（数量经济学专业论文）不同波动特性下金融市场风险计量与规避.pdf

摘要 y 5 7 2 9 6 9 风险是会融体系和金融活动的基本属性之一，我们甚至可以把金融活动比喻 为- - q , 以( 承担) 风险换取收益的博弈。因此，对风险、风险的测量及风险管理 技术的认识构成了我们对现代金融认识最本质、最深刻的一个方面，是我们认识 和把握现代市场核心的最佳切入点和突破口。 在诸多不同的金融风险中，金融市场风险具有特殊的地位。不仅所有的金融 机构都面临着金融市场风险，而且金融市场风险往往是其它金融风险的基础原 因。近年来，国际金融市场发生了很大的变化，金融全球化、自由化、融资证券 化等发展趋势使得全球金融市场的波动性不断加剧，金融工具所蕴涵的风险结构 日益复杂。这造成了市场因子的金融时序有其特有的特征，如“尖峰厚尾性”， 积聚性和爆发性，“杠杆作用”，回报的波动持久性和均值回复现象等。如何在金 融市场风险计量中有效地捕捉到这些波动便成了风险计量中的关键。本文的特色 在于依据h u r s t 指数对金融时间序列的划分来选择或建造测量金融市场风险的 跆旯模型。 本文第一章介绍了金融市场风险，并对金融风险的本质属性及风险的定价做 了较为深入的分析，之后对目前金融市场风险的主要测量方法作了较为细致的研 究：第二章着重分析金融市场的波动性，以及针对这些波动特性的金融市场风险 测量技术，随后将h u r s t 指数与v a r 的概念结合起来提出修正的计量方法，修正 模型的建立不仅继承了v a r 方法的原有优点，还依据风险的本质属性加入了紊乱 度描述，使得对市场风险的测量更科学、更全面；之后在本文的第三章里，选取 了深市的九只股票对此模型进行了实证研究：最后一章则着重研究了金融市场风 险的规避，建议加紧完善金融市场体系，发展金融工程并进一步加强我国的金融 监管。 关键词金融市场风险风险管理风险计量v a r h u r s t 指数a r - g a k c h 模型 a b s tr a c t f i n a n c i a lr i s ki sap r o p e r t yo ff i n a n c i a ls y s t e ma n df i n a n c i a la c t i v i t i e s ，a n d p e o p l ee v e nc o m p a r e s i ta sag a m ew h i c hg a i n sr e t u r na tt h ec o s to fu n d e r t a k i n gr i s k s o ，t h er e c o g n i t i o no fr i s k ，r i s km e a s u r i n g a n dr i s km a n a g e m e n tc o n s t i t u t e sa 1 1 a s p e c t o fw h a tm o d e mf i n a n c er e a l l ym e a n a n di ti st h ev i t a lu n d e r s t a n d i n gt or e a l i z ea n d c a p t u r em o d e m m a r k e t a m o n g t h ed i f f e r e n tr i s k s ，f i n a n c i a lm a r k e tr i s kh a sa s p e c i a ls t a t u s n o to n l ya l l t h ef i n a n c i a li n s t i t u t e sm u s tb ee x p o s e dt oi t ，b u ti ti sa l s ot h ef o u n d a t i o n a lr e a s o n r e s u l t i n go t h e rr i s k s i nr e c e n ty e a r s ，t h ei n t e r n a t i o n a lf i n a n c i a lm a r k e th a sc h a n g e d v e r yg r e a t l y , f i n a n c i a lg l o b a l i z a t i o n ，l i b e r a l i z a t i o n ，f i n a n c i n gs e c u r i t i s a t i o n ，e t c t h e s e t r e n d sh a v em a d e g l o b a lf l u c t u a t i o no f f i n a n c i a lm a r k e ta g g r a v a t ec o n s t a n t l y , a n dt h e r i s ks t r u c t u r et h a tf i n a n c i a li n s t r u m e n t sc o n t a i ni sc o m p l i c a t e dd a y b yd a y r e s u l t i n g l y f i n a n c i a lt i m e s e r i e so fm a r k e tf a c t o rh a v ei t sd i s t i n c t p r o p e r t y s u c ha s ，s o m e f i n a n c i a lt i m e s e r i e sh a v eas h a p eo f ”s h a r pw a i s ta n df a tt a i l ”，s o m ea p p e a rt o c l u s t e ra n db u r s t ，s o m eh a v eal e v e r a g ee f f e c t ，s o m ec o m et oap e r s i s t e n tf l u c t u a t i o n a n ds o m es h o wa p h e n o m e n o n o f r e t u r n i n g t om e a nv a l u e s o ，h o wt om e a s u r et h e s e f l u c t u a t i n gp r o p e r t i e sp a y s a ni m p o r t a n tr o l ei n m e a s u r i n gr i s k a n dt h es p e c i a l f e a t u r eo ft h i st h e s i sl i e si n s e l e c t i n g a n dc o n s t r u c t i n gm o d e l so nt h eb a s e o f c l a s s i f y i n gf i n a n c i a lt i m e - s e r i e sb y h u r s te x p o n e n t t h i sd i s s e r t a t i o ni so r g a n i z e di nf o u rc h a p t e r s c h a p t e ro n eo f t h i sp a p e ri n t r o d u c e sf i n a n c i a lm a r k e tr i s k c o n s e q u e n t l y , t h i s c h a p t e rs t u d i e s i t se s s e n c ea n dp r i c i n gm o d e l m o r e o v e r , i ts u m m a r i z e ss o m em a i n m e a s u r i n g m e t h o d st h o s ea r e p o p u l a r a tp r e s e n t c h a p t e r t w of o c u s e so n a n a l y z i n g t h ef l u c t u a t i o no ff i n a n c i a lm a r k e t f u r t h e r m o r et h i sp a r td i s c u s s e sd i f f e r e n tm e a s u r i n gm e t h o d sc o r r e s p o n d i n gt od i v e r s e f l u c t u a t i n gp r o p e r t i e s t h e n ，c o n s i d e r i n gh u r s te x p o n e n ta n dv a l u e - a t - r i s kt o g e t h e r , t h i sc h a p t e r p r o v i d ean e wm e a s u r i n g m o d e l t h i sm o d e li n h e r i tt h ea d v a n t a g eo fv a r m e a s u r i n gm e t h o d ，a n di ta l s oc o n s i d e r a t et h ec h a o so f t i m e - s e r i e sa c c o r d i n gt ot h e e s s e n c eo ff i n a n c i a im a r k e tr i s k s o ，i tc a nm e a s u r et h er i s km o l es c i e n t i f i c a l l ya n d w h o l l y c h a p t e rt h r e e s e l e c t s9 c a t e g o r i e s f r o ms h e n z h e ns t o c km a r k e tt ot e s tt h e v a l i d i t yo f n e wm o d e l c h a p t e r f o u r p a ym o r e a t t e n t i o nt or i s k m a n a g e m e n t i no r d e r t o m a n a g e f i n a n c i a lm a r k e tr i s k e f f i c i e n t l y ，w es h o u l dp e r f e c tt h ef i n a n c i a lm a r k e t ，f u r t h e r d e v e l o pf i n a n c i a le n g i n e e r i n g a n ds t r e n g t h e nf i n a n c i a ls u p e r v i s i o n k e y w o r d sf i n a n c i a lm a r k e tr i s k r i s km a n a g e m e n tr i s k m e a s u r i n g v a l u e a t - r i s kh u r s te x p o n e n ta r - g a r c hm o d e l h 引言 一、选题背景及其意义 首先，受经济一体化和金融一体化、竞争与放宽管制以及金融创新与技术进 步( 金融工程与信息技术) 等因素的影响，全球金融市场发生基础性和结构性的 变化，规模迅猛扩大，效益明显提高；与此同时，金融市场的波动性和系统风险 也大为加剧，在诸多金融风险类型中，金融市场风险成为最重要的风险之一，风 险管理也成为金融机构的核心竞争力之一，也是金融工程与现代金融理论的核心 内容。其次，由于我国以前金融市场发展的滞后，国内学术界在该领域的研究成 果相对较少，相关著作大多将重点放在风险控制与防范的具体制度、具体措施方 面，对风险管理的其他重要方面( 如风险测量、对冲等) 的研究不足，对国际上 该领域的最新理论进展和应用动态( 如v a r 、金融工程等) 有待补充。但随着中 国入世，金融市场与国际接轨，以及考虑到金融对一国经济的特有的重要性。研 究国际上该领域的最先进理论和应用动态，无论是在金融风险管理的理论上还是 在指导我国金融市场的风险管理与防范上都具有十分重要的现实意义。有鉴于 此，在导师胡宗义教授的指导下，本人选择了不同波动特性下的金融市场风险 计量及规避作为硕士毕业论文 二、研究现状 风险管理的基础和核心是对风险的定量分析和评估，即风险测量。随着金融 市场和金融理论、金融工程的发展，金融市场风险测量技术也变得更为综合、复 杂。近几十年来金融市场风险测量技术取得的发展主要包括，衡量利率风险的持 有期和凸性，敏感度分析的d e l t a 、g a m m a 、t h e t a 、v e g a 、r h o 等，方差法和 下方差法，以及目前受到青睐的市场风险综合测量方法v a r 、压力实验( s t r e s s t e s t i n g ) 和极值理论( e x t r e m e v a l u e t h e o r y ，简称e v t ) ，其中v a r 是目前金融市 场风险测量的主流方法。 在用v a r 计算的分析方法中，价值函数与市场因子的关系以及对市场因子的 不同描述( 不同的预测方法，不同的分布假设) 导致不同的模型。在风险测量中， 市场因子的金融时序有其特有的特征，如“尖峰厚尾性”，积聚性和爆发性，“杠 杆作用”，回报的波动持久性和均值回复现象等。这样，如何使得v a r 模型能更 科学和精确地处理这些特性就成为不断改进测量方法和提高市场金融风险计算 精度的地方，在这方诬，国内外许多的专家和学者已经做出了一些成功的尝试， 并在市场风险测量和指导应用中取得了预期的效果，如加权正态v a r 模型、混合 i f 态假设的v a r 模型、t 分布假设的v a r 模型以及g a r c h 模型等。本文在前人 研究基础上，用h u r s t 对金融时序的特性分类，之后依据不同的分类特性或选用 适合特性的v a r 模型或作以有益的改进。 三、研究思路和方法 本文先对金融市场风险的本质做了理论探讨，之后从分析历史的金融时间序 列数据入手研究金融市场的波动性( 金融市场的不同波动特性使得金融时间序列 有不同的特征，具有不同的特征金融时间序列也必然反映金融市场的不同波动特 性) ，运用h u r s t 对金融时序波动特性的刻画并结合v a r 的概念做了针对金融不 同波动特性下计量风险的有益尝试，并对新模型进行了实证分析，检验了模型的 有效性和适用性，最后探讨了金融市场风险的规避。 第一章金融市场风险定价与测量 近些年来，由于受经济全球化与金融一体化、现代化金融理论及信息技术、 金融创新的影响，全球的金融市场迅猛发展，金融市场呈现前所未有的波动性， 工商个体、余融机构目益暴露在金融风险之中，金融风险不仅严重影响到工商企 业和金融机构的正常运营，而且对全球金融及经济的稳定发展构成威胁。近年来 频繁发生的余融危机充分说明了金融风险的存在和风险累积造成的后果。因而金 融风险引起全球工商企业、金融机构、政策当局及学术界的密切关注，金融风险 管理已经成为工商企业和金融机构经营管理的核心内容。可见，对风险、风险的 测量及风险管理技术的认识构成了我们对现代金融认识最本质、最深刻的一个方 面，是我们认识和把握现代市场核心的最佳切入点和突破口。曾获1 9 9 7 年诺贝 尔经济学奖的美国金融学家罗伯特默顿教授说过，资金的时间价值、资产定价和 风险管理是现代金融理论的三大支柱n 1 。1 金融市场风险与定价 1 1 1 金融市场风险 风险是一个广泛且常用的词汇。但对于风险或金融风险，目前理论界还未能 达成一致的认识，目前理论界对风险的解释或界定主要有以下几个观点【2 ：( 1 ) 风险是结果的不确定性：( 2 ) 风险是损失发生的可能性，或潜在的损失 ( 3 ) 风 险是结果对期望的偏离；( 4 ) 风险是导致损失的变化；( 5 ) 风险是受伤害或损失 的危险。 上述不同观点对风险的解释从不同的角度揭示了风险的某些内在特性。主要 涉及到不确定性、损失、可能性，波动性( 即对期望的偏离) 和危险等概念。结 合金融市场风险，可见金融市场风险的本质属性在于它的负面性。主要包括：( 1 ) 损失的概率，指损失的可能性；( 2 ) 可能损失的数量；( 3 ) 损失的不确定性或易 变性，是指在损失域内损失的易变程度；( 4 ) 收益率的频动性。而后两者描述了 市场波动的参差或紊乱。 依据以上的分析，金融市场风险可解释为：由于金融市场因子的不利波动而 导致的金融资产损失的可能性，以及损失程度。它包括损失的概率、可能损失的 数量、损失的紊乱性。其中可能损失的程度处于核心地位。 1 1 2 风险定价 从先后荣膺1 9 9 0 年和1 9 9 7 年诺贝尔经济学奖的资产组合管理理论 ( m a r k o w i t z1 9 5 2 ) 、资本资产定价模型( s h a r p1 9 6 4 、l i n t n e r1 9 6 5 、m o s s i o n1 9 6 6 ) 和期权定价模型( b l a c k 和s c h o l e s l 9 7 3 ) 来看，对风险的认识、定价和管理的思 想贯穿了整个现代金融理论发展的基本脉络。 1 1 21 组合投资理论 不确定条件下的消费者或投资者行为选择和市场均衡理论的发展是现代微 观经济学对传统微观经济学的重要发展，也是构成以资产组合和资产定价为代表 的现代金融理论的核心基石。m a r k o w i t z 提出的投资组合选择方法基于以下两个 前提：一是用期望来表示收益率的好坏：二是用方差来度量投资组合风险的大小。 由不确定性下的行为理论可知风险厌恶者所追求的目标是：如何选择合适的资产 组合使之在给定的回报下风险尽可能小；或对给定的风险水平，回报尽可能大。 假设无摩擦证券市场上存在1 1 种可交易风险资产，所有资产回报率期望与方 差均有限且期望互不相等，月种资产线性独立，收益率分别为记为，吃，。把 它们看作一个n 维随机向量z ，爿的期望记为= ( 砘，“：，“。) 7 ，c o y ( x ) 记为 = ( ) 。”维向量= ( c o ，吐，0 3 。) 7 为风险资产上的投资比例，记) b - - + g t 资结构。 定义1 1 ：( 1 ) 对给定的风险水平，回报最大；( 2 ) 对给定的回报水平， 风险水平最小。满足以上两个条件的证券组合集称为“均值一方差”有效集【3 1 。 定义1 2 ：由行种风险资产中任意k 种形成的证券组合构成的集合称为可行 集。 我们把有效集应用到可行集上，得到有效证券组合前沿。 定义1 3 ：一个证券组合珊。称为前沿证券组合，如果它在所有相同期望回报 的证券组合中具有最小方差。即c o 。是女n t - - 次规划的解 1 、不存在无风险资产： 埘 三国7 y ， 2一 j t 厂8 。= l ，口1 1 ) l “7 国= ， 其中e = ( 1 ，1 ，1 ) 7 。 使用l a g r a n g e 乘子法得： 4 ，a e 2 2 b e + c 盯；2 r 珊p = 。( a l p + 五2 “) 其中，a = e t “p ，b = “7 “口，c = “7 “，a = a c b 2 0 。 c e b a e b 2 一， ，= 一o 1 2 在均值一均方差坐标系下，方程( 1 1 ) 为双曲线( 如图1 1 ) 。 e x ) f 。 a 而 ( 1 1 ) ( 1 2 ) 幽1 1无风险资产不存在时的有效边界s l 8 点为全局最小方差点( ，以) ，以2 ，2 夕乞。点( c r g ，心) 以上部 分称为“m a r k o w i t z 有效边界”。 2 、存在无风险资产： 假设无摩擦证券市场上存在 种风险资产，和一种无风险资产。竹种风险资 产满足本节前述假设。o 表示无风险资产利率，并假设o i + o 1 ；0 o ( i = 1 , 2 ，q ) ，且 兰口， 1 ( 保证a r c h 过程平稳) 。有时( 2 1 4 ) 式等号右边还可以包括外生 变量，但要保证觑是非负的。 任意时刻f ，s ，的条件期望 e ( s ，) = 4 h , e ( ) = 0 ( 2 1 5 ) 条件方差 e ( | 三1 ，_ ) = 曩e ( p ? ) = h ，( 2 1 6 ) 2 g a r c h 模型 若( 2 1 4 ) 式为下面形式 啊= a o + 口l l + + 口q t 口，+ 只啊一l + + 巳也一p = 口。+ q 6 。2 + 巳囊， ( 2 1 7 ) 则称序列服从g a r c h ( p ，g ) 过程。 引入滞后算子b ，( 2 1 7 ) 式可改写为 囊= 1 2 o + 口( 曰) 岔+ 目( b ) 啊( 2 1 8 ) 其中p o ，g o ；a o o ，口，o ，i = 1 ，g ；臼o ，= 1 ，p 。为保证g a r c h ( p ，g ) 是宽平稳，参数满足a ( b ) + o ( b ) 0 ) 和下跌信息( 0 时，认为存在杠 杆( 1 e v e r a g e ) 效应。 5 e g a r c h 模型 e g a r c h 模型，即指数( e x p o n e n t i a l ) g a r c h 模型，由n e l s o n 在1 9 9 1 年提 出，模型的条件方差表达式为 l o g ( h , ) 锄o + 芸巳l o g ( h , 。+ 制剥蝴薷j 2 4 ) = 十巳一h 睾卜纪睾i ( 2 ，；lj z l li 叫门h i 啊一j 模型中条件方差采用了自然对数形式，意味着曩非负且杠杆效应是指数型的。若 妒0 ，则说明信息作用是非对称的。而当妒 0 时，杠杆效应显著。 6 因子g a r c h ( f a c t o rg a r c h ) 模型 因子g a r c h 模型通过个单一的g a r c h 波动性市场因子的波动性的 估计和预测来估计预测个体资产的波动性和相关性。在资本资产定价模型，单一 2 4 资产或者证券组合的回报 l ，= 饯。+ p ，。m 7 + “ ( i = 1 , 2 ，一，n )( 2 2 5 ) 其中，o - 。表示资产i 在时间f 的标准差，o - 。表示在时间r 资产i 资产，之间的协 方差，由方( 2 2 5 ) 有： 鹭籍2 z ， q z s ， 盯，= 卢j 夕，盯m ，十盯钆，盯， 卜一w 通过对式( 2 2 6 ) 这 个线性回归方程的联立求解，可得到因子灵敏度参数芦，以 及误差方差羽i 协方差的估计。 2 2 3 隐含波动性和相关性 1 隐含波动性 隐含波动性是指期权价格中所隐含的波动性，它是对未来波动性的预测，而 不是对当前波动性的估计。期权定价公式如b l a c k - s c h o l e s 模型，给出了期权价 格与标的资产价格、期权的执行价格、到期时间、无风险利率及波动性之间的函 数关系。尽管有时得不到明确的解析表达式，但可以通过数值算法计算出波动性， 这样得到的波动性即为隐含波动性。 为了与隐含波动性相区别，将前面介绍的波动性称为统计波动性。两种模型 有明显不同。首先，它们使用的数据不同。隐含波动性使用市场期权价格的当前 数据，因此隐含波动性包宙了投资者对标的资产的未来走势的预期；统计波动性 使用的数据则是标的资产的历史价格，只是由过去推断未来。其次，这两种方法 使用的模型也不同。隐含波动性假设风险中性，对标的资产价格使用扩散模型； 而统计波动性假定序列平稳，对价格使用随机游走模型。 本论文的第一章给出欧式买入期权的b l a c k s c h o l e s 定价公式为： c o = s o v ( 碣) 一k e ”7 n ( d 2 )( 2 2 7 ) 这里 伽墼譬笋丝 呦) d 2 = d l 一 r 4 t( 2 2 7 b ) 其中，c 。为买入期权的当前价格；s 。为股票的当前价格；k 为期权的违约价格； r 为年无风险利率：t 为距期权到达的时间：口为股票收益的波动性；( d ) 表示 服从标准正态分布。 如果期权的最终价格可以从市场上观察到，那么( 2 2 7 ) 、( 2 2 7 a ) 和( 2 2 7 b ) 就可以直接算出隐含在这个模型中的波动性，这就是b l a c k s c h o l e s 隐含波动性。 2 隐含相关性 两个随机变量之差的方差公式为 v a r ( x y ) = v a r ( x ) 十v a r ( y ) 一2 c o v ( x ，y ) ( 2 2 8 ) 如果用p 。表示x 和y 之问的相关性，那么上式剐为 o x 2 一y = a ：七仃j 一2 t 7 。口y p 。y 于是 扩生坚(229)pr v2 ：二。 l z z a j op 只要有相关的三个标的资产x 、y 和x l ，的期权，分别计算出它们的隐台 波动性，用式( 2 ，2 9 ) 就可以求得相应的隐含相关性。 2 2 4 随机波动性模型 在b s 定价模型中，假定股票价格遵循具有常数波动性的几何布朗运动过 程，但是大量实证研究表明，常数波动性的假设与现实情况相违背，于是人们开 始考虑价格遵循随机波动性的几何布朗运动。1 9 8 7 年h u l l 和w h i t e 使用几何扩 散模型将b s 期权定价模型中的常数波动性推广为随机波动性，这是一个连续时 问的随机波动性模型。随机波动性模型【2 8 是描述时变波动性的有效模型，只是由 于其估计的困难7 d 。一直没有受到重视。近年来，计量经济学的理论进展使随机波 动性模型的估计变得易于处理，因此随机波动性模型越来越受到研究者和业内人 士的关注。 通常金融时间序列是在离散的时间间隔观察到的，但是大多数理论模型是建 立在连续时间上的。一般有两种统计方法可以解决这种矛盾：一种方法是考虑连 续时问模型的离散情形，得到近似离散模型：另一种方法是建立连续时问模型， 但通过一个近似的离散时间进行统计推断分析。所以目前随机波动性模型按照这 两种方法分为两大类：离散时间模型和连续时间模型。 与g a r c h 模型样，离散时间随机波动性模型也能有效描述回报序列的导 方差性。但由随机波动性模型的估计比g a r c h 模型困难得多，所以在实际中， 这类模型不如g a r c h 模型应用广泛。离散时间随机波动性模型具有如下基本形 式： y ，= q ( 户l ，丁) 其中，y ，等于回报l 减去一个常数，即y ，= l p ：d ，表示时变的波动性，其对 数l n ( a ) 遵循一个一阶自回归a r ( 1 ) 过程，并且假定随机扰动项，是独立同分 布的，其方差用盯：表示。 研究中通常耿h = l n ( c r t 2 ) ，从而将离散时间随机波动性模型表示成如下形 式： y ，= s ，e x p ( 匕彳)( ，f f d ( o ，c r ；) ) ( 2 3 0 ) 啊“= 纸+ 矾( 研i i d ( o ，2 ) )( 2 3 1 ) 其中i i d 表示独立同分布。在基本模型中通常是假定s ，和仇均服从正态分布且不 相关。 基本随机波动性模型的基本假设对于金融时间序列来说仍然太严格：对扰动 项的正态性假设使得模型不能很有效地描述金融时间序列的厚尾性：回报和波动 性的扰动项之间的零相关使得模型不能捕捉到金融市场中的非对称行为。实际 上，s ，和叩，的负相关就能提供“杠杆作用”。所以许多研究者对基本模型进行了 扩展：允许回报和波动性的扰动项q 和矾之间相关：假定扰动项服从“厚尾”分 布，例如混合正态分布。 2 3h u r s t 指数及h u r s t - v a r 模型 h u r s t 指数是水利专家h e h u r s t 在2 0 世纪中叶提出的一种判别时间序列 是否对于时间有依赖的参数。他通过考察河流的泛滥和枯水期发现，这种时期往 往持续几年。这就不同于以往理论上认为每年的水流量是独立同分布的高斯变 量，也不同于传统的马氏链假设。在经验的基础上，h u r s t 采用了一个新的h u r s t 参数来分析这种时间序列的集群现象，并提出了计算该参数的r s 方法 2 9 , 3 0 。 2 3 1r s 方法 考察时间序列x 。( i = 1 , 2 ) ，w i f i = 1 , 2 月) ，定义： 均值 ，= j 1 jx 。 ( 2 3 2 ) 累计离差 口0 ，。) = 芝k 。一( 工) ，) = ，z ) 。一( x ) 。j ，= 1 ，2 ， ( 2 3 3 ) 极差 r e ，) = m a x a ( t j ) r ，) 一m i n 。e ，t ，) ( 2 f 3 4 ) 标准差 j s 0 ) =警掣-j半x,-(2j-1)x)；!j 胁撇h 筹引吃，砘 ( 2 3 5 ) 即 1 0 9 罴圳吲，+ c ( 2 3 6 ) 对上式可以用最小二乘法拟和求得h u r s t 指数日。 2 3 2h u r s t 指数表现出来的特陛 时间序列的h u r s t 指数居于o - 1 之间。甘值越大，趋势越明显；反之，打值 越接近于0 ，表明紊乱程度越大。h 值度量了时间序列参差不齐的程度，因而可 以从市场紊乱性的角度来度量风险的大小。 对标准的布朗运动，其h u r s t 指数为0 5 。h u r s t 指数不为0 5 ，称为分形布 朗运动b 。( f ) 。分形布朗运动作为随机函数x ( t ) 的推广，把h u r s t 指数h = 0 5 推 广到0 h i 的任何实数。其中( f ) 满足：x ( ，) 一x ( t 。) 一e l , 一t o l “，掌服从标准 的独立高斯随机过程。 分数形布朗运动与普通的布朗运动之间最重要的区别在于分形布朗运动中 的 x ( t ) 一x ( o ) ) 不是一个独立增量过程。给定一个从- t 到0 的过去增量 x ( o ) 一x ( - 彳) ) ，则未来增量 x ( t ) 一肖( o ) 与过去增量的相关系数( 不妨假设 x ( o 、= 0 )