（基础数学专业论文）2140阶群嵌入置换群的一些讨论.pdf

l i d i s s e r t a t i o nf o rm a s t e rd e g r e e ，2 010 u n i v e r s i t yc o d e ：10 2 6 9 s t u d e n ti d ：9 1 0 7 0 6 0 11 0 6 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y o nt h ee m b e d d i n gf r o mg r o u p sw i t ho r d e r 21 4 0i n t os y m m e t r i c g r o u p s d e p a r t m e n t ：旦鲤丛! 堡曼熊q ! 丛筮h 曼堡堑i 堡墨 s p e c i a l t y ： p u r em a t h e m a t i c s d i r e c t i o n ： ! g 皇坠! 垒 s u p e r v i s o r ： a s s o p r o f l i nl e i 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文小吟。嘴橛入蜘炱即一些闩嘞， 是在华东师范大学攻读够孟博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名：日期：为i o 年f ，月巧日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 2 1 4 0 户吓群铰入盟寸疑磷酌一些日，；乡系本人在华东师范大学攻读 学位期间在导师指导下完成的硕士博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东 师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管 部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网 送交学位论文的印刷版和电子版；允 许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入 全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版， 采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论亨 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经。 三乐师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文幸一：二 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( 奶2 不保密，适用上述授权。 导师签名球鳜 y 本人签名 鲫j6 年f ，月坊日 “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 徐峰硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 舒斌教授华东师范大学主席 付强副教授同济大学 杨思熳副教授华东师范大学 覃瑜君副教授华东师范大学 冗f l i l l 工7 耳亮副教授华东师范大学 论文摘要 摘要本文主要讨论了2 l 阶到4 0 阶的群( 除去3 2 阶非交换的情况) 到置换群 的最小嵌入，并讨论了最小嵌入的个数及共轭类划分，并且最终得到了所有的结果 关键词：低阶群最小嵌入置换群共轭类 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s sm i n i m a le m b e d d i n g sf r o mg r o u p sw i t l lo r d e r2 1 4 0i n t o s y m m e t r i cg r o u p s m o r e o v e r ，t h en u m b e ro fm i n i m a le m b e d d i n g sa n dt h en u m b e ro f c o n j u g a t ec l a s s e sa r eg i v e n k e yw o r d ：g r o u pw i ml o w e ro r d e r ，m i n i m a le m b e d d i n g ，s y m m e t r i cg r o u p ，c o n j u g a t e c l a s s 目录 弓i 言； 第一章交换群到置换群的嵌入 第二章非交换群到置换群的嵌入 第三章最小嵌入个数、共轭类的讨论 参考文献 后记 页 页 页 顶 顶 顺 1 l 9 1 2 2 引言 在文献 4 中，作者根据凯莱定理：一个群都同构于一个变换群，讨论了1 到2 0 阶 群到置换群的最小嵌入，并得到了所要的结果从而想到：对于更高阶的群，是不是也 存在到置换群的最小嵌入? 方法是否相同? 这些嵌入是否唯一? 本文就接下去讨论2 1 到4 0 阶的情况 文中，p - 1 a p 的运算顺序是从右向左g h 表示g 是日的子群；s n 表示n 次对称 群：m ( g ) = m i n n en ig 最 ； 口，川= a - l b a b ，即g 中元素口，b 的换位子；z 。表 示模门剩余类加群，它是个，z 阶循环群；如果s 是群g 的子集，记( s ) 为g 中由s 所生成 的子群 一交换群到置换群的嵌入 首先，我们先对交换群g 来确定m ( g ) 的值我们有如下定理： 定理一( 有限交换群结构定理) 有限交换群g 可以分解为一些阶等于素数幂的循 环群的直积，且这样的分解方法是唯一的 ( 定理及证明均见参考文献 4 】) 定理二 如果有限交换群g 可以分解为z 4 l0 z 口20 0 z 嘞，其中a i 为素数的方 幂，则聊( g ) 口， i = 1 ( 定理及证明均见参考文献 4 】) 定理三 聊【z ，) = p ”，其中p 为素数 ( 定理及证明均见参考文献【4 】) 接下来，我们将对所有从2 1 西r 剑4 0 阶的交换群进行讨论： 1 12 1 阶交换辑一； g 2 1 1g = ( 口) ，a 2 1 = 1 g 2 l jg 兰z 3 0 2 7 故由定理二，m ( g 2 。1 ) 3 + 7 = 1 0 ，若g 2 l j 可以嵌到& 中，则鼠中存在2 1 阶元b ， 若b 为2 1 阶轮换，则”2 1 ，若b 为不相交轮换的乘积，则这些轮换阶数的最小公倍 数为2 1 ，则一定存在一个3 阶和7 阶的不相交的轮换，故刀1 0 综上知聊( g 2 1 1 ) = 1 0 1 22 2 阶交换群 ，。g = ( 口) ，口2 2 = l g 2 2 jg 兰z 2 0z l l 类似于g 2 1 1 的讨论知，所( g 2 ：。) = 1 3 1 32 3 阶交换群 氏。g = ( 口) ，口2 3 = 1 6 2 3 1g 兰z 2 3 由定理三知：聊( 吒。1 ) = 2 3 1 42 4 阶交换群 g 2 4 ，lg = ( 口) ，口2 4 = l 2 4 。2g = ( 口，6 ) ，口2 = 6 1 2 = 1 ， 口，6 】= 1 2 4 3g = ( 口，6 ，c ) ，a 2 = 6 2 = 扩= l ，【口，刎= 6 ，c 】= 【口，c 】= 1 g 2 4 1 g 兰z 3 0 2 8 类似于g 2 1 1 的讨论知，m ( 6 2 。，1 ) = 1 1 g 2 4 上 g 兰z 2oz 4oz 3 根据定理二，m ( 6 2 4 ，2 ) 2 + 4 + 3 = 9 ，考虑到g 8 ，2 吒。2 ，m ( g 8 ，2 ) = 6 ，i 玫m ( g 2 4 ，2 ) 6 ， 但瓯中不含1 2 阶元，i 故r e ( g ( 2 4 , 2 ) ) 不能为6 若：m ( g 2 4 , 2 ) = 7 ，则1 2 阶元只能为不相交 的3 阶和4 阶轮换的积，如b = ( 1 2 3 ) ( 4 5 6 7 ) ，则与b 可交换的2 阶元只能为b 6 ，矛盾， i 玫m ( g 2 4 , 2 ) 7 若m ( g 2 4 2 ) = 8 ，则1 2 阶元为不相交的3 阶和4 阶轮换的积，类似于上面 讨论，也不可能，所以朋( 2 4 ：) = 9 2 4 3g 兰z 2oz 20z 20z 3 根据定理二，聊( g 2 ”) 9 由于g 8 ，3 g 2 4 3 ，朋( g g ，3 ) = 6 ，若m ( g 2 4 3 ) = 6 ，则6 阶元 只能形如c = ( 1 2 3 4 5 6 ) ，或不相交的2 阶、3 阶轮换之积，比如c = ( 1 2 ) ( 3 4 5 ) 当 c = ( 1 2 3 4 5 6 ) 时，与之可交换的2 阶元仅有c 3 ，矛盾当c = ( 1 2 ) ( 3 4 5 ) 时，与之可交换的 2 阶元仅有( 1 2 ) = c 3 ，矛盾故掰( g 2 4 3 ) 6 若聊( g 2 4 , 3 ) = 7 ，则6 阶元只能形如 c = ( 1 2 3 4 5 6 ) 或c = ( 1 2 ) ( 3 4 5 ) 或c = ( 1 2 ) ( 3 4 ) ( 5 6 7 ) 对于c = ( 1 2 3 4 5 6 ) ，与之可交换的2 阶 元仅有b 3 ，矛盾对于c = ( 1 2 ) ( 3 4 5 ) ，与之交换的2 阶元仅有c 3 = ( 1 2 ) 、( 6 7 ) 、( 1 2 ) ( 6 7 ) ， 但可验证，由( 1 2 ) 、( 6 7 ) 、( 1 2 ) ( 6 7 ) 中的任两个与( 1 2 ) ( 3 4 5 ) - - - 者生成群的阶 2 4 ，故也 不可能对于c = ( 1 2 ) ( 3 4 ) ( 5 6 7 ) ，与之交换的2 阶元仅有( 1 2 ) 、( 3 4 ) 、( 1 2 ) ( 3 4 ) 、( 1 3 ) ( 2 4 ) 、 ( 1 4 ) ( 2 3 ) ，也可以验证，由( 1 2 ) ( 3 4 ) ( 5 6 7 ) 与( 1 2 ) 、( 3 4 ) 、( 1 2 ) ( 3 4 ) 、( 1 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) 中 的任两个可交换的元生成的群的阶 2 4 ，也不可能i 故m ( g ：4 3 ) 7 若聊( g 2 3 ) = 8 ，则 6 阶元形如c = ( 1 2 3 4 5 6 ) 或( 1 2 ) ( 3 4 5 ) 或( 1 2 ) ( 3 4 ) ( 5 6 7 ) - 或( 1 2 ) ( 3 4 5 ) ( 6 7 8 ) 若c = ( 1 2 3 4 5 6 ) 则 2 与之交换的2 阶元仅有c 3 和( 7 8 ) 以及c 3 ( 7 8 ) ，矛盾若c = ( 1 2 ) ( 3 4 5 ) 贝i j 与之交换的2 阶 元有，= ( 1 2 ) 、( 6 7 ) 、( 7 8 ) 、( 6 8 ) 以及( 1 2 ) ( 6 7 ) 、( 1 2 ) ( 7 8 ) 、( 1 2 ) ( 6 8 ) 也可验证，由 c = ( 1 2 ) ( 3 4 5 ) 与上面任两个可交换的2 阶元所生成的群的阶 2 4 ，矛盾若 c = ( 1 2 ) ( 3 4 5 ) ( 6 7 8 ) 则与之可交换的2 阶元仅有c 3 = ( 1 2 ) 、( 3 6 ) ( 4 7 ) ( 5 8 ) 、( 3 7 ) ( 4 8 ) ( 5 6 ) 、 ( 3 8 ) ( 4 6 ) ( 5 7 ) 、( 1 2 ) ( 3 6 ) ( 4 7 ) ( 5 8 ) 、( 1 2 ) ( 3 7 ) ( 4 8 ) ( 5 6 ) 、( 1 2 ) ( 3 8 ) ( 4 6 ) ( 5 7 ) ，但由c 与上述任两 个可交换的2 阶元生成的群的阶小于2 4 i 故m ( g 2 4 , 3 ) 8 综上知所( 2 4 3 ) = 9 1 52 5 阶交换群 6 2 ，。g = ( 口) ，口笛= 1 6 2 5 ，2g = ( 口，6 ) ，口5 = 6 5 = 1 ， 口，6 】= l g 2 5 lg 兰z s ： 由定理三，聊( 6 2 5 - 1 ) = 2 5 g 2 5 2g 兰z 5 0 2 5 类似于g 2 。j 的讨论，m ( 6 2 5 2 ) = 1 0 1 62 6 阶交换群 6 2 。g = ( 口) ，口2 6 = l 6 2 6 - lg 兰z 2 0 2 1 3 类似于6 2 。的讨论，加( 6 2 6 j ) = 1 5 1 7 2 7 阶交换群 6 2 ，lg = ( 口) ，口”= 1 6 2 7 ，2g 皇( 口，6 ) ，口3 = 6 9 = 1 ，【口，6 】= l ： 6 2 7 ，3 g = ( 口，b ，c ) ，口3 = 6 3 = c 3 = 1 ，【口，6 】- 6 ，c 】- 口，e 】= 1 。 6 2 7 ，1g - - - z 3 ， j ： 由定理三，肌( 6 2 ，j ) = 2 7 6 2 7 2 g 兰z 3 0 2 9 由定理二，m ( 6 2 7 2 ) 1 2 设g 2 7 。2 可嵌入鼠中，则2 7 | ，21 ，故刀9 当9 行 1 2 时， 9 阶元只能形如b = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ，此时除b 3 , b 6 之外无3 阶元与b 可交换，故n = 1 2 ，即 m ( g 2 7 2 ) = 1 2 6 2 7 ，3g 兰z 3 0 2 3 0 2 3 ，朋( 6 2 7 3 ) 9 从g 2 ，：中的讨论可看出朋( g 2 ，j ) = 9 警。 1 8 2 8 阶交换群 g 2 8 - lg = ( 口) ，口2 8 = 1 g 2 8 ，2g = ( 口，6 ) ，口2 = 6 1 4 = l ，【口，h i = 1 g 2 s jg 兰z 4oz 7 类似于g 2 1 1 的讨论知聊( g 2 。) = 1 1 g 2 s 2g 兰z 2oz 2o z 7 由定理二，朋( g 2 s ，2 ) 2 + 2 + 7 = 1 1 考虑到g 1 4 l g 2 8 2 ，朋( g 1 4 ，1 ) = 9 ，故小( g 2 8 ，2 ) 只能 为9 或1 0 或1 1 若肌( g 2 8 2 ) - - - 9 或1 0 ，则1 4 阶元只能是不相交的2 阶、7 阶轮换的乘积， 不妨设为b = ( 1 2 ) ( 3 4 5 6 7 8 9 ) ，则要想有除b 7 = ( 1 2 ) 之外的2 阶元与b 交换，聊( g 2 8 2 ) 至少 为1 1 ，且这个元为( 1 01 1 ) 或( 1 2 ) ( 1 01 1 ) 故所( g 2 8 2 ) = 1 1 1 92 9 阶交换群 g 2 ，jg = ( 口) ，口2 9 = l g 2 9 j g 兰z 2 9 由定理三，聊( g 2 9 1 ) = 2 9 1 1 03 0 阶交换群 g 3 ”g = ( 口) ，口3 0 = 1 g 3 0 1g 兰z 3oz 2oz 5 类似于g 2 l 1 的讨论，朋( g 3 ”) = 1 0 1 n3 l 阶交换群 g 3 l lg = ( 口) ，口”= 1 g 3 l jg 兰z 3 l 由定理三，聊( g 3 u ) = 3 1 1 1 23 2 阶交换群 g 3 2 ，i g = ( 口) ，口3 2 = 1 g 3 2 ，2 g = ( 口，6 ) ，a 2 = 6 1 6 = l ，【口，6 】= 1 g 3 2 3 g = ( 口，6 ) ，口4 = 6 8 = 1 ，【口，6 】= l g 3 2 。4 g = ( 口，6 ，c ) ，口2 = 6 2 = c 8 = 1 ，【口，6 】= 【口，c 】= 【6 ，c 】= 1 4 g j 2 5g = ( 口，b ，c ) ，口2 = 6 4 = c 4 = 1 ， 口，6 】= 【口，c 】= 【6 ，c 】= l g 3 2 6g = ( 口，6 ，c ，d ) ，口2 = 6 2 = c 2 = d 4 = l ，【口，6 】= 口，c 】= 口，d 】= 陟，c 】= 【6 ，d 】= p ，d 】- 1 g ；2 ，7g = ( 口，b ，c ，d ，p ) ，口2 = 6 2 = c 2 = d 2 = p 2 = 1 ， 口，6 】= 口，c 】= 【口，d 】= 【口，e l = 【6 ，c 】= 【6 ，d 】= 【6 ，e 】_ 【c ，d l = 【c ，e 】- 【d ，e 】= 1 g 3 2 ，lg 兰z 2 5 由定理三，m ( g 3 2 1 ) = 3 2 g 3 2 ，2 g 兰z 2o z 2 由定理二，肌( g 3 2 ，2 ) 1 8 考虑到g l6 l _ 8 若n = 8 ，则8 阶轮 换只有形如( 1 2 3 4 5 6 7 8 ) ，与之可交换的4 阶元只能为b 2 ，b 6 ，矛盾，故栉8 同理，r 9 若n = 1 0 或1 1 ，则8 阶元只能是一个8 阶轮换或一个8 阶轮换与2 阶轮换的乘积，即形 如b = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 ) 或b = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 ) ( 91 0 ) ，与b 可交换的4 阶元只能是6 2 、b 6 或分别再 乘上( 91 0 ) ，矛盾综l - _ m ( g 3 2 3 ) = 12 g 3 2 4g 兰z 2oz 2o z 8 由定理二，聊( g ) 1 2 类似于g 3 2 3 的讨论知：m ( g ) 只能为1 0 ，1 1 ，1 2 当m ( g 3 2 ，。) = 1 0 时，8 阶元只能为c = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 ) 或c = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 ) ( 9 1 0 ) 这两种情况下，与b 可交换的 2 阶元仅有( 1 2 3 4 5 6 7 8 ) 4 , ( 91 0 ) 、( 1 2 3 4 5 6 7 8 ) 4 ( 91 0 ) ，但可验证，由c = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 ) 或 c = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 x 9 1 0 ) 与上述中的任两个生成的群的阶 3 2 ，故朋( g 3 2 4 ) 1 0 当 m ( g 3 2 4 ) = 1 1 时，8 阶元只能为c = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 ) 或c = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 ) ( 9 1 0 ) ，此时的情况与 聊( g 3 2 4 ) = 1 0 的讨论类似，可得出m t ：3 3 2 ，4 ) 1 1 ，所以聊( g 3 2 ，4 ) = 1 2 对于g 3 2 5 ，g 3 2 ，6 ，g 3 2 ，7 ： 分别有 g 3 2 。5 兰g 1 6 ，3oz 2 ， g 3 2 ，6 兰g 1 6 ，4oz 2 ， g 3 2 ，7 兰g 1 6 ，5oz 2 且 m ( g 1 6 , 3 ) = 研( g 1 6 4 ) = m ( g l ”) = 8 对g 3 2 ，5 ，若n = 8 ，则两个4 阶生成元只能为： b = ( 1 2 3 4 ) ，c = ( 5 6 7 8 ) ，或b = ( 1 2 3 4 ) ( 5 7 ) ( 6 8 ) ，c = ( 5 6 7 8 ) ，或b = ( 1 2 3 4 ) ， c = ( 5 6 7 8 ) ( 1 3 ) ( 2 4 ) ，或b = ( 1 2 3 4 ) ( 5 7 ) ( 6 8 ) ，c = ( 5 6 7 8 ) ( 1 3 ) ( 2 4 ) ，但在每种情况下，与a 和b 都可交换的2 阶生成元只能为b 2 ，c 2 ，b 2 c 2 ，矛盾同理刀9 ，所以脚( g 3 2 5 ) = 1 0 同 理可得m ( g 3 2 。5 ) = 聊( g 3 2 ，6 ) = 所( g 3 2 。7 ) = 1 0 5 1 1 33 3 阶交换群 g 3 3 1g - - ，a 3 3 = 1 g 3 3 1g 兰z 30z 1 l 类似于g 2 1 l 的讨论知：m ( g 3 3 j ) = 1 4 1 1 43 4 阶交换群 瓯jg - - ，矿= 1 瓯1 g 兰z 2oz 1 7 类似于g 2 l l 的讨论知：m ( 瓯，。) = 1 9 1 1 53 5 阶交换群 g 3 g - - ，a 3 5 = 1 g 3 ” g 兰z 50z 7 类似于g 2 l l 的讨论知：肌( g 3 ”) = 1 2 1 1 63 6 阶交换群 g 3 6 1g - ( o ) ，矿- - i g 3 6 2g = ( 口，6 ) ，口2 = 6 1 8 = 1 ， 口，6 】- 1 g 3 邸g = ( 口，6 ) ，口3 = 6 1 2 = 1 ，【口，6 】= 1 g 3 6 4g = ( 口，6 ) ，= 6 6 = l ， 口，6 】1 瓯1 g 兰z 40z 9 类似于g 2 l 。l 的讨论知：聊( g 3 6 1 ) = 1 3 瓯2 g 兰z 2 0 2 2 0 2 9 由定理二，聊( 瓯2 ) 1 3 考虑到g 1 3 ，l g 3 6 ，2 ，m c c , 8 ，1 ) = 1 1 ，故m ( g 3 6 2 ) 只可能为1 1 ， 1 2 ，1 3 当聊( g 3 6 2 ) = 1 1 ，1 2 时，1 8 阶元只能由一个9 阶轮换与一个2 阶轮换的乘积生 成，比如b = ( 1 2 ) ( 3 4 1 1 ) ，此时与b 可交换的2 阶元仅有b 9 = ( 1 2 ) ，矛盾所以 朋( 瓯2 ) = 1 3 g 3 6 3g 兰z 3 0 2 3 0 2 4 由定理二，聊( 瓯3 ) 1 0 考虑到g 1 8 ，2 g 3 6 3 ，r e ( g , 8 ，2 ) = 8 ，i 故m ( g 3 6 3 ) 只能取8 ，9 ，1 0 当m ( g 3 。j ) = 8 时，1 2 阶生成元只能由不相交的3 阶轮换和4 阶轮换相乘，如 b = ( 1 2 3 ) ( 4 5 6 7 ) ，与之可交换的3 阶元只有矿= ( 1 2 3 ) 和b 8 = ( 1 2 3 ) 2 ，矛盾当所( g 3 6 j ) = 9 时，1 2 阶生成元只能由不相交的3 阶轮换和4 阶不相交的轮换相乘，或再乘上一个不 6 相交的2 阶轮换不妨设b = ( 1 2 3 ) ( 4 5 6 7 ) 或( 1 2 3 ) ( 4 5 6 7 ) ( 8 9 ) 与，l ( g 3 6 3 ) = 8 的讨论类似， 可得出矛盾所以聊( 瓯3 ) = 1 0 g 3 6 4 g 兰z 20 2 3 0 2 2 0 2 3 由定理二，m ( g 3 6 , 4 ) 1 0 考虑到g 1 8 。2 6 3 6 , 4 , 聊( g 1 8 ，2 ) = 8 ，故聊( g 3 6 4 ) 、i z lg n - , , 巳l 取8 ，9 ， 10若肌(g36)=8，则阶元只能由一个阶轮换或一个不相交的2阶轮换和3阶轮换,4 6 b 6 相乘，或不相交的2 阶轮换和两个3 阶轮换相乘或不相交的两个2 阶轮换和3 阶轮换相 乘或一个6 阶轮换和不相交的2 阶轮换的乘积，即b = ( 1 2 3 4 5 6 ) 或( 1 2 ) ( 3 4 5 ) 或( 1 2 ) ( 3 4 5 ) ( 6 7 8 ) 或( 1 2 ) ( 3 4 ) ( 5 6 7 ) 或( 1 2 3 4 5 6 ) ( 7 8 ) 若b = ( 1 2 3 4 5 6 ) ，则与之可交换的6 阶元只有b ( 7 8 ) 、b 5 、 b 2 ( 7 8 ) 、b 4 ( 7 8 ) ，但可验证b 与上述任意元生成的群的阶小于3 6 若b = ( 1 2 ) ( 3 4 5 ) ，则与 之可交换的6 阶元为b ( 6 7 8 ) 、b ( 6 7 8 ) 、b 5 、b e ( 6 7 8 ) 、b 5 ( 6 7 8 ) 、( 1 2 ) ( 6 7 8 ) 、( 1 2 ) ( 6 8 7 ) 、 ( 3 4 5 ) ( 6 7 ) 、( 3 4 5 ) ( 6 8 ) 、( 3 4 5 ) ( 7 8 ) 、( 3 5 4 ) ( 6 7 ) 、( 3 5 4 ) ( 6 8 ) 、( 3 5 4 ) ( 7 8 ) 以及上述的后6 个 元分别乘上( 1 2 ) ，但可验证b 与上述的任意元生成的群的阶小于3 6 若 b = ( 1 2 ) ( 3 4 5 ) ( 6 7 8 ) 则与之可交换的6 阶元为b 5 、( 1 2 ) ( 3 4 5 ) 、( 1 2 ) ( 6 7 8 ) 、( 1 2 ) ( 3 5 4 ) 、 ( 1 2 ) ( 6 8 7 ) ，但可验证b 与上述的任意元生成的群的阶小于3 6 若b = ( 1 2 ) ( 3 4 ) ( 5 6 7 ) ，则与 b 可交换的6 阶元为b 5 、( 1 2 ) ( 5 6 7 ) 、( 3 4 ) ( 5 6 7 ) 、( 1 3 ) ( 2 4 ) ( 5 6 7 ) 、( 1 4 ) ( 2 3 ) ( 5 6 7 ) 以及上述 的后4 个元与( 5 6 7 ) 相乘，但可验证b 与上述的任意元生成的群的阶小于3 6 若 b = ( 1 2 3 4 5 6 ) ( 7 8 ) ，则与之可交换的6 阶元仅有b 5 ，矛盾i 故m ( g 3 6 4 ) 8 若m ( g 3 6 4 ) = 9 ， 与m ( 瓯。) = 8 时相比，6 阶生成元多了一种情况，b 为3 个不相交的2 阶轮换和1 个不 相交的3 阶轮换的乘积如b = ( 1 2 ) ( 3 4 ) ( 5 6 ) ( 7 8 9 ) ，与之可交换的6 阶元有b 、( 1 2 ) ( 7 8 9 ) 、 ( 3 4 ) ( 7 8 9 ) 、( 5 6 ) ( 7 8 9 ) 、( 1 3 ) ( 2 4 ) ( 5 6 ) ( 7 8 9 ) 、( 1 3 ) ( 2 4 ) ( 7 8 9 ) 、( 1 5 ) ( 2 6 ) ( 3 4 ) ( 7 8 9 ) 、( 1 5 ) ( 2 6 ) ( 7 8 9 ) 、 ( 3 5 ) ( 4 6 ) ( 7 8 9 ) 、( 3 5 ) ( 4 6 ) ( 1 2 ) ( 7 8 9 ) 、( 12 ) ( 3 4 ) ( 7 8 9 ) 、( 12 ) ( 5 6 ) ( 7 8 9 ) 、( 3 4 ) ( 5 6 ) ( 7 8 9 ) 以及它 们分别再乘上( 7 8 9 ) ，但可验证b 与上述的任意元生成的群的阶小于3 6 所以 册( g 确) = 1 0 1 1 7 3 7 阶交换群 g 3 7 lg = ( 口) ，口”= 1 g 3 7 jg 兰z 3 7 由定理三，朋( g 3 ，j ) = 3 7 1 1 83 8 阶交换群 g 3 8 lg = ( 口) ，口3 8 = 1 g 3 8 。lg 兰z 2o z l 9 7 类似于g 2 l l 的讨论知：研( g 3 。) = 2 1 1 1 93 9 阶交换群 g 3 ，ig = ( 口) ，口3 9 = 1 g 3 9 1g 兰z 3oz 1 3 类似于g 2 。，l 的讨论知：m ( g 3 9 。，) = 1 6 1 2 04 0 阶交换群 g 柏jg = ( 口) ，a 4 0 = 1 g 柏，2g = ( 口，6 ) ，口2 = 6 2 0 = 1 ， 口，b 】_ l g 柏3g = ( 口，b ，c ) ，a 2 = 6 2 = c 1 0 = 1 ，【口，b 】- 【6 ，c 】_ 【口，c 】= 1 g 4 0 jg 兰z 50z 8 类似于g 2 l ，l 的讨论知：聊( 瓯 1 ) = 1 3 瓯2g 兰z 20z 40z 5 由定理二，所( g 4 0 2 ) 11 考虑到g 2 0 ，l g 柏2 ，m ( g 2 ”) = 9 ，故聊( g 柏。2 ) 只能嵌入到 s 、s 。、s 中若聊( g 2 。2 ) = 9 ，则2 0 阶元b 只能由不相交的4 阶轮换和5 阶轮换相乘， 如b = ( 1 2 3 4 ) ( 5 6 7 8 9 ) ，则与之可交换的2 阶元仅有6 1 0 = ( 1 2 3 4 ) 2 ，矛盾若m ( g z o - 2 ) = 1 0 与 聊( 瓯，2 ) = 8 的讨论类似，可得出矛盾所以m ( g 4 0 2 ) = 1 1 g 4 0 3g 兰z 20z 20z 2oz 5 由定理二，聊( g 柏。3 ) 1 1 考虑到g 2 0 2 6 4 0 3m ( g 2 0 2 ) = 9 ，则聊( g 柏3 ) 只能嵌入到 s 、s 。、s 。中若m ( 瓯3 ) = 9 ，则1 0 阶生成元由不相交的5 阶轮换和一个或两个不相交 的2 阶轮换相乘，即c = ( 1 2 ) ( 3 4 5 6 7 ) 或e = ( 1 2 ) ( 3 4 ) ( 5 6 7 8 9 ) 若b = ( 1 2 ) ( 3 4 5 6 7 ) ，则与之相 交换的2 阶元有c 5 = ( 1 2 ) ，( 8 9 ) ，( 1 2 ) ( 8 9 ) ，但可验证，由c = ( 1 2 ) ( 3 4 5 6 7 ) 与其中任两个元生 成的群的阶 g 2 4 2在共轭意义下，只有i 类嵌入，与2 4 ，：同构的群为( 只看生成元的结 构) ：a = ( 1 2 ) ，b = ( 3 4 5 ) ( 6 7 8 9 ) 这样的嵌入共有兰黪= 3 q 2 乙，3 个，为一个共轭类 最小生成元为两个，最小生成元集为 a = ( 1 2 ) ，b = ( 3 4 5 ) ( 6 7 8 9 ) ) 3聊( g 2 。3 ) = 9 ， 在共轭的意义下，共有2 类嵌入，分别为 a = ( 1 2 ) ，b = ( 3 4 ) ，c = ( 5 6 ) ( 7 8 9 ) ；a - ( 1 3 ) ( 2 4 ) ，b = ( 1 4 ) ( 2 3 ) ，c = ( 5 6 ) ( 7 8 9 ) 对于第1 类嵌入，共有学个最j 、嵌入，对于第2 类嵌入，共有罕个最 ，、i ，、上r 、二 小嵌入这样，吒3 共有气盟个最小嵌入，分为两个共轭类 对第一类嵌入，最小生成元为三个，最小生成元集为 a = ( 1 2 ) ，b = ( 3 4 ) ，c = ( 5 6 ) ( 7 8 9 ) ) ，对第二类嵌入，最小生成元为三个，最小生成元集为 a = ( 1 3 ) ( 2 4 ) ，b = ( 1 4 ) ( 2 3 ) ，c = ( 5 6 ) ( 7 8 9 ) ) ，、z ，、z 门z 注：第二类嵌入二学的由来：c ：c ；：排列a 中的两个2 阶元c ；：排列下c 中的2 阶元分母上的“6 ”：下面的6 种情况生成同一个群，经过c ；c ；的排列计数了6 次， 故要除以6 、 1 、a = ( 1 3 ) ( 2 4 ) ，b = ( 1 4 ) ( 2 3 ) 或( 1 2 ) ( 3 4 ) ： 2 、a = ( 2 4 ) ( 1 3 ) ，b = ( 1 4 ) ( 2 3 ) 或( 1 2 ) ( 3 4 ) ； 1 8 3 、a = ( 1 4 ) ( 2 3 ) ，b = ( 1 3 ) ( 2 4 ) 或( 1 2 ) ( 3 4 ) ； 4 、a = ( 2 3 ) ( 1 4 ) ，b = ( 1 3 ) ( 2 4 ) 或( 1 2 ) ( 3 4 ) ； 5 、a = ( 1 2 ) ( 3 4 ) ，b = ( 1 3 ) ( 2 4 ) 或( 1 4 ) ( 2 3 ) ； 6 、a = ( 3 4 ) ( 1 2 ) ，b = ( 1 3 ) ( 2 4 ) 或( 1 4 ) ( 2 3 ) g 2 ”聊( g 2 ”) = 2 5 ，2 5 阶元只能由2 5 阶的轮换生成，故最小嵌入的个数 a 2 5a 2 4 为：生5 _ = 盟，为一个共轭类 最小生成元为一个，最小生成元集为 a ：( 1 2 3 2 42 5 ) ) g 2 ，： 聊( g 2 ， 2 ) = 1 0 , 5 阶元只能由5 阶轮换生成，故最小嵌入共有五糕= 1 8 c i o 个，为一个共轭类 最小生成元为两个，最小生成元集为 a = ( 1 2 3 4 5 ) ，b = ( 67 891 0 ) 渺 g 2 6 。m ( g 2 6 j ) = 1 5 ，2 6 阶生成元只能为2 阶轮换和1 3 阶轮换的乘积故共有 嚣c 2 薏a 1 3 = 瑶4 7 个最小嵌入，为一个共轭类 最小生成元为一个，最小生成元集为 a = ( 1 2 ) ( 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 ) g 2 ，l 所( g 2 ，j ) = 2 7 ，2 7 阶元只能由2 7 阶的轮换生成，故共有丢a 靠2 75 案a 2 6 个最小嵌 入，为一个共轭类 最小生成元为一个，最小生成元集为 a = ( 1 2 3 2 6 2 7 ) ) g 2 ，2 m ( g 2 ，：) = 1 2 ， 在共轭的意义下，只有 1 类最小嵌入： a = ( 1 2 3 ) ，b = ( 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 ) ，这样，g 2 ， 2 共有警= 华个最小嵌入，为一个 共轭类 最小生成元为两个，最小生成元集为 a = ( 1 2 3 ) ，b = ( 45 6 7 89 1 0 111 2 ) 研( ) _ 9 g 2 7 ，3 由3 个3 阶元生成，在共轭意义下，共有华个最小嵌入， 为一个共轭类 最小生成元为三个，最小生成元集为 a = ( 1 2 3 ) ，b = ( 4 5 6 ) ，c = ( 7 8 9 ) g 2 。，。聊( g 2 。，。) = 1 1 2 8 阶元由4 阶元和7 阶元的乘积生成，故g 2 。1 的最小嵌入共有 黑= 3 q 4 。包5 个， 为一个共轭类 最小生成元为一个，最小生成元集为 a = ( 1 2 3 4 ) ( 5 6 7 8 9 1 0 11 ) ) g 2 8 ，2朋( g 2 。，2 ) = 1 1 g 2 。，：由一个2 阶元和一个1 4 阶元生成，其中1 4 阶元为一个2 阶 元和7 阶元的乘积生成，在共轭意义下，共有2 类最小嵌入，分别为： a = ( 1 2 ) ，b = ( 3 4 ) ( 5 6 7 8 9 1 0 1 1 ) ； a = ( 1 2 ) ( 3 4 ) ，b = ( 1 4 ) ( 3 2 ) ( 5 678 9 1 0 11 ) 对第一个共轭类，共有害鬻：兰c 2 鼍r 竖2a 5 个最小嵌入，对第二个共轭类，共有 z 0z 黹c2r-,2a 7 = 半c 1 2 - - , 2d $ 个最小嵌入这样，g 2 。，：共有竺等宇笙个最小嵌入，分为两个共轭类 对第一个共轭类，最小生成元为两个，最小生成元集为 a = ( 1 2 ) ，b = ( 3 4 ) ( 5678 91 011 ) ) ，对第二个共轭类，最小生成元为两个，最小生成元集 为 a = ( 1 2 ) ( 3 4 ) ，b = ( 1 4 ) ( 3 2 ) ( 5 6 789 1 0 11 ) ) l 所( g 2 ，1 ) = 2 9 2 9 阶元只能为一个2 9 阶的轮换，共有丢轰= 2 7 1 个最d 、嵌入， 为一个共轭类 最小生成元为一个，最小生成元集为 a = ( 123 2 82 9 ) ) g 3 0 lm ( g 3 ”) = 1 0 3 0 阶元为2 阶轮换、3 阶轮换、5 阶轮换的乘积，故g 3 0 1 共有 晋c3c 2 = 6 c i 3 0 l ，2 个最小嵌入，为一个共轭类 最小生成元为一个，最小生成元集为 a = ( 1 2 ) ( 3 4 5 ) ( 6 7 8 9 1 0 ) ) g 3 l ，l ，z ( g 3 ，1 ) = 3 1 3 1 阶元只能为一个3 l 阶的轮换生成，故g 3 l l 共有责= 2 9 1 个 最小嵌入，为一个共轭类 最小生成元为一个，最小生成元集为 a = ( 123 3 03 1 ) g 3 ：1 m ( c 3 ：j ) = 3 2 ，3 2 阶元只能为3 2 阶的轮换生成，故g 3 ：。共有主象= 詈个最小 嵌入，为一个共轭类 最小生成元为一个，最小生成元集为