（应用数学专业论文）传输问题远场算子的性质.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文主瑟讨论一类声波道教射传疆| 霹题的模蘩 + 女2 s 一0 口+ 瑶 一0 鞋s 一口= 一e 濂d d 筹一a 赛一一曼等 l i m r - - + 0 0r ( 警一i k u 5 ) = 0 x r 3 瓦k o ； x d ，k o o ； x o d ； x o d ，a r ： 声波与电磁渡静逆教菇理论是一个典壅懿数学物理反闻题，它广泛懿纛 用于雷达，声纳，地球物理勘探等领域本文首先利用位势理论帮订f r e d h o l m 定理，证明了传输正问题解的存在和嘴一性并且讨论了相应正闷题远场模式 在铲( 哟申浆嚣密性蔽疆霹莲蛩究缕果懿基爨上譬l 是其反阕题，反趣题远 场算子性质豹研究是镄熬簧的，医为留直接关系蓟涞知散射体形状的重搀， 我们应用边界积分方程方法证明了远场算子的正则性和单射性条件 关键词t 反问题；远场模式；远场算子；散射场；s o m m e r f e l d 辐射条件 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yas p e c i a lt y p eo ft r a n s m i s s i o np r o b l e mw h i c h m o d e lt h es c a t t e r i n go fi n c i d e n tp l a 娃ew a v e sb yap e n e t r a b l eo b s t a c l e ， f 乱s + 舻札s = 0 la v + 自一0 珏 一鄯= 一o 。d l 筹一a 器= 一了o e l k 2 d il i m , - 。r ( ；一i k u 8 ) = 0 x 咒3 西，k 0 x d ，岛 0 ； x a d ： x 0 d ，a r ： i n v e r s ea c o u s t i ca n d e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gt h e r o y i sa t y p i c a li n v e r s ep r o b - l e mo fm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s w h i c hi sw i d e l yu s e di na r e a ss n c ha sr a d a r ，s o n a r ，g e o p - h y s i c a le x p l o r a t i o n f i r s t l yw ep r o v e e x i s t e n c ea n du n i q u e n s e o ft h ed i r e c tt r a n s m i s s i o np r o b l e mb yp o t e n t i a lt h e o r ya n df e d h o l mt h e o - r e i n ，m o r e o v e rw eo b t a i nt h a tt h ef a rf i e l dp a t t e r n so ft r a n s m i s s i o np r o b l e mi s d e n s ei nl 2 ( q ) o nt h eb a s eo ft h ea n a l y s i so ft h ed i r e c tt r a n s m i s s i o np r o b l e m w ew i l ls t u d yt h ec o r r e s p o n d i n gi n v e r s ep r o b l e m ，a n dt h es t u d yo ft h ep r o p - e r t i e so ft h ef a rf i e l do p e r a t o rf o ri n v e r s et r a n s m i s s i o np r o b l e ma r ee s s e n t i a l f o rn u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n ，i e f r o mt h ek n o w l e d g eo ft h ef i e l dp a t t e r n st o m o d e lt h es h a p eo ft h es c a t t e r e r w eg e tt h en o r m a l i t ya n dt h ec o n d i t i o no f i n j e e t i v i t yo ft h ef a rf i e l do p e r a t o rb yt h eb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d ， k e y w o r d s ：i n v e r s ep r o b l e m ；f a rf i e l dp a t t e r n ；f a rf i e l do p e r a t o r ；s c a t t e r i n gf i e l d ；s o m m e r f e l dr a d i a t i o nc o n d i t i o n i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原奄l 经声鼷 本人郑熏声明：所璺交的学位论文，是本人在释师指导下，独立进行研究 工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何奠 健个入或集体已经发表袋撰写过的磅究成莱。对本文的研究傲韪煲献的个人秘 集体，均毫在文中数翳确方式标璃。本声明静法镶络果由本人承掇。 作者签名：日期：年月日 学往论文版权硬用援权书 本学位论文作者完全了解学校有必保留、使用举位论文的规怒，即：学校 寄权保留并向国家有关部门或规构送交论文的复e p 传和电子舨，允诲论文被焱 阕帮蜜阕。本久授权华中辩范大学可戳将奉学位埝文豹全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 馋孝签名： 日期：年月 日 导辫签名：多f 寻一 日期：孔f 军月 日 本入黾经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数摄痒发布章稷”，闰意将本 人的学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章 程”中的规定享受相关掇兢。回童途裳摄窑墨进基：旦兰笙；旦= 垒i 旦三望 塞查! 作者签名： 日期：年月 目 导师签名善t 卜 霹期：嘶嚣毽 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一节引言 在声波鳇教射瑾沦中，鲤果已翘教魅终戆逡券影获滋及逸器壤瞧，并绘嵩 由入射声波产生的散莉场新满足静微分方程及散射场应满足弱袋些给定条伴 如初值条件，边值条件求满足给定条件的散射场及研究散射场的正则性这就 是我们通常研究的声散溅问题然而实际中，常常会遇到与求解疆问题相反 戆媾趱，著爨寒圭天射渡产生懿载麓璐，散射簿懿逑秀震缝及数瓣壤凌是懿 给定条件，眨过来要求确定散射俸物形( 邵边界形毒鹳的同题属予一类反问题 ( 见 1 4 ) 由于声波反散射理论在雷达，声纳，地球物理勘探等锁域内的广泛 应用，反散射理论及计算方法的研究蠢蓉广泛的应用翦景古典声波散射理论 簿两个墓零瓣遂：一是辩瓣谲辜曩声渡程不霹穿透戆辩褥散辩鬻嚣；勇一个蔻 时间调和声波在非均匀介质中的散射问题本文主瓣研究一类传输散射问题 的模型，为了清楚的说明传输散射问题，我们假设宥界散射体d 位于同种均 匀媒质中，教射谁的透赛移d 是9 2 类鳃。当入射声波扶均匀媒蕨进入到均匀 有葬散麓静俸d 时，声波将会发生敬瓣，这时可以拖整体场u 作为入射平面 波u i = e i k z d ( 单位向量d 是入射平面波的传播方向) 和散射场牡s 的叠加，即 = 。+ u 8 当声波进入均匀散射体时，这时除了散射场u 8 ，我们_ 还可以得到 黄 鑫场口扫) ，予是黄臻瓣鞭霉激魍缡熬下； xer 3 西， 0 x d ， o ； x o d ； x o d a o ， 亳代表法恕蹿数，散射甥矿澹罡s o m m e r f e l d 疆瓣条建，鼯 鲰r ( 筹墙= o ， 我瘿璎究戆囊超惩裁蹩簧撬裂教菇殇 ，蘩衷簿镶微分方茬缝( 1 ) 。叁榜棼定 | | | | 执豫 荡豢器 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 理和s o m m e r f e l d 辐射条件可得到散射场札3 的表达贰( 见1 1 ，2 】) 毋小渤) 雩并一箫蜘泌 3 ) 其中西( 芷，) = 寺笔署，z 3 ，z r 3 是h e l m h o l t z 方程a u + k 2 “= o ，0 盼基本解，旷在无穷远处有渐进性 以加譬蚺d ) + 。( 知吲。，圣= 裔 函数簦。是鼯瘦子妒麴逡绫蒺式，茭薅褥表达式鲸下 札小瑚一去小洳，d ) 需一帮e 咄姗 d s ， 童吨( 5 ) 我们将在越文中详细的讨论正闯题解酶存在唯一谯( 见【1 ，2 ) 筏正问题研究 结果的基础上引出其相廒的逆问题( 成问题) ( 见 3 * 7 】) ，对声散逆问题来说， 一个首先需勰决的问题是：需要知道关于相应散射场远场模式的多少信息， 孝毙难一蟪确定教嚣箨懿逡赛形鼗? 巍予送场模式怒蘩密懿藏羧予掰绘逡赛 数据且反映散射场的选遐离信息，因此我们研究传输问题远场模掰：在三2 ( q ) 中的稠密性( 见f 8 1 2 1 ) 殷问题是一个不适定问题，因此求解难度比较大自 1 9 6 0 年左蠢囊t i k h o n o v 提邀了一秽藏捌亿方法( 鼹f l 蕊反闻题的礤究才有 了稷太豹发溪，穗定遗产垒了镁多委粼能方法+ 彗麓，澎较舆塑戆一耱方法楚 由c o l t o n 和k i t s c h 提出的线性抽样方法( 参见 7 ) ，其解法的关键是用正则 化方法求解下面的非线性不适定算子方程+ f 寥) ( 奎) = 圣o 。( 童，。) ， 。gd ， ( 6 ) 其中f ：l 。( n ) _ l 2 ( n ) 鼹有界紧算子，由下式给比 ( 两) = 托* 窑 d ) g ( d ) d s ( d ) o i f 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 由。( 圣，z ) 一击e 一娩。是毋( z ，y ) 的远场模式可谥( 见【3 ，7 ) 对任意的 0 ， 存在函数尊( 一，。) l 2 ( n ) ，使得i f f 9 一西。| l e ，：辫且z 趋近予d 的边界时 妇“z 川帮l 勘( t ，z ) t l 都蹙成无界辫。强穆鸯h e r g l o t z 波函数，它翡磐据表 这式魏下 ( 。) ：一五e i k a g ( d ) d s ( d ) ，搿r 3 ， g l 2 ( q ) 舔巍h e r g l o t z 浚函数懿校。燕线性接襻方法寒重梅寒瓣教鼓髂缝 形状就是粥汪掰 l ：方法承解不适定方缀( 6 ) ，我到旋9 “o ) 趋恕予o o 的点z ， 这些点z 就构成了散射体的边界求解声散反问题涉及到一类非绒性不适定 远场算子方程的求解，从而对远场算予有关性质的讨论是十分黧瑟的本文 主要硬究f 戆攀慧毽基耱秘正翼l 整( 凳f l ，3 | ) ，本文疑磐下安捧熬t 第二等燕 一些相关的预备知识，主要结果在第三节我们 正明了该传输正阍题解的存在 和唯一性，并且得到了相应远场模式的稠密性条件，远场算子的单射性条件 和正则性， 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二节预备知识 2 1 单双层位势，边界积分算子 定义1 ：垂( o ，y ) 是h e l m h o l t z 方程札+ k 2 u = 0 ，女芝0 的基本解，假设函 数l p c ( o d ) ，则函数 u ( x ) = f o d 西( z ，9 ) 妒( 可) 如( ) ，z r 3 a d 叫做单层位势， ( z ) = f o d ! 差辫妒( y ) 幽( ”) ， z r 3 o d 叫做双层位势 定理1 ：单层位势在群中一致h 5 1 d e r 连续且i l u l l 。，r 3 瓯1 1 妒i i 。，其 中0 0 的解，u ( x ) 满足s o m m e r f e l d 辐射条件且在边界上的法向导数存襁， 嚣( 。) _ 觑p ( 。) 审a d 钍扛一盎扩( z ) ) ，。o d ， 则有g r e e n s 公式 五。帮一券的谳萨珏，。耐西， 证明：首先诋明岛。l 让0 ) 2 d 。= o ( 1 ) ，r 一。记n r 是半径为r 球心在原点 的球面，由s o m m e r f e l d 辐射条件可得 。= 轴l i m 。，f q 。l 嘉一i 划2 如= i 骢五。一；玩) 雾+ i 嚣) 蠢 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s = 月1 + i r a 。， ( i 舅j 2 + 叫计十i u 雳一i 地舅) 如 舳l i m 咄f 。( 1 1 2 + k 2 t 珏1 2 + 2 i 雌锤荔) 蠡毯 鼢 取r 足够大使dc q r ，在d r ：= r a 西，i x l r ) 中用g r e e n ，s 定理得 五。撂孓一z 。“十五。( 一毪赢+ i g r a d u 国酝 对上式乘以k ，两边取共轭后代入( 8 ) 得 主骢 互。( t 口o 扩i 2 + 是2 i 群| 2 ) 施= 一2 砌秘z 。n 等硌) ， ( 9 ) 由( 9 ) 可得矗。i 扎1 2 d s 有界这里记 拈五。地) 帮“吣州y ) 磊：= 五。圣( 础) 。o 扩u ( 磬) - i k u ( 爹胁 矗一2 d s 肖界，且鼍群一i k o ( x ，g ) = o ( 雨1 ) ，r 时o o ，由s c h w a r z 不等式 最( 互。媛泓略炉皈。雩等确瑚黼趣e ( 五。1 馘嘲， 又西( z ，) 一o ( 击) ，鑫一i k u = o ( 击) ，r 叶o 。，由s c h w a r z 不等式 毛( 互。魄测霸互。( 孰蚓敞妫 茎五。知， 从丽有 一 点= 。去；， 磊= p ( 1 j 硕士聋位论文 m a s t e r st h e s i s 因此 五。帮一笔峰渤黼) = 1 1 - - 毛岫冀叶。 q a + a d 哟) 帮一知咖肭湖一， 即珏( z ) = 如d n ( y ) ! 熹祥一赛( ) 垂( 卫，) ) d s ( ) ，定璁得证 定理6 ：在定理5 的隧榉假设之t ，锃5 ( 。) 具有觏下澎近经藤 叫加寄蜊十0 ( 壶) ，i x l - + o c u 3 ( z ) 。青n 。( 童) 十o ( 奔) ，_ o c 这里鞑。( 匐避数是敬射波? t s ( 。) 静送甥模式，它怒定义在单位蜷藏上，置 “。( 叠) = 1 l 一。而o e - i k 。, y 一筹( ) e - i k 2 y ) ，童叽 诞鹾；嚣雾霹褥 i 茹一可i = 、，；f 二i 五研= i 。l ( j1 2 f x 舅 ：yi l z y 。2 ，1 翮用泰勒晟歼，当吲_ 。时，我稍肖| g f = 一圣f + o ( 南) ，因此 p 让陋一y lp l k i z l 一，+ d ( 由) 1。让1 两2 赢i 丽。请旷蠢9 + 。( 舭 相应有 丽( 9 两e l k z - y l = 并 筹+ 。( 扣西砑f 习2 酉面+ “两疆 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 利用定理5 可得 牡小渤) 雩辫一孰陬姘蚴) = 小，寄需一筹寄e 珠蛳倒扣咖， 一e i h k i 。l 胁f ) o 删e - - i k 。y 一警e 喇q 。( 却叫珐 因此，当圳_ o 。时， 口i 蠢矧1 “3 ( z ) 2 哥瓤* ( 圣) + d ( 南) 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三节主要结果 3 。1 传输正闫题解的存在瞧一性 为了讨论问题方便，我们将方稷( 1 ) ，( 2 ) 改写为如下形式 “8 + k 2 5 = 0 # + 蘸口= 0 珏8 一w = f 。 f = 一e 2 。 爹一a 骞= g ，9 = 一了o e i k 。 d l i m r 。r ( 等一i k u 8 ) = 0 ， x 廖西，k o ； x d ，k o o ； x o d ；( 1 0 ) x o d ，a r ： 反问题的研究总是以相藏正问题的楣奖理论为基础，先研究正传输问题解的 存在唯一性 弓l 理r e l l i c h ) ：假设u ( x ) c 2 ( 謦司nc ( r 3 d ) 是方程众毪+ k 2 u 一 0 ，k 0 静解，u 满足s o m m e r f e l d 辐射条件，量u 的远场模式“。= 0 ，础 u ( z ) = 0 ，嚣r 3 万 定毽7 ：裴设u ( x ) c 2 ( 露虿) n c ( r 3 翻燕方程嚣+ k 2 u = 0 ，老 o 的解，u 满足s o m m e r f e l d 辐射条件，臆x m ( k f o d 就舞d s ) 0 ，则 钍( z ) = o ，。j 护万 定理8 ：( 难一住) 稽输阏题只有瞧一解 证明：假设1 ，v l 是传输问题的一组解，2 ，v 2 是传输问题的另一组解，令 珏0 2 让! 一u 2 ：v 0 2 l 一 2 ：授4 有 珏。十2 锄= 0 口o + ； o = 0 2 1 0 = 甜0 磐一爻静= 1 0 r 3 甄k 0 d ，k o o ； a d ； 毋d ，a 蠢 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 利用边界条件，司得 驯七f a d w o o d s ) = 州女上。面雾d s ) = 州从厶( 咖丽+ w v o v 丽o ) d x ) = ，m ( 七a 厶( 咖( 一；而) + v v o v 而o ) d z ) = i m ( k a f ( 一3 1 2 + i v 。i 2 ) 出) = o 应用定理7 ，可知辛“o = 0 ，z r 3 西，从而有 f u o + 皤= 0 x d ，k 0 ； u 。= o x o d ； 【誓= 0 x o d 再由定理4 可得v 0 = 0 ， z d 因此“l = u 2 ，口1 = ”2 ，唯一性得证 定理9 ：( 存在性) 传输问题的解存在 证明：利用单双层位势的组合，构造传输问题( 1 0 ) 如下形式的一组解 ju ( z ) = a 甜妒( y ) + 西( 刚) 妒( ) ( 可) l “o 扛) = 屯 i ；：篝产妒( g ) + d p o 扛，) ( ) ) d s ( ) ( z ，”) = 生篙舁是u + 瑶“= 0 的基本解，由2 1 节引入的位势算子相 应的记为s o ，k o ，瑞，t o 将让( z ) ，u o ( 。) 代入( 1 0 ) 式中的边界条件，用单双层 位势的跳跃条件可以得到 批- 川+ 厶( a 帮一帮蛐) + 上。( 垂( 删) 一中。( 砌) ) d s ( p ) = 一u 4 ( z ) 。o d 引用5 2 1 中的算子符号，上式即为 ( a + 1 ) 砂( z ) + ( 入盯一) 妒( z ) + ( s s o ) 妒( z ) = 一2 u 1 ( z ) ，。a d 。( 1 1 ) 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 同样，将“( o ) ，u o ( x ) 代( 1 0 ) 入式，用单双层位势的跳跃条件可以得到 ( a + 1 ) 妒( z ) + ( a 蜀一a t ) 砂( z ) + ( a 磁一k ) 妒( z ) = 2 丽o ( 泸。) ，z o d ( 1 2 ) 如果记 舡a k - k o , 5 - - “s o ) ，f = ( 。茎) ，x = ( ：) 则( 1 1 ) ，( 1 2 ) 变为如下形式 ( a + 1 ) x + a x = f ( 1 3 ) 因k ，甄，s ，岛，k ，磁，t p ，一t o 为紧算子，显然a 为紧算子由n e d h 0 1 m 选择定理可知( a + 1 ) x + a x = f 有解，只要( a + 1 ) x + a x = 0 有零解 即由c a + ，x + a x = 。可导出x = ( ：) = 。，那么c 。，解存在 ( a + 1 ) x + a x = 0 等价于 i u + 七2 u = 0 x r 3 万； a u o + 删k 。u 0 _ 。x e d 。； 【舞一静= 0 x o d 由唯一性定理8 可知 ju ( 弩o x r 3 晒 ( 1 4 ) 【u o ( x ) = 0 x d 同样，我们可以构造另外一组解如下 扣) = 如。 帮t j ( g ) + 圣o ( z ，) 妒( ) ) 出( 【咖( z ) = 矗如。 a 铡妒( ) + 圣( z ，y ) 妒( ) ) d s ( ) x 冗3 d x d 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 类似于上面的讨论可知 ( z ) = o x 印百； f 1 5 ) 【v o ( x ) = 0 x d 、7 由于( 1 4 ) 和( 1 5 ) 是同一传输问题的两组解，利用跳跃关系可得 上面的讨论告诉我们 x 0 d ： x 0 d ： x o d ； x 0 d 妒( z ) = 0 ，妒( 。) = 0 ，z o d 即( a + 1 ) x + a x = 0 有零解，从而传输问题的解存在，定理得证 3 2 远场模式的稠密性 远场算子是紧密的依赖于散射场的远场模式，远场模式最重要的性质之 一就是在铲( q ) 中的稠密性为了讨论方便，记平面波u ( z ，d ) = c i k x d ，用 u 5 ( o ，d ) ，u ( x ，d ) ，u 。( 金，d ) 分别表示传输问题的散射场，整体场，远场模式 考虑入射波为h e r g l o t z 波函数 ：( z ) = 岛口( d ) e i k x d d s ( d ) ，即入射波为平面波 ( z ，d ) 的迭加，那么对应的散射场为”5 ( z ) ：= 如u s ( z ，d ) g ( d ) d s ( d ) ，远场模式 为 o 。( z ) ：= 如u o o ( x ，d ) g ( d ) d s ( d ) 特别地，定义算子u ( f ，9 ) ( 童) = 弘。( 圣，d ) = 石1 如d u 5 ( f ，鳓2 岳j 静一! i ；铲e - i k 。y ) d s ( ) ，士q 则矿( ，g ) ( 士) 是l 2 ( a d ) l 2 ( o d ) - 驴( q ) 的有界线性算子( 见 4 8 ) ，设 如：n = 1 ，2 是单位球 面上可数的稠密的向量子集，定义远场模式集5 c ：= 让。( 童，d 。) ：n = 1 ，2 ) 下面研究远场模式集，在( q ) 中稠密的条件我们借助算子u 的共轭算 子u 来研究远场模式集， 1 3 宕 帅一叫= = n ，= 生 型麓 砒 一旦 一 一，一l 甸巾乎警料警海 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 引理1 ：由入射波u i ( z ，d ) = e “。4 产生的传输问题远场模式满足互反性 u 。忙，d ) = “。( 一d ，一童) 引理2 ：假设v g ( z ) 是h e r g l o t z 波函数，如果v g ( x ) = 0 ，x r 3 ，则g = 0 引理3 ； u ( i ，9 ) ( 圣) 定义如上，砺：= 矗e - i k x d - h ( d ) d s ( d ) 是h e r g l o t z 波 函数，则u 的共轭算子u ：l 2 ) _ l 2 ( o d ) l 2 ( o d ) 由( 1 6 ) 给出 = 去( 一i 等) _ ) ，0 6 ) 其中w l ，7 3 ) 是( 1 7 ) 的解， a w l + k 2 w 1 2 0 + 瑶叫= 0 w l w = v h 静一a 筹= 磊 l i m ，+ 。r ( 笋一i k w l ) = 0 定义v ：= s p a n ( e 曲垂i o d ，! 著) l 2 ( q ) 中的正交补户1 = h l 2 ( q ) x r 3 西，k o ； x d ，女o o ； x o d ；( 1 7 ) x o d ，a r ： 1 1 2 1 l = 1 ) 由泛函基本理论可知，在 u + h v 上) 于是先研究y 上的构成 。c 2 ( d ) m c l ( d - - ) ，a z + k 2 z = 0 ，xe 为了简单明确的表达定理，我们定义函数空间 7 - t = h l 2 ( q ) 丽，w + ec 2 ( d ) nc 1 ( - d ) 砺+ 女2 讶= 0 口+ + 碲矿= 0 v h 2 v + 哥= a 蔷 1 4 s t 1 x d ；i x d ； x o d ；f x o d ，j da g一 丝c 邑上打 r i erusdd l | 上 矿4理 己_ 、， d 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定理1 0 ：，丸的定义同上，则 l 2 ( q ) = 芦0 7 - 证明：该定理的证明分为两步( 1 ) 和( 2 ) ( 1 ) 证明歹上咒，应用格林定理可得正交性v h 咒，联系( 1 0 ) 我们有 五w 劫( 蛳蜊= 去小渤) 雾一砺堡字 d s = 石1 础”。坶4 ) 雾础舅一百o e i k y d ) d s ( ) = 击上。扣雾一a 瓦o v 】d s ( ”) + 去上。 _ 笋2 石厶d p 面一舸“瓦j d s + 石厶d 【_ 1 f 由于h w ，存在函数砑和u + 是( 1 8 ) 的解 x d ： x d ： x a d x a d 在d 中砺，e 汜4 满足 4 - k 2 u = 0 由格林定理可以得， z 。院字。妊。雾仙：。 一州斋) ( 1 8 ) 在d 中 ， + 满足u4 - k 0 2 u = 0 ，由格林定理和( 1 8 ) 中的边界条件可以得 从而 。= a 小c 筹h + = 船雾一- 砺珈 二札幽) 硷) 蜊= 去小渤) 誓一砺掣 d s = 。 1 5 丽矿 ， 脚咖 若 + + 钉 - 砺矿 =吐，爨筹 弱漩尹上笼 ( 2 ) 证明l 2 ) 一0 7 t 假 疑h l 2 ( q ) ，殿h 上j z 需甍证踞h 截，事实上 h 上芦静0 = ( h ，u ) = ( u + h ，t ) ，v t 矿即u + h v 1 由萼| 理3 有u h 一去( 一天雾，帮b 其中铆l ，蟛是( 1 9 ) 的勰 a w l + k 2 ”l = 0 埘十3 叫= 0 翻i 一材= 丽 静a 器= 磊 l i m ，。r ( 警一i k w l ) = 0 xe r 3 万，七 0 ； x d ， o ； x o d ；( 1 9 ) x o d ，a 露； 囊弓l 毽4 蠢y 上一c ! 勰e r 8 番( 筹，一g | a 口) ：。c 2 ( d ) n 。1 ( 苓) ，z + 2 # = 0 ，嚣d ) ，因魄 一x 等：l i m 鲁，萄一一l i r a z j ，。o d 2 - - - ，o o秽扩d p，叶。 由( 1 9 ) 中的边界条件有 划t 3 训十磺= 一恕虿+ 甄2 恕( 一虿+ _ ) ， 。a d 警= a 筹十荔= 一，1 + i r a 。c g 万z j + 荔= 一船( 弓一鞲) ，2 o d 鑫定理5 褥删l 巍鲡t 表达式 旷j o d 舢掣一掣吣 、 d d 、 = 互。瞵麓( 一百+ 丽) 掣+ 热嘉湾一硪) 蚤涵朔出( 彩 = 一! i r a f 品( 虿吲吣川怕吲掣灿= 。 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s x d ： x o d ；( 2 0 ) x a d 令矿= 一w ，显然瓦c 2 ( d ) n c l ( 面) 且满足+ 女2 u = 0 ，从而( 2 0 ) 变为 x d ： x d ； f 2 1 1 x o q d ； 、7 x a d 由7 的定义知万w ，定理得证 如果定理方程组( 2 1 ) 没有非平凡解，即砺= o ，口+ = 0 ，则由引理2 可 得h = o ，从而w = o ) ，再由定理1 0 知，在l 2 ( n ) 中稠密 定理1 1 ：传输问题远场模式集，在三2 ( f 2 ) 中稠密的充要条件是不存在 非平凡的函数面， + c 2 ( d ) nc 1 ( 万) ，丽是h e r g l o t z 波函数，使得砺， + 是 ( 2 1 ) 的解 3 3 远场算子的性质 定理1 2 ( 单射性) ：f ：l 2 ( q ) 上2 ( q ) 是传输问题的远场算子， ( f 9 ) ( 圣) = 上札。( 圣，d ) g ( d ) d s ( d ) ，圣q 远场算子f 是单射的充要条件是不存在非平凡的函数口，”c 2 ( d ) n g l ( 西) ，。 1 7 | 1 w 一扯缸 皤砑一 一 | | u = 生蛳一堵，ll【 为变 均此 因 萝一 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 是h e r g l o t z 波函数，使得面，可是以下齐次传输问题的解 fa w ( x ) + k 2 w ( x ) = 0 ) ( d ； l , s v ( x ) + 麓暖z ) 一0 xg d ； j 甜( 茹) = u ( z )x o d ； 【舞= a 嚣 x o d 话疆lf + ：l 2 ( 哟- 2 ( q ) 由下式绘掇 ( f + ) ( d ) 。厶u 一( 圣，d ) ( 童) 如( 圣) ，d q 瘗运凌搂式豹蔓反囊褥 ( f + ) ( d ) 2 二瓦f 再) ( 毒) d s ( 童) = 五蕊) ( 一圣) d 8 ( 童) ： 嚣 ( f 4 ) = f g ( - d ) , d q ，9 ( 童) = 可二两 f 是单射当凰紧当p 是单射，在h i l b e r t 空问l 2 ( f 2 ) 中有( p ) 上一f e 7 丽， f 为有界紧冀予，注意到f g = o ，g 0 等价于存在一个非平凡的h e r g l o t z 函 数罚，宅鲍秘瘦懿透凌壤袋留o 。= 0 ，蠹r e l l i c h 每弓| 瑷有贸誓。) = 0 ，茹聋d ， 因此有警一0 ，z r 3 d 而留+ 留8 ， 是传输问题( i 0 ) 的解，闱( 1 0 ) 中的 边界条件可褥 即g ：7 ：v 满足如下方程组 f 帮( ) + k 2 嚣( 。) = 0 j ”( z ) + 碲u ( z ) = o l 留( 。) = ”扛) 警一a 耋 x o d ； x a d + d ： d ： o d 8 d 熟甜 二 霈徊一却，；，、，、 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 件 则 引理5 ：设口。，是+ k 2 u = 0 的解，且 3 ，w 3 满足s o m m e r f e l d 条 ”o 。和u 。分别是v 3 ，的远场模式，则有 小5 筹一- - o v 5 = - 2 i k f a ”。_ d s ( 2 2 ) o o ( 州。) 警( 圹丽警( 圳d s ( 加4 丌正瓣。d s ( d ) ( 2 3 ) 定理1 3 ：f 是传输问题的远场算子，( ，) 是工2 ( q ) 的内积，g ，h l 2 ( q ) 证明：假设 2 7 r ( f g ，h ) = 2 r ( g ，f h ) + i k ( f g ，f h ) u 9 i = f a e k 。 d g ( d ) d s ( d )，“；= e i k z d h ( d ) d s ( d ) “，= 牡；+ “；，是( 1 0 ) 的一组解，。是“；的远场模式， u h = 钍x + 札i ，v h 是( 1 0 ) 的一组解，u ，。是u 的远场模式 显然 由( 2 2 ) 式得 由( 2 3 ) 式得 小；雾一面警：。 小一, - 5 - 2 , 一诹警冲叫仳f v o 。硎s 小；警一面警) d s 础f a h ( d ) v g , 。d s ( d ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 硕士学位论戈 m a s t e r st h e s i s 对( 2 3 ) 式两边取共轭 z 。( 噶警一霹意0 t t i 幽一一z 。壤警一虿警汹= 壹1 0 j 孛懿透赛条 孛考 4 ”五9 ( d ) 面i 融( d 嘞二丽牺d s ( d ) f 2 7 ) 上口( u ，雾n 面o u g 灿一f a da ( 雾一琢鲁油 在嚣城d 审对( 2 8 ) 式蠢边薅g r e e n s 灌瑾褥 ( 2 8 ) 。= z 。( 誓一面o u g s = 厶( g 蕊- & 7 。若o u i ) d s 十z 。( “；警一磋警) d s + 厶( “若；一面警冲+ f o 。( 9 - 蹶g v 一面警冲 ( 2 0 ) 将( 2 4 ) 一( 2 7 ) 代入( 2 9 ) 褥0 = 一z i k ( f o ，f h ) + 4 霄( f g ，h ) 4 7 r ( g ，f h ) ，定理褥 涯 定理1 4 ( 正则性) ：f 是传输问题的远场算子，则 f + f f f 4 。 证明：v 9 ，h l 2 ( q ) ，由定理1 3 得 i k ( f g ，f h ) = 2 箨( f g ，h ) 一2 丌( 擘，f h ) 一( f g ，i k f h ) = 2 肯( f 9 ，h ) 一2 w ( g ，f h ) ( 9 ，i k f f ) = 2 r ( g ，f h ) 一2 r ( g ，f + h ) i k f 4 f = 2 w ( f f 4 ) 2 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由远场模式的互反性得 ( f + 9 ) ( 圣) = 五磊丽西s ( d ) = 五珥i 二现( d ) d s ( 矗) 反射算子r ：l 2 ) 叶上2 ( q ) 定义如下 r 9 ( d ) ：一g ( - d ) ， 匈? ( d ) 一虿( 一固 f 舫= 互“。( 毋，蛔( 一d ) d s ( d ) = 五“。( 圣，d ) y ( d ) d s ( d ) 霞f 秘固= 互锯。一宝，一固蚕蓬) 蠢s ( 蠢) f + g 一丽 显然v g ，h l 2 ( q ) 有( j 强，矗妁= ( g ，h ) = ( 嚣，药 ( f + g ，f h ) = ( 秀硒，n f n 无) 一( n y r - 无，霞f 最功= ( f f f f ，f 哟) 再由定理1 3 得 i k ( f g ，弼一i f 霆- ，f 稳) 一2 仃( f 兄_ 1 廊) 一2 z ( r h ，f 脚) = 2 b ，f 4 h ) 一( f + g ， ) ) ( i k f + 9 ，f + h ) = 2 7 r ( 口，f + h ) 一( f + g ， ) ) i k f f 。g ，h ) = 2 霄 ( f g ，h ) 一p g ，动 i k f f + = 2 7 r ( f f + ) ， f 。f f f 4 ， 3 。4 附录 2 1 硕士学位论定 m a s t e r st h e s i s 引理3 的证明 证明：由( 5 ) 有 加船玲翮蝉) 一去互厶矽雩筹蒜e 珠蛳 h d 如泌 = 去厶) 雾一丽掣胁 ( 3 0 ) 由于钍。，w l 在r 3 - 万中满足a u + k 2 u = 0 ，且满足s o m m e r f e l d 条件，由格林 定理有 z 。瞅爹) 警一t 掣泌趣 辑) 由于v ，w 在d 中满足a u + 皤u = 0 ，内格林定理有 互口扣面o w 一掰汹= 。 ( 3 2 ) 将( 3 0 ) 与( 3 1 ) 作纛，再用( 1 7 ) 中的边界条件可得 互w 渤( 砸固蝉) = 石1 乞暇焱一a 石o w ) _ 暂垒学泌 由( 1 0 ) 中的边界条件和( 3 2 ) 得 互嫩烈蕊馘扣石1z 。嘲一a ，筹) 斌 即u h = 去( 一五雾，面) 。弓l 理得证 雩| 理4 鹃证鹱 证明：先证c ，v ( p ，q ) v 1 ，有 恐( 弦- i k e ”+ q 雩泓泸。 ( 3 3 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 令。( 。) 一4 矗d 扫垂扛，曼，) + q 掣) 如( 墨，) ，z c g d ，鼹然 。( z ) 是g u + k 2 n = 0 的解，( 3 3 ) 是z ( x ) 的遥场模式，由r e l l i c h s 引理得 由定理1 宥 z ( 茗) = 0 ，嚣碧蓼 ；= l + - 扭鸭精+ 一搀一p ，。o d ， 写。烈一。岱互磊l + 一夏历| 2 ，。 ， 由( 3 4 ) 式脊 堪= 孰= 。 因此p = 嚣1 一，q = - z f 一即证c 再证) ，v 。c 2 ( d ) ne 1 ( 移) ，a z + k 2 z o ，。d ，由g r e e n s 定理有 去z 口( 嘉e 峨地+ 。字磁萨。 f 3 4 ) 列证) ，引飕得证 雩i 瑾5 豹证疆 证明：由v s ( 茹) ，的渐近性质和v s ( 岔) ，“5 满足s o m m e r f e l d 辎射条件可得 娥z ) 警一吣- - z ，百：c z ) = 一万2 i k 钏) 西蕊+ 。( 去) ，r ；矧 在d n 内应用g r e e n s 定联有 z 。矿筹一筹汹一五。( 扩筹一手警冲， = 一z 互。 静嘣刎) 面丽+ 。( 壶泓s 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s = 一2 2 0 。砰i k 划圳) 霸丽+ 。( 南川肌i i n 删础 = 划j ( 0 2 7 rz ”u 。o ( 雪，d ) 面丽s i n d 础+ 。西1 ) = 一2 i k 二”。( 圣，d ) 瓦x 丽幽， l z i _ 。 即证( 2 2 ) 式成立 肛雾一丽秘州 = 上。( z ) 嘉( 丽两) _