（应用数学专业论文）单纯形上多元修正szászmirakjan算子的特征刻画.pdf

摘要 本文构造了单纯形上二元和多元修正s z d s z - m i r a k j a n 算子，并利用多元函数的 d i t z i a n - t o t i k 连续模u ，哆及p e e t r ek 泛函之间的等价关系，给出了单纯形上的二 元修正s z d s z - m i r a k j a n 算子逼近的正定理，并得到了二元修正s z d s z - m i r a k j a n 算子在 单纯形上的加权逼近的逆定理，其中多元情形证明与二元情形类似。 关键词：多元修正s z d s z - 翟i r a k j a n 算子，d i t z i a n - t o t i k 连续模2 c e , 0 。正定理， 加权逆定理，s o b o l o v 空间 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r , t h et w od i m e n s i o n a la n dm u l t i d i m e n s i o n a l m o d i f i e ds z f i s z - m i r a k j a n o p e r a t o r s a r ec o n s t r u c t e do nt h es i m p l e x e s ，t h e nu s i n gt h ed i t z i a n t o f i km o d u l u so f c o n t i n u i t yo fm u l t i d i m e n s i o n a lf u n c t i o n ，w es t i l d yt h ea p p r o x i m a t i o nc h a r a c t e ro ft h et w o d i m e n s i o n a lm o d i f i e ds z c t s z - m i r a k j a no p e r a t o r sa n do b t a i nt h ed i r e c tt h e o r e m , a tt h es a m e t i m ew e g e tt h ew e i g h t e dc o n v e r s tt h e o r e m k e yw o r d s ：m u l t i d i m e n s i o n a lm o d i f i e ds z 五s z - m i r a k j a l lo p e r a t o r s ，d i t z i a n - t o t i k m o d u l u so f c o n f i n u i t y 2 ( ，f ) ，d i r e c tt h e o r e m ，w e i g h t e dc o n v e r s tt h e o r e m s u n y a n ( s c h o o lo f m a t h e m a t i c s e h y s i c s ) d i r e c t e db yp r o f z h a n g x i r o n g 声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文单纯形上多元修正s z 。s s z - m i r a k j 锄算 子的特征刻画，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究 工作和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：麴：拖日期：三：1 2 ；学位论文作者签名：剑：盔匕 日期：三：! z ：! ： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件：学校可以采用影印、缩印或其它复制手 段复制并保存学位论文：学校可允许学位论文被套阅或借阅：学校可以学术交流为 目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学 位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：圣j ：垡 日期：丝z ： 导师签名 日期 华北电力大学硕士学位论文 1 1 背景 第一章引言 函数逼近论是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的表示问题。函 数的表示大致可以分为两类一类是用性质较好的函数表示我们不甚熟悉的函数或函数 类，另一类是研究表示的精度。 1 8 8 5 年德国数学家w e i e r s t r a s s 在研究用多项式来致逼近连续函数的问题时证明 了一条定理，即闭区问上的任一连续函数都可以用某一多项式一致地逼近。这条定理在 预先指定的精确度下，存在一致逼近的多项式，但是没有指出应该如何选择具体的多项 式才能逼近得最好。如果考虑后一个问题，那么自然就需要考虑在次数不超过某个固定 整数的一切多项式中选择一个与它的一致误差最小的多项式的问题，而这正好是 c h e b i s h e v 逼近的基本思想。所以可以说c h e b i s h e v 和w e i e r s t m s s 是现代逼近论发展的奠 基者。在他们工作的基础上1 0 0 多年来一批又一批杰出的数学家包括，h b e r s t e i n 、 d j a c k s o n 、k o l m o g r o v 等人的积极参加下，开创了最佳逼近理论蓬勃发展的阶段。这 一理论主要在以下几个方面取得了很大进展： 最佳逼近的定量理论：在逼近论中系统地阐明函数的最佳逼近 丘一u ) 2 i ，n f 兰粉l - p ( x ) l ( 以2 ，r 为周期函数借助于三角多项式来逼近，或借助于有 理函数来逼近等等) 数列当押一一时的性态和函数的构造性质( 可微性、光滑性、解析 性等等) 之间内在联系的理论统称为定量理论。 逼近论的定性理论：c h e b i s h e v 发现了连续函数的最佳逼近多项式的特征，提出 了以c h e b i s h e v 交错点组著称的特征定理。最佳逼近多项式是惟一存在的。最佳逼近多 项式的存在性、惟一性及其特征定理都是定性的结果，对这些问题的深入研究构成了逼 近论定性研究的基本内容。 关于最佳逼近多项式的c h e b i s h e v 特征定理也有很多进一步的研究和推广。其中最 重要的一个推广是k o l m o g r o v 在1 9 4 8 年做出的，它涉及复平面的闭集上的复值连续函 数借助于复值广义多项式的一致逼近问题 线性算子的逼近理论：线性算子逼近是逼近论的工具之一所以在逼近论发展中人 们一直非常重视对线性逼近方法的研究，形成了逼近论中一个很重要的分支线性算 子的逼近理论。针对特定的函数类、特定的逼近问题构造简便、逼近性能良好的线性逼 近方法与研究各种类型的线性逼近方法( 算子) 的逼近性能，一直是线性算子逼近理论 的中心研究课题。在这一方面，几十年来取得了十分丰富的成果。比较著名的经典结果 有日。如h o b c k 胴，e 且g g l o r e n t z 等对经典的b e r n s t e i n 多项式 邑，功= 耋( ：) 厂( 匀妒c t 一砷柑 的研究；k o l m o g o r o v 、n i e o l i s 等对周期可微函数的f o u r i e r 级数部分和的逼近阶的 渐近精确估计；4 0 6 0 年代许多逼近论学者对作为逼近方法的f o u r i e r 级数的线性求和 过程逼近性能的研究包括对f o u r i e r 级数的f e i l l i e r 平均、p o s s i o n 平均、v a l l ep o u s s i n 平 华北电力大学硕士学位论文 均等经典的线性平均方法的研究) 。4 0 年代中期f a v a r t 在概括前人对线性算子逼近的研 究成果的基础上，提出了线性算子的饱和性概念作为刻画算子的逼近性能的一个基本概 念，开辟了算子饱和理论研究的新方向。 函数逼近的数值方法：从实际应用的角度来看，要解决一个函数的最佳逼近问题， 需要构造出最佳逼近元和算出最佳逼近值。一般说要精确解决这两个问题十分困难。这 种情况促使人们为寻求最佳逼近元的近似表示和最佳逼近值的近似估计而设计出各种 数值方法。一个数值方法中包含着有限个确定的步骤，借助它对每一个函刿可以在它 的逼近函数类中求出一个函数作为最佳逼近元的近似解，并且可以估计出误差。数值方 法自然不限于函数的最佳逼近问题。在插值、求积( 计算积分的近似值) 、函数的展开 理论中也都建立了相应的数值方法。近2 0 年来由于快速电子计算机的广泛应用，数值逼 近理论和方法的研究发展很快，成为计算数学和应用数学的重要分支 多元函数的逼近：多元函数的逼近问题具有很重要的理论和实践意义，由于在多 元函数的逼近问题中包含了很多为单变元情形所没有的新的困难，所以多元函数的逼近 论比单变元情形的发展要慢得多和晚得多。在多元逼近的情形下已经研究得比较充分的 一个基本问题是函数借助于三角多项式或指数型整函数的最佳逼近阶和函数( 在一定意 义下的) 光滑性之间的关系。这一工作主要是由苏联学者n i c o l i s 和他的学生们于5 0 6 0 年代完成的。它除了对函数逼近论本身有重要意义之外，还有很多重要应用例如， 对研究多元函数在低维子流形上的性质，多元函数在一定要求下的开拓问题等都有重要 作用。后一类问题的研究属于泛函分析中的嵌入定理。近年来，在多元函数的线性算子 逼近、插值逼近、样条逼近和用单变元函数的复合近似表示多元函数等方面都有所进展。 ，现在函数逼近论已成为函数论中最活跃的分支之一。科学技术的蓬勃发展和快速电 子计算机的广泛使用给它的发展以强大的刺激。现代数学的许多分支，包括基础数学中 象拓扑、泛函分析、代数这样的抽象学科以及计算数学、数理方程、概率统计、应用数 学中的一些分支都和逼近论有着这样那样的联系。函数逼近论正在从过去基本上属于古 典分析的一个分支发展成为同许多数学分支相互交叉的、密切联系实际的、带有一定综 合特色的分支学科 1 2 问题的提出和结论： 本文研究的是函数逼近中算子逼近理论的研究，研究的是s 硝s z - m i r a k j a n 算子，下 面是前人对s z d s z - m i r a k j a n 算子作出的一些成果。 设函数皖义在酬上，称跚曲= 茎“嗍争u 功= 掣【o o 。】 n n 为s z 矗s z - m i r a k j a n 算子。( 见文【l 】) 称厶u ；砷= 只。( x ) m 。u ) ， k = o 【，( o ) ，后= 0 2 1 ，k l ( f 小似 2 为修正 的s z a s z m i r a k j a n 算子。 1 9 8 5 年，m a 出a r s m 和t o f i k 在文【2 】中得到修正s z a s z - m i r a k j a n 算子的逼近定理和饱和 定理。1 9 7 8 年b e e k e rm 和1 9 9 4 年周定轩分别在文【3 l 和【4 】中讨论了s z a s z - m i r a k j a n 的 加权逼近。2 0 0 4 年冯国在文【5 】中得到修正的s z a s z - m i r a k j a n 算子的j a c o b i 权逼近的逆定 理。2 0 0 5 年曹飞龙在文【6 】中利用多元函数的d i t z i a n - t o t i k 连续模估计了s t a n c u 多项式 2 华北电力大学硕士学位论文 逼近多元连续函数速度的上界和下界等结果。本文构造了单纯形k _ - 元修正 s z 6 伢m i r 幽锄算子，并利用多元函数的d i t 2 i 趾跏k 连续模0 ) ，2 ( 工) 及p e e 仃ek 泛函之 间的等价关系，给出了单纯形上的二元修正s z d s z m i r a k j a n 算子逼近的正定理，并得到 了二元修正s z b s z - m i r a k j a n 算子在单纯形上的加权逼近的逆定理。 2 1 主要定义 第二章正文 定义i ：令r = 乃是中的单纯形，即，= ：t _ o 用c 表示定义在t 上 的连续函数空间 定义2 ：单纯形上的多元修正s z 矗s z 枷r 幽锄算子为： 上： ，也u ；五，畅) = & “内“，畅) 吐 呐，吨0 0 毛2 屹2 0 k 加一砧= 篙剥蒉产郇邪畅如， i ( o ，o ) ，毛一毛= 0 哦 t 由2 1 了卜了1 只 小由一。“，v ( f l ，蛾丸，毛 屯2 l 定义3 。对于任意p 岛，记函数f 在方向e 上的r 阶对称差分为： 甜阶隆，( 弦+ - x + - r h e - l o ，其它 则定义函数，e c ( r ) 的r 阶d i t z ：i a n t o f i k 连续模( 见文【7 ，8 1 ) 如下： 嘭2 。s 。u p 磊1 1 12 i i 氛州o d 4 泳 一” 其中权函数是：霹何) = 舨i j i 贾i j 丽( 1 f 歹d ) ，且 硝( x ) = 五一x 2 ；无( x ) = 定义4 ：偏微分算子喏= 岛( 喏1 ) ( 1 f ，d ) ，用 华北电力大学硕士学位论文 d a t , ) = 倌c ( r ) ：g c 7 叮) 且嘭嘭g e c ( r ) ，l 。 文闭已证得m 。c f ，f ) 群f ，) 肘蟛d ( 这里的m 和以下的m 表示与f 和n 无关的正常数，但不同处其值不同。) 定义6 ；单纯形上的二元修正s z a s z - m i r a k j 锄算子为： 上： ( ，；五，屯) = 只 ( 毛，恐) 。“ u ) f ( o ，o ) 毛= 屯= o 力2 衍k 舶f 2 小地如m 屯2 l 定义7 ；函数f 定义在c f r ) 上，茹“，y ) = r y ，最力= 扛一y 沙，珐( 工，y ) = y ， m l 力= o y ) 4 ( 1 + x - y y 6 ，嵋2 力= ( “一y ) ，) 2 ( ( 1 + x y x l + y ) ) 2 w a ( x , y ) = y 4 0 + y ) 一6 ( o 。 2 2 主要定理： 定理1 ；g f c ( r ) ，( o ，o ) = o ，当d = 2 时， j ( m y ) 一( 圳怿m ( r o ；( f ，拱+ 丢 定理2 若厂c 仃) ，当d = 2 时，r w f e c ( r ) ，( o ，o ) ，o a l ，则存在0 占 l ，使得： 4 华北电力大学硕士学位论文 哆( ，丢) 彻。耋( 三广o ( t y ) 露“1 ) ( j ，x ( ，) 一，) 0 定理3 若j r c ( 丁) 。当d = 2 时，( o o ) = o ，o 五s l ，则存在0 5 l ，使得 哆u ， 衍一1 薹嗉) 5 l i 刃m 。“y x 乞 u ) 一力8 根据定理i 和定理3 立即得出如下逼近刻画定理。 定理4 若f c ( r ) ，当d = 2 n 寸，f ( o o ) = o ，0 s 名i ，0 ，所以 2 y m 砂= 抓而= 肘纯似y ) ， 工一y = ，一百1 石x = i 啬x ， x + 丢s 肘i 击x ? 肘。一力= m 茹“j ，) ，y ) ，5 旌( 五j ，) ， 所以：0 【蚺 u ；t 力一，( t 叫卜等( 忧忡。磊：o 巧) 露l 对于任意的，c ( 瓦) ，g d 2 ( 正) ，有 i l i k ( j r ；x ，力一，瓴j ，) 峥i i t 也：j ，y ) 一i 二 ( 苫；，) i i + l k ( g ；t y ) 一9 4 + 恬一州 2 1 1 9 - f l l + l l l ： 也( g ；石，y ) 一9 0 洲攀+ 炉州+ 。到珥( g 娜 由k - 泛函定义以及它与连续模之间的关系得： l 畦 ；t 力一厂似力忙m ( 盯，士) + 丢忧o ) 定理l 证毕。 2 3 2 定理2 的证明 引理4i j p 蚺也( f ，x f 叩黝胁2 ( 华) ”( 争9 ( ，7 _ 1 ) 00 。 j f t & ( ) ( 1 + f 一矿( 1 + 矿d 鼢 如4 ( 1 + 生”o + 鲁) 卅仰z ) 00 。 证明：对于第一个不等式作变换令t - l = u ，l - - v ，则左边式子化为 卜等籍”幽卜0 学圳胁咩嗨r 华北电力大学硕士学位论文 引理5 。盍。( 华门l + 学炮一w 脚( 州“1 ( 1 + x - y 广 。耄。每) l _ “( 1 + 争6 “t 力坳”叩+ 。壶。4 争争字( ( 1 + 生云+ 和； 伍y ) m ( y o y ”字 o ( u + 工一力( 1 + 力) 2 矾。盍。译“弋- + 学峨小y 垮。毛鲜旷( 圳 嵩( 1 + 华广小力m 训” x 一 同理可证后面两个不等式。 引理6 j t 舶( ) 卯卅w ( f ，删 胁- 2 ( 华) 1 一( 1 + 华) 00 。 7 f t 只 以，) 旅“w ( f ，) 黜s 胁4 ( 生手鲁) 半砸+ 生( 1 + 和： 00 。 。 。 7 j 旌“w ( f ，删 s 胁4 ( 争“弋l + 争 00 。 证明：j j 只 i ，b ( f ，) 硪一，蚶( ，i ) d l d t = i j 只 与( 一矿“( 1 + 卜，) 6 硼破 利用积分变换令t - i - - u ，l = v ，第一个不等式可换为 = j f 只 岛 ，v 弦“4 ( 1 + ) 6 d a v l j l 00 = 卜譬t 卜等等。“o + 秽螂m 华北电力大学硕士学位论文 = 卜譬驯t ，i 其中= i e “篙些杀l - “( 1 + 户幽，如一元情形用砌不等式可得 ，l & i n t f 蔓二蔓) - 一“a ( 1 + 屿 开 刀 腓p 譬一1 ( 学门- + 学帅i i & i n t ( 生生) 一。( 1 + 生二匆 n 月 对第二个不等式有 ft1 一i d6 南( ，) 旅“w ( f ，1 ) d l d t = j i p ( ，t x # ( t 一，) ) 下( ( 1 + f _ t x i + o ) i d l d t i - 2 - - a6i - 4 令t 两t h ，= j j 南( “，d 下( 1 + “) j v r ( 1 + v ) i 删r 川 00 对于第三个不等式有： = 卜等篱”字耐幽p 譬产”菇砷i 胁t ( 蔓生) 字( 1 + 生磷盘) 字( 1 + k ：) ：l x i 开刀口 n 胁t ( 丝产( 1 十生生) j b ( 生) t i - 。l - a ( 1 + 蔓) ： 一一 以甩 t - l - - - u ，l = 、，= j 只m 似，v ) v 。“( 1 + v ：a u a v l j l 00 胁一：( 与( 1 + 蔓广 n 疗 引理6 证毕。 日l t ! j7 若，c ( r ) ，f ( o ，o ) = o , m w j c ( r ) ，o a 1 ，则 栅 矿 + o 士 桫o 与 己 ，-_jo，j0 i 栅 do眩 。 旌do 岛与 巴 l，_jo，l。jo 华北电力大学硕士学位论文 1 1 w 。代y ) 形“1 ( ) 【，y ) l k u ；j ，) 忙m 峋j ，) 绔“1 ( x ，y ) j r ( y ) 0 证明：由引理4 ，5 ，6 知，有 l h ，澌，硪峨 训，0 = i h 。耐删t 耋。己 瓴力屯 与) i q 。似力硪“似j ，) 忪。y ) 硪“j ，v 瓴y ) 0 & 丘毛“力 2 封 f 一2 j f 只 。纠( f ，d 峨1 ( f ，) 谛。( t , 1 ) d l d t 00 f l l q 。( tj ，) 耐“1 ( 五y ) 厂( y ) 0 q - ( y ) 硪2 - 1 ( 薯力 南。一轰。( 气玎一o + 华广- l k 2 - 1 ( x , 力 s m m 。( y ) 硪“1 似j ，v “j ，) 0 所叫h ，( x ，y ) c p f 枷( w ) i 缸 f , x , e ) l l 鲥l l w , 。( 工，j ，) 硝“力，力8 同理可证l m ：( x y ) 旅“o 叫) l ： 也u ；j ，) 忙m i h ：( 丘，) 稚“阮) ，扩“”0 怯) 旌臧伯；w ) 忙m 忆o ，y ) 旌“1 似 ，v 伍y ) 0 所以8 w # ( x y ) 谬“o ( x ，y ) l k 岛( ，；y ) 忙m0 亿y ) 9 尹4 ( x , e ) x , y ) l l 。 b l 理8 若，c ( r ) 厂( o o ) = o , m w c f c ( r ) ，0 0 = d 2 ( ，哦 - 1 + ，蛾 - l ，1 ) m 。 u ) 与2 b 2 0 华北电力大学硕士学位论文 = - - t t d 2 只，自 。+ l ，b u ) + 门d 2 只，自 o 。 + 1 b + 1 ( ，) 如2 0自如2 0 = 一2 毛h 一峨q 。 u ) 一押2 & h 挑一。叱”坛 如 与2 0 叫2 & k + 1 岛“+ 开2 只 - 1 一l 蛾 + i + l u ) 与“ 与2 b 2 0 = 开2 & e ( 叱，1 + 地) 一q j i + 2 惠+ l 一哦 + 犏+ l u ) + 咆 啦+ 2 ) 毛2 0 = 刀2 只 ( 叱+ 2 南一2 q + 城+ 1 u ) + 叱 + 碣+ 2 ) ) 与2 屯卸 棚= 驴箐差“譬，因为 当x i o , 丢l ，冬 1 ，所以e ，t 随的增加而减少。 脏 所以，当 一力 o ，丢 ，j ， d ，丢 时， d j t ( 厂；t y ) = 肝2 & 铀( 叱 与) + 哦 + 2 岛( 力一2 叱 + i u ) ) 与2 屯2 0 s 一2 & ( o k u ) + 叱 + 2 岛) + 2 咆 “ u ) ) 地2 0 = 月2 最 叱 u ) + 疗2 & ，。( 哦 l 。盯) + 哦c 厂) + 2 咆2 。) ) 与一乜2 1 屯卸 o u ) ：i j e 一( f ，) 硼出，叱 u ) ：i j ；一竺垒亏盟( f ，) 栅 0000 一 t q 五。= f e “以。一1 ) f ( t , o d l d t 00 坐肼 笠踹 二 华北电力大学硕士学位论文 i w l l ( 工，y ) 妒斧( j ，y l 巩t ；墨力卜 4 栉2 冗( x ，j ，) l 稚。o “y m 。力只 也蛾 ) i l 与一与d 屯a o i 衍冗( w ) 碲1 工，力州t y 域0 7 j e 一一生坐竽m ，删， + i i e - n ( t - 1 ) f ( t ，1 ) d l d t + i i e - “f ( t ，1 ) d l d t ) 4 一l 科￥1 一o ( z ，力m 。( t y v ( t y ) i + + l + 厶 由引理6 ： ：椰训吣圳山似肥 。( 弦一尘堑竽巾：，础 s 万2 ( x - 烈x y y 0 + o y 炉e 一戚 分_ ，砒f 嗉) l - 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