（基础数学专业论文）2vk1设计的可解线传递自同构群.pdf

捅要 二十世纪八十年代初，b u e k e n h o u t 、d e l a n d t s h e e r 、d o y e n 、 k l e i d m a n 、l i e b e c k 和s a x l 【3 】成功地分类了旗一传递设计旗一传递 设计被分类以后，人们自然开始考虑线一传递设计的分类问题对线 一传递设计的自同构群的研究正日益引起人们的兴趣，最近c a m i n a 证明了线性空间的线一传递且点一本原自同构群的基柱( s o c l e ) 是初 等交换群或几乎单群l 们在此基础上，c a m i n a 提出了一个雄心勃勃 的计划，即分类所有区一传递2 一( v ，后，1 ) 设计 在文献 3 0 中作者得到如下定理：给定正整数后( 忌3 ) ，设d 是一 个2 - ( v ，露，1 ) 设计，g 么甜( d ) 是可解区一传递的，则当v ( k 3 4 + 1 ) 础( 扣1 ) ) 时， 要么g 是旗一传递的，要么g a f l ( 1 ，v ) 仔细研读该文献后，我们发现 定理中给出的界( k 3 4 + 1 ) 删扣1 ) ) 是比较粗糙的，如果附加一些条件，我们 有可能把这个界缩小本文正是这方面的研究成果 全文主要由三部分组成：绪论、基础知识和研究成果介绍绪论 部分介绍了群论与设计( 线性空间) 理论的研究历史与现状由此我们 知道对区一传递设计的分类是当前代数学和组合设计的热点和前沿课 题之一：基础知识部分介绍了关于群论的相关基础知识这些是本文 所要用到的最基本的概念，从而我们建立起了本论文的基本理论体系 和构架：研究成果介绍是本文的精髓，我们介绍了2 - ( v ，七，1 ) 设计的可 解线一传递自同构群的一些性质，结合不等式证明技巧，最后证明了以 下主要定理： 给定正整数后( 七3 ) ，设g 是一个2 一( ，k ，1 ) 设计的可解区一传递自 同构群若v ( 七( 七一1 ) 2 1 ) 2 则v = p ”，其中p 为素数进一步，除了 个别例子之外，当聆= 芹劈o 6 ) 时，g 是旗一传递的或者 g a v l ( 1 ，p ”) 关键词设计，本原因子，区一传递，可解群，自同构 a bs t r a c t b u e k e n h o u t ，d e l a n d t s h e e r , d o y e n ，k l e i d m a n ，l i e b e c ka n d s a x l h a v es u c c e s s f u l l yc l a s s i f i e dt h ef l a g t r a n s i t i v ed e s i g n ss i n c et h ee a r l y 19 8 0 s a f t e rt h a tp e o p l en a t u r a l l yp r o c e e dt ot h i n ko fc l a s s i f y i n gt h e b l o c k t r a n s i t i v ed e s i g n s ，w h i c hi n c r e a s i n g l ya r o u s e sp e o p l e se n t h u s i a s m r e c e n t l y , c a m i n ah a sp r o v e dt h a t i fgi sb l o c k - t r a n s i t i v ea n d p o i n t p r i m i t i v e ，t h e nt h es o c l eo fgi se i t h e re l e m e n t a r ya b e l i a ng r o u p o rs i m p l eg r o u p 引c a m i n as u b s e q u e n t l yp r o p o s e da na m b i t i o u sp l a n ， n a m e l yt oc l a s s i f ya l lb l o c k - t r a n s i t i v e2 一( y ，k ，1 ) d e s i g n s i n 【30 1 ，t h ea u t h o r h a sp r o v e dt h a t l e tk 3b eaf i x e dp o s i t i v e i n t e g e ra n d ( g ，d ) b eap a i r , w h e r edi sa2 一( v ，k ，1 ) d e s i g na n dgi s a n a u t o m o r p h i s mg r o u p o fds u c ht h a tgi ss o l v a b l ea n d b o c k - t r a n s i t i v eo nd i f ， ( 七死+ 1 ) 伊七- 1 ) ，t h e n1 ，i sap o w e ro fap r i m e p a n dgi s f l a g t r a n s i t i v eo rg a f l ( 1 ，v ) a f t e rs t u d y i n gi tc a r e f u l l y , w ef o u n dt h a tt h eb o u n dg i v e ni nt h a tt h e o r e mi sc o m p a r a t i v e l yr o u g h i t i sp r o b a b l et ol e s s e ni t ，i fw ea p p e n ds o m ec o n d i t i o n s t h i st h e s i si sj u s t b a s e do ni t t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h e b a c k g r o u n da n dc u r r e n tr e s e a r c hs i t u a t i o no ft h eg r o u pt h e o r ya n dd e s i g n ( 1 i n e a rs p a c e s ) t h e o r y , t h e r e f o r ew el e a r nt h a tr e s e a r c ho nb l o c k - t r a n s i t i v e d e s i g n si so n eo fc u r r e n th o ts u b j e c t i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et h e e l e m e n t a r yc o n c e p t st h a tw i l lb eu s e di nt h i st h e s i s t h e nw ec o n s t r u c tt h e b a s i ck n o w l e d g es y s t e mo ft h i st h e s i s t h el a s tc h a p t e ri st h ek e r n e lo f t h i st h e s i s w ei n t r o d u c es o m ep r o p e r t i e so fs o l u b l eb l o c k t r a n s i t i v e 2 一( ，k ，1 ) d e s i g na n df i n a l l yp r o v e dt h em a i n l yt h e o r e mi nc o m b i n a t i o n w i t ht h et e c h n i q u eo f a t t e s t i n gi n e q u a l i t i o n l e tk 3b eaf i x e dp o s i t i v ei n t e g e ra n dgb eas o l u b l eb l o c k - t r a n s i t - i v ea u t o m o r p h i s mg r o u po f2 - ( v ，k ，1 ) i fv ( 七( 七一1 ) 2 - 1 ) 2 ，t h e nv = p ”， w h e r e p i sap r i m en u m b e ra n d 刀i sap o s i t i v ei n t e g e r f u r t h e r m o r e ，i f n = 跌l 跌2 醭bs6 ) ，e x c e p tf o r s e v e r a l s p e c i a li n s t a n c e s ，t h e ngi s f l a g t r a n s i t i v eo rg a f l ( 1 ，p ”) k e yw o r d s d e s i g n ，p r i m i t i v ed i v i s o r ，b l o c k t r a n s i t i v e ，s o l u - b l eg r o u p ，a u t o m o r p h i s m 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明。 储繇奎! 巨象眺丛年卫月生日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文。对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。 作者躲避导师躲独吼坐年月日 硕七学位论文第一章绪论 1 1 群与设计的历史背景 第一章绪论 在组合设计领域里，设计是一个关联结构，而对于一个统计学家来说，设 计是一个试验方案因此，在这种特殊的背景下，设计的理论在不同的数学问 题下得以发展关于设计的系统研究也许始于公元1 7 8 2 年e u l e r 时代至十九世 纪之间【17 1 p l u c k e r 研究了一类具有3 长区的2 一设计【3 7 ，3 甜，它们与一个平面上的 三次曲线有关w o o l h o u s l 4 5 】和k i r k m a n1 2 5 2 6 1 对同样的设计进行过研究s t e i n e r 也研究了这些设计及一些，一设计( 现在称之为s t e i n e r 系) 1 4 0 1 群与设计理论的相互影响最突出的表现之一在所谓的m a t h i e u 群：1 8 6 1 年， m a t h i e u 构造了几个多重传递群i 3 3 1 m a t h i e h 在具有1 2 和2 4 个点的集合上分别 定义了5 一传递群必，和从。，同时也给出了这两个群的生成元集合，但是他的 计算是非常复杂的，因此很难验证直到1 9 3 8 年，w i t t 成功地构造了一个 5 一( 1 2 ，6 ，1 ) 设计和一个5 一( 2 4 ，8 ，1 ) 设计【4 3 朋l ，并且证明了它们的自同构群分别是 m ，和从。，5 一设计的结构对m a t h i e u 群给出了一个新的更好的解释因此，群 论领域和组合设计理论互相影响互有贡献，对设计的自同构群的研究可以帮助 我们发现新的设计反过来，设计的自同构群又可以帮助我们更清楚地了解某 些群的结构 另外，自从八十年代初有限单群分类问题解决以来，有限群的面貌发生了 很大的变化，抽象群论和置换群论的一些重大问题获得了解决，用群论的现有 成果和方法去研究组合结构，为组合数学注入了新的活力，也成为现在群论界 的一个新趋势九十年代初，三位群论学家和三位组合学家合作完成的旗一传递 2 设计的分类定理可以作为这方面的突出表现同时，在这些过程中提出的群 论问题也是对群论研究的新挑战 旗一传递设计分类完成以后1 2 , 3 1 ，人们开始关注正则线性空间( 线一传递线性 空间) 目前国际上对正则线性空间，即2 一( e k ，1 ) 的分类的研究是当前群论与 组合论的热点和前沿课题之 1 2 设计的自同构群的研究现状 一个线性空间s ，是一个点集合p 和线集合构成的关联结构，使得p 中 任何两点都恰好包含在唯一的一条线上设g 是线性空间s 上的线一传递自同构 l 硕士学位论文第一章绪论 群，这意味着每条线都包含同样数量的点，我们将这样的线性空间称为正则线 性空间，即通常所说的2 一( v ，k ，1 ) 设计而一个r 一( 1 ，k ，旯) 设计d = ( p ，三) ( 简称，一 设计) 是由，个点的集合p 和它的一些k 一元子集( 区或线) 组成的集合，且满 足对于尸的任意f 一元子集，恰好有力个区( 线) 包含它设万是点集合p 上一个 置换，若万把d 的区组仍然变为它的区组，则称刀是d 的一个自同构，d 的全体 自同构组成一个群，记为a u t ( d ) 1 2 12 一传递群与设计 有限单群分类定理完成以后，群论中许多悬而未决的问题得到了解决首 先是2 一传递群的分类获得了解决k a n t o r 利用有限单群分类定理分类了具有 2 一传递自同构群的2 一( v ，k ，1 ) 设计( 正则线性空间) 我们称这种设计为2 一传递设 计1 2 3 1 定理1 2 1 1 设d = ( p ，) 是2 一( v ，k ，1 ) 设计，g 是它的2 一传递自同构群( 作 用在点集p 上) ，则下列之一成立： ( f ) d = p g ( d ，g ) ，即g f ( q ) 上的d 一维射影空间，d 2 且 p s l ( d ，q ) g p f l ( d ，q ) ，或者( d ，g ) = ( 3 ，2 ) 且g = 4 ； ( f f ) d = a g ( d ，q ) ，即g f ( q ) 上仿射空间，d 2 且g 是a f l ( d ，q ) 的2 一传递 子群； ( i i i ) d 是h e r m i t i a nu n i t a l ，它是这样的一个设计，点和区分别是g f ( q ) 上的3 一维空间的9 3 + 1 个迷向卜维空间和非奇异2 一维空间，且 p s u ( 3 ，g ) g p f u ( 3 ，g ) ； ( f v ) d 是 r e eu n i t a l ， r e e ( q ) = 2 g2 ( g ) g a u t ( r e e ( q ) ) ， 这里 q = 3 2 抖1 3 ，p 是一个9 3 + 1 个点的集合，三是一个g 中的对合的稳定点的集合； ( v ) d 是两个n o n d e s a r g u e s i o n 仿射平面，且后= 2 7 ( h e r i n g 平面1 1 9 j ) 或 k = 9 ( n e a r f i e l d 平面) 1 6 , 1 8 1 ； ( v f ) d 是设计2 一( 3 6 ，3 21 ) 设计，g = 霉：s l ( 2 ，1 3 ) 1 2 1 1 1 2 2 旗一传递设计 设计d = ( p ，l ) 的一个对( p ，z ) ，这里p p ，z l 且p z 设计d 称为旗一传 递的，如果它的自同构群g 作用在d 的旗集合上是传递的其中一类重要的旗 一传递设计是具有参数t = 2 和五= l 的情况，h i g m a n 和m c l a u g h l i n 在1 9 6 1 年证明 了旗一传递2 一( v ，k ，1 ) 设计的自同构群作用在p 上是本原的【2 2 1 ，即d 是点一本原 的 2 硕士学位论文 第一章绪论 到目前为止，我们几乎分类了旗一传递2 - ( v ，尼，1 ) 设计第一个论断是，它的 自同构群是点一本原的0 n a n - s c o t t 定理在这里起着与有限单群分类定理同样 重要的作用，这类设计和群的分类已由b u e k e n h o u t 、d l a n d t s h e e r 、d o y e n 、 k li e m a n 、l i e b e c k 完成【3 】，但最后的证明是由l i e b e c k 给出的【2 引 定理1 2 2 1 设d = ( 尸，上) 是一个2 一( ，七，1 ) 设计，它的自同构群g 是旗传 递的则下列之一成立： ( f ) d 是定理1 2 1 1 中之一； ( f f ) d 是w i t t b o s e s h r i k h a n d e 空间，即p s l ( 2 ，q ) sg p f l ( 2 ，q ) ，这罩 q = 2 ”8 ，p 是一个q ( q 一1 ) 2 个点的集合，三是e s l ( 2 ，g ) 中的对合的稳定点的 集合； ， ( f f f ) d 是n o n d e s a r g u e s i o n l u n e b u r g 仿射平面，它的阶是七= 2 2 川【2 7 】； ( ，) 1 ，是一个素数方幂，g a f l ( i ，v ) 对于情形( f 1 ，) ，他们没有给出彻底的分类，但有许多例子，如广义k a n t o r m 5 1 系和n e t t o p 7 , 3 8 】系 上述定理在有限几何中有重要的应用在有限射影平面中，d e l a n d t s h e e r 和d o y e n 利用这个定理研究了s e m i o v a l s 【”1 和极大弧1 1 1 1 1 2 3 区一传递设计 在区一传递设计这个领域中，最近有了一些关于区一传递2 一( v ，尼，a ) 设计的新 结果b l o c k ，r e 证明了如果f 一设计的自同构群作用在它的区集合上是传递的， 那么它也是点一传递的i 现在我们已经知道旗一传递2 一( v ，尼，1 ) 设计一定是点一本 原的陇1 ，但无论如何，区一传递2 一( v ，k ，1 ) 设计不能推出点一本原d e l a n d t s h e e r 和d o y e n 证明了 定理1 2 3 1 旧设d 是一个x e - 4 专递，非点一本原的2 - ( v ，k ，五) 设计，则 吲1 ) 2 r a y c h a u d h u r i 和w i i s o n 证明了一个区一传递4 一设计的自同构群是2 一齐次 的，因而是点一本原的【3 9 1 因此，对于个区一传递，非点一本原的f 一设计来说， 参数，至多为3 在文献 5 中，c a m e r o n 和p r a e g e r 证明了：对于区一传递非点一 本原3 一( v ，霓，五) 设计，如果a u t ( d ) 保持尸的这样的分划：要么是两个非本原区， 要么是每个非本原区的长都是非2 则一定有 v + - 3 硕士学位论文第一章绪论 他们利用计算机验证了当k 7 0 时，上述不等式也成立但是对于一股的 情形，这仍然是一个公开问题 猜想1 2 3 2 对于一个区一传递，非点一本原的3 一( v ，k ，旯) 设计来说，一定有 v 阱 当t = 2 时，对于d e l a n d t s h e e r d o y e n 的上界，c a m e r o n 和p r a e g e r 证明了下面 的： 定理1 2 3 3 【5 1 设d 是一个2 - ( v ，k ，五) 设计，k 3 ，4 ，5 和8 ，且 v = 肌2 = ( ( 兰) 一1 ) 2 , g ( 后+ 1 ) 矿( t ) 妒( 时，要么g 旗一传递。要么g k 且玎2 则g 一定是点一本原的更进一步地， 若疗3 和6 ，贝0 后i v 或g 彳几( 1 ，1 ，) 另外，l i u 还给出克= 6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1l 且自同构群为可解群时此类设计的分类， 这里不再一一介绍( 参见文献 5 4 ，5 5 ，5 7 ，5 8 ) c a m i n a ，p r a e g e r 等人最近在( 1 ) g 传递地作用在d 上，并且( 2 ) g 的基柱为 交错群的条件下完成了对d 的分类【6 】，这无疑是一个大的突破 定理1 2 3 1 5 设g 是2 一( v ，k ，1 ) 设计d 的自同构群，t 司g a u t ( t ) ，这里 t 兰4 ，n 5 若g 是区一传递的，则d = p g i ( 3 ，2 ) rg = 4 或g = 4 1 2 4 区本原设计 目前对于区一本原2 一( v ，k ，1 ) 设计的研究取得了一些进展，首先k a n t o r 考虑 了射影平面这个特别的情形，并得到如下定理： 定理1 2 4 11 2 4 】设d 是一个g 阶射影平面，即一个2 一( 9 2 + q + 1 ，q + 1 ，1 ) 设计， g a u t ( d ) 是区一传递的则下面之一成立： ( f ) d 是d e s a r g u e s i a n ，且p s l ( 3 ，g ) g p f l ( 3 ，q ) ； ( f f ) v = 9 2 + g + l 是一个素数，且g 是v 阶循环或者一个v ( q + 1 ) 阶或者一个 6 硕士学位论文 第一章绪论 w 阶的f r o b e n i u s 群 d e l a n d t s h e e r 考虑了不是射影平面的情形，他得到了 定理1 2 4 2 t 1 4 1 设d 是一个2 o ，k ，1 ) 设计，但非射影平面如果 g a u t ( d ) 是区本原，则存在非交换单群丁，使得t g a u t ( d ) ，即g 是几 乎单群 对于区本原2 一( 1 ，k ，1 ) 设计，d e l a n d t s h e e r 和d o y e n 有如下 猜想1 。2 4 3 【”1 如果d 是区一本原的2 一( v ，k ，1 ) 设计，则d 也是点一本原的 这个猜想在下列附加条件之一下是成立的： a ) d 是有限射影平面f 2 4 1 ； b ) k ( 七，1 ，) 1 0 【7 2 9 删2 】； c ) y ( 在堕1 ) z 2 1 2 0 d ) 后4 0 1 4 , 5 6 ： e ) g 有一个作用在p 上不超过7 ； f ) g 作用在尸上有一个正则子群； g ) s o c ( g ) 兰4 ； h ) s o c ( g ) 同构于散在单群； i ) s o c ( g ) 兰p s l ( 2 ，g ) ，s z ( g ) ： j ) 勋c ( g ) 兰2 g 2 ( 9 ) ，2 f 4 ( q 2 ) 叭6 2 1 ： k ) s o c ( g ) 兰3 0 4 ( 碍) ，g 2 ( g ) 吲 1 3 有限关联结构 组合设计理论的主要研究对象是各种有限关联结构 定义1 3 1 设y 与腰为两个不相交集合，为v 与馏之间的一个二元关 系，即，v x l l l ，则称d = ( v ，i b ，j ) 为一个关联结构v 的元素叫做点，侣的 元素叫做区组，叫做关联关系设p v ，b i b ，若( p ，b ) i ，则称点p 与区 组b 关联记作p l b ，若p 不与b 关联，则记作脚 为了强调关联结构的几何意义，也把区组叫做直线此时，”p l b ”也可以叫 做“点p 在直线b 上 或“直线b 经过点p 我们的讨论仅仅局限于有限关联结构，即v 与召都是有限集当 d = ( v ，b ，) 为有限关联结构时，常以v 表示集合y 的基数，以b 表示b 的基数， 即v = 州，b = i b l ，并称1 ，为d 的阶 定义1 3 2 设b = ( k ，1 b 。，厶) 与0 2 = ( ，1 b2 ，1 2 ) 为两个有限关联结构设 仃：ku i b 。专ku 口：为满足下述条件的一个双射： 7 硕十学位论文第一章绪论 ( f ) 盯( k ) = k ，o - ( i b l ) = i b 2 ： ( f f ) 对任意p k 与任意b i b 。，当且仅当。b 时才有c r ( p ) 1 2 c r ( b ) ， 则称盯为d l 到d 2 上的一个同构，此时称d l 与皱为两个同构的关联结构， 特别地，当d i = d = d 时，d 到它自身的同构叫自同构d 的全体自同构关于 映射的乘法组成一个群，叫作d 的全自同构群，记作a u t ( d ) a u t ( d ) 的任 子群都叫做d 的自同构群 有限关联结构可以用它的关联矩阵来刻划 定义1 3 3 设v = p l ，p 2 ，p ，) ，b = 局，岛，最) ，d = ( y ，b ，1 ) 为有限关 联结构对1 f ，1 ，b ，令 1 ，若p i j b ；j n i ，0 若p i b i 贝0 v b ( 0 ，1 ) 一矩阵 a = a 1 1q 2 a 2 1a 2 2 a v i a v 2 叫做d 的关联矩阵 对1 f 1 ，令表示元素佃中与p ，关联的区组数：对1 ，b 令k ，表示v 中与b ，相关联的点的个数o 对1 f ，1 ，f ，令五，表示口中同时与点p ，及 p ，关联的区组数，：叫做点易的重复度，k s 叫做区组b 的容量( 或长度) ，丑， 叫做点b 与p ，的相遇数，尼，等于彳的第的列和，而丑，则是4 的第衍亍与第， 行的内积因此，用两种方法计算彳中的1 的个数，可以得到下面等式： vb = k j 令w ，表示元素全为1 的v 维彳子- 向量，厂么r 表示a 的转置矩阵，则 a a 丁： 吒a 2 如l 五。 ： ， 如， ： 气 w ，a = ( 毛，k 2 ，k b ) 设d = ( y ，1 b ，) 为有限关联结构对p v ，令名表示点p 的重复度：对 b b ，令表示区组b 的容量：对y 的任一，元子集s ，令冬表示与s 中每一 点都关联的区组个数在设计理论的研究中，以下条件是最常用的： ( f ) 正则性：存在常数厂 0 ，使对所有p v 都有名= ， 8 ” 拍； 曲吼吼；q 硕十学位论文 第一章绪论 何) 均匀性：存在常数七 0 ，使对所有b 曰都有心= k ( 疗f ) ，一平衡性：对给定的正整数f ，存在常数五 0 ，使对y 的任一f 元子 集s 都有冬= a 卜平衡性即正则性，2 一平衡性通常就叫作平衡性 1 4 平衡不完全区组设计 同时满足正则性、均匀性和平衡性三个条件的有限关联结构叫平衡不完全 约组设计，切实言之，有以下定义 定义1 4 。1 设v , k ，力为给定的正整数，d = ( y ，i b ，) 为有限关联结构若以 下条件满足： ( ，) l v l = 1 ，： ( f f ) 对任意b i b ，都有k s = k ； ( i i i ) 对任意p ，q v ，p q ，都有五m = 五， 则称d 是一个平衡不完全区组设计，简称区组设计或b i b 设计，记作 b ( k ，名；v ) 1 ，叫作d 的阶，k 叫作d 的区组容量( 或区组长度) ，旯叫作相遇数 由于历史上的原因，五= 1 时的b i b 设计通常叫作s t e i n e r 系或s t e i n e r2 一 设计，并且b ( k ，1 ；v ) 也常记作s ( 2 ，后；1 ，) 随之，对一般的允，b ( k ，允；v ) 也记作 受( 2 ，j j ；，) 。 引理1 4 2 【5 9 】设k 2 ，d = ( y ，i b ) 为一个b ( k ，a ；v ) ，则 ( f ) y 中任意一点p 的重复度为 r p = 力( 1 ，一1 ) ( k 1 ) ， ( f f ) b 中所包含的区组个数为 b = i b i = 五v ( v 一1 ) 七( 七一1 ) 由上述定理可知，若d = ( y ，i b ，i ) 为一个b ( k ，五；，) ，则矿中每一点的重复 度都等于常数_ r ，叫作此设计的重复数，1 ，b ，k 与名叫作此设计的参数，它们 满足下述参数关系： b k = w 。 2 ( v - 1 ) = r ( k 1 ) 由此得到关于b i b 设计存在性的下述基本必要条件 定理1 4 3 f 5 9 】若b ( k ，名；1 ，) 存在，则 名( v 1 ) 置0 ( m o d ( k 一1 ) ) ， 2 v ( v 1 ) 暑0 ( m o d k ( k 1 ) ) 定理1 4 4 ( f i s h e r1 9 4 0 ) 若b ( k ，a ；，) 存在且， k ，则 b ， q 硕士学位论文 第一章绪论 f i s h e r 不等式中等号成立的情形特别有趣味b = ，时的b ( k ，允；v ) 叫对称区 组设计 关于一个b i b 设计与它的补之间的关系，有下述定理 定理1 4 5 【5 9 】设d 为一个b ( k ，旯；1 ，) ，则d 的补d 是一个 b ( v - k ，b - 2 r + a ；v ) 关于b b 设计的研究是从k = 3 的情形开始的我们把一个b ( 3 ，旯；，) 叫作， 阶旯重三元关系并记作碍( v ，a ) 旯= l 时的三元系，经m r e i s s ( 1 8 5 9 ) 首创，被 叫作s t e i n e r 三元系v 阶s t e i n e r 三元系也记作s t s ( v ) 定义1 4 6 设d = ( v ，b ，i ) 为一个b ( k ，2 ；v ) ，p c b 若矿中每一点都正 好与尸中唯一的一个区组关联，则称尸为一个平等类若b 中全部区组能划分 成r = 见( v 一1 ) ( k 一1 ) 个平等类，则称此b ( k ，a ；v ) 为可分解的并记作r b ( k ，五；d 可分解的s t e i n e r 系叫作k i r k m a n 系特别地，可分解的s t e i n e r 三元系s t s ( v ) 叫 作k i r k m a n 三元系并记作k t s ( v ) 1 5 ，一设计 在本节中，我们将从另一个角度来推广b i b 设计的概念下面要研究的是 一类满足正则性、均匀性和f 一平衡性条件的有限关联结构 定义1 5 1 设d = ( v ，馏) 为有限关联结构若下列条件满足： ( f ) i v i = 1 ，： ( f f ) 存在常数k ，使对所有b 1 b ，都有k 占= k ： ( f f f ) 对给定的正整数，存在常数五 0 ，使对v 的任意一个，元子集s ， 都有疋= 兄， 则称d 为一个，一( v ，k ，五) 设计，简称，一设计，一( 1 ，k ，兄) 常记作受( f ，k ，v ) 设d = ( v ，i b ) 为一个，一( v ，k ，五) 设计如果v 的每个k 一元子集都在馏中出 现相同的次数，则称d 为平凡的f 一设计例如当v k + t 时，任一f 一( ，k ，五) 设 计都是平凡的 ，一设计的若干特殊类型： ( f ) ，= l ，卜设计也叫战术构形或构形 ( i i ) t = 2 ，2 一设计即熟知的b i b 设计2 一( ，k ，五) 设计通常记作b ( k ，元，v ) ( i i i ) k = t ，名= l ，r 一( v ，t ，1 ) 设计也叫完全超图当k = t = 2 时，2 一( 1 ，2 ，1 ) 设 计叫完全图 ( i v ) 兄= 1 ，f 一( v ，k ，1 ) 设计常叫做s t e i n e r 系，并记作s ( t ，k ，) ( 1 ，) 黾( 2 ，3 ，v ) 叫三元系，特别地，s ( 2 ，3 ，1 ，) 叫s t e i n e r _ 三元系，并记作s t s ( v ) ( v f ) & ( 3 ，4 ，v ) 叫四元系，特别地，s ( 3 ，4 ，v ) 叫s t e i n e r 四元系，并记作s o s ( v ) 1 n 硕士学位论文第一章绪论 定理1 5 2 【5 9 】设1 i 0 使任一点p 的重复度 厂，2 ， 证对，= 1 ，由定义可得对，2 ，由定理1 5 2 与2 一设计的正则性即得结 论 从而一个t 一( v ，k ，允) 设计有5 个参数v ，b ，r ，k 与a ，其中1 l ，叫设计的阶，k 叫 区组容量，兄叫平衡数，b 叫区组个数，叫重复数，当f = 2 时，2 一平衡数即为平 衡数，t = l 时，卜平衡数即重复数 推论2 设( 矿，b ) 为，一，k ，五) 设计，则 6 = 厶= a ( ：，) ( 多) 嘲= 辑) ( 且当t 2 时， 如( v 1 ) = 五( 后一1 ) 由于当，一( 1 ，k ，允) 设计存在时，对0 i 1 3 硕+ 学位论文第二章基础知识 为日在g 中的中心化子 规定z ( g ) = c g ( g ) ，称之为群g 的中心 定义2 1 1 9 设g 为群，口，g g ，规定：a g = g - 1 a g ，称a g 为a 在g 下的 共轭变形称g 中元口，b ( 或子集日，k ) 在g 中共轭，若存在元g g ，使得 a g = b ( h g = k ) 共轭关系是等价关系于是群g 的所有元素依共轭关系可划分若干等价类， 称之为共轭类 定理2 1 1 10 ( l a g r a n g e ) 设g 是有限群，h g ，则l g l = 1 日| | g ：h i 定义2 1 1 11 g 中元口所属的共轭类c 的长度l c i = l g ：c g ) i 因此，l c i 也是| g i 的因子类似的，子群( 子集) h 的共轭子群( 子集) 的个数为l g ：( 日) i 也 是i g i 的因子 定义2 1 1 12 群g 称为其子群日，k 的直积，如果下面的条件满足： ( f ) h 司g ，k 司g ； ( f f ) g = h k ； ( i i i ) h n k = 1 此时记为g = h k 定义2 1 1 1 3 设，为两个抽象群，口：f 专a u t ( n ) 是同态映射，则 和f 关于口的半直积g = n x 。f 规定为 g = n f = ( 口，x ) i a n ，x ，) ， 运算为 ( 口，x ) ( 6 ，y ) = ( a b 8 似，x y ) 和f 关于口的半直积g = n x 。f ，也可记为n ：f ，即被f 的可裂扩张 定义2 1 1 1 4g 的导群g 1 是由所有换位子 【口，b 】- 口一一a b a ，b g ) 生成 的群g ( 1 ) 也是使g k 为交换群的最小正规子群k 我们定义子群列 g = g ( o ) g ( 1 ) 3 g ( 2 ) 3 这里g ) 是g 卜1 的导群，( 忙l ，2 ，3 ，) 称子群列为g 的导群列 设g 为群，称群列 1 = z o ( g ) z l ( g ) c 乙( g ) ， ( 其中z ，( g ) 为g 的中心) 为g 的中心群列，如果对任意的n ，乙( g ) 乙一( g ) 是 g 乙一。( g ) 的中心 如果g 的导群列终止于1 ，则称g 是可解的：如果g 的中心群列终止于g ， 则称g 是幂零的 定义2 1 1 15 设g 为有限群，称子群日为次正规子群，如果日在g 的某 个次正规子群列中出现记作h 司司g 1 4 硕士学位论文 第二章基础知识 定义2 1 1 16 设g 是群，称g 是拟单的，如果它是完备的( 即g = g ) ，且 g z ( g ) 是单群 定义2 1 1 1 7 设g 为有限群，如果它的阶 g i = p “( p 为素数) ，则称g 是 一个p 一群 定义2 1 1 18 设p 为素数，乙是p 阶循环群，z 是一正整数，称 g = z p x zp x x z v 、。、，。一 一 为p ”阶初等交换p 一群，它同构于g f ( p ) 上的n 一维向量空间的加法群 定义2 1 ，1 19 设y 是域f 上的”维向量空间( 线性空间) y 的所有可逆 线性变换对乘法组成一个群，叫做v 上一般线性群，记为g l ( n ，f ) 取定v 的 一组基e i ，e 2 ，则任意线性变换唯一对应一个r l 级可逆方阵彳从而也可将 g l ( n ，f ) 视为f 上全体非奇异f l xr l 矩阵组成的乘法群，考虑g l ( n ，f ) 到乘法群 f 的映射ghd e t ( g ) ，这是一个满同念，记同态核为： s 1 4 n ，) = g g l ( n ，f ) l d e t ( g ) = 1 ) ， 称为特殊线性群它是g l ( n ，f ) 的j 下规子群 记e 为f 上甩级单位矩阵，令z = a e a f 。) 为g l ( n ，f ) 的中心，有 p g l ( n ，f ) = g l ( n ，f ) z ， 称为一般射影群它是胛一l 维射影空间e ( n l ，f ) 上的变换群 进一步，记 p s l ( n ，) = s l ( n ，f ) ( s l ( n ，f ) nz ) ， 称为特殊射影群，其中，s l , ( n ，f ) n z = a e a f ，口”= 1 ) 2 1 2s yio w 定理 l a g r a n g e 定理告诉我们，若g 是有限群，h g ，则1 日i 是l g i 的因子但反 过来，若d l i g i ，g 中是否一定存在d 阶子群呢? 一般来说，这是不对的s y l o w 定理告诉我们，如果d l l a l ，d 是素数的方幂，则g 中必有d 阶子群存在 第一s y l o w 定理：若g 是有限群，p 是素数设p ”i i i a i ，即p ”| f g l ，但p ”1 不整除i g | 则g 中必存在p ”阶子群，叫做g 的s y l o wp 一子群 第二s y l o w 定理：g 的任意两个s y l o wp 一子群皆在g 中共轭 第三s y l o w 定理：g 中s y l o wp 一子群的个数刀p 是i g l 的因子，并且门p 三l ( ro dp ) 定理2 1 2 1 6 0 1 设p 是素数，群g 的阶为p 口疗，这罩不要求p 和殄互素 以n ( p 口) 表示g 中p 8 阶子群的个数，则有n ( p 。) 暑1 ( m o dp ) 特别地有 1 5 硕+ 学位论文 第二章基础知识 n ( p 口) l ，即g 中存在p “阶子群 显然，我们可以看出这个定理包含了上面的第一s y l o w 定理和第三s y l o w 定理为它的特例 定理2 1 2 2 1 6 0 l 设g 是有限群，p 口4 g 1 再设p 是g 的一个p “阶子群，q 是g 的任一p 一子群，则必存在g g 使q p g 这个定理告诉我们，每个p 一子群都属于一个p 口阶子群这就推出g 中的 极大p 一子群必为p 。阶的也就是说，我们以极大p 一子群作为有限群的s y l o w p 一子群的定义和前面第一s y l o w 定理中叙述的s y l o wp 一子群的定义是一致的 另外，在定理2 1 2 2 中，取q 为另一p 。阶子群，就得到所有s y l o w 子群的共 轭性即第二s y l o w 定理 下面再叙述几个与s y l o w 子群有关的结果，它们在有限群中十分重要 定理2 1 2 3 ( f r a t t i n i 论断) 设nq g ，p s y l p ( n ) ，则g = ( p ) 定理2 1 2 4 【6 0 l 设p s y ，。( g ) ，h n o ( p ) ，则h = n o ( 日) 定理2 1 2 。5 【删设p 是g 的任一p 一子群，n 司g ，且( | i ，p ) = 1 则 n o n ( 、p n n 、) = n g ( p ) n n 1 2 1 3 群在集合上的作用 定义2 1 3 1 设q = 口，7 ， 是一个有限集合，其元素称为点表示 q 上的对称群g 在q 上的作用妒指的是g 到晶内的一个同念，即对每个元素 x g ，对应q 上的一个置换 缈( x ) ：口b - -