（机械电子工程专业论文）小波抗混叠单子带重构算法及其在轴承故障特征提取中的应用.pdf

重庆大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 傅里叶分析在信号分析处理中做出了杰出的贡献，但无论是在时域或者在频 域，它都是定义在整个域上的，它不能分析出某段时间内某个频段的信号特征， 即，傅里叶变换没有时频的局部化性能。小波分析的出现为信号处理领域提供了 一种自适应性的将时域和频域同时局部化的分析方法，无论是分析低频信号，还 是分析高频信号，它都能自动调节时频窗的大小和形状，以适应实际分析的需要。 同时，小波分析的多分辨率分析思想也给信号处理领域带来了新的思路。m a l l a t 算法在小波多分辨率分析中拥有极为重要的应用，其地位和作用类似于快速傅里 叶变换算法在傅里叶分析中的地位和作用。目前，小波分析仍然是国际上研究的 热点，各种新的方法和新的理论不断的被推出。小波分析理论的这些特点使得它 在时频分析和工程应用中得到了辉煌的发展。 本文首先介绍了小波分析的基本理论以及它的主要应用特点，如时频局部特 性、多分辨率特性等。然后系统的介绍了多分辨率分析的思想，包括小波多分辨 率分析和奇异值分解的多分辨率分析，并对两种分析方法的优劣进行了比较。接 着，因为快速分解算法在实际应用中的重要作用，本文着重介绍了小波及小波包 的快速分解算法，以及小波单子带重构算法等。 因为单子带重构算法在提取信号特征频率成分时有很好的效果，所以本文深 入的研究了单子带重构算法的频域表现，在不断的演算分析中，本文发现小波分 解算法中存在着严重的频率混叠现象，这是由于m a l l a t 算法固有的因素造成的。 即便是在单子带重构改进算法中，频率混叠现象仍然存在。因此，本文着重对小 波分解算法产生频率混叠的原因进行了深入的剖析，并提出了一种完全抗混叠的 单子带重构算法。此外，本文还将小波分解延伸到了小波包分析中，并且对小波 包分解过程中出现的相似问题给出了详细的介绍和分析。针对改进后的单子带重 构算法，本文把它运用到实际的故障信号中，并跟改进前的方法进行了对比，证 实了该改进算法的有效性。 在全文的分析推理过程中，本文除了进行数学式子方面的推导外，还结合了 数字信号处理方面的基础知识，进行了大量的模拟实验。这样，不仅可以看到抽 象的理论演算，还能看到大量的直观易懂的数据和图像。 最后，文章对本文的工作进行了总结，并展望了接下来的研究方向。 关键词：小波分析，信号处理，m a l l a t 算法，单子带重构，频率混叠 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 a b s t r a c t f o 面e rt r a l l s f b 肌h a sb e e nv e 巧s u c c e s s 如l l ya p p l i e di ns i g n a l p r o c e s s i n g ， h o w e v e r ，i ti sa l w a y sd e f i n e de i t l l e ri nt 1 1 ew h o l et i m ed o m a i no ri nt 1 1 ew h o l e 矗e q u e n c yd o m a j n ，s o 也es i 印a 1f 色a t u r eo fs o m ec e r t a l i np e r i o do ft i m eo rs o m ec e r t a i n b l o c ko fs p e c t n l mc a i ln o tb ed e s c r i b e db y 吨m e 撕n gt h a tt h ef o u r i e rt r 觚s f o r mi sn o t c 印a b l eo ft i m e 一矗e q u e n c ya 1 1 a l y z i n g t h ea d v e n to f w a v e l e ta 1 1 a l y s i sh a sb r o u g h tu sa 1 1 a d a p t i v ew a yo fp r o c e s s i n gs i g n a l li nb o t l lt i m ea n d 矗e q u e n c yd o m a i n n om a t t e rw h a t 矗e q u e n c i e st 1 1 es i g i l a li sc o n s i s to f w a v e l e ta 1 1 a l y s i sc a np r o c e s si ti na 1 1a d a p t i v ew a y a tt h em e 锄t i m e ，t 1 1 em o u 曲to fw a v e l e tl m l h i - r e s o l u t i o na n a l y s i sh a sp u tf o r w a r da n e w w a y t op r o c e s ss i g n a l s m a l l a ta l g o r i t l l mp l a y sa 磐e a tr 0 1 ei ni n d u s t r i a la p p l i c a t i o n ， w l l i c hi sa si m p o r t a n ta sf f tt of o u r i e rt r a n s f o n n a tp r e s e n t ，t 1 1 es t l l d yo fw a v e l e t a n a 】y s i si ss t i l lh o t ，a 1 1 dm a i l yn e wm e t l l o d sa i l dn e w t h e o r i e sa r eb e i n gp r o p o s e d w i 也 s o m a i l y e x c e l l e n tc h a r a c t e r i s t i c s ， w a v e l e t t 1 1 e o r y h a sb e e n w i d e l y u s e di n t i m e 舌e q u e n c y 锄a l y s i sa n di ni n d u 鲥a la p p l i c a t i o n s f i r s t l y ，t h i sp a p e ri n t r o d u c e dt h eb a s j c 也e o r ya n dt 1 1 em a i nc h a r a c t e r i s t i c so f w a v e l e ta 1 1 a l y s i s ，s u c hl i k et i m e - 丘e q u e n c yl o c a l i z a t i o n ，m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s ， s i g u l a r i t yd e t e c t i o na n ds oo n t 1 1 e nt h j sp a p e rs y s t e m a t i c 址l yi n 仃o d u c e dt h et h o u g h to f m u l t i r e s o l u t i o na n 甜y s i s ，i n c l u d i n gw a v e l e tm u l t i - r e s 0 1 u t i o na i l 甜y s i sa n ds i n g u l a r v a l u ed e c o n l p o s i t i o n b e c a u s eo f 也e 擎e a ti m p o r t a n c eo fm a l l a ta 1 9 0 r i 幽n ，t h i sp a p e r m a i l l l yi n t r o d u c e dw a v e l e tm a l l a ta l g o r i t h ma i l dw a v e l e tp a c k e tm a l l a ta l g o r i t l m l b e c a u s em e 掣e a ti m p o r t a n c eo fm es i n g l es u b 如a j l dr e c o n s 协l c t i o n 出g o r i 也mi n n e q u e n c yf e a t u r ee x t r a c t i o n ，m i sp a p e rm a d ead e e pr e s e a r c ho nt l l i sa l g o r i t h m ，a i l d a r e rr e p e a t e d l ya n a l y z i n g ，t 1 1 i sp a p e rf o 吼dt 1 1 a tt h e r ei ss e r i o u sf r e q u e n c ya l i a s i n g e x i s t i n gi nt h em a l l a ta l g o r i t h m ，w h i c hi sr o o t e di nt h em a l l a ta l g o r i 也m e v e nt h o u 曲 也ew a v e l e ts i n g l e b a n dr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h mw a sp r o p o s e d1 a t e r ，t h e 丘e q u e n c y a l i a s i n gs t i l l e x i s t s i i lt h j sp a p e r ，t h er e a s o n sc a u s i n gt h e 矗e q u e n c ya l i a s i n gw e r e d e t a j l e d l yi n t r o d u c e d ，啦e rt h a t ，ac o m p l e t e l ya n t i a l i a s i n gm a l l a ta l g o r i t h mw a s p r o p o s e db yt h i sp 印e r ，w h i c h 、v a sp r o v e de 虢c t i v ei nb o t l ls i m u l a t i o ne x p e r i m e m sa n d p r a c t i c a lu s e s 【) u r i n gt h ep r o c e s so fa n a l y z i n ga n di n t r o d u c i n g ，1 0 t so ff i g u r e sa n de x p e r i m e n t s w e r eg i v e n ，a p a r t 疔o mm a t h e m a t i c a lf o n n u l a s u 重鏖盔堂堡主堂垡论文 英文摘要 f i n a j l y ，t 1 1 i sp 印e rc o n c l u d e d 吐l em a i l lc o n t e n t sa n di n t r o d u c e dw h a t t st ob e s t u d i e di nt i l e 如t l 】r e k e y w o r d s ：w a v e l e ta n a l y s i s ；s i g l l a lp r o c e s s i n g ；m a l l a t a l g o r i t 吼；s i n g l e b a l l d r e c o n s 仉l c t i o na 1 9 0 r i t l l m ；f r e q u e n c y a l i a s i n g i i i 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 1 绪论 1 1 课题的背景和意义 1 1 1 课题背景 二十一世纪初是信息大爆炸的一个开始，人类的生活与信息科学技术的发展 联系得越来越紧密。比如互联网通信、移动通信、电器智能化等，都无时无刻不 涉及到大量信息的传输、处理和储存。因此，相应的信息处理技术就显得尤为重 要。信息技术的重要性不仅仅体现在生活方面，在工业和科技方面，信息化的步 伐也正在进行得如火如荼，如，各种大型机械的故障信息探测技术、故障信息处 理技术也不断的在推陈出新；又如，当今火爆的互联网视频领域，图像处理领域 以及各种图像、文字识别领域都离不开对大量信息的处理技术。从任何方面看来， 信号与信息处理技术都是信息科学发展中最为突出和必要的一环，它在实际应用 中具有极高的价值，它能压缩信息传输的数据量，能去除信息中的噪声干扰，能 提取出各种故障的特征信息，而且还能预测出机械零件的寿命。在传统的信号处 理理论中，人们都是假设信号是平稳线性的，在这个假设的基础上，傅里叶分析 作为搭起时间域和频率域之间的桥梁，就成为了最为主要的信号分析工具，其在 实际工程应用中也起到了决定性的作用。现在大部分信号分析仪器采用的主要分 析方法还是傅里叶变换，不仅因为它架起了时间域和频率域之间的桥梁，而且因 为其理论体系相当成熟，还有快速变换算法，是人们对于频率成分分析的有力工 具。但是，现实世界中，绝大多数信号都是非线性、非平稳信号，如地震信号、 海洋信号、语音信号、生物医学信号以及机械振动信号等。非平稳信号的特点就 是，它的频率是随着时间不断变化的。比如现在很多的会议演讲等都运用到了信 号分析技术，在整个演讲过程中，声音的频率都是随时间在不断变化的，对于在 什么时候讲了什么话这个问题，傅里叶变换显然是无能为力的，因为傅里叶变换 只能获取信号在整个频域的频率成分，而不能定位某个具体频率发生的哪个具体 时间等信息，所以，针对非平稳的信号，我们只能通过时频联合分析才能获取信 号中所蕴藏的信息特征。时频分析方法将时域信号变换到时间和频率的混合空间， 其对于时间和频率都有局部化的作用，可以具体将时间和频率映射到一个局部的 范围，从而对该范围的特征进行具体化的分析。时频分析经过多年的发展，已经 取得了长足的进展。接下来，本文将回顾其中的几种最具代表性的时频分析方法 【1 6 】 o 短时傅里叶变换 短时傅里叶变换( s t f t ) ，又称窗口傅里叶变换，是一种基于傅里叶变换的时 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 频分析方法【7 】，它主要是针对傅里叶变换在时频局部化方面的不足的问题而提出 的。其主要思想是：通过在时域上加固定宽度的窗函数，并在时域上将其进行平 移，然后将分隔出来的每段长度相同的短时信号进行傅里叶变换。这样，每个变 换的结果就表示那段时间域里所包含的频率成分，从而实现了对时间和频率的局 部化。假设待分析的信号为厂( ，) ，则它的短时傅里叶变换可定义为 s z f 己( 6 ，) = i 厂( f ) g ( f 一6 ) p 叫甜办( 1 1 ) 其中，g ( ，) 是窗函数，变换结果是关于时间6 和频率的函数。 在时域，短时傅里叶变换( s t f t ) 通过时窗函数g ( f ) ，使时域信号( ，) 在f _ 6 附 近被局部化为( f ) g o 一6 ) 。在频域局部化表现方面，需要用到卷积定理【8 】，即， 信号在时域的乘积的傅里叶变换等于信号在频域的卷积： 肿z ( 6 ，) = 圭夕( ) 事( 垂( ) e 一础) = 圭f ：夕( 考) 垂( 考一弦。( 一) 6 蟛 ( 1 2 ) z 冗 z 兀“ 其中，厂 ) 为( ，) 的傅里叶变换，雪 一脚为g o 一6 ) 的傅里叶变换。通过上式 可以看出，若喜 ) 在频域上也是一个具有局部化作用的频窗的话，尹湎) 就可以 在频域内被局部化。所以，s 乃z ( 6 ，) 表示的是在时域上g ( ，一6 ) 的范围内，同时 在频域上营( 考一) 的范围内的信息，从而达到了时频局部化的目的。显然，要达 到时频局部化的目的就必须同时要求g ( ，) 和富 ) 都是窗函数。 s 刀( 6 ，国) 的模值的平方被称为谱图s p e c t r o 伊锄( s p e c ) ，即 伽c ，( ，厂) = l s 牙c ( 6 ，训 ( 1 3 ) 它反映的是信号的动态时频能量分布。 短时傅里叶变换的物理意义十分明确，但它的时间窗口和频域窗口的大小和 形状是固定不变的，不能根据信号自身的特点而进行调整，缺乏灵活性和自适应 性。通常低频信号的特点是，在较大的时间范围内幅值的变化是缓慢的，且其频 率范围较窄，所以在分析低频信号的时候，时频窗的特点应该是时窗较宽且频窗 较窄；而高频信号的特点是，在较小范围内幅值变化较快，其频率范围较宽，所 以，分析高频信号的时候，要求时频窗特点应该是时窗较窄且频窗较宽。在实际 的信号中，通常同时含有低频和高频成分，此时就需要分析方法能针对不同的信 号成分而自适应性的调整时频窗的形状和大小。而短时傅里叶变换( s t f t ) 中，一 旦窗口函数被选定，其在整个分析中的时频窗就固定不变了。这就使得短时傅里 叶变换方法的使用在很大程度上受到了限制。 w i g n e r - v 1 1 e 分布 w i g n e r - 1 1 e 分布可以看做是很多分布的原型，它们和短时傅里叶变换在本质 上是不同的。首先，w i g n e r 分布是由e p w i g n e r c 9 j 提出的，将其应用于量子力学 2 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 领域的研究，后来由l l e 把它引入到了信号分析中。因为在计算中要用到两次信 号，所以这是一种二次型时频分布。假设待分析信号为( f ) ，则w i 弘e r - l l e 分 布的定义如下 m 川= 去，( r 一争m 妙伽如 4 ， 蚂( ，咖去叫一妙( + 批9 5 ， 以上两式是等价的，只需要将信号写成它的频谱形式，然后将其代入式( 1 4 ) ，即 可得到式( 1 5 ) 。式( 1 4 ) 中厂( ，一三f ) 厂( f + 三f 称为信号( f ) 的瞬时相关函数，因 此，w i g n e 卜1 1 e 分布实质上是信号瞬时相关函数的傅里叶变换。 由式( 1 4 ) 可知，在时域上，要得到信号在某时刻的w i 盟e r - l l e 分布，只需 要将位于该点过去的信号等长度的乘以位于该点未来的信号，然后再进行傅里叶 变化即可。所以，只要信号某时刻的右边部分和左边部分存在重叠的话，该点的 w i 乒e 卜v i l l e 分布就是非零的。所以，w i 舯e r - l l e 分布在分析多分量信号的时候 会产生比较严重的交叉项【1 0 】。 小波分析 短时傅里叶变换在时频分析中，不能根据高、低频信号自身的特点来自适应 性地调整时频窗，它在时频局部化的精细方面和灵活性方面都表现欠佳。而现实 中绝大部分信号都需要分析方法能够自适应的调整时频窗口，如地震信号、语音 信号以及图像信号等。根据这类信号的特点，小波分析应运而生【l l 】。小波分析能 够根据信号特点自适应性的调整时频窗的大小和形状。因为小波变换能在不同的 分辨率下观察各层信号的特点，所以，它常被称为数学显微镜。 假设待分析的信号为厂( ，) ，则它的连续小波变换定义为 ( 口，6 ) = 们) i f ，：朋西= 石e 们) l f ，缸一6 净 ( 1 6 ) 其中，口 0 ，口、6 分别被称为小波尺度参数和位移参数，v ，( r ) 称为母小波，l f ，础( f ) 是经母小波伸缩和平移之后形成的小波函数，定义为 y 。6 p ) = 叫【口f 一6 ) ( 1 7 ) 通过对口和6 取一系列不同的值，就能得到一组拥有不同分辨率的小波基 妙口6 ( f ) 。式( 1 7 ) 的傅里叶变换为 妒。胁) - 口- 嘲知嗤) ( 1 8 ) 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 由式( 1 7 ) 和式( 1 8 ) 可知，随着尺度参数口的变化，小波函数具有如下特性：当口变 小时，y 口6 ( r ) 的时域宽度变大而其频域驴。，“) 的宽度变小；当口交大时，l f ，( f ) 在 时域的宽度变小而其在频域妒。“) 的宽度变小。因此，小波分析可以根据高、低 频信号不同的特点而自适应的改变小波函数在时频域的形状和大小，就有了多分 辨率的特性，从而非常适合对非平稳信号做局部的分析。到目前为止，小波分析 已经成为最常用的非平稳信号分析方法，不仅如此，它还拥有其它很多非常有实 用价值的分析特性，本文将在后面进行详细的介绍，这里不再累述。 1 1 2 研究意义 小波分析已经经过了几十年的快速发展，其理论框架已经相当成熟，而且各 种新的理论成果以及其在新的工程中的应用都在不断的推出和发展，但它仍然存 在很多有待改进的地方，比如小波基的选择、多维小波的应用研究、m a l l a t 分解 在提取故障特征频率方面的应用等。其中，本文将重点研究m a l l a t 算法的频率混 叠问题。m a l l a t 分解算法存在严重的频率混叠，虽然分解信号可以通过重构算法 精确的重构出原信号，但是当分解应用于提取信号中的某段或某几段频率成分时， 频率混叠就会造成严重的问题，从而影响精确提取特征频率成分。 本文通过对小波分解算法的研究，提出了一种改进算法，该算法可以在提取 特征成分时，完全的抑制频率混叠，使小波分解的工程应用更加精确。 1 2 小波分析发展状况 小波分析的发现与提出经历了一个漫长的准备阶段。与小波分析的基本概念 有着密切关系的工作最早可以追溯到2 0 世纪初期i l2 1 ，在1 9 1 0 年，由h a a r 提出了 小波规范正交基的概念，这就是最早的小波基，但是当时并没有“小波”这个概 念。然后，在1 9 3 8 年，p 以e y 和l i t t l e w 0 0 d 提出了二进频率划分的理论，这是多 尺度分析思想的最早来源。1 9 6 5 年c a j d e r o n 提出了再生公式，随后，在1 9 8 1 年， s t r o m b e 唱改进了h 勰r 正交基。这些工作都为小波分析的理论奠定了重要的基础。 “小波变换”的概念最先是由法国的地质物理学家m o r l e t 在1 9 8 1 年提出来 的。后来，理论物理学专家g r o s s m a n n 将m o r l e t 方法引入了量子物理学中，并携 手m o r l e t 开始研究小波理论，接着提出了连续小波变换的概念【”l 。在1 9 8 6 年， 著名的数学家m e y e r 构造出了一个真正的小波基，并与m a l l a t 一起建立了小波基 的多尺度分析，从此以后，小波分析才开始蓬勃发展起来。其中，对小波的普及 起了重要的推动作用的是比利时的女数学家d a u b e c h i e s 撰写的t e nl e c n j r e so n w 打e l e t s 。与傅里叶变换、短时傅里叶变换相比，这是一个自适应性的时间和频 率局部变换，所以能有效地从信号中提取出时频信息。小波分析可以通过对小波 函数的平移和伸缩来对信号进行多尺度多分辨率分析，因而它有“数学显微镜” 4 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 的美誉。1 9 8 9 年，信号分析专家m a l l a t 将计算机视觉领域的多尺度分析思想引入 到小波分析当中，从而提出了多分辨率分析，而且提出了著名的快速小波分解的 离散算法一m a l l a t 算法【1 4 】。其对于小波分析的作用相当于f f t 对于傅里叶分析的 作用。 从2 0 世纪9 0 年代到现在，小波分析就进入了快速发展的时期，也取得了很 多重要的成果。比如，d 趾b e c l l i e s 提出了构造出正交小波的方法；c o h e n 、 d a n b e c h i e s 等人提出了构造紧支撑线性相位的双正交小波方法；以及c o i 缅a 1 1 等 u 5 】等处的小波包理论等。至此，小波分析的整个基本理论体系已经基本成熟完整。 同时，小波分析也越来越多的得到实际的应用。例如，图形、语音、生物医学等 领域的应用。 目前，小波分析在信息技术等领域已然成为备受关注的课题。在新的理论方 面也产生了很多新的方法和理念，例如多小波理论【1 6 1 、脊小波f 1 7 】和曲小波理论等 等。 1 3 小波分析的应用 由于小波分析的快速发展，其在工业、通信业、以及图像处理等领域都有了 繁多的应用。在工业领域，小波分析主要用于对采集的信号进行消澡等预处理、 提取机械的故障特征信号。在通信领域，小波分析主要用于对数据的压缩、对信 号消澡以及对图像的处理。当今社会的互联及通信特别重要，而各种信号作为信 息的载体，其数量更是巨大的惊人，如语音信号、视频信号等，所以对这些信号 进行适当的压缩后再传输的话可以大大提高传输速度和节约带宽。而在对视觉图 片的质量要求曰益突出的今天，图像处理技术在计算机视觉、生物医学成像方面 就显得极为重要，小波分析因其多分辨率分析的特点，在图片处理领域占有了越 来越重要的地位。总之，小波分析在信号处理方面的地位正在日益凸显，信号处 理涉及到了当今世界的各行各业，信号处理主要的作用是：精确分析、诊断、数 据压缩、快速传递和存储，以及精确重构。其实，从实质上来看，图像处理也是 属于信号处理的范畴( 二维信号处理) 。 除此之外，小波分析的应用领域包括：数学分析；量子力学、理论物理；军 事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学 成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断方面；例如，在数学方面， 它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论 等；在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等；在图像处理方面的图像压 缩、分类、识别与诊断，去污等；在医学成像方面的减少b 超、c t 、核磁共振成 像的时间，提高分辨率等【l 引。 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 1 4 本文研究的主要工作及创新 1 4 1 本文研究的主要工作 本文主要针对小波分解算法中存在的频率混叠问题进行了深入的研究，并提 出了相应的解决方法。具体来说，本文主要完成了以下几个方面的内容： 第一章为绪论，主要介绍了小波分析的研究背景及意义、国内外的研究现状、 小波分析的主要应用以及本文主要的研究内容和创新之处。 第二章系统的介绍了基础的小波理论，包括小波变换的概念、离散小波变换、 小波框架、小波包变换概念、奇异值分解的概念、多分辨率分析，等。 第三章对m a l l a t 分解算法、单子带重构算法、单子带重构改进算法的实现进 行了深入研究。并对三种算法中存在的频率混叠问题进行了分析，然后提出了改 进方案，并用仿真和实例验证了改进算法的有效性。 第四章对小波包分析中的频率混叠进行了研究，并介绍了相应的改进算法。 最后，运用例子验证了该方法的有效性。 第五章为最后一章，主要对全文的内容进行了总结，并对以后的研究方向做 出了展望。 1 4 2 本文的创新点 针对单子带重构改进算法仍然存在频率混叠的问题，本文提出了一种插入纠 正滤波器的完全抗混叠小波单子带重构算法。 因为小波重构滤波器的频域是非理想截止的，信号会在与重构滤波器卷积时 残留多余的频率成分。虽然单子带重构改进算法对该问题给出了相应的改进算法， 但通过本文研究得知，单子带重构改进算法中存在一定的步骤错误问题，因此仍 然存在频率混叠问题。本文通过在重构的过程中，插入一个纠正滤波器，便可以 将重构滤波器非理想截止的多余成分滤掉。这样，混叠的频率成分就将会被彻底 过滤掉。最终重构结果将会准确的提取出各层真实的频率成分。仿真和工程应用 结果表明，该方法能准确提取各层的频率成分。 1 5 本章小结 本章主要介绍小波分析的研究背景及意义、国内外的研究现状、小波分析的 主要应用以及本文主要的研究内容。 6 耋燮堂堡圭堂垡鲨文2 小波分析基础理论以及多分辨率分析方法介绍 2 小波分析基础理论以及多分辨率分析方法介绍 2 一连续小波变换 2 1 1 连续小波变换的定义 定义2 1 设1 5 ，( f ) 是实数域平方可积的函数，即y ( r ) r ( 月) ， ( f o u r i c r ) 为妒细) ，如果妒) 满足以下条件( 完全重构条件) ： q = 上咩如 o ，口、6 分别被称为小波尺度参数和位移参数，通过对口和6 取一系列 不同的值，就能得到一组拥有不同分辨率的小波基渺础( ，) j 。 假设待分析的信号为厂( ，) ，则它的连续小波变换定义为信号厂( f ) 与小波基函 数l f ，口6 ( d 的内积： 髟( 口，6 ) = 邝) l f ，：，。( f ) 衍= 石巾) 吵缸一6 切 ( 2 2 ) 连续小波变换可以将信号映射到小波基所表示的局部化时频空间中，从而可 以分析信号中的各个局部特征。为了进一步了解小波的时频局部化原理，接下来， 我们将介绍小波基的时频窗概念及其特性。 2 1 2 小波基的自适应时频窗 时窗的定义 时窗函数的作用是对信号的时域做局部化，设时域信号为厂( f ) ，其时域的支 集为， ) ，时窗函数为w ( f ) ，其时域支集为( 口，6 ) ，且口 朋，6 门。则厂( f ) w ( f ) 的 支集就变成了( 口，6 ) ，即时窗函数的时域支集。 时窗函数可以是时域有限函数，也可以是时域无限函数，可以是偶函数，也 可以是奇函数，可以是对称函数，也可以是不对称函数，但时窗函数一般都是实 函数。时窗函数的局部化效果可以用两个要素来表示：时窗中心f 和时窗半径， 其定义如下： ，+ = 抄( f ) 1 2 旃上) 1 2 西 佃 ( 2 4 ) ，= 龇一，m f ) 1 2 西佃w ( f ) 1 2 衍y 2 佃 ( 2 5 ) 重塞丕堂亟堂位论文2 小波分析基础理论以及多分辨率分析方法介绍 在此定义下，时窗w ( f ) 的局部化作用表现为：以f 为中心的矿一，f + ， 范 围，其时窗宽度为2 。 当时窗w ( f ) 在时间轴上移动时，即w ( ，一6 ) ，6 0 时，通过时窗中心和半径 的直观几何意义可以得到如下结果： ，陬f 一6 ) 】= f 【w ( ，) 】+ 6( 2 6 ) ， w 0 6 ) 】= ，【w ( f ) ( 2 7 ) 其表现形式如下图所示： 图2 1 时间窗w 御及其平移窗示意图 f i g 2 1t h et i m ew i n d o w 如n c t i o nw 频窗的定义 所谓频窗，即是在频域范围内起局部化作用的窗函数，设某时域函数为w ( ，) ， 其傅里叶变换( f o 砸e r ) 为旷) ，与时窗函数一样，频窗函数的局部化效果也 包含两个要素：频窗中心和频窗半径，其定义如下： = 川旷( ) 1 2 如f i 矿( ) 1 2 如 棚 ( 2 8 ) ： 量。石帜) 1 2 如腕) 1 2 豳，啦 一删防) 豳= 击夕妒 ( 2 2 5 ) 由式( 2 2 5 ) 可知，经l f ，m ( f ) 作用的小波变换实际上是同时把信号( f ) 限制在 ￥， ( f ) 的时域范围旷一，f + ，】和妒，j f 徊) 的频域范围内，即，【一，+ 。】 重庆大学硕士学位论文 2 小波分析基础理论以及多分辨率分析方法介绍 的子频带内，小波变换结果是这个时频域内的分量表现。 2 3 多分辨率分析 2 3 1 多分辨率分析思想 在数学中，我们把所有的能量有限信号( 函数) 的集合定义为 r ( r ) = 杪( f ) 幢l 厂( f ) 1 2 西 0 ，a ，( f = 1 ，2 ，g ) 称为矩阵日的奇异值。 为了利用s v d 实现信号的多分辨率分解，赵学智等人提出了一种矩阵二分递 推构造的思想：对于任何信号x = ( z ，x ：，h ) ，取行数为2 构造如下矩阵 日：f 而而h _ l l x 2而 石 这样的矩阵经过s v d 处理后，可以得到而且只能得到两个奇异值，其特点是 重庆大学硕士学位论文 2 小波分析基础理论以及多分辨率分析方法介绍 第一个奇异值较大，而第二个奇异值较小。从这两个奇异值分别可以得到两个分 量信号，但这两个分量信号对原始信号的贡献量是有轻重之分的，具体由两个相 应的奇异值大小所决定。将对原信号贡献较小的分量信号首先分离出来，它反映 了此次分解时从原始信号中获取的细枝末节，这类似于小波分析中的细节信号， 称其为s v d 细节信号，记为d ，相应的奇异值称为细节奇异值，用仃击表示；而 对原信号贡献较大的分量部分是信号的主要成分，它反映了此次分解时从原始信 号获取的主体概貌，类似于小波分析中的近似信号，称其为s v d 近似信号，记为 么，相应的奇异值称为近似奇异值，用仃埘表示。然后利用此彳f 继续取行数为2 构造矩阵进行下一层次的s v d 分解，如此逐次递推进行，就可以将原始信号分解 为一系列s v d 细节信号和近似信号。这种分解过程与小波的多分辨率分解过程极 为相似，即每次都可得到一个近似和细节信号，然后再对近似信号做进一步细分。 下面将介绍这一过程的具体分解算法。 二分递推s v d 的分解算法 设已进行了一1 次分解，得到第j f 一1 个s v d 近似信号彳h ，记为： 彳j 1 = ( 口j “1 ，口j 1 2 ，巳- l - 1 ) ，式中为信号长度，利用么j - 1 构造如下矩阵 wf 口一1 ，】 口一1 。2 口一l 。1 1 。 l 口一l ，2 口j - 1 ，3 口j l ，_ 对此矩阵进行s v d 处理，得到 日，= u ，s f y f 。 ( 2 3 9 ) 式中，u = 胪“j 2 ) ，u r 2 “，巧= ( v v j 2 ，v ，【一1 ) ) ，巧r 肛1 m - ，它1 门 分别为第，次分解获得的左右正交矩阵，而对角阵 岛= ( 纰p 巧，d 毋) ，d ) ，q r 2 洲一，式中。聊、o 巧分别为第_ ，次获得的近似奇异 值和细节奇异值。 为了得到第，次分解时的s v d 近似和细节信号，将式( 2 3 9 ) 改写为用列向量“， 和v 。表示的形式 片j = 仃聊”，1 1 ，刍+ 仃巧”2 v ；2 ( 2 4 0 ) 式中， h r 2 “，v r 肛m 1 ，f = 1 ，2 。令线= 仃坷”f l v j ，则心r 2 x ( 肛n ，它对应 的是大奇异值，反映的是信号的主体成分，称其为近似矩阵；厅讲= 叮m “，v 乞， 巩r 2 ( 肛，它对应的是小奇异值，反映的是信号的细节成分，称其为细节矩 阵，第