（应用数学专业论文）不可压缩非牛顿流体动力学方程组弱解的渐近性.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 粘性不可压缩流体动力学的数学理论自从j l e r a y 【5 在1 9 3 4 年的开创性工作以 来，引起了许多数学家和物理学家的关注对于一些粘性流体，诸如像空气或其它气 体，水，酒精和一些简单的碳氢化合物等，物理试验表明这类流体的运动可以用s t o k e s 定律来描述，也就是说，粘性应力张量一线性依赖于速度变形张量e ( u ) ，描述这类流 体运动的方程就称为n a v i e r s t o k e s 方程然而有许多流体，例如油漆，橡胶，聚合物 溶液以及一些生物流体如血液等等，物理试验表明这类流体的运动不满足s t o k e s 定 律，即其本构关系是非线性的，这类其运动不满足s t o k e s 定律的流体就称之为非牛顿 流体，而且如果粘性应力张量依赖于速度场的一阶( 或二阶) 导数，则相应的非牛顿流 体称为单极( 或双极) 流体 关于粘性不可压缩流体的数学理论，有大量的文献来研究其适定性和长时间性态 【1 - 7 l 】最近，n e c 如o v a 等【6 9 利用f o u r i e r 分解方法研究了单极非牛顿流体弱解的 l 2 衰减性，然而由于没有精确估计高粘性项v ( 1 e ( u ) l p - - 2 e ( 札) ) ，他们只得到了当初速 度“o l 2 n l l 时，弱解u ( o ，t ) 在驴范数下衰减率分别为i n 一( 1 + t ) ( 二维情形) 和 ( 1 + t ) 一 ( 三维情形) 关于双极非牛顿流体，g u o 和z h u 【7 1 利用f o u r i e r 分解方法 也讨论了弱解的驴衰减，由于他们没有考虑到低耗散项u 的影响，因此弱解在l 2 范数下的衰减率只能达到f 1 + t ) - 科ni 1 一鄯 本文也是讨论关于单极流体和双极流体弱解的时间衰减性我们首先利用s t o k e s 算子的谱理论来讨论单极流体的衰减率由于s t o k e s 算子在l p ( r “) ( 1 p o 。) 生成 一个有界的解析半群，这就保证了s t o k e s 算子分数幂的存在性，我们充分利用s t o k e s 算子的分数幂以及线性热方程解的口一三a 衰减估计，得到了当初速度钍o l 2 时， l f u ( 圳2 - 40 ( t - 。o ) ；当u o l 2 n l ( 1 r 2 ) 时，( 圳2 c t 一 ( 一 ) ，而且衰减 率达到与线性热方程一致关于双极流体，我们通过进一步改进f o u r i e r 分解方法， 得到了当初速度钍o l 2n l l 时，弱解u ( x ，t ) 在l 2 范数下衰减率为( 1 + f ) 一 ，达到 与线性热方程一致 关键词：弱解l 2 衰减非牛顿流体谱分解 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo fv i s c o u si n c o m p r e s s i b l ef l u i d sd y n a m i c sh a sb e e na t - t r a c t i n gt h ea t t e n t i o no fm a n y m a t h e m a t i c a n sa n dp h y s i c i s t ss i n c et h ep i o n e e rw o 。k f 5 1o fj l e r a yi n1 9 3 4 f o rs o m ev i s c o u sf l u i d s ，s u c ha sa i r ，o t h e rg a s e s ，w a t e r ，a l c o h o l s ， a n ds i m p l yh y d r o c a r b o nc o m p o u n d se t c ，p h y s i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h em o t i o n o ft h e s ef l u i d sc a nb ed e s c r i b e db yt h es t o k e sl a w ，i e v i s c o u ss t r e s s t e n s o r d e p e n d sl i n e a r l yo ns t r a i nt e n s o re ( “) ，t h e i rg o v e r n i n ge q u a t i o n so f m o t i o na r es o c a l l e d n a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s h o w e v e r ，t h e r ea r em a n yf l u i d s ，f o re x a m p l e s ，p a i n t s ，v a t n i s h e s m o l t e np l a s t i c s ，g r e a s e sa n db i o l o g i c a lf l u i d sl i k eb l o o d ，p h y s i c a le x p e r i m e n t s i n d i c a t et h a tt h em o t i o no ft h e s ef l u i d sc a nn o tb ed e s c r i b e db yt h es t o k e sl a w ，i e t h ec o n s t i t u t i v er e l a t i o n s h i pi sn o n l i n e a r ，t h ef l u i d sa r ec a l l e dn o n n e w t o n i a n i f t h e v i s c o u ss t r e s st e n s o rt ”d e p e n d so n l yo nt h ef i r s to r d e r ( o rt h es e c o n do r d e r ) d e r i v a t i v e s o ft h ev e l o c i t yf i e l d ，t h ef l u i di sam o n o p o l a r ( b i p o l a r ) o n e a sf o rt h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo fv i s c o u si n c o m p r e s s i b l ef l u i d s ，t h e r ei sa ne x - t e n s i v el i t e r a t u r eo nt h ew e l l p o s e d n e s sa n dl a r g et i m eb e h a v i o r 1 _ 7 1 】r e c e n t l y ， n e c a s o v 矗e ta l 6 9 s t u d i e dt h el 2d e c a yf o rw e a ks o l u t i o n so ft h em o n o p o l a rn o n n e w t o n a i nf l u i d sb yt h ef o u r i e rs p l i t t i n gm e t h o d s ，h o w e v e r ，b e c a u s et h e yd i d n tg e t t h ee x p l i c te s t i m a t e so nt h eh i g hv i s c o u st e r mv ( f e ( u ) r 2 e ( “) ) ，t h e yg o tt h a tw h e n o l 2 n l l ，t h ew e a ks o l u t i n o s 扛，t ) i nl 2n o r md e c a ya tar a t ei n m ( 1 + t ) ( 扎= 2 ) a n d ( 1 + t ) 一 协= 3 ) f o rt h eb i p o l a rf l u i d s g u oa n dz h u 【7 1 】a l s ov e s t i g a t e dt h e a l g e b r a i cl 2d e c a yo fw e a ks o l u t i o n s ，b e c a u s et h e yn e g l e c t e dt h ee f f e c t o ft h el o w e r d i s s i p a t i v et e r ma u ，t h e yo n l yg o tt h a tt h ew e a ks o l u t i o n si nl 2n o r md e c a ya ta r a t e f 1 + t 1 一昔( 如 i nt h ep r e s e n tt h e s i s ，t h et i m ed e c a yo ft h em o n o p o l a ra n db i p o l a rn o n n e w t o n i a n f l u i d si sa l s ov e s t i g a t e d w ef i r s t l yc o n s i d e rt h ed e c a yr a t eo ft h em o n o p o l a rf l u i d sb y u s i n gt h es p e c t r a lt h e o r yo ft h es t o k e so p e r a t o r i ti s w e l lk n o w nt h a t ，t h ee x i s t e n c e o ff r a c t i o n a lp o w e r so ft h es t o k e so p e r a t o ri sg u a r a n t e e db yt h ef a c tt h a tt h es t o k e s 华中科技大学硕士学位论文 o p e r a t o ri nr “g e n e r a t e sab o u n d e da n a l y t i cs e m i g r o u pi ne a c h 驴( 础) ( 1 p o 。) s p a c e - a p p l y i n gt h ef r a c t i o n a lp o w e ro fs t o k e so p e r a t o ra n d 上尸一l qd e c a ye s t i m a t s o ft h eh 8 8 te q u a t i o n s ，w es h o wt h a ti f u 0 l 2 ，l l u ( t ) 1 1 2 0 ( t o o ) ，a n di f 乱o l 2 n l ( 1 r 2 时流体称为厚剪切流，当p 2 是 就称为薄剪切流把上述本构关系( 1 5 ) 一( 1 6 ) 分别代入( 工i ) 得到的流体就通常称为 单极流体和双极流体关于流体动力学的一般物理背景可参照 1 - 4 对上述粘性流体附加上必要的初边值条件 札( 茁，0 ) = 1 1 0 ， i nq ， ( 1 7 ) 钍( z ，t ) = 0 ， i na q ( 0 ，o 。) ( 1 8 ) 其数学理论的研究主要是讨论这类系统是否可解，以及相应的解的性质等等 粘性不可压缩流体动力学的数学理论自从l e a f yf 5 1 的开创性工作以来，七十多 年来取得了辉煌的成就首先对于经典的n a v i e r s t o k e s 方程，l a d y z h e n s k w a 在其 经典的著作【6 】中构建了一般的理论框架，随后t e m a m 【7 ，8 】，g a l d i 9 ，p l l i o n s 1 0 】，s o h r 1 1 ，l e m a r i 6 【1 2 】系统的研究了这类粘性流体的一般理论关于解的存在性 和正则性，l e r a y 【5 】首次在i p 给出了一类适当弱解的整体存在性，h o p f 1 3 在有 界区域讨论了这类弱解的整体存在性( 然而这类适当弱解所包含的函数类太广泛了， 以至于在三维情形其唯一性至今悬而未决) f u j i t a 和k a t of 1 4 利用半群方法在一定 的可积条件下研究了l e r a y - h o p f 弱解的存在唯一性，之后关于解的正则性有大量的 文献，如s e r r i n 1 5 ，s c h e f f e r 1 6 ，c a f f a r e l l i ，k o h na n dn i r e n b e r g 1 7 ，l a d y z h e n s k a y a 【1 8 1 等另外h e y w o o d 【1 9 1 ，k a t o 2 0 1 ，g i g a 2 1 1 - 2 4 ，c o i f m a n 2 乩a m a n n 【2 6 1 ，c h e n 2 华中科技大学硕士学位论文 和x i n 2 7 ，h o f f 【2 8 等研究了当初值属于适当空间时系统的可解性问题，c a n n o n e 2 9 】，n e e a sf a o ，t s a i 3 1 分别在b e s o v 空间，l 3 中讨论了其自相似解关于解的长 时间性态，m e s c h o n b e k a 2 一 4 0 1 主要利用f o u r i e r 分解方法在全空间上讨论了弱解 的三2 衰减性，并且精确的给出了其上下界估计，以及在一定的加权可积条件下解的 时空估计t m i y a k a w af 4 1 一 4 9 1 则利用s t o k e s 算子的谱分解方法，非常精细地描述 其弱解在全空间，半空间，外区域的扩( 1 兰ps2 ) 衰减性，而且也成功地利用h a r d y 空间技术研究了解的时空衰减性还有其他的一些工作如 5 0 - 5 6 】，则大都是上面两种 方法在一定条件下的推广 关于粘性不可压缩非牛顿流体的数学理论，l a d y z h e n s k a y a 5 7 ，j l l i o n s 5 8 首 先研究了其可解性问题，随后这方面的工作也有很大的发展如 5 9 一 6 8 关于解的长 时间性态，由于系统的非线性程度较高，很难预测是否能得到像经典的n a v i e r s t o k e s 方程那样丰富的衰减性最近n e c 矗s o v a 6 9 1 利用f o u r i e r 分解方法讨论了单极粘性 流体在全空间上弱解的l 2 衰减性，但由于对高粘性项v ( i e ( u ) l p _ 2 e ( “) ) 没有给出精 确的估计，因此只能得到一半的衰减率，他们证明了当初速度“o l 2nl 1 时，速度 u ( x ，t ) 在三2 范数下衰减率分别为i n 一“( 1 - t - t ) ( 二维情形) 和( 1 + t ) 一 ( 三维情形) c u o 和z h uf 7 0 1 通过改进f o u r i e r 分解方法得到了一致代数衰减性，他们得到当初速 度q a 0 l 2n l 7 ( 1 r 2 ) 时， ( 茁，t ) 为线性热方程的解，那么速度u ( z ，t ) 在l 2 范数下衰减率为( 1 + 1 ) - 。2 。r 射，而且陋( t ) 一 ( t ) i f 2 _ 0 ，当t _ o 。关于双极流体， g u o 和z h u 7 1 也利用f o u r i e r 分解方法讨论了弱解的l 2 衰减性，然而由于他们没 有考虑低耗散项u 对流体衰减性的影响，因此衰减率只能做到( 1 + ) 一 ( 一扣 本文我们首先利用s t o k e s 算子的谱分解方法来讨论单极粘性流体弱解的l 2 衰 减由于s t o k e s 算子在上，( r “) ( 1 r o 。) 生成一个有界的解析半群 7 2 ，7 3 ，我们充 分利用其分数幂，将s t o k e s 算子的谱在零点附近截断，然后利用一些基本的泛函分析方 法和不等式，得到了弱解的一致代数衰减性，而且其衰减率达到与线性热方程一致如 我们证明了当初速度u o l 2 时，1 1 u ( 圳2 - 4 0 ( 亡- o 。) ；而当u o l 2 n l 7 ( 1 r 2 ) 时， l t u ( t ) r 1 2 c t i 皓一j ( n 3 ) ，t l ，而且如设v ( x ，t ) 为线性热方程的解，则当 _ 。时，j u ( t ) 一u ( t ) 1 1 2 = o ( t - ”2 。r ) ) 华中科技大学硕士学位论文 关于粘性不可压缩双极流体，我们通过进一步改进f o u r i e r 分解方法，由于影响 解的衰减性的主要原因是流体的低频效应，因此我们主要讨论低耗散项札的影响， 从而得到了弱解的一致代数衰减性，而且其衰减率达到与线性热方程一致如我们得 到了当初速度u o l 2nl 1 ，那么速度札( z ，t ) 在l 2 范数下衰减率为( 1 + t ) 一 ( n 2 ) ， 而且如设 ( z ，t ) 为线性热方程的解，则当t - o o 时，( t ) 一”( t ) f f 2 = 。( ( 1 + t ) 一 ) 1 2 预备知识 首先，为了讨论问题的方便，本文采用以下记号和约定： l 。( r ，) ( 1sq 0 ，；1 + i 1 = 1 ，则有 曲g a p + c l ) b 9 其中c ( e ) = ( 印) 一；g 定理1 2 ( h s l d e r 不等式) 假设1sp ，9s c o ，i 1 + ；= 1 ，如果u 口，u l 9 ， 则u 口l 1 ，且有 r 。川如s 删l 。- 定理1 3 ( 2 插值不等式) 假设1ss r t o 。，0 0 1 以及满足 l 一0 ，( 1 0 ) + t8 + t ，c 如果u l 3nl 2 ，则u l 7 ，且有 k 叫u 咿。 定理1 4 ( 广义g r o n w a l l 不等式) 假设，( t ) ，口( t ) ，h ( t ) 为非负的连续函数且满 足 9 ( ) m ) + z 9 ( s ) h ( s ) d s ， v t o ， 这里，咏) 0 ，则有 9 ( t ) ，( f ) e x p ( o 。丘( s ) d s l ，v t o ( 1 9 ) 5 华中科技大学硕士学位论文 特别地当，( t ) 三c 时，上述结论为 ，( t ) 冬c e x p ( z m ) d s ) ， vt o 定理1 5 ( g a g l i a r d o n i r e n b e r g 不等式) 假设，p ( r “) ，d “，l 9 ( r “) ，1 曼 p jq 。则对任何j ( 0 j m ) 有 i l d 1 1 ，sc i i l l ；。l i d ”削：， 其中；一丢= a ( ；一署) + ( ，一a ) ；，熹as 若m 一；= ， 。 0 1 3 主要结果 为了研究单极流体和双极流体弱解在全空间的衰减性，不失一般性，我们假定密 度p = 1 ，粘性系数弘o = p = 1 ，外力，= 0 那么在初始条件下，其模型可分别写成 u 一u + ( u v ) u v ( i e ( ) p - 2 e ( u ) ) + v 7 r = 0 v “= 0 u ( o ，0 ) = 让o l i m u ( z ，t ) = 0 i zj + ( 11 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) f 1 1 4 1 华中科技大学硕士学位论文 和 u t 一u + a 2 “+ - v ) u v ( f e ( u ) 严一2 e ( 钍) ) + v 丌= o ，( 1 1 5 ) v “= 0 ，( 1 1 6 ) u ( z ，0 ) = 札o ，( 11 7 ) 1 i mu ( x ，t ) = 0 ( 1 1 8 ) l l 叶o o 本文的主要结果如下： 定理1 7 假设u ( t ) 为c a u c h y 问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 4 ) 的一个弱解，当他3 ，p2 3 时， ( i ) 若初速度蛳i - i ，则( 圳_ 0 当t _ o o ； ( i i ) 若初速度u 0 hn 口( r “) “，1 r 2 ，则 - ( t ) l l c t 一 ( 一如，t 1 定理1 7 描述的衰减性在下面意义下是最优的： 定理1 8 当n 兰3 ，p 3 时，假设让( t ) 为c a u c h y 问题( 1 1 1 ) 一( 1 - 1 4 ) 的一个弱 解，”( t ) 为具有相同初值u o 的线性热方程的解， ( i ) 若u 0 h ，则( t ) 一 ( t ) i l = o ( t 一 ) 当t _ 。， 这里= m i n 1 ，i n + j 1 一e ) ，为一充分小的正数； ( i i ) 若u 0 hnl ( r p ) “，1sr 0 同样，定理1 9 描述的衰减性在下面意义下是最优的： 定理1 1 0 在定理1 9 条件下，且设u ( t ) 为具有相同初值1 1 0 的线性热方程的解， 那么对t 1 ， f ( 1 + 圹 ， 2 兰c ( 1 + 圹 一 【( 1 + t ) 一 一i 1 2 p 3 ，几= 2 ： 1 + i 2 再n p o ， 且 厶。警驯。+ 厶。嘶差川”r 。t i j ( e ( u ) ) e 玎( 妒) d x = o ( 2 1 ) 对任意妒ew 1 巾( i p ) “n v 在( 0 ，t ) 上几乎处处成立 在定义2 1 的意义下，c a u c h y 问题( 1 1 i ) 一( 1 1 4 ) 的弱解u ( z ，t ) 满足下面的能量 不等式： ；丢厶川2 出+ 厶。1 w 1 2 出+ 厶。l v “i 出o ( 2 2 2 关键性引理 我们首先考虑( i i i ) 一( 1 1 4 ) 的抽象c a u c h y 问题 札t + a u + b m ) = 0 ，乱( z ，0 ) = u o ( 2 3 ) 这里 b ( u ) = p ( u - v ) u p v ( 1 e ( u ) r 2 e ( u ) ) ， a 为s t o k e s 算子且可表示为a p aa p ，p 是从l 2 到它的子空间h 上的正 交投影算子，由于它与l a p l a c e 算子可交换，因此立即可得出a 为自伴算子，事 华中科技大学硕士学位论文 实上，a 本质上就等于一，而且由s t o k e s 算子a 生成的半群e 。a 本质上就等于热 算子e 出所以半群e 。a 在l q ( r n ) ( 1 0 ，根据算子a 的谱分解公式，我们来估计上式左边的第二项 1 1 a “1 1 2 = ：”a d l l e ( a ) u i l 2 f r o a d l l e ( a ) u l l 2 ，。z = p ( 1 l t i i e ( p ) u l l pd l l e ( a ) u l l p ( 1 l u l li e ( p ) u l l 2 ) n 一 2 一 ) 瓢u i l 2 一l i e ( p ) u 怜 扣( t ) | 1 + p l l 札( w 5p i l e ( p ) u ( t ) 1 1 2 ( 2 6 ) 为了估计右端项i i e ( p ) u ( t ) l l ，我们考虑( 2 3 ) 的积分方程形式 u ( ) = e 州u 。+ t e - ( t - s ) a b ( u ) d s ， 这里 e m ，t 0 是由一a 生成的半群把e ( 作用于上述积分方程的两边，利用 分部积分就得到 居( p ) u ( t ) = e ( p ) e 一“。+ o 。e ( p ) ( e 一一s a b ( u ) ) d s = e ( p ) e - t a u o + o ：9 e 一、一3 1 d ( e ( a ) b ( “) ) d s = e 。) e - t a u o + 上。e 刊叫e ( p ) b ( u ) ) 如 + ：o s ) ( 上9e 一啡一3 ) e ( ) b ( u ) d a ) d s 下面我们在l 2 范数下来估计上式右边的最后两项，并注意利用引理2 2 曼饰半e 一一( 一) ( 1 1 乱1 1 2 + l l v u 峪：) d s j 0 + c p 半瓜一s ) ( ，。p e _ a ( t _ s ) ( 2 + i s gp半_。(ilull。+iivu憾p-i)执j0 、 华中科技大学硕士学位论文 根据定义2 1 可知，c a u c h y 问题( 1 1 i ) 一( 1 1 4 ) 的弱解u ( z ，t ) 满足 v u l 2 ( 0 ，o o ；l 2 ( r “) ”) nl p ( o ，o c ；l 9 ( 王p ) ”) 义凼为p23 ，即2s p 一1 0 ，然后关于时间t 积分就得到 | | 珏( t ) 1 1 2 c a t - 。z 0 t 8 a - 1 扩3 且u 。怖s + ( 。+ - 一；- 1 孚t 一孚 + ( q 一- 一扩d 孚t 一 ( 2 1 1 ) 我们知道 4 1 ，如果u 0 l 2 ，那么i e 一a u o i l 2 0 当t _ 0 ( 3 这样就可以推断出，注意 到n 3 ， j | ( t ) j | _ 0 ，t - o o 这就证明了定理l7 的结论f i l 华中科技大学硕士学位论文 第二步：( i i ) 的证明 因为u o h n 矿( 1sr ；+ 2 ) ，r = 2 然后两边同乘以 t o 就得到 g t a 一 一。( 0 。i i u 怖s 1 2 + g t 。一一2 + c t ”钏u i l 2 + 2 t ” 一钟v u 忙i 关于时间t 积分，并利用( 2 7 ) 就有 叫( t ) | | 2s c t l - ( 一i 0 i i | | 2 d s ) 2 + t - 1 o 。i i u i l 2 d s ) + c t 一 一1 + c t 一 一( 2 1 9 ) 根据定理1 7 的结论( i ) ，( 圳_ 0 当t _ 0 0 于是 i ( t ) 1 1 2 = o ( t 一4 ) ， t - 0 0 这里芦= m i n ；一1 ，；+ 1 一) ，其中e 为一充分小的正数 这样定理1 8 的结论( i ) 就证明完毕 第二步：( i i ) 的证明 当；一2 l 时，根据定理1 7 ，i i u ( t ) l l sc t 一 ( 一 ( 1sr 2 ) 将其代入到 ( 2 。1 8 ) 就得到 c p 孚t 2 2 ( 一 ) + g p 孚 + c t 一( 挚一 ) + 2 t 一号一 | ，。p p - 一1 ( 2 2 0 ) 1 8 华中科技大学硕士学位论文 同样，令p ：t t 选取q 适当大，两边同乘以t “，然后关于时间t 积分就得到 即 l i 叫( t ) 1 1 2 c t ，t 1 这里1 = m i n 孕一；一1 ，嚣+ ；) 当；一；= 1 日, - j - 由i i u ( t ) l l i i u o i i 和i i u ( t ) l ls c t g 一 ( 1 冬r 1 时，由于i i 让( t ) 1 1 2 茎c ( 1 + 矿一( 一) 所以 肼u 舳c 同样从( 2 1 8 ) ，我们有 这就得到了结论( i i ) ，定理1 8 证明完毕 ( 2 2 1 ) 1 6 、 一 旦打 r+ 射 l i t 矿 ， + 轧 ” 争 厂 r + + 堕， 堕， 一 一 2 2 h h 、=三，三一 g e 一 一 0 叫 啬 1 r l + 薯一 l 茔鲫 社 争 圹 r e g + + 。一： 。一。 r r c g o 且 厶。警妒出+ lu , o “x - - ；, 忱出+ j f r t i i ( e ( 札) ) ( 妒) 如= 。 ( 3 1 ) 对任意妒w 1 , 一( f p ) ”n v 在( 0 ，t ) 上几乎处处成立 在定义3 1 自穗义下，c a u c h y 问题( 1 1 1 ) ( 1 1 4 ) 的弱解“( z ，t ) 满足下面的能量 不等式； ；爰厶f u i 2 如+ 厶i v 砰出+ 厶ni a u l 2 如+ 厶i w l 9 d x 0 ( 3 2 ) 3 2 关键性引理 在讨论双极不可压缩流体的衰减性之前，我们还需要下面的关键性引理 引理3 2 假设u o hnl 1 ( r “) “，“( z ，t ) 为c a u c h y 问题( 1 1 5 ) 一( 1 1 8 ) 的弱解 则有 ( i ) 当2 p 3 ，礼= 2 时， t 毗i it + c l l o 。懈) 临+ c l o t ( z i i u ( s ) 惭s ) 彳； 1 7 华中科技大学硕士学位论文 【l i ) 当l 十i 2 n 忑p 3 ，礼3 时， t ) 蚍i i - + c 1 ：i f o i i 酬阳+ c l ：l ( 上。i i 札( s ) 庐d s ) 寸 这里a = 塾尘蔓4 叫8 = 延型k 4 坐塑 ( i i i ) 当p 3 ，n 2 时， l 也( ，t ) i i l 札。i i 。+ c l ：l ：o 。i i u ( s ) l f 2 d s + g 阵 证明：对方程( 1 1 5 ) 两边施加f o u r i e r 变换得到 仉+ ( i f l 2 + l 引4 ) 砬= r v ( i e ( u ) l p 一2 e ( u ) ) 一( u v ) u v ” = ：g ，# ) ( 3 3 ) 下面我们来估计g ( f ，t ) 首先，在( 1 1 5 ) 两边取散度就可以得到 一吾去c 对上式两边施加f o u r i e r 变换就得到 这样就有 叉由于 引2 f 防 = 6 白f 一u i + l e ( u ) l 一2 e 耐( u ) i , j f w i = i e l f i n i f l y ( 1 e ( 删，_ 2 e ( u ) ) 】l + f ( 让v ) u l ，( 3 ，4 ) f v ) 忙i f 嘶 ) 雌荨二。i u t 呦出茎钍1 1 2 ， f l y ( 1 e ( 札) r 2 e ( u ) ) i l l f 1 e ( u ) i p - 2 e ( u ) l 酬l v u 临；，( 3 6 ) 把( 3 ，4 ) 一( 3 6 ) 代入到g ( ，t ) ，我们就得到 i g ( - ，t ) c l f l l b , 1 1 2 + c 川f v u 怔i ( 3 7 ) 1 8 华中科技大学硕士学位论文 从( 3 3 ) ，通过解一个常微分方程可以很答易得到 爰( 渺m ”) 冬g ( “) e “2 刊引 然后关于时间t 积分就有 矗( ，t ) e 一( k 1 2 + k 1 4 ) 。色。( ) + z g ( ，t ) e 一2 + l f | 4 t s d s 利用( 3 7 ) ，我们估计l 包( ，t ) 雠，t ) l 献) i + 上| g ( ，t ) t c l s 1 1 “o l l c - + g i f l z 。i i “( s ) | | 2 d s + c l lf o 。1 i v “( s ) 1 1 ；二j d s ( 3 8 ) 下面我们分三种情形来估计片i l v “( s ) 峪：i 如，即： ( i ) 2 p 3 ，n = 2 ； ( i i ) 1 + 蒜2 n 西sp 3 ，n 2 当2 p 3 ，n = 2 时 由定义3 1 可知铲l i d 2 u ( t ) 1 1 2 d t c ，利用定理1 5 ( g a g l i a r d o n i r e n b e r g 不等式) 和定理1 2 ( h s l d e r 不等式) ，我们就得到 z 。i i v “( s ) i i ，p 一- - 1 d s 茎：。i i 札( s ) i i i i d 2 u ( s ) l i 一2 d s ( z 。i i u ( 驯i 南d s ) 彳( z 。 j d 2 u ( 圳：d t ) 宁 g ( z 。i i 酬j 南d s ) 千； ( 3 9 ) ( i i ) 当1 + 百2 巧n p 0 ，这样就有 爰( f ( t ) f r - i 也( f ，圳2 d f ) 十2 ，( ) 厶蚓2 瞰，圳2 蟛，m ) 厶。i 也( f i 。必 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 华中科技大学硕士学位论文 令b ( t ) = b p ：z f ( t ) l 1 2s ，( ) ) ，那么有 2 f ( t ) t 脚也( ，t ) 1 2 蜒 = 2 f ( t ) b ( ”刚也( 洲2 d + 2 坤) 厶( 垆m 矗( 洲2 峦 2 f ( t ) f b 洲媳舭 兰f ( t ) f a 。腓，t ) f 2 一，他) 厶雠，t ) 陡 因此我们就得到下面的微分不等式 d 旦t ( f ( t ) f r 。i 也( ，) 1 2 d 0 ，( t ) 上也( f ，t ) 2 d 然后关于时间t 积分就得到 f ( t ) f r 。愀，t ) 1 2 d f 曼厶坩西+ o 。，( s ) 五瞰，s ) d s ( 3 1 4 ) 下面我们也分三种情形来讨论弱解的l 2 衰减性，即 ( i ) 2 p 2 ( i ) 当2 p 3 ，礼= 2 时 设= 盥2 f ( t ) ，u 。为n 维单位球面的面积，根据引理3 3 的结论( i ) ，从( 3 1 4 ) 我 们得到 ，( t ) 厶。愀，t ) 陬厶。坩d + 肌s ) z 4 ( 0 5 忙酽打+ r ( 舢脖打) 宁) 2 舛e 肌s ，( 器+ ( 器) 2 ( o 怕旷d 斗s + c 肌s ，( ( 器) 一( o 胁) 4 呻) 虹 埘 2 1 华中科技大学硕士学位论文 从能量不等式( 3 2 ) 我们很容易得到i b ( x ，t ) l l i b o l l ，这样( 3 1 5 ) 就暗示了 f ( t ) f r 。圳2 蜓sg + c 肌s ) 器d s + g 肌s ，( 器) 2 c 8 2q - 8 4 - p 令，( t ) = ( 1 n ( e + t ) ) 3 ，则， ) = 地衄e + t，盟2 y ( t ) = 硒可3 币罚，通过简单的计算，并 注意利用p l a n c h e r e l 定理就得到 u ( t 川曼