（数量经济学专业论文）个人寿险精算研究.pdf

中文摘要 中文摘要 在现代僳险业经营与发展的过程中，科学的理论与方法，特别是精辣学原骥 起羞至关重簧豹馋翅。凡乎爨验救运莺豹凄煮枣要环节，麴凝殓秽设计、保殓赞 率和责任准锯金的计算等等，都必须通过精算分析处理。寿险精算与寿除经营磷 不可分，它不仅楚寿险经营静蠹在要求，露辩它逮极大琏捺魂了辩蹬盈豹发震。 农我国，人寿保险业务1 9 8 2 年才得到恢复，而保险精算则怒在八十年代后 期才由西方弓f 迸。予是，对如何学习和研究寿险精算技术、如何农寿险中应用魏 技术以及怎样将其与中国寿险业实际蜷况合理结合等阅题进行探讨有蓑重要的 意义。 本文赞瓣令人海猃，驮精雾学夔受壤对生余表煞棱造，寿险模型的建立，曝 单纯保费的膳定和责任准备金的提存进行了系统的分析，对生命表的修匀及随机 稻率阏题逢行7 研究，著结合中蓬寿除监的实际祷况探讨了寿除盈静稠差损阔 题。 本文的主要研究工作殷创新点为： 一、标准w h i t t a k e r 方法中参数h 的确定一本文剥用正规b a y e s i a n 修匀 中k j 方法的变形，将后验期望作为标准w h i t t a k e r 修匀中参数h 的取值，避 免了h 豹主戏蓑薮取篷。究努裂羯基舂样本痿惑秘兜验蕊煮，将h 援秀先验鼹纛 相对于样本的可信度来进行修匀，在保证光滑性的前提下，增强了拟合度，使得 修匀络采更代表粪值穿戮。这粹增强在大样本的清况下，由于视始倍计序礤较 好的体现了真值序列，因面是有意义的。实例分析表明了该方法的有效性。 二、随机利率下的终身寿险模型一在寿险精算理论及傈险实务中，现值溺 数计算通常巍利率为固定豢数，薅忽略照枫利率这一事实。本文憋年利率视为独 立同分布的随机变量，给出了终身寿陂模型释函数的计算方法。在寿险中采用随 税裁攀，对资产受续管理入贯窝耪箨耨确建安全边际、产品囊黼浮蘩、 臻l 零l 率风险、 刚氐保险公司经营风险等方面部具有重要的参考价值。 三、寿陵韭莉羞损的产生和亿解酲前，乖j 差损在我国寿陵监不闰静公磷 中或多或少地已经发生，这已引起了整个保险界的关注。本文从寿险产晶的角度 分析了利差损产生的原因，并撮出了化解利蔫损的方法。 关键落：生玲表；鲢傈费；责氆准备金；修匀；| 9 蠹飒利率；剥差掇 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h em a n a g e m e n ta n dd e v e l o p m e n to f t o d a y si n s u r a n c ei n d u s t r y , t h es c i e n t i f i c t h e o r i e sa n dm e t h o d sa r ev e r yi m p o r t a n t ，s p e c i a l l yt h es c i e n c eo fa c t u a r y a l m o s ta l l o ft h ec r i t i c a ls e c t i o n so fi n s u r a n c ea r ea n a l y z e da n ds o l v e db yt h ea c t u a r y , s u c ha st h e d e s i g no f t h en e wp r o d u c t ，t h ec o m p u t a t i o no f t h ep r e m i u m a n do ft h er e s e r v e s ot h e a c t u a r y i sm u c h s i g n i f i c a n ti nt h e1 i f ei n s u r a n c ei n d u s t r y t h et h e s i sa l m sa tt h ei n d i v i d u a ll i f ei n s u r a n c e ，a n di n t r o d u c e st h ew h o l e p r o c e s s o ft h ea c t u a r yf r o mt h eb u i l do fl i f et a b l et ot h ep r e m i u m c o n f i r m i n gs y s t e m a t i c a l l y f o rt h ew h i l e ，i tp u t sf o r w a r dt h eo p i n i o n sa b o u tt h eg r a d u a t i o n ，t h er a n d o mi n t e r e s t r a t e ，a n dt h el o s sf r o md i f f e r e n c eo f i n t e r e s tr a t e t h e f o l l o w i n g a r em a i na c h i e v e m e n t sa n dm a j o ri n n o v a t i o n so ft h i st h e s i s ： 1 d e f i n i t i o no f p a r a m e t e rh i nt h es t a n d a r dw h i t t a k e rg r a d u a t i o n - - t h ep a p e r a p p l i e st r a n s f o r m a t i o no f k j o f t h ef o r m a lb a y e s i a ng r a d u a t i o nt oo b t a i na p o s t e r i o r m e a n ，a n du s e si ta se s t i m a t o ro f t h ep a r a m e t e rhi nt h es t a n d a r dw h i t t a k e rg r a d u a t i o n i ts h o w st h a tw i t ht h i sm e t h o di ti s p o s s i b l et oc o m p l e t et h eg r a d u a t i o nw i t h o m m a k i n g a na r b i t r a r ys e l e c t i o no f t h ep a r a m e t e rh t h ee x a m p l ei n d i c a t e st h ev a l i d i t yo f t h i sm e t h o d 2 m o d e lo fw h o l el i f ei n s u r a n c ei nt h ep r e s e n t so fs t o c h a s t i ci n t e r e s tm t c i i l c o m p u t i n ga c t u a r i a lm e a s u r e m e n t s ，s u c h a st h e p r e s e n tv a l u e f u n c t i o n sf o rl i f e i n s u r a n c e t h es t o c h a s t i cn a t u r eo ft h ei n t e r e s tr a t ei sc o m m o n l yi g n o r e d 1 1 1 i sp a p e r t r e a t st h ei n t e r e s tr a t ea san o r m a lr a n d o mv a r i a b l ea n dp r e s e n tg e n e r a lf o r m u l a sf o r f u n c t i o n sf o rw h o l el i f ei n s u r a n c e 3 a p p e a r a n c ea n ds e t t l e m e n to fl o s sf r o md i f f e r e n c e o fi n t e r e s tr a t ei nl i f e i n s u r a n c ei n d u s t r y - - i nl i f ei n s u r a n c ep r o d u c t so fc h i n a , t h e e x p e c t e dr a t eo f i n t e r e s t a r eh i g h l yr e l a t e dt ot h ei n t e r e s tr a t eo n d e p o s i tw i t hb a n k s w i t h t h ei n t e r e s tr a t eo n d e p o s i tw i mb a n k sg o i n gd o w n 1 0 s s f r o md i f f e r e n c eo fi n t e r e s tr a t eh a sb e e n a p p e a r e d t 1 1 i sp a p e ra n a l y z e st h er e a s o n so fl o s so c c u r r i n ga n dp u t sf o r w a r dt h e a p p r o a c h e s t os e t t l ei t ，i nt h ea n g e lo f t h el i f ei n s u r a n c ep r o d u c t s k e y w o r d s ：l i f et a b l e ；r e s e r v e ；g r a d u a t i o n ；s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e ； l o s sf r o md i f f e r e n c eo fi n t e r e s tr a t e ；p u r ep r e m i u m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特勇j j j n 以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得叁注盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：尼焉年 签字日期： 1 年，1 月西日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫鲞盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘洼盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 卢鸬毕新编彩害阢 签字日期：多一上年，月乃7 日 签字日期盆时厚j 骘日 第一章绪论 1 1 寿险精算简介 第一章绪论 在现代保险业经营与发展的过程中，科学的理论与方法，特别是精算学原理 起着至关重要的作用。几乎保险业运营的所有重要环节，如新险种设计、保险费 率和责任准备金的计算、分保额的确定、养老金等社会保障计划的制订等等，都 必须通过精算分析处理。所谓保险精算是以数学、统计学、金融学、保险学及人 口学等学科的知识和原理，去解决商业保险和社会保障业务中需要精确计算的项 目。如研究保险事故的出险规律、保险事故损失额的分布规律、人承担风险 的平均损失及其分布规律、保险费和责任准备金等保险具体问题的计算”j 。保险 精算首先产生于寿险经营，这是因为寿险精算于寿险经营密不可分，而且还是寿 险经营的内在要求。所以，寿险精算反过来极大地推动了寿险业的发展，并最终 形成了一整套的寿险精算体系，由生命表构造、保费厘定、责任准备金提存等部 分构成。 在寿险精算中，利率和死亡率的测算是厘定寿险成本的两个基本问题。由 于寿险保费的收取与保额的给付不是同时发生的，其间有一段较长的时间间隔 ( 往往一年以上) ，使得寿险公司一直被利率风险所困扰，这就要求寿险精算必 须考虑利息因素。如何有效对付利率的易变性是精算科学中的一大难点【2 j 。而死 亡率的测算即生命表的建立是寿险精算的核心工作。生命表是对一定数量的人口 自出生直到全部死亡这段时间的生存和死亡的记录。它有两个基本要素：年龄及 相应的死亡率。生命的不确定性在生命表中得以反映，厘定保费，提存责任准备 金均以生命表为基础。编制生命表分为三步，首先确定各年龄的死亡率，其次 选择适当的基数，最后在编制过程中对统计误差等因素进行修匀。 生存年金合同是以生存作为保险金给付的条件，而生存年金的现值实际正是 客户应缴纳的保费。一般而言，任何生存年金险种，可考虑为相应的确定年金与相 对应的生存概率的综合结果。与生存年金相对应，人寿保险的保险金是以被保险 人死亡为给付条件，保险人以大数法则为基础，以预期赔偿金额作为纯保费收取。 年缴纯保费是由被保险人按保单规定定期缴付的，并且以被保险人生存为支 付条件，因此可将年缴纯保费看作生存年金，其现值显然应等于趸缴纯保费值。 其它形式的年缴保费均以此类推。仅考虑预定死亡率、预定利率计算出的是 纯保费。而计算总保费还要考虑附加费用。 寿险从收取保费到支付保险金有一较长的时间间隔，保险人必须将事先收取 第一章绪论 的保费视为一项负债予以提存，以备将来给付，这就涉及到如何提存。 责任准备金，它并不简单地等于以前保费的积存。事实上，人寿保险的第一 年营业费用要较以后几年的费用多，故寿险公司第一年的保费收入，除去营业费 用及保险赔款外，将不足以提存责任准备金，因此，种种修正责任准备金制应运 而生。 1 2 寿险精算技术目前在我国的应用状况 1 2 1 寿险精算在我国获得的发展 1 法律上的保障。保险法第1 1 9 条规定“经营人身保险业务的保险公司， 必须聘用经金融监督管理部门认可的精算专业人员，建立精算报告制度”。 2 中外合作培养精算师，精算师职业逐步确立。我国的精算事业起步较晚， 直到1 9 8 8 年南开大学开设了我国第一个精算学硕士班，此后全国不少高校逐步 开展了精算教学与研究。1 9 9 8 年1 1 月1 8 日成立的中国保险监督管理委员会设 立了专门的精算处口 。虽然精算引入我国不过短短十余年，但发展是相当快的。 3 经验生命表的编制。自恢复人身保险业务以来，寿险业一直沿用日本的 第二、三回经验生命表。后来，中国人民保险公司人身险部设立精算处，编制了 中国人寿保险业经验生命表( 1 9 9 0 1 9 9 3 ) 。 4 在定程度和范围内应用寿险精算技术，寿险精算水平不高，不能准确 核定成本与收益。而且精算技术引进我国时间并不长( 八十年代后期才由西方引 进) ，离我国保险业发展的要求还有差距，各大保险公司虽然设有精算部等类似 机构，但实践中所能发挥的作用有限。 1 2 2 寿险精算技术在我国应用的特点 1 计算不精确。责任准备金计提是法律规定的，未考虑投保年龄、投保期 限、保险金额等的差异，主要是算大帐、粗帐，因此不可能精确计算。 2 统计数据不完整。由于政府实行市场行为监管和偿付能力监管并重，精 算师的职能受到很大限制。另外，缺乏寿险精算报告制度，使监管部门的监管缺 乏法律依据。 3 精算人员多数缺乏实际经验。精算在我国开展的历史较短，大多数专业 人员工作经历较短，精算研究工作处在草创阶段。 1 3 本文的研究内容和意义 在我国，个人寿险业务本身就是新业务、新机制。它由上海友邦公司引进以 第一章绪论 后，得到了较大的发展。以宁波寿险市场为例，由表卜l 可知目前个人寿险已经 成为了寿险市场发展的主导【4 j 。几年的发展历程也有力地说明谁掌握了个人寿险 市场的主导权，谁就将左右中国寿险市场的未来。 表卜1个人寿险和团体寿险业务比重变化( 单位：) 年度 险种 1 9 9 71 9 9 81 9 9 92 0 0 02 0 0 1 个人寿险3 35 06 06 8 7 7 团体寿险 6 75 04 03 22 3 虽然个人寿险业务较前几年难做了，同比增长幅度见小，但这并不表示“市 场己经饱和了”，相反，我国的寿险市场仍然处在成长时期，发展潜力巨大。外 资寿险公司纷纷捡摊我国正是看到了这一点。据统计，我国台湾地区承保密度超 过6 0 ，而在我国大陆地区保险密度最高的上海，这个指标还不到6 4 1 。在我 国经济以每年7 的速度递增的环境下，随着个人保险意识的不断增强，个人寿 险仍大有可为。 而在我国，保险精算由西方引进的时间却不长。于是，对如何学习和研究寿 险精算技术、如何在寿险中应用此技术以及怎样将其与中国寿险业实际情况合理 结合等问题进行探讨有着重要的意义。 本文针对个人寿险，对从生命表的构造到保单纯保费的厘定和责任准备金的 提存的精算体系进行了系统的分析，对生命表的修匀和费率厘定中的随机利率问 题进行了研究，并结合中国寿险业的实际情况探讨了寿险业利差损问题。 本文的创新之处： 对传统的修匀方法一w h i t t a k e r 方法进行了研究，提出了一种避免 w l l i t t a k e r 方法中h 值的主观选取的方法。本文方法根据具体样本直接得到h 的 值，使得标准w h i t t a k e r 修匀更为简便，而且充分地利用了已有样本信息和先验 观点，将h 视为先验观点相对于样本的可信度来进行修匀，在保证光滑性的前提 下，增强了拟合度，使得修匀结果更能代表真值序列。这种增强在大样本的情况 下，由于初始估计序列较好的体现了真值序列，因而是有意义的。由此可以说该 方法是一种简单可行、准确的修匀方法。 在寿险精算理论及保险实务中，现值函数计算通常视利率为固定常数， 而忽略随机利率这一事实。可事实上，实际年利率并不一定是一固定常数，尤其 是现在，我国经济速度发展较快，利率波动较大。本文将年利率视为对数正态分 布的随机变量，给出了终身寿险模型各函数的计算方法。 在我国，寿险产品的预定利率与银行存款利率紧密联系在一起，在银行 利率连续下调的情况下，利差损在我国寿险业不同的公司中或多或少地已经发 第一章绪论 生。这已引起了整个保险界的关注。本文从寿险产品的角度分析了我国寿险业利 差损产生的原因，并提出了化解利差损的方法。 第二章生命表 第二章生命表 2 1 精算生存模型的基本概念 2 1 1 生存模型 例如，假定一台空调机在室温很高的实验室中运转，其开始工作的时刻记为 t = o ，考察未来时刻t 空调机仍运转的概率。这个概率分布就是一个生存模型，用 函数s ( t ) 来表示。 无论对有生命还是无生命的研究对象，随机变量r 都表示一个研究对象从 f = o ( 即从最初事件开始) 到它失效的时间，称为失效时间随机变量。同时r 也可理 解为该研究对象从t - - o 开始计算的将来存活时间，因此，r 也被称为“将来存活时 间”。在时刻f 该研究对象仍然运转的概率就等于失效时间迟于( 即大于) t 的概 率，即 s ( t ) = a r ( r ，) ( 2 - 1 ) 由丁的性质可知： ( 1 ) t 0 ( 2 ) s ( o ) = l ( 3 ) s ( t ) 是r 的非增函数，且假定l i ms ( r ) = 0 f 由上可知，所谓生存模型就是一类特殊随机变量的概率分布，是一记为s ( r ) 的函数，它给出了在时刻，的生存概率。 2 1 2 精算生存模型 在某些生存模型中，在时刻f ，研究对象的“日历年龄”并不是研究者考虑 的因素，它有时甚至是完全不可知的，生存期可视作仅是白某初始事件以来的时 间的函数，此时，生存模型用s ( t ) 表示。 但用于人寿保险或养老金操作的生存模型却承认这个“日历年龄”，认为被 研究人的生存期是年龄的函数，这时的生存模型称为精算生存模型。 2 1 3 精算生存模型的两种形式 形式1 ：s ( 工) 一若定义在t = o 时的初始事件是某人的实际出生日，用x 表示 某人的年龄，令工为人的死亡年龄，z 是随机变量，显然与r 是一致的。用x 代替t ，于是s ( x ) 表示自实际出生日算起的在时刻z 仍生存的概率。 形式2 ：s ( f x ) 一若对t = o 时年龄为x 的人进行生存形式研究，那么w , n 达 第二章生命表 的年龄x 会影响人的未来生存期。例如，当t = 0 时，x = 2 0 或x = 5 5 必然会使s 0 0 ) 有 不同的值。在这种情形下，用s ( f ；曲表示相应的精算生存模型，称为选择模型，x 称为相伴变量，f 称为主要变量。则s ( t ；x ，x ，x ，) 表示有多个相伴变量的选择模型。 一般性的精算方法只是简单地对每一个x 值有分别的s ( ，) ，即对每一选择的 年龄，生存模型仅被看作为f 的函数，但在任何给定x 的情况下使用的合适模型 总是依赖于x 的。 2 1 4 精算表格生存模型生命表( 死亡表) 生存模型分为参数生存模型和表格生存模型两种。因为s ( x ) 的形状太复杂 以至于不能用简单的一个参数的分布为其作适当的描述，所以，一般说来精算生 存模型倾向于表格生存模型一类。精算表格生存模型被称为生命表或死亡表。 生命表对某一选择的x ，用数字( 通常为整数) 表出s ( r ) 的值，从而构成一 张数字表格。但生命表仅对整数x = o ，1 ，给出s ( 工) 的值，而没有包含x 为小数 的任何情况，为克服由此导致的生存模型的不完全性，通常假定s ( x ) 的形式是 非离散的，当这种称为死亡分布的假定附加给表格模型时，s ( x ) 就对所有x ( x 0 ) 有定义了。在本章2 4 节中将对其进行详细描述。 2 2 精算生存模型数学简述 2 2 1 分布函数与生存函数 在上一节我们用函数s ( x ) 对精算生存模型进行了描述。s ( x ) 表示的是某一新 生婴儿能活到x 岁的概率，随机变量工表示该新生婴儿的死亡年龄，x 是一个连 续型随机变量。我们称s ( x ) 为生存函数，且 s ( x ) = p r ( x 曲o 0 )( 2 - 2 ) 与之相应，用f ( x ) 表示随机变量x 的分布函数，它给出了新生婴儿不迟于年龄x 出现死亡的概率 f ( x ) = p r ( x x ) ( x o )( 2 - 3 ) 显然 f ( 工) = l s ( x ) ；f ( 0 ) = 0 假定随机变量j 的分布函数f ( x ) 是可导的，用f ( x ) 表示x 的密度函数，则 ，( 工) ：d f ( z ) = 一d s ( x )( x o ) ( 2 - 4 ) a x“ 因而有下列等式成立： f ( x ) = f 。o f ( t ) d t ；s ( x ) = ；f ( t ) d t 第二章生命表 有别于涉及到某个时间区间的概率f ( x ) 和s ( x ) ，f ( x ) 只涉及到某时间点， 它本身不是一个概率。按常规说法，称它为“概率密度”。f ( x ) 表示在时刻x 的 死亡密度，相对于区间度量f ( x ) 和s ( x ) 来说，它是瞬时度量。并且f ( x ) 表示的 是在时刻x 的无条件死亡密度，它是在仅知新生婴儿在x = 0 时存活的情况下得出的。 2 2 2 死力 现在我们定义时刻x 的条件死亡密度，这个条件密度以在时刻x 生存为条件。 这也是一个瞬时条件度量，被称为时刻x 的死力，记为从。 由概率知识可知 p ( alb ) p ( b ) = p ( a b ) 即【条件度量p ( a ib ) 】【获得该条件的概率p ( b ) 卜【相应的无条件度量p ( a b ) 】 于是 ( 在时刻x 的条件死亡密度) ( 时刻x 的生存概率) = ( 时刻茁的无条件死亡密度) 用公式表示，有 以s ( x ) 5 厂( x ) ( 2 5 ) 从而 舻一黎：一知曲( 2 - 6 )以一哥一去h 双曲 由此可知，所谓死力就是指在到达工岁的人当中在这一瞬i n 里死亡的人所占的比率。 对公式( 2 6 ) 两边从0 到x 进行积分，有 s ( x ) = e x p ( i ；b t ，) d r ( 2 - 7 ) 观察概率密度函数与死力，可以清楚地知道二者均是在时刻x 的瞬时度量，但 以与f ( x ) 的明显区别在于以以在时刻x 生存为条件，而i f ( x ) 是无条件的。 对于选择模型s ( t ；x ) ，其中t 是随机变量，的值，z 是s ( t ；x ) 所涉及的人的 年龄。其死力用卢，表示，且 嘲，一崭d ：一知啊， p s ， 2 2 3 未来寿命丁( x ) 的生存分布 第二章生命表 为叙述方便，引入符号表示年龄为x 岁的人，x 是新生婴儿的死亡年龄，那 么新生婴儿在x 岁活着的条件下，未来仍生存的时间是j ，_ 一x ，将其称为新生婴 儿在x 岁时的未来寿命，简称的未来寿命，并用符号t ( x ) 表示，r ( x ) i x x 。 用概率来反映生存者的未来寿命t ( x ) 是精算学中的一项重要内容。在精算 学中还引用了一组国际通用的精算函数符号来描述随机变量丁( x ) 的概率分布【5 j 。 将在t 年内死亡的概率1 q 。 f q 。= p r ( t ( x ) r ) = p r ( x x ) i s ( x ) - s ( x + t ) ：1 一罢掣( r o ) ( 2 - 9 ) s ( x )s ( x ) 、7 o ) 将在什f 岁时仍生存的概率1 p ， ，p ，= 1 - t q 。= p r ( t ( x ) t ) = p r ( x x + t l x x ) s ( x + f 1 s ( x ) o 0 )( 2 一1 0 ) 特别地，当x = o 时，r ( o ) = x ，即0 岁新生儿的未来寿命就是新生婴儿的死 亡年龄，且 x p 。2 s ( x ) ( z o ) 生存t 年后，在什r 岁与x + 什岁之间死亡的概率一q ， t l q x2 f + q x - - t q x 2 ，几一t + u p x2 t p x + p q x + t = p r ( t o ，均有 lln f g 【卅+ ，一q l x - j l + ( ，+ ) i 占 e q x l + ，q x 一，】+ p + ，) 整数，称为选择期，一般取r 1 5 。 对于超过选择期的死亡概率称为终极死亡概率，依据终极死亡概率编制的生 命表称为终极生命表。选择生命表和终极生命表的结合表称为选择一终极生命 表。建立选择一终极生命表，一般先建立终极部分，再建立选择部分。 2 。4 非整数年龄假定 在本章2 1 4 中提到生命表仅对整数x 给出了相应的函数值，为了保证生命 表模型的完全性，通常假定s ( x ) 具有非离散形式。 对于在x 和x + i 之间的非整数年龄挑f o 勺 1 ) ，生命表模型假定对于所有的 s ，具有某一数学形式。这个假定的，在开区间0 s o ) 死亡，则在该死亡时刻立即支付r 元【7 1 1 1 1 。从而，该终身寿险的现值函数是 z r = t v 7( 丁0 )( 3 2 5 ) 其趸缴纯保费( ，4 ) 。为 ( ，彳) ，= e ( z r ) = j 。加7 ，p 。，+ ，d t ( 3 2 6 ) i g t = j ：凼，将( ，爿) ，化为二重积分，则 ( ，爿) ，2j 。q 彳，d s 此式说明：按年连续递增的终身寿险等价于由一系列的保额为1 单位的延期 寿险组成。 2 按年递减的h 年定期保险 按年递减的n 年定期保险，其保险金额给付方式为：如被保险人在第个保 单年度内死亡，则在死亡时立即支付 元：在第二个保单年度内死亡，则在死亡 时立即支付m - 1 ) 元；以此类推，在第n 个保单年度内死亡，则在死亡时立即支 付1 元【7 1 1 1 ”。从而，该终身寿险的现值函数是 z ：j ( ”一”。r ”( 3 - 2 7 ) l0t r t 。 其趸缴纯保费记为( d a ) i i ，则 ( 。- ) ：矿e ( z r ) = 薹( 枞) n 以心， ( 3 _ 2 8 ) 与离散型寿险模型类似，连续型各寿险模型也可用连续型的换算函数 c ，d 。，m ，等表示。 3 2 3 在死亡均匀分布下的寿险模型 在死亡均匀分布假设条件下，连续型寿险模型与离散型寿险模型的趸缴纯保 费之间有着密切的联系。具体关系见表3 - 3 。 第三章个人寿险模型利生存年盘 表3 - 3寿险模型关系式 j 1 一= 二彳一j 一：l a l 一十ai 目a = m a 一, - l i = 孝一彳：i r 1 占。叫。h 占。t l i j ，：i = 古一la ，1 ：i + 一i a 。：i 1 ( ，_ ) 。= ( 搿) ， ( j j ) 孝( d j ) ：i = 孝( 蹦) ：id 3 3 个人寿险巾的生存年金 个人寿险中的生存年企是指按预先约定的鑫额，以一定时间为周期，不断的 进聿亍绘嚣，鬣这些绘馆必须激蘸籀定领鞭人生存秀条释，一显镶取久夏亡，给撼 即宣告结束。它不同于复利理论中介绍了确定年金，生存年金是与领取人的未来 寿命密切相关的，冀现值怒一随机变量，生存年金的期望现佼( 即箕趸缴谦险费) ， 称为“精算现值”。7 】0 0 人寿保险婀保险嶷通常是以生存年金的方式分期缴付的。 对应于个人寿险的保险模型，生存年金分为定期生存年金、终身生存年金、 廷麓熬定絮生存年金彝延麓终身生存年龛。敷”f 奔缓三秘形式的每金，均没领取 人的初始年龄为x 岁。 3 3 1 离散型生存年金 程离散黧生存圣f 金中，每次给付金颟按一定的耐“简间隔( 魏年、半年、季、 月) 寒进行支付。找年金分为“期初 寸”和“期末l 寸”两穆情形。本节仅讨论期 初付的情形。 裙付离敬型生存年金的现值诧为歹，刚蒸精算瑗佳走嚣( 两，出定义知 f = l + v + v 然蠢丽l 隧钒交爨尹豹概率分毒秀 p r ( y = 点礤) 2 p r ( k = j ) = 女p ；。q m + 岸年期初付生存年金 其现值随机变蹩为： 尹= 智k 一= 0 , 1 , 卅2 , - - 记其精算现值为蠢，剐 d 。i = 西莉i q ，十，。p 。 第三章个人寿险模型和生存年金 或 舀，i e v 。女p ， ( 3 2 9 ) 因为f ：! ；( z 为对应离散型寿险的趸缴纯保费的现值) ，所以， a 姻= 厕= 毕 即 1 = 蹦。i + 疋i ( 3 3 0 ) 魏式可释释为：左端为借款人在初始年龄x 岁露诺镶款l ，意装为葵还款方 式一h 年中每年初支付利息d ，若该人在”年内死亡，则在死亡年末返还债款l 。 舔换算醋数表示露褥 菇一：丝二些! !( 3 3 1 ) 气i 2 瓦一 q 一 蘩待终势生存馨金 初纣终身生存年金可视为挖华期初付生存年金中辨号c o 的情形。 其精算现值记为石，则 l i x = e ( y ) = 半 即 1 = 赢，+ 点 ( 3 - 3 2 ) 此式有与公式( 3 - 3 0 ) 类似冉勺经济解释。 用换算醋数表示胃得 露= 瓦n x 3 ) 耪付延期生存馨金 脚年延期的, 年期初付生存年金的糙算现值记为d 。五，有 蛐西，= v 。，女以 ( 3 3 4 ) 用换算函数表示可得 一，= 挚 ( 3 _ 3 5 ) 第三章个人寿险模型和生存年金 肌年延期的初付终身生存年金的精算现值5 ：为 不难理解下述关系式的成立： “。 制a ，= “7 x 一嚣厕= v “ p ：i ，+ ；舳鑫。= 5 x 丽一西，可= y 6 p 。i ，+ ：而 每年分m 次支付的初付生存年金 ( 3 3 6 ) 上面讨论均是每年支付一次的生存年金的精算现值，而在实务中，大多数个 人生存年金通常是按月或季或每半年等方式来支付的【“1 。接下来，以每年分m 1 次支付，每次支付金额为鬲，年支付额为1 的终身年金为例讨论该种情况。其精 算现值用舀表示，则 = 去耖以 其现值随机变量为： ，v = c , - + ) 吲 ( r = o ，l ，3 “s ：0 ，i 1 ，i 2 ，_ m - - 1 ) 则精算现值为： 咧耻刚黯眦( 警) = 筹( 3 _ 3 7 ) 在s 服从死亡均匀分布的假设下，e ( v x + s ) = e ( v ) e ( v 5 ) 2 南4 ，从而 i ，la ( m ) 5 ，+ 卢( m ) ( 3 - 3 8 ) 其中 口( 枷) = f 影f 岫d ”：卢( 研) = i 伽一i i ”d ” 上式在高利率与低死亡率的特殊情况下常被使用，而在一般情况下，通常采 用西，的传统近似计算公式，即 a 皑一等 每年分m 次支付的n 年期初付生存年金的精算现值可由a ，推得： 西? ：= 西，1 一h 抒，1 = 石，一v “。p ，占要 其中d d p 为每年分m 次支付、年支付额为1 的肝年延期的初付终身生存年金的 精算现值。 第三章个人寿险模型和生存年金 3 3 3 连续型生存年金 连续型生存年金是指每时每刻连续不断地进行支付的生存年金】。 连续型生存年金的现值随机变量f 是& ) 的未来寿命丁) 的函数： f 呜= 西= 字 从而，随机变量矿的概率密度函数就是r & ) 的概率密度函数一厂舢) = ，p 。 表3 4 给出了几种连续型生存年金的精算现值。精算现值仍定义为e ( ，) 。 表3 - 4连续型生存年金的精算现值 生存年金精算现值 精算现值定义关系式 类型符号 终身一 f o 。v , p ，d t 1 = f i a 。+ a 。盯z 生存年金 n 年期一 一 j t t p ，d t 1 = d a ，：i + a ，j 生存年金 a x ：h h 年延期 终身 m 五，= 一a ，五；：i = v h h p 。石，+ 。一a ；= 一a x ：h 一+ n l 一五，司= v h p 。五：i 生存年金 a ，等连续型生存年金的精算现值也可用换算函数表不，只需将离散型表达 式中的。+ i 变为n 。“即可( 七为任意整数) 。 3 3 4 非整数年龄开始付款的生存年金 初始年龄x ，除非将其舍为整数，一般而言x 不是整数值，现在让我们来讨 论a 即在非整数年龄开始付款的生存年金的精算现值，其中x 为整数，o u l 。 首先，我们需要对尾龄“的分布作出某种假设。通常采用死亡均匀分柿( u d d ) 假设1 ”。从而得到西是石，与西“的加权平均，表达式为： a 。：了! 二! l 西。+ 掣西。+ 】( 3 - 3 9 ) 1 一u q tl u q o 在实际应用中常取线性内插近似值1 ，即 西= ( 1 一甜) 西。+ “舀。+ l 当q ，的值很小时，其近似结果是很好的。 对于多次付款的情形，可以采用两种方法得到所需近似值： 1 用线性内插西辫= ( 1 一“) 西，+ “西安 得到近似值。 2 用石拨= 口( m ) ( 1 - u ) ，+ a ( m ) u 川+ f l ( m ) 得到近似值。 第四章个人寿险中的均衡纯保费及其责任准备金 第四章个人寿险中的均衡纯保费及其责任准备金 4 1 引论 一张保单一方面规定了由保险公司支付的权益( 权益可以由一次性付款或一 系列的付款组成) ，另一方面又规定了投保人应支付的保险费，保险费的付款方 式有以下三种： 1 一次性付清的保险费。 2 定期缴付一固定款项( 均衡保险费) 的周期性保险费。 3 定期缴付可变款额的周期性保险费。 对于周期性保险费来说，除了保险费的款额外，还须明确规定保险费的支付 期与支付频率。原则上说，保险费是期初付的。 对于一张保单来说，保险公司的损失三定义为保险金给付金额的现值与被保 险人缴付纯保费的现值之差。种可接受的选择纯保费的原则是：随机变量三 的值域既包括正值，也包括负值。 称保费为纯保费，如果它满足平衡原理 e亿)=o(4-1) 即在预定利率和预定死亡率的基础下，未来给付保险金额现值的期望值( 趸缴纯 保费) 等于未来缴付纯保费的精算现值。精算现值一词就意味着是以生存年金方 式分期缴付的纯保费。 对于纯保费的缴付，第三章我们己讨论了第一种方式一人寿保险与生存年金 的趸缴纯保费。本章我们将讨论