（控制理论与控制工程专业论文）环形倒立摆与旋转式倒立摆的起振和平衡控制.pdf

摘要 摘要 倒立摆系统是一个典型的单输入多输出、非线性、强耦合和自然不稳定的 系统，对这样一个复杂系统的研究，理论上将涉及系统控制中的很多关键问题， 比如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题和跟踪问题等。由于倒立摆系统结构 简单以及控制效果直观，所以常常被用来作为控制理论教学与验证新的控制算 法是否能处理多变量、非线性和不稳定系统的理想工具；其次控制倒立摆的一 些方法和思想在研究其它被控对象时也有广泛的用途，比如行走机器人、火箭 垂直姿态以及卫星飞行姿念的控制。因此对倒立摆的研究具有很重要的理论和 应用价值。 本文以f u r u t a 倒立摆( 环形倒立摆) 和p o l a r 倒立摆( 旋转式倒立摆) 为 研究对象，以实现具有先进控制策略的倒立摆实验装置为研究目标，采用二自 由度控制策略完成了这两类倒立摆的起振和平衡控制，并且实现了这两类倒立 摆起振和平衡控制的m a t l a b s i m u l i n k 仿真与d s p a c e 实时控制。 本文首先介绍了倒立摆建模和控制器设计所需要的一些数学基础和控制理 论。主要包括刚体运动学基础、刚体动力学基础、牛顿一欧拉公式、非线性前馈 控制器的设计、线性反馈控制器的设计以及非线性状态观测器的设计。 其次借助于多体系统的动力学方程建立了这两类倒立摆的数学模型。主要 工作是建立合适的坐标系以及计算质量矩阵、科罩奥利力、离心力、回转力和 主动力。 随后以这两类倒立摆的数学模型为基础，设计出了基于反变换的非线性前 馈控制器，并利用m a t l a bb v p 4 c 函数求解出这两类倒立摆起振和旋转平衡控制 的理想轨迹与标准控制量；接着引入了基于线性化工作点的非线性观测器来观 测系统的状态；最后采用沿着理想轨迹的线性状态反馈方法设计了反馈控制器。 本文最后构建了这两类倒立摆的实验平台，并成功实现了所构建的这两类 倒立摆的m a t l a b s i m u i i n k 仿真和d s p a c e 实时控制。仿真和实时控制结果表明， 本文所提出的基于线性化工作点的非线性观测器具有比较好的稳定性和快速的 状念观测误差收敛性，同时也验证了本文所采用的二自由度控制策略的有效性， 该控制策略能实现这两类倒立摆的起振控制，镇定控制和旋转平衡控制。 关键词：倒立摆，二自由度控制，非线性前馈，非线性观测器，d s p a c e 系统 a b s t r a c t a b s t r a c t i n v e r t e dp e n d u l u mi sat y p i c a l l ys i n g l e i n p u tm u l t i p l e o u t p u t ，n o n l i n e a r , s t r o n g c o u p l e d ，n a t u r a l l y u n s t a b l es y s t e m i tc a ne f f e c t i v e l yr e f l e c tm a n yi m p o r t a n t c h a r a c t e r i s t i c si nt h ec o u r s eo fc o n t r o l ，s u c ha sn o n l i n e a r i t y , r o b u s t n e s s ，s t a b i l i t ya n d t r a c k i n g b e c a u s eo fi t ss i m p l e s t r u c t u r ea n di n t u i t i v ec o n t r o le f f e c t ，i n v e r t e d p e n d u l u mc a nb eu s e da sa ni d e a lt o o ln o to n l yf o rt e a c h i n go fc o n t r o lt h e o r y , b u ta l s o f o rt e s t i n gw h e t h e ran e wc o n t r o lm e t h o di sc a p a b l eo fd e a l i n gw i t hm u l t i v a r i a b l e ， n o n l i n e a r , u n s t a b l es y s t e m i na d d i t i o n ，i n v e r t e dp e n d u l u mi sa l s ot h eb a s i cm o d e lo f m a n yc o n t r o l l e do b j e c t ss u c ha sb i p e dw a l k i n gr o b o t ，r o c k e tv e r t i c a la t t i t u d ea n d s a t e l l i t ef l i g h ta t t i t u d e s oi ti sm e a n i n g f u lt or e s e a r c hi n v e r t e dp e n d u l u m s t h i sp a p e rr e g a r d st h ef u r u t ap e n d u l u ma n dp o l a rp e n d u l u ma st h eo b j e c t so f s t u d ya n da i m sa tt e c h n i c a lr e a l i z a t i o no fi n v e r t e dp e n d u l u ml a b o r a t o r ye x p e r i m e n t w i t ha d v a n c e dc o n t r o ls t r a t e g y b ya p p l y i n gat w o d e g r e e f r e e d o mc o n t r o l ( 2 d o f ) ， t h es w i n g - u pa n db a l a n c ec o n t r o lo f b o t hi n t e r v e t e dp e n d u l u m si sa c h i e v e d ，o fw h i c h t h i sp a p e ra l s or e a l i z e st h em a t l a b s i m u l i n ks i m u l a t i o n sa n dd s p a c er e a l - t i m e c o n t r 0 1 f i r s t l y ，s o m em a t h e m a t i c a lb a s e sa n dc o n t r o lt h e o r i e sf o ri n v e r t e dp e n d u l u m m o d e l i n ga n dc o n t r o l l e rd e s i g na r ei n t r o d u c e d t h o s em a t h e m a t i c a lb a s e sa n dc o n t r o l t h e o r i e si n c l u d er i g i db o d yk i n e m a t i c s ，r i g i db o d yk i n e t i c s ，n e w t o n - e u l e rf o r m u l a ， n o n l i n e a rf e e d f o r w a r dc o n t r o l l e rd e s i g n ，l i n e a rf e e d b a c kc o n t r o l l e rd e s i g na n d n o n l i n e a rs t a t eo b s e r v e rd e s i g n s e c o n d l y , t h em a t h e m a t i c a lm o d e l so f b o t hi n v e r t e dp e n d u l u m sa r eb u i l tw i t ht h e h e l po fm u l t i b o d ys y s t e md y n a m i ce q u a t i o n s t h em a i nw o r ko fm o d e l i n gc o m p r i s e s s e l e c t i n gr i g h tc o o r d i n a t es y s t e m a n dc a l c u l a t i n gm a s sm a t r i x ，c o r i o l i sf o r c e ， c e n t r i f u g a lf o r c e ，g y r o s c o p i cf o r c ea n da p p l i e df o r c e t h i r d l y , t h ei n v e r s i o n - b a s e dn o n l i n e a rf e e d f o r w a r dc o n t r o l l e ri sd e s i g n e do nt h e b a s i so fe s t a b l i s h e dm a t h e m a t i c a lm o d e l so fb o t hi n v e r t e dp e n d u l u m s a n dt h ei d e a l t r a j e t o r i e sa n dn o m i n a li n p u to fs w i n g - u pa n db a l a n c ec o n t r o lo fb o t h i n v e r t e d i i a b s t r a c t p e n d u l u m sa r ec a c u l a t e dw i mm a t l a bb v p 4 cf u n c t i o n t h e nt h en o n l i n e a ro b s e r v e r b a s e do nl i n e a r i z e dw o r k i n gp o i n ti si n t r o d u c e dt oo b s e r v et h es t a t e so ft h ei n v e r t e d p e n d u l u m s t h ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri sd e s i g n e db ya d o p t i n gl i n e a rs t a t ef e e d b a c kf o r t h el i n e a r i e dm o d e l so fb o t hi n v e r t e dp e n d u l u m sa l o n gt h e i rr e f e r e n c et r a j e c t o r i e sa t l a s t f i n a l l y , t h i sp a p e re s t a b l i s h e s t h e e x p e r i m e n tp l a t f o r m o fb o t hi n v e r t e d p e n d u l u m s m a t l a b s i m u l i n ks i m u l a t i o n s a n dd s p a c er e a l - t i m ec o n t r o la r e s u c c e s s f u l l yi m p l e m e n t e df o rt h ee s t a b l i s h e di n v e r t e dp e n d u l u m s t h er e s u l t so f m a t l a b s i m u l i n ks i m u l a t i o n sa n dd s p a c er e a l t i m ee x p e r i m e n t sd e m o n s t r a t et h a t t h ep r o p o s e dn o n l i n e a ro b s e r v e ri ss t a b l ea n di t so b s e r v a t i o ne r r o ri sc o n v e r g e n tf a s t , a sw e l la st h et w o - d e g r e e - - f r e e d o mc o n t r o li se f f e c t i v ea n dc a l lr e a l i z e st h es w i n g - u p c o n t r o l ，s t a b i l i z a t i o nc o n t r o la n dr o t a r yb a l a n c ec o n t r o lo f b o t hi n v e r t e dp e n d u l u m s k e yw o r d s ：i n v e r t e dp e n d u l u m ，t w o d e g r e e f r e e d o mc o n t r o l ，n o n l i n e a rf e e d f o r w a r d ， n o n l i n e a ro b s e r v e r , d s p a c es y s t e m i i i 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：例蕴红 炒l 年岁月扣日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：名八噬摩乙 一翻三生旦 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月 e t年 月日 第1 章引言 1 1 课题来源与意义 第1 章引言 随着现代科学技术的飞速发展，控制理论与技术越来越重要，而倒立摆作 为控制理论研究的典型工具，对它的研究一直推动着控制理论与技术的发展， 可以说一部控制理论与技术的发展史，就是一部倒立摆研究的历史。本课题来 源于德国爱尔兰根一纽伦堡大学控制系的构建具有先进控制策略的倒立摆实验 装置，该课题的目的是为先进控制策略的研究提供验证平台，以及给本科生和 研究生提供一些典型的具有先进控制策略的控制系统实验演示，使学生更加深 入地理解控制理论和技术。 倒立摆系统是一个典型的单输入多输出、非线性、强耦合和不稳定的欠驱 动系统，对这样一个复杂系统的研究，理论上将涉及系统控制中的许多关键问 题，如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题和跟踪问题等。实现倒立摆的先进 控制，将解决控制理论中的许多难题。 在控制理论与技术发展的过程中，某一控制方法的j 下确性以及该方法的实 际应用价值需要通过控制一个典型被控对象来验证，倒立摆系统作为一个典型 的实验装置，当某一个新的控制方法出现时，经常被用来对这个控制方法进行 有效性验证，同时还可与其它控制方法进行有效、便捷、快速的比较。 倒立摆系统结构简单、成本低廉以及其控制效果直观，所以也常常被用来 作为控制理论教学的理想工具，通过倒立摆的各种实验来帮助学生深入理解控 制理论中的典型问题。 对倒立摆的研究还具有重要的工程背景，其控制方法在军工、航天、机器 人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走、海上钻井平台的 稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿念的控制、飞机的安全着陆、化工 过程控制等均涉及n f 至, l 置问题。因此对倒立摆的研究具有重要的理论和实践意 义。 1 2 国内外研究现状及趋势 第1 章引言 倒立摆的种类比较多，常见有直线倒立摆、环形倒立摆和旋转式倒立摆； 另外按照各种倒立摆的摆杆级数，又有一级、二级、三级乃至更多级倒立摆。 目前，国内外对倒立摆研究的种类主要集中在直线倒立摆，直线倒立摆与环形 倒立摆和旋转式倒立摆相比，由于没有离心力的作用，因此对它的控制比较容 易。对倒立摆的控制研究主要有镇定控制，起振控制以及旋转平衡控制。倒立 摆的镇定控制是指控制倒立摆在非稳定平衡位置；倒立摆的起振控制是指控制 倒立摆从稳定平衡位置摆动到非稳定平衡位置；倒立摆的旋转平衡控制是指控 制倒立摆的转动臂作周期运动，同时保持摆杆竖直向上。国内外对倒立摆的控 制研究主要集中在倒立摆的镇定控制和起振控制，尤其对非稳定平衡点的镇定 控制研究的文献比较多，因为倒立摆的镇定控制所控制的作用域比较小，一般 都可以采用线性控制理论的方法来实现。 对倒立摆的镇定控制开始于上世纪5 0 年代，麻省理工学院( m i t ) 的控制 论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备，后来人们参照双 足机器人控制问题研n - - 级倒立摆的镇定控制。随着倒立摆系统控制研究的不 断深入，对倒立摆镇定控制的种类也由简单的直线单级倒立摆发展为直线五级 倒立摆，另外还有环形倒立摆、旋转式倒立摆等多种形式的倒立摆。从研究文 献来看，虽然国内倒立摆研究起步较晚，但是近年来的成果相当丰富，z h a n g 等 发表了三级倒立摆的仿真结果；张乃尧等乜1 实现了单电机三级倒立摆的实物控 制；肖军等1 和李洪兴等“1 先后发表了四级倒立摆的仿真结果；李洪兴等还实现 了四级倒立摆的实物控制，此外，到目前为止最多可以实现五级直线倒立摆的 仿真实验嗡。 倒立摆镇定控制常见的控制方法有以下几种1 ： ( 1 ) p i d 控制 该方法是最早发展起来的一种控制方法，由于其算法简单、鲁棒性好、速 度快以及可靠性高，至今仍广泛应用于倒立摆控制中口1 。利用常规p i d 对倒立摆 进行镇定控制，首先将倒立摆非线性模型在非稳定平衡位置进行线性化，接着 求得该线型化模型的传递函数，再基于该传递函数来设计常规p i d 的三个参数。 该方法在倒立摆偏移线性化点的较大位置时，不能达到满意的控制效果，所以 常结合其它控制算法使用，比如自适应模糊p i d 控制m 1 ，遗传算法p i d 呻1 ，混沌 p i d 控制n0 l ，神经网络p i d 控制n 等，通过结合其它算法来设计p i d 的三个参数， 达到更好的控制效果。 2 第1 章引言 ( 2 ) 状态反馈 状态反馈的极点配置法是倒立摆控制的一种基本策略。极点配置法通过设 计状态反馈控制器，将多变量系统的闭环极点配置在期望的位置上，从而使系 统满足要求的瞬态和稳态性能指标n 削。 ( 3 ) 线性二次型最优控制 将倒立摆非线性模型在非稳定平衡位置进行线型化后，通过二次性能指标 设计最优反馈控制器n 纠5 1 ，指标函数是状态变量和控制变量的二次型。该方法针 对线性化状态方程，通过确定最佳控制量中的增益矩阵，使得控制性能指标达 到极小。 ( 4 ) 模糊理论控制 用模糊控制理论控制倒立摆是智能控制算法中研究最多的一种n6 1 7 1 。通过确 定模糊规则，设计出模糊控制器实现对倒立摆的控制，尤其是当倒立摆偏移非 稳定平衡点的较大位置时，通常的线性化模型与系统的实际模型相比有较大的 偏差，基于经典理论设计的控制器不能很好的控制，而模糊控制不需要系统精 确的数学模型，控制效果会比较好，在设计模糊控制器的时候，难点是确定一 组比较完善的模糊规则。同样利用模糊控制与其它智能控制相结合的控制方法 也比较常见，比如模糊变结构控制n 引，模糊神经网络控制n 引。模糊控制在对多 极倒立摆的镇定控制也比较常见心0 圳。 ( 5 ) 神经网络控制 神经网络能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，能够适应严重不确定性 系统的动态特性，具有很强的鲁棒性和容错性。用神经网络方法来实现倒立摆 的镇定控制，迄今己经取得了不少成果乜2 吧引。文献 2 4 中作者将q 学习算法和b p 神经网络有效结合，实现了状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。但是神 经网络控制方法存在的主要问题是缺乏一种专门适合于控制问题的动态神经网 络，而且多层网络的层数、隐层神经元的数量和激发函数类型的选择缺乏指导 性原则等。 ( 6 ) 云模型控制 用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制。这 种方法不要求给出对象的精确数学模型，而仅依据人的经验、感受和逻辑判断 将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则 器中，就能解决非线性问题和不确定性问题似引。文献 2 5 中对倒立摆的仿真实 3 第1 章引言 验可以看出，云模型对被控对象的状态和参数变化具有一定的鲁棒性。这也是 一种拟人控制的思想。 对于倒立摆起摆问题的研究方法主要有棒棒控制汹1 、部分线性化、能量 控制心8 。3 1 1 、速度梯度口别、反演设计啪1 、非线性模型预测4 1 、基于专家系统的变步 长预测控制口酗等。较早研究起摆问题的文献有：1 9 7 6 年，m o r i 等人啪1 提出包含 两个控制器，一个控制器用来实现起摆，另一个控制器用来使摆杆稳定在非稳 定平衡点附近。这种利用两个控制器进行切换的思想实现倒立摆的起振和镇定 控制也是许多学者经常采用的方法，可能不用的学者设计起振控制器和镇定控 制器的方法不一样。 至于倒立摆的旋转平衡控制，目前尚未见到有关这方面的文献。倒立摆的 旋转平衡控制和许多文献中讲的平衡控制不一样，一般文献讲的平衡控制是指 保持倒立摆的摆杆在非稳定平衡位置，没有对转动臂的运动进行研究，这种平 衡控制和本文讲的镇定控制一样，而旋转平衡控制不仅仅需要保持摆杆平衡， 同时还需要控制转动臂作周期运动，相对于镇定控制来说难度更大。为了表述 方便，本文将倒立摆的镇定控制和旋转平衡控制统称为平衡控制。 1 3 本课题的主要内容 本文以f u r u t a 倒立摆和p o l a r 倒立摆为研究对象，借助于一种二自由度的 控制策略来实现这两种倒立摆的起振和平衡控制，利用m a t l a b s i m u li n k 完成 了这两类倒立摆起振和平衡控制的仿真。随后构建了这两种倒立摆的实验平台， 通过d s p a c e 系统实现了这两类倒立摆的起振和平衡实时控制。本文下面章节的 内容主要包括： ( 1 ) 首先介绍了多体系统的运动学和动力学基础，利用牛顿一欧拉公式推导 出了基于雅克比矩阵的多体系统的动力学方程。随后介绍了二自由度控制策略 中各种控制器的设计所需要的一些理论，主要包括l i e 导数理论、两点边界值 问题、线性状态反馈理论以及模态设计方法。 ( 2 ) 利用推导出的多体系统动力学方程建立f u r u t a 倒立摆和p o l a r 倒立摆 的数学模型，详细给出了数学模型求解过程中涉及到的各种坐标系的建立、转 移矩阵的求解、雅克比矩阵和各种力的计算。最后引入一组状态变量和系数， 推导出了这两类倒立摆的通用状态描述。 4 第1 章引言 ( 3 ) 基于推导出的倒立摆状态方程设计非线性前馈控制器，并利用m a t l a b b v p 4 c 函数求解f u r u t a 倒立摆与p o l a r 倒立摆起振和旋转平衡控制的理想轨迹 和标准控制量。接着基于这两种倒立摆沿着理想轨迹的线性化模型设计线性状 态反馈控制器，并给出了反馈增益曲线。因为线性状态反馈需要倒立摆的所有 状态，所以通过设计非线性状态观测器来观测倒立摆的状态。最后通过 m a t l a b s i 舢l i n k 仿真验证了本文采用的控制策略的有效性。 ( 4 ) 构建了f u r u t a 倒立摆和p o l a r 倒立摆的实验平台，并给出了所构建的 倒立摆系统的各种物理参数。随后介绍了这两种倒立摆实时控制中需要用到的 驱动系统，角度测量和无线传输模块以及d s p a c e 系统。最后利用d s p a c e 系统 实现了这两种倒立摆的起振与旋转平衡实时控制。 本文最后对整个工作做了一个总结，并指出了一些不足以及今后的研究。 由于文章篇幅受限，一些m a p l e 和m a t l a b 程序，实时控制中获取的一些数据和 视频将通过另外的文件给出，仅在本文附录中列出这些程序、数据和视频的文 件名。 5 第2 章基础 第2 章基础 对于基于模型的控制器设计需要被控系统的精确数学模型，为了能得到被控 系统的数学模型有很多种方法，本文主要介绍牛顿一欧拉建模方法。为了更好的 理解牛顿一欧拉建模方法，本章一开始将简要介绍多体系统的运动学和动力学基 础，关于运动学基础、动力学基础和牛顿一欧拉公式可以在文献 3 7 中找到。随 后对二自由度控制策略中涉及到的非线性前馈控制器、线性反馈控制器以及非线 性状态观测器的设计进行分析。 2 1 运动学基础 2 1 1 坐标变换与旋转矩阵 一个在k 坐标系统中的矢量现在要在一个转过了的新的坐标系统中进行 描述，在新做坐标系中用矢量鲰表示，在图2 1 中展示。 y 图2 1 矢量鲰和口岸在k 坐标系和在旋转后的k 坐标系 这两个矢量有下列关系 口= s x k - 口r ( 2 1 ) 为了能在两个不同的坐标系中对两个矢量进行转换，引入旋转矩阵s 脒，它描述 了从坐标系k 到坐标系k 的旋转。因为是对两个矢量进行旋转，矢量的长度并 6 第2 章基础 不发生变化，由此得出这个转移矩阵必是正交阵。 跽= e ( 2 2 ) 珐= ( 2 3 ) d e t = 1 ( 2 4 ) 其中e 是单位矩阵，对于矢量吆转换到a k , 有 g 足= & 石g k ( 2 5 ) 同理可以让一个惯性张量彳从转过的坐标系k 到初始坐标系k 进行转换有 a x = 以 ( 2 6 ) 以及 a x 。= 践以 ( 2 7 ) 现在明白了如何将矢量和张量从一个转过的坐标系转换到初始坐标系后，下面将 介绍围绕初始坐标系一个轴的基本旋转，图2 2 展示的是围绕单个坐标轴的旋转， 其基本旋转矩阵如下： 图2 2 坐标系分别绕单个坐标轴的旋转 驴陉妻 s2 【_ 藏：= j 是= 鞠 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 第2 章基础 最= 降 设旋转矩阵s 中的各列向量分别为岛， 一s i n ? , o 焉厂? l 1 0 则岛分别为旋转后的坐标系各个轴勺到 一个坐标系的完整旋转可以被理解为该坐标系依次做三个连续的基本旋转， 这可以用卡尔丹角和欧拉角进行描述，图2 3 a 和图2 3 b 展示了三次基本的坐标 旋转，图2 3 a 的角口、7 称为卡尔丹角，图2 3 b 中的角沙、1 9 、缈称为欧 拉角。 ( a ) 耐 图2 3 卡尔丹角( a ) 和欧拉角( b ) 0 s = 墨是s = 童：0 ：- c s 兰i n 口t z 。一c s o ；n p 三兰三 兰鼍；- c s 薯i n y ? , ； ls i n c t s i n ? , 一c o s t 2 s i n b c o s ? , s i n a c o s ? , + c o s a s i n s i n ? c o s o ! c o s f lj 8 第2 章基础 s = 岛墨岛= ：孑- c 茏s i n y u 三 三：0 ；：01 ：；- c s 薯i n 缈缈0 100 l o j 【 s i i l9伽 l o 2 1 2 自由质点运动学 一c o s 少s i n ( p - s i n 弘, c o s 汐- c o s q ，s i n i u s i n l 9 i s i n 驴, s i n g + c 0 s y c o s , 9 c o s ( p c o s y s i n , 9l s i n 汐- c o s t a c o s o a i 一个自由质点有三个平动自由度，该质点当前的位置可以通过空间固定的坐 标系中的一个矢量进行描述。这个坐标系不一定要是直角坐标系，可以是圆柱坐 标系或者球坐标系。下面将用广义坐标系来表示该质点在空间的位置，该广义坐 标系为 _ ( f ) x ( f ) = i 恐( f ) l ( 2 1 3 ) l x 3 ( t ) j 则位置矢量为 ir l ( x ( t ) ) i ，( f ) = l 吒( x ( f ) ) i = ，( x ) ( 2 1 4 ) l 吩( x ( f ) ) j 为了能得到速度矢量，将式( 2 1 4 ) 对时f r j 进行求导，则得到 m ) = 掣= 妻d 口x ，= d r ( 砂文叫埘) ( 2 1 5 ) 其中厶( x ) 是雅可比矩阵，通过( 2 1 5 ) 的速度矢量对时间求导，可以得到加速度 矢量 ) = 掣= 磊d ( 帕h h 胁冤+ 厶( 砂童 = j 7 ( x ) 戈+ 瓦( x ，戈) = a ( x ，戈，戈) ( 2 1 6 ) 从而质点的运动则被完全的描述。 9 缈缈 n n 龇 吼口p 啪 哟 缈 沙y 证 咖 瞄胁 一 + n缈缈一 螂 瞄 y y 豳 。l = 第2 章基础 2 1 3 自由刚体运动学 如图2 4 ，刚体上一定点尸的位置可以在基于刚体本身坐标系r ( 又称连体坐 标系) 用固定的位置矢量p 来进行描述，如果刚体连体坐标系r 相对于基坐标系 j 经过了平移和旋转运动，连体坐标系相对于基坐标系的旋转运动可以用旋转矩 阵s ( f ) 来描述，珞( f ) 表示连体坐标系原点相对于基坐标系j 的位置矢量，( f ) 表 示相对于基坐标系，从连体坐标系原点到p 点的矢量，则定点p 相对于基坐标系 的位置矢量为 r a p ，t ) = 珞o ) + o ) = 珞o ) + s ( f ) p ( 2 1 7 ) 图2 4 自由刚体的运动 ( f ) p 如果刚体没有被约束，即它可以自由的在空间中运动和旋转，则该刚体的位姿可 以通过6 个自由度进行描述： x = 【五o ) ，而o ) ，x 3 ( t ) ，x 4 ( t ) ，黾o ) ，讫o ) 】r ( 2 1 8 ) 现在用一般的坐标x 进行表示则 t a x ) = ( x ) + ( x ) = ( x ) + s ( x ) p ( 2 1 9 ) 通过对位置矢量的时f h j 求导，可以得到p 点的速度 y 尸( x ) ：导名( x ) ：丝盟戈+ j ( x ) p c l to x 叫( 砂j + ( 丢m ) ) 盟e 型p = j r ( x ) “啡( 砂“工) ( 2 2 。) 满足 1 0 第2 章基础 嘶，= ( 知，) = i ；等小 限2 1 ) 洲t a x ) 嘲t a x ) 一t a x ) c 2 2 2 ) 绵( 功= i 哆( x ) l = 啡( 功 ( l 鸭( 石) j 由上式则可以确定角速度绵( z ) 。 这样可以求出旋转的雅克比矩阵厶。 对速度v a x ) 进行微分可以得到p 点的加速度为 口p ( x ) = 磊d 咋( 工) = 瓦d ( 以( x ) j + 啡( x ) ( x ) ) = 厶( x ) 戈+ 五( 石) j + 匆( 石) r r p ( x ) + 历_ ( x ) 雪( z ) s7 ( 工) s ( x ) p = ，7 ( x ) 置+ 瓦( x ，j ) + ( 舀+ 面2 ) 巧泸( x ) ( 2 2 4 ) 耳( x ，文) = 五( x ) j ( 2 2 5 ) 舀= 讳( x ) ( 2 2 6 ) = 瓦d 啡( x ) = 丢( 厶( x ) j ) = 厶( x ) 叠+ 她= 厶( x ) 戈+ 磊( 五文) ( 2 2 7 ) 2 2 动力学基础 在讨论了刚体的运动学后，现在可以对力和运动之问的关系进行描述，即动 第2 章基础 力学。对于一个空间平移运动来说可以使用动量定理，而对于一个旋转的运动适 用角动量定理。这一节将首先介绍这两个基本定理，随后是力的分类以及约束反 力的虚功，在这一节的结尾将利用牛顿一欧拉公式推导多体系统的动力学模型。这 对于下一章中推导倒立摆的数学模型是非常重要的。在下面对这两个基本定理的 解释中只考虑一个物体，如图2 5 ，它的重心用c 表示，该物体的连体坐标系的 原点为p ，用k 表示物体上任意一定点，用d 表示基坐标系原点。 2 2 1 动量定理 动量定理表述了在平移运动中施加的力和运动之间的关系，由牛顿第二定律 导出的动量定理为 旦p ：厂 ( 2 2 8 ) = ，lz z 石， d f 即物体的动量p 的微分等于施加在物体上的力，而动量本身的定义为 p 2i x v x d m ( 2 2 9 ) 在图2 5 中，点p 的速度为，同时连体坐标系统以角速度历旋转，r e k 表示从p 点到k 点的矢量。 图2 5 物体的平移和旋转运动 k 点的速度就可以通过式( 2 2 0 ) 算出 v k = v p + 面r e x 代入到式( 2 2 9 ) 得 p = l ( 邯+ 西r e x ) d m 1 2 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 第2 章基础 从连体坐标系原点到物体重心的位置矢量可以由下式计算 r e c = 土【r e x m 锄( 2 3 2 ) 。一i ， d 聊l z j z ， m 代入式( 2 3 1 ) 可以得到 p = ( 咋+ 面k ) ，l = m v c ( 2 3 3 ) 现在动量可以通过一个物体的质量m 和该物体重心速度的乘积计算，如果将这 个结论带入式( 2 2 8 ) 的动量定理则得出 瓦dp = 丢( 聊) = 历+ 肌。也= 厂 ( 2 3 4 ) 考虑物体质量不变化的情况，则上式可以简化为 二p = m = m = f(235pmv)cm a c 3 b i2 。 2 2 ， l j 其中口r 是物体的重心加速度 2 2 2 角动量定理 用动量定律可以描述物体的位移与力之间的关系。对于旋转运动需要用角动 量定律进行描述，角动量定理可以用算式表示为 兰= ，( 2 3 6 ) d f 表示相对于一个固定的参照点，角动量在时间上的变化等于施加的转矩，。在 图2 5 中，相对于一个固定的参考点d ，物体的角动量用矢量可以定义如下： l o = i ( 幺v x ) d m ( 2 3 7 ) 点k 的速度可以用式( 2 3 0 ) 表示，而点k 相对于基坐标原点d 的位置矢量 r x = r o e + ，上式可以化简为 l o = f c r o 尸+ ) ( v p + 缈) 枷 = j i ( c o ) 协+ 饰( y p + c o ) 协+ ( v e ) d m ( 2 3 8 ) 其中4 是相对于p 点的相对角动量，它的计算, - i p a 借助于物体绕定点转动的角动 量公式计算，则有 o = 国( 幺) 一( 幺) 枷 1 3 第2 章基础 = ( 砍e 一咴) d m 国 ( 2 3 9 ) 用式( 2 3 2 ) 对式( 2 3 8 ) 进行简化有 易= 4 + 【伽( y p + 缈) 】m + ( r p c x v d m ( 2 4 0 ) 如果p 点和c 点重合，即p = cj r p c = 0 ，则上式可以简化为 l o = l c + m ( ) ( 2 4 1 ) 如果p 点c 点和0 点重合，即p = c = d jr p c = r o c = 0 ，上式进一步可以简化为 l o = k = t o ( 2 4 2 ) 如果把结果带入式( 2 3 6 ) 的角动量定理，则得到相对于物体重心c 的角动量定 理 l 以l = 丢( t o ) = 丘国+ t 西 ( 2 4 3 ) 用，来表示基于连体坐标系的物体的转动惯量，该坐标系统相对一个固定的坐标 系统发生了旋转，从而转动惯量根据式( 2 6 ) 相对于点c 有 l = s i s 7 ( 2 4 4 ) 上式对时问求导，从而得到 i ：i s t + s i s t + s i t ( 、2 4 5 ) 又j ：0 ，s7 s = e ，则上式可以简化为 t = 雪s7 皑+ 皑s 雪7 l c，( = 面i c i c 面 ( 2 4 6 ) 将式( 2 4 6 ) 带入到式( 2 4 3 ) 得 l = ，c 西+ 历t t o - i c 心= i c a + g a i c t o = ， ( 2 4 7 ) 这样就得到了施加在物体上的转矩与物体转动之问的关系。 2 2 3 力的分类 作用在物体上的力可以分为主动力和约束力，约束力是通过约束作用实现对 1 4 第2 章基础 物体运动进行限制的力。在一个多体系统中存在h 个完整约束，通常由h 引起的 约束力可以表示为 g = 【蜀，g 。】 ( 2 4 8 ) 定义分布矩阵f ( y ，t ) ，其中y 为系统的广义坐标系，则约束力可以表示为 f 7 = f ( y ，f ) g ( 2 4 9 ) 如果定义施加在物体上的主动力为厂。，则作用在一个物体上所有的力，可以通 过下式给出 f = f 。+ 厂7 = f 。+ ，( y ，f ) g 作用在物体上的转矩也可以类似的进行计算，从而得出下式 z = z 8 + ，7 = ，。+ l ( y ，f ) g 2 2 4 约束反力的虚功 ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) 对虚拟运动，人们理解为一种在给定的时间内的，任意的，人们凭空想象出 来的，和连接想兼容的运动。人们对位置矢量和转移矩阵进行全微分，则得到下 式 西( ) = 多卸= 以卸 ( 2 5 2 ) 8 s ( j ，f ) ：o s _ 万y ：以艿y ( 2 5 3 ) d 1 ， 对于一个理想约束的系统，该系统受到的约束反力所做的虚功为零啪1 8 w r = 6 r 7 f 7 = 8 y7 耳f ( y ，f ) g = ov 8 y ，g ( 2 5 4 ) 则有 同理有 z f ( y ，f ) = 0 j r l ( y ，f ) = 0 ( 2 5 6 ) 现在考虑一个多体系统，则可以证明在整个系统中虚功必须消失。借助雅克比矩 1 5 第2 章基础 阵 ，= i ，厶l r 及分 布矩阵 q = 互( y ，f ) ，f p ( y ，f ) ，厶( y ，f ) ，l p ( y ，f ) r ，对于整个系统有下面的正交性关系 j 1q = 0( 2 5 7 ) 2 2 5 牛顿一欧拉公式 牛顿一欧拉公式的出发点是动量定理和角动量定理，由式( 2 3 5 ) 和( 2 4 7 ) 可得 ，吩q = z i i 仅e + 面i i i = l l 其中i = 1 ，p 。 由式( 2 2 4 ) 和式( 2 2 7 ) 得到加速度 a i = 厶y + a i g c i = j m 梦七& l ( 2 5 8 ) ( 2 5 9 ) ( 2 6 0 ) ( 2 6 1 ) 借助于多体系统的力和转矩公式( 2 5 0 ) 和( 2 5 1 ) ，将式( 2 6 0 ) 和式( 2 6 1 ) 分别代入到公式( 2 5 8 ) 和( 2 5 9 ) 中，从而得到 即 y + + 引 、- - 、，j q g ( 2 6 2 ) 露( y ，f ) j ( y ，f ) 夕+ 万。( y ，夕，f ) = 虿。( j ，夕，f ) + 百g ( 2 6 3 ) 在上面的等式两边乘以了( j ，f ) 7 ，考虑等式( 2 5 7 ) 得 歹7 砑j 一j ；+ 了7 虿= 歹r 虿。+ 歹7 耍g ( 2 6 4 ) 丫 1 6 卅引川刊万 r。，。lj舻y 第2 章基础 即 m ( y ，f ) 歹+ k ( y ，夕，f ) = q ( y ，夕，f ) ( 2 6 5 ) 上式为利用牛顿一欧拉公式推导出的多体系统的动力学方程，其中m c y ，t ) 为对称 的质量矩阵，r ( y ，夕，t ) 为一般的科氏力，离心力和回转力，q ( y ，夕，t ) 为施加的作 用力矢量。 2 3 控制器的设计 倒立摆一方面要能从静止状态起振，另一方面要能在非稳定平衡位置保持平 衡。为了能实