2019届湘赣十四校高三联考第二次考试数学(文)试题(解析版).doc

2019届湘赣十四校高三联考第二次考试数学（文）试题一、单选题1若，则角的终边所在的直线方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】由，求出，确定直线的斜率，即可求出结果.【详解】因为，所以，因此角的终边所在的直线斜率为.故选C【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率，熟记直线斜率的概念即可，属于基础题型.2设复数满足，则（ ）A1B2CD【答案】B【解析】先由复数的除法运算求出，再由复数模的计算公式即可得出结果.【详解】由得，.故选B【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的模，熟记运算法则以及模的计算公式即可，属于基础题型.3在等腰三角形中，点，是边上的两个三等分点，则（ ）A0B3C-6D6【答案】D【解析】先取中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，再求出坐标，得到与坐标，进而可求出其数量积.【详解】如图，取中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，因为，则点坐标为，点坐标为，点坐标为，所以，所以.故选D【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，可采用建系的方法求出向量的坐标，进而可求出结果，属于基础题型.4中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了（ ）A6里B12里C24里D96里【答案】A【解析】由题意可知该问题为等比数列的问题，设出等比数列的公比和首项， 依题意可求出首项和公比，进而可求出结果.【详解】由题意可得，每天行走的路程构造等比数列，记作数列，设等比数列的首项为，公比为，依题意有，解得，则，最后一天走了6里，故选A.【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的概念以及通项公式和前n项和公式即可，属于基础题型.5执行如图所示的程序框图，那么输出的为（ ）A-2B3CD【答案】B【解析】根据程序框图，逐步执行即可得出结果.【详解】第一次循环：，此时满足条件，继续循环；第二次循环：，此时满足条件，继续循环；第三次循环：，此时满足条件，继续循环；第四次循环：，此时满足条件，继续循环；第五次循环：，此时满足条件，继续循环；第1999次循环：，此时满足条件，继续循环；第2000次循环：，此时不满足条件，结束循环，所以输出的为3.故选B【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行即可，属于基础题型.6已知直线平面，直线平面，则下列四个结论：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确的结论的个数是（ ）A3B2C1D0【答案】A【解析】根据线面垂直的性质，可判断；根据线面垂直的性质以及线面平行的判定，可判断；根据面面垂直的判定可判断；根据线面垂直的判定可判断.【详解】已知直线平面，直线平面，若，则平面，所以，正确；已知直线平面，若，则平面平面，又直线平面，故，正确；已知直线平面，直线平面，若，则平面，所以，正确；已知直线平面，直线平面，若，则不一定成立，所以也不一定成立，不正确.故选A【点睛】本题主要考查线面垂直、平行的判定和性质，熟记性质定理和判定定理即可，属于常考题型.7已知双曲线的离心率为，与双曲线过一、三象限的渐近线平行且距离为的直线方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】先由双曲线的离心率设出双曲线的方程，得到过一三象限的渐近线方程，再设与双曲线过一、三象限的渐近线平行的直线方程，根据两平行线间的距离，即可求出结果.【详解】因为双曲线的离心率为，所以可设双曲线的方程为，则双曲线过一、三象限的渐近线方程为：，设与双曲线过一、三象限的渐近线平行的直线方程为：，所以，解得.故选C【点睛】本题主要考查双曲线的性质，以及平行线间距离，熟记平行线间距离公式，以及双曲线的性质即可，属于基础题型.8已知数列的通项公式为，数列满足，则数列的前10项和为（ ）ABCD【答案】A【解析】先由求出，用裂项相消法以及分组求和法即可求出结果.【详解】，.故选A【点睛】本题主要考查裂项相消法和分组求和法，求数列的和，熟记两种方法即可，属于常考题型.9已知某水池的容积是，向该空水池注水的水龙头和水龙头的流速分别是/小时与/小时，它们在一昼夜内随机开024小时，则水池不溢出水的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】先设水龙头开小时，水龙头开小时，结合题意得到，满足的关系式，作出图像，记“水池不溢出水”为事件，求出所占区域面积以及整个区域的面积，面积比即为所求概率.【详解】设水龙头开小时，水龙头开小时，显然，若水池不溢出水，则.记“水池不溢出水”为事件，则所占区域面积为，整个区域的面积为，由几何概型的概率公式，得.故选C【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记几何概型的概率计算公式即可，属于常考题型.10已知三棱柱的侧棱与底面垂直，底面是边长为的正三角形，且该三棱柱外接球的表面积为，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为（ ）ABCD【答案】A【解析】先由题意作出图像，可得为正三角形的中心，设为的中心，根据题意可得平面，再连结，则即为与平面所成的角，由题易知中点为外接球的球心，由勾股定理以及球的表面积，即可求出结果.【详解】如图所示，为正三角形的中心，设为的中心，由题意知：平面，连结，则即为与平面所成的角.由题易知中点为外接球的球心，又，.在正三角形中，.，.故选A【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，依题意作出线面角，解三角即可，属于常考题型.11如果图至少覆盖函数的一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】先将化简整理，结合正弦型函数的性质，求出函数靠近圆心的最大值点和最小值点，结合题意可列出不等式组，求解即可得出结果.【详解】化简得，所以，函数靠近圆心的最大值点为，最小值点为，所以只需，解之可得.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的性质，以及点与圆位置关系，熟记三角函数性质，和点与圆位置关系的判定即可，属于常考题型.12已知函数为上的偶函数，且当时函数满足，则的解集是（ ）ABCD【答案】A【解析】先由题意设，对求导，根据，得到，再设，用导数的方法研究函数单调性，从而判断单调性，最后由函数是偶函数，判断出函数对称性，再由，即可求出结果.【详解】设，则，化简可得.设，时，因此为减函数，时，因此为增函数，在上为增函数.函数是偶函数，函数，函数关于对称，又，即，又在上为增函数，由函数关于对称可得，故选A.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性等，属于常考题型.二、填空题13设集合，若，则的值为_【答案】0【解析】根据，结合对数函数定义域，即可求出结果.【详解】由题意得，由得.故答案为【点睛】本题主要考查交集，根据交集求集合中的元素，属于基础题型.14设不等式组，所表示的平面区域为，若圆落在区域中，则圆的半径的最大值为_【答案】2【解析】由不等式组作出平面区域，再根据圆落在区域中，可知圆最大时是该三角形的内切圆，由三角形面积公式即可求出结果.【详解】如图，区域是直角三角形，圆最大时是该三角形的内切圆，由已知得三角形的三边长分别为6，8，10，设内切圆半径为，则，所以.故答案为【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，根据约束条件作出可行域，再结合题意即可求解，属于常考题型.15已知函数有且只有1个零点，则实数的取值范围是_【答案】或【解析】分、以及三种情况讨论，当时，函数必有一个零点，则在上无解，从可求出的范围；当时，可直接得出结果；当时，无零点，判断即可.【详解】当时，函数必有一个零点，又因为，故，解之可得；当时，恰有一个零点；当时，若，则无零点，若，则，此时，恒小于0，所以当时，无零点，故答案为或.【点睛】本题主要考查分段函数的零点问题，根据零点的个数判断参数的范围，熟记二次函数与一次函数的零点分布的求法即可，属于常考题型.16如图，正三棱锥的高，底面边长为4，分别在和上，且，当三棱锥体积最大时，三棱锥的内切球的半径为_【答案】【解析】先设，由三棱锥的体积公式得，求出最大值，得到为中点，经过点，最后由 ，即可求出结果.【详解】设， ，当时，取得最大值，此时为中点，经过点，且，所以可求，因此易求，又 ，.【点睛】本题主要考查棱锥内切球的相关计算，熟记棱锥的体积公式以及棱锥的结构特征即可，属于常考题型.三、解答题17已知函数的最大值为2，且的最小正周期为.（1）求的值和函数的单调递增区间；（2）设角，为三角形的三个内角，对应边分别为，若，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】（1）先由辅助角公式得，再由的最大值为2，求出；由的最小正周期为，求出，根据正弦函数的单调递增区间，即可得出结果；（2）根据（1）和，求出，结合正弦定理可将化为，再由三角函数的性质即可求出结果.【详解】（1），因为的最大值为2，所以，又因为，所以，又因为的最小正周期为，所以，所以，令，可得，所以的单调递增区间为.（2）因为，所以，由正弦定理可得，. .因为，所以，所以，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及正弦定理，熟记性质和正弦定理即可，属于常考题型.18某教育部门为了了解某地区高中学生校外补课的情况，随机抽取了该地区100名学生进行调查，其中女生50人，将周补课时间不低于4小时的学生称为“补课迷”.已知“补课迷”中有10名女生，右边是根据调查样本结果绘制的学生校外周补课时间的频率分布直方图（时间单位为：小时）.（1）根据调查样本的结果估计该地区高中学生每周课外补课的平均时间（说明：同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；（2）根据已知条件完成下面的列联表，根据调查资料你是否有的把握认为“补课迷”与性别有关？非补课迷补课迷合计男女合计（3）将周补课时间不低于8小时者称为“超级补课迷”，已知调查样本中，有2名“超级补课迷”是女生，若从“超级补课迷”中任意选取3人，求至多有1名女学生的概率.附：.0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828【答案】（1）3.66小时（2）见解析；（3）【解析】（1）根据频率分布直方图，每组的中间值乘以该组频率，再求和即可求出平均值；（2）先由题中熟记完善列联表，根据，求出，再结合临界值表，即可得出结果；（3）先由频率分布直方图确定“超级补课迷”人数，对男生女生分别标记，再用列举法分别列举出“超级补课迷中任意选取3人”以及“至多有1名女学生”所包含的基本事件个数，基本事件的个数比即是所求概率.【详解】（1）设该地区高中学生每周课外补课的平均时间为，则 （小时）.（2）非补课迷补课迷合计男203050女401050合计6040100，根据调查的样本有的把握认为“补课迷”与性别有关.（3）由频率分布直方图可知“超级补课迷”有人，其中女生2人，记作；男生3人，记作，因此由一切可能结果组成的基本事件为：，共10个基本事件，其中表示男生，表示女生，用表示事件：从“超级补课迷”中任意选取3人，至多有1名女学生，显然事件由：，这7个基本事件构成，.【点睛】本题主要考查频率分布直方图、独立性检验以及古典概型的问题，熟记由频率分布直方图求均值的方法、独立性检验的思想以及古典概型的概率计算公式即可，属于基础题型.19如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，二面角的大小为，、分别是、的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）先由面面平行的判定定理证明平面平面，进而可得平面；（2）根据题意先求出，根据，结合棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】（1）证明：、分别是、的中点，又平面，平面，平面.同理可得平面，又，平面，平面，平面平面.又平面，平面.（2）连接线段，平面，且平面是矩形，平面.为二面角的一个平面角，又，.由题易知且，又平面，平面平面，平面，平面，又，.由（1）知平面，.【点睛】本题主要考查线面平行以及三棱锥的体积，熟记判定定理和棱柱的体积公式即可，属于常考题型.20已知在平面直角坐标系中，坐标原点为，点，、两点分别在轴和轴上运动，并且满足，动点的轨迹为曲线.（1）求动点的轨迹方程；（2）作曲线的任意一条切线（不含轴），直线与切线相交于点，直线与切线、轴分别相交于点与点，试探究的值是否为定值，若为定值请求出该定值；若不为定值请说明理由.【答案】（1）（2）2【解析】（1）先设，求出，的坐标，根据，得到，再根据，即可求出结果；（2）先由题意设切线的方程为，与抛物线方程联立，根据判别式为0，得到，再根据题设及直线方程易得，进而可得出的结果.【详解】（1）设，则，又，点的轨迹方程为.（2）的值为定值2.求解如下：由题可知切线的斜率存在，设切线的方程为，代入可得，由可得.由题设及直线方程易得， .又，为定值.【点睛】本题主要考查抛物的方程，以及抛物线中的定值问题，熟记抛物线的性质即可，属于常考题型.21已知函数，.（1）若直线与曲线恒相切于同一定点，求直线的方程；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）先由直线与曲线恒相切于同一定点，得曲线必恒过定点，根据曲线方程求出定点坐标，再对函数求导，求出切线斜率，进而可得出切线方程；（2）由题意先得到在上恒成立，再令，对函数求导，分类讨论，导数的方法研究函数的单调性，进而可求出参数范围.【详解】（1）因为直线与曲线恒相切于同一定点，所以曲线必恒过定点，由，令，得，故得曲线恒过的定点为.因为，所以切线的斜率，故切线的方程为.（2）因为当时，恒成立，所以恒成立，即在上恒成立.令，则，令，则.当时，显然，所以在上单调递增，故，因为当时，所以在上单调递增，故.从而，当时，恒成立.当时，令，则，所以在上单调递增，故，同可证，当时，恒成立.当，即时，由可知在上单调递增，因为，又 ，故必存在，使在上，即，因此在上单调递减，所以时，即，所以在上单调递减，因此时，即，即，因此此时不恒成立，综