（应用数学专业论文）三类生态模型解的渐近性及一类造血模型的hopf分支.pdf

三类生态模型解的渐近性及一类 造血模型的h o p f - 分支 王爱丽 摘要数学生态模型解的渐近性是非常重要的研究课题在已有的研究结果 中，许多学者只考虑某些特定的具体模型。而在实际环境中，影响种群密度变化规 律的因素是多方面的，其间的关系也呈复杂多样性因此，对一般的生态模型的研 究，就具有更广泛的理论和实际价值生态模型中某些参数的变化会引起种群稳定 性的变化，从而产生周期解( 或极限环) ，即出现所谓的分支现象这种现象在造血模 型中显得尤为明显，这是因为生物种群的生理机能不仅受自身发展状况的影响，面 且受周围环境的影响本文首先研究了三类生态模型解的渐近性，其中包括正平衡 态的存在性和稳定性、周期解的吸引性、持久生存域的存在性等，其次讨论了一类 造血模型的分支问题 种群的密度变化率往往很复杂，不但跟其当前时刻以及以前的某一时刻( 时滞 现象) 的密度有关，而且其间的关系通常并不是简单的线性关系，而是非线性的为 更接近实际情况，第二章引入更为一般的密度制约函数，讨论具有广义密度制约的 l o g i s t i c 单种群生态模型利用特征方程，得到了其唯一正平衡态局部无条件稳定的 充要条件通过构造l y a p u n o v 泛函和利用微分不等式，得到了其一致持久和全局吸 引的充分条件通过实例，验证了文中定理条件的可实现性， 现实世界中，生态系统及其参数受季节变化、食物增减及动物配偶习惯等诸多 因素的影响，且其并非都是周期性变化为更真实的反映这些变化规律，第三章研 究具有扩散的捕食与被捕食渐近周期系统，该系统中的所有系数分别渐近于某一确 定的周期函数通过构造辅助系统和l y a p u n o v 函数，证明了原系统、其相应的周期 系统及辅助系统的一致持久生存性应用b r o u w e r 不动点原理，证明了其相应的周 期系统及辅助系统分别存在唯一全局吸引的正周期解利用比较原理，得到了原系 统的所有正解均渐近于其相应的周期系统的周期解的充分条件 已有文献表明，两个不稳定的斑块体系可以通过相互扩散而达到种群的持续生 存另一方面，自然界中的时滞现象往往与扩散同时发生基于此，第四章对具有 扩散和时滞的捕食系统引入m a c h a e l i s m e n t e n 型功能性反应函数，研究具有多时滞和 一般扩散项的两种群非自治生态系统通过构造l y a p u n o v 泛函，研究了系统的正不 变集的存在性及解的有界性进一步通过构造持久生存函数，得到了该系统的持久 生存域，给出了其一致持久生存的充分条件 第五章研究了一类具有连续时滞和干扰的造血模型利用特征方程和分支理论， 得到了该模型出现分支周期解的分支值应用可解性条件及隐函数存在性定理，给 出了该模型的非平凡周期解的形式及其近似分支周期解 关键词；全局吸引性无条件稳定性一致持久性h o p f - 分支 1 1 a s y m p t o t i cb e h a v i o rf o r t h r e et y p e so fe c o l o g i c a l m o d e l sa n d t h eh o p fb i f u r c a t i o nf o r am o d e lo f h e m a t o p i e s i s w a n ga i - l i a b s t r a c ta s y m p t o t i cb e h a v i o rf o re c o l o g i c a lm a t h e m a t i c sm o d e l si sa ni m p o r t a n tr e s e a r c h s u h j e c t i nt h ep r e s e n tr e s e a r c hr e s u l t s ，s o m es p e c i f i e dm o d e l s a r es t u d i e db ym a n ys c h o l a r s h o w e v e r ，i n r e a le n v i r o n m e n t ，t h ef a c t o r sa f f e c tt h ev a r i a t i o no fp o p u l a t i o nd e n s i t ya r em a n y - s i d e d ，t h er e l a t i o n b e t w e e nw h i c hi sd i v e r s i f i e da n dc o m p l i c a t e d t h e r e f o r e ，t h er e s e a r c ho ft h eg e n e t i ce c o l o g i c a lr o o d - e 1 8i sm o r ev a l u a b l ei nt h e o r ya n di np r a c t i c e s o m ep a r a m e t e r s v a r i a t i o no fe c o l o g i c a lm o d e l s w i l lc a u s et h ev a r i a t i o no fp o p u l a t i o n ss t a b i l i t y ，w h i c hc r np r o d u c ep e r i o d i cs o l u t i o n ( o rf i m i te i r - c l e ) b i f u r c a t i o np h e n o m e n o ni sak i n do fi t t h i sp h e n o m e n o n i sm o r ec o m m o ni nt h em o d e lo f h e m a t o p o i e s i s ，b e c a u s et h ep h y s i o l o g i c a lm e c h a n i s mo fp o p u l a t i o na r ea f f e c t e dn o to n l yb yt h e i r d e v e l o p m e n tb u ta l s ob yt h ee n v i r o n m e n t i nt h i sp a p e r ，t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h r e et y p e so f e c o l o g i c a lm o d e l s a r ei n v e s t i g a t e df i r s t l y , w h i c hi n c l u d e st h ee x i s t e n c ea n d s t a b i l i t yo f p o s i t i v e t r i v i a l s o l u t i o n ，t h ea t t r a c t i v i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n ，t h ee x i s t e n c eo f t h ep e r m a n e n c er e g i o n ，e t c s e c o n d ，t h e b i f u r c a t i o no fat y p eo fm o d e l so fh e m a t o p o i e s i sa r es t u d i e d t h ev a r i a t i o no fp o p u l a t i o nd e n s i t yi sa l w a y sc o m p l i c a t e d i ti sr e l a t e dw i t hn o to n l yt h e d e n s i t ya tt h ep r e s e n tm o m e n tb u ta l s ot h ed e n s i t y 砒s o m ep r e v i o u sm o m e n t m o r e o v e r t h er e l a - t i o n sb e t w e e nt h e ma r en o ta l w a y sl i n e a rb u tn o n l i n e a r ，i no r d e rt oa p p r o a c hr e a lc a s e s ，i nc h a p t e r 2 , t h em o r eg e n e r i cd e n s i t yr e s t r i c t e df u n c t i o ni si n c o r p o r a t e d ，a n dl o g i s t i cs i n g l es p e c i e se c o l o g i c a l m o d e l sw i t hg e n e r a l i z e dd e n s i t yr e s t r i c t i o na r ed i s c u s s e d t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o rt h eu n i q u ep o s i t i v et r i v i a ls o l u t i o n sl o c a lu n c o n d i t i o n a ls t a b i l i t ya x eo b t m n e d ，b yu s i n gt h e c h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ru n i f o r mp e r s i s t e n c ea n d g l o b a la t t r a c t i v i t ya r e g o t ，b yc o n s t r u c t i n gl y a p u n o v t y p ef u n c t i o n a la n du s i n gd i 髓r e n t i a li n e q u a l i t i e s t h ef e a s i b i l i t yo f t h et h e o r i e s c o n d i t i o n si ss h o w rb ye x a m p l e s i nr e a lw o r l d ，e c o l o g i c a ls y s t e m sa n dt h e i rp a r a m e t e r sa r ea f f e c t e db ys e a s o nv a r i a t i o n ，f o o d s i n c r e a s ea n dd e c r e a s ea n dt h eh a b i to fa n i m a l s p r e g n a n c y , e t c m o r e o v e r ，t h e yd o n ta l tw r y p e - r i o d i c a l l y i no r d e rt or e f l e c tt h ev a r i a t i o nm o r et r u e l y , i nc h a p t e r3 a s y m p t o t i cp r e d a t o r - p r e y p e r i o d i cs y s t e mw i t hd i f f u s i o ni si n v e s t i g a t e d ，a l lt h ec o e f f i c i e n t so fw h i c ha s y m p t o t i c a l l ya p p r o a c h s o m es p e c i f i e dp e r i o d i cf l m c t i o n ，r e s p e c t i v e l y u n i f o r mp e r s i s t e n c ef o rt h e o r i g i n a ls y s t e m ，t h et o r t e - s p o n d i n gs y s t e ma n dt h ea s s i s ts y s t e mi sp r o v e d ，b yc o n s t r u c t i n ga s s i s ts y s t e ma n dl y a p u n o v - t y p e f u n c t i o n u s i n gb r o u w e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ，i ti sp r o v e dt h a tt h e r ee x i s tu n i q u eg l o b a la t t r a c t i v e p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h ec o r r e s p o n d i n gs y s t e ma n dt h ea s s i s ts y s t e m ，r e s p e c t i v e l y u s i n g c o m p a r a t i v et h e o r e m ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hd e t e r m i n et h a ta l lt h ep o s i t i v es o l u t i o n so f i i i t h e o r i g i n a ls y s t e ma s y m p t o t i c a l l ya p p r o a c ht h ep e r i o d i cs o l u t i o no f t h ec o r r e s p o n d i n gs y s t e ma r e c o n s t r u c t e d i ti ss h o w nt h a tt w ou n s t a b l ep a c t h e sc a j a p p r o a c ht h ep o p u l a t i o n su n i f o r mp e r s i s t e n c e b yd i f f u s i o n i na n o t h e rs i d e ，d e l a yp h e n o m e n o na l w a y sh a p p e n st o g e t h e rw i t hd i f f u s i o ni nn a t u r a l w o r l d t h e r e f o r e ，i nc h a p t e r4 ，m a c h a e l i s m e n t e nt y p ef u n c t i o n a lr e s p o n s i v ef u n c t i o n sa r ei n c o r p o r a t e di n t op r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hd i f f u s i o na n dd e l a y s a n dt w o s p e c i e sn o n a u t o n o m o u se c o l o g - i c a ls y s t e mw i t hd e l a y sa n dg e n e r a l i z e dd i f f u s i o ni s i n v e s t i g a t e d b yc o n s t r u c t i n gl y a p u n o v - t y p e f u n c t i o n a l ，t h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v ei n v a r i a n ts e ta n dt h eb o u n d n e s so ft h es o l u t i o nf o rt h e s y s t e m & r es t u d i e d i na d d i t i o n ，b yc o n s t r u c t i n gp e r s i s t a n tf u n c t i o n ，t h eu n i f o r mp e r s i s t e n c er e g i o n o ft h es y s t e mi sd e r i v e da sw e l la st h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eu n i f o r mp e r s i s t e n c e ： i nc h a p t e r5 at y p eo fm o d e l so fh e m a t o p o i e s i sw i t hd i s t r i b u t e dd e l a ya n dd i s t u r b a n c ea r e i n v e s t i g a e d b yu s i n gc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o na n db i f u r c a t i o nt h e o r y , t h eb i f u r c a t i o nv a l u eo ft h e m o d e li so b t a i n e d b yu s i n gt h es o v a b i l i t yc o n d i t i o n sa n d i m p l i c i tf u n c t i o nt h e o r e m ，t h ef o r mo ft h e n o n t r i v i a lp e r i o d i cs o l u t i o na n dt h ea p p r o x i m a t ep e r i o d i cs o l u t i o no ft h em o d e li se s t a b l i s h e d k e yw o r d s ： g l o b a ls t a b i l i t y u n c o n d i t i o n a ls t a b i l i t yu n i f o r mp e r s i s t e n c e h o p f b i f o r c a t i o n i v 第一章引言 在现实世界中，许多生态现象可以用动力学的方法来建立数学模型，通过数学 模型的研究对人类所关心的自然现象进行预测和解释这些数学模型的研究常常引 发了数学理论中的微分方程的研究，由于不能得到其解的表达式，人们着眼于从方 程本身的特性去研究其解的各种性质，诸如正平衡态的存在性和稳定性、周期解的 存在性及吸引性、持久生存域的存在性等解的某些局部或大范围的性态往往要随 着方程中的参数的变化而变化，从而产生周期解( 或极限环) ，即出现所谓的分支现 象微分方程和动力系统的渐近性和分支理论的研究，推动了许多应用学科中所出 现的复杂问题的研究 自然界中，生物种群密度的变化规律极其复杂1 9 3 8 年v e r h u l s t p e a r l 认为种群 密度的实际增长率不是内禀增长率，而存在生态学家称之为对增长率的密度制约效 应的现象他提出了v e r h u l s t p e a r l 方程，实验证明，此方程对于寿命长世代重叠多 的种群会产生很大的偏差，只有低级动物，例如细菌、酵母或浮游藻类才与之比较 吻合偏差的产生是由于对密度制约效应的线性化假设所致，因而有必要引入更为 一般的密度制约函数( 可参看 1 】1 、【2 】、【2 5 】) 模型1 研究了一类具有广义密度制约 的l o g i s t i c 单种群时滞生态模型 = ：半= 。( t ) 陋一b x ( t ) f o r ( t ) ) 一c $ 0 一r ) 9 ( z o r ) ) 】 通过对一般的密度制约函数进行相应的处理，利用文献 4 2 】中的稳定性理论，得到 了其局部无条件稳定的充要条件通过构造l y a p u n o v 泛函，利用微分不等式，给出 了其一致持久和全局吸引的充分条件 对于时变环境的l o t k a - v o l t e r r a 生态系统，由于现实世界中系统及其参数受季节 变化、食物增减、播种与收获季节、食物链的改变及动物配偶的习惯等诸多因素的 影响，且其并非都是周期性变化的为更真实的反映这些变化规律，在建立生态模 型时，用渐近周期函数比周期函数更为符合实际( 可参看f 1 2 一 1 4 】) 模型2 研究了一 类具有扩散的非自治捕食系统 。 - 5 ；- = u 1 a l o ( t ) 一a l l ( t ) 1 ( t ) 一a x 3 ( t ) u 3 ( t ) 】+ d 1 ( t ) ( 2 ( ) 一u 1 ( t ) ) ， ：兰! = u 2 a 2 0 ( t ) 一n 2 2 ( t ) 2 ( ) 一a 2 s ( t ) u 3 ( t ) 】+ d 2 ( t ) ( u l ( t ) 一“2 ( t ) ) ， ( 1 ) 警= ”。【a 3 0 ( a 3 1 0 ) 1 , 1 + c 1 3 2 吲旷咖( f ) u 。】， 该系统的所有系数分别渐近于某一确定的周期函数通过构造辅助系统，利用比较 原理，得到了该系统的所有正解均渐近于相应的周期系统的周期解的充分条件，进 一步推广了文献 1 4 】的方法 在种群间相互作用中，扩散和时滞是不可避免的扩散是生物种群生存过程中 一种非常普遍的现象当一个斑块环境不再适宜于某种生物种群生活，或为了争夺 食物，或为了逃避捕食者，或由于其他的因素，生物种群总是从一个斑块环境向另 一个斑块环境迁移迄今为止，已有大量研究表明，扩散对于生态系统的稳定性和 渐近性起着愈来愈重要的作用( 可参看 1 6 1 一 2 0 i ) 某一时刻种群密度的变化规律不仅 仅跟与其相关的各种群此刻的密度有关，而且可能跟此之前的某一个或某几个时刻 或某一段时间内的密度有关( 可参看【2 1 【2 5 】) 模型3 对具有扩散和时滞的捕食系统 引入m a e h a e l i s m e n t e n 型功能性反应函数，研究具有多时滞和一般扩散项的两种群非 自治生态系统 而一- 印一善州卜叫一萎丽丽茄秽筹确j + d l ( t ) ( z 1 ，x 2 ) 女2 = z 2 r 2 0 ) 一芝：口2 j o ) 口2 0 r 2 ，) l + d 2 ( t ) 厶( 。1 ，z 2 ) 训+ 耋丽瓦意群警碥 对一般扩散项函数进行较为巧妙的处理，通过构造持久生存函数，得到了该系统一 致持久生存的充分条件，包含和推广了文献【2 5 】的结果 模型4 讨论了一类具有连续时滞和干扰的造血模型 掣一( f ) 1 + 晶丽一南z ”砷) 揣d r 利用文献【1 5 】和【2 5 】中的稳定性和分支理论，得到了该模型出现分支周期解的分支 值应用可解性条件及隐函数存在性定理，给出了该模型的非平凡周期解的形式及 其近似分支周期解 2 d ：委。埘 一r一 耵 = 妒 第二章一类具有广义密度制约的l o g i s t i c 单种群模型 系统的渐近性是研究管理系统、医学系统、生态系统等实际系统的重要问题 近年来在这些领域取得了许多重要结果但对于具有一般密度制约函数的系统的稳 定性及全局吸引性，结果较少本章讨论一类具有广义密度制约的一般l o g i s t i c 单 种群生态模型分三节研究了该模型的一致持久性、局部无条件稳定性和全局吸引 性 2 1 模型与定义 y a m a d a 在文【1 】中讨论了l o g i s t i c 积分微分方程 j ，警叫妣一砌s m h 冲 ， 【z ( o ) = z o ( o ，+ o o ) t n ( o ，+ o o ) 的全局吸引性l e n h a r t 和t r a v i s 在文【2 】中讨论了时滞微分方程 掣= z c t ) 7 - a z c t ) + 壹i = l 州h ) 】， 【z ( o ) = ( o ) 0 的全局渐近稳定性k u a n g y 在文献【2 5 l 中得到了方程 ( t ) = f ( x t ) 一g ( z ( t ) ) 全局渐近稳定的部分结果 然而，种群的密度变化率往往很复杂，不但跟其在t 时刻以及t r 时刻的密度 有关，而且其问的关系并不是简单的线性关系，而常常是非线性的基于此，本节 讨论具有广义密度制约的一般l o g i s t i c 单种群生态模型 掣= 酬n b z ( 甜( 一邮叫g ( _ r ) ) 】， ( 1 ) 其中o ，b ，c 0 ，r 0 ，( z ) ，g ( z ) 满足如下条件 ( 皿) ，( ；) ，9 ( z ) c 1 ( 1 0 ，+ 。) ，( o ，+ o 。) ) ； ( 矗j ) m a x l i r a ：_ + + 。z ( z ) ，i i 垫j - + + 。9 ( z ) ) m a x 0 ，：) 设g + = ( f _ r ，o 】，r + ) 为所有定义在【- lo 】上的非负连续函数构成的b a n a c h 空 间取c r + 为初始函数空间，设( 1 ) 的初始条件为 。( 口) = ( 目) ，z ( o ) = 庐( o ) 0 ，口【- f ，o 】， 其中e + 定义2 1 1 如果( 1 ) 有唯一的正平衡态z + ，且对任何r o ，矿均为渐近稳定的， 则称( 1 ) 无条件稳定 定义2 2 2 假设。( t ) 是模型( 1 ) 的任意解，如果存在常数0 t 时，有m z ( t ) m 成立，则称( 1 ) 是一致持久的 5 2 2 稳定性分析 定理2 2 1 若模型( 1 ) 有唯一的正平衡态矿，且条件( 日t ) 成立，则模型( 1 ) 局部 无条件稳定的充要条件是 b f c x 4 ) - fz + ，( 矿) c g ( x 。) + x * g 。( 矿) “ 证明由z + 是( 1 ) 的正平衡态，有 a b x ，( 矿) 一+ 9 ( z + ) = 0 将( 1 ) 在矿处线性化得 1 d n r ( t ) 一b x ( m + ) + 矿，( ，) ) ( t ) 一c , t ( 9 ( 矿) - f x * g ( 矿) ) ( t r ) ( 2 ) ( 2 ) 的特征方程为 a = 一b z + ( ，忙+ ) + 茁，和+ ) ) 一( 口( $ ) + x * g 扛) ) e 一1 7 ( 3 ) 充分性 1 ) r = 0 时，( 3 ) 为 = 一矿 6 ( ，( 矿) + 矿，( 矿) ) + c ( g ( 矿) + x * g ( 矿) ) 】 0 ，即 具有负 实根 2 ) 令 = i y ，u = 一y t ，贝4 i y = 一b x + ( ，知+ ) + z + ，( z ) ) 一c z + ( 9 ( z ) + z + ，扛+ ) ) 一( 4 ) 分别整理实虚二部，得 fb x + ( ，( 嚣) + 卫，。0 ) ) + c z + ( 9 扛+ ) + 石g ( 一) ) c o s 0 3 = 0 ， if + c z ( 9 0 ) + 矿9 忙) ) s i n w = o 5 ，( ) 由此得 y 2 = 【c 嚣( g ( 茹+ ) + z g 仕) ) 】2 一 b a + ( ，( 茹+ ) + 嚣0 ) ) 2 i c ( ac z + ) + x * g ( z + ) ) i 即 6 ( ，( 矿) + z * y ( 矿) ) f c ( g ( 矿) + x * g ( 矿) 3 1 ， 或 b c f ( x + ) + 。+ ，扫) ) 一l c ( g ( z ) + 。9 ( z + ) ) i 即 一6 ( ，扣+ ) + z + ，( z 4 ) ) c o b + ) + z * g 0 + ) ) 6 ( ，( z + ) + z ，7 0 ) ) ， 或 b c y ( = ) + z ，( z + ) ) m = t b ，：) ， ( 8 ) 或者 m a x l i r a , _ + 。；，和) ，! i 致+ + 。z g ( = ) ) = + o 。( 9 ) 若( 8 ) 成立，取6 = 2 ，则存在丽 0 ，当2 丽时，k ，( z ) + g ( = ) 口+ d 先证存在t l 0 ，使得z ( 1 ) s 丽否则，对于任意t 0 ，若有z c t ) 丽成立，则 ( t ) z ( ) 【口一( 0 + d ) 】- 一如( t ) ，即( ) ( o ) 口p ( 一6 t ) 丽i i m t 一( o ) e x p ( 一d t ) = 0 ，因 此l i r a h 佃z ( t ) = 0 这与z ( ) 丽矛盾 5 再证对任意 t 。，均有z ( o 】【扎一，即2 ( t ) 最终有上界否则，若存在t 2 t l ，使 得( t 2 ) 面孔”则存在ls i t 如，使得z ( i - ) = 丽，当t 驻1 ，f 2 ) 时，有 茹( i l ) 。( t ) 。( 屯) 又由于圣( t ) s z ( 0 ，因此茹( # 2 ) ( 1 ) e n ( b 一五) ，目p _ e 。r 丽所以 ( 1 0 ) 由于 士( t 2 ) = z ( 2 ) o k ( 2 ) ，( 茹( t 2 ) ) 一c z ( t 2 一r ) 9 ( z ( 亡2 一r ) ) 】 z ( t 。) 这与( 1 0 ) 矛盾所以，当t t l 时，z ( t ) 砑e ” 若( 9 ) 成立，对于上述6 ，存在砑 0 ，当。 面时，b z f ( z ) + c 列( z ) 口+ d 同前面 的讨论可得，存在如 0 ，当t t 3 时，z ( t ) 蔚e ” 其次证明存在m 0 ，噩 0 ，当 n 时。模型( 1 ) 的解z ( ) 满足。( t ) m 令 v ( ) = 矗，则 “”= 郧) - 0 + 高，( 高) + 南9 而b ) 】 由于l i m _ t ) 一+ o 。南= o ，l i r a ，( t 卜+ 一，( 南) = ，( o ) ，l i r a ，( t l - + + a 。口( 赤) = g ( o ) ，因此 们h l i m 。赤，( 南) + 南。( 南) = 。 从而存在丽1 ，当z 丽1 时，有m ) + i e l i l ) 0 ，当t 乃时，有，( t ) 一l e 。r 成立 令而= 砑1 e ”，m = 萧1 ，t = m a x t 4 ，t x ，其中t 4 为t 1 ，t 3 两者当中之一，则当t t 时， m z ( 亡) m ， 定理得证 定理2 2 3 若模型( 1 ) 有唯一的正平衡态。，且满足条件( 皿) ，( 岛) 以及以下条件 ( 风) 存在常数三，l 。 0 ，使得对( 1 ) 的任意解z ( t ) ，( f ) ，有下面两式成立 i f c x ( t ) ) 一，( 0 ) ) i l l i z o ) 一y ( t ) l ， f g ( 。( 力) 一口0 ( ) ) fsi l z ( t ) 一( t ) f ； ( 矾) b f ( x + ) + c g ( x ) ( b l t + c l z ) m ， 6 ，( z + ) c g ( x + ) + 托l m ， 其中，m 为定理2 2 2 中的$ ( t ) 的最终上界，则模型( 1 ) 是全局吸引的 6 证明构造l i a p u n o v 泛函 m ) ( f 一( c ) - x * - x * i n 碧+ d 正，( 如) 一甲如， 其中d 待定则 驾掣h 一( ) 一杀) + d ( 球h ) 2 叫邢叫爿) 2 = i a b x ( t ) f ( x ( t ) ) 一c z ( t r ) 9 ( z ( f r ) ) ( z ( t ) 一$ + ) + d ( z ( t ) 一$ + ) 2 一d ( 。( t r ) 一z ) 2 = b x + ，( 2 ) + c z 4 9 ( ) 一6 z ( f ) ，( 。( t ) ) 一c z 0 一f ) g ( z 0 一r ) ) ( z ( t ) 一z + ) + d ( x ( t ) 一z + ) 2 一d ( x ( t r ) 一。+ ) 2 = 一b f ( z ) ( z ( t ) 一z + ) 2 一c g ( x 。) ( 。o r ) 一z 4 ) 2 + b x ( t ) ( x ( t ) 一a s * ) ( ，( $ 。) 一，( z ( t ) ) ) + c $ 0 一r ) ( 9 ( z ) 一g ( z ( t r ) ) ) ( z ( ) 一z 4 ) + d ( x ( t ) 一z ) 2 一d ( a s ( t r ) 一z + ) 2 一b f ( x ) ( $ ( t ) 一z + ) 2 一卵( 2 + ) ( z o r ) 一) 2 + b l x z ( t ) ( x ( t ) 一a s * ) 2 + d ( z ( f ) 一z + ) 2 + 字坤叫( _ ) 一2 + t c l 2 雄叫( 础) 一叫2 _ d ( 坤叫一2 _ 【6 ，( z + ) 一b l - m i 三2 m d 】( g ( f ) 一z + ) 2 一妇( z + ) 一i 岛m + d 】( z o r ) 一z + ) 2 如果取 d 2 扣m 。) 一印( z + ) 一b l l 叫，o = b , f ( a s + ) 一b l l m 一；l 2 m d ， 卢= 凹( 矿) 一2 c _ l 。m + d ， 则 ! ! ：；盟一a 忙o ) 一。+ ) 2 一卢。( t r ) 一z 。) 2 ， ( 1 1 ) 其中o r7 卢 0 两边同时积分得 y ( z ) ( ) + 陋扣( 8 ) 一a s * ) 2 + 卢扛0 一r ) 一矿) 2 d s y ( z ) ( o ) 0 ，且如下条件满足： ( 风) b c l 0 6 l ，b l c a c l ，4 x 砺 0 1 + 0 2 1 ) 正平衡态的存在性若( 玩) 满足，令，( z ) = i 芹0 1 万- - 1 ，口( z ) = 恭嘉，是模型( 1 2 ) 的正平衡态，则矿满足 b x 口1“ 。 一i 万两一i 万两2 “ 即 口( b l + 一如) ( c l + 一9 1 ) 一妇如( c l + z 8 ) 一e 矿8 2 ( b 1 + f 如) = o 令 f 0 ) = o ( 6 1 + ；如) ( c 1 + = 吼) 一b z 9 ，( c 1 + = 9 - ) 一c z g a ( 6 1 + z e 2 ) ，贝4 f 。( z ) = ( 0 l + 如) n 二钆+ 如一1 + 0 1 ( a b l b c l ) 2 。l 一1 + 0 2 ( n c l 一b 1c ) 2 b 一1 2 0 l b z 2 8 1 1 2 9 2 c z 2 e 2 一l s 【o ( 占l + 0 2 ) 一4 、，佰i 百可三】= 8 - + 9 ，一1 + 0 1 ( a b l b c l ) l 一1 + 0 2 ( o c l b c l ) 。钆一1 ( 口l + 0 2 4 、瓦如) = 几+ 如一1 + 一l ( n 6 l b c l ) z 巩一1 + 如如c l 6 l c ) z 0 2 一l o ，l i m ；- + + 。f ( = ) = - - 0 0 ，因此存在唯一的z + ( o ，+ o 。) ，使得f ( 矿) ：0 ， 从而模型( 1 2 ) 有唯一的正平衡态 。l i m 。k m ) _ 槲l i m 。羔= 慨 若0 l ci ( 口( z + ) + x * g ( 一) ) 1 由定理2 2 1 知，模型( 1 2 ) 局部无条件稳定 3 ) 若( 风) 成立，由定理2 2 2 知，( 1 2 ) 是一致持久的 要使b z ( z ) + c z a ( z ) a ，即需 b z o lc = 0 2 而+ 丽 。 即 6 2 2 8 1 + 2 如一a z “+ 儿 a b l c l 即需 ( 2 、厩一n ) 2 。l + 。2 曲1 c 1 e i j z 0 1 + 0 2 a b l c l 丽( 2 = y 磊孕+ 一a ) 取丽= ，虫虹4 b c 业- a z + 1 0 6 ) 朽，m = _ e 一 要使；，( ；) + 知( ) ；q 只需 ；圮， ；，弼) ； 要使；b 儿i 1 ) b z o z 即 圳芸) z ( 云) 响 同理要使 口口1 一屯n i 百玎 ( 云) 嘲- 取丽= m a x ( 蒜) ，南i ，( 蔫) 巧h ) ，m i = 丽t ，m = 击 由定理2 2 2 的证明知，存在t 0 ，使得当t t 时，有m ( t ) 四( 矿) + b l l m 成立，则条件( 凰) 满足故而模 型( 1 2 ) 全局吸引 对于模型( 1 2 ) ，给各参数赋值，用m a t l a h 程序计算，其结果如下 0 3 0080 6541 1000 0 11 6 1 4 638 1 2 808 0 2 70 1 8 3 70 0 1 4 300 0 8 20 0 0 8 0 0 3 90 8 50 4541 1 0 011 8 2 2 83 4 3 6 800 8 2 30 1 4 1 20 0 0 7 100 0 2 50 0 3 4 8 02 405 80 2 85 441 10511 9 2 7 35 0 7 4 50 ，0 3 4 400 9 1 000 0 4 200 0 1 00 0 2 4 2 03 803 046511080 12 8 8 9 44 8 9 8 106 5 0 80 1 1 0 000 0 8 300 1 1 40 0 2 7 0 04090 5885130 80 12 8 4 5 78 1 1 1 60 0 0 0 10 1 4 8 800 0 6 10 0 0 0 200 1 5 3 040 0031 08710 20 7 700 l4 4 8 7 480 9 3 7o 8 9 9 00 0 8 8 70 0 0 6 600 0 2 10 0 1 4 8 18 50997