（固体力学专业论文）粘弹性杆系结构瞬态响应研究波动方法分析.pdf

粘弹性杆系结构瞬态响应研究 一一 波动方法分析 摘要 旧传波射矩阵法( m e t h o d o f r e v e r b e r a t i o nm a t r i x ) 是由y h p a o ， h o 击d 以及他们的合作者于1 9 9 7 年提出的，其是基于波动分析理论 来求解杆系结构瞬态响应的解析方法。它首先利用傅立叶变换将杆 件运动微分方程变换到频率域中，以各个杆件端点处的离开波和到 达波振幅为基本未知量，待求量可由基本未知量表示出来，通过节 点处力平衡方程及位移协调条件形成局部散射矩阵，并组装成总体 散射矩阵，从而得到基本未知量，进而利用传播矩阵就可计算出结 构中构件任意点处的波形。然后将到达该点处不同频率波形进行叠 加，即可求出构件该点处的位移应变等瞬态响应解，最后利用快速 傅立叶变换得到待求量在时间域内的响应。厂 本文中，作者对回传波射矩阵法进行了更进一步的研究，原理 论只能计算线弹性杆系结构瞬态响应问题，本文作者利用线粘弹性 本构关系代替弹性本构关系，对原理论进行扩展，从而使之可计算 线粘弹性杆系结构瞬态响应问题。通过与c h r i s t e n s e n 单根悬臂梁轴 向应力响应解进行比较，发现两组响应曲线吻合得非常好；同时， 作者还将结构中理想刚性支撑边界条件用弹簧阻尼模型来模拟，使 之更接近工程实际。以上工作将对工程设计产生重要参考价值。 关键词：波动方法，回传波射矩阵法，瞬态响应，散射矩阵 as t u d yo nt h e t r a n s i e n tr e s p o n s eo f s c o e l a s t i cp l a n a rt r u s s e sa n d f r a m e s t h ea n a l y s i sw i t h ，a v e p r o p a g a t i o nm e t h o d a b s t r a c t t h em e t h o do fr e v e r b e r a t i o nm a t r i x ( m r m ) w a sd e v e l o p e db yy h p a n ，h o w a r d a n dt h e i rc o l l a b o r a t o r si n1 9 9 7 b a s e do nw a v ep r o p a g a t i o nt h e o r y , t h et r a n s i e n t r e s p o n s eo f t r u s ss t r u c t u r e si so b t a i n e d f i r s tf o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n i su s e dt ot r a n s f e r t h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o fm o t i o ni n t o f r e q u e n c yd o m a i n t h e v a r i a b l e st ob e r e s o l v e dc a nb ee x p r e s s e db yw a v ea m p l i t u d e s ，w h i c ha r et a k e na sb a s i cu n k n o w n s s c a t t e r i n g m a t r i x i sd e r i v e df r o mf o r c e e q u i l i b r i u me q u a t i o n a n d c o m p a t i b l e c o n d i t i o no f d i s p l a c e m e n t sa te a c hn o d e ，t h e nw e a s s e m b l ei ti n t og l o b a ls c a t t e r i n g - m a t r i xt og e tt h eb a s i cu n k n o w n s ，f i n a l l yt h ed i s p l a c e m e ma n ds l l a i nr e s p o n s ei n f r e q u e n c yd o m a i na r eo b t a i n e da tt h es p e c i f i e dp o i n to f t h es t r u c t u r eb ys u p o r p o s i n g t h ew a v e f o r mo fd i f f e r e n tf r e q u e n c ya r r i v i n ga tt h e p o i n t e v e n t u a l l y , t h eq u a n t u m st o b es o l v e di nt i m ed o m a i nw i l lb ep r o d u c e db yf a s tf o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n i nt h i s p a p e r , a u t h o r f u r t h e r d e v e l o p e d t h ef o r m u l a t i o no ft h em e t h o do f r e v e r b e r a t i o nm a t r i x l i n e a rv i s c o e l a s t i cc o n s t i t u t i v ee q u a t i o nw a su s e dt or e p l a c et h e e l a s t i cp h y s i c a le q u a t i o ni nt h eo r i g i n a lt h e o r y , w h i c hm a d et h er e s o l v i n go ft h e t r a n s i e n tr e s p o n s eo fas t r u c t u r ec o n s i s t i n go fl i n e a rv i s c o e l a s t i cm e m b e r sf e a s i b l e i n o r d e rt oc a l i b r a t et h ea c c u r a c yo ft h en e w l ye x t e n d e dt h e o r y , a u t h o rh a st a k e no n e c a t i l e v e r e db e a mu n d e rt h ea c t i o no fa x i a ls t e pf o r c ea ti t sf r e ee n da sa l le x a m p l e ，b y v i r t u eo ft h ec o m p a r i s o no ft h ea x i a ls t r e s sr e s p o n s ew i t ht h er e s u l to b t a i n e db yt h e t h e o r e t i c a lf o r m u l a r d e v e l o p e db y c h r i s t e n s e na n dt h eg o o df i to ft h et w oc u r v e sw a s o b s e r v e d m o r e o v e r , a u t h o rs i m p l i f i e dt h ei d e a lr i g i ds u p p o r tb o u n d a r yc o n d i t i o ni n t o s p r i n g d a m p e rm o d e l ，w h i c hm a d et h ec o n d i t o nm o r ea p p r o a c h a b l et ot h er e a l i s t i c s i t u a t i o n t h ea b o v er e s u l tw i l lp r o d u c ev a l u a b l ec o n t r i b u t i o nt ot h ed e s i g no ft r u s s e s a n df r a m e ss t r u c t u r e su n d e rt h ea c t i o no f i m p a c tl o a d i n g k e y w o r d s ：r e v e r b e r a t i o n m a t r i x ，t r a n s i e n tr e s p o n s e ，s c a t t e r i n g - m a t r i x e 海交通火学硕士学位论文 第一章 第一章绪论 结构动力学的发展有很长的历史，它涉足于土木工程、机械工程、工程力 学、宇航工程等众多领域。当一个结构受到随时间变化的动载荷与仅受到不随 时间变化的静载荷时所表现出来的力学现象大相径庭，静载荷下正常工作的结 构，受到同样幅值动载荷作用时完全可能使之破坏失效，酿成严重后果。基于 此人们很久以前就开始对结构动力响应问题的研究。随着时间的推移， 工程实 际对结构进行动力分析的要求越来越迫切，人们对结构动态特性也给予了更多 的重视，这可以体现在以下几个方面： 工程结构的规模日益扩大，无论是结构和外形都变得更为高大和复杂，不 得不考虑风载荷等动力因素对结构强度和稳定性的影响。由于风致振动而 破坏的美国悬索桥就是很好的例证。 动力载荷( 如地震、爆炸等) 对结构物作用所产生的后果极为严重，对其 危害作用评估并采取有效的对策，有赖于结构动力学。 离岸工程、海洋采油平台的应用，不同介质结构物间耦合作用下的动力响 应问题对结构动力学提出了更高的要求。 与此同时，桁架、刚架结构广泛应用于太空站及太空大型结构。由于太空中空 气稀薄，太空船对接、陨石撞击等都将引起太空结构激烈震荡，因此求解此类 结构之初期动态响应，以控制结构的激烈震荡，是必须解决的尖锐问题。从下 一页图解所示整个动力学求解过程可以看出，数学模型( 微分方程) 的建立以 及求解微分方程从而得到结构的动力响应是其中的核心步骤。往往实际结构的 数学微分方程很复杂，几乎不可能求出其解析解的表达式。计算机技术的发展、 数值方法的引入使得对动力响应的求解产生了新的生机，特别是巨型机以及并行 算法的出现和发展，使得对大型结构分析的时间大大缩短，工程投资降低。数 值方法中傅立叶变换的引入使得运动微分方程可以在频率域内进行求解，从而 避开了在时间域内求解运动偏分方程的困难。离散傅里叶变换( d f t ) 特别是 由c o o l e y 和t u r k e y 于1 9 6 5 年间发展的快速傅里叶算法的出现使得傅里叶反变 换快速可行，特别是对于处理一些复杂冲击载荷作用下结构物动力响应问题极 为有效，从而大大地节省了计算机运算时间 1 ，2 】。 上海交通大学硕士学位论文 第一章 动力学求解过程图解 1 1 桁架结构动力分析的发展历程 对于桁架结构的动力分析有两种方法：一是将整个结构看成是多个构件相 互连接的分布参数系统，或梁和柱的连续体系统；二是将结构中的每一个构件 离散成很多小的有限单元，将其视为离散系统 3 】。从对结构的具体分析方法上 来看，结构动态响应分析又大致可分为振动分析和波动分析两种。复杂结构的 振动分析一般采用传递矩阵法( t r a n s f e rm a t r i xm e t h o d ) 【4 ，5 】、直接刚度法( d i r e c t s t i f f n e s sm e t h o d ) 【2 , 6 ，7 、柔度法( c o m p a l i a n c e m e t h o d ) 2 ，6 】和有限元素法( f i n i t e e l e m e n tm e t h o d ) 【8 , 9 ，l o l 。前三种方法是将结构元件两端作用的运动( 位移和 速度) 关系，依照基本振动理论，求得局部传递矩阵，再依间接条件整合成整 体动态矩阵，而求得结构之动态响应。有限元素法是将结构划分成许多基本的 单元，以振动学原理求得表征各元素之作用力与运动关系的刚度矩阵和质量矩 阵，再将其组装成总体刚度、质量矩阵，以得到结构的动力方程式，用以求得 结构物的动态反应。两者皆可求得结构的自然频率和振动模态，然而前者矩阵 中含有超越函数，后者因元素多导致矩阵庞大，其较适用于求解低频和长期之 动态响应。 2 上海交通大学硕士学位论文 第一章 波动分析又可分为模态组合法( m o d es y n t h e s i s ) 和传播射线法( w a v er a y a n a l y s i s ) 【6 】，前者是依据傅里叶积分定理将上述各组自然频率所对应的振动模态 进行叠加，但当自然频率分析不完整时，其结果误差较大。波传射线法是根据 应力波的传播、折射和反射方向追踪计算波形的变化，将到达观测点的所有波 形叠加，求出结构的动态响应。对于结构元件波传理论的研究有大量的文献 f 1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 。而对于刚架结构的波传理论，则由研究弹性波通过刚架杆件 连接节点后的反应开始，l e e 与k o l s k y 1 6 于1 9 7 2 年，探讨两非同心弹性杆件 一端有振动源时，通过连接处所产生的反射和散射情形。而d e s m o n d 1 7 在1 9 8 1 年时，研究了两同心杆件与一斜杆连接，当有一纵波入射时，在节点处所产生 的散射结果，在数值计算上是将原本的微分方程式转换成为差分方程式进行求 解。y o n g 和a t k i n s 1 8 ，1 9 在1 9 8 2 和1 9 8 3 年间将时间域内的运动方程式利用傅 里叶变换转换到频率域求解一入射波通过三型和丁型节点时，连接点处各杆件 弹性波振幅的变化。在1 9 8 4 年，s i m h a 与f o u m e y 2 0 利用了l a p l a c e 变换，来 研究弹性波通过杆件连接点时，各杆件散射后的反应。d o y l e 、k a m l e 2 1 贝j 在1 9 8 5 年，利用快速傅利叶变换研究了横波入射，通过两非等面积杆件的界面时各杆 件的反应。对于复杂结构物内的波传分析，b o l e y 2 2 在1 9 5 7 年讨论了桁架中有 非频散性轴向波的情形，故可在时间域内，计算波通过节点后振幅的变化以及 波源到接收点的时间延迟，利用波传射线法来求得任一点的动态响应。此法虽 然比较精确，但对于较长时间后的响应，由于追踪经过多次散射与折射波的困 难，精度变得很低，计算机的出现使得其变得可行。g o p a l a k r i s h n a n 、d o y l e 2 3 1 则在1 9 9 2 年，利用动态刚度矩阵的方法，求解出有限杆件的动态响应。在1 9 8 9 年，n a g e m 和w i l l i a m s 4 开始了对大型复杂刚架的研究，利用了传递矩阵的概 念，加之节点处的相容及平衡条件，导出了b 0 ) e r 0 赢= 夕，其中曰) 为节 点交互作用矩阵，p 为置换矩阵，丁) 为传输矩阵，乏为状态行矩阵，尹为力 源行矩阵，有此可求得结构共振频率为：i b 白) e r b 】= 0 的根。 p a o 、h o w a r d 以及他们的合作者们于1 9 9 7 年提出了基于波动分析理论的回 传矩阵法。它的基本思想是，首先将梁的动力学方程变换到频率域中，然后以 每个节点处的入射波振幅和出射波振幅( 轴向波、挠曲波) 组成基本的未知波 上海交通大学硕士学位论文 第一章 射矢量，将结构的待求量( 位移、速度、应力、应变) 利用波射矢量表示出来， 再由节点处的平衡及相容方程确定入射波在该节点处的散射矩阵s 。，得到 d 。= s 。函。 + ? ) ，通过组装成总体刚度矩阵d = s a + s 。后求出节点处的出射波 矢量d ：f ，一r 】_ l s 。，其中回传矩阵r = s p u ，其意义为，弹性波由一节点传到 另一节点的散射系数矩阵。弹性情况下，口一r 】。在实轴上存在大量的极点，故 只能利用级数展开的办法来求解即：【，一r 】_ 1 = ，+ r + r 2 + + r “+ ， 进而求出基本的未知量，再利用待求量与未知量在频率域内的关系，求出其在 频率域内的解，最后应用快速傅里叶变换得到时间域内的响应。p a o 、h o w a r d 和k e h ( 1 9 9 8 ) 曾对一个由1 7 根杆组成的框架结构进行理论及试验的研究，其 应力波响应曲线的理论计算值与试验值相当的吻合 2 4 ，2 5 ，2 6 。 上述对结构动力的研究所面向的材料是线弹性材料，但是随着我国工农业 生产、国防建设和科学技术的发展，新材料( 高分子、复合材料、高温下的金 属材料) 、新结构在海洋、宇航、能源、生物工程中得以广泛应用。这类材料受 力后的变形过程是一个随时间变化的过程，卸载后的恢复过程又是一个延迟的 过程，因此，应力不仅与当时的应变有关，而且与应变的全部变化历史有关。 本论文中，对由粘弹性材料构件所组成的框架结构的动态响应问题进行了研究、 求解 2 7 。 1 2 本文的主要研究工作及其意义 本文以p a o 、h o w a r d 等人提出的回传矩阵理论为基础，对其进行更深一步 的研究、探索，以使之更完整，并将此理论应用于粘弹性材料中。 分别用m i n d l i n 理论、c l o u g h 公式对单根梁在阶跃载荷作用下的动力响 应问题进行计算分析，用以验证y h p a o 回传矩阵法计算弹性构件框架 结构在阶跃载荷作用下动态响应解的正确性；同时利用c h r i s t e n s e n 理论 公式，计算了单根线粘弹性梁在其自由端施加轴向阶跃外力情况下的轴 向应力响应解，并与利用本文作者扩展后的回传矩阵理论计算出的数值 解进行比较，得到了非常满意的结果。 上海交通大学硕士学位论文 第章 将回传矩阵理论扩展到可以计算用弹簧阻尼模型模拟理想化的支座边界 条件后结构的动力响应问题，使之更接近于现实情况a 将回传矩阵理论扩展到可以完成对线粘弹性材料框架结构动态响应的求 解，利用线粘弹性本构关系理论推导动力学方程，编制及修改源程序。由 于粘弹性阻尼的引入，本文利用直接求逆来替代源程序中的级数展开的办 法来求解在得到频率域中节点到达波和离开波振幅时所遇到的l 一r 】， 从而节省了大量的计算时间。 计算了一个由6 节点9 根粘弹性梁所组成的刚架结构，在外部阶跃力载荷 作用下的位移、应变响应( 利用直接求逆法) ，并且与利用级数展开法所 得结果进行比较，同时在小阻尼的情况下，与用y h p a o 源程序算出弹性 梁结果进行定性的比较，都得到比较满意的结果。 通过以上的工作发现，对于用回传矩阵法求解弹性材料构件组成的框架结构动 力响应问题，我们完全可以近似认为组成框架的构件材料是阻尼很小的线粘弹 性材料，并用线粘弹性材料本构关系代替弹性本构关系对回传矩阵理论进行修 改，从而程序中可以直接求解i ，一r | _ l ，节省力大量的计算时间。在静力分析时 我们忽略了弯曲变形，只考虑轴向情况，但在动力载荷作用下，以y h p a o 实 验模型( 见附录中几何图形4 1 ) 中1 3 杆件为例，各杆件中点处的弯曲应变达 到了与轴向应变相同的量级，甚至有些杆件的弯曲应变超出了轴向应变成为影 响杆件承载能力的主导因素( 见附录图形4 7 ) 。 1 3 文章的组织结构 本文首先在第二章中阐述了用回传矩阵法计算弹性波、粘弹性波在杆件中 传播时所激起结构动态响应的理论及公式推导。第三章为用回传矩阵法进行计 算机数值计算的f o r t r a n 程序说明，给出了程序流程图，以及为了节省计算机资 源提高运算速度而采取的措施，并推导了几个用以验证回传矩阵法计算弹性、 粘弹性结构动态响应正确性的公式。第四章为实例计算及分析部分，通过几个 简单结构的计算验证了用回传矩阵法计算弹性、粘弹性结构响应的可行性及精 上海交通大学硕士学位论文第一章 确性。同时本文作者分别利用诺曼级数展开法和直接求逆法来计算节点离开波 振幅矢量，用回传矩阵法粘弹性理论程序计算一个由6 根杆件9 个节点所构成的 粘弹性框架结构的位移、应变响应，并进行了比较。第五章为本文的结论部分。 - 6 9 8 6 有老婆的人看看呀f 发信人：a f t e r y o u ( 不言和尚一不敢妄称哲学家) ，信区：j o k e 标题：w h a tap o o rm b n ! 发信站：饮水思源站( m o nj u 】2 1 5 ：5 8 ：3 22 0 0 1 ) ，转信 关于起床 先生：起床，起床了，你不说今天要早起开会嘛。 莞尔：别说话，我再睡一会。 先生：快起吧，要不该迟到了。 莞尔：你别碰我! 我要睡觉! ! 莞尔：呀! 都该迟到了! 你怎么叫我的! 关于洗碗 先生：一会你洗碗? 尧尔：好。 先生：那怎么还不动啊? 莞尔：我头疼。 先生：懒死了，不让你洗碗你也不头疼。 莞尔：真的! 一想到要洗碗我就头疼。 关于真话 莞尔：你看，那女孩多好看。 先生：好看什么呀。 莞尔：你什么意思! 你为什么不和我保持一致 先生：好看好看。 先生：哎，你别走啊，怎么不理我了? 差于吃鸯覃，一一， 相关信息 回应信息 作者：p 来自： 主页： 时间：前天晚上1 0 ：3 7 ：3 1 上海交通大学硕士学位论文 第二章 第二章回传波射矩阵法的理论阐述 2 1 研究对象说明 本文所研究的对象是桁架( t r u s s e s ) 和框架( f r a m e ) 结构。我们通常所说的 桁架或框架是指由一定数量的构件( 梁或杆件) 通过( 剐接、铰接) 节点连接 在一起所形成的结构。本文中以1 1 3 - ( m e m b e r ) 表示结构中构件的总数，n ( n o d e ) 表示节点的总数。对于任意节点我们用1 到1 3 中的某一数字代表它，而每一个 构件用其两端点的节点号来表示。在结构分析中，我们用大写的英文字母 j 、j 、k 、q 来表示节点，而杆件用其端点的两个字母表示，前一个表示其 起点，后一个为终点，如i j ，j k ，等。对于与节点或构件有关的变量以上标的形式 表示，例如，。表示作用在节点j 上的一个外力矢量，而“代表杆件j k 的 轴向位移。另外我们用m 。表示所有与节点，连接的构件数，由于每一个构件只 有两个节点，故有：m 。= 2 m 。 j = l 同时为了分析求解问题的方便，本文应用了两套坐标系( 见附录几何图形 4 一1 ) 。除了整体( g l o b a l ) 笛卡尔坐标系外，又在结构的每一根杆件上建立两个 局部坐标系，每一个以其中的一个端点为坐标原点，沿着构件的方向并指向另 一端点为x 轴，y 轴由右手定则决定。显然由于起点的不同，g ，y ) “和g ，y 尸 两套坐标系的方向是相反的。这样对于在此局部坐标系中沿z 方向上的任意矢 量形存在如下关系： w “g “) = 一w “( f “一x “) 。 2 2 梁的动力学方程 本文中为了得到精确的响应结果，将在高频波通过梁时起着至关重要作用 的剪切和旋转惯性考虑在内。所以采用了铁木辛柯梁作为计算的模型。其基本 假设为：变形前垂直于梁中轴的界面变形后仍然保持平面，但可能不再与中轴 线垂直。 上海交通大学硕士学位论文 第二章 残弹性材料渠的动力学方程 我们假设材料为线弹性，杨氏模量为e ，剪切模量g ，密度p ，梁的横截 面积为a ，弯曲惯性矩，剪切系数表示为j f ，梁截面为矩形时取0 8 3 3 ，圆形 时取0 8 5 7 。 现截取梁的出微段进行研究，微段受力变形情况如图： 羚 f f f f f l 酝善 m g ，f ) ( 7 斗 d x n ( x 。“f 一 图2 1 轴向浞 依据达朗伯原理，按图2 - 1 所示，微段轴向力平衡方程为： 悱掣出一州= p a a x 掣o t 戗 上式简化为： 掣蝉d x = p a d x 丝蚴 a ) c 8 t z 利用如下月。何、物坪关系! ( 2 1 ) ( 2 2 ) 8 上海交通大学硕士学位论文 第二章 得到 s 。：娑，盯：e 6 n ：e r a e 6 , n c r a 巳2 瓦2 2 一a 2 ” a 2 甜 e 萨2 p 矿 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 微分方程( 2 4 ) 在时间域内的d a l e r m b e r t 形式解为 u ( x ，f ) = i ( x c ，f ) + 厂g + c 。f ) 其中c 2 j 吾，为轴向波传播的速度，从上式的形式可看出，梁的轴向运动可 以看成是两列向相反方向传播的波的叠加。 而本文理论是从频率域对运动量进行求解，将微分方程( 2 4 ) 进行傅里叶变换得 到： 掣掣+ 譬碱g ，国) ：0 ( 2 5 ) o x 。止 微分方程( 2 5 ) 解的形式可写成 d g ，印) = a l0 k “1 + d l0 k 一“”( 2 6 ) 其中k 。= 一t o ，式( 2 6 ) 同样表示两列相反方向传播的波，a 1 0 l 吐0 ) 分别代表不 u i 同频率下到达波和离开波的振幅。 挠曲波 根据图2 1 所示微元体的横向受力情况，考虑j ，z 方向上的力、力矩平衡 q ( x 力+ 掣出一q ( x ，f ) = 出掣0 霄d r 。 m ( x ，f ) + 掣掣出一m ( x ，f ) + o a x ：咖 o 舅 q = 刎g 芸，m = 彤警，= 窘，口= 篆，t ，= j j 匆2 一= p 腑 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 圭塑銮望盔兰堡主堂垡堡塞 一! ! 三至 上述关系代入式( 2 7 ) 与( 2 8 ) 中得到： 硒掣o x = p 掣 。 。 研 研翌堕o x 掣+ 捌g 鱼趔o x = 生o 竖x o 掣t j 。 z 其中，v 横向总挠度，v 。为弯曲引起的挠度，v 。为剪切而引起的挠度。 对( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 梁方程式进行傅里叶变换： ( 2 9 ) f 2 1 0 ) 硒掣+ p r _ 0 2 v ( x ，w ) ：o 日章掣+ p l c o ：掣：。亿1 1 日垡掣+ 剃g 掣+z 掣掣：o 。 o 。戚 o x 求解偏微分方程组( 2 1 1 ) 得 其中： r 2 1 2 ) ，一、雁习雨f 霉丽肛。 屁，) = r 2 臼毛一( 0 2 ) 膨； ( 2 1 3 ) 善刁e 铲居，r = 压 从( 2 1 2 ) 可看出，挠曲波分别有两列波向前后方向传播，区别于轴向波。分析( 2 1 3 ) 中的第一个等式可知，k ，一直为实数，对应着以之为波数向前和向后传播的两 列非衰减波。而对于k 3 ，当删时为实数，否则为虚数。k 3 为实数时 同样对应着以之为波数向前和向后传播的两列非衰减波，k ，为虚数时，对应着 以之实部为波数向前和向后传播的两列衰减波，其将随着x 按指数规律急剧递 减，可认为它只存在于节点附近很小的范围，对于构件绝大部分区域的响应无 任何影响，只是为了满足边界条件而存在。 在此引进两个概念，波的频散 生( d i s p e r s i v e ) 、非频散性( n o n d i s p e r s i v e ) 。令 c g = 别珊，c = 别七，如果两者相等，则此波具有非频散性，如果不等，则此 】0 、尸p 岍 删 l 户+ 0 姆 坞啡 即 炳k ，z 0 + 吩吣 q ”p 以白筋 以+ + 吣 即谤k ，p 吃屁 1 i 1 i g 0 k 上海交通大学硕士学位论文 第二章 波具有频散性。很明显，轴向波具有非频散性，而弯曲波具有频散性。另外由( 2 1 3 ) 第二式可知，当一0 时z ：0 ) 、舭0 ) 专0 ，也即，低频时可忽略剪切的影响， 变形主要是轴向和弯曲变形。 以上求出了以到达波和离开波振幅为未知量的轴向位移和弯曲位移在频率 域内的表达式，再次利用几何及物理关系可求出截面上的内力及转角： 由： 得到 ：尉塑 毒加田粉鲁 口1 4 ) f 费g ，珊) = e a i k 。k 。( k 啦。一d 。0 x 一嵋。j 艇c o ) 嚣：兹答卷k 3 2 雹绺：麓蹴虬z m ，l 衍g ，= 一日i 后：2 k ：0 k 电。+ d ：0 k “：。) +b ，k 岭+ 以x “一) j 。 7 瞄g ，) = f k ：b ：( k 如。一d ：白k 一啦5 ) + 屯b ，( k 如。一也( k 一如。) j 线粘弹性材料构件动力学方程 近年来，粘弹性材料越来越多地应用于工业、农业、军事等领域。材料 的粘弹性分为线性和非线性两大类。若材料的性能表现为线弹性和理想粘性 特性的组合，则称为线性粘弹性。如果以胡克体( 线弹性) 和牛顿流体( 力 向粘性) 为两端来构成材料谱系，则介于这两者之间的均属线粘弹性材料。 多数的金属材料在常温和小应变时表现为弹性，但在振动问题中和高温条件 下的构件，往往需要考虑其粘弹性行为【2 7 】。 材料的粘弹性行为依赖于时间，并决定于应变率。应力的大小不仅与当 时的应变有关，而且与应变的整个历程相关。时间效应表明，材料的应变或 应力响应决定于受载与变形的过程( 历史) ，所以说材料是有记忆的。弹性固 体是一个特例，它只记忆未发生形变的初始构形。 上海交通大学硕士学位论文 第二章 本文研究结构所采用的材料为线粘弹性材料。为了求得其本构关系，有 多种模型供参考，本文应用了三参固体单元模型，见图2 - 2 。 e 1 图2 2 图2 - 2 所示模型的应力仃和应变s 可用各元件的参量表示为 f f = 晶+ 岛 盯：e l q + 即舌 p = e 2 6 2 对上式进行求解得到 或写作 e l e 2 占+ e 2 ，7 l 舌= 仁l + e 2 p + ，1 6 o + p l o = q o s + q l s ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 热胪尚确= 格确= 恕 式( 2 1 9 ) 即为三参固体单元的微分型本构方程表达式。线粘弹微分型本构关系的 般表达式为 静万d k o - = 缸韭d t k ，m 艰 其中微分算子 p = 薹p t 嘉班静参 亿 下面采用傅里叶变换与逆变换来推导频率域内本构关系表达式。 用t o 表示变换参量，设函数厂( f ) 在( - o o ，+ o 。) 上有定义且满足傅里叶积分定理的 条件啦其傅罩叶变换为： 上海交通大学硕士学位论文 第二章 夕0 ) ：f ”厂o k l “d ，记为f o u r i e r 厂】 ( 2 1 9 ) 函数导数的傅里叶变换，根据以上的定义，可得： f o u r i e r f o ) 】= i c o f o u r i e r d c ( t ) 一厂( o ) 根据材料处于自然状态的假设，设与材料相关的函数厂( f ) 在t 0 时均为零，因 此，表达式( 2 1 6 ) q b ，如果令s ( o ) = s ( o 一) = 0 ，则有善= f o ，善= 一2 善，然后对( 2 1 6 ) 中每一个等式均进行傅里叶变换，得到频率域内的本构关系表达式： 彦b ) =必舶1 1 + i m a l 一 肌铲卷 = 鼍 = 器 为了问题简化，假设泊松比f 为常数。则 r 2 2 0 ) 丘3 k 一2 g鼻 9 g k 二 e i c o2 瓦网坦2 _ g + 3 k 眙三砑 所以频率域内的剪切模量e 白) = 2 ( 1 兰+ 址f i t ( r _ o ) ) 以上是利用三参固体模型计算出的线粘弹性材料在频率域内的本构方程及模量 表达式。 根据线粘弹性理论【2 7 】，若要求得线粘弹性材料梁在频率域内的运动方程， 如果粘弹材料本构关系推导是由傅里叶变换转换到频率域内的，则只需将弹性 材料频率域内的运动微分方程中的常数模量取而代之线粘弹材料的复模量即 可，因此依据( 2 1 1 ) 线粘弹性材料梁变换到频率域内的运动微分方程为： l 衍o ) 掣+ 硝咖) = 。 k ) ，掣十剃掣+ 加2 掣= 。 f 屯x ，国) = 口：白k “：。+ d ：0 k 一峨。+ ( p k 也。+ 以b k 一屯 卜，g ，) = z 2 a 2 0 k 也。+ z 2 d 2 0 “f + z 3 口3 0 k 如。+ z 3 d 3 ( c o ) e 一“ f 2 2 1 ) f 2 2 2 ) 1 3 - 上海交通大学硕士学位论文 第二章 k ，b ) 一、雁习磊f 孬亏雨罚肛。 托，白) = r2 t 毛一( 0 2 ) 船； 荆：嵩，铲浮肛压 q 2 3 q 0 ) ：瓜( c o ) 一p 从( 2 2 3 ) 可看出，无论是轴向波还是弯曲波，其波数与波的速度间都是非线性关 系，即c 。安，f = 1 ，2 ，3 ，所以是频散的，使得计算变得更加复杂。 2 3 节点处淀振幅矢量的求解 无论组成结构的构件是弹性材料还是釉弹性材料，波振幅矢量的求解过程 都是一致的，只不过如果材料是粘弹性的，要将求解过程中所遇到的模量进行 如下替代： e 雪0 l g 0 0 ) 为了更清楚的说明整个求解过程，本文首先将其求解思路阐述如下： 假设组成整个框架结构的节点中，有p 个铰节点，个刚节点，依据本章开头 的约定，总的节点数为胛= p + r ，构件总数为m ，则： 结构中未知量的总数为 1 )无论是铰节点还是刚节点，每一个由此节点出发的构件均有6 个未知 波幅矢量。共计1 2 m 个未知量。 2 ) 对于每一个刚节点处都存在一个力矢量和一个位移矢量，维数为3 。但 这6 个量中，只有3 个是未知的。而对于铰节点，力和位移矢量的维 数均为2 ，4 个量中，只有2 个是未知的。共计3 ，+ 2 p 个未知量。 所以整个结构的未知量总数为：1 2 m + 3 r + 2 p 。 求解上述未知量所采用的方程 1 1 节点平衡方程 上海交通大学硕士学位论文 第二章 铰节点处：“k = n 6 x ，“i = 甸， ，代表铰节点的编号， ( 瓤，l 代表与节点，相连接杆件频率域内轴向力在整体坐标系方向上 的投影，- - - v 。i 表示整体坐标系下作用于节点，处的外力在x 方向上的投 影，同理可知道( 矾) y 、n 。y 的意义，共2 p 个方程。 刚节点处：y “) ，：。- e - ，i ，y “l ：n 2 v ，y 肪n ：m 。7 r ，标号所代表 的意义与铰节点情况相同，共3 r 个方程。 3 ) 节点相容方程( 协调条件) 任意节点m 处：g “l + l = 毋， 删l + 0 “) r ：毋，下标 代表所有与节点m 相连构件另一端点编号。0 “l 、l 、0 ) y 、p ) y u m 。m 、i 分别代表局部坐标系下，构件m n 轴向位移在整体坐标系x ， y 轴上的投影、横向位移整体坐标系x ，y 轴上的投影、整体坐标系下 节点m 在z ，】，方向上的位移，共计4 m 个程。而对于刚节点p 处还有 乒叼= 龙，铰节点s 处有肪。= 0 ，共计2 珊个方程。 3 ) 结构中任一构件端点处到达波与离开波振幅的关系 对于结构中任一根杆件j k ，其端点，处的到达波与另一端点k 处离开 波的关系为：口严p ) = 一d 尸白k 州，依此，可建立6 所个方程。 综合1 ) 、2 ) 、3 ) 所述可知，线性独立的方程数恰好与结构总的未知量的个数相 等，由此可求出我们所需的量。 2 3 1 离开波与到达波之间的关系 考虑在杆件j x 中，由节点j 来看有一轴向入射波，此波可写为： 女“g “，) = d 严( k 吣“( 2 2 4 ) 图2 3 1 5 上海交通大学硕士学位论文 第二章 从杆件k 的点来看，应有一轴向出射波其形式可写成为 “( x k j 珊) = d f 7 ( k 1 印“ 根据本章开头对构件局部坐标系的约定，则： 女“( 0 ，c o ) = 一z ，“( ，“，脚) 通过等式( 2 2 4 ) 、( 2 2 5 ) 、( 2 2 6 ) 可得： 口严= 一d 尸p 一“- 一 同理可得到： 口尹= 一d ( j e 州“q j k = 一铲e “ 将式( 2 2 7 ) 、( 2 2 8 ) 写成矩阵的形式为 一e 一婚4 0 0 口“= p ( j f k l d “ 式中， 为传播矩阵。 错= 一e 一蜩j x 0 0 2 3 2 波在节点处的散射 0 一e m ” o 0 0 e 一y 0 0 一e l 睁一 f 2 2 5 ) f 2 2 7 ) f 2 2 8 ) r 2 2 9 ) r 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 当一列波传至某一节点时，它将产生反射和折射，并沿着所有与该节点相 连接的构件进行传播，依此类推，经过反射和折射的波又传至其它的节点，同 样在此发生反射折射，其传播的路径变得越来越复杂，使得利用原有的波传射 线法进行对波形的跟踪来计算结构的较长期的动态响应不可行，此法只能是计 算简单结构在非常短时间内的动态响应问题。本文所研究的回传矩阵法很好的 克服了这个难题。它是利用节点处的平衡及相容性条件来建立散射矩阵，波在 一1 6 、，l，j 脚。盯：肼， d j d ，l 1j w 坼： o o = 、-t、，j 肛腰：雎， 口 口 口 ，jt【 为写简可 ) 92 0 上海交通大学硕士学位论文 第二蕈 节点处散射一次就相当于在求解响应的过程中乘上一次散射矩阵，使得问题简 化。 下面将按照前面所阐述的求解思路的步骤进行求解回传矩阵，进而求得节点处 的波振幅矢量。 节点平衡方程 现，在结构中任取一节点为研究对象，设为，参考图2 3 ： 在整体坐标系x y 下考虑节点，三个方向上的平衡方程： 1 ) x 方向上力的平衡 z ( s ，t o ，) c o s 口“ ( 0 ，c o ) s i n 日) + 靠+ 国2 0 ；( o , ) - - o ( 2 3 2 ) m 2 ) y 方向上力的平衡方程 ( o ，c o ) s i n 0 “+ ( o ，) c o s 0 “) + 刀+ 棚2 d ；白) = 0 ( 2 3 3 ) m 3 ) z 方向上力矩平衡方程 只有刚节点情况，构件才能在此节点上承受弯矩，弯矩平衡方程为： 舫“( o ，) + 啦( 0 9 ) + c 0 2 m 。，一彰白) = o ( 2 t 3 4 ) m 而对于铰节点情况，杆端的弯矩为零，得： 财“( o ，c o ) = 0r 2 3 5 ) 假设结构支撑边界中，尸为一支撑节点，先对其进行弹簧一阻尼模型化( 见附 录几何图形2 - 1 ) ： 假设p 为铰节点，整体坐标系下，弹簧一阻尼系统作用于节点上的外力为： 力= 一帆+ i c o r 。妙；力= 一 ，+ i t o r ，妙； 假设尸为刚节点，整体坐标系下，弹簧一阻尼系统作用于节点上的外力为： = 七x + i c o r l x 硇；诈= 七，+ i c o r i ，硇；觑；= 七z + i o o r i 蔗i k p 巧、k ：分别代表节点p 处支撑在瓜y 、z 方向上的弹簧刚度。 r l r1 1 y 、砚分别代表节点p 处支撑在墨kz 方向上的阻尼系数。 这样，将平衡方程( 2 3 2 ) 、( 2 3 3 ) 、( 2 2 4 ) 作相应的修改即可求出支撑用弹簧 一阻尼系统模型化结构的动态响应。 - 1 7 上海交通大学硕士学位论文第二章 节点协调条件 1 ) x 方向上的位移协调条件 “( o ，c o ) c o s o y ”一口“( o ，c o ) s i n 0 “= d ；)( 2 3 6 ) 2 ) 】，方向上的位移协调条件 “( o ，c o ) s i n 0 j m 十口“( 0 ，c o ) c o s o = d ；( )( 2 3 7 ) 3 ) z 方向上的位移协调条件 此协调条件只适用于刚节点情形，则： ；“0 ) = 方。0 )( 2 3 8 ) 以上公式中所涉及到的符号的含义请参阅符号对照表。将( 2 6 ) 、( 2 1 2 ) 、( 2 1 5 ) 代入频率域内的平衡方程( 2 3 2 ) 、( 2 3 3 ) 、( 2 3 4 ) 及协调条件( 2 3 6 ) 、( 2 3 7 ) 得到： d c o e f f d s u n = d c o e f f , a 。+ 夕( 2 3 9 ) 系数矩阵d c o e f f 的形式为： e o s o j r s i n 一麒 0 0 0 ( e a i k ic o s o ) j k ( 剧哦s i n o f 0 一o + 铲) s i n 0 “ 一o + 铲) c o s 0 * k f t 世、 0 一“