（数学专业论文）热传导方程参数识别问题.pdf

摘要 反问题的研究领域非常广阔，它来源于各种实际背景，属于多学科的应用理论范畴， 无论在理论研究还是在实际应用方面中的意义都非常重大。由于反问题的不适定性与非 线性性，使得它的理论与求解都比正问题困难的多，而且涉及面广。本文主要讨论反求 系统参数的一类热传导方程的识别问题。主要研究了一维热传导方程的传热系数识别问 题的改进方法，数值试验效果表明改进的方案反演效果更贴近真实值；以及把一维热传 导方程传热系数的识别问题推广到二维热传导方程的传热系数识别问题，兼用已有方法 和改进方法的扩维推广，数值实验结果表明后者反演效果更佳。图像去噪也属于反问题 范畴，针对基于总变差图像去噪原对偶方法和基于s v d 图像去噪统计方法进行了改进， 结合分块处理提出了新的图像去噪方法，实验结果表明新方法的去噪优势明显。 关键词：反问题，热传导方程，传热系数，识别，去噪 p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o np r o b l e mo fh e a tc o n d u c t i o ne q u a t i o n s j iw e i x u n ( m a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f l iw e i g u o a b s t r a c t t h ei n v e r s ep r o b l e mo fr e s e a r c hf i e l d ，i ti sv e r yw i d ef r o mv a r i o u sb a c k g r o u n d s ，b e l o n g s t ot h ec a t e g o r yo fi n t e r d i s c i p l i n a r ya p p l i c a t i o n ，w h e t h e ri nt h e o r yo ri nt h ep r a c t i c a l a p p l i c a t i o no ft h e o r e t i c a lr e s e a r c hi nt h ea s p e c t so fm e a n i n ga r ev e r yi m p o r t a n t t h e n o n l i n e a r i t ya n di l l - p o s e d n e s so fi n v e r s ep r o b l e m sm a k et h e i rt h e o r ya n ds o l u t i o nm o r e d i f f i c u l tt h a nd i r e c tp r o b l e m s a n dt h e i rf i e l di sb r o a d e r t h i sa r t i c l em a i n l ya i m sa tt h e s o l u t i o nt os y s t e mp a r a m e t e r si d e n t i f i c a t i o no fh e a tc o n d u c t i o ne q u a t i o n s t h er e s e a r c hi s m a i n l yo nt h ei m p r o v e dm e t h o dt ot h eh e a tt r a n s f e rc o e f f i c i e n ti d e n t i f i c a t i o np r o b l e m so f o n e - d i m e n s i o n a lh e a tc o n d u c t i o ne q u a t i o n s n u m e r i c a l e x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h a tt h e i n v e r s i o ne f f e c to ft h ei m p r o v e ds c h e m ei sm o r ed o s et ot h er e a lv a l u e t h ef o r m e rm e t h o d a n di m p r o v e dm e t h o dt ot h eh e a tt r a n s f e rc o e f f i c i e n ti d e n t i f i c a t i o np r o b l e m sa r ee x p a n d e dt o t w o - d i m e n s i o n a lh e a tc o n d u c t i o ne q u a t i o n s n u m e r i c a le x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h ei n v e r s i o n e f f e c to ft h el a s tm e t h o di sb e t t e rt h a nt h ef o r m e rm e t h o d i m a g ed e n o i s i n ga l s ob e l o n g st ot h e i n v e r s ep r o b l e m t h ei m a g ed e n o i s i n gp r i m a l d u a lm e t h o d sb a s e do nt o t a lv a r i a t i o na n d i m a g ed e n o i s i n gs t a t i s t i c a lm e t h o d sb a s e do ns v da r ei m p r o v e d b ys e g m e n t a t i o np r o c e s s i n g ， an e wi m a g ed e n o i s i n gm e t h o di sp u tf o r w a r d n u m e r i c a le x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wn e w m e t h o dh a so b v i o u sa d v a n t a g e si ni m a g ed e n o i s i n g k e y w o r d s ：t h ei n v e r s ep r o b l e m ，h e a tc o n d u c t i o ne q u a t i o n s ，h e a tt r a n s f e rc o e f f i c i e n t ， i d e n t i f i c a t i o n ，d e n o i s i n g 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均己在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：鸯雏助 日期：芝0 f 。年6 月f 日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印 刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机 构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、 借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、 缩印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签名：蚕脚 指导教师签名： 日期：2 0 f o 年6 月f日 日期：勿膨年f , 9 日 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第一章引言 1 1 历史背景及其研究意义 在工程技术发展中的应用中，应用数学物理问题中的数学以及计算数学在近3 0 年 里成为快速发展领域【3 4 1 。因为它具有挑战性和新奇的方法，所以被许多工作者和国内外 学者青睐【3 叼。到目前为止，它与计算数学、应用数学、科学等学科相互渗透，成为- - f - j 交叉学科【3 4 】。数学反演问题在理论研究和实际应用两个方面有广泛的应用【3 4 】。 所谓的数学物理正问题和数学物理反问题是相对的【3 钔。先前研究的相对完整的问 题是正问题，通常由过去、现在来预测未来，按一定的物理定律描述时空域中顺时针物 理变化过程；但反问题按一定的物理定律描述时空域中逆时针物理变化过程，同时反问 题和问题的不适定是密切相关的，也就是问题解的存在性、唯一性和稳定性，至少在三 个条件中有一个条件是不满足的 3 4 1 。正问题是线性的，良定的，往往反问题也是非线性 的，不适定的。 在解决问题的过程中，由于伴有广泛的不适定问题，我们必须寻找特别的、适当的 解决方法才能获得稳定的近似解 3 4 1 。到目前为止，这个数学物理方程反问题的求解方法 有很多的，举例来说，比如最佳摄动量法、脉冲频谱技术等各种正则化方法等【3 4 1 。 热传导方程参数反问题是数学物理参数反演的经典问题，参数可以是方程的传热 系数、扩散系数、初始边值条件和源项等等，参数是常数、依靠空间变量函数或依靠时 间变量函数等3 4 1 。从边界条件中确定多个或单一未知参数是解决这类问题的方法【3 4 】。本 文考虑的是热传导方程中的与空间变量有关的传热系数的反问题【3 4 1 。这种不适定性和非 线性反问题使求解过程的趋于复杂【矧。 1 2 国内外研究现状分析 在热传导方程的求解方法中，因为数值方程的时间偏导数t ，所以常常在解决问题 的方法中进行离散或拉式转变等【35 1 。主要的解决方法的目前是有限元法、有限差分法、 基于径向基函数方法和边界元法【3 5 1 。 由于有限元法和有限差分法强烈取决于网格剖分的质量，所以创造良好的网格质量 在解决复杂区域网格时是非常效率低的【3 5 】。在这种情况下，有人提出了边界元方法，该 方法只在边界进行离散，从而大大节省存储空间和时间，缺陷是在复杂的奇异积分下不 能应用边界元法，这使得后来许多学者提出不需要积分、不需要网格剖分的些方法 3 5 1 。 近年来利用基本解法，热传导方程反问题已经被有些学者成功解决，它的优势体现在： 第一章引言 未进行拉式变换或者没在时间域上进行离散，依然可以得到时间和空间域上的参数近似 解【3 5 1 。目前，已经有人利用基本解方程成功解决了热传导方程的时间反向问题【3 5 1 。 在国内，崔成贤等人提出了反求传热系数的一个数值迭代方法，在克服不适定性 上利用每步利用t i k h o n o v 正则化方法，实现了较小的计算量和良好的数值稳定性。 1 3 本文的主要工作 在崔【l8 】的工作中发现数值反演的效果不是太好，于是通过大量的数值实验和方法的 尝试，最终得到热传导传热系数识别的良好反演。主要研究内容如下： 第一章，是对热传导方程历史背景和国内外研究现状的简单阐述； 第二章，是针对崔的方法的实现和改进方法的提出，并数值实验对比两者结果； 第三章，是在第二章的基础上，将热传导方程传热系数的识别问题在空间域上推广 到了二维空间，并在算法上做了优化。 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第二章一维热传导方程传热系数的识别 现实生活中，热传导方程和边界测量决定的传热系数问题在石油和地下水存储分析 问题、非均匀物体渗流的遥感以及环境污染数学模型的扩散系数的识别问题等方面有广 泛和重要应用，因为它可以很好的来描述和解决这些实际问题1 8 】。这在数学上可以归属 于热传导方程参数识别问题，但是由于这是解决的反问题，反问题的共性：不适定和非 线性使得在数值求解和在理论分析中是非常困难的，一般在数值上表现为计算耗时，稳 定性差等1 8 】。关于上述的缺陷，崔提出了一个全新的方法：识别传热系数的数值迭代方 法【1 8 】。这个方法的优势在于：在数值迭代中的每- - d , 步只需要计算一次积分方程和一次 正问题，在不适定性的克服上采用有名的t i k h o n o v 正则化，从而达到了降低计算耗时和 提高数值稳定性的特点，同时在数值试验中反演的效果也是令人接受的，从而证实了它 的可行性删。但是反演效果上还是跟真实值有一定差别，于是经过大量尝试，本文提出 了一个改进方法，在反演效果上与真实值的逼近上进一步提高。 2 1一维传热系数的识别问题 考虑下列一维热传导方程的初边值问题： 昙 七( x ) 孚 = 瓦a u o 工1 f0(2-oxo x 1 ) d f u ( x ，0 ) = 0 0 x 1 ( 2 - 2 ) u ( o ，t ) = f ( t ) t 0( 2 - 3 ) ：a u ( 1 , t ) ：0f0(2-4) 以及边界测量条件 婴( o ，f ) ：g ( f ) f 0 ( 2 5 ) 若k ( x ) 是已知的，利用( 2 1 ) 一( 2 - 4 ) 求解u ( x ，t ) 称为正问题，当k ( x ) 是未知时，利用 边界测量条件( 2 5 ) ，由方程( 2 一1 ) 一( 2 4 ) 反求u ( x ，t ) 及传热系数k ( x ) ，就是识别传热系数 的问题18 1 。 2 2 求解传热系数的已有迭代方法 首先对( 2 一1 ) 一( 2 - 5 ) 关于时间f 作l a p l a c e 变换，则( 2 1 ) 一( 2 5 ) 变为： 鱼尼( x ) 警 s 万 ( 2 6 ) 3 第二章一维热传导方程传热系数的识别 历( o ，s ) = f ( s ) 婴( 1 ，j ) = 0 a x 孚( o ，s ) ：喜( s ) a x 其中历，7 ，蚕是“，f ，g 对应的三印勉钟变换【1 8 1 。 ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) ( 2 9 ) 设( x ) 是后( x ) 的初始猜测，并设是七( x ) = ( x ) 时方程( 2 6 ) ( 2 9 ) f l 懈18 1 。则： i 罢- - ( k o + 砜) 掣】：s ( + 锄。) o x o x u o ( o ，s ) + 巍o ( o ，s ) = 厂( s ) 胁o x + 警( 1 垆。 ( 2 1 0 ) o l = z l u l 略去高阶无穷小量将上面的方程分成两个定解问题，得： 和 ；_ o u o _ s 眦姒 ( o ，s ) = f ( s ) _ o u o ( 1 ，j ) ：0 ( 2 - 1 1 ) o k o _ c 3 t y , u oj - _ s 赢。一鱼砜挚】 o x o xo xo x 出o ( o ，j ) = 0 ( 2 - 1 2 ) 挚( 1 ，s ) ：o o 对方程组( 2 - 1 2 ) 的第1 个方程两边同时乘以u 。，并且在 0 7 1 上关于x 积分： 胁o x 挚o xk b 一言鱼o x 砜铷出 ( 2 - 1 3 ) 二二二ox 应用分部积分法整理得下列积分方程： f 挚( 耶) 6 0 ( 石) 出+ 夕( s ) 誓( x ，, s ) s k o ( x o = k ( 而) 确 譬( x l ，s ) 一荆】 ( 2 1 4 ) 二o x o 纵 关于未知量砜，将( 2 1 4 ) 进一步离散，得下式的线性方程组： m & o = b ( 2 1 5 ) 由于方程( 2 1 5 ) 的不适定性，利用7 了k h o n o v 正则化方法求解线性方程组( 2 1 5 ) t 1 8 1 。 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 r a i n ( v i i m & o b2 + a i l 6 k o d ( 2 1 6 ) 后g k ”：1 三：m ”乏，m 。- 4 - a ) 一。m 。匆。，。：0 , 1 ，2 ， c 2 一8 ， 【。= ( 。吃，z = 2 3 求解传热系数的改进迭代方法 其中f ( x ) 是需要求的未知函数，g ( x ) 和k ( x ，y ) 是连续的有界函数。下面介绍是求解( 2 - 1 9 ) 叫) = 瞎纵州争2 出 ( 2 - 2 。) 叫) = r 謦舳薹，( 学舳 = 薹警c 五一，五，五+ 。， 2 c 2 ， 萎二 c 2 2 ， = 否2 了荟n - 1c 五一，五，五+ 。， 2 三4 ：- 2 萋f k 二 5 第二章一维热传导方程传热系数的识别 觚，4 - - 2 心f 2 + ( f 2 , f 3 , f 4 ) k = ( 石，以，六，f 4 ) - - ( y , ，五，石，) 1 _ 2 24 1 _ 2 00 1 - 2 - 25 1 _ 4 01 1o 一20 lo oo lo - 4 l 5 - 2 21 堋 0 o 一21 42 21 跟上面前两项和的矩阵表示方法相似，可得前三项和的矩阵表示形式总和的矩阵表示形 式： 和 其中 ( 彳，以，六，五，丘) 1 - 2 25 1 _ 4 o1 0o 10 o - 410 641 - 452 1 21 r r 塑d , x 2 ) 2 出万2 厂r n f 厂协如 1 _ 21 _ 254 1 - 46 1o 1 1 4l 5 - 2 2l 选用i e 贝u 化函数f r 可，用正则化方法解( 2 1 9 ) ，同时把( 2 - 1 9 ) 离散成代数方程组 k f = g ，得 m 。i 。n m 。( 厂，g ) = i x s 9 0 2 + 口( 厂r n f ) ( 2 - 2 2 ) 由v ，m 口( 厂，g ) = v ， ( k f - g ) r ( 矽一g ) + a f r 巧 = 2 k r k f - 2 k r g + 2 a h f = o ，得 6 2 o 1 1 o 0 o o 厶六厶石 、lll二-ilj、lllllll 石以六六五 ，4 6 o 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 f = ( k 7 k + o t h ) 叫k 7 9 ( 2 - 2 3 ) 基于解的光滑性，本方法中的正则函数使用了函数的二阶导数，在效果上与加权平 均使解光滑化是差不多的，所以该方法又被叫作光滑化法【2 5 1 。 假设8 k o 是具有二阶连续的函数，改进( 2 1 7 ) 为下式 ( m7 m + 胡) 酝o = m 2 b ( 2 2 4 ) 即用日代替原来的，。考虑到端点处的奇异性，其中改写日如下定义 h = 1 - 21 - 25 _ 4 1 _ 46 1 1 - 4 - 41 1641 。_ 44 9 _ 2 121 ( 2 - 2 5 ) 并且在( 2 1 4 ) q p 用c o t e s 积分公式，计算传热系数的迭代格式： 譬6 k 三z ，m 。+ a n ) m 。以n 0 , 12 p 2 6 ， 【。= ( m 。 。+。以 = ， 、。 2 4 数值实验 选择下式的模型： 旦f 尼丝1 - 一o u o x 。8 x 。8 t ? ，归1 ( 2 - 2 7 ) 娑( 1 ，f ) ：0 c x u ( x ，0 ) = 0 其中尼( x ) = 1 + s i n ( t a x ) 1 s 】。 关于七( z ) = 1 + s i n ( n x ) ，由方程( 2 2 7 ) 计算出离散的“，进而得出离散的娑( o ，f ) 。再 a x 把尼( x ) 当成未知，用前面得到的孚( o ，f ) 数据，来反求尼( x ) 【1 8 1 。 a x 2 4 1 求解一维传热系数已有方法实验 根据上述的计算步骤，综合比较采用一阶迎风显格式求解离散u 。即是v 一 k v + u 】= u t 形式。按照f 和x 离散开的网格点是“( ，工，) i = 1 , 2 ，n + l ；j = 1 , 2 ，m + l ，分成 7 第二章一维热传导方程传热系数的识别 研+ 1 ) ( m + 1 ) 个网格。适当选取m ，n 的值使得在时间ti - 1 1 文 0 ，1 0 ，实验选取的是 m = 1 0 ，n = 4 0 0 0 ；m = 2 0 n = 1 6 0 0 0 ；m = 4 0 ，z = 6 4 0 0 0 这三组实验的。由于采用的是显格式， 咋，一l “f ，j “i ，+ l 即u t + l = 吃一l u i - l + ( 1 - 心一l 一心) “u + 心u 训 i = 1 ，2 ，n ；j = 2 ，3 ，m + l ，其 中r = 百1 ，边界处采用三点求导公式近似。这样可以得到稳定的解“，进而用三点导数公 式求得孚( o ，f ) 的离散形式。任意选取s 的一组值，本文选取s ：1 ，2 ，2 0 。再求解历， 仍采用一阶迎风格式离散，即 。卜逶旧 “f ，一 羁，磁，+ l ，一l 磊，- 1 一( s f h 2 + ，一l + ) 喀，+ ，薅，j + l = o i = 1 ，2 ，2 0 ；j = 2 ，3 ，m 。随着- 的取 值联立成三对角方程组 一0 0 ) j l z 2 + ( 1 ) + ( 2 ) ) k o ( 2 ) ( 2 ) - ( s ( i ) h 2 + ( 2 ) + ( 3 ) ) ( 3 ) k o ( m - 1 ) - k o ( m ) 3一( s ( i ) 2 + k o ( m 一1 ) - k o ( m ) 3 ) 西( f ，2 ) 西( i ，3 ) 历( f ，聊) k o ( 1 ) 一历( f ，1 ) o o ，边界处仍采用三点求导公式近似，采用追赶法求解。当取遍所有f ，就会得到行。 选取初始= o n e s ( m + 1 ，1 ) ，限制l l 氓0 的范数的终止准则为1 0 - 3 或者迭代1 0 0 0 步， 通过调试参数口得到较好效果。下面列举几个实验结果。 8 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 图2 1 m = 1 0 刀= 4 0 0 0a = 0 0 0 1 6 i l 瓯l i = 9 9 9 0 一0 0 4 迭代7 3 1 步 f i 9 2 - 1 m = 1 0n = 4 0 0 0a = o 0 0 1 6i l 砜| l = 9 9 9 0 9 e - 0 0 4i t e r a t i v e7 3 1 图2 2 m = 2 0 刀= 1 6 0 0 0a = 0 0 0 0 6 5 l l 砜9 = 9 9 8 3 8 e - 0 0 4 迭代6 5 3 步 f i 9 2 - 2 m = 2 0n = 1 6 0 0 0 口= 0 0 0 0 6 5 | l 酝o = 9 9 8 3 8 e 0 0 4i t e r a t i v e6 5 3 9 第二章一维热传导方程传热系数的识别 图2 - 3 m = 4 0n = 6 4 0 0 0a = o 0 0 0 1 5 l i 瓯0 = 9 9 5 1 4 e 一0 0 4 迭代4 1 7 步 f i 9 2 - 3 m = 4 0 咒= 6 4 0 0 0a = o 0 0 0 1 5 6 k o i = 9 9 5 1 4 e 一0 0 4i t e r a t i v e4 1 7 红色虚线线为真实的k ( x ) ，蓝色实线为反求的。可以看出随着网格的变密，反问题 的求解效果并没有变好，仍然和真实值有一定差距。 2 4 2 求解一维传热系数改进方法实验 依然采用一阶迎风显格式求解离散u 。即v 一 k v + u - u ，形式。在 0 ，1 x o ，1 】按照f 和 x 离散开的网格点是“( f ，工，) i = 1 , 2 ，n + l ；j = 1 , 2 ，m + 1 ，分成( 咒+ 1 ) ( m + 1 ) 个网格。 适当选取m ，n 的值，实验选取的是m = 1 0 ，n = 2 0 0 0 ；m = 2 0 ，n = 8 0 0 0 ；m = 4 0 ，n = 2 0 0 0 0 这 三组实验条件。采用的是显格式“m ，= 心一l n f u 川+ ( 1 一r k j 一1 一心) “+ 心“+ 1 ，其中 厂= 志, a t = l n , a x = 1 m ，边界处采用三点求导公式近似。得到稳定的解“，用三点 导数公式求得娑( o ，f ) 的离散形式。任意选取s 的一组值，这里选取s ：1 , 2 ，2 0 。再求 解万，仍采用一阶迎风格式离散，即 k o 一l 玩，一l 一( j f h 2 + k o j l + k o j ) 玩，+ k o j 玩，+ l = 0 i = 1 , 2 ，2 0 ；j = 1 , 2 ，m + 1 。随着f 的取 值联立成三对角方程组，边界处采用三点求导公式近似，依然用追赶法求解。 选取初始j | 。= o n e s ( m + 1 ，1 ) + o 1 ，限制l l 斑。0 的范数的终止准则为1 0 - 3 或者迭代1 0 0 0 步，通过调试参数口得到最佳效果。下面列举几个实验结果。 1 0 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 x 图2 - 4m = 1 0 ，l = 2 0 0 0a = o 0 1 5l l 砜0 = 9 9 9 6 9 e - 0 0 4 迭代6 1 0 步 f i 9 2 - 4 m = 1 0 ，l = 2 0 0 0 口= o 0 1 5l l 砜l i = 9 9 9 6 9 e - 0 0 4i t e r a t i v e6 1 0 x 图2 - 5m = 2 0 , n = 8 0 0 0a = o 1 1 0 眠0 = 9 9 9 3 7 e 一0 0 4 迭代2 2 2 步 f i 9 2 - 5 m = 2 0 , n = 8 0 0 0a = 0 1 1 1 1 6 k o0 = 9 9 9 3 7 e - 0 0 4i t e r a t i v e2 2 2 1 1 第二章一维热传导方程传热系数的识别 y x 图2 _ 6m = 4 0 ，刀= 2 0 0 0 0 口= 1 2 5l i 民8 = 9 9 9 8 2 e 一0 0 4 迭代2 6 4 步 f i 9 2 - 6 埘= 4 0 ，甩= 2 0 0 0 0 口= 1 2 5l 陬0 = 9 9 9 8 2 e 一0 0 4i t e r a t i v e2 6 4 上述3 幅图中红色虚线为真实值，蓝色实线为反演值。可以看出随着网格的变密， 反演效果越来越好。 1 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第三章二维热传导方程传热系数的识别方法 3 1 二维传热系数的识别问题 接第二章，把u ( x ，t ) 再加一维变成u ( x ，y ，t ) ，考虑此时的热传导方程的初边值问题： 昙 尼( x ，y ) 祟 - - i - 昙 七( 工，y ) 罢 ：_ o u 0 x ，y 1 f 0( 3 1 ) 出以 咖鲫 o t u ( x ，y ，0 ) = 00 工，y 1( 3 - 2 ) u ( o ，y ，t ) = z ( y ，t ) ，u ( x ，0 ，t ) = 五( x ，t ) t 0( 3 3 ) 罢( 1 ，y ，f ) ：0 ，i b u ( x ，1 ，f ) ：0 t o ( 3 4 ) u x g y 以及边界测量条件 罢( o ，y , t ) ：蜀( y ，f ) ，罢( x ，o ，f ) ：9 2 ( x , t ) f0(3-5) 叭 c , y 3 2 求解二维传热系数的迭代方法 将( 3 1 ) 一( 3 - 5 ) 关于时间f 作l a p l a c e 变换，则( 3 1 ) 一( 3 5 ) 会成为： a i - s k ( x , y ) 婴 + 昙 尼( x ，y ) - 抛l - ? ：s 芴 ( 3 6 ) c ) x 卯y 历( o ，y ，s ) = f ( y ，j ) ，荭( x ，0 ，s ) = 五( 工，s ) ( 3 - 7 ) 譬( 1 ，y , s ) = o ，譬( 工，1 ，s ) = 0 ( 3 8 ) a x c r y 坐，) = 萌( y ，s ) ，竽( 工，o ，s ) ：蔹( ) (39)a-t(o y , s l “ o y 其中历，夕，喜是“，f ，g 相应的三印肠c e 变换。 设k ( x ，y ) 的初始猜测是k o ( x ，y ) ，同时假设u 。是k ( x ，y ) = k o ( j c ，y ) 时方程( 3 - 6 ) 一( 3 9 ) 的解。则： 昙 ( + 瓯) 塑盟 + 晏 ( 氏+ 砜) 堂譬盟】：s ( “。+ 瓯) 姒u o yo y u o ( o ，y ，s ) + 洗。( o ，y ，s ) = z ( j ，s ) ，“。( x ，0 ，s ) + 赢。( 工，0 ，s ) = 五( x ，s ) ( 3 1 0 ) 誓( 1 ，y ，s ) + o - 如 ：，ilx，1，j)+学(x，1，s)：oz-&(1,y,s)0 o n 0 略去高阶无穷小量，可以将上面的方程分为两个定解问题，有： 1 3 和 知争知争 u o ( o ，y ，s ) = - 7 i ( 少，j ) ，“。( 工，0 ，j ) = z ( z ，j )( 3 1 1 ) 警( 1 ，y 一o ，警如) - o 歉警，+ 知警一时矿a 。掣a u o 一扣挚 氓( o ，y ，s ) = o ，批( x ，0 ，j ) = o ( 3 1 2 ) 警( 1 ，”) - o ，警如) - o 5 1 1 誊。专蚴+ 氍ii 妻毒k 痧如s 喜卜。蚴2 b 聊 一喜喜知铷蚴一耪民铷舳 p 胜用万鄙积分纭墅埋得卜刎积分万程： 持筝瓯蛐+ 弘1 鲁 舻胤吣，咖 + 喜磅，2 瓯触瓴邵，警吣胤枷， l 2 p 川z ( 删警( o ，”埔( 圳咖 0 ” + j 0 ，o ) 弧州警( 珈) 一驰础y ， 为方便计算，将( 3 1 4 ) 分解为两个积分方程： 毒 挚2 酗硫”) 鲁( o ，舻胤吣) = k o ( o ，y ) 彳( ”) 誓( o ，y ，s ) 一蟊( y ，s ) 0 x 喜【挚2 酗琉学吣胤加) = o ) 五( 删鲁( 咖) 一矾卿 1 4 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 ( 3 1 5 ) 关于每个y 和( 3 - 1 6 ) 关于每个x i 再进一步离散，得 蝾蝴帅幽胁z ( w ) 警( 一幽) ( 3 - 1 7 ) = k o ( x ，乃) z ( 州警( ) 一弛) 】 f _ o u - o ( x i ，y ，s ) 】砜( 曩，y ) d y + z ( 一，s ) 兰( 薯，y 。，s ) 砜( 薯，乃) ；砂 砂 f 3 1 8 1 = k o ( x io ) z ( 薯，j ) ：警( 五，y p s ) 一磊( 五，s ) 这就得到t - 与( 2 1 4 ) 相似的积分方程。 分别关于未知量砜( 石，y ) ，眠( 一，y ) 进一步离散，可得到相应的线性方程组： 鸠o ( 五y j ) = 吃 ( 3 - 1 9 ) n f i k o ( x g ，y ) = c i ( 3 - 2 0 ) 由于方程( 3 1 9 ) 和( 3 2 0 ) 1 拘不适定，利用吉洪诺夫正则化方法求解线性方程组( 3 - 1 9 ) 和( 3 2 0 ) 。归结为求解下列极值问题： m i n ( v 0 础。( 工，y j ) 一哪+ 口慨( x ，y 刊1 2 ) 触o j j m i n ( w | m 6 k 。( x i ，y ) 一c 川2 + i i 酝。( 誓，y ) 1 1 2 ) 盘o ( j ，) ( 3 - 2 1 ) 和( 3 2 2 ) 分别等价于 ( 鸠。m + 甜) 瓯( x ，y j ) = m ，。哆 叫：n i + 印、) 蕊o ( x ! ，y 、) = n fc 进而得计算传热系数的迭代格式： ( 3 - 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 - 2 3 ) ( 3 - 2 4 ) k n + l = 吒+ 蕊。 8 k 。( 石，y j ) = ( m 加。m 加+ 村) 一m 加也，。j = 1 , 2 ，m + l ；n = 0 , 1 ，2 ， 阮( 薯，y ) = ( f 。f 。+ ) _ m 州c 。i = 1 , 2 ，m + 1 ；，z = 0 , 1 ，2 ， 民1 = 厩。( x ，y 1 ) 阮( z ，y 2 ) 阮( 工，y 。+ 1 ) 酝础2 蕊n ( j c l ，y ) 酝n ( 恐，y ) 缺一( + 1 ，少) 2 ( 3 - 2 5 ) 蕊。：亟 1 5 第三章二维热传导方程传热系数的识别方法 3 3 求解二维传热系数的改进迭代方法 采用第二章的改进方案：用日代替原来的j ，即在( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) q b 替换为 ( m j r m j + a h ) 6 k 。( 毛y ) = m ，t 屯 ( 3 2 6 ) ( f r n i + p ! h ) 厮o ( x f ，y ) = n i7 c f ( 3 2 7 ) 用c o t e s 积分公式离散( 3 1 5 ) 署n ( 3 1 6 ) ，计算二维传热系数的迭代格式如下 k n + l = k 。+ 6 k 。 6 k 。( 工，y j ) = ( m ，。m ，。+ a 1 1 ) 一m ，。b j ，。= 1 , 2 ，m + 1 ；栉= 0 , 1 2 一 厮。( x iy ) = ( m 。f 。+ p g ) 卅m 。c hi = 1 , 2 ，m + 1 ；n = 0 , 1 ，2 ， 厮柚= 獗。( x ，y 1 ) 厮。( x ，y 2 ) 厮。( x ，y 。+ 1 ) 厮砣。 疵一( 而，少) 獗一 2 ，y ) 酝一( x m + l ，y ) 】2 ( 3 - 2 8 ) 承。：坠 3 4 数值实验 类似的选下式模型： 昙c 尼塞，+ 昙c 尼考，= 鲁 蛩o ，y ，) = 1 ，“三，o ，) = 1 ( 3 - 2 9 ) 娑( 1 川y ) ：0 ，娑( 砒f ) ：0 o x 咖 其中k ( x ，y ) = 1 + s i n ( z c ) + s i n ( z y ) 。 关于k ( x ，y ) = 1 + s i n ( 瓜) + s i n ( n y ) ，由方程( 3 2 6 ) 计算出离散的u ，并得到 _ o u ( o ，y , t ) ，宴( z ，o ，f ) 。再把尼( x ，少) 当成未知，利用前面已得出的宴( o ，y ，f ) ，宴( x , o ，f ) 数 o x o y 出 o v 据，再反求k ( x ，y ) 。 3 4 1 求解二维传热系数识别方法实验 根据上述的计算步骤，仍采用一阶迎风显格式求解离散u 。即是v 一 k v + u = u ，形式。 按照x ，y ，t 离散开的网格点是“( 工，y j , t p ) f ，j = 1 , 2 ，m + l ；p = 1 , 2 ，n + l ，分成 ( m + 1 ) ( m + 1 ) ( 玎+ 1 ) 的立体网格。适当选取m ，n 的值，实验选取的是m = 1 0 ，n = 9 0 0 。 由于采用的是显格式，即 “孑1 = r k i _ l , j u f _ l ，+ 心，“三l ，+ 噍_ l “0 一i + 峨“0 + l + ( 1 2 心，一心f - 1 ，一心, j - i ) “0 ，其中 中国i 油大学( 华东) 顸学位论文 r = 喜，边界处采用三点求导公式近似。这样可以得到稳定的解“，进而用三点导数公式 ， 求得璺( o ，f ) ，婴( o ，r ) 的离散形式。再利用第二小节的步骤，任意选取。的一组值， 鼎洲 本文选取s = 1 ，z ，1 1 。再求解订，仍采用一阶迎风格式离散，即 j t “配+ 稚t 厂( 6 2 + t 一一+ 。州+ 2 岛，) 码+ 。u 一码一+ 码“= 。将矩阵铲拉 ii ，= 1 , 2 ，m + 1 ；q = 1 , 2 ，1 1 直为向量进行求解。边界处仍采用三点求导公式近似，利用追赶法求解。 选取初始女。= o n e s ( m + 1 ) ，限制慨0 的范数的终止准则为1 0 4 或者迭代2 0 0 步，通 过调试参数口，卢得到较好效果。下面是l o , n9 0 0 实验结果。 图3 - 1 真实的女( ，) f i 9 3 - 1t h e 讥 女( ，v ) 第= 章二维鼎传导方程传热系散的识别方# | | 溯瓜 篆鹾鎏 图3 0 反求的女“，y ) f i g 抛t h e n v e r s e 女( z ，y 由于在三维的网格剖分中，选代速度比较慢，故只采选取了比较少的网格划分，下 面的对比实验中采用了相近的网格剖分。 3 4 2 求解二维传热系数改进方法实验 采用一阶迎风显格式求解离散“。即是v 一 胛+ “】= 蚱形式。在 0 ，1 n 1 【0 ，i 】按照 j ，y ，t 离散开的网格点是“( j y ，f ，) l = 1 , 2 ，m + l ；p = 1 , 2 ，n + l ，分成 ( m + 1 ) x ( m + u ( n + u 的立体网格。适当选取m ，n 的值，实验选取的是= 1 0 ，h = 2 0 0 0 。 采用的是显格式 孑。= 心= t j “十瞳。“轧+ 峨。一嵋一十心，略“+ ( 卜2 峨，一 w 厂峨，一) “0 ，其中 r = 五等, a t = i n , 血= “m ，边界处采用三点求导公式近似。得到稳定的解“，用三点 导数公式求得昙( o ，吐娑( z ，吐f ) 的离散形式。任意选取s 的一组值，本文选取 皿 o y j = 1 , 2 2 0 。再求解茸，仍采用一阶迎风格式离散，即 j 置一，程u + 鼻，醒u 一( j - “2 + 砖一，+ 置川+ 2 u ) 吃+ 鼻，- 码一+ t ，谒“2 0 。将矩阵拉 【l ，= 1 ，2 ，m + 1 ；g = 1 , 2 ，1 1 直为向量进行求解。边界处仍采用三点求导公式近似，利用追赶法求解。 3 2 1 1 ；x ) x 中国i 油大学( 华东) 硕学位论文 选取初始= o n e s ( m + 1 ) + o l i ，限制0 吼0 的范数的终止准则为1 0 4 或者迭代2 0 0 步，通过调试参数口，卢得到较好效果。下面是珥= l o , n = 2 0 0 0 实验结果。 目3 - 3 暖连伍反卓d 0 n 审3t h e h n p r o v e d m e t h o d f o rk ( x ，y 通过比较反演效果得到加强。 第四章新的图像去噪方法 第四章新的图像去噪方法 下面基于总变差图像降噪原对偶方法和基于s v d 统计信息的改进方法和分块方法 详细阐述图像降噪的算法和图像降噪的实验结果。数值实验表明新的图像降噪方法在时 间和去噪效果上对比于原方法优势明显。 4 1改进的基于总变差图像去噪原对偶方法 4 1 1 引言 给定一幅噪音图像厂，我们希望得到分解f = u + 刀。其中，“为要恢复的图像，以为 噪声。因此我们的问题是：通过一些已知的观测值厂来估计原图像“的值。但是这个问 题是不适定的，并且方程离散化后得到的离散方程也是相当病态的。 现在，人们已经提出很多解决方法，最经典最成功的图像处理模型是1 9 9 2 年由 r u d i n 、o s h e r 和f a t e m i 提出的总变差( t v ) 模型【铡( r o f ) ： 。卿恐) j n l v 小击n ( 叫2 d x ( 4 - 1 ) 其中v 表示梯度，| i 表示欧几里得范数。 实践表明r o f 模型是一个很好的图像去噪模型。对于这个模型的求解，1 9 9 5 年c h a n 、 g o l u b 和m u l e t 提出了一种非线性原对偶方法【4 3 1 ，数值实验证明这种方法具有近似二次收 敛速度，但是这种方法在处理大型问题时需要很长的运算时间，为此，本节提出了一种 基于分块的图像去噪方法，数值实验表明这种方法具有很好的去噪效果。 4 1 2 总变差 假设函数厂定义在区间 0 ，1 】上，在实分析中给出了在这个区间上函数厂的总变差的 定义如下： 丁矿( 厂) 竺s u p l ( t ) 一( 薯一。) i ( 4 2 ) 其中上确界s u p 是在区间 0 ，1 上的所有划分0 = x o x i 0 ，并且4 的秩等于，。又设蚌为 啪第冽，v 为啪第冽，则有4 ：主邓衍吲。 第四章新的图像去噪方法 4 2