（应用数学专业论文）带修正关卡的公司债券定价.pdf

摘要 在公司债券的定价问题中，结构化方法因其显著的金融意义因而非常重要。 b l a c k 和s c h o l e s 4 最早在上世纪7 0 年代提出了此问题的理论基础，随后，越 来越多的学者开始研究公司债券定价的问题。其中，l o n g s t a f f 和s c h w a r t z 5 的成绩尤为显著。 这篇文章是用p d e 的方法解决零息票公司债券的定价问题，结合关卡期权 的定价理论，在利率为常数的假定和在随机利率的假定下给出数值解。文章所 采用的模型是以m e r t o n 2 】、l o n g s t a f f 和s c h w a r t z 5 等人的模型为基础，作为 引申，本文假定公司在触及违约边界时并不立即破产，而是进入一个缓冲过程， 并对该过程进行不同划分，对公司破产情形设定不同修正关卡进行讨论。旨在 求出公司债券在到期日之前时刻的市值。 由于模型引入了新的缓冲变量，该模型下的p d e 方程并不能求出显式解，我 们利用模型的特殊性，采用特征线差分的方法进行数值计算，并对所求结果进 行分析、比较，进而联系其金融意义。 最后，关于迸步工作的方向进行了简要的讨论。 关键词：违约风险，公司债券，违约边界，随机利率 a b s t r a c t a b s t r a c t t h es t r u c t u r a la p p r o a c h ( a l s ok n o w na st h ef i r s tp a s s a g et i m ea p p r o a c h ) i sv e r y i m p o r t a n ti nv a l u i n g d e f a u t a b l ec o r p o r a t eb o n df o ri th a se v i d e n tf m a n c i a lm e a n i n g s b l a c ka n ds c h o l e s 4 】l a i di t sf o u n d a t i o ni n1 9 7 0 sa n dh e r e a f t e r , m a n ya u t h o r s d e v e l o p e dt h e i ri d e at o w a r dt h i sp r o b l e m a m o n gt h o s e ，l o n g s t a f fa n ds c h w a r t z 5 】i s e s p e c i a l l ys i g n i f i c a n t t h ea i mo ft h i sp a p e ri st od e r i v et h ec l o s e d f o r ms o l u t i o n sf o rz e r oc o u p o n c o r p o r a t eb o n db yp d ea p p r o a c hu n d e ram o d i f i c a t i o no nt h ea s s u m p t i o na b o u t t h e t h r e s h o l dl e v e li nb o t hc a s e so fc o n s t a n ti n t e r e s tr a t ea n ds t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e t h e m o d e li sb a s e do nt h ek n o w l e d g eo f m e r t o n 2 】a n dl o n g s t a f f a n ds c h w a r t z 5 t og e tt h en u m e r i c a lr e s u l t s ，w et a k et h et i m e s t e p p i n gm e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c l i n e s w ea n a l y z ea n dc o m p a r et h en u m e r i c a lr e s u l t sr e l a t i n gt ot h e i rf i n a n c i a l m e a n i n g s i nt h ee n d w et a l ka b o u tt h ef u r t h e rw o r kn e e dt od ob r i e f l y k e yw o r d s ：d e f a u l tr i s k , c o r p o r a t eb o n d ，t h r e s h o l dl e v e l ，s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：吞御乜 阚红弓月，参日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名： 年月 日 学位论文作者签名：骞旃临 翩占年多月g 日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个入和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 签名：鸯锋拖 加多年5 月侈e t 第1 章引言 1 1 公司债券概述 1 1 1 基本概念 第1 章引言 企业债券通常又称为公司债券，是企业依照法定程序发行，约定在一定期 限内还本付息的债券。企业债券代表着发债企业和投资者之间的一种债权债务 关系。债券持有人是企业的债权人，不是所有者，无权参与或干涉企业经营管 理，但债券持有人有权按期收回本息。企业债券和股票一样，同属有价证券， 可以自由转让。由于企业主要以本身的经营利润作为还本付息的保证，因此企 业债券风险与企业本身的经营情况直接相关。如果企业发行债券后，经营状况 不好，连续出现亏损，可能无力支付投资者本息，投资者就面临着受损失的风 险。从这个意义上来说，企业债券是一种风险较大的债券。所以，在企业发行 债券时，一般要对发债企业进行严格的资格审查或要求发行企业有财产抵押， 以保护投资者利益。另一方面，在一定限度内，证券市场上的风险与收益成正 比相关关系，高风险伴随着高收益。企业债券由于具有较大风险，它们的利率 通常也高于国债和地方政府债券。 企业债券按不同标准可以分为很多种类。最常见的分类有以下几种： ( 1 ) 按照期限划分，企业债券有短期企业债券、中期企业债券和长期企业 债券。根据我国企业债券的期限划分，短期企业债券期限在1 年以内，中期企 业债券期限在1 年以上5 年以内，长期企业债券期限在5 年以上。 ( 2 ) 按是否记名划分，企业债券可分为记名企业债券和不记名企业债券。 如果企业债券上登记有债券持有人的姓名，投资者领取利息时要凭印章或其他 有效的身份证明，转让时要在债券上签名，同时还要到发行公司登记，那么， 它就称为记名企业债券，反之称为不记名企业债券。 ( 3 ) 按债券有无担保划分，企业债券可分为信用债券和担保债券。信用债 券指仅凭筹资人的信用发行的、没有担保的债券，信用债券只适用于信用等级 高的债券发行人。担保债券是指以抵押、质押、保证等方式发行的债券，其中， 第1 章引言 抵押债券是指以不动产作为担保品所发行的债券，质押债券是指以其有价证券 作为担保品所发行的债券，保证债券是指由第三者担保偿还本息的债券。 ( 4 ) 按债券可否提前赎回划分，企业债券可分为可提前赎回债券和不可提 前赎回债券。如果企业在债券到期前有权定期或随时购回全部或部分债券，这 种债券就称为可提前赎回企业债券，反之则是不可提前赎回企业债券。 ( 5 ) 按债券票面利率是否变动，企业债券可分为固定利率债券、浮动利率 债券和累进利率债券。固定利率债券指在偿还期内利率固定不变的债券；浮动 利率债券指票面利率随市场利率定期变动的债券；累进利率债券指随着债券期 限的增加，利率累进的债券。 ( 6 ) 按发行人是否给予投资者选择权分类，企业债券可分为附有选择权的 企业债券和不附有选择权的企业债券。附有选择权的企业债券，指债券发行人 给予债券持有人一定的选择权，如可转让公司债券、有认股权证的企业债券、 可退还企业债券等。可转换公司债券的持有者，能够在一定时间内按照规定的 价格将债券转换成企业发行的股票；有认股权证的债券持有者，可凭认股权证 购买所约定的公司的股票；可退还的企业债券，在规定的期限内可以退还。反 之，债券持有人没有上述选择权的债券，即是不附有选择权的企业债券。 ( 7 ) 按发行方式分类，企业债券可分为公募债券和私募债券。公募债券指 按法定手续经证券主管部门批准公开向社会投资者发行的债券；私募债券指以 特定的少数投资者为对象发行的债券，发行手续简单，一般不能公开上市交易。 与其它债券相比，公司债券的主要特点包括： ( 1 ) 风险性较大。公司债券的还款来源是公司经营利润，但是任何一家公 司的未来经营都存在很大的不确定性，因此公司债券持有人承担着损失利息甚 至本金的风险。 ( 2 ) 收益率较高。按照风险与收益成正比的原则，要求较高风险的公司债 券需提供给债券持有人较高的投资收益。 ( 3 ) 对于某些债券而言，发行者与持有者之间可以相互给予一定的选择权。 我国公司债券虽然已经有了一定的发展，但目前政策、监管模式以及市场 机制等问题仍然阻碍着公司债券市场的发展。随着我国资本市场结构的变化， 机构投资者不断壮大，发展债券市场已经成为完善市场结构的必然选择。近几 年，我国的国债和政策性金融债券市场虽然发展迅速，但公司债券市场还存在 规模过小，品种过少，市场参与者单一，债券流动性差，市场体系不完善，相 2 第l 章引言 关制度不健全等问题。中国公司债券市场目前的状况反映出了我国金融体系整 体上的诸多弊端。要想将公司债券市场应有的作用充分发挥出来，就必须使公 司债券市场真正成为资本市场中的一个有机组成部分。过去十几年间，中国的股 票市场有了快速发展，而债券市场、特别是公司债券市场的发展却被延缓了， 所以公司债券无疑将是未来发展最快的金融品种之一。对公司债券的定价问题 也无疑是非常重要的。 1 1 2 公司债券的发行申购 根据深、沪证券交易所关于上市企业债券的规定，公司债券发行的主体可 以是股份公司，也可以是有限责任公司。申请上市的企业债券必须符合规定条 件。 根据1 9 9 6 年中国证监会关于规范企业债券在证券交易所上市交易等有关 问题的通知规定，企业债券暂不利用证券交易所电脑系统上网发行，企业债 券发行地点、方式以企业发行公告为准。例如：中国长江三峡工程开发总公司 1 9 9 6 年企业债券发行公告称，发行方式采用实物券在经批准的营业网点发售和 定向配售相结合。投资者认购需到公布的各营业网点填写债券专项认购单。投 资者如果想要认购企业债券，则需要阅读相关的发行公告。企业债券经过发行 后经允许可在深、沪证券交易所挂牌上市。 1 2 信用风险 1 2 1 信用风险概述 公司债券区别于其他债券最主要的特点就是它面i 临较大的信用风险。信用 风险指的是因交易一方不能履行或不能全部履行交收责任而造成的风险，这种 无力履行交收责任的原因往往是破产或其他严重的财务问题。信用风险可进一 步分为本金风险和重置风险。如当一方不足额交收时，另一方有可能收不到或 不能全部收到应得证券或价款，造成已交付的价款或证券的损失，这就是本金 风险；违约方违约造成交易不能实现，未违约方为购得股票或变现需再次交易， 因此可能遭受因市场价格变化不利而带来的损失，这就是重置风险。 3 第1 章引言 信用风险的来源是多方面的，主要分为两大类：第一类是借款人的履约能 力出现了问题。贷款的偿还一般通过取得经营收入、出售某项资产，或者通过 其他的途径借入资金而实现。不过，最主要的还是通过生产经营，由其经营所 得来偿还。因此，衡量借款人的履约能力最主要还要看其生产经营能力的大小、 获利情况如何。这一点无论是对个人、企业还是国家而言都是如此。第二类是 借款人的履约意愿出现了问题，这主要是借款人的品格决定的。借款人品格是 指借款人不仅要有偿还债务的意愿，而且具备在负债期间能够主动承担各种义 务的责任感。这就要求借款人( 不论是企业还是个人) 必须是诚实可信的，并 且能够努力经营。对于国家而言，一般不存在这方面的问题。不过，借款人品 格是难以用科学方法加以计量的，一般只能根据过去的记录和经验对借款人进 行评价。如果存在完备的信用档案，那么借款人在过去时间里违约的次数基本 上可以反应出借款人的品格。 信用风险是商业银行面临的主要风险之一，深刻地影响着商业银行持续经 营的能力。新巴塞尔资本协议鼓励商业银行在进行信用风险管理时更多地使 用内部模型，这意味着构建符合现实实际的信用风险模型成为商业银行的重要 任务。 信用风险是银行经营过程中的主要风险之一，为了规避信用风险，1 9 8 8 年 的巴塞尔资本协议曾经规定，商业银行必须根据实际信用风险状况，提取 足够的资本金。而2 0 0 4 年的新巴塞尔资本协议为了对银行信用风险加权资 产最低资本要求确定科学的规则，采用两种方法：即信用风险标准法和信用风 险内部评级法，后者又可以分为初级法和高级法两种方法，鼓励更多的银行使 用内部模型评价信用风险。 信用风险的计量依据是对借款人和特定交易类型风险特征的评估，因此借 款人的违约概率( p d ) 是内部模型的核心，但要全面反映银行潜在的信贷损失， 还必须衡量违约损失率( l g d ) 、违约风险值( e a d ) 以及某些情况下的期限( m ) ， 内部模型的大部分内容是关于如何对这些风险要素进行识别和计量，并能由银 行和监管当局进行检验。这些风险要素形成内部模型测算银行最低资本要求的 基本数据输入要素。西方信用风险模型虽然都以衡量和解出这些变量为目标， 但通过模型的演进，可以发现信用风险模型是如何通过设立符合现实的假设和 运用最新模型技术，发展到信用风险模型的最新形式的。 4 第1 章引言 1 2 2 信用风险模型的演进 西方信用风险模型大致经历有代表性的三个阶段。 ( 1 ) 第一代模型大多产生于2 0 世纪6 0 、7 0 年代，其研究基础是当时常用 的一系列经验假设，而研究者凭借这些研究获得诺贝尔奖。总体而言，他们第 一次假设特定变量是随机的，并根据随机变量的概率分布估计债券的价值，这 与早期假定所有变量都是确定性的静态模型相比前进一大步。第一代模型包括： 布莱克一斯科尔斯期权模型；单因素利率期限结构模型；詹姆斯迪思 ( j a m s h i d i a n ) 的债券期权模型等。上述模型都设立严格假设，即承诺支付的交 易对方或者是无违约风险或者违约时间和违约数量事先可以确定。第一代模型 有： 布莱克斯科尔斯模型隐含假设普通股票看涨期权和看跌期权的支付是确 定的。惟一不确定的是股票的价格，通过股价我们可以导出看涨期权和看跌期 权的价格。 作为最佳市场风险模型的利率期限结构模型，假设收益率曲线代表着无风 险交易对手的收益率曲线，正如我们下面将看到的，如果交易对手存在违约风 险，那么期限结构模型将导出不同的公式，尽管这个公式依赖于无违约风险的 期限结构，但是两者并不等同。 基于无风险期限结构模型的债券期权模型假设，作为基础资产的债券无违 约风险，期权偿付者同样不存在违约风险。 ( 2 ) 第二代模型试图扩展第一代模型所包含的有关信用风险的研究，但对 模型本身不作修改或作少许修改。第二代模型有： 默顿( m a t o n ) 的风险债务模型：该模型假设权益资本是对公司资产所拥有的 布莱克斯科尔斯模型中的买权，在该模型中只有一个风险变量，即公司资产的 市场价值。与布莱克斯科尔斯期权模型一样，此模型也假设利率不变。 组合价值的蒙特卡罗模拟：应用第一代模型确定组合的价值，然后加上违 约不违约独立变量，对付款人的信用质量进行模拟。由于模型假设付款人的违 约概率可从某种外部渠道获得，且违约概率与影响基础资产组合市场价值的宏 观、微观因素无关，因此可以使用无违约风险模型进行估价，而前述的违约概 率也不随时间发生变化。这种方法通常用于衡量世界范围内交易所的信用风险。 ( 3 第三代模型具有两个共同特征：至少包括两个随机变量，明确假设付 5 第1 章引言 款人可能违约，并将此贯穿于相关资产价值估计的全部过程。这类模型非常多， 这里仅择取数例： 杰诺一特恩布尔模型( j a r r o w - t u r n b u l l ) 1 9 9 5 ：模型假定违约是随机过程， 利率也是随机变量，并将一系列违约证券的利率代入估价公式。 杰诺一兰多一特恩布尔模型( j a r r o w - l a n d o t u m b u l l ) 1 9 9 7 ：模型根据评级 转化矩阵假设违约概率的随机变化。 达菲一辛格顿( d u f f l e - s i n g l e t o n ) 1 9 9 9 的研究框架放松了杰诺特恩布尔模 型的全部假设。 斯姆考一手岛一范戴维特( s h i m k o - t e j i m a - v a nd e v e n t e r ) 1 9 9 3 在默顿模型 框架中假设了利率的随机性。 杰诺( j a r r o w ) 2 0 0 1 模型完善利率变化和市场指数变化所导致的违约概率 变化的研究框架。 1 3 公司债券定价模型现状 目前对公司债券的定价主要有两种方法：结构化方法和简约化方法。结构 化方法又称公司资产模型，考虑公司违约发生的内在机制，假设公司价值服从 一定的随机过程( 如几何布朗运动) ，违约事件定义为公司价值首次达到某一给 定的违约边界。它把公司资产值作为衡量标准，如资不抵债则公司破产、进入 清算程序。公司资产要被拍卖以偿债，通常资产在变现过程中其价值会有一个 下降。 结构化方法最早是由m e r t o n 2 等人提出的。在m e r t o n 模型的框架内，市场 是完全的，即不存在任何交易成本，但为了引入欧式期权定价方法，m e l t o n 在 其模型中设置了以下的关键假设： ( 1 ) 简化的资本结构：假设公司的资本结构由股权和面值及到期日都确定 的零息债券构成。这样的简化使得模型设定不需要考虑债务偿还时经常涉及的 优先级问题。 ( 2 ) 公司资产价值服从几何布朗运动，公司价值是未来期望现金流的折现 值。公司的债务义务是在到期日偿付投资者债券面值。债务契约中保证了投资 者拥有绝对优先权，即如果公司违约，公司债券的持有者将立刻将公司据为己 有。 6 第1 章引言 ( 3 ) 无风险利率为常数：无风险利率是期权定价中的关键变量，为了简化 模型的复杂程度，m e r t o n 模型中假设这一变量为常数。 ( 4 ) 公司违约的边界条件和时间：如果在债务到期日，公司的资产低于未 清偿的债务余额，则公司违约。也就是说，违约的边界条件是公司资产价值的 面值。同时，违约时间只发生在债务到期日。 以b ，s m 的期权定价模型为基础，在这个模型中，公司债券的价值可以被 看作是以公司资产为基础的看跌期权。反过来，公司股东持有公司股票就等于 购买了公司资产的看涨期权。当公司资产低于公司为清偿债务总额的时候，股 东就会选择运用期权，这意味着股东的违约和公司的破产。在这样的假设下， 套用b s 期权定价公式，可以求出公司股权价值和债务价值相应的解。 由于m e f l o n 模型加入了很强的假设，b l a c k 和c o x 3 提出首次通过模型( f i r s t p a s s a g em o d e l ) ，把债务的安全条款引入模型，进一步拓展了债券定价模型，使 得违约可以在债务到期日之前的任何时点发生。它假定公司资产在存续期内一 旦达到某个边界k e r t - o 时即违约( 其中k ，为常数，丁是债券到期日) ，这个 边界又称违约边界。l o n g s t a f f 和s c h w a r t z 5 弓l * 随机利率，但假定违约边界是 常数量，但这时不存在显式解。b r i y s 和d ev a r e r m e 8 对l o n g s t a f f 和s c h w a r t z 的模型作了修改，假定在随机利率下的违约边界为k o ( t ，) ，k o ( t ，r ) 为具有同样 到期日的零息票国债。这类借助于公司资产价值波动和确定的违约边界来度量 公司违约风险的方法统称为结构化模型。 简约化方法不考虑违约发生的内在机制，把违约看成是完全不可预料的事 件，违约发生服从一定的跳跃过程，通过债券数据来决定违约随机过程参数， 并进而确定违约概率。这种方法虽然在定价中显示出了优势，但由于回避了违 约发生背后的经济动因，本文这里先不傲讨论。 第三类是内生性违约边界方法，它是结构化方法的进一步拓展，例如 l e l a n d ( 1 9 9 4 ) 内生化破产违约边界；l e l a n d t o i l ( 1 9 9 6 ) 进一步分析了有限期债务 和存在现金流支付的情形；a n d e r s o n - s u n d a r e s a n ( 1 9 9 6 ) 运用非合作博弈的方法研 究了具有破产清算成本的策略性债息支付问题，策略性债息支付导致对绝对优 先权的偏离；f r i e s m i u e r - p e r e a u d i n ( 1 9 9 7 ) 研究了产业均衡下具有违约风险的债 务评估。 结构化方法相对于简约化方法的主要优点是考虑了违约发生的内在机制， 主要的缺陷是假设投资者可直接观察到公司资产的价值，上述结构化方法都隐 7 第1 章引言 含地假设关于公司价值的信息是完全的。但由于公司价值的信息一般是不完全 的，一方面由于公司资产不是金融市场可交易的资产，缺乏充分的流动性：另 一方面公司的信息披露即使可以真实地反映资产的价值，但具体的信息公布时 间对于外部投资者而言是不确定的，如公司财务报表等信息的披露虽然按照公 司法有一定的时间规定( 如季报、中报、年报等) ，在两次信息披露之间投资者 并不能知道公司的真实状况。在这种情形下，当不存在债务的安全条款时，股 东可以选择违约的时机、但违约又将导致股东权益价值为零，因此除非拒绝清 偿债务( 违约) 是最优的，股东存在持续经营公司的激励，即股东可以而且愿 意选择最优的违约时间。其实，除非公司价值为零，股东始终存在持续经营公 司的激励，这是因为即使公司价值很低，但若债权人不知情或债权人知情但不 能被债权人和债务人以外的第三人( 如仲裁人) 核实，债权人不能迫使公司破 产，从而使得股东愿意继续等待( 即不违约) ，直到等待的期权价值为零( 此时 股东违约的公司价值临界点为零) 。债权人自然地会推知，若股东自愿违约，则 违约时的回收率一定为零，因此在设定债务合同时债权人为保护自己的权益将 规定风险债务的安全条款，同样地债权人将最优地选择强迫公司破产的关卡值。 1 。4 本文研究的内容、方法和框架 在这篇文章中，我们采用结构化方法，延承了l o n g s t a f f 和s c h w a r t z 的主要 思想，作为延伸，用边界c o ( t ，r ) 来替代常数违约边界，k o ( t ，) 为具有同样到 期日的零息票国债价格。我们假定公司在触及违约边界时并不立即破产，而是 进入一个缓冲过程，并对该过程进行不同划分，对公司破产情形设定不同修正 关卡进行讨论，旨在求出公司债券在到期日之前时刻的市值。其中，对于修正 关卡的设定，我们参考修正关卡期权中的一些定义( 可参阅 1 ) ，在常数利率 的假定下分别对巴拉关卡、巴黎关卡和阶梯关卡三种情况进行讨论。随后文章 还引入v a s i e e k 模型，在随机利率的假定下讨论带修正关卡下的公司债券定价。 在实际中发生这种公司资产低于违约边界的情况并不是说公司立即破产， 可能只是说明需要及时追加资金来应付某类危机，也可能在考虑了其他许多因 素后，公司的财务状况并非很糟，所以修正关卡实际上是当公司资产跌到关卡 时，并不立即破产，它将经历一个缓冲过程，显然这样修改更贴近现实从而显 得更为合理一些。 8 第1 章引言 此外，我们在终边值条件的处理上采取了更符合实际的情形，考虑到公司 在债券到期日并不一定能支付面值，所以对终值条件做出分段函数的处理。对 于边界条件，同样考虑公司资产值的大小，从而建立更符合实际的模型。并在 修正后的模型下，用特征线差分方法求出数值解。 文章主体在每个章节基本都分为模型建立、模型求解和结果分析三个步骤。 在模型的建立过程中，我们假定公司资产价值服从几何布朗运动，在风险中性 鞅测度下，利用对冲技巧建立方程。然后分别在不同情形的破产条件下( 巴拉 关卡、巴黎关卡、阶梯关卡) ，设定终边值条件进行求解。在模型的求解过程中， 由于引入了一个缓冲时间f ，的概念，从而使公司债券定价的数学模型转化为一个 包括x ，f 和f 的超抛物型方程。由于在这个方程中，只出现解对于f 的一阶微 商，因此利用特征线差分方法( 按照一阶微分方程的特征线形成差分方程) ，这 是一种合乎情理的考虑。在结果分析中，文章还对数值结果进行分析，比较不 同参数对结果的影响，以及各自的金融意义等。此外，我们还对终边值条件做 了一定的修正，考虑了更为实际的情形，并在修正模型下求出数值解作为比较。 文章的最后是结论与展望，在总结全文的基础上提出进一步工作和努力的方向。 9 第2 章巴拉关卡模型 2 1 准备知识 第2 章巴拉关卡模型 2 1 1 关卡期权的相关理论 本文所采用的是结构型方法建立模型，之前关于此类问题的诸多探讨也成 为了本文的重要参照，并在此基础上引入了关卡期权定价理论，其模型中的关 卡值实际上就等价于期权理论中的障碍值。 关卡期权( b a r r i e ro p t i o n s ) 是这样一张欧式期权合约，它的最终收益除了依 赖于原生资产在期权到期日的价格，还与原生资产价格在整个期权有效期内是 否达到某一规定水平( 人们称为关卡值) 有关。 按照原生资产价格达到规定关卡后期权的状态，关卡期权分成两大类：一 类是敲出期权( k n o c k o u to p t i o n s ) ，这类期权的特点是：当原生资产价格达到规 定关卡时，期权终止有效。另一类是敲入期权( k n o c k i no p t i o n s ) ，这类期权的 特点是：当原生资产价格达到规定关卡时，期权开始有效，此时关卡值也被称 为激发值( t r i g g e r ) 。 在金融市场上关卡期权是相当普遍的一类期权，投资人购买这类期权的目 的，是因为关卡期权相对于标准欧式期权来说要便宜。当然这取决于投资人对 未来原生资产价格走势的估计。 关卡期权必须根据“敲出”与“敲入”，“看涨”与“看跌”的不同情况， 给出不同的定解区域，在关卡值s = & 上的边界条件，以及在t = t 时的终值条 件。在定解区域内，所有关卡期权适合同一个b l a c k - s c h o l e s 方程： 里+ 三盯2 s 2 箕+ ( 卜口谘一o v 一，v ：0 西2邵a s 其中， 矿是期权金，r 是无风险利率( 常数) ，q 是红利率，s 是股价。原生资 产价格演化遵循几何b r o w n 运动 1 0 第2 章巴拉关卡模型 a s , = p d t + c r d t a t 形+ 西 。 这里期望回报率( e x p e c t e dr e t u r nr m e ) ( 常数) ， 盯波动率( v o l m i l i t y ) ( 常数) ， 讲e 标准b r o w n 运动( s t a n d a r db r o w nm o t i o n ) ， e ( d w , ) = 0 ， 黼( 彤) = d tv a r ( d w i ) = d t 总而言之，关卡期权的定价问题是求解b l a c k s c h o l e s 方程的一个特定的终一 边值问题，它与标准期权比较，多了一条边界s = & 以及相应的边界条件。它的 求解区域、边界条件以及终值条件将根据关卡期权的具体类别确定。 由于关卡期权的期权金低于标准期权的期权金，因此对投资人有吸引力， 但关卡期权存在着以下的不足： ( 1 ) 对于一个敲出关卡期权持有人，往往由于原生资产价格在短时期内的 触及关卡值，而使他失去全部投资。 ( 2 ) 当原生资产价格接近关卡值时，由于持有人和出售人具有不同的厉害 关系，往往引发对市场的短时期操纵。 ( 3 ) 由于原生资产价格通过关卡值时，套期保值的份额是间断的，因此当 原生资产价格接近关卡值，出售人为风险管理的需要，必须及时调整对冲策略。 为此人们考虑引进新的思路去修改关卡期权的合约条款。我们把这类经过 修改的关卡期权统称为修正的关卡期权( m o d i f i e db a r r i e ro p t i o n s ) 。 2 1 2 模型假设 标准下降敲出关卡期权的概念是当原生资产价格下跌到某个关卡时，期权 立即失效，相应于公司债券问题中则是当公司资产价值下跌到关卡值时，公司 立即宣布破产进入清算程序。而修正关卡的思路是：当公司资产下跌到关卡值 时，公司并不立即破产违约，它将经历一个缓冲过程，对这个缓冲过程的刻画 有多种方式，本文分别定义为巴拉关卡、巴黎关卡和阶梯关卡。在这一章中， 我们先以巴拉关卡为例进行讨论。 第2 章巴拉关卡模型 为了建立模型，我们要做一些基本的假定，这些假定借鉴了m e r t o n 2 、 b l a c k 和c o x 3 】、b r i y s 和d e v a r e r m e 8 等文章中的内容，并加入了巴拉关卡对 于缓冲过程的刻画，简要归纳如下： 1 假定发行债券的公司资产值y 满足随机微分方程： 三 = 田+ 盯媚 ( 2 1 ) 其中，、盯是常数，卢是指期望回报率( e x p e c t e dr e t u r nr a t e ) ，盯是指波 动率( v o l a t i l i t y ) ，z l 是标准w i e n e r 过程，即e ( 喝) = 0 ，v a r ( a z l ) = d t 。 2 为简化模型，假设短期利率，为常数。 3 公司资产值与其资本结构无关。 4 假设在f 时刻，无违约可能的零息国债的价格为k d ( t ) ，其中即) 是票面值为 1 到期日为t 的零息国债价格，k 是债券面值，丁是债券到期日。公司债券 的违约边界为k d ( t ) 。当v k d ( t ) 时公司能继续运营，而当公司总资产低于 k d ( t ) 的累积时间f 达到合约规定的天数m 时，公司立即破产并进入清算重 组程序。f 是在 0 ，t 时段内，公司资产在边界以下的累积徘徊时间，即 = 【h ( k d ( t ) - y ( t ) ) d r ( 2 2 ) 这里荆是h e v i s i d ei 茧l ，踯) = 髓髦 5 公司一旦破产，由于拍卖，资产值将变为( 1 一a o k o 。为简化模型，假定破产 成本脚( 0 s 1 ) 为常数，且公司债券为零息票债券。 6 假定市场是完全的，无摩擦的，即不存在任何交易成本，且所有相关证券是 连续交易的。 2 2 模型建立 我们的目的是在上面这些假设条件下确定现时的公司债券价格。设 尸= 以巧，t , r ) 7 t 4 l d = z ) ( f ) 分别为票面值为1 到期日为t 的公司零息票债券价格和 相应的零息国债价格。 根据债券定价理论可知，零息国债价格等于票面价值的贴现值。由于假定 了r 为常数，所以易知零息国债价格d ( t ) = p 一“7 。 1 2 第2 章巴拉关卡模型 令x = i v ，则在风险中性鞅测度下，d x - - k - - = # d t + 盯喝 ( 2 3 ) 令x = i ，则在风险中性鞅测度下， = + 盯喝 ( 2 3 ) a一一 鼢的定义，易知生d t 髅；篙 汜t ， 利用一对冲原理，构成投资组合n ：n = p 一石。选取，使得1 7 在( t , t + d t ) 是无风险的。由于棚：d p 一掰，由矗；公式得到： 卯= 擘o t + 竺o r 立d t + 2x 2 o x 出+ 罢趔 、 “ 料 i 玟a 西0 1 ，从而由扣= ，h d t ，推得： 当x d 时，只+ 霎x ：+ r x p x 一，p ；o ( 2 6 ) 再由连接条件：p ( d + o ，f ，f ) = p ( d o ，f ，f ) ，i o i p ( d + o ，f ，f ) = 乏o i p ( d o ，f ，f ) ，方 程( 2 5 ) 、( 2 6 ) 可合并为： 卫+ h ( d x ) p + 霎x 2 + r x p x r p ：o ( 2 7 ) 求解区域： o x a o ，o f r ，0 _ r _ m i n ( m ，f ) 终值条件为：p ( x ，t ，f ) = 1 ，( 0 z o o , 0 f m ) ( 2 8 ) 边界条件为：e ( x ，t ，m ) = ( 1 - c o ) d ( t ) ，( 0 x 0 ) 时， 盟+芦掣】一02at2 a x2 鸭】- 0 ； 组 2 1 。2 缸 当j 0 ( 即i 0 ) 时， 监a 巫t + 2 【监学】一2 琏2 盟a x 】- o 。 ( 2 1 3 ) x 2 。 彤= 1 ( i = o ，+ 1 ；，= o ，l ，l ) ，吮= ( 1 - o j ) e - r ( t - “( i = 0 ，1 ，；n = o ，1 ，n ) 。 这里我们用的是显式的差分格式算法。当疗= n 时p 的值为已知，而在已知 茚1 的情况下，利用叠代格式( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 就可以求出力的值。依次类 推，我们就可以通过求解( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 得到所有此的值。 2 4 结果分析 不难看出，问题( 2 7 ) 、( 2 8 ) 、( 2 9 ) 和经典的期权定价公式b l a c k s c h o l e s 方程很类似，所不同的是加入了边界也就是关卡的限制，同时，终值的选取也 是有所不同的。 实际上当膨寸r 时，关卡似乎就不发挥什么作用，此时的债券定价模型转 化为类似的标准期权定价模型，但同时也就假设了公司在债券到期前不违约的 情形，与实际相差甚远：当m - 4 0 时，也就相当于假设了公司在资产低于关卡 时立即破产，此时的边值条件也要做相应的修改。由于在这里我们假设了利率 为常数，所以关卡d ( f ) 是关于t 的指数函数，此时可以求出相应的债券价格的显 式表达式，具体过程可参照 1 。 在我们所求问题中，由于加上了修正关卡的假设，所以并不能求出显式解， 下面几幅图是数值解的一些结果。 第2 章巴拉关卡模型 图2 。lp 在r 取不同数值( 分别为0 0 5 ，0 0 7 ，0 0 9 ) 时的关于的分布图m - 0 1 t = o 7 ，t = i ，盯2 = o 0 4 ，r ：o 0 6 ，c o = o 9 。 由图2 1 可以看出，随着公司资产低于关卡的累积时间的增加，也就是f 值 的增加，债券的价格是有所下降的，也就是说当公司资产值低于关卡的累积时 间越长，反映了其偿债能力就相对较低，相应的公司债券的价格就越低，这显 然是合理的。当公司资产值上扬时，债券持有人在未来获得收益的机会越大， 因此债券价值上升，同时价格曲线并不是随着资产的增加而无限增涨的，而是 越来越趋近于面值。 1 6 第2 章巴拉关卡模型 图2 2 最在f 取不同数值( 分别为0 0 5 ，0 0 7 ，0 0 9 ) 时的关于x 的分布图m = 0 1 ， t = 0 7 ，t = i ，o - 2 = o 0 4 ，r = 0 0 6 ，国= o ，9 。 图2 2 反映出了a ( d e l t a ) 关于公司资产值的变化过程。在我们之前的分 析中可以知道，对于债券的出售方来说，是由对冲原理选取的原生资产份额， 以此来对冲由于出售债券所带来的风险。由图2 2 可以看出，该对冲份额在公 司资产处于关卡值( d ( 0 7 ) = o 9 8 2 2 ) 附近取到最大值，也就是说当公司资产跌 到关卡值时，将面临较大的风险，这显然也是和实际情况相吻合的。 1 7 第2 章巴拉关卡模型 图2 3 在f 取不同数值( 分别为0 0 5 ，0 0 7 ，0 0 9 ) 时关于x 的三分布图m = 0 1 ， t = 0 7 ，i - - 1 ，盯2 = o 0 4 ，r ：0 0 6 ，：o ，9 。 图2 3 反映出了f ( g a m m a ) 关于公司资产值的变化过程。r 是对于原生 资产的变化率。从理论上讲，为了达到对冲目的，需要不断调整的份额，为了 恰当估计调整的频率，r 的大小恰好反映了这一点。如果r 较小，则变化比 较慢，因此可以不急于调整；相反地，如r 较大，则表示对于x 的变化相当敏 感，如果不在适当时间内加以调整，必将带来风险。由图中不难看出，随着f 值 的增大，r 值越大，也就是说当公司资产在关卡值以下徘徊的时间越长，调整a 的频率越大，对于x 的变化越敏感，应当及时加以调整。 第2 章巴拉关卡模型 图2 4p 在盯2 取不同数值( 分别为0 0 4 ，0 0 8 ) 时的关于x 的分布图m = o ，1 ， f = 0 0 5 ，t = 0 7 ，t = i ，r - - 0 0 6 ，印= o ，9 。 图2 4 反映了参数盯2 对于债券价格的影响，可以看出，盯2 越大，债券价格 的落差越大，也就是说波动率越大，公司资产值上扬和下跌的波动增加，债券 持有人所面临的投资风险越大。 图2 5p 在r 取不同数值( 分别为0 0 2 0 0 8 ) 时的关于t 的分布图x = d ，m = 0 1 ， 1 9 第2 章巴拉关卡模型 1 - - 1 ，口2 = o 0 4 ，f ：o 0 5 ，0 3 = o ，9 。 图2 6p 在f 取不同数值( 分别为0 0 5 ，0 0 7 ，0 0 9 ) 时的关于t 的分布图x = d m = o 1 ，t = i ，盯2 = o 0 4 ，r = 0 0 6 ，缈= o 9 。 图2 5 和2 6 反映了随着时间的推移，该零息公司债券价格的交化情况。 在到期日，它们将以面值销售。而到期之前，由于货币的时间价值，债券销售 时会按面值打折。价格随时间推移，越来越接近面值。 第2 章巴拉关卡模型 图2 7p 在取不同数值( 分别为0 9 ，0 7 5 ，0 6 ) 时的关于t 的分布图x = d ， m = 0 1 ，t - 1 ，f = 0 0 5 盯2 = 0 0 4 ，r = 0 0 6 ，出卸9 。 由图2 7 可以看出，随着国的递减，公司债券的价格是递增的。这是由于 边界条件p ( x ，t ，m ) = ( 1 一缈) d ( f ) 是m 的减函数，当公司破产进入清算程序时，可 收回的资金越大，显然该债券的市值相对较大。 图2 8 零息国债和p 的价差关于z 的分布图m = o ，1 ，t = i ，t = 0 7 ，r = 0 0 5 ，盯2 = 0 0 4 ， 2 l 第2 章巴拉关卡模型 r = o 0 6 ，= o 9 。 图2 8 是有相同到期日t 和相同票面值l 的零息国债价格和公司债券价格的 差额关于x 的分布，由于国债可以认为是无风险的，所以比较两者的价差可以 看出公司债券的风险性。由图中可以看出公司资产价值越小，价差越大，说明 风险越大，实际上，公司资产值越小，公司违约的可能性也就越大，两者是吻 合的。 图2 9 公司债券价格p 关于x 的分布图m = o 1 ，t i l ，t = o 7 ，2 = o 0 4 ，r = o 0 6 = o 9 。 图2 9 比较了标准关卡和巴拉关卡下模型的数值解。实际上，当取m = 0 时， 相当于公司资产一触及关卡时就立即破产，也就是标准关卡下的情形。由上图 可以看出，在标准关卡下公司资产小于等于关卡值时，债券价值都为( 1 一c o ) d ( t ) 。 而巴拉关卡则不然，只要f 没有达到合约规定的天数m ，债券仍然是有效的。 容易看出，标准关卡的情形比修正关卡的情形所冒的风险更大，因而债券价格 也就相对较低，这和实际情况是吻合的。 第2 章巴拉关卡模型 图2 1 0 公司债券价格最关于x 的分布图m = 0 1 ，t = i ，t = 0 7 ，盯2 ：o 0 4 ，r - - 0 0 6 ， 0 3 ：o 9 。 图2 1 0 比较了标准关卡和巴拉关卡下( d e l t a ) 的情形。可以看出，在公 司资产x 大于关卡值d ( 0 时段内，标准关卡下的d e l t a 要比巴拉关卡下的d e l t a 大，同样也反映出标准关卡的