 9 8 5 ；y a n ga n d l a i 【8 i ，1 9 8 5 ；a n g e l e s a n d l o p e z c a j u n l 9 i ，1 9 9 2 ；d n n e n c h e v a n d u c h i y a m a i ”1 ，1 9 9 5 ) 研究者们提出了各种各样的性能指标来评估机器 人操作器的运动学性能。机器人操作器达到各向同性( i s o t r o p y ) 的能 力是机器人优化设计中最为重要的性能指标之一。在各向同性位形， 机器人操作器能够获得最好的伺服精度，而且在各个方向的可能误差 都是一样的，在所有方向施加的力也是一样的。这样机器人操作器具 有更好的灵活性，雅可比矩阵的奇异性也可避免。理想的情形是机器 人操作器能够工作在各向同性的位形区及其附近。正是基于这种思 想，d n n e n c h e v ，在1 9 9 5 年，提出了一种当串联机器人在接近或 在奇异位形时轨迹规划和控制的新方法。即奇异位形一致轨迹控制法 ( s i n g u l a r i t y - c o n s i s t e n tp a t ht r a c k i n g ) 。他指出对非冗余度机器人机 构，轨迹跟踪在通过奇异位形时仍有可能保持稳定性，在某些奇异位 形处甚至连渐进稳定性( a s y m p t o t i cs t a b i l i t y ) 也能得到保证。然而进 一步的研究表明由于机器人结构的复杂性，机器人操作器在工作空间 内的所有位形都取得各向同性是不可能的，因此，各向同性的机器人 控制器的设计只能局部改善机器人控制器的运动性能。 3 ) 利用降秩雅可比矩阵求运动学近似反解 除了尽量避免奇异位形外，很多研究者还提出了各种控制策略来 使机器人通过奇异位形。既然在奇异位形附近准确的关节速度的运动 学反解不存在，研究者们通过对奇异位形处的降秩的雅可比矩阵的处 理，提出了很多求近似运动学反解的方法。可以用强加的从关节速度 空间映射到工作空间的可逆雅可比矩阵得到一个非常简单的运动学反 解，这种方法对理想的简化了的动力学操作器采用了一种所谓的阻抗 控制规律( i m p e d a n c e c o n t r o ll a w ) ( b a l e s t r i n o 呻，e ta 1 ，1 9 8 4 ；s c i a v i c c o a n ds i c i l i a n o t “】，】9 8 8 ) 。 在奇异位形附近，利用矩阵论中的伪逆矩阵 理论，通过定义一种伪逆雅可比矩阵，就可以用求伪逆的方法求得运 动学近似解。( w h i t n e y t ”j ，1 9 6 9 ；w h i t n e y t ”l ，1 9 7 2 ) 。但是，伪逆解意 味着从精确解到近似解存在着不连续性，而且在奇异位形附近的关节 速度的伪逆解往往很大，而从控制的观点出发，这显然是个缺点。为 提高奇异位形附近关节速度的可控性，n a k a m u r a 和h a n a f u s a t “1 在 1 9 8 6 年从运动学逆解的准确性和灵巧性出发提出了种所谓的奇异 位形处雅可比矩阵的鲁棒性逆解( t h es i n g u l a r i t yr o b u s ti n v e r s eo ft h e j a c o b i a nm a t r i x ) 。接着，在1 9 8 8 年w a m p l e r 和l e i f e r ( ”j 中提出了 阻尼最j 、- - 乘方逆解，在这个方法中，引入了阻尼因子p 来调节逆运 动解的准确性和可行性。在1 9 9 5 年，l i n 和w u l 2 0 1 又提出了降维直接 最小阻尼二乘法，在本方法中阻尼最小二乘法仅用于降维方向，在奇 异位形处沿该方向机器人的操作器的速度无分量。另一个方法是c h a n g 和h u r m u z l u l l ”在1 9 9 4 年提出的r m q r c 法，在本方法中，雅可比矩 阵被看成是运动学关系的泰勒级数展开式的一阶展开项，当基于一 阶近似解得不到时，更高阶项的近似解则决定运动学行为，t c h o n 和 北方交通大学硕士学位论文 机器人奇异位形分析及控制方法研究 m u s z y n s k i 在1 9 9 7 年提出了描述机器人操作器的简单的数学模型， 在推导通过奇异位形时的有效算法方面取得了一些进展。 上面所述的的这类方法致力于当机器人操作器通过对奇异位形 时，对失秩的雅可比矩阵进行数学处理，以求获得近似的运动学反解。 然而，近似解所带来的位置和方向误差，却破坏了轨迹控制的准确性， 而且，由于计算的繁琐，又使实时控制难以实现a 4 ) 利用具有冗余度的机器人操作器 另一类使机器人通过奇异位形时的控制方法是给机械臂增加多余 的关节( l o n ga n dp a u l i ”1 - 1 9 9 2 ；l o n g t ”l ， e ta 1 ， 1 9 9 3 ) 。冗余度的 的概念是：如果关节空间的维数大于机器人操作器的维数，那么就称 该装置在运动学上具有冗余度。由于空间机器人操作器总被设计成在 空间坐标系中具有6 个自由度。因此一般认为如果机器人操作器多于 6 个关节，就认为该操作器具有冗余度。如7 个转动关节的p u m a 机 器人就是冗余度为1 的机构的例子。为减轻串联机器人奇异位形所带 来的轨迹控制问题，很多研究者提出用运动学的冗余度原理来解决带 有6 个自由度的机器人操作器通过奇异位形的控制问题。 利用操作器的冗余度可以避免一些奇异位形，但却带来了一些不 可避免的结构性奇异位形。而且判断机器人操作器的奇异位形是可避 免的还是结构上不可避免的，本身就是一个问题，同无冗余度机器人 相比，冗余度操作器的结构和控制算法都很复杂，并且成本也很高。 以上分析了四类串联机器人通过奇异位形时的控制方法。第一 类，主要致力于找到奇异位形并避免它，但这类方法却不得不在工作 空间附加一些限制条件；第二类方法则主要致力于各向同性操作器的 设计，但这类方法只能局部改善操作器的运动学性能；第三类方法倾 向于雅可比矩阵在奇异位形处失秩时，找到较为理想的运动学反解， 但由于这类方法所得到的总是近似解，所以不可避免的引入了位置和 方向误差；第四类方法主要是利用了具有冗余度的机器人操作器，但 这类方法仍有不可避免的机构奇异位形。 通过以上所提到的机器人通过奇异位形的控制方法的研究分析可 知，机器人通过奇异位形的轨迹控制问题还没有从本质上得到解决， 这一问题仍然是机器人研究领域中具有挑战性的难题。在方教授的指 导下，通过调研，作者认识到：至今为止的研究还缺乏对奇异位形机 构学本质的认识，还存在下述几个尚待解决的问题： ( 1 ) 正确分析机器人机构处于奇异位形时操作器的可行运动及其方 向。机器人机构处于奇异位形时，虽然其运动自由度减少，但这并不 意味着此时机构不能运动，实际上此时只不过是其操作器的部分运动 4 北方交词大学硕士学位论文 机器人奇异位形分析及控制方法研究 受到约束而成为非可行运动，而与雅可比矩阵的秩数目相等的其它运 动则是完全可行的，正确分析机器人处于奇异位形的可行运动和非可 行运动是实现通过奇异位形时轨迹控制的关键。 f 2 ) 正确识别奇异位形的类型。发生奇异位形的根本原因是机器 人机构运动副轴线矢量成为线性相关，空间矢量发生线性相关的可能 性有十余种，准确判断矢量间发生线性相关的原因是建立在奇异位形 时轨迹控制模型的前提条件。 ( 3 ) 研究建立机器人操作空间可行运动与关节空间参数之间的一 一对应的映射关系。既然在奇异位形时操作器仍有可行运动，就一定 能够通过控制关节参数来实现这些运动，一定能够避开奇异的雅可比 矩阵而建立起可行运动与关节参数之间的确定的函数关系，这是实现 机器人通过奇异位形的理论保证。 1 3 课题的基本思想及研究意义 在此研究方向上，方跃法教授在前期研究1 2 3 - 2 5 i 中，应用螺旋理论 对与上述三个方面相关的基础理论问题已经进行了深入的研究，并取 得了重要进展，特别是在奇异位形时机器人的可行运动分析和奇异位 形类型研究中取得了重要突破，并且发现在奇异位形时，操作器的可 行运动和非可行运动可以互相转化，这为控制机器人通过轨迹上的奇 异点提供了关键性的理论依据，同时这也正是本课题的研究基础。考 虑到机器人的多样性，以及硕士论文研究时间的紧迫性，本课题将主 要以现在工业生产中应用最广的p u m a 机器人为主要研究对象。通过 本课题的研究，在充分分析其奇异位形的机构特性的基础上，掌握其 在通过奇异位形时可行运动与非可行运动的转化规律，从而为提出相 应的控制策略算法，解决p u m a 机器人通过运动轨迹上的奇异点这一 轨迹控制和运动控制中的关键问题奠定基础，在机器人控制方面跟踪 学术前沿，在前人研究的基础上，对机器人智能控制系统进行跟踪研 究，为进一步提高p u m a 机器人的操作精度和灵活度以及运动学和动 力学性能，使p u m a 机器人更好的满足柔性自动化生产的要求奠定基 础。 1 4 论文的主要工作及组织结构 基于上述思想，作者进行了研究工作，分别体现在论文的各章节 中。整篇论文共分五章，各章主要内容如下所述： 北方交通大学硕士学位论文 机器人奇异位形分析及控制方法研究 第一章为绪论，首先简要介绍了机器人奇异位形分析及控制在机 器人研究中的地位，论述了机器人奇异位形分析及控制在国内外的研 究现状，然后阐明了全文的基本思想、研究意义内容安排及组织结构。 第二章是机器人奇异位形分析的理论基础。当机器人处于奇异位 形时，机器人自由度减少，实质上成了少自由度机器人。因此深入研 究少自由度机器人的机构特性是研究机器人奇异位形的前提和基础。 本章通过剖析少自由度机器人的运动特性，并依此展开，对目前国内 外进行奇异位形分析的理论一螺旋理论进行了比较详尽的介绍和分 析。 、 第三章在第二章所介绍的机器人奇异位形分析的理论基础之上， 首先着重对目前工业生产中应用最为广泛的p u m a 型机器人的奇异位 形应用螺旋理论进行了分析，并给出了该型号机器人在工作空间的所 有奇异位形，接着介绍了目前国内外比较新颖的、且已成功应用到并 联三角平台机器人的奇异位形分析的线几何理论，并应用该理论对 p u m a 型串联机器人的奇异位形成功地进行了简洁、有效的分析，也 给出了该型号机器人的在工作空间的所有奇异位形。分析结果表明， 该结果同用螺旋理论的分析结果是一致的。 第四章主要针对具有一个冗余度的机器人，进行了控制研究。首 先针对机器人控制系统的研究现状做了综述，在介绍了c m a c 网络模 型原理的基础上，针对平面三自由度机器人( 具有一个冗余自由度) ， 设计了基于c m a c 网络的控制器，并对该控制器的性能进行了仿真， 仿真结果表明该控制器具有良好的稳定性和鲁棒性。 第五章为结束语，总结全文的研究工作，阐明经验教训，并就今 后的研究方向进行了展望。 6 些查奎翌查兰堡主兰垡堡苎 ! ! 堡鱼墨垡兰坌塑墨丝型查鲨盟 第二章少自由度机器人的特殊运动性质 对于受了一定约束后还能运动的机构，余下的自由度也会发生变 化。当移动自由度被约束掉，转动自由度也会受到影响，不是任何与 转动相应的平行直线都能成为转轴，因而成为不完全自由的转动运 动。例如：如果物体受约束不能沿z 轴移动，即失去了沿z 轴的移动 自由度，但物体仍有沿x 轴方向的转动的自由度，在空间平行x 轴的 直线有无穷多条，一般情况下，只是其中的一小部分直线可以作为转 轴，物体可以绕这些轴线中的每一条轴线转动，转轴只存在于相应的 子空间内。这种现象常常出现在自由度为2 5 之间的机构的运动中， 这个自由度数目的机构称为少自由度机构。上述问题是一个带有基本 性质的理论问题“，特别是当机器人处于奇异位形时，由于运动自由 度减少，实际上成为典型的少自由度机构，因此深入的研究少自由度 机构的特殊运动性质，对分析少自由度的空间机构及机器人机构是很 有意义的，对机器人奇异位形的分析意义尤其重大1 2 ”。本节首先介绍 了不完全自由度的概念，接着分析和讨论了螺旋的相关性，反螺旋与 被约束运动以及转轴存在的子空间等理论问题。 2 1 不完全自由的自由度 一个不受任何约束的自由体在空间有6 个自由度，分别是3 个方 向的移动自由度和3 个方向的转动自由度。如果自由体在此6 个自由 度方向上，受到约束，则自由度就相应的减少。对于自由度等于6 的 机器人，它的末端手具有6 个自由度，手部不仅可以实现沿x ，y ， z 三个轴线方向的独立的移动，还可以实现绕zy ，z 三个轴线方向 独立的转动。而任何手部的运动也都可以分解成这6 个方向的运动。 当6 自由度机器人处于奇异位形时，自由度会有所减少，也有机器人 设计的自由度就不是6 个，如三自由度并联平台机构和三自由度并联 角台机构。这类机构，自由度一般在2 5 之间，它们有一些特殊的需 要研究的性能，在机器人研究中，通常称之为少自由度机构。由于物 体受约束后不仅自由度数目减少，余下的自由度的自由程度也不同程 度地降低。同时，作用于物体的约束反力，不仅完全限制了物体的移 动自由度，物体的转动自由度也在不同程度上受到限制。上述的这个 概念这里称之为不完全自由度。这样，在不充分自由转动的情况下， 就需要研究物体转动时允许的转轴的位置。 如果说6 自由度机构具有完全自由的自由度，那么少自由度机构 则具有不完全自由的自由度。对于6 自由度机器人，国内外的专家学 者已经进行了深入的研究。但对于少自由度机构则研究的不多。而当 北方交通大学硕士学位论文 机器人奇异位形分析及控制方法研究 机器人处于奇异位形时，由于自由度减少，从而变成了少自由度机构， 因此，对少自由度机构特性的深入研究，对于机器人奇异位形的研究 无疑具有重要的基础性意义。而2 0 世纪初，由r s b a l l 提出的螺旋理 论则是进行少自由度机构特殊运动特性研究的主要理论基础。 2 2 螺旋理论 螺旋理论螺旋理论形成于1 9 世纪。1 9 0 0 年r s b a l l 完成了其 经典著作螺旋理论。但在整个2 0 世纪前半叶，该理论几乎无人问 津。1 9 4 8 年，f m d i m e n t b e r g 在分析空间机构时，应用了该理论。此 后，螺旋理论逐渐为机构学所重视，得到迅速发展口3 1 。螺旋理论是分 析空间机构的重要理论之一。线矢量、螺旋以及螺旋系( $ ，$ ，$ 。) 的线性相关性是螺旋理论中重要的基本概念。 2 2 1 线矢量( l i r ev e c t o r ) 如果空间一个矢量被约束在一条空间位置确定的直线上，这个被 直线约束的矢量就称线矢量，用对偶矢量表示为( s ；s 。) ，其中s 称为对 偶矢量的原部，s 。为对偶矢量的对偶部。s 为上述空间矢量，s 。= r x s 称为线矩，具有长度单位，r 是由原点至该空间直线上任一点的矢径， 当s s = 1 时为单位线矢，s 。表示该线矢量在空间的位置。不难看出， s s 。= 0 ，而这正是线矢量的特点。 2 2 2 螺旋( s c r e w ) 螺旋( s c r e w ) ( 也有译为旋量的，为叙述统一，在本章以及以后 诸章节中，统一为螺旋) ，作为螺旋理论的最重要的基本概念之一， 在分析空间机构的众多数学方法中是一个十分有效的工具。首先，它 集6 个标量于一体，或者说，集两个矢量于一体，这样一个螺旋就可 以同时表示矢量的方向和位置；表示刚体运动中的速度和角速度；表 示刚体力学中的力和力矩。机构的所有运动副均可以用螺旋表示：当 运动副是转动副时，它是节距为零的螺旋，h = 0 ；移动副则对应节距 为无穷大的螺旋；螺旋副则具有有限节距；圆柱副是共轴的转动副和 移动副；球面副则是共点不共面的3 个转动副。所以一个机构就构成 了一个螺旋系。这样，螺旋的概念就易于应用于空间机构的运动分析 和动力分析。它还易于与其它方法如矢量法，矩阵法，影响系数法， 之间的相互转化。特别是螺旋法是上述方法中唯一明确给出作用线在 北方交通大学硕士学位论文 机器人奇异位形分析及控制方法研究 空间位置的方法，这对应一些需要考虑作用线位置的情况就特别有意 义。 在一般情况下，对偶矢量的原部与对偶部不是正交的，这不正交 的对偶矢量称为螺旋记为( s ；s 。) ，s 8 。0 。当s s = 1 为单位螺旋，比 值： 竖：h s s 称为螺旋的节距，具有长度单位。当h = 0 ，为线矢量：当h = 。，为 偶量，记为( o ；s ) 。螺旋可以经由下面的变换 ( s ；s 。) = ( s ；s 。一 s + s ) = ( s ；s o + h s ) 得到一个作用线位置r s = s 。一h s ，即表示该螺旋的轴线位置，或写 为线矢量是( s ；s 。一h so 若螺旋的两矢量表示为标量，称p l i i c k e r 坐标。 记为( l ，m ，n ；p ，q ，r ) 。螺旋的两部分也可以以对偶标记结合起来， 记为g = s + s 。 2 2 3 螺旋系( # g ：$ 。) 的线性相关性 当螺旋线性相关时，必可找到一组不全为零的数0 3 。i = 1 ，2 ，胛， 使得 f d 。$ ，= 0 ，g ，= s ，+ s ? ，i = 1 2 川 按螺旋的加法法则，有 ，s ，= 0，s ? = o ( 2 4 ) 当坐标系由o 点移至a 点，各螺旋变为( s ；s ? ) s ? = s ? + 而s 为确定经坐标系变换后螺旋的相关性，乃分析其线性组合 ，$ ? = 珊，s ，+ 国，s ? = s + 国，s ，o 十五石出，s ，】( 2 5 ) 将( 2 4 ) 代入( 2 5 ) ，三项均为零，所以有 q ，? = 0 这表明对原坐标系为线性相关的螺旋系，对新坐标系仍保持线性相 关。对本问题不难推导出其对称命题，即：线性无关的坐标系，经坐 标变换后仍为线性无关，这表明螺旋系的相关性与坐标系的选择无 关。由此，在分析机器人的奇异位形时，可以选择最方便的坐标系。 ( p l i i c k e r 坐标：对于给定的笛卡尔直角坐标系，和该坐标系下的 9 ! ! 查窒望查兰堡主堂堡笙壅 塑堡童墨堡兰坌塑墨丝型查! i ! ! 翌 两个点4 ；( x l , y 。，毛) 、a ：；0 2 ，y ：，z ：) 。则由a 、a ：两点所确定的线 矢量用p l i i c k e r 坐标可以表示为：( l ，m ，n ；p ，q ，r ) ，其中l = 1 1 ，1i ， m = 1 ：；： ，n = 1 ： ，p = ；2 ，q = ：1 2 ，r = ：l 羔 ， 如前所述螺旋是两个矢量的对偶组合，写为p l i i c k e r 坐标为 ( l ，m ，n ；p ，q r ) ，有六个标量。螺旋系的相关性，就可以由螺旋系 的p l i i c k e r 坐标表示的矩阵的秩来分析 j = 厶，m l ，n l ，o i ，r l 三2 ，m 2 ，2 ，q 2 ，r 2 ： ： z n , m n ，nn ，q 。，r n 螺旋的p l i i ck e r 坐标有六个分量，显然三维空间线性无关的螺旋最多6 个。线矢量是螺旋的特例，当组成螺旋的两个对偶矢量的点积为零时， s s 。= 0 ，螺旋退化为线矢量。线矢量的p l i i c k e r 坐标也有六个分量， 所以三维空间线性无关的线矢量也有六个，见表2 1 。下面分析一些 特殊几何条件下的螺旋的相关性。 表2 - 1 线矢和螺旋在不同几何条件下的最大无关数 序号几何特点图示线矢量螺旋 1 共轴条件 12 2 共面平行 23 3 _ 24 平面汇交 4 空间平行 毋 35 5 囫 35 共面 6 空间共点 茅 3 ( 6 ) l o 北方交通大学硕士学位论文机器人奇异位形分析及控制方法研究 汇交点在两面交线 移 ( 3 ) 上的两平面汇交线 7 束 共面共点，汇交点 过习 ( 4 ) 在平面上 8 a 有一条公共直线 44 b 有一条公共交线 5 ( 6 ) 9 c 有两条公共交线 4 d 有三条公共交线 3 一 一 1 0 交公共线矢a ， 5 竹a 1 1 平行平面且无公垂 线 55 1 2 无公共交线，空间非奇异线丛( 1 i n e a r 交错 c o m p l e x ) 55 1 3 三维空间任意情况66 1 ) 共轴条件任何两个线矢量共轴则必为线性相关。而共轴条件下最 大线性无关组的螺旋( h 0 ) 数为2 。共轴螺旋之任何组合的合螺 旋仍在该轴线上。 2 ) 共面平行使诸螺旋n n - j ：y z 平面内，且平行z 轴，这样螺旋必 有如下形式 ，= ( o0n ；p0r ) 式中第5 分量为零，是因为皆与y 轴相交，对y 轴无线距：第6 分量 不为零，因h 0 ，矩阵j 中3 列元素为零，因此最大线性无关数为 3 。 对于平面平行的线矢量，第6 分量也为零，所以最大线性无关组 为2 。 3 ) 共面共点( 平面汇交) 此时将所有螺旋值置于x y 平面内，且原点为汇交点，螺旋形如： s = ( lm0 ；pqr ) 式中，因为h 0 ，所以p ，q 不为零，又经过原点月= 0 ， 因此共 面共点条件下最大线性无关组的螺旋数为4 。任何过汇交点位于该平 面上的螺旋都可由此4 螺旋线性组合而成；而该平面上不过该汇交点 的螺旋不可能由此4 螺旋线性组合得到，因为所有4 个螺旋的第6 分 北方交通大学硕士学位论文 机器人奇异位形分析及控制方法研究 对于平面汇交的线矢量，其p 1 i i c k e r 坐标的后三项也都为零，所以 最大线性无关数为2 。 4 ) 空间平行 使坐标系的z 轴与螺旋平行，其p l i i c k e r 坐标中，第1 ，2 两元素 为零，使矩阵j 的前- n 元素为零，秩为4 。 对于线矢量，p l i i c k e r 坐标的第6 项也为零，对z 轴无线距，因此， 秩为3 。广泛使用的全铰链平面机构，就是这种类型，最大线性无关 的线矢量数为3 ，有三个反螺旋，公共约束为3 。 5 ) 共面情况 、 对共面条件下，将诸螺旋置于坐标系的x y 面内，这样螺旋的 p 1 i i c k e r 坐标的第3 分量必为零，矩阵的秩为5 。所以共面下最大线性 无关数为5 。同时，对比平面汇交情况，可以看到至少有一个螺旋不 过原点，因而平面上任何螺旋都可以由此5 个螺旋经过线性组合得到。 6 ) 空间共点 3 维空间共点条件下最大线性无关的螺旋数等于6 。任何过公共电 的螺旋总可以由该6 个螺旋的线性组合得到。同时，空间不过该点的 螺旋也可由该6 个螺旋线性组合得到。 3 维空间共点条件下最大线性无关的线矢量数是3 。因为将原点选 为公共点，线矢量为 s = ( 上m l v ；0 0o ) 7 ) 汇交点在两平面交线上的两平面汇交线束g r a s s m a r m 给出的这样的 线矢量构成的螺旋系的最大线性无关数为3 。两平面上各自有个共 点线束，且两汇交点均在两平面的交线上。平面共点线矢量之和仍为 线矢量，过交点，所以可以经线性组合线矢量s 和s ：，使得合矢量 s7 沿直线1 1