（大地测量学与测量工程专业论文）样条曲线在道路平面线形中的应用研究.pdf

重庆交通大学学位论文原创性声明 i f lli i ir lll l fi rllifj 19 0 2 3 31 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：榻只l 粒 日期：加f o 年j 2 月i3 日 重庆交通大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权重庆交通大学可以将本学位论文的全部内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中 国科学技术信息研究所将本人学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并 进行信息服务( 包括但不限于汇编、复制、发行、信息网络传播等) ，同时本人 保留在其他媒体发表论文的权利。 学位论文作者签名：桶懈 日期：2 d l o 年j z 月jg 日 指导撕签名：锄移 日期：2 io 年i 二月j 扩日 本人同意将本学位论文提交至中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社c n k 系列数据库中全文发布，并按中国优秀博硕士学位论文全文数据库出版章程 规定享受相关权益。 学位论文作者签名：桶j 鹕 同期：盈j o 年j 2 月1g 日 指导教师签名：旁移矽 日期：秒l o 年 厶月l p 日 摘要 随着我国社会的进步和经济的发展，道路在综合交通系统中发挥着越来越重 要的作用。一个地方的道路发展如何几乎可以直接影响该地方的其他方面的发 展。线形作为公路设计的骨架，在整个公路设计及运营过程中起关键作用。我国 现在主要采用直线型设计方案对道路线形进行设计，即直线、缓和曲线、圆曲线 等各种线形的组合来实现公路线形设计，而在一些线形布设较困难的地方，传统 的线形设计会出现一些组合不够理想、环境协调性差等不良因素。因此提供一种 良好的线形设计能提供优美的环境，同时能保证公路具有合理的技术性和经济 型。本文从实际出发，结合各种样条曲线的基本性质，经过公式推导对比以及各 种公式的特性找出最优的一种样条曲线，即c a r d i n a l 样条曲线，来进行道路线形 设计的应用研究。 本文提供了关于对c a r d i n a l 样条曲线进行道路线形设计的一些具体方法，主 要研究内容及成果如下：第一，在众多样条曲线中，通过各种性质的对比确定出 为什么选择c a r d i n a l 样条曲线进行道路线形设计的应用研究：第二，在选择 c a r d i n a l 样条曲线后如何确定曲线上各点的曲率半径来解决曲线弯道处超高、加 宽等问题，以及计算坐标时的误差精度；第三，利用c a r d i n a l 样条曲线对道路的 横、纵断面的一些方面进行具体的设计；第四，利用c a r d i n a l 样条曲线如何计算 控制点的中桩坐标、边桩坐标及其对应的桩号。 关键字：c a r d i n a l 样条曲线，道路线形设计，计算坐标，曲率半径 a bs t r a c t a so u rs o c i a lp r o g r e s sa n de c o n o m i cd e v e l o p m e n t ，r h er o a d si ni n t e g r a t e d t r a n s p o r ts y s t e mp l a y e da l li n c r e a s i n g l yi m p o r t a n tr o l e h o wd e v e l o p p e do fal o c a l r o a di sa l m o s tad i r e c ti m p a c to no t h e ra s p e c t so ft h ed e v e l o p m e n to fl o c a l h i g h w a y d e s i g n e da n do p e r a t i o no ft h ee n t i r ep r o c e s sp l a y e dak e yr o l eb e c a u s eo ft h el i n e a l s oa st h eb a c k b o n eo fh i g h w a yd e s i g n e d o u rc o u n t r yi sn o wt h em a i nd e s i g nu s i n g l i n e a rd e s i g no ft h er o a da l i g n m e n t ，t h es t r a i g h tl i n e ，c a lv e ，v e r t i c a la l i g n m e n t ，a n d o t h e rl i n e a rc o m b i n a t i o nt oa c h i e v eh i g h w a y sa l i g n m e n td e s i g n b u ti ns o m ep l a c e s g e o m e t r i cl a y o u ta n da l i g n m e n ta r em o r ed i f f i c u l t ，t h et r a d i t i o n a ll i n e a rd e s i g nw i l l a p p e a r s o m ec o m b i n a t i o ni s n o t i d e a l ，a n dp o o r c o o r d i n a t i o no fa d v e r s e e n v i r o n m e n t a lf a c t o r s t h u sp r o v i d i n gag o o dl i n e a rd e s i g np r o v i d e sab e a u t i f u l e n v i r o n m e n t ，a n d i tc a l l g u a r a n t e e t h er o a d 诵t l lar e a s o n a b l et e c h n i c a la n d e c o n o m i c a l t h i sr e a l i t y , c o m b i n e d 谢t l la l lt h eb a s i cp r o p e r t i e so fs p l i n e s ，a n da f t e ra f o r m u l ac o m p a r i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c so fav a r i e t yo ff o r m u l a st of i n dt h eb e s to fa s p l i n ec u r v e ，t h ec a r d i n a ls p l i n ec h i v e t ot h ea p p l i c a t i o no f t h er o a da l i g n m e n td e s i g n t h i sa r t i c l ep r o v i d e sat c a r d i n a ls p l i n ec u r v eo nt h er o a da l i g n m e n td e s i g ns o m e o ft h es p e c i f i cm e t h o d s ，m a i nc o n t e n t sa n dr e s u l t sa t ea sf o l l o w s f i r s t ，i nm a n ys p l i n e c u r v e ，t h r o u g hav a r i e t yo fc o m p a r i s o nt od e t e r m i n et h en a t u r eo ft h ec a r d i n a ls p l i n e w h yw ec h o o s e dt h er o a da l i g n m e n td e s i g no ft h ea p p l i c a t i o n s e c o n d ，t h et e n s i o ni n t h ec h o i c eo fh o wt od e t e r m i n et h es p l i n ec u r v ef o re a c hp o i n to nt h ec a l v et os o l v e t h ec u r v er a d i u so fc u r v a t u r eh i g hc o m e r s ，w i d e n i n ga n do t h e ri s s u e sa n dt oc a l c u l a t e t h ec o o r d i n a t e so ft h ee r r o rp r e c i s i o n t h i r d ，u s i n gt h ec a r d i n a ls p l i n ec a l v eo nt h er o a d h o r i z o n t a la n dv e r t i c a ls e c t i o n so fan u m b e ro fs p e c i f i cd e s i g na s p e c t s f o u r t h , t h eu s e o fh o wt oc a l c u l a t et h ec a r d i n a l s p l i n ec u r v eo ft h ec o n t r o lp o i n t si n t h ep i l e c o o r d i n a t e s ，t h ec o o r d i n a t e so ft h es i d es t a k eia n dt h ec o r r e s p o n d i n gs t a k e k e y w o r d s ：c a r d i n a l s p l i n ec a l v e ，t h er o a da l i g n m e n td e s i g n ， c a l c u l a t et h ec o o r d i n a t e ，c u r v er a d i u s 目录 第一章绪论1 1 1 国内外研究现状及发展动态1 1 2 研究的目的及意义1 1 3 主要研究内容及论文结构简介2 第二章各种样条曲线算法及其适用特点4 2 1 三次b 样条曲线的基本原理及公式4 2 1 1 三次b 样条曲线的性质5 2 1 2 三次b 样条曲线的路用特性分析6 2 2 三次样条拟合的基本原理及其一般特性6 2 2 1 三次样条曲线的一般性质8 2 2 2 三次样条曲线的路用特性分析8 2 3 三次参数样条曲线及其路用特性分析9 2 3 1 一般三次参数样条曲线及其一般特性9 2 3 2 三次参数样条曲线及其路用特性9 2 4 小结9 第三章利用样条曲线进行插值时坐标的计算及其误差1 0 3 1 样条曲线的选择及其计算方法1 0 3 1 1h e r m i t e 样条曲线数学模型1 0 3 1 2 建立c a r d i n a l 样条曲线数学模型1 2 3 2 中桩坐标的计算方法及其误差1 4 3 2 1 不同张力系数的情况下坐标的计算1 4 3 2 2 样条曲线插值时的精度及存在的误差1 5 3 3c a r d i n a l 样条曲线曲率半径的推算1 6 3 3 1利用数学方法进行严密的半径公式推导1 6 3 3 2 利用微元法进行半径公式推导1 7 3 4 小结1 8 第四章c a r d i n a l 样条曲线进行平曲线设计时超高和加宽的计算1 9 4 1 利用样条曲线设计平面线形时的超高设计1 9 4 1 1 曲线曲率半径的设计标准1 9 4 1 2 曲线超高的各种设计方法及适用范围2 0 4 1 3 样条曲线设计中超高的过度2 l 4 2 利用样条曲线设计平面线形时的加宽设计2 2 4 2 1 道路加宽的作用及其设置范围2 2 4 2 2 加宽值的确定2 2 4 2 3 加宽的设置及加宽过渡2 4 4 3 行车视距的保证2 5 4 4 小结2 7 第五章横断面测量及相关数据计算2 8 5 1 横断面的测量2 8 5 1 1 横断面方向的确定2 8 5 1 2 横断面测量方法及数据的采集2 9 5 1 3 横断面图的绘制3 0 5 2 边桩坐标的计算3 0 5 3 中桩坐标与桩号之间的转换计算3 l 5 4 小结3 2 第六章纵断面设计3 3 6 1 纵坡及坡长的设计3 3 6 1 1 最大纵坡3 3 6 1 2 最小纵坡3 3 6 1 3 最小坡长限制3 3 6 1 4 最大坡长限制3 3 6 1 5 平均纵坡3 4 6 1 6 合成坡度3 4 6 2 纵断面竖曲线设计3 5 6 3 竖曲线的最小曲率半径和最小长度3 8 6 4 小结3 8 第七章实例计算3 9 7 1a u t o c a da u t o c a d xa u t o m a tio n 的技术手段及概述3 9 7 2 软件基础知识及功能介绍及计算示例4 1 7 2 1 软件总界面及其菜单功能4 l 7 2 2 计算实例4 1 7 3 小结4 6 第八章总结与展望4 7 8 1 总结4 7 8 2 展望4 7 致谢4 8 参考文献4 9 第一章绪论 第一章绪论 1 1 国内外研究现状及发展动态 早期公路的几何要素是由直线和圆弧组成，并使得圆弧与直线相切，这样的 线形满足了汽车行驶轨迹性质，但在直线与圆弧相切的那一点上却有两个曲率值： 直线上的曲率值为零，圆曲线上的曲率值为1 r 。随着交通量增长和车速提高，后 来发现这种公路与汽车行驶轨迹之间有较大的偏离，于是在直线和圆弧之间引入 一条曲率逐渐变化的缓和曲线。大量的实践证明，公路特别是高速公路由于设置 了缓和曲线，在视觉上线形变得平顺，路线更适合车辆行驶了。它和直线、圆曲 线一样并列为现代公路平面线形的主要线形要素。这三种线形要素的组合，满足 了直线到圆曲线曲率的渐变连续性，但是曲率变化却是不连续。通过采用三次抛 物线形式的缓和曲线变可达到这一要求。但是由于三次抛物线计算比较复杂，在 实践中应用比较少。现在我国大多采用回旋线形式的缓和曲线计算，其符合汽车 行驶轨迹几何性质的两个基本要求，并且满足工程实践的精度要求。 目前，我国国内普遍应用直线型设计方案对道路线形进行设计，选线。其直 接原因是人们往往片面简单的认为线形质量的提高表现为直线与大半径圆曲线的 直接组合。事实上，以直线为主体、先定导线后定曲线的方法，在布设过程中， 导向线控制路线的走向，圆曲线、缓和曲线和曲线只是充当直线的配角，起导线 交点线形和行车过度的作用，并未将直线、圆曲线、缓和曲线看成一个整体进行 研究，加以运用。从而不可避免的导致公路平面线性的均衡性和连续性较差。在 设计过程中，设计人员往往只注重缓和曲线与圆曲线的技术指标的大小以及他们 两者之间的几何关系及其协调性，而忽略直线对整个平面的影响，从而影响公路 线性质量【l2 1 。事实证明，曲线不仅仅可以很好的满足行车要求，而且在适应地形、 构成流畅连续的线形以及与环境相协调等方面都远远由于直线。在德国、日本、 美国等公路交通发达的地方，已经有不少全曲线成果的范例。我国的沪宁高速公 路，全路线曲线也占多数。 总之，曲线形设计方法的产生和发展是伴随着现代测设工具、计算理论和方 法以及设计手段不断进步而逐渐发展起来的。随着人们研究的不断深入，线形设 计方法将在设计应用中不断完善、不断发展。 1 2 研究的目的及意义 高等级公路的迅速发展，给公路以全新的概念。道路已不再是从环境的一处 到另一处的通道，而是能承担足够的交通量、具有流畅优美的线性、富有行车诱 导性以及周边环境景观协调统一的设施。其中线形作为公路设计的骨架，在整个 第一章绪论 公路设计及运营过程中起关键作用。良好的线形设计能提供优美的环境，同时能 保证公路具有合理的技术性和经济型u 引。 在早期的公路的平面设计由于受人们认识水平、测量手段、计算方法的限制， 平面设计方法以先定直线、后定曲线的方法为主。由于直线单元在线性组合中占 组要部分，并且支配和控制路线的走向的作用，其结果难免设计出一些组合不够 良好、工程量较大以及与环境协调性较差的线性，从经济、技术和环境角度看都 不理想。尤其当这种方法应用于组合复杂的公路平面线性设计时，更显得力不从 心，这就迫使人们去探索一些新的设计方法。 公路和城市道路的路线位置都受社会经济、自然地理和技术条件等因素的制 约。设计者的任务是在调查研究、掌握大量材料的基础上，设计出一条有一定技 术指标、满足行车要求、工程费用最省的路线来。现在道路的主要服务对象是汽 车，所以研究汽车行驶规律是道路设计首要任务。在路线的平面设计过程中，主 要考察汽车的行驶轨迹。只有当平面线形与这个轨迹符合或相接近时，才能保证 行车顺畅与安全，而在高速行驶的情况下对汽车行驶轨迹的研究就显得尤为重要。 在现实施工规划中由于采用回旋曲线作为缓和曲线在计算过程中还是比较复 杂，在不同的转弯处要进行不同的曲线组合，这样在实际工程中的设计、计算工 作量就随着路线的加长而明显的增大，而且在山区地方以及一些小范围内布设曲 线比较难以实施，因此如果能用单一线形来代替传统的线性组合，这样就能使工 程量大大减少，而且在计算过程中也更方便。在山区公路线形布设过称中，地形、 地物的严格限制条件启发了人们的思路，设计人员借助数值计算方法进行路线平 面布置。这种方法根据路线布置过程中的控制要求，采用样条曲线拟合使得路线 能精确的通过控制点，所绘制的平面线形具有布线灵活、方便、自由的特点，对 于路线方案布置具有较强的适用性。因此在本文中笔者将结合实际情况给道路线 形设计提供一种设计方法，即利用样条曲线代替传统的线性组合。而样条曲线由 于其线形布设的灵活性，整个曲线可以局部控制，相比于传统线形设计方法在匝 道、山区等布设困难地方更具有实际应用价值1 2 j 。 1 3 主要研究内容及论文结构简介 论文分为八个章节。 第一章绪论部分介绍了论文研究目的、意义和国内外研究现状； 第二章介绍了各种样条曲线的特性； 第三章介绍了c a r d i n a l 样条函数公式，以及计算中桩坐标、如何推导曲线上 点的半径等问题； 第四章结合上一章的内容介绍如何处理曲线的加宽、超高等问题； 第一章绪论 第五章介绍了横断面测量以及如何计算边桩坐标； 第六章介绍了如何利用c a r d i n a l 样条函数在纵断面设计中的应用； 第七章实例计算； 第八章对论文的研究进行了概括和总结，并提出需要进一步研究的内容。 第二章各种样条曲线算法及其适用特点 第二章各种样条曲线算法及其适用特点 “样条”( s p l i n e ) 这个词源自工程设计的一种绘图工具，它是一个富有弹性 可弯曲的木制或塑料制的细长条。绘图时，绘图员用压铁迫使样条通过指定的点 ( 型值点) ，并使调整样条使它具有光滑的外形。从物理上讲，样条满足型值点的 约束，同时使势能达到最小。从数学上讲，这样确定的样条曲线具有连续的一阶、 二阶导数，恰好为三次样条函数。 一般地，k 次样条函数s ( x ) 可以这样定义：给定型值点( x ；，y ；) ，i = o ，1 n ， 设其横坐标从小到大排列为： 则，s ( x ) 满足 ( 1 ) s ( x ；) = y bi = o ，l n ，即通过型值点； ( 2 ) s ( x ) 在每个子区间 x h ，x 。 上为k 次多项式： ( 3 ) s ( x ) 在( a ，b ) 内具有直到k - 1 阶的多项式。 、 因此，k 次样条函数s ( x ) 是在已知区间划分上具有k - 1 阶的连续导数的分段k 次插值多项式s 。( x ) 。下面，笔者将对在工程设计中应用较多的几种样条函数进行 介绍【1 4 】。 2 1 三次b 样条曲线的基本原理及公式 对于给定的m + 4 个空间有序向量p k ( k = o ，1 ，2 ，m + 3 ) ，依次连接各项点构成 的多边形称为b 特征多边形。用三次样条函数去拟合b 多边形而形成的拟合曲线， 称为三次b 样条曲线。三次b 样条的向量式可写成参数为t 的三次参数式，用矩 阵的形式表达如下： 尸( ，) = b 3 h 珐 一l 3 3 l 3 6 o 4 3 3 3 1 p o p l p 2 p 3 ( 0 r 1 ) ( 2 1 ) 式中p 0 ，p 1 ，p 2 ，p 3 是四个角点向量，将他们分解成二维平面上x ，y 方向 上的分量，上式直观的用几何方式表示为： x o ) = 【f 3h t 】吉 一13 3 363 303 l41 ( 2 2 ) o l 2 3 x x x x 。l1j 1 o o 0 第二章各种样条曲线算法及其适用特点 5 y ( 0 - - b 3 h 珐 瓣 展开后按t 的升幂排列，得到三次b 样条的参数形式： x o ) = a o + a i t + 彳2 ，2 + 彳3 f 3 j ，( f ) = b o + b l t + b 2 ，2 + b 3 t 3 ( o ，1 ) 小g 。“ x 彳。：一( x 0 - - x 2 ) 2 彳：( x o - 2 x l + x 2 ) f 2 铲一g 。3 矿x 玩：。+ 胗t + y 蜀= 一饥一少 岛：( y o - 2 y w 必 岛= 一( y o - 3 y z + 3 y z y x o ) = a l + 2 a 2 f + 3 a 3 t 2 y o ) = b l + 2 8 2 t + 3 8 3 ，2 二阶导向量的参数式： x ”o ) = 2 a 2 + 6 a 3 f 少”( f ) = 2 8 2 + 6 8 3 t ( o f 1 ) ( o r 1 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 0 f 1 ) ( 2 6 ) 2 1 1 三次b 样条曲线的性质 ( 1 ) - - 阶导数连续 ( 2 ) 直观性 三次b 样条曲线的形状主要取决于b 特征多边形，而曲线和多边形相逼近( 非 插值拟合) 。在给定了b 特征多边形后，由曲线端点的几何性质便可大致确定出三 0 3 3 。 3 石o 4 l 3 o 3 o 第二章各种样条曲线算法及其适用特点 次b 样条曲线的位置和形状。 ( 3 ) 局部变动性 从上述分析不难发现，改动b 特征多边形上的任何一个顶点，只会影响到以 该点为中心的邻近四段拟合曲线。这一性质给三次b 样条曲线的广泛使用带来了 极大地方便。 ( 4 ) 凸凹性 样条拟合中第i 段曲线总是落在对应的第i 段特征多边形所构成的凸凹包之 中，这一性质对于控制拟合线性的方位、满足控制条件非常有用【1 4 1 。 2 1 2 三次b 样条曲线的路用特性分析 ( 1 ) 线形相似性。三次b 样条曲线是一种灵活有效地逼近工具，理论上讲，将 它作为公路线性拟合是比较理想的。利用它的一些处理技巧，基本上能解决三次b 样条曲线不通过控制点的问题，并能根据线形组合的要求构造出直线、曲线以及 反向曲线等形式，与公路曲线线形组合具有类似性。可以肯定，利用这一性质将 三次b 样条曲线应用于路线或立交线性的布设，是有效可行的。 ( 2 ) 线形可塑性。从前面分析可以知道，相邻的四个点形成一段三次b 样条曲 线。公路线性设计应用时，若认为某处曲线位置不恰当，调整对应点的位置，只 会影响相邻两端曲线的布置，不会影响整条曲线的形状。这一良好的路用特性为 拟合曲线的适时修改及方位控制提供了方便。 ( 3 ) 用于公路平面线形，曲线的曲率比较容易控制。可以跟踪和检验拟合曲线 上任一点的曲率，并与标准相对照，从而检验曲线线形质量的好坏。 ( 4 ) 三次b 样条曲线虽然达n - 阶连续，当其光顺程度主要取决于对应的特 征多边形的位置。只有当给定的顶点间距相等时，拟合曲线才有比较好的光顺性。 ( 5 ) 三次b 样条曲线拟合属于逼近拟合，若不用一些处理技巧，生成的曲线 一般不通过控制点。因此，在进行线位控制严格的山区公路或立交匝道线形布设 时，控制点的位置应根据线形布置的要求给定。 2 2 三次样条拟合的基本原理及其一般特性 若函数s ( x ) 在 a ，b 中具有二阶导数，且在 a ，b 的n 个小区间( x ；，x i + 1 ) 上是三 次样条多项式，则称s ( x ) 为上次样条函数。 设s ”( x ) = m 。，m ；为待定参数由于s ( x ) 是分段三次多项式，故其二阶导数为分 段线形多项式： s ”g ) = m i - i 铧忽一。) + m , ( x - x i 。 “x 鼠) ( 2 7 ) 式中： 吃一l = x f x h 第一二章各种样条曲线算法及其适用特点 两次积分，并用插值条件s b h j = y “，s 协，j = y ，作为定解条件消除积分常数， 刚吡喏+ h 一华 掣+ 卜华 掣 + m 垒二垫!( 2 8 ) 三次样条函数具有一阶导数连续性，则有： s ”( x - o ) 吡每+ 一一华 去+ 卜竽 去 = 等+ 卜铡击+ 一半浔h i = s g ，+ o ) 整理得：，m f _ l + 2 m ，+ 以m l + l = d ( 2 9 ) 舯叫，2 彘 丑= 1 一“ 儿一6 p 一垅 叫蚓 4=6厂gr一-，x，x，+t)=l二弓詈j；：=：型 上式中有n - 1 个未知数，因此分别考虑下列两个路用条件： 第一种：路线或匝道起、终点连接主线或匝道的圆弧或缓和曲线的某一点。 显然给定点的切线方位角已知，即有边界条件： s 。g 。) = y o ，s ”g 。) = y ： 吼2 毕6 ( 学叫培6 儿0 1 - x o + x i 2 虬。= 6 卜等 亡叫k n - i x n t x n 亿埘 第二种：路线或匝道的起点、终点连接直线，即有边界条件： 第二章各种样条曲线算法及其适用特点 s k ) = y o = m o ，s 。g 。) = y ：= m 。 且存在： + s 甜2 = o j m 。= 0 + s “2 = o j 帆= 0 将边界条件和其他方程联立可以求得m 。( i = o ，1 ，2 - n ) ，同时可建立样条函数 s ( x ) 在每个小区间上的表达式l 引。 2 2 1 三次样条曲线的一般性质 三次样条拟合曲线属于插值样条曲线，其一般特性如下： ( 1 ) 曲线拟合通常采用局部坐标形式，比较符合公路平面线形布设的实际，不 仅使用拟合设计工作在没有坐标的情况下能照常使用，而且曲线敷设工作也变得 比较容易 ( 2 ) 拟合曲线分段有小挠度的三次多项式曲线构成，数学表达式简单统一，计 算简洁，便于应用 ( 3 ) 三次样条拟合曲线能保证整体达n - 阶连续，线形光滑，具有较好的保形 功能，一般不容易出现多余的拐点，是一种比较理想的大挠度插值工具 ( 4 ) 拟合时选点比较自由，除满足公路平面线形布设控制的要求外，无其他特 殊要求，便于设计人员实际操作 ( 5 ) 拟合曲线具有整体大挠度、局部小挠度特点，并且曲线通过给定的控制点， 拟合曲线整体形状偏离控制点的位置较小。这一特点有利于设计人员对线路位置 进行控制，更利于平面线形的布设 2 。2 2 三次样条曲线的路用特性分析 ( 1 ) 由于三次样条曲线具有整体大挠度，局部小挠度的特点，在利用其进行公 路尤其是山区公路平面设计时，为了便于对路线位置及走向进行良好的控制，更 好的满足地形、地物及环境的控制要求和条件，路线的位置控制点一定要选择那 些控制较为严格的地方，在控制越严的地方，控制点应越密集。 ( 2 ) 一般情况下控制点间的距离不宜过小，以免造成曲线过分零碎，影响线形 行车功能。单间距不宜过长，以免影响拟合对路线线位的控制。一般来说，对于 山区公路，控制点间距以接近相应的公路等级的最小缓和曲线长度为宜，且在条 件不过分严格的要求下以均匀间距最为理想【1 4 】。 第_ 二章各种样条曲线算法及其适用特点 2 3 三次参数样条曲线及其路用特性分析 2 3 1 一般三次参数样条曲线及其一般特性 1 三次参数样条曲线是将曲线的每一个分量先用某种样条函数表示，然后将 其在形式上合并起来而组成的，期一般形式如下： x u j 2 口o + a l t + t 1 2 f + 口3 f 。 y o - - b o + 6 1 f + 6 2 r 2 + 6 3 r 3 ( 2 1 1 ) 式中t 为某种参数 2 三次参数样条函数具有以下特性： ( 1 ) 三次参数样条曲线是具有几何不变性，且使用于大挠度曲线； ( 2 ) 参数样条函数较之一般的多项式函数曲线要复杂，往往很难从各分量的性 质推断出参数；的几何特性，即直观性差，曲线拐点不容易控制，结果可能造成 曲线不光滑，这给工程应用带来了很多不方便； ( 3 ) 对于三次参数样条曲线，工程实际中应用得较多的是累加弦长三次参数样 条曲线，这种曲线插值效果较好，计算可靠，它很容易推广到空间曲线的差值。 2 3 2 三次参数样条曲线及其路用特性 ( 1 ) 作为公路线形要素和曲线拟合设计方法，累加弦长三次参数样条曲线满足 了插值和几何不变性要求，在小挠度情况下使用一般不会出现多余奇点及连续拐 点的情况，曲线的平顺也比较好，因而完全可以将它作为公路线性要素并用于公 路线形拟合设计； ( 2 ) 对于公路线形设计来说，一般遇到的曲线多数属于大挠度的情况，而其设 计时往往不希望将型点值取的太密集，这样做使得整条曲线分段太多，曲率变化 太琐碎，给设计带来许多的问题和不便； ( 3 ) 这种曲线很容易推广到空间曲线插值的特性，为进行空间线形的研究提供 了良好的条件1 1 4 j 。 2 4 小结 在一章主要介绍了现在工程应用中各种占主流的样条曲线。笔者查阅多方面 的资料，并结合道路的一些特性，对比各种样条曲线的特性，总结出了样条曲线 在道路曲线设计中的路用特性。 第三章利用样条曲线进行插值时坐标的计算及其误差 第三章利用样条曲线进行插值时坐标的计算及其误差 在本章节中，利用样条曲线对相邻的两个型值点进行插值，首先根据已知条 件计算出这段区间内的样条函数表达式。然后利用各种办法计算出需要计算曲率 半径的半径值。根据这些计算出的曲率半径与各等级公路的规范准则进行比较， 若是符合标准则在此基础上利用数学的方法结合实际条件找出最优的插值路线； 若是不符合标准，则调整曲线的相关参数使得插值曲线满足条件，并在此基础上 找出最优路线。 当我们确定这段区间内的插值公式后，就可以根据其参数方程计算这段区间 内的任一点的坐标值，这样就可以得出平面曲线上的各中桩坐标，也可以计算出 对应点的桩号。在本章节中笔者将对样条曲线作为道路平面设计曲线存在的各种 误差进行分析，并给出了中桩坐标计算的误差精度的算法。 3 1 样条曲线的选择及其计算方法 根据前面第二章对于各种样条曲线的特性比较，三次参数样条曲线具备几何 不变性，且适用于大挠度曲线。比一般的三次样条函数具有优越性。这种曲线很 容易推广到空间曲线插值的特性，为进行空间线形的研究提供了良好的条件。一 般来说，参数样条函数较之一般的多项式函数曲线要复杂，往往很难从各分量的 性质推断出参数的几何特性，即直观性差，曲线拐点不容易控制，结果可能造成 曲线不光滑，这给工程应用带来了很多不方便。因此只要利用一些数学的手段解 决了这个问题，利用三次参数样条曲线进行道路平面线形设计是完全可以的，并 且相比与其他的样条曲线更具有优越性。 三次参数插值样条曲线由分段的三次多项式来描述，加入其参变量为t ，则分 段三次参数插值样条曲线的表达式的一般形式可以写成： p ( t ) = b i + b 2 t + b 3 t z + b 4 t j( o t _八一明一 心一 如一 二 二 出2 第三章利用样条曲线进行插值时坐标的计算及其误差 图3 3 控制点p k 和p k ，处的斜率分别与弦最一l 最+ i 和最只+ 2 成正比 f i 9 3 3t h es l o p eo fp ka n dp k + 1i sp r o p o r t i o n a it os t r i n g 最一l 乓+ l 张力系数较小张力系数较大 图3 4 张力系数t s 在曲线形状中的作用 f i 9 3 4t h et e n s i o no o e f f i c i e n t r o i ei nt h ec u r v es h a p e 用类似h e r m i t e 样条曲线中的方法，可以将边界条件式转化为矩阵形式： 删廿h t - 12 - 葺 p o p 1 p ： p ； 这里s = ( 1 - t s ) 2 。 将矩阵方程展开成多项式，有： 尸o ) = 忍一。( 一盯3 + 2 盯2 一盯) + 忍 ( 2 一s ，3 + g 一3 1 2 + 1 】 ( 3 3 ) + 最+ 。k 一2 3 + ( 3 2 s 2 + 盯】+ 丘+ ：s t - - s f 2 ) ( 3 4 ) 由此可以看出，利用c a r d i n a l 样条曲线进行道路的平面线形设计，只要知道 任意相邻四个控制点的坐标值就可以对中间两个控制点进行平面线形插值。而且 第三章利用样条曲线进行插值时坐标的计算及其误差 可以根据不同规范准则调整曲线的松紧程度达到满足要求的样条曲线，也可以在 满足条件的情况下，结合施工量、经济条件、实地现状等因素选择出一条最合理 的曲线作为道路的平面线形【8 1 。 3 2 中桩坐标的计算方法及其误差 3 2 1 不同张力系数的情况下坐标的计算 在上一节中，笔者给出了c a r d i n a l 样条曲线的参数函数公式，当我们要计算 一段区间内任意点的分量( x ，y ，z ) 时，只需取相应的t 值代入样条曲线公式计算即可。 在道路平面曲线设计中桩坐标的计算中也是利用这个方法来计算坐标( 根据实际 情况我们只考虑分量( x ，y ) ，即中桩的平面坐标) 。 下面笔者将举一个简单的计算范例来说明在不同的张力系数下坐标的计算方 法： 假设相邻的四个型值点的坐标分别为：k 0 ( 6 ，1 ) ，k l ( 2 ，2 ) ，k 2 ( 3 ，4 ) ，k 3 ( 6 ，5 ) ， 求k 1 到k 2 间一些控制点的坐标值。 在这里，出于条件的考虑，取张力系数值t s = l ，即s = o 相应的c a r d i n a l 样条曲线计算公式为： m = p 3h j 苫三2 - 1 1 2 苫1 i2一 i 1000 p o p 1 p ： p ； 化简为：( ； = _ 2 t 3 + 3 t 2 + 2 3 ， r o , l l 当t = 0 5 时，则相应的x = 2 5 ，y - - 3 注：当t 取0 或l 是，则公式计算的是两个端点的坐标，当t 取0 到1 之间的 任意实数时，则计算出样条曲线上的各个点的坐标值。 在道路的曲线设计中，我们可以将t 值赋予实际意义，即起点到未知点的分段 弧长与总弧长之比，这样t 值就可以在规定的区间内取值。 当张力系数t s = 3 时，这时候相应的计算公式为： ：f ，- 8 t 3 ，+ 1i t 2 ：以l2 ， o ，l 】 l 】，ji l o f 3 + 1 5 t 2 3 t + 2j r ”1 当t - - - 0 5 时，则相应的x = 2 7 5 ，y = 3 因此，可以看出，如果需要得到道路曲线上各个点的中桩坐标值，可以取相应 的参数值代入对应的曲线方程内进行计算，这样得到的坐标值就是相对应的中桩 第三章利用样条曲线进行插值时坐标的计算及其误差 坐标值。 3 2 2 样条曲线插值时的精度及存在的误差 用n 次插值多项式见g ) 近似代替被插值函数厂g ) ，得近似等式 厂g ) p 。g ) 其误差r 。g ) 厂g ) 一p 。g ) 为插值公式的余项或截断误差 用记号l 表示包含实数x ，x 。，x 。，x ：j 。的最小闭区间，记号z 表示含于l 中的 最大开区间，又记 w n + 。= g x 。k x 。) g x 。)( 3 5 ) 设，x 。，x ：邑是互异的实数，对于给定的实数x ，实值函数厂o ) 在区间l 上 具有n + 1 阶导数，则插值公式的截断误差为： 砩) = 错g ) ( 3 6 ) 其中孝t ，且依赖于x 在本文中，笔者利用的是c a r d i n a l 样条函数在区f n j x l ，x 2 进行的插值，显然其 截断误差为： r ( x ) = 掣g 一融一。融一x ：融一x ，) ，且孝x l , x ) ( 3 7 ) 证明：当给定的x 恰是某个节点x i 时，r 刀g ) 两边为零显然成立。当给定的x 异于 所有节点时。构造辅助函数 g o ) = 厂( ，) 一p 。( ，) 一! 毛专j j 毒s 盟+ 。o ) 因厂( ，) ，p 。o 痢+ 。o ) 都在l 上n + 1 次可微，故函数g ( t ) 也如此。则函数有n + 2 个互异的零点x ，x 。，x 。，x ：x 。由r o l l e 定理可知g ( t ) 在区f n ql 内至少有n + 1 个 互异的零点。在对函数g 他) 使用r o l l e 定理，可知在内至少有n 个互异的点使 得g ”o ) = o 如此反复的使用r o l l e 定理，最后可知至少存在一点孝t ，使得 g ( ”1 ) g ) = 0 第三章利用样条曲线进行插值时坐标的计算及其误差 孝显然与所给的x 有关。由于 g 如“o ) = 如+ l ( f ) 一! 毛享三毒s 盟( 疗+ t ) ! 因而有 删- p 协错g ) 其中善且依赖于x 证毕【l o 】。 3 3o a r din ai 样条曲线曲率半径的推算 3 3 1利用数学方法进行严密的半径公式推导 在曲线设计中，各类要素都与曲率半径有关，不同于传统的圆曲线半径，样 条曲线半径是随时变换的，且没有固定的规律。因此要计算相关曲线要素，必须 明确的知道各个点的曲率半径，下面笔者将利用数学的方法推导出j i l l 率半径的一 般公式。在应用过程中只需要带入相关数值即可得到相应的曲率半径值2 0 1 。 设曲线的直角坐标方程为y ：f ( x ) ，且f ( x ) 具有二阶导数 由于曲线的一般性，其一介导数可以为任何实数，则继续设y = t a n a 则y 一：s e c 2 口华 d a y 。y 。 = - 2 d x 1 + t a n 2 口 1 + y 2 于是d a = r 兰万出 设s 为曲线上任意一段弧线 则弧元长公式d s ：、i 丽 即曲线上任意一点的曲率为k ：且 ( 3 8 ) ( 1 + y , 2 乒 若曲线为参数表达式 薹搿，其中t 为参数 则曲线的曲率表达式k ：芝生丝：生! 二竺：生錾堑2 |( 3 9 ) 砣o ) + 沙佗o ) 乒 第三章利用样条曲线进行捅值时坐标的计算及其误差 根据前面我们可以知道曲线的参数方程为： p o ) = 最一。( 一3 + 2 j f 2 一s t )