（信号与信息处理专业论文）基于alpha稳定分布的farima自相似模型.pdf

f r 【j 川大学硕士学位论文 基于口稳定分布的f a r m a ( p ，z g ) 自相似模型 信号与信息处理专业 研究生：王先涛指导老师：舒勤教授 网络流量模型是流量预测、控制及网络性能分析和评价的基础。必须能够 准确描述网络实际流量的特征情况。近年来研究发现网络流量具有自相似性 ( s e l f - s i m i a r i t y ) 和重尾性( h e a v y t a i l ) ，主要表现为流量的突发程度在不同 统计时问尺度下的致性，和流量分布函数的非指数衰减。传统的基于泊松分 布的流量模型以分布的指数衰减为前提，不能描述新发现的流量特征性质，于 是人们开始采用寻求能反映这些特征的新模型，这些新模型可以称之为自相似 模型。f a r i m a ( p ，d ，g ) 模型是自相似模型的一种，来源于对短相关a r m a ( p ，q ) 模型的改进，因此既能进行短相关分析，也能进行长相关分析。t a q q u 等【5 l 】在 上世纪九十年代中期将f f t ( 快速傅立叶变换) 引入到f a r t m a ( p ，d ，口) 模型中， 减小了计算的复杂度，提高了这种模型的效率，使其成为最有应用前景的自相 似模型之一。不过到目前为止，f a r l m a ( p ，d ，q ) 模型一直以来都以指数衰减的 高斯分布作为其激励源，其应用效果仍不十分理想，对此模型的改进已成为近 来研究的一个热点。a 稳定分布是一类具有重尾性质的分布集合，通过改变特 征指数口( 0 口2 ) 的取值，可以获得不同程度的重尾分布。本文研究表明， 用a 稳定分布作为f a r i m a ( p ，d ，q ) 模型的激励源，更为合理有效。 本文首先综述网络自相似性的认识发现过程，自相似性对网络性能的影响 和产生自相似性的原因；然后详细介绍自相似性的定义、性质、分析方法和一 部分自相似模型，将自相似性的轮廓呈现出来。接着简单介绍具有重尾性质的口 稳定分布和在仿真中作为比较对象的以高斯分布为激励的f a r i m a ( p ，d ，口) 模型 ( 旧模型) 。最后，采用a 稳定分布作为激励源提出一种新的f a r i m a ( b d ，们模 口q 川 学萌士学位论文 型( 新模型) 。用b c i i c o y e i o r r i s t o w n 研究与j l _ = 程中心的实际流量数据作为 样本序列，将新旧模型生成的时间序列与样本序列进行比较，通过聚集方差图 和自相关函数图可以看到，新模型生成的时间序列更加接近于样本序列，仿真 结果表明新算法精度的提高和优效性。 关键词：自褶似性长相关，重尾分布，f a r i m a ( p ，彩，d 稳定分布，网络 模型 四川i 上学硕士学位论文 f a r i m a ( p ，d ，ds e l f - s i m i l a rm o d e lb a s e do n 口s t a b l ed i s t r i b u t i o n m a j o r ：s i g n a la n di n f o r m a t i o np r o c e s s i n g g r a d u a t e ：w a n gx i a n t a o a d v i s o r ：s h uq i n n e t w o r k f l o wm o d e li st h ef o u n d a t i o no fr e s e a r c h e sa n da p p l i c a t i o n so n n e t w o r k s ，s u c ha sf l o w a n a l y s i s ，f l o w p r e d i c t i o n ，f l o w - c o n t r o la n dc o m m e n t so n n e t w o r k s p r e f e r m a n c e o n l yg o o dn e t w o r k f l o wm o d e l ，w h i c hi sa b l et od e s c r i b et h e a c c u r a t ec h a r a c t e r i s t i c so ft h er e a lf l o wi nt h en e t w o r k ，c a np r e d i c tt h ef u t u r ef l o w s t a t ea c c u r a t e l yi nt h es a m en e t w o r k ，b u ti nr e c e n ty e a r si t i sd i s c o v e r e dt h a tt h e r e a l f l o w i nt h en e t w o r ki ss e l f - s i m i l a ra n dh e a v y - t a i ld i s t r i b u t e d w h i c hs h o w s f l o w ss t a t i s t i c a lc o n s i s t e n c yu n d e rd i f f e r e n tt i m es c a l e sa n dt e l l su st h en o n i n d e x d e c a y s o fp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ( p d f ) i nf l o w t h et r a d i t i o n a l n e t w o r k f l o wm o d e l s ，w h i c hc a n tw e l ld e s c r i b et h en e t w o r k sn a t u r e ，a r eb a s e do n t h ei n d e xd e c a y so ff l o w sp d f , s op e o p l eb e g i nt oa d o p tt h es e l f - s i m i l a rm o d e l st o d oi t d i f f e r e n tf r o mt h et r a d i t i o n a ls h o r t r a n g ed e p e n d e n tm o d e l s ( s r d ) s u c ha s p o s s i o nm o d e l s e l f - s i m i l a rm o d e l s c a r ls i m u l a t et h er e a l n e t w o r k sn e w c h a r a c t e r i s t i c sa n dp r o v i d em o r ea c c u r a t ed a t af o rc o n t r o l l i n g ，p r e d i c t i n ga n d q u e u i n g f a r i m a ( p ，d ，g ) i s o n eo ft h es e l f - s i m i l a rm o d e l sa n do r i g i n sf r o m a r m a ( p ，g ) w h i c hi so n eo ft h es h o r t - r a n g ed e p e n d e n tm o d e l s ，s oi tc a r ln o to n l y a n a l y s i ss h o r t r a n g ed e p e n d e n c e ，b u ta l s ol o n g r a n g ed e p e n d e n c e i n19 9 0 s ，t a q q u i m p r o v e d t h e e f f i c i e n c y o f f a r i m a ( p ，d ，g ) b yu s i n g f f ta l g o r i t h ma n d f a r i m a ( p ，d ，q ) b e c a m e t ob eo n eo f t h em o s tu s e dm o d e l s b u ti td i d n tw o r kw e l l i n n o v a t e db yg a u s s i a nd i s t r i b u t i o n 口一s t a b l ed i s t r i b u t i o ni sh e a v y t a i l e da n di t s b u r s tc a nb ec o n t r o l l e db yc h a n g i n gt h ep a r a m e t e ro fa( o “2 ) a sar e s u l t ，i t i sr e a s o n a b l et oi r m o v m ef a r i m a ( p ，d ，q ) b yd s t a b l ed i s t r i b u t i o n ， i nt h i sp r e s e n ts t u d y , h o ws e l f - s i m i l a rp h e n o m e n ai sr e a l i z e d ，h o wi ta f f e c tt h e j i i 四川大学硕士学位论丘_ n e t w o r k sp e r f o r m a n c ea n dw h yi tt a k e sp l a c ew i l lb es u m m a r i z e df i r s t l y ；s e c o n d l n d e f i n i t i o n 、c h a r a c t e r i s t i c s 、a n a l y s i sm e t h o da n dm o d e l so fs e l f - s i m i l a r i t yw i l lb e d i s c u s s e d ；t h e n 口一s t a b l ed i s t r i b u t i o na n df a r i m a ( p ，d ，q ) i n n o v a t e db yg a u s s i a n d i s t r i b u t i o n ( o l dm o d e l ) w i l lb ei n t r o d u c e d ；l a s t ，an e wf a r i m a ( p ，d ，q ) m o d e l i n n o v a t e db y 盘一s t a b l ed i s t r i b u t i o nf n e wm o d e l ) w i l lb ep u tf b r w a r d w eu s eb o t h m o d e l st os i m u l a t et h eb e l l c o r e sd a t aa n d c o m p a r e t w o r e s u l t s t h r o u 曲 a g g r e g a t e d - v a r i a n c ep l o ta n da u t o e o r r e l a t i o np l o t ，w ec a ns e et h es e r i e sf r o mn e w m o d e li sm o r ec l o s et oo r i g i n a ld a t at h a nt h a tf r o mo l dm o d e la n dt h er e s u l ts h o w s t h en e wm o d e l sv a l i d i t y k e y w o r d s ：s e l f - s i m i l a r , l o n g r a n g ed e p e n d e n t ，h e a v y t a i ld i s t r i b u t i o n ，f l o w m o d e l ，f a r i m a ( p ，d ，q ) ，口一s t a b l ed i s t r i b u t i o n ， i v 四川大学领士学位论文 术语 自相似性：在不同时间尺度卜，网络流量序列具有相同的统汁特征。 长相关：大时间尺度上，网络流量的突发等性质同小时间尺度下的性质一一致， 和自相似性基本致。 短相关：小时间尺度上二，网络流量序列的统计特征。 自相似模型：能分析自相似流量的模型统称为自相似模型或长相关模型 重尾分布：拖尾衰减小于指数衰减的分布。 口稳定分布：重尾分布的一种，其突发的程度可由尺度参数口控制。 白相似指数一日指数：也叫l i u r s t 指数，满足0 , 5 h x ) 表示分布函数。图中有 两条曲线，代表两种不同的文件集。a v a i l a b l ef i l e s 集是网络中可访问的所有文 件，u n i q u ef i l e s 集是网络中实际传输的文件。从图中可以看见，这两个集合的 概率曲线都是非常接近重尾分布，这是网络自相似性的根本原因。 第二类观点主要研究网络层次和协议的影响，但他们并不否定文件大小分 布的影响。d e a r i e ”】等研究者试图将流量自相似性的产生归因于源端和目的端间 的相互作用，认为协议的这种动态特性可以导致分形( 自相似性) 的产生。具 体来说，是t c p 中的拥塞控制和流量控制导致了自相似的发生。p e h a 和h a g a o 等的通过仿真实验与实际研究证明了由协议产生的网络自相似性的存在性。 图2 4p e h a 和l i a g a l 使用的理想网络模型 图2 5 理想模型的时间方差法分析图圈2 6 实际网络流量时间方差分析图 图2 4 是 1i 中使用的理想模型。模型网络的参数采用理想化设置。具体如 下：路由器缓存很大以至于进入的t c p 流不可能出现溢出：主机用于发送和接 四川大学硕士学位沦文 收数据的两个缓存也很大以至于每一时刻进入的t c p 流不会出现溢出；线路上 没有额外损失，即数据不会在线路上出现丢失；每个文件的发送方式和速率变 化是一致的。这样的理想设置的目的是：排除重尾分布等原因产生的自相似业 务，将注意力集中在传输层协议对网络流量的影响上。 图2 5 是理想模型的时间方差图( 见术语部分) ，图中直线的斜率为0 8 5 ， 即h u r s t 指数的估计是0 8 5 ，满足自相似性的条件。图2 6 是实际选择的一条横 跨美国大陆的网络线路，它有许多地方和理想模型相似。它的时间方差图与图 2 5 非常接近。 第二类分析结论可以归结为：发送源t c p 协议根据网络的拥塞状况改变重 发等待时间，引起路由器缓存中等待队列长度的波动，加上路由器的转发等后 台业务引入的操作突发性，造成网络流量的不规则波动，进而产生自相似业务。 还有一些科学家研究了网络层次对网络流量特性的影响，这可以包含在第 二类分析里面。他们将重点放在自相似性在网络中从高层映射到低层时的一些 性能特征上。如p a ) 【s o n 和l o y d 曾研究了一个t c p 连接的流量特性与互联网t c p i p 体系结构层次的模型，发现网络运行和控制层次之间有明显的关联。e r r a m i l l i 1 2 - 1 3 1 的工作证实了这一点不过这并不是引起自相似的原因。 对网络自相似性产生原因的研究是一项将长期面临的课题。 四川大学硕士学位论文 3 自相似性的定义、性质、分析方法及长相关模型 3 1 自相似性的定义及其性质 3 1 1 离散自相似过程 假设前提： 前提i ：平稳随机过程，即统计特性( 均值、方差、相关等) 不随时问推移而变 化的过程。一阶平稳( 均值为常数) ，二阶平稳( 均值和方差为常数， 任意两时间点之间的协方差只取决于时间间隔，又称之为广义平稳) 前提2 ：自相关函数定义为： r ( 七) = e 【( x ，一a ) ( x ，+ 。一) e ( x ，一) 2 】 自相似的数学定义 条件l 一针对一个平稳随机过程 x = ( 五：t = 0 ，1 ，2 ，3 ) _ 条件2 一其自相关函数满足 r ( k ) k 三。( k ) 其中0 0 ， 1 i m l ( t x ) g ( t ) = 1 。( 常见的慢变函数，如4 ( t ) = 常数，厶( f ) = l o g ( 幻) - 条件3 一对进行聚集( 也叫堆叠) ，聚集产生的时间序列为 z = ( z ：叫：k = 1 ，2 ，3 ) 其中x ；= 1 m ( x m l m l + + x 女。) ，k = l ，2 ，3 ，m 表示聚集程度。 定理1 如果x ”的自相关函数一”( ) 满足：r ”( ) = r ( k ) ，对所有m = 1 ，2 ， ( 止一1 ，2 ，3 ，) 成立，则平稳过程x 称为严格二阶自相似的( e x a c t y s e c o n do r d e rs e l f s i m il a r ) 。 定理2 如果x ”的自相关函数r ( ) 满足： ，“( 1 ) 寸2 1 一1 ，当m 呻。o t - ( m ) ( 后) 斗1 2 铲( 尼2 - 8 ) ，当埘一0 0 ，( j i = 2 3 ) 网川久学硕士学位论文 占2 ( ) 表示一个算子符，其作用于函数f ( k ) 表示 占2 ( ，( t ) ) = f ( k + 1 ) 一2 f ( k ) + f ( k 一1 ) 则平稳过程z 称为渐进二阶白相似的( a s y m p t o t i c a l l ys e c o n do r d e r s e f s i m il a r ) 。 对于离散自相似过程，有以下结果： 方差：陆 ” 裂 m 。 自相关函数：r 州( 七) = r ( k ，x 州) = r ( k ，x ) ( 绝对自相似过程) 自相关函数：t i m ，”( 女) = l i m r ( k ，x “) - r ( k ，x ) ( 渐进自相似过程) 3 1 2 连续目相似过程 定理3 一个连续时间过程y ( f ) 被称为自相似参数为h 的自相似过程，如果满足条 件： y ( f ) = 口“y ( a t ) 其中：d 表示同分布， 0 ，口 o ，0 ，5 h 1 。 对于连续时间自相似过程，有以下结果： 均值：彤 - 半 施圳即) _ 掣 自相关函数叫) = 等磐 3 1 3 自相似指数一抒参数 自相似参数日也称为赫斯特( h u r s t ) 参数，满足o 5 h 1 ，它表征了过程 自相似的程度， h = 1 8 | 2 其中0 卢 o 。 其中m 是条件3 0 0 表示聚集程度的参数。 在严格自相似( e x a c t l ys e l fs i m i l a r ) 中 r ( k ) = l 2 ( 女- t - 1 ) ”2 尼2 “+ ( 尼1 ) 2 ”】 3 1 4 自相似性的性质 3 1 4 1 长相关性( l r d - - i o n g r a n g ed e p e n d e n c e 、l a r g es c a l ec o r r e l a t i o n 、l o n g t e r mc o r r e l a t i o n ) 定理4 如果一个随机过程满足自相似的条件1 和条件2 ，即其自相关函数随时滞的 增加呈双曲线衰减( 幂律衰减) ，则该随机过程呈现长相关性。 长相关过程的自相关函数按双曲线规律衰减： ! i m c o y ( x , ，以+ 女) = c 盯9 ，0 1 ，c 为常数 短相关过程的自相关函数按指数规律衰减： 骢c o v ( x 。，五+ * ) = c 8 ，0 口c 1 ，c 为常数 当k 比较大，而单独的c o v ( k ) 并不一定会变小，累积效果对过程的影响就 很大，这就是长相关过程和短相关过程的区别。 3 1 4 2 不可和性 不可和性的物理意义在于高滞后的相关虽然是个别的小量，但其累计的结 果则十分重要，不可和性表现为自相关函数求和的无限性，即 r ( 七) = m f 在短相关模型中，r ( t ) 是一个可确定的数。 女 3 1 4 3 慢方差衰减( s l o w l yd e c a y i n gv a r i a t i o n ) 自相似过程的方差满v a r ( x 州) a m ，当m _ o o ，其中卢= 2 ( 1 一h ) 四川大学硕士学位论文 0 5 h 1 ，所以0 卢 o o 时，s ( 们击 l 1 其中0 y x 】，如果 ，( x ) c x ，0 a 0 ) 尽管a r ( p ) 模型易于进行参数估计，产生递归序列，但由于其自相关函数以 指数形式衰减，所以不能很好地模拟比指数衰减要慢的自相关结构的流量。高斯 分布的a r ( p ) 过程不能够描述v b r 视频流量分布，因为v b r 视频流量的分布比高 斯分布具有更强的重尾性f 2 4 】。 3 3 1 3 2 自回归滑动平均模型( a r m a ( p ，g ) ) 自回归滑动平均模型a r m a ( p ，q ) 如下 x ，+ o l 墨一l + m 2 x 卜。+ + m p x ，p = + 最t 一1 + 吼一2 + + 口 它等价于o ( b ) x ，= o ( b ) e 。式中是随机扰动：中( 口) 是自回归项( a r ) ；o ( b ) 是 滑动平均项( m a ) 。 其自协方差为 y 女= 垂1 r 纠+ + 垂p y 一p 一口；( 颤+ 幺+ l h l + + 吃一 ) 式中：扛是a r m a ( p ，q ) 滤波器的脉冲响应。 自相关函数为 p = 中l p 一l + 中2 p 一2 + + 中p p p ，( k 0 ) 与a r ( p ) 的相关函数形式相似，也是以指数形式衰退，因此对流量只能进行 短期预测。文献 2 5 1 中用a r m a ( p ，模型模拟v b r 流量。将一个视频帧等分为m 个 婴型查兰堕兰些堡奎 昏t l h q n ，第n 个时间段的信元到达用以下a r m a ( p ，q ) 过程模拟： m 一1 x 。= 庐x + ok s 十；d 由于每一个视频帧数据都具有短时相关性，故其自相关函数在所有时段里 都有整数m 倍的峰值。在上述模型中，a r 过程用来模拟复相关作用，皖则用来拟 合第n 个时间段与其他时涮段的相关性。 a r m a ( p ，g ) 模型涉及到的参数估计比a r ( p ) 模型多，需要解一系列的非线 性方程或运用光谱因数分解技术，较难得到解析解。 3 。3 。1 3 3 自回归聚合滑动平均模型( a r z m a ( p ，d ，碍) ) a r i m a ( p ，d ，g ) 是a r m a ( p ，q ) 的扩展，其中二项式中( b ) 具有d 个单位根( d 为整数) ，其他根则位于单位圆之内，其形式如下： 巾( b ) “置= 口( b ) ， 式中b x ，= y i a = 卜口为差分算子。 a r i m a ( p ，d ，q ) 模型常用来模拟均匀非稳态时间序列，根据不同的时间尺度 来选择恰当的流量模型十分必要。 文献1 2 叼中的报道，对东京大学网络2 的路由 器f d d i 接口的流量采用不同的时间尺度进行仿真，比较分析了a r i m a ( p ，d ，们 与f a r i m a ( p ，d ，q ) 模型在不同情况下应用的优缺点。从a i c ( a k a i k e s i n f o r m a t i o nc r i t e r j o n ) 角度出发，当时问尺度分辨率高于6 0 s 时，d 足目僦。b d 彩 模型比f a r l m a ( p ，d ，q ) 模型更优越。但由于网络流量具有突发性，因此，为了准 确地描述流量特征，我们必须采用更高的时间尺度分辨率。 回归模型比较易于进行流量模拟，常用来做计算机仿真，但不易进行排队 处理。 3 314 流体模型( f l u i dm o d e l s ) 当通信量中的流量种类非常多，汇聚的流量相对于单个子流的流量要大很 多时，每个子流的流量变化对通信量的影响将很小，就像水管中的个分子。 在这种情况下，通信量在一段时间内将会保持相对恒定。流体模型假设通信量 在相当长的一段时间内大致恒定。通信量的波动由事件触发，引起流量的变化。 旧川大学硕上学位论义 应用流体模型的一个例子就是t c p i p 传输大长度的文件，而且网络状态保持不 变的情况下。 3 3 2 网络流量的长相关模型 长相关模型包含了网络流量的自相似性，是目前应用最广泛的网络流量分 析模型。 3 3 2 1 分形布朗运动模( f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o nm o d e l ) f b m 模型最早由m a n d e l b r o t 等人于1 9 6 8 年提出。其积分表达式如下： 舭) = 而 而肌叫“”- ( - 2 矽+ f ( 广“2 川r ) 式中：为维纳过程。其性质有： 研毋( ，) _ 0 巩( o ) = 0 b 。( f + 办) 一b h ，( f ) 为高期分布n ( o ，仃“) b 。的增长过程是独立过程 e b 。( f ) b 。( s ) = j2 2 ( 1 ，1 2 “+ b 1 2 ”一f f s 1 2 ”) 我们可以看到：f b m 的增量是正态分布的，均值为0 ，方差为口i h i “，其中矗 是增量的时间间隔。与布朗运动( b m ) 相比，f b m 的增量不再是独立的。 基于f b m 模型，n o r r o s l 2 8 提出了最初的自相似网络传输模型来拟合自相似网 络传输： a ? = m t + 而z | 式中：m 为平均输入速率；a 为方差与均值之比v a r x e x 】，z ，为自相似参 数为的分形布朗运动；4 为自相似网络业务流量值，f ( 一m ，+ m ) 。 此模型是基于自相似特征提出的第一个应用网络模型，它准确描述了网络 中的自相似特征。该模型可以通过控制z r 中的口参数来拟合实际的自相似网络 业务。实验证明，该模型很好地拟合t b e l c o r e 试验中心所测到的局域网流量。 3 3 2 2 分形高斯噪声模型( f r a c t a lg a u s s i a nn o i s em o d e l ) 分形布朗运动的增长过程为分形高斯噪声，f g n 是精确二：阶自相似的过程， 分形高斯噪声g h ( t ) = 1 6 ( b h ( t + ) 一( r ) ) 为一平稳高斯噪声，满足 四川大学硕上学位论文 n ( o ，o - 1 h i “1 ) 。自相关函数e g 。( r + r ) g 。( f ) - 0 2 h ( 2 h i ) l h 2 “2 f 远大于占。 对于离散的分形高斯噪声序列，其自相关函数p ( 可以展丌为： p ( 女) = 去 ( + 1 ) 2 ”一2 k2 ”+ ( 一1 ) 2 “ ，( = 1 ，2 ，3 ) z 当t jo o ，p ( i ) k2 - 2 , 0 1 ) 阶消失矩，即 l t7 妒( f ) d t = 0 ，r = 0 ，1 ，- r 一】 且小波系数 c ? ) 是零均值互不相关的随机变量，具有方差a ：7 = a 2 2 7 。其中， 参数y 满足0 y 2 r 。则x ( t ) 具有功率谱为 s ，( 出) = 盯2 2 ”p ( 2 一”脚) 1 2 且最( ) 是近似1 ，的或称为广义1 矿的，即 a ：i o | ) 1 7 兰s a o ) 盯：f 出1 7 其中，a ：及a ：是满足0 盯：a ： t ) 一t ，( t _ 。，1 “ f ) t “。，t o o 有 四川大学硕士学位论文 很大的不同，或者说上式中的分布函数比负指数分布有更重的拖尾( h e a v y t a i l ) 。可以证明3 6 1 ，当叠加的业务源个数趋于无穷时，总的业务是渐近白相似 的，且满足卢= 口一1 ，h = ( 3 一a ) 2 。 3 3 2 6 口稳定自相似过程模型 有关口稳定分布的理论是在2 0 世纪二三十年代由l e v y 和a 1 e k s a r i d e r 等人发 展起来的，并在近期由s o m o r o d n i t s k y 等人吲完善成了一套体系。在自相似网络 中，由中心极限定理可以证明：无穷多个独立同分布的源聚集的边缘正态分布 收敛于具有无限方差的口稳定边缘分布。 大多数口稳定分布没有般的概率密度和分布函数表达式，所以使用特征 函数来定义。若参数满0 0 ，一1 p l ，而且r ，那么口稳定过程 的特征函数表达式如下： e 。x p 觥：| e x p “i m l 勺邓( s 刚) 辔等) 忡吨口1 i e x p 一盯f 功f ( 1 十f ( s g n 珊) l n l ) + f 甜) ，口= 1 试中s g n 棚是符号函数，甜为特征指数，表征突发程度；口为偏斜参数 ( 一l f l 1 ) ，卢为负值则概率密度函数向右偏斜，卢为正值则概率密度函数向左 偏斜，口和口的综合便决定概率密度函数的形状：盯为尺度参数；为位移参 数。 若服从上述参数决定的口稳定分布，则记为咒( o - ，卢，“) 。基于a 稳 定自相似过程是多种多样的，它不一定要满足d 稳定分布中的所有条件，人们 通过对不同的业务分析发现，有些过程的某个参数是常数，有些过程的参数被 限制在一定范围内。例女l j l e v y 分布和对数线性分形稳定噪声( l o g l f s m ) 都是 h = 1 a 时的情况；f b m 是a = 2 时的特例；平衡的线性分形稳定运动( l f s m ) 是 令l f s m 中的两个系数相等且为1 【3 8 1 。 3 3 2 7 确定性的混沌映射模型回e t e r m i n i s t i cc h a o t i cm a p s ) o n o f f 模型中的激励源除了可以是具有重尾分布的外，也可以是从混沌过 程中派出来生具有s i c ( s e n s i t i v ed e p e n d e n c eo i li n i t i a lc o n d i t i o n s ) 性质的， 这种模型就是确定性的混沌映射模型3 9 郴l 。这种过程的轨迹明显地依赖于起始 2 9 四川大学硕士学位论文 点。对起始点的修改将对轨迹形成巨大的影响。通信量的产生由随机过程x r , 确 定： 【f , ( x d ，( o x 。 d ) x n + l2 1 六( 矗) ，( d 茎吒 1 ) 其中参数d ，映射函数z 和五给定。 常用的映射函数有 分段线性映射一。= 和间歇映射 其中 南，( o 鲰n l 以) 殳：芈尘，( ( 1 一五) 屯 1 ) 九 f 占+ _ + c x ? ，( o _ d ) k “。1 百x p j - - d 朋妄叫) c = ! 二! 二空 d 3 3 2 8m g 。模型 在m g o o 模型系统 2 8 , 4 1 】中，用户到达过程被假设为均值一定的泊松过 程。令 z ( f ) ) ，仁0 1 2 为m i g i a o 系统中用户到达过程在f 时刻的计数过程， 用户的服务分布函数为f ，则x ( t 1 的自相关函数为 r ( k ) = pi ( 1 一，( x ) ) d x 如果用户的服务分布函数为p a r e t o 分布，则 m ) = p f ( 秒如静”邓 显示出这个过程是渐进自相似过程。 自相似的通信量模型还有叠加自相似( s e l f s i m i l a r i t yt h r o u g h a g g r e g a t i o n ) 模型、叠加a r ( 1 ) 模型( s u p e r i m p o s i n ga r ( 1 ) ) 、自相似马尔可夫 调制( s e l f s i m i l a rm a r k o vm o d u l a t e d ) 模型、g a m m a - b e t a 自回归过程 ( g a m m a b e t aa u t o r e g r e s s i v ep r o c e s s ) 模型、g a m m a b e t a 平均滑动过程 四j 1 大学硕 一学位论文 ( g a m m a b e t am o v i n ga v e r a g ep r o c e s s ) 模型、空间更新过程( s p a t i a lr e n e w a l p r o c e s s ) 模型、多维分形( m u l t i - f r a c t a l ) 模型等。 3 4 几种自相似模型的评价 1 o n o f f 模型 这种模型包含明确的物理意义，这是其它模型无法具有的，它能帮助人们 更好的了解自相似性的本质f “。经验发现，只要文件的大小符合重尾分布，则 对应的文件传输均导致链路层的自相似性，而与所使用的传输协议( ! u w e b 、n f s 、 f t p ) 等无关。这就解释了自相似产生的一个原因。缺点是：这种自相似业务只 是渐进自相似的，且需要m 个源的叠加，m 只有趋于无穷大时效果比较理想。 2 f b m 模型 f b m 建模方法是一种运用起来比较简单的方法，它只有均值、方差和等三 个参数，应用于实时仿真和特性分析方面是很方便的。但由于自身的限制，它 只能描述自相似网络传输中的长相关( 流量的一种属性) ，不能描述短相关( 流 量的一种属性) 1 6 4 1 。此外，它只描述了高斯情况，而且该模型实际生成的流量4 可能是负值。 产生分形布朗运动的主要算法是r m d l 4 2 1 法，但此算法生成业务的h u r s t 系数 与期望值不一致：当o 5 h 0 7 5 时，其值偏大，而当o 7 5 日 i 时，其值偏小 【4 3 。尤其当日= o 5 时，生成的业务数据与标准的布朗运动有较大偏差。 3 f a r l m a ( p ，d ，口) 模型 f a r i m a ( p ，d ，口) 算法先产生分形差分噪声，然后利用分形差分噪声驱动 a r m a ( p ，q ) 模型获得。它的优点【删是，用d 引入长相关，a r m a ( p ，g ) 模型引入 短相关，使f a r l m a ( p ，d ，q ) 模型具有长短交织的相关函数结构，与实际中的大 部分数据相关函数结构是吻合的。n a g a r a j a n l 4 4 1 已成功地将它应用于v b r 的接纳 控制和带宽的分配算法中，实时仿真结果显示，算法能够非常好地保证服务质 量( q o s ) 的要求，而且可以在线预测数据，还发现f a r i m a ( p ，d ，g ) 模型在一定 的阶数范围内其系数和a r m a ( p ，q ) 模型的系数基本不变。这大大降低了其重新 建模的复杂度。 4 小波模型 小波模型通过伸缩和平移运算对信号进行多尺度分析，这与自相似业务的 四川大学硕士学位论文 多尺度特征是类似的j 。在真实网络业务中，自相似业务还表现出多重分形的 特征，这也是其它数学工具很难解决的难题，而小波变换分析正是针对这类信 号的强有力工具。但小波变换系数并非在各个尺度下均独立，并且其系数间的 相关性不易描述，这与模型的假设条件有一些矛盾。同时小波基的选取也影响 模型的质量。虽然目前小波变换法不能尽如人意，但由于小波固有的优良性质， 自相似过程有望在利用小波变换工具上有更大的突破。 5 a 稳定自相似过程模型 口稳定模型居于一种更加抽象的层次，能够很好地描述自然界普遍存在的非 高斯特性( 特别是自相似网络大量存在的长程相关、突发及重尾特性) ，正因 为它的抽象特征，所以没有一个近似的概率密度表达式，使其对具体的网络行 为的分析受到约束。虽然这种模型不能给出精确结果，但对于那些更关心发展 趋势的网络，不失为一个很好的工具。例如在网络预测方面，根据网络特性的 自相似性，可以从小时间尺度上的网络流量预测出一段时间后的网络流量，以 达到拥塞控制、缓解网络压力的目的。 6 确定性的混沌映射模型 混沌映射易于进行网络排队分析，其确定性的表达形式便于分析系统的性 能，但难以给出不变密度的解析表达式，而且此方法所产生的业务流的自相似 特性的时间尺度与闽值有关一u j 。 四川大学硕士学位论文 4f a r i m a ( p ，d , q ) 自相似模型和a 稳定分布族 f a r i m a ( p ，d ，g ) 模型由于其兼顾长相关和短相关的分析性能，良好的可实 现性，成为使用较广，发展前途较好的自相关模型。f a r i m a ( p ，d ，q ) 模型是一 种激励模型，激励源性质的好坏直接决定着模型的性能。自相似性最重要的一 个性质就是