工学第七章欧氏空间ppt课件

第七章欧氏空间,一、教学目标1熟练掌握向量的内积，夹角，长度，距离概念；2掌握Schwarz不等式及应用；3理解标准正交基的概念，求法及应用，了解子空间正交补的概念及应用；4理解正交变换，正交矩阵的概念、性质及关系；5理解对称变换的概念，性质及其与对称矩阵的关系。熟练掌握对称矩阵化为对角阵的正交化方法。,二、重点：内积，欧氏空间，正交，标准正交组，标准正交基，正交变换，对称变换。,三、难点：正交变换，对称变换。,四、课时：20学时,1,向量的内积,2,说明：定义中的1）4）称为内积公理。,3,内积的性质：,（3）,（4）,4,定义2设,向量的长度是零,非零向量的长度是正数,说明：,5,说明：,6,，当,正交时，等式成立。,称为内积勾股定理。,7,定义3,8,当,补充定义:零向量与任意向量均正交.,9,距离的性质:,（i）正定性：当,(ii)对称性：,(iii)三角不等式：,10,定理2如果W是欧氏空间V的一个子空间，那么对V的内积来说，W也是一个欧氏空间。,11,7.2正交基,定义1.欧氏空间中的一组两两正交的非零向量叫的一个正交组。如果这组向量都是单位向量。则称为一个标准正交组。,说明：,正交组是线性无关的向量组。,在维欧空间中.两两正交的非零空间向量个数不超过n个.在面几何中.正交的非零向量是有两个.在空间解几中.正交的非零向量是有3个.,特别:如果是n维欧氏空间的一组正交组.则称为V的一个正交基.如果是n维欧氏空间V的标准正交基.则称为V的一个标准正交基.,12,定理1向量关于一个标准正交基的第i个坐标等于与第个基向量的内积.,定理2设是欧氏空间v的一个线性无关组，那么可以求出v的一个正交组使得可由线性表示出。（k=1，2，m）。,说明：,此定理不仅给出标准正交组是存在的。而且给出一个具体求正交组的方法。使得我们可由任一个线性无关组出发得出一个标准正交组，这种方法叫正交化方法。有的书上称为施密特正交化方法。,对于n维欧氏空间v，如果是v的基。则由正交化方法可得到v的一个正交基。进而得到v的一个标准正交基即n维欧氏空间v一定有正交基。因而有标准正交基。,称为正交化公式。,13,定义2.一个n阶实矩阵叫做一个正交矩阵，如果：,说明：由定义得：,说明：,定理3：维欧氏空间的一个标准基到另一个标准正交基的过渡矩阵的正交矩阵。,（1）给出两个标准正交基的过渡矩阵所具有的属性。,（2）由定理可以得到：如果是标准正交基,是正交矩阵，则由=得到是标准正交基。,14,定义3、设W是欧氏空间V的一个非空子集.如果,且与W中每一个向量正交，则称与W正交，记为:,说明：,V中与W正交的向量所成的子集记为,W是V的一个子空间.,15,定理4.令W是欧氏空间V的一个有限维子空间.那么,因而V中每一向量可以唯一写成,这是,.是唯一的.,定理5设W是欧氏空间V的一个有限维子空间，是V的任意向量，是在W上的正射影，那么对于W中任意向量.都有,说明:把在上的正射影叫做到的最佳逼近.,16,定义4,说明：,（ii）称为保内积不变,定理6,说明：,欧式空间的结构完全被它的维数所决定。,17,7.3正交变换,定义1.欧氏空间的一个线性变换叫做一个正交变换。如果对于任意。都有：,说明：保持向量长度不变的线性变换叫正交变换。（旋转变换，镜面反射等都是正交变换）。,18,定理1.设是欧氏空间的一个线性变换。则,（保持内积不变）,说明：正交变换保持夹角不变,把的标准正交基仍旧变成标准正交基。,19,7.4对称变换和对称矩阵,定义1设是欧氏空间的一个线性变换。,20,说明：对称变换与对称矩阵是1-1对应的。,定理2实对称矩阵的特征根都是实数。,说明：由于我们是在实数域上引入向量的“内积”概念，即欧氏空间都是在实数域上进行讨论的，故对称变换的特征多项式的根都是的特征根。,21,22,要使有一个正交基，而在这个基下的矩阵是对角形式，则一定是对称变换。即对称变换可以使有一个由的特征向量组成的正交基。,对称变换与对称矩阵1-1对应，则由对称变换可对角化到对称矩阵可对角化。即设是一个n阶实对称矩阵。则存在一个n阶正交矩阵使得是对角形式。,23,最后我们给出具体求U的方法:由故第七章给出的求可递矩阵的方法。是对角形式,但这样求出的,一般说来还不是正交矩阵。(是过渡矩阵),然而,注意到的列向量是的特征向量.对于不同特征根的特征向量来说是彼此正交的.因此,我们还需要再对中同一个特征根的线性无关向量施行正交化手续就得到了要求的.具体步骤:,24,1）求出的特征根是的不同特征根;2）对每一;解方程组:得基础解系.这就是的一组基.由这组基施行正交化,得到的一组标准正交基。3）以这些标准正交基为到向量排成一列即为所求。,25,7.5酉空间,定义1.设V是复数域上一个向量空间，如果对于V中任意一对、向量，有一个确定的复数与它们对应，则，叫做与的内积，并且下列条件满足：,1），是的共轭复数；,2）,3）,4）是非负实数,并且当时，是V中任意向量,是C中任意数，那么V叫做对于这个内积来说是一个酉空间。,26,设V是酉空间，则,（1）,（2）,（3）,（4）,27,定义2设是酉空间,为的长度。,说明：,当,当,当,定理1.设是酉空间,当且仅当线性相关时，等式成立.即：柯西施瓦兹不等式在酉空间中也成立。,28,定义3.设是酉空间，时，称正交.,说明：零向量与任意向量相交。,定义4.的一组两两正交的向量组叫的一组正交组，的正交组中每一个向量都是单位向量，则称该正交组为一个规范正交组。,说明：与欧氏空间一样,设V是n维酉空间则：,中两两正交的n个线性无关的向量组叫的一个正交基。,中两两正交的个线性无关的单位向量叫的一个标准正交基。,中一组线性无关的向量组，总可以用施密特正交化方法进行正交化，并扩充成一个标准正交基。,29,定义5.设是酉空间的一个有限维子空间令则是的子空间，称为的正交补，且.,定义6.设是n阶复矩阵，如果则称为一个酉矩阵。,（其中的共轭）,定理2.n维酉空间一个规范正交基则另一个规范正交基的过渡矩阵是一个酉矩阵。,30,7.6酉变换的对称变换,定义1:酉空间的一个线性变换是一个酉变换.如果都有,与欧氏空间平行,有:是维的酉空间的一个线性变换,则是酉变换把规范正交基变为规范正交基关于规范正交基的矩阵是酉矩阵,说明:,31,定义2:酉空间了的一个线性变换叫做一个对称变换(也称为厄米特变换).如果对都有,定义3:阶复矩阵是一个埃尔米特矩阵,如果。,1实对称矩阵是一个厄米特矩阵的特殊情况.,说明：,32,定理1:是维酉空间的一个线性变换,则是对称变换关于规范正交基的矩