（固体力学专业论文）规范形方法的理论与应用研究.pdf

摘要 ? 1 7 阳e 线性振动是非线性科学的一个重要的研究内容，有 l 许多求解非线性振动问题的方法，如多尺度法、k b m 法、 平均法等等。近年来，人们对用规范形理论研究非线性振 动问题产生了浓厚的兴趣。规范形理论通过非线性变换将 常微分方程进行简化，利用消除永年项，得到一组代数方 程。然后通过代数运算确定非线性变换的参数，得到解的 近似表达式，并且可以分析非线性系统的拓扑性质。规范 、 形理论的研究有深远的理论意义和应用前景。广、一一 本文对规范形理论及其应用进行研究，进一步丰富了 规范形理论的内容，拓宽了其应用范围。主要研究内容如 下：第一章介绍了规范形理论的研究现状和应用前景，概 述了本文的工作和主要的创新点。第二章用规范形理论研 究了含平方项的非线性系统，提出了新的非线性变换公式， 求出了该系统的近似解。第三章将非线性系统转换为一 个四维的一阶系统，再进行非线性变换，将规范形 理论中的共轭算子法和矩阵表示法联合一起应用， 研究了强迫振动问题。第四章用规范形理论求出了 参数激励系统的近似解。第五章用规范形理论求出 了非线性系统的分岔响应方程，用奇异性理论得到 了系统的转迁集和分岔图。 关键词：规范形丫非线性系统：近似解【分岔 a b s t r a c t t h ei n v e s t i g a t i o n o fn o n l i n e a rv i b r a t i o n is v e r y i m p o r t a n t f o rt h en o n l i n e a rs c i e n c e m a n ym e t h o d sh a v e b e e na d v a n c e dt o s t u d y t h en o n l i n e a r d y n a m i c a ls y s t e m ， i n c l u d i n g t h el pm e t h o d ，t h ek b mm e t h o d ，t h em u l t i p l e s e a l esm e t h o d ，a n d s oo n i nr e c e n t y e a r s ，t h e r e a r e i n c r e a s i n gi n t e r e s t s t o s t u d yt h en o n l i n e a rs y s t e mw i t ht h e n o r m a lf o r m t h e o r y ，w h i c h c a n s i m p l i f y t h en o n l i n e a r s y s t e m t ot h e s i m p l e s t m o d e w i t ht h e s i m p l e s t m o d et h e a s y m p t o t i ce x p r e s s i o n sf o rt h ep e r i o d i cs o l u t i o n sa sw e l la s t h e t o p o l o g y c h a r a c t e ro ft h en o n l i n e a r s y s t e m c a nb e o b t a i n e d s 0t h ei n v e s t i g a t i o no ft h en o r m a lf o r mt h e o r y s h o u l dh a v eaw i d eu s e i nt h isd i s s e r t a t i o n ，t h en o r m a lf o r mt h e o r yh a sb e e n s t u d i e df u r t h e ra n dt h ec o n t e n to fi th a sb e e ne x p a n d e d i n t h ef ir s tc h a p t e r ，t h ea c t u a l i t yo ft h en o r m a lf o r mt h e o r ya n d t h e f o r e g r o u n d o fi th a v eb e e ni n t r o d u c e da sw e l la st h e m a i nt a s ka n dt h en e wi n n o v a t i o no ft h ed is s e r t a t i o n i nt h e s e c o n d c h a p t e r ，t h e n o n l i n e a rs y s t e m sw i t ha s q u a r e t e r m h a v eb e e ns t u d i e df i r s t l yu s i n gt h en o r m a lf o r mt h e o r y ，a n d t h e a s y m p t o t i c s o l u t i o n s0 ft h e s y s t e m s h a v ea l s ob e e n o b t a i n e d i nt h et h i r dc h a p t e r ，t h en o n l i n e a rs y s t e m sh a v e b e e nt r a ns f o r m e di n t oaf o u r - d i m e n s i o n s - f i r s t - o r d e rs y s t e m 2 b e f o r et h e ye x p e r i e n c e dt h ec h a n g e so f n o n l i n e a rt r a n s f o r m t h ef o r c e do s c i l l a t o r sh a v eb e e ni n v e s t i g a t e d w i t ht h eu s e o ft h ec o n j u g a t e da r i t h m e t i co p e r a t o r sa n dt h em a t r i xo ft h e n o r m a lf o r mt h e o r y i nt h e f o u r t h c h a p t e r ，t h ea s y m p t o t i c s o l u t i o n so ft h ep a r a m e t r i c a l l y e x c i t e ds y s t e m sh a v eb e e n g o t t e n i n t h el a s t c h a p t e r ，t h eb i f u r c a t i o nf u n c t i o no ft h e n o n l i n e a rs ys t e m sh a sb e e na c q u i r e dw i t ht h en o r m a lf o r m t h e o r y 1 t h etr a n s i t i o ns e ta n dt h eb i f u r c a t i o nf i g u r e so ft h e n o n l i n e a r s y s t e m s h a v eb e e na c h i e v e db yt h e s i n g u l a r i t y t h e o r y k e yw o r d s ：n o r m a lf o r m ，n o n - l i n e a rs y s t e m ，a s y m p t o t i c s 0 1 u t i o n b i f u r c a t i o n 3 f 湖南大学固体力学专业硕士毕业论文 第一章绪论 线性振动理论的研究始于牛顿时代，拉格朗日曾系统地研 究过微振动理论，线性振动理论发展得比较完善。线性振动 理论的基础为叠加原理，在非线性振动系统中不再适 用，因而线性振动理论中的一系列理论和方法，例如： 模态叠加法、暂态振动中杜哈美积分、模态分析和模 态综合等等，在非线性理论中都不再适用。 非线性系统中，特别在强非线性系统和高阶非线性 系统中，用近似解析法求出的近似解不是唯一的，究 竟哪一个解是真实的解，需要研究运动稳定性来确定。 在研究含参数控制的非线性系统的过程中，需要研究 解的拓扑性质来了解非线性振动系统的性态，而这些 研究是非常复杂的。因此，非线性振动理论研究一直 是非线性科学的一个前沿课题，引起了广大力学工作 者的关注。 非线性振动理论对工程设计起着重要的指导作用。在工程 技术领域，例如机械、车辆、船舶、航天器、航空器、建筑、 桥梁等都经常处在各种激励的作用下，而不可避免的产生各种 各样的振动。现代工程技术对振动问题的解决提出了很高的要 求，因此，振动理论在工程问题中有广泛的应用。例如，在机 械、电机工程中，振动部件和整机的强度和刚度问题，联轴节 和回转轴的扭振分析，大型机械的故障诊断，精密仪器设备的 降噪和减振等；在交通运输工程中，车辆舒适性和稳定性问题； 海浪作用下船舶的稳态分析和强度分析；航空航天工程中，飞 符文彬：规范形方法的理论与应用研究 行器的结构振动和声疲劳分析等；在电子通讯，轻工工程中， 通讯器材的频率特性、音响器材的振动分析等；在土建工程中， 建筑桥梁等结构的模态分析，地震引起结构物的动态响应，矿 场探查、爆破技术的研究等；在医学生物学工程中脑电波、心 电波和脉搏振动等信号的分析处理等。以上这些研究领域都包 含了非线性振动分析的内容，而且往往非线性振动分析是这些 研究领域中最主要的内容。因此，对非线性振动问题的深入的 全面的研究是解决这些工程实际问题的前提。 1 2规范形理论的研究现状 1889 年p o i n c a r e 【1 】首次提出了规范形方法，阐述 了规范形方法的原理。规范形方法的主要思想是通过 一个非线性变换将非线性系统转变成一个简单的线性 系统。但是由于其方法的运算量非常大，并且理论发 展不完善，使得在提出后近一个世纪并未得到人们的 重视。但随着计算机的问世，并且注意到了其它方法 的局限性，使得人们对规范形方法开始了进一步的研 究。 规范形理论经过近30 年的发展，大致包含了三种 方法。e l p h ic k 和i o os e 等人【2 】提出的共轭算子法是规 范形理论的重要内容。g u c k e n h e i m er 和h o l m e s 【3 ， w a n g 4 】提出的矩阵表示法和c u s h m a n 和sa r l d er s 5 】 提出的l i e 代数中的s l ( 2 ，i r ) 表示法成了规范性理 论的极其重要组成部分。在计算高阶规范形系数时， 共轭算子法与矩阵法相比，其优点是不需要重复计算 高阶矩阵和代数方程组，因而计算量可以相对减少一 些。在文献【6 】中，利用矩阵表示法计算了具有z ，对称 性的非线性动力系统的五阶规范形。 2 湖南大学固体力学专业硕士毕业论文 br i u n o 7 ，8 用数学理论证明了一般微分方程 存在规范形，并且证明了它的稳定性。a r n o l d 9 ， m 0ser 1 0 】，j o h r ls o n 和r a n d 【l l 】，h a m d o n 和b u r t o n i2 】等人发展了规范形理论。他们通过复非线性变换 将一个带有非线性振子的微分方程组转化成一个简单 的、线性的系统，然后进行求解。 h s u 【13 ，14 则提出了矩阵表示法的规范形方 法，将非线性系统转换成j or d a n 形式，研究了非线 性系统分岔的临界值。m a r s d e n 和m c c a c k e l l 【l5 】用 规范形方法研究了h a m i l t 0 1 1 系统的自由振动，并将 之与中心流形方法作了比较。 m 0 n t h 和r a n d 【l 6 ，1 7 】研究了二自由度系统的 自由振动的周期解的稳定性。s z e m p l i ns k a s t u p l l i c k a 18 ，计算了带立方项非线性多维系统的规范形系数。 je z e q u e l 和l a m a q u e 【1 9 】得到了d u f f i n g 方程的一 维和二维系统的规范形系数，研究了它们的周期解和 拓扑性质，并将其结果与数值结果相比较。 l e b n g 和z h a l l g 20 】用 m a t he m a t ie a 软件将 规范形方法与其它方法共同使用，得到多维系统的规 范形系数，并与其它方法进行了比较，得到的解与数 值解相一致。 h a n 和z h u 【2l 】，v a nd e rb e e k 【2 2 】将规范形方法 与k r y l o r 和b o y o i i u b o r 法相比较，计算了非线性系统 的近似解，并得到了高维系统的规范形参数。 y u 【2 4 】提出了一种摄动规范形法，将其与小参 数法联用，用来计算规范形系数。该文计算了两维非 线性系统的范式系数和h o p f 分叉。 z h a b g ，h u se y i n 和y e 【2 5 】等获得了高维系统的规 范形系数。主要分析了d u f f i n g 系统，并考虑了阻尼项 符文彬：规范形方法的理论与应用研究 的影响。 张伟和陈予恕【2 6 】用规范形理论研究了非线性动 力系统的退化分叉，利用共轭算子法计算、了具有幂零 线性部分和不具有z ，对称性的非线性动力系统的2 阶， 3 阶，4 阶规范形，讨论了几种余维3 退化分叉情况下 的普适开折问题及其一些全局特征。n a y f e n 【27 】用共轭 算子法计算了d u f f i n g 和d u f f i n g - v a n d erp 0 l 振子的 近似解，分析了它们的稳定性，而z h a n g 28 】等人用 改进的共轭算予法研究了d u f f i n g 和d u f f i n g v a nd e r p 0 1 振子的强非线性近似解及稳定性。【2 9 7 0 】等文 献对规范形理论的研究及其应用做出了非常重要的贡 献，同时用规范形理论研究了非线性振子的近似解及 其分岔。 这些研究工作丰富了规范形理论的内容，拓展了使 用范畴。使得规范形理论成为非线性研究的重要工具 之一。 1 3规范形方法的理论意义和应用前景 非线性振动方程除极个别外，目前还没有办法求 出解析解。用近似方法求解引起了众多专家与学者的 浓厚兴趣。近几十年来，科学家们提出许多求解非线 性振动系统的方法，包括定性分析法和定量分析法。 定性分析法主要有相平面法。定量分析法有近似解析 和数值法。近似解析法有：l p 法、多尺度法、k b m 法、 谐波平衡法、伽辽金法等。数值法近年来发展较快， 其中包括初值法、边值法、点映射法，胞映射法等。 这些方法都得到了广泛的应用。 如上所述，非线性振动的求解方法是如此之多。正 4 湖南大学固体力学专业硕士毕业论文 好说明非线性振动系统的研究未完善。对于强非线性 系统，到目前为止还没有一个通用的方法可供普遍使 用。并且由于非线性系统的研究极其复杂，许多重要 的运动机理尚不清楚，对一些运动形态和运动特性不 是很了解。由于非线性振动问题求解的复杂性和求解 方法的不完善，解决实际问题时往往需要同时使用几 种方法。这就使得众多力学工作者致力于找到一个可 以通用的研究非线性振动问题的新方法。在这种前提 下，规范形理论便重新引起了人们的重视。使得规范 形方法的研究具有一定的理论意义和良好的应用前 景。 由于非线性振动问题的复杂性，运算工作量浩大， 用任何传统的方法都无法进行高阶的非线性分析。而 规范形理论则为我们提供了一个强有力的分析工具， 如果辅之以数值分析方法，效果将更为理想。 规范性方法的计算量也非常大，随着计算机功能 的发展，规范形理论得到飞速的发展，使将该方法拓 展到一般的非线性问题成为可能。 1 4当前规范形理论研究的课题及本文工作 如前所述，非线性振动理论在不断发展和完善，一 些非线性系统的运动形态的机理被逐步认识。国内外 大量的力学工作者在奋力攻克一个又一个难关。目前 研究多自由度系统的非线性振动问题：在多频激励力 作用下系统的非线性振动特性；强非线性振动的近似 求解和解的性态；非线性系统的分岔、突变理论及混 沌特性和机理；以及如何用非线性振动理论解决工程 技术中的问题等等是非线性振动研究的重点。这些问 符文彬：规范形方法的理论与应用研究 题都可以应用规范形理论研究。 本文对规范形理论的三种方法进行了分析和比较一。共轭算子 法计算简单，主要的计算为代数运算，易于理解和掌握。但是无 法对非自治系统进行处理，使得其应用范围局限于研究自治系 统。 而矩阵表示法则主要用于研究高维非线性自治系统，并且计 算过程复杂，必须重复计算高阶矩阵以及代数方程组，极易出错， 且只能用于研究自治系统。l i e 代数中的s l ( 2 ，i r ) 表示法由于 难于理解，且计算比共轭算子法和矩阵表示法更为复杂，现已基 本淘汰。在本文的工作中主要运用了共轭算子法和矩阵表示法。 在本文第二章中用规范形理论的共轭算子法计算了 带平方项非线性系统的规范形系数。n a y f e h 27 】计算了 d u f f i n g 方程的近似解，响应频率即为线性基频彩，而在 本文中响应频率为未知，并且所设的非线性变换要优 于【27 】，采用本文提供的方法，可以方便的获得方程的 渐近解和定常解，并且可以分析解的稳定性。作为算例， 分析了i + 2 甜= 一卢h2 、舀+ 2 甜= 工面一芦h 2 、订+ c 0 2 甜= ( 1 一甜2 ) 打一卢h 2 等 非线性振子，结果与数值解吻合。 在第三章中主要用规范形理论中的共轭算子法和矩 阵表示法共同研究了非线性强迫振动系统的近似解，并 将结果与数值解相比较，可以确认其近似解的精度很高。 qcz h a n g 和l e u n g 2 3 贝0 用规范形理论中的矩阵表示法研究了 强迫振动的h o p f 分岔，然而其求解过程极为复杂。而本文的方 法显得较为简单。由于采用了符号计算软件，其计算过程得到了 极大的简化，在文中计算了方程“+ ”一a ( 1 一2 ) 0 = f s i nv t ， + 国2 “+ 脚+ 0 0 , 3 = f c o s v t 所控制的系统，得到了与数值解趋于一 致的结果。 6 湖南大学固体力学专业硕士毕业论文 在第四章将规范形理论拓展用于研究参数激励方程 的近似解。在文中将规范形理论中的共轭算子法与矩阵 表示法联合使用来研究参数激励系统。对于给定的系统， 只要通过简单的代数运算即得到近似解。本文研究了由方程 i + ( 占+ e c o s v t ) u = 0 ， i + ( 占+ 6 c o s v t ) u + 鲫3 = 0 i + ( 占+ s c o s v t ) u一( 1 一u 2 ) n = 0 和 i i + ( 占+ s c o s v t ) u g ( 1 一u 2 ) 女 + c o d ：+ f l u 3 = 0 所控制的系统，所得到的结果与数值仿真结 果吻合得很好。由于参数激励系统的复杂性，在这里只讨论 了非参数共振情况。 规范形理论利用变换将常微分方程进行简化是其中的一种 重要方法。它不但用于常微分方程的一般定量研究，而且是研 究常微分方程的分岔的基本工具。本文中笆百者雨f 田规范形 理论和奇异性理论分析了非线性系统。+ = 肼一励2 虬余维? 分岔。得到了系统的转迁集和分岔图。了解了非线性系统的动 力性态，随系统参数变化的拓扑结构。 本文的羔要创未j 点名 1 提出了新的非线性变换式，、气交搀比以往应用的变换更 具有普遍性。用规范形理论首次研究了含平方项的非线性系 统，求出了该系统的近似解。数值解与近似解比较，殴方法孝 较高的精度。 2 n a y f e h 将线性基频确定为响应频率，本文将未知 频率作为响应频率，使非线性变换更具有优越性，使规 范形理论应用更广泛。 3 将非线性系统转换为一个四维的阶系统，再进 行非线性变换，首次将规范形理论中的共轭算子法和矩 阵表示法联合应用研究了强迫振动问题。 4 对于另一类非自治系统参数激励系统，本文用 规范形理论求出了系统的近似解。在已有的文献中，尚 未见用规范形理论研究参数激励系统的报道。 符文彬；规范形方法的理论与应用研究 5 用规范形理论求出了非线性系统的分岔响应方 程，用奇异性理论得到了系统的转迁集和分岔图。对含 平方项和阻尼项的非线性系统的分岔研究尚属首次。该 方法对含平方项的d u f f i n g - v a nd e rp o l 方程等控制的 系统同样适用。 本文虽对规范形理论进行了一些研究，并且将其应用范围 进行了拓展。但规范形理论还有待于推广至多维非线性 振动系统，强非线性振动系统，多频激励下的非线性 振动系统，用规范形理论来研究非线性系统的分岔、 混沌特性等等领域。 湖南大学固体力学专业硕士毕业论文 第二章用规范形理论研究含平方项的非线性振动问题 2 1引言 规范形理论的基本思想就是引入一系列的非线性变换，将常 微分方程进行简化，使之可以得到一个线性的、简化的规范形，然 后求得近似解，并进行解的拓扑性质分析。其中的主要工作是进 行非线性形变换和进行代数运算。 j e z e q u e 和l a m a r q u e f 】9 ， n a y f e h 【2 7 ，z h a n g 和h u s e y i n 2 5 ，z h a n g 和l e u n g 【2 0 、2 3 、6 5 、 6 6 ，张伟【2 6 】等人用规范形研究了许多非线性振予的弱非线性 解，张琪昌、陈予恕等人【2 8 】用共轭算子法分析了d u f f i n g v o nd e r p o i 振子的强非线性解。但是在这些文献中都没有涉及到含平方非 线性项的问题，本文将规范形理论中的共轭算子法拓展用于研究 含平方项非线性振子z ￥+ t o 2 w = f ( u ，女) 的渐近解。n a y f e h 【2 7 】计算了 d u f f i n g 方程的近似解，响应频率即为线性基频国，而在本文中响 应频率，为未知，并且所设的非线性变换要优于 2 7 】，采用本文 提供的方法，可以方便的获得方程的渐近解和定常解，并且可以 分析解的稳定性。作为算例，分析了打+ c 0 2 z ，= 一励2 、 行+ 国2 = z ( 1 一”2 ) 打一卢h 2 、+ 2 ”= ( 1 一“2 ) n 一倒2 一届3 等j 线性振子， 结果与数值解吻合。 2 2新的非线性变换公式 考虑下述二：阶常微分方程 + t 0 2 ”= f ( u ，“l( 21 ) 用复规范形方法研究上述_ 芎程，引入复变量l ，将方程通过复变换 成一阶方程组。 符文彬：规范形方法的理论与应用研究 “= 善+ 善 一 ( 2 2 ) 弘1 亿， 孑= 扣知 一 善嘲- 善+ i 国i 孑( 0 2 州+ 击厂 ( 2 4 ) 善= 叩+ ( 叩，7 )( 2 5 ) 其中口为时间t 的复未知函数，h 为奇函数，将( 2 5 ) 式代入( 2 4 ) 呼= i c o - r 1 + i w ，l h 去，+ 堕2 ( 生0 ) 1 2 - 1 ) 枷， 亿。， a h 砌 一磊。q 叩+ 丽q 聆 l 。 、 1 湖南大学固体力学专业硕士毕业论文 本= 臣叩月。 ( 2 8 ) 其中省略了高阶部分，( 2 8 ) 式中有一个非线性项，其中一一2 项 为非共振项，可令其系数为零。将方程( 2 7 ) 及其共轭式代入 ( 2 2 ) 式，可以得到”的表达式，其中有两项为永年项，令其系 数为零，可以得到两个方程这样有一个方程可以求解皿。 2 3 求含平方项的非线性振动系统近似解的算例 e x a m p e2 1 考虑带平方项的非线性系统，取厂( n ，“) = 一廓2 ，令 =：alrl。竹+a2n+aarl2。nh+2叩a+4rlqn2。+2a玎5+r72+hcl26n+2hoa jr l + a 3r l矿 ( 2 9 ) = 护+ o h 2 叩+ q o2 玎+ 甩2 + 矿 、7 将上式代入方程( 2 6 ) ，有 睁：玎( 生+ ! 型+ i a 2 0 c o _ _ _ 芝2 + i o j ii a t i 一i a 2 0 c a 1 一2 国l2 国l2 国l 22 2 7 + 疗f 望+ i a w c o 望+ i a f f 0 2 i c o t i a l o c o t + 3 t a z c a 1 2 q2 q2 d a i 222 。 + 叩2 ( + 燮+ i a 6 0 p + i a 扣。哩+ a 4 0 o j 2 i a 3 c o i a 4 0 国l ) 耐( + + 垂+ 盔一堂+ 塑、q 1 lo ) i2 国i2 d a l 22 。 + 叩2 ( 旦+ 堂+ i a z o 型f l + l a s c a r _ 2 + 塑起3 i a s v a l i a 6 0 v a l1 2 l2 i2 l 2 国i2 l 22 + n 2 ( 里+ i a l o p + 型+ 塑也+ i _ 0 6 0 j2 一煎堕+ 塑盟、 2 c a ,2 q2 q2 a h 2 c a l 22 。 根据规范形理论，在方程( 2 。1 0 ) 中省略了r 的三阶以上的 项。式( 2 1 0 ) 中与r ，矿一成正比的项为共振项，可令非共振系 数等于零，即可得到如下四个方程 符文彬：规范形方法的理论与应用研究 蟹+ 堕筻+ ! 型i ( o i i a l o c o j + 3 i a 2 c o 型：o 2 c o l2 c o i2 c o i 222 i a s o f l + i a 6 f l + i a 3 0 0 芷2 + 望一i a 3 0 0 9 1 + 三塑：o 箬2 c o + 垂2 c o + 等2 。0 ：等2 c o ：警2 c o 一塑2 一塑2 ：。q 1 1 ll ill 。 一i p + i a , o 燮+ i a 2 p + i a s o c o 生_ 2 + i a 6 o j 2 一! ! 盟+ 5 i a 6 a 幽：o 将方程( 2 5 ) 和方程( 2 9 ) 代入方程( 2 2 ) 的第一式，有 舻：z 麓三等墨冀z ：2 亿 + ( 口3 + 口4 0 ) 叩2 珂+ ( 口5 + 口) 叩2 + ( 口s o + 口6 ) n 2 、7 令永年项r ，口2 h 的系数为零，有 口l + a 2 0 = 0 a 3 0 + a 4 。0 ( 2 1 3 ) 将上面四个方程( 2 1 1 ) 与方程( 2 1 3 ) 联立，并考虑其共轭方程， 求解得 2 一2 q 2 靖 铲志 铲一丽i 瓦3 p 两 国2 一2 吒一i ”一葡( 2 1 4 )q 一面矗确2 1 4 ) 铲一面而碲 通过以上变换，方程( 2 1 0 ) 可化简为仅含共振项的最简形式， 即 睁= 丛兰学刁+ ：彘叩2 珂 ( 2 1 5 ) 塑堕奎堂旦堡垄堂皇些堡主望些丝兰 将方程( 2 14 ) 代入方程( 2 1 2 ) ，有 “= 叩+ + ( 口5 。+ a 6 ) 印2 + ( 口5 + a 6 0 ) 玎2 ( | 2 ：1 6 ) 将方程( 2 1 4 ) 代入方程( 2 1 6 ) ，有 “= ”+ n + 去”2 一二i _ n 2 将上式化为极坐标形式。令 力= n = 口e 州 口p 一州 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 将方程( 2 18 ) 代入方程( 2 15 ) ，并且将实部与虚部分离。有 ! ：0 a q 一百c o + o 7 1 2 一丢和 2 劬一峨+ 4 4 由此可以求得乱与口。将方程( 2 18 ) 代入方程( 2 1 7 ) 有 c o s ( 咖瓦c o s ( z 州) 即为非线性动力系统，( n ，“) = 一励2 的稳态的周期解。 ( 2 1 9 ) 符文彬：规范形方法的理论与应用研究 ) 相平面图( 1 本文近似解，2 数值解) 、八、， vvv2 v “l 。i 时间历程图 本文近似解 2 八 u 7 。 时间历程图 数值解 图2 1 f ( u ，甜) = 一肪2 振子的相平面图和时间历程图 图21 为f o ，) = 一励2 振子的相平面图和时间历程图，其中参 数= 01 ，国= 1 其初始值取”。= 1 。 e x a m p l e2 2 考虑范德波一杜芬系统，取f ( f i ，) = ( 1 一“2 捕一励2 令 警=tit卅+t2n+忡aff扩2n+：忡e1=。2h荔嚣：掰+ c 7 = o4 + z z ， o = 口l o 打+ 口2 0 叩+ 口3 0 胛2 叩+ 口4 0 ，72 + 口5 0 聍2 + 口6 0 7 7 2 + 肝4 + 日8 0 ，7 4 、7 1 4 湖南大学固体力学专业硕士毕业论文 将上式代入方程( 2 6 ) ，有 c 考+ 警一丁a 2 0 f l + 垡2 m , + 哥+ 等+ 等一竽一半r + 岸一型+ 型+ 生+ i a l o o ) 型+ i a 2 a 2 i a ) i 一一i a m o j j + 一3 i a 2 , 】 22 2 z lz m l2 l 222 小考- a l f l 一下a l o , i j 一丁3 a z , u + a 2 0 d4 - 等一t a o , u + 型0 9 1 + i i a f l + 等2 ( 0 + 等2 ( o 一塑2 一塑2 ) il 彬( 知警+ 半q 一下a 3 0 f l + 警+ 警+ 百i a 6 f l + 型+ 望一i a 3 0 a + 三塑! 堕、 2 ( o l2 t o i 22 + 目2 ( 型一型+ 里+ 堂+ 燮+ 望+ i a f o 2 3 i a s c a i i a 6 0 0 ) i1 22 2 ( 0 i2 ( o i2 i2 ( o l2 ( o i 22 + ”2 ( 一型+ 型+ 旦+ 型+ 燮+ 亟尘+ i a 6 a ，2i a 5 0 d - o t + 5 i a , r a 竺1 22 z 国iz lz 田i2 i2 m l 22 + 口( 3 a s l j 型+ 型一型+ i a t o ) 2 + 型7 i a t a i i a s o w , ) 2222 z l2 出l 22 + ”4 ( 3 a s o + 一a d j 一型+ 型+ 亟生+ j a s ( 0 2 一i f l t o o ) i + 丝照1 ( 2 2 2 ) 在方程( 2 2 2 ) 中省略了口的三阶以上的项。令非共振项系数等 于零，可以得到： 1 5 符文彬：规范形方法的理论与应用研究 一型一a i o t + ! 型+ ! 竺：+ i a l 0 6 ”2 + i 0 2 0 ) 2 一塑一i a , o m l + 3 i a 2 m 型：o 222 2 w l2 m l2 q 222 ：+ a l o 2 + 警+ 3 a 2 2 0 f l - a j t - 警+ a 2 , e + i a q $ o 燮+ 百i a 6 f l + i 0 3 0 ( - o 型+ i a 4 o ) 2 一i a 3 0 m l + 3 i a 4 m 燮：o 2 m i2 m , 22 ， 型a 6 0 l + 里+ i a , _ f l _ f l + 燮+ 型+ 型一业一堂：o ( 2 2 3 ) 22 2 q2 m l2 m r2 q2 m i 22 一型+ 型+ 望+ i a , o 型+ i a 2 f l + ! 竺也+ i a 6 m 2 一i a s o r n l + 5 i a 6 m 幽= o 22 弛掘2 q2 q2 q 22 一_3as,u一一a60a+att aaou+型+iotoo)2 7 i a t m , 一i a s o m l = o 22 22 2 m ,2 m , 22 3 a s o “+ a 6 , a t o f l - + 型+ i a t o o j 2 _ + i a s a 2 一i a o m , + 9 i a , m 型= 0 2222 2 m i2 m 22 。 将方程( 2 2 3 ) 与永年项方程( 2 13 ) 联立，并考虑其共轭方程 求解得 a= i c e2 + 舻l i m l 2 2 ( 一2 i r a l ) 6 0 l im。一izmliml。tt= 一l l 2 ( a + 2 i r a l ) 6 0 t 吒= 一( 2 p 2 2 3 a 2 4 + 6 枷3 2 l 一2 i p m 4 l + 8 p2 1 2 + 5 2 2 国l 2 + 6 枷3 功i3 + 6 i b m 2 脚i3 + 8 2 脚1 4 + 8 枷国i 5 ) ( 2 ( a + 2 i 0 1 ) ( 一2 i 0 1 ) 2 q ( i c 0 2 + 2 t i n l 4 i 0 12 ) ) a 4 = 一( 一2 p2 2 + 3 2 6 0 4 + 6 枷3 6 0 2 0 7 l 一2 i b m 6 0 i 一8 2 1 2 5 z 2 6 0 2 1 2 + 6 0 3 国f 3 + 6 驰国2 国1 3 8 , u2 彩1 4 + s l u r o , s ) ，( 2 ( 一2 i r 0 1 ) ( + 2 i a ) 1 ) 2 6 0 1 ( 一i m 2 + 2 z m l + 4 i r a i2 ) ) 口5 一猫 口，= 吼2 3 口 一2 啦国l 一4 m , 2 ) 2 一2 ( - i r a + 2 芝a a i + 4 i r _ 0 1 2 ) ( 一泐2 + 2 q 一4 7 柏( 蛔2 + 4 q 一1 6 的 (224)6iflp m 、。 ( - i c 0 2 + 2 q + 4 i m z 2 ) ( - u o2 + 4 t i m l + 1 6 i r a , 2 ) 通过以上变换，方程( 2 2 2 ) 可化简为仅含共振项的最简形式 6 湖南大学固体力学专业硕士毕业论文 有 0 3 2 + c o l 2一 栌忑印 州瓦瓦丽-i2ifl面2(t2+4icol2面)2ico2 l e o ) ( i c o 瓦2 i c o 鬲) c o ( 2 2 5 ) ( 一1 ) 2 ( 卢+i2 + 2 ( 一 l l 卜 + t ( c o 2 + c o j 2 ) ( 3 i 了t c o 2 + 6 t 2 c o l - 百2 c a 2 c o l - 8 i a c o , 2 + 8 c 0 1 3 ) 切2 九 ( t 一2 l e o i ) 2 ( + 2 l e o i ) ( i o j 2 + 2 ( z 一2 i d 0 1 ) c o l 3 。 将方程( 2 2 4 ) 代入，得 一再南矿 2 2 i , u o j l 一4 0 j i2 ) ! ! 丝竺! ( o j2 + 2 i ( a + 2 i a ，1 ) c 0 1 ) 洄2 + 4 扭i 一1 6 c a l2 ) ( 2 2 6 ) 将方程( 2 1 7 ) 代入方程( 2 2 5 ) ，将上式实部与虚部分离。 为得到稳态解，令方程中a = 0 ，有 一6 2 2 + 1 2 2 l 2 2 4 c o 2 1 2 + 4 8 0 ) i = 3 a 2 2 c o 2 一a 2 0 ) 4 + 3 a 2 2 c o l2 + 3 a 2 2 c o l 2 + 4 a 2 国1 4 2 a 2 c 0 4 + 4 4 i2 + l o , u2 m 2 l2 8 c 0 4 l2 + 8 2 国1 4 + 4 0 c 0 2 1 4 ( 2 2 7 ) 一s z 脚，6 = 一口2 2 2 + ；a 2 f 1 2 4 _ 4 a 2 2 0 j i 2 - - ；口2 2 。2 4 a2 u 2 4 由方程组( 2 2 7 ) 可以求得劬与a 。将方程( 2 2 6 ) 化简，得 1 7 式( 2 2 8 ) 为非线性系统，( 曲，= 肛砧2 ) l i 一肛2 的稳态周期解。 ( 2 2 7 慧慧笛韭姥0 1 , 抖p 晶= o 。0 1 二，耋且令线性基频吲，通过方程 率但卸a = 删2 钢非紫髦絮墅：王嚣：蔷箸主翥 川0 1 。7 4 。0 6 抒1 4 性2 9 盘竺曼苎。频- 一p u - - u 锄) u - - ：t ，d - - - - ! - - , v l v l * u：芸箸 伯芸芸絮：篓笔芝苎茎值解时取初始值喇地。淼t u 1 = 2 一_ 用 系统的稳态周期解为： ”。”“ 。 拈竺741c0螂010760+00656592e00 s ( 2 0 2 1 5 l ，) 0 0 0 1 + 6 1 5 1 c o s ( 4 0 4 3 0 3 0 、 7 相平面图 w l 门八厂 二厂 l 。 n 可 r vj u ， 8 1 2 湖南大学固体力学专业硕士毕业论文 2 时间历程图 图2 2 厂( 矗，“) = 卢( 1 一“2 ) 一p u 2 的相轨迹和时间历程图( 1 数值解，2 渐进解) e x a m p l e2 3 考虑平方项和立方项的联合作用的范德波一杜芬系 统，取厂( 1 i ，“) = 4 1 1 , 1 2 弦一倒2 一肛3 令 h = a ：l + 口2 拧+ a ：1 2 玎+ a j l n 2 + a s r l 2 + a 6 n 2 + a t r l 3 ：+ 口l a 。s h h 3 + + a g r l 4 + a n 24a20rl+a30nr + a 4 。，7 2 n + g s 。n 2 + a 6 d 2 ( 2 2 9 ) 2 口l o h + 2 o ，7 2o n 2 2 + a t + o s o r 4 + a g o n 4 + q l o r 4 同样地可求得： 1 9 符文彬：规范形方法的理论与应用研究 一3 脚2 t 1 ) i + 8 3 m j3 4 y e2 甜i3 + 3 2 , u d a j 5 = ；口2 助3 珊j + 2 3 2 j + ；咖v ”j l a 2 t u o ) 4 c o l + 6 口2 跏。3 + 2 3 0 ) 1 3 t ；a 2 小3 一 + 8 【f c o2 m 1 3 + ；a2 2 出l3 + 8 u c o l 5 + 2 a2 m l 5 2 山2 + 2 咖2 印+ 8 r a 2 r a t _ - 3 2 玎一扣2 小；卿2 2 q 。3 + 2 出4 + ；a 2 , u 2 2 - 2 a 2 口2 l2 + 3 a 2 肋2 i2 3 a 2 助2 吐，1 2 3 2 2 l 2 一；口2 2 2 i 2 + 4 m 4 i 2 1 2 a 2 p o , 1 4 4 u2 i 4 2 a 2 2 0 3 1 4 1 2 w2 1 4 1 6 wj 6 非线性系统厂( 女，”) = 4 1 一“2 ) 一倒2 一肛3 的稳态周期解为： “= 口：8 ( ? + 詈三譬c 。s ( 2 ，) + 喜兰譬c 。s c 3 - n 。：， + 嚣如c 。州， 卜“叫 g l i = 一口国2 + 4 口q 2 9 1 2 = + 4 2 q 2 8 国2 q 2 + 1 6 c o l 4 9 2 l = 2 a 2 2 4 一钆2 国6 一2 。一1 2 a 2 4 0 ) t 2 2 6 a 2 卢2 国2 q 2 4 届“2 国2 劬2 + 8 a 2 1 2 + 17 f l a 2 4 q 2 4 u 4 国o ) 1 2 4 伽6 q 2 + 2 2 2 国6 q 2 + 2 4 , u 2 c 0 6 q 2 + 3 6 届u 4 q 一1 0 4 a 2 0 7 2 0 , 7 t 4 一1 0 4 弘2 国2 q 4 + 5 6 j u 4 国2 劬。 + 6 8 f l w 4 q 4 - i 1 3 a 2 4 q 4 + 2 8 8 a 2 0 3 , 1 6 + 2 8 8 p a 2 0 ) t 6 + 6 0 , u 4 t o t 6 - 3 5 2 p 2 0 ) 1 6 + 10 4 , u 2 2 q 6 + 5 7 6 f l w i 。+ 2 4 0 j 2 q 。 湖南大学固体力学专业硕士毕业论文