（地球探测与信息技术专业论文）二维起伏地表模型瑞雷波场正演研究.pdf

摘要 瑞雷面波在浅部传播能量强，同时该方法操作简便、野外工作效 率高，因而瑞雷面波勘探法在工程地质勘察和工程质量检测领域得到 了广泛的应用。在实际工作中，瑞雷面波的频散曲线呈“之”字型结 构，我们根据它来划分地层界面的大致位置。但不管是瑞雷面波的正 演还是反演，以及瑞雷面波频散曲线的提取和应用都存在诸多问题， 如：瑞雷面波传播规律及传播机理；瑞雷面波频散曲线“之字型结 构的形成机理等。正演是反演的基础，反演需用正演结果。所以，进 行瑞雷面波正演研究十分必要。 目前对于瑞雷面波的正演研究都停留在水平自由界面条件下的 瑞雷面波数值模拟，而实际工程地质勘察中，地表往往是起伏的，且 面波是沿地表传播，地表的影响是不可避免的，因此有必要对起伏地 表瑞雷面波的传播规律及传播机理进行研究。 本论文将速度( 应力) 对时间的奇数阶高阶导数转化为应力( 速 度) 对空间的导数，运用时间和空间差分精度均可达任意阶的高阶差 分法，利用交错网格技术，对一阶速度一应力弹性波动方程进行数值 求解。处理起伏自由边界时，令其剪应力和平行于其的正应力等于零， 而在计算速度的时候不做任何特殊处理。为了计算应力，把地表以上 的速度都设置为零乜1 。为了验证数值模拟结果，特选取几个起伏地 表的模型( 如：两层介质、地下洞穴、软弱夹层) 进行正演模拟并分 析其波场特征。总的来说，本文系统地给出了瑞雷面波在起伏界面下 的有限差分正演方法。 关键词：起伏地表，瑞雷面波，交错网格有限差分，正演模拟 a bs t r a c t i h ee n e r g yo fr a y l e i g hw a v ei ss t r o n ga n di th a s h i g hs i g n a lt on o i s e r a t i o ，w h il et h em e t h o di ss i m p l e ，e 街c i e n tf i e l d ，h e n c ei th a sb e e nw i d e l y u s e dt o d i s p o s et h ee n g i n e e r i n gg e o l o g i c a lp r o b l e m sa n de n g i n e e r i n g d e t e c t i o np r o b l e m s w eu s e dz i g z a gf r e q u e n c yd i s p e r s i o nc u r v et os o l v e s e v e r a l g e o l o g i c a lp r o b l e m s i n f a c t w o r k h o w e v e r , i tm u s tb e a c k n o w l e d g e d t h a t m a n y t h e o r e t i c a l p r o b l e m s i n r a y l e i g h w a v e e x p l o r a t i o nh a v en o tb e e nw e l ls e t t l e d f o re x a m p l e ，t h ez i g z a gf r e q u e n c y d i s p e r s i o nc u r v eo ft h ef o r m a t i o nm e c h a n i s m ，w h a tc h a r a c t e r i s t i c st h e w a v ef i e l dp r o p a g a t i o no f r a y l e i g hw a v eh a s t h ei n v e r s i o ni sb a s eo nt h e f o r w a r d ，s ot h ef o r w a r di sn e c e s s a r y a tt h em o m e n t ，r a y l e i g hw a v ef o r w a r di ss t i l lt h el e v e lo fs u r f a c e i n f a c t ，t h es u r f a c ei sr o u g ha n dr a y l e i g hw a v ei s p r o p a g a t e da l o n gt h e s u r f a c e w h e r e f o r e ，i t sn e c e s s a r yt os t u d ya n dp r o b ei n t ot h ep r o p a g a t i o n m e c h a n i s ma n dp h y s i c a lm e c h a n i s mo f r a y l e i g hw a v e t h es c h e m ed e s c r i b e di nt h i s p a p e ru s e st h eh i g h o r d e rs t a g g e r e dg r i d ， b a s e do nad e c o u p l e ds y s t e mo ff i r s t - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e m e t h o di sf a s ta n da c c u r a t ew h e nu s i n gd e n s es p a t i a ls a m p l i n g i nt h e i r r e g u l a rf r e e s u r f a c e c o n d i t i o n ，a l la c c u r a t ea n ds i m p l ec o n d i t i o ni s p r o p o s e d ，i nt h ep r o p o s e df r e es u r f a c ec o n d i t i o n ，s t r e s s e sa r ec a l c u l a t e ds o t h a tt h en o r m a ls t r e s s e sp e r p e n d i c u l a rt ot h e b o u n d a r ya n ds h e a rs t r e s s e so n t h ef r e es u r f a c ea r ez e r o t h ec a l c u l a t i o no fp a r t i c l ev e l o c i t i e sa tt h ef r e e s u r f a c ed o e sn o ti n v o l v e a n ys p e c i f i cc a l c u l a t i o n s 。a n dt h ep a r t i c l e v e l o c i t i e sa r es e tt oz e r oa b o v et h ef r e es u r f a c e 川引t oe x a m i n et h ev a l i d i t y o ft h ep r o p o s e dm e t h o d ，w eh a v ed i s c u s s e d r a y l e i g h w a v ep r o p a g a t i o ni n s o m ec o m p l i c a t e dm e d i u m s ( t w o - l a y e rm o d e li n t h er o l l i n gg r o u n d t h e p a a e mo fu n d e r g r o u n dc a v i t y , w e a ki n t e r c a l a t i o n ) i ns h o r t ，t h es c h e m e s t u d yt h er o l li n gg r o u n do ft h er a y l e i g h w a v e sf i n i t e d if f e r e n c e k e y w o r d ： r o l l i n gg r o u n d ， r a y l e i g h - w a v e ， s t a g g e r e d g r i d f i n i t e d i f f e r e n c e ，f o r w a r d i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：盘至垄。日期：珥年月且日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文，允 许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容， 可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科学技 术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信，i , i i 务。 作者签名：她导师签 日期：毕年上月盟日 中南大学硕士学位论文第一章前言 第一章前言 弹性波在到达弹性、强度或密度不同的介质界面上时，会产生反射、折射等 现象，同时会产生界面波。特别将沿自由界面传播的波称为表面波( s u r f a c e w a v e ) 。表面波存在两种不同类型的波：一种是质点在波的传播方向垂直平面内 振动，质点的振动轨迹为逆时针方向转动的椭圆，且振幅随深度呈指数函数急剧 衰减，传播速度略小于横波；另一种是质点在垂直于波传播方向的水平面内振 动。前一种称为瑞雷波，后一种成为拉夫波口儿钔。 1 1 瑞雷面波的国内外发展概括 瑞雷面波是沿地表传播的一种弹性波。早在1 8 8 7 年，英国数学物理学家瑞 雷在求解自由表面半空间中的平面弹性波场时，就预言了一种振幅沿纵向指数 衰减的面波的存在，这种面波的速度小于同一介质中的纵波和横波的速度，质 点运动轨迹为一逆向椭圆。这一结论在天然地震记录中得到了证实，人们称其 为瑞雷波或瑞雷面波。之后，大量的学者对瑞雷波在各种介质中的传播理论进行 了广泛的研究。5 0 年代初，h a s k e l l 用矩阵方法对层状介质中瑞雷面波频散曲线 的计算，奠定了利用天然地震面波信号研究地球内部结构、利用人工地震面波 信号进行工程勘探和无损检测的基础。随后开始根据这一特性广泛地利用天然 地震记录的瑞雷波信号来研究地球内部结构，并开始利用人工地震波中的瑞雷 波进行工程勘察瞄1 。6 0 年代初，h o y k a l l e n 等提出面波勘探的半波长解释方法， 利用激振器产生正弦波信号实测道路断面的速度分布，将稳态瑞雷面波首先应 用于地基勘察。8 0 年代初，日本v i c 株式会社经过多年的研究后推出了g r 一8 l o 佐滕式全自动地下勘探系统，并应用于工程勘察之中3 ，但由于该设备笨重且 价格昂贵，影响了其在工程中的广泛应用。1 9 8 1 年，n a g f c h 等利用漏能瑞雷 波对复合材料进行了检测；1 9 8 2 年，s t o k e 等哺1 采用锤击震源，通过两个检波 器之间的互谱相位信息求取面波的相速度，成为最初的瞬态面波勘探试验。1 9 8 6 年，n a z a r i a n 等凹3 用表面波谱分析方法( s a s w ) 对高速公路路面及路基进行了 探测，为瞬态瑞雷波法在工程中的广泛应用奠定了基础。1 9 9 2 年，张忠苗等叼 也引进了瞬态瑞雷波法及s a s w 法，并应用于地基处理评价中，取得了一定的 效果。1 9 9 4 年，赵竹占等门用瞬态瑞雷波法对浙江慈溪市东门联建办在拟建 的六层住宅楼地基进行了勘察，发现地下有暗塘存在。1 9 9 6 年，赵明即将瞬 态瑞雷波法应用于灰岩溶洞、挡土墙厚度、地层分层、水库大坝质量的探测之 中。1 9 9 5 年，c l a r k 等3 1 利用瑞雷波对钢桥疲劳载荷进行了监测。目前，由于 其他新技术的发展，瑞雷波已开始广泛应用于微细材料的精细检测之中哺1 。1 9 9 6 中南大学硕士学位论文第一章前言 年，刘云祯等 自行研制了s w s 瞬态面波多道数据采集处理系统，并将其应 用于机场工程勘探、浅层煤田勘探、地下煤巷探测等方面的工作中，取得了好 的效果。此方法是在地面上沿着面波传播方向布置间距相等的多个拾振器，将 多个拾振器信号通过逐道频谱分析和相关计算，并进行迭加，得出一条频散曲 线，从而消除了大量的随机干扰，并可在时i b j 音t j 面上较为准确地识别面波所在 的时间位置，据此设计合理的观测窗口，从而强化瑞雷面波，压制纵横波，此 方法发展和改进了一般的瞬态瑞雷波法。1 9 9 6 年，李哲生列将瞬态多道瑞雷 波法应用于某建筑物场地地层进行分层勘察，取得了很好的效果。1 9 9 8 年，王 士恩等叫将瞬态多道瑞雷波法应用于堤坝防渗墙质量检测中；近2 0 年来，瑞 雷波勘探法已在工程中得到了广泛的应用，参与瑞雷波勘探技术研究的人越来 越多，特别是最近几年，国内外已掀起了瑞雷波勘探技术的理论与应用研究的 热潮。目前，瑞雷面波勘探法已逐步成为浅层或超浅层地球物理勘探和工程岩 体及施工质量检测的主要勘探手段之一。 综上所述，瑞雷波的应用己逐步向宏观和微观两极扩展，应用范围愈来愈 广，涉及的其他新技术也越来越多，随着瑞雷波理论的进一步发展与完善，瑞 雷波的应用范围还会进一步扩大。 1 2 瑞雷面波的理论正演研究喳1 1 2 1 标准层状介质中瑞雷波传播正演研究 界面互相平行，且界面处连续的均匀各向同性自由表面层状半空间弹性介 质谓之标准层状介质。对于在这种层状介质中传播的瑞雷波的频散曲线的正演 问题，大量学者进行了研究，并提出了各种方法，取得了好的效果，也为其它 复杂的层状介质的正演问题奠定了基础。其主要的方法有t h r o m s o n h a s k e l l 方 法、s c h w a b k n o p o f f 方法、6 矩阵法、a b o z e n a 法、r t 矩阵法等。 1 9 5 3 年，h a s k e l l 力在t h r o m s o n 的研究基础上，通过相邻两界面的传递矩 阵公式以及自由表面边界条件和无穷远处的辐射条件导出了层状介质中平面瑞 雷波的频散方程，人们把这种方法称为t h r o m s o n h a s k e l l 法。h a s k e l l 将此方法 应用于美国大陆地震信号的频散曲线模拟，取得了一定的效果，但发现此方法 对高频情况容易出现数值溢出以及精度丢失问题。为了解决这一问题，许多学 者从数值角度入手，采用各种方法进行研究。1 9 5 3 年，k n o p o f f 们在h a s k e l l 的矩阵方法基础上，提出一种新的求取频散曲线的方法。与h a s k e l l 不同的是 k n o p o f f 得出了4 n + 2 阶的频散方程行列式，此行列式的求解使用了k n o p o f f 分 解法( 一种循环的l a p l a c e 行分解法) 。1 9 6 7 年，r a n d a l l 们首次对k n o p o f f 分解 进行了计算，成功地避免了t h r o m s o n h a s k e l l 方法中存在的数值不稳定性问题， 2 中南大学硕士学位论文 第一章前言 但是此方法过于复杂，不利于广泛应用。接着s c h w a b 和k n o p o f f z 2 0 2 对k n o p o f f 分解在数值上进行了进一步的研究和改进，形成了完整的s c h w a b k n o p o f f 方法。 1 9 7 0 年，s c h w a b 瞳2 1 通过一系列的精巧的行列变换将某些层矩阵变形为块状对 角阵形式，使得频散函数以特别简单的代数形式表达出来，并编制了计算量小 的程序，这种方法称为快速s c h w a b k n o p o f f 方法。 1 9 6 3 年，p e s t e l 和l e c k i e 2 加介绍了6 矩阵法，1 9 6 5 年，t h r o w e r 比钊和d u n k i n 心鄙首次将6 矩阵方法应用于瑞雷波的频散方程推导，避免了数值精度丢失的问 题。1 9 7 0 年，w a t s o n 瞳胡应用简化的6 矩阵求解瑞雷波频散问题，减小了计算量。 1 9 9 6 年，b u c h e n 和b e n h a d o n 【2 ”提出快速6 矩阵方法，此方法吸收了s c h w a b 的变换程序，并用6 矩阵理论的形式表达出来，该方法具有快速稳定的特点。 1 9 9 8 年，l v a n s s o n 2 踟用更简便的方法同样得到了快速6 矩阵算法。 1 9 7 9 年，a b o z e n a 心们为解决频散方程的数值不稳定性问题，通过一系列 的4 x 4 阶反对称矩阵的循环计算得到了瑞雷波的频散方程，这种反对称矩阵与 6 矩阵很相似，与特征函数乘积有直接的关系，正是这一点使得该方法能够解决 高频散数值不稳定性问题。1 9 7 9 年，m e n k e 口们解释了a b o z e n a 提出的反对称 矩阵的物理含义，发现此矩阵与p s v 波的基础解密切相关，并引入了d 矩阵 和e 矢量，导出了新的r a y k e i g h 波频散方程，此方法既有效地避免了高频数值 不稳定性问题，又加快了计算速度，对有低速夹层存在的层状介质的高频频散 分析很有效。1 9 6 8 年，b e n m e n a h e m 等口1 1 提出b 、p 、c 坐标系，大大简化了 层状介质中三维声波场问题的求解过程。1 9 8 2 年，李幼铭等口2 1 在b 、p 、c 坐 标下将a b o z e n a 的算法采用h a s k e l l 矩阵本征值分解的6 矩阵运算用五个形式 简单的矩阵连乘形式重新组织了a b o z e n a 算法，使运算步骤大量简化。1 9 9 6 年，张碧星口3 、3 钉在a b o z e n a 和m e n k e 研究的基础上用b 、p 、c 坐标系进一步 研究了层状介质中的频散问题，将m e n k e 的e 矢量的传递矩阵f 分解为简单的 三个矩阵的乘积形式，其中两个与频率无关，另一个为对角阵，从而简化了计 算，且避免了数值不稳定性问题，并提出了关于e 矢量的一个新结论，定义了 两个物理量p i 、p 2 ，发现p l 、p 2 与介质的层状结构密切相关，还可用来判别接 收到的信号是否为瑞雷面波。2 0 0 0 年肖柏勋1 对层状介质高模式瑞雷面波的正、 反演进行研究，取得一定的效果。2 0 0 7 年，周竹生钔等，用交错网格有限差分对 弹性介质中瑞雷面波进行正演模拟研究，在人工边界上采用了变系数吸收边界条 件，对角点进行处理避免了角点绕射，在层状介质( 软弱夹层、连续介质) 中取 得了较好的效果。 以上介绍了几种求解层状介质中瑞雷波频散方程的经典方法，关于层状介 中南大学硕士学位论文第一章前言 质瑞雷波正演还有很多其它的研究成果。所有这些对标准层状介质中瑞雷波正 演问题的研究促使了瑞雷波在工程中的作用，但由于实际问题往往并非标准的 层状介质，因此，人们开展了对非标准层状介质以及其它更复杂边界条件下的 瑞雷波传播规律的研究。 1 2 2 非标准层状介质瑞雷的传播正演研究 对非标准层状介质，如界面不连续、界面不平坦、倾斜界面、非弹性层状 介质等情况，瑞雷波频散曲线的求取及其波场的正演研究较之标准层状介质更 为复杂，有些研究以标准层状介质的j 下演为基础，有些则利用到了其它方法。 1 9 7 1 年，s c h w a bo 婚1 基于b i s w a s k n o p o f f 变换研究了非弹性层状介质中面波 的频散衰减规律，并应用于径向非均匀非弹性介质中的l o v e 波波场的频散及衰 减计算。1 9 7 8 年，t i e r s t e n 和s i n h a 哺1 利用线性压电弹性体方程的格林函数公 式得到了压电弹性体的扰动理论，由特征值的第一扰动方程的反复使用得到了 想要精度的面波衰减以及大波长面波在含覆盖层介质表面传播的相速度频散。 1 9 8 0 年，b u k c h i n 口7 1 等用格林函数数值技术计算了两个四分之一层状半空间连 体介质中的垂直界面处面波的散射波场，并利用一些实际的地层模型验证了此 方法的有效性，分析了体波对面波速度测量的影响。1 9 8 6 年，s n i e d e r 用线 性化散射理论对不规则表面的层状介质中的面波散射进行了研究，并计算了周 期为1 5 秒到3 0 秒之间的面波基础模相速度的扰动。1 9 8 6 年，b h a t t a c h a r y a 在6 矩阵法及a b o z e n a 的方法的基础上，提出了球体层状介质中瑞雷波的频散方 程求解的新方法，此方法对高频情况不会出现数值发散问题。1 9 8 8 年，v o g t 和 w o l ( 3 们等利用间接边界元方法计算了层状半空间表面存在任意形状峡谷时的面 波场散射问题。1 9 8 8 年，m a l 们对层状介质中含非完好连接界面时面波场进行 了研究，用矩阵方法分别对两种非完好界面模型进行了面波频散方程的求解， 此方法也避免了高频数值稳定性问题。1 9 9 1 年，r i c h a r d s 门等提出了弹性波在 有倾斜界面存在的层状介质中传播的射线理论，对面波在有倾斜界面存在的层 状介质中的传播规律有一定的指导作用。1 9 9 6 年，牛滨华、何继善纠h 朝从虚 功变分原理出发，引入等效面波震源概念，用有限元方法导出了含多个非水平 界面的层状介质以及垂向各向异性和粘滞性多层介质中瑞雷面波的频 方程， 并进行了数值计算。1 9 9 7 年a r o r an 们等利用t h r o m s o n h a s k e l l 矩阵法导出了横 向均匀球体层状介质中瑞雷波的频散方程，将各层的传递函数表述为一种简单 明确的形式。1 9 9 9 年，b e n h a d o r 和b u c h e nh 引基于w h i t t a m 的一阶扰动理论 导出了存在倾斜界面的层状介质中的l o v e 波和瑞雷波频散方程，并数值计算了 二层及三层模型下面波的频率、波数、幅度及相位的扰动。2 0 0 6 年，熊章强们 4 中南人学硕十学位论文第一章前言 对复杂介质下的瑞雷面波进行正演模拟，并对其传播特征进行研究，利用高阶交 错网格有限差分对垂直界面、斜界面、垂直低速带等复杂模型进行正演模拟计算， 并提取了相应的频散曲线进行分析，取得了较好的效果。 通过以上对非标准层状介质中面波正演研究的成果的依次介绍，可以发现 由于非标准层状介质的复杂性，除了矩阵以外，还出现了格林函数方法、扰动 方法、有限元方法、线性化散射方法，射线理论等多种方法，求解的问题也不 只限于面波频散方程，还涉及到面波幅度、面波三维散射场的求解，且大多数 方法已丌始由求精确的解析解向求近似的数值解转变。 非标准层状介质中的瑞雷面波研究对于实际的地球物理勘探具有较大的 现实意义，在工程中它们比层状介质更贴近于实际地层情况。目前在非标准层 状介质的瑞雷面波正演模拟中，大多数是基于水平地表的情况下。因此对起伏 地表下瑞雷面波j 下演模拟研究是十分必要的。 1 3 瑞雷面波频散曲线的提取 瑞雷波频散曲线的提取，实际上就是求取对应某频率下瑞雷波的相速度问 题。对于稳态瑞雷波法，多采用互相关法提取频散曲线，该方法要求两道之间 的距离小于瑞雷波的波长，但瑞雷波对应不同的频率，其波长有很大的差异。 因此，该方法对高频瑞雷波会出现假速现象，影响了瑞雷波的浅层勘探效果。 对于瞬态瑞雷波法，多采用表面波谱法。对于多道情况，则逐道进行谱分析， 并进行迭加，得出平均速度。表面波谱法也要求a x 。l r ，而且要求相邻两道检 波器接收的信号有较好的相干性，对此喻明等曾利用相位展开技术，以解决相 位变化大于2 兀的瑞雷波频散曲线的重建。此方法在计算机上的模拟结果良好， 但其效果如何还有待于实际工作的检验。利用扩充p r o n y 法提取瑞雷波频散曲 线，虽然在一定程度上能起到压制纵横波、去除随机噪声干扰的作用，且在实 际应用中也取得了一定的效果，但该方法除要求道间距a x 小于瑞雷波的波长h 外，且还存在计算工作量很大、多层介质情况下效果欠佳等缺陷。瑞雷波频散 曲线的提取方法虽然很多，其主要方法有互相关法、表波谱法、相位展开法、 t p 变换法、p r o n y 法、f - v 法、f k 域分析法等h7 | ，但目前基本上大多都采用f - k 域分析法。该方法是利用多道信息，将记录从x t 域变换到f k 域，然后进行 速度扫描得到频散曲线。通过这种方法可以得到瑞雷波的不同模式下频散曲线， 为采用多模式反演提供良好的基础。 1 4 瑞雷面波的反演研究 瑞雷面波信号的反演，目前主要是针对层状介质利用瑞雷波的频散曲线进 行介质内部结构的反演。其方法主要有观察法、局部线性化方法、非线性方法、 中南人学硕士学位论文 第一章前言 多模方法等。 最初的反演解释主要是基于半波长理论8 1 ，即认为勘探深度为瑞雷波波长 的一半即h = 以2 ，将频散曲线表示为波速与勘探深度对应曲线的形式，用近 似计算法，拐点法，渐近线法等粗糙的方法进行反演，近似计算法主要针对n 点以及n 1 点深度以上的平均瑞雷波速，利用速度v r 随深度h 增大而增大或随 深度h 增大而减小两种情况求取h 。到h 。i 深度i 日j 隔内波速v r 的公式，计算出 对应某深度处的v r ，并利用v r 与v s 的近似关系进而计算出各深度处的剪切波 速度v s 。拐点法则是求频散曲线的拐点，认为该拐点即标志着两层介质的分界 面。渐近线法则用f 趋向于零及无穷大时对应的v r 表示第二层及第一层的波速， 显然仅适合于二层介质。我们称所有基于半波长理论的这些反演方法为观察法。 观察法的特点是简单、粗糙、主观性强，且用到的正演公式仅为v s 与v r 的近 似关系，而这种关系又是在均匀半空间中的瑞雷波速度推导中得到的，用于复 杂介质还很不可靠。对于复杂介质又出现阻尼最小二乘法、非线性方法( 如遗传 算法c 4 9 1 , , 模拟退火、人工神经网络e s o ) 、联合反演法等，1 9 8 9 年j a g n o u x 等 在研究了漏能瑞雷波特性以及表面裂缝及近表面缺陷的相互作用结果的基础 上，提出了对裂缝和缺陷进行面波成像的方法，并对几个实际模型进行了应用， 取得了较好的效果。用瑞雷波对介质内部障碍物、空洞等进行层析成像的方法， 主要利用了面波的纵向衰减特性，对不同的频率，面波能携带不同深度以上的 地层结构信息，根据走时或幅度变化便可对地层结构进行三维成像，但对此方 法的研究目前不多，还需进一步研究和改进。 总之，反演方法虽多，但j 下演是反演的基础，反演需用正演结果，故反演 问题也一直没得到很好的解决，而理论的不完善又限制了瑞雷波的应用。所以， 瑞雷波最根本的问题是正演方面的问题2 l 。只有以实际应用为目标，把瑞雷波 在各种复杂介质中的正演规律弄清楚了，反演工作才会有大的发展。 1 5 论文的主要工作和成果 本论文研究内容主要是利用交错网格高阶差分法，对一阶速度一应力弹 性波方程进行数值求解。在处理自由边界条件时，对镜像法进行了改进，把正 应力置于地表，计算自由表面应力的时候，令边界上的剪应力和平行于边界的 正应力等于零，计算速度单元的时候不做任何特殊处理，为了计算应力，把自 由表面以上的速度都设置为零幢1 。这样使得模拟起伏自由界面瑞雷波时把震源 和检波器放置于自由表面时得到正确的结果。在起伏和水平自由表面均匀介质 中模拟瑞雷波，分析瑞雷波的传播特性，同时提取瑞雷波频散曲线。选取几个 具有代表性的起伏地表下复杂介质模型( 两层介质、软弱夹层、地下洞穴等) ， 6 中南人学硕十学位论文第一章前言 研究其频散特性，分析其波场特征。 论文研究的目标就是在震源置于起伏自由界面时能够正确的模拟瑞雷波， 对模拟的起伏地表下的瑞雷波的传播特征进行分析。选一些代表性起伏地表下 的复杂介质模型，模拟瑞雷波，并计算其频散曲线，分析频散曲线特性和波场 特征。 1 6 完成的任务和主要成果 1 6 1 主要完成的任务 推导出弹性波动方程高阶交错网格有限差分公式； 研究在起伏自由边界条件下，面波的传播特征和频散特性； 选取具有代表性的理论模型试验研究：包括起伏界面下的两层介质、软 弱央层、地下洞穴等，对于其波场特征和频散特性进行研究分析。 1 6 2 主要成果 本论文的主要成果主要表现在以下几个方面： 介绍了并运用高阶交错有限差分方法对波动方程进行了差分计算。 通过对自由边界条件的研究，使用改进的镜象法，对瑞雷面波在起伏自 由界面下介质模型进行j 下演模拟，并取得了一定的效果。 对于起伏地表下的一些常见复杂介质进行了瑞雷波模拟，分析讨论了其 频散特性和波场特征。 7 中南大学硕十学位论文第二二章瑞雷面波基本理论 第二章瑞雷面波基本理论 在1 8 8 7 年瑞雷提出沿自由表面传播的面波，并在理论上确定了面波的存在。 许多学者对均匀半空间介质中的瑞雷波的波场特征，瑞雷波的频散方程以及频 散曲线进行了大量的研究工作，提出了许多经典的方法。本章主要阐述在均匀 介质中瑞雷波的传播波场，得出瑞雷波的频散方程。并说明在均匀介质中瑞雷 波不存在频散现象，而在非均匀介质中瑞雷波会发生频散。 2 1 瑞雷波的形成旧聃弱1 在均匀半空间中，自由界面上的边界条件是法向与切向的应力必须为零， 这是因为在界面的真空一侧，没有介质约束质点的振动，此时波动方程存在唯 一解，称这种波为瑞雷波啼钔。 在均匀、各向同性、理想的固体弹性介质中，弹性波的波动方程： p 等= ( 3 + l t ) g r a d o + i t v 2 u + p f ( 2 - 1 ) 式中：u 为在f 作用下质点的位移向量；f 为力向量，p 为体变系数，p = d i v u ； v 2 为拉普拉斯算子，v 2 = a 2 反2 + a 2 砂2 + a 2 瑟2 。 瑞雷波存在的物理模型是一个半无限弹性空间，我们取自由界面为x y 平 面，z 轴为指向弹性介质内部垂直向下。则介质中的弹性系数为五，和密度为 p 的介质，其自由界面以上为空气，可视为零。令坐标x y 平面与自由界面重 合，z 轴垂直与自由界面向下。因为面波是一种沿着介质表面传播的，它是由p 波和s v 波耦合而形成的。因此我们只考虑s v 波，对于平行自由界面运动的剪 切波( s h 波) 不作考虑。我们通过讨论势函数缈和，可写成如下形式： “= v 妒+ v x v x 乞 ( 2 2 ) 把( 2 2 ) 代入弹性波动方程( 2 1 ) 可得： v 卜。u v 2 c a ) 一p 鲁 + v x v x 酬= 。亿3 ， 其中：圪= 4 ( 2 + 2 0p ，圪= p 分别表示介质中纵波速度和横波速度。 通过质点的水平位移u ，和垂直位移“，可得： v 2 = 专害= 窘+ 窘 c 2 4 ， 8 中南大学硕士学位论文 第二章瑞雷面波基本理论 v 2 沙= 专睾= 警+ 警 c 2 卸 根据( 2 - 4 ) 、( 2 - 5 ) 式，可以将矽和写为： ：篓b i e ：二箸 亿6 ， l f ，=“”+ b ，e “忧 、 。 其中：聊= 七2 一七；，刀= 七2 + ，k 为波数，k 。= 缈圪，七，= 缈圪。 式子( 2 6 ) 中，4 ，4 ，蜀，垦为待定系数，p + 栅表示下行波，e - 腑表示上行波， 在自由界面以上为空气，因此没有上行波，因 4 = 且= 0 ，并将待定系数4 ， 岛换为a ，b 。则方程( 2 6 ) 可以表示为： 卜彬州( 窘+ 夏0 2 傲w ) l 瑚= 。 k 肥塞+ 警一l o = o q 。8 j - 车5 ( 2 7 ) 代入上式，经过整理化简得： (2k厢2-k2)a彳-2k惑( 2 k 葛三 亿9 ， l 庐虿彳+ 2 一砰) b = o u 叫 其中：吒= 国，屯= r o l v , ，且方程有非凡解需满足下列行列式条件： 1 2 2 砘k 2 扩- k s 2 可 = 0 ( 2 - 1 0 ) 因此可得： 【2 一( v v s ) 2 】2 - 4 1 1 - ( v 咋) 2 】l 2 1 - ( v i v y ) 2 】l 2 = o( 2 1 1 ) 上式为均匀半空间中瑞雷面波的频散方程，一般把y 为瑞雷面波的相速度记为 。因为= 抓万而，k = & - 7 7 ，o r = 2 ( 2 木+ 2 ) ) 代入( 2 11 ) 得到面 波、横波k 和泊松k l ：；o r 之间的关系式： 9 竺 中南大学硕士学位论文 第二章瑞雷面波基本理论 1 8 ( v r k ) 6 一( k ) 4 + ( 2 一仃) ( 1 一盯) ( h ) 2 - i ( i - o - ) = o ( 2 - 1 2 ) 分析( 2 1 2 ) 式可得到：= 刁圪，其中刁为校正系数，它的值决定与泊松比仃， 当介质为泊松体时，即盯等于0 2 5 时，r = 0 9 2 。即在均匀半空间介质中，泊松体 的面波速度为横波速度的0 9 2 倍。 2 2 瑞雷波的传播及其质点振动特点m 5 7 1 对于不同的介质，瑞雷波水平和垂直振幅的主要能量均大部分集中在 z 厶矧 )i 图2 1 瑞雷波中质点的运动轨迹示意图 瑞雷面波不同于体波的另一特点是，其质点振动不是线性极化振动，而是面的 1 0 中南人学硕士学位论文第二章瑞雷面波基本理论 极化振动。根据理论研究，瑞雷面波的质点运动是由相位相差万2 的两个相互垂 直振动的合成运动，振幅随深度呈指数函数急剧衰减，质点的振动轨迹沿与波传 播方向成反方向的椭圆轨道运动，因此它是椭圆极化波，如图2 1 。 在均匀介质条件下，由方程式( 2 1 2 ) 可知，瑞雷波的速度与振动频率无关， 说明在均匀介质条件下，瑞雷波传播速度是没有频散性的。实际上半空间均匀 介质模型在我们实际的地质勘探工作中不存在，一般地表都有一层很薄的疏松 覆盖层，为了证明瑞雷波在非均匀介质中的频散特性，设覆盖层的单位面积质 量为风，假定其厚度可以忽略。 在这种情况下，解瑞雷波传播速度的过程与前面的方法相同，仍取位函数 为： 妒2 a p 一耽p ，h 训( 2 - 1 4 ) = b e 一肥e ( h 吲) 由于覆盖层的影响，在z = 0 的平面上，法向应力分量不再等于零。而是等 于p 0 0 2 u ，o t 2 ，因为覆盖层是非弹性介质，切向应力仍等于零，边界条件变为： 疋川+ 2 力( 窘+ 窘 一2 ( 窘一警) j ：= o 。 w 毫+ 害一乱= 。 ( 2 - 1 5 ) 把边界条件( 2 1 5 ) 代入位函数( 2 1 4 ) ，并经过简化可以得出： ( 七2 + 疗2 ) - p o m o z 彳+ f 2 t m 七一p o k c 0 2 = o ( 2 1 6 ) 【一2 砌m + ( 肌2 + 刀2 ) b = o 令方程组( 2 1 6 ) 的系数行列式等于零，可以得到： ( 肌2 + 刀2 ) i ( 七2 + 聆2 ) 一pm f t ) 2l 一2 m k ( 2 k t k b pk w 2 ) = 0 ( 2 1 7 ) 式中，缈= 2 n f ，厂为频率。 上式中包含有( - 0 ，表明瑞雷面波的波速是缈的函数，因此说明在地表有 一层薄疏松覆盖层时，会导致面波出现频散现象，因此可以知道在非均匀介质 中存在瑞雷波的频散。在均匀介质中无频散性和不均匀介质引起频散性这一特 性是瑞雷波勘探的物理基础。 中南人学硕士学位论文 第三章波动方程的有限差分理论 第三章波动方程的有限差分理论 3 1 有限差分法旧1 有限差分方法有漫长的历史，源于牛顿、欧拉等人的工作，他们曾用差商代 替微商以简化计算。1 9 2 8 年，库朗、卢伊等人证明了三大典型方程的典型差分格 式的收敛性定理，为现代有限差分理论提供了基础。同时，库朗把有限差分法用 于求偏微分方程的数值解，发展了这一方法。由于有限差分方法具有通用性，又 便于机器实现，因而在电子计算机产生和广泛应用后更得到很大发展及更广泛的 应用。 有限差分法简称差分法，是求微分方程和积分一微分方程的数值解的一种主 要的计算方法。它的基本思想是：把连续的定解区域用由有限个离散点构成的网 格来代替，这些离散点被称为网格的结( 节) 点；把在连续定解区域上定义的连续 变量函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商 用差商来近似，积分用积分和来近似。于是原方程和定解条件就可用代数方程组 来近似地代替，解此代数方程组就得到原问题的近似解。有限差分方法应用于各 类微分方程和积分一微分方程的各种定解问题，如常微分方程初值问题、边值问 题，偏微分方程初值问题、边值问题等等。它是把微分方程离散化，从而求其数 值解的基本方法之一。 3 1 1 有限差分法步骤 ( 1 ) 用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程 组的数学形式； ( 2 ) 求解差分方程组。在第一步中，我们通过网络分割法，将函数定义域分成大量 相邻而不重合的子区域。通常采用的是规则的分割方式( 如矩形、三角形等) 。这 样可以便于计算机实现和减少计算的复杂性。网络线划分的交点称为节点。在第 二步中，数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，利用初始和边界条件，求 得特定问题在所有这些节点上的离散近似值。 3 1 2 有限差分的格式 一个函数在x 点上的一阶和二阶微商，可以近似地用它所临近的两点上的函数 值的差分来表示。如对一个单变量函数f i x ) ，x 为定义在区间 如b 】的连续变量。以步 长h _ 缸将 如b 区间离散，我们得到一系列节点，五= a ，x 2 = x i + h ， x 3 = x 2 + 厅= 口+ 2 x a x ，+ l = + = b 然后求出f i x ) 在这些离散点上的近似 值。显然步长h = a x 越小，近似解的精度就越高。与节点相邻的节点有t 一。和气。， 因此在点x 可以构造如下形式的差值：l 1 2 中南大学硕士学位论文第三章波动方程的有限差分理论 厂( 一+ h ) 一厂( 一) ( 薯) 一厂( 一h ) 节点的一阶向f ； 差分 节点的一阶向后差分 ( + h ) - f ( x , 一h ) 节点的一阶中心差分 与点相邻的两点的泰勒展开式可以写为 f ( x , - h ) 一厂( 薯) = 厂( 薯) 一矽h ) + 譬厂( 薯) 一等。( ) + 等厂慷( ) ( 3 - 1 ) 厂( + 厅) 一厂( ) = 厂( ) + 矽( ) + 譬厂。( ) + 鲁”( 薯) + 等”( ) ( 3 - 2 ) 由式子( 3 1 ) 和( 3 - 2 ) ，并忽略h 的平方和高阶的项可得到一阶微分的中心差商： 八小迎掣( 3 - 3 ) 利用式子( 3 一1 ) 和( 3 2 ) 我们还可以得到一阶微分的向前向后一阶差商表示为： 厂，( 一) 丝掣毕堕 ( 3 4 ) 厂，( 而) f ( x , ) - - f ( 一x , - h ) ( 3 - 5 ) 利用式子( 3 1 ) 和( 3 2 ) 相加，并忽略立方和高阶的项可以得到二阶中心差商： 厂，( 薯) 丝型里警幽( 3 - 6 ) 甩。 利用式子( 3 - 3 ) - - ( 3 - 6 ) ，我们就可以构造出微分方程的差分格式。在构造差分 格式时，究竟应该选择向前，向后还是中间差分或者差商来代替微分方程中的微 分或微商，应当根据得到的差分方程的解的稳定性和收敛性来考虑。同时兼顾差 分格式的简单和求解的方便。 3 1 3 有限差分的边界条件 假定某方程形式上可以写为： 三矽= g( 3 7 ) 其中l 为含偏微商的算符。 它的边界条件可以写为： 九哪) 觌碣 ( 3 - 8 ) g 表示场域d 的边界，g l ( s ) ，9 2 ( s ) 为边界上s 点的逐点函数。 中南大学硕士学位论文第三章波动方程的有限差分理论 三类边界条件： ( 1 ) 第一类边界条件，或称为狄利克莱( d i r i c h l e t ) 问题( 蜀= 0 ，9 2 0 ) 。 札= g ( s ) ( 3 - 9 ) ( 2 ) 第二类边界条件，或称为诺伊曼( n e u m a n n ) i h - 题( 蜀0 ，g ：= o ) 。 剖：郇) ( 3 - l o ) 册l g ( 3 ) 第三类边界条件，或称混合问题( 蜀0 ，9 2 0 o 3 1 4 有限差分的区域的离散化 即通过任意的网络划分方法把区域离散为许许多多的小单元。原则上讲这种 网格分割是可以任意的，但是在实际应用中，常常是根据边界d 的形状，采用最 简单，最有规律，和边界的拟合程度最佳的方法来分割。常用的有正方形分割法 和矩形分割法( 如图3 1 ) 。有时也用三角形分割法( 见图3 - 2 ) 。对圆形域，应用图 ( 3 - 3 ) 所示的极网络格式也许更方便些。这些网络单元通常称为元素，网络点称为 节点。 图3 - 1 求解区域矩形分割图3 - 2 求解区域三角形分割 图3 - 3 求解区域极网络