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内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 b a n a c h 空间的凸性研究是b a n a c h 空间几何理论的重要研究内容之 一，b a n a c h 空间几何理论的研究就是从b a n a c h 空间单位球的凸性开始的， 由于凸性具有鲜明的直观几何意义，凸性的研究吸引了无数的数学工作 者，人们详细地讨论了各种凸性的性质和它们在控制论、最佳逼近以及 不动点理论中的应用凸性是与r a d o n n i k o 咖n 性质有密切联系的几何 性质，b a n a c h 空间的凸性强到某种程度空间就必然具有r a d o n n i k o d y m 性质( 如，后一致凸空间、一致凸空间等) ，1 9 3 6 年j a c l a r k s o n 引进了 一致凸空间，并证明了一致凸空间具有r a d o n n i k o d y m 性质，他的工作 标志着揭开了研究r a d o n n i k o d y m 性质的序幕 b a n a c h 空间的可凹性研究也是b a n a c h 空间几何理论的重要研究内容 之一，可凹性是与r a d o n n i k o d y i n 性质有密切联系的几何性质，事实上， b a n a c h 空间x 具有r a d o n n i k o d n 性质当且仅当x 的每一个有界集是可 凹的，这是把r a d o n n i k o d y i l l 性质作为一种几何性质来研究的一个真正 突破 虽然，凸性和可凹性都与r a d o n n i k o d v m 性质有密切的联系，但是 揭示凸性和可凹性之间的直接联系的结果却很少见，目前只有吴从j 圻和 黎永锦的重要结论：若x 是自反的b a n a c h 空间，则x 是强凸的当且仅当 工的单位球面的每一点是闭单位球的可凹点笔者在学习过程中注意到 了b a n a c h 空间几何研究在这一方面的不足，引入了各种可凹性，详细地 讨论了b a n a c h 空间的凸性和可凹性之间的联系，给出了揭示凸性和可凹 性之间联系的重要结论此外，b a n a c h 空间的凸性研究总是以单位球为 内蒙古师范大学硕士学位论文 研究对象，本文则以b a n a c h 空间的一般凸集为研究对象，将b a n a c h 空 间的凸性研究的部分结果推广到了内部非空的凸集上在本文中进行的 关于可凹性与凸性的研究上我们取得了较好的结果，全文共分为三章 第一章：引入了弱可凹点，弱可凹点和一致可凹集的概念，并以此 为工具刻画了自反的非常凸空间和一致凸空间的特征，得到了各种可凹 性的性质，并讨论了两个非常凸( 强凸) 空间的乘积空问的单位球面上 的弱可凹点的分布情况以及乘积空间的弱可凹性 第二章：引入了后弱可凹点，尼弱+ 可凹点和尼一致可凹集的概念，并 以此为工具刻画了自反的尼严格凸空间( 后强凸空间) 和后一致凸空间的 特征，得到了各种尼可凹性的性质，并说明了尼可凹性蕴涵( 尼+ 1 ) 可凹性， 但反过来不成立 第三章：给出了严格凸集，一致凸集的定义，得到严格凸集和一致 凸集的性质 关键词：弱可凹点，弱+ 可凹点，尼弱可凹点，尼弱可凹点，后可凹 点，一致凸集 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t c o i e x i 哆o fb a n a c hs p a c ei si i n p o r t a n tc o n t e n ti ng e o m e t r i ct h e o 巧o f b a n a c hs p a c e t h es t u d y i n go fg e o m e t r i ct h e o qo fb a n a c hs p a c ec a m ef 而m c o n v e x i t yo fu n i ts p h e r e s i n c ec o n v e x i t yh a st h eb r i l l i a n ta n ds t r a i g h t m e a n i n go fg e o m e t r y ，m a n ym a t h e m a t i c i a n sa r ea t t r a c t e dt ot h ef i e l d o f s t u d 如n gc o n v e x i 哆o fb a n a c hs p a c e s c o n v e x i t yi sa l s ow i t hg o o dd e a lo f 印p l i c a t i o n s ，s u c ha si nc o m r o lt h e o r y ，o p t i m a la p p r o x i m a t i o nt h e o 巧a sw e l l a sf i x e dp o i n tt h e o 巧a n ds oo n t h e r ee x i s tt h er e l a t i o n sb e 佃e e nc o n v e x i t y a n dr a d o n n i k o d y mp r o p e n y ( f o re x a m p l e ，肛u n i f o m l yc o n v e xs p a c ea n d u n i f o r m l yc o n v e xs p a c eh a v et h er a d o n - n i k o d y mp r o p e r 忉 d e n t a b i l i t yo fb a n a c hs p a c ei si m p o r t a n tc o n t e n ti ng e o m e t r i ct h e o 叫o f b a n a c hs p a c et o o t h e r ee x i s tt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h er a d o n - n i k o d y m p r o p e r t ya n dd e n t a b i l i t y i nf a c t ，ab a i l a c hs p a c exh a st h er a d o n - n i k o d y m p r o p e r t yi fa n do n l yi fe a c hb o u n d e dc l o s e ds u b s e to fxi sd e n t 2 l b l e t h u st h e r a d o n - n i k o d y mp r o p e r t yi sg e o m e t r i cp r o p e r t yo fb a n a c hs p a c e a l t h o u g h b o t hd e n t a b i l i t ya n dc o n v e x i t ya r ec l o s e l yr e l a t e dt ot h er a d o n n i k o d y m p r o p e r t y ，t h es t h a i g h tr e l a t i o n sb e t w e e nd e n t a b i l i t ya n dc o n v e x i t ya r er e l a t i v e p o o r u pt on o w ，t h e r ee x i s t so n l yar e s u l tw h i c hi so b t a i n e db yw hc o n g x i n a n dl i y | o n 自i n i e ，i fxi si e f l e x i v eb a n a c hs p a c e ，t h e n xi s s t r o n g l y c o n v e xi fa n do n l yi fe a c hp o i n to fu n i ts p h e i i sd e n t i n gp o i n to fc l o s e du n i t b a l l i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ye x p l o r et h er e l a t i o n sb e t w e e nd e n t a b i l i t ya n d c o n v e x i t y ，a n dc o n v e x i t yo fg e n e r a lc o n v e xs e ti nb a n a c hs p a c e i nt h e p r o c e s so fm ys t u d y ，ih a v eo b t a i n e ds o m ep r o d u c t i v er e s u l t s i n c h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n s o fw e a kd e n t i n gp o i n t w e a k d e n t i n gp o i n ta n du n i f - o 咖l yd e n t a b l es e t ，a n dg i v et h ec h a r a c t e r i z a t i o n 塑鍪直! 至翌奎兰塑主兰堡笙塞 o fv e 叫c o n v e x ( r e s p u n i f o 眦l yc o n v e x ) s p a c e sb yu s i n gt h ea b o v en o t i o n s a l s o ，w eo b t a i n e dt h em a i l yi i n p o r t a n tp r o p e r t i e so fv a r i o u sd e n t a b i l i 咄c i nc h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so f 肛u n i f o m l yd e n t a b l es e t 后w e a kd e n t i n gp o i n t ，加w e a k d e n t i n gp o i n t ，a n dg i v et h ec h a r a c t e r i z a t i o no f 肛v e uc o n v e x ( r e s p 肛s t r o n g l yc o n v e x ，豇- u n i f o n i l l yc o n v e x ) s p a c e sb yu s i n g t h ea b o v en o t i o n s a l s o ，w eo b t a i n e dt h em a l l yi m p o r t a i l tp r o p e r t i e so fv a r i o u s 舡d e n t a b i l i 咀 i n c h 印t e rt h r e e ，w es t u d yt h ec o n v e x 时o fg e n e m lc o n v e xs e t si n b a n a c hs p a c e w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so fs t r i c t l yc o n v e xs e ta n d u n i f o m l yc o n v e xs e t a n dw eo b t a i n e dt h es o m ei m p o r t a mp r o p e r t i e so f s t r i c t l yc o n v e xs e ta n du n i f o n i l l yc o n v e xs e t k e yw o r d s ：w e a kd e n t i n gp o i n t ，w e a k d e n t i n gp o i n t ，缸w e a k + d e n t i n gp o i n t ，肛w e a kd e n t i n gp o i n t ，肛d e n t i n gp o i m ，u n i f o m l yc o n v e xs e t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：函丝翌日期：2 娜年声月秒日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学位 论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致。 萎霎辚触鼬篙。囤 签名：历维瑙导师签名： 幽1 日期：? p o 侈年夕月2 多日 b a n a c h 空间若干可凹性与凸性研究 引言 自s b 跹a c h 的专著t h e o r i ed e s0 p e r a t i o n sl i i l e a i r e s 在1 9 3 2 年问世以来，研究 数学的学者们便开始了b 锄a c h 空间理论的系统研究，但发现b 觚a c h 空间理论的研究 远比h i l b e n 空间困难的多，学者们先是对特殊b a i l a c h 空间h i l b e n 空间进行了研究， 继而研究了一般b a l l a c h 空间理论有关r a d o n - n i k o d y l l l 性质的研究早在1 9 3 3 年就开 始了，当时b o c l u l e r 引入了b o c l l i l e r 积分，并且考虑将实变函数中r a d o n n i k o d y m 定 理推广到向量测度情况，但是b o c h n e r 发现，这并不总是可以的，例如对特殊的空间 l 【o ，l 】，相应的的r a d o n - n i k o d y m 定理不成立r a d o n n i k o d y m 性质是尺1 中的 r a d o n - n i k o d y m 定理在b a i l a c h 空间中的推广，那么什么样的空间具有r a d o n n i k o d y m 性质呢? 在1 9 3 5 年，b i 胁o f r 证明了，h i l b e n 空间具有r a d o n n i k o d y m 性质在1 9 3 6 年，j a c l a r k s o n 1 】从单位球的几何结构着手，研究了这方面的问题，他引入了一致 凸b a n a c h 空间的概念，并证明了如h i l b 融空间一样，取值于一致凸b a n a c h 空间的 向量值r a d o n - n i k o d y m 定理同样成立，即一致凸具有r a d o n n i k o d y m 性质，这就是 最早建立的b a n a c h 空间几何和分析性质的联系，他的工作标志着揭开了研究 r a d o n n i k o d y m 性质的序幕1 9 3 6 年，n d u n f i o r d 和m m o r s e 【2 】证明了，具有有界完 备基的b a l l a c h 空间具有r a d o n - n i k o d y i t l 性质随后，在1 9 3 8 年苏联数学家又证明了， 自反空间具有r a d o n n i k o d y m 性质总之，具有r a d o n n i k o d y m 性质的空间包括了 一致凸空间、自反空间和h i l b e n 空间在内的相当广泛的类b a n a c h 空间，并且仍然 具有有限维空问的很多好的性质，因此，人们一直对具有r a d o n - n i k o d y i l l 性质的 b a n a c h 空间有着浓厚的兴趣1 9 6 7 年，m a r i e 虢l 3 】引入了可凹集概念，证明了，只 要空间的每个有界子集可凹，空问就具有r a d o n n i k o d v i n 性质，从而将b a n a c h 空间 的几何性质和r a d o n n i k o d y m 性质紧密联系在一起，但他不明白那一类b a n a c h 空间 的每个有界子集是可凹的h b m a y l l a r d 4 】完全回答了m a r i e 虢l 的这个问题，他证 明了如下重要而深刻的结论：b a n a c h 空问x 具有r a d o n n i k o d 性质当且仅当x 的 内蒙古师范大学硕士学位论文 每一个有界集是可凹的，他的这项工作是把r a d o n n i k o d y m 性质作为一种几何性质 来研究的一个真正突破m a r i e 肫l 和h b m a ) ，1 1 a r d 的这些开创性的工作使b a i l a c h 空间几何理论研究呈现出一派生机勃勃的景象，产生了一系列有深刻理论价值的成 果，也使人们对b a i l a c h 空间的几何结构有了更深层的理解 j a c l a r k s o n 对b a l l a c h 空间几何理论的研究是从b 觚a c h 空间单位球的凸性开始 的，由于凸性具有非常鲜明的直观几何意义，凸性的研究吸引了很多的研究数学的学 者们，他们详细地讨论了各种凸性的性质和它们在最佳逼近以及不动点理论中的应用 此后，不少学者从b a i l a c h 空间单位球的几何结构出发，讨论了各种b a n a c h 空间凸性 以及它们之间的关系1 9 6 0 年，i s i n g 叫5 】为了研究最佳逼近问题，把b a n a c h 空间的 严格凸的概念推广为七严格凸性( 后= l 时为严格凸性) ，得到了这类空间的很多好的 性质，但他不知道尼严格凸与可凹性之间有什么联系1 9 7 9 年，f s u l l i v a l l 6 】推广了一 致凸空间的概念，利用尼维体积来引入了七一致凸空间( 后= l 时为一致凸空间) ，并 证明了，七一致凸空间具有r a d o n n i k o d y i l l 性质( 这表明，b a l l a c h 空间的凸性强到 某种程度空间就必然具有r a d o n n i k o d y m 性质) ，换句话说，一致凸空间的每一个有 界集是可凹的，这一结果说明凸性和可凹性有密切联系随后国内外学者们对后一致 凸空间以及它的推广形式进行了大量的研究，得到了许多令人鼓舞的重要而深刻的结 果1 9 9 3 年，吴从j 忻和黎永锦【7 】引进了强凸空间的概念，并证明，若x 是自反的b 雅a c h 空间，则x 是强凸的当且仅当彳的单位球面上的每一点是闭单位球的可凹点1 9 9 8 年，苏雅拉图和吴从忻 8 把b a n a c h 空间的强凸的概念推广为七强凸性( 露= l 时为强 凸性) ，得到了这类空间的很多重要性质，但未能给出像【7 】中那样的揭示凸性和可凹 性联系的结果1 9 9 7 年，特古斯、苏雅拉图和黎永锦【9 】引入了非常凸的概念，2 0 0 4 年， 冼军和黎永锦【l o 】把b a n a c h 空间的强凸的概念推广为七非常凸性( 七= l 时为非常凸 性) ，在文【9 1 0 】中得到了七非常凸空间的很多重要性质，但是，同样未能给出像 7 】 中那样的揭示凸性和可凹性联系的结果 2 b a n a c h 空间若干可凹性与凸性研究 通过凸性、可凹性和r a d o n - n i l 【o d y m 性质等三方面的上述研究，我们看到凸性 和可凹性是与r a d o r 卜n i k o d y m 性质有密切的联系的两种几何性质，深入研究凸性和 可凹性必然会对r a d o n - n i k o d ) ，1 1 1 性质的研究产生重要作用，甚至对b 锄a c h 空间几何 理论的研究积极影响虽然，凸性和可凹性都与r a d o n n i k o d y m 性质有密切的联系， 但是揭示凸性和可凹性之间的直接联系的结果却很少见，笔者在学习过程中注意到了 b 锄a c h 空间几何研究在这一方面的不足，引入了各种可凹性，详细地讨论了b a l l a c h 空间的凸性和可凹性之间的联系，给出了揭示凸性和可凹性之间联系的重要结论，这 是我的硕士论文中的一个主要工作此外，以b a i l a c h 空间的一般凸集为研究对象，将 b 锄a c h 空间的凸性研究推广到了内部非空的凸集上，给出了严格凸集，一致凸集的 定义，得到严格凸集和一致凸集的一些好的性质，这是我的硕士论文中的又一个主要 工作在本文中进行的关于可凹性与凸性的研究上我们取得了较好的结果 全文共分为三章 第一章：引入了弱可凹点，弱可凹点和一致可凹集的概念，并以此为工具刻画 了自反的非常凸空问和一致凸空间的特征，即得到，自反b 锄a c h 空间的单位球面上 每一点都是闭单位球的弱可凹点当且仅当该空间是非常凸的，自反b 锄a c h 空间的单 位球是一致可凹集当且仅当该空间是一致凸的；讨论了两个非常凸( 强凸) 空间的乘 积空间的单位球面上的弱可凹点的分布情况以及乘积空间的弱可凹性；得到了各种可 凹性的很多好的性质( 如，彳是严格凸空间，则u ( x + ) 上的弱可凹点在s ( x ) 上是 稠密的等等) 本章内容主要取材于笔者在导师指导下完成的下列文章：d e n t a b _ i l i t ya n d c o n v e x i t v ( 已投数学学报) 第二章：引入了七弱可凹点，七弱可凹点和七一致可凹集的概念，并以此为工具 刻画了自反的七严格凸空问、七强凸空间和七一致凸空间的特征，即得到，自反的 b a n a c h 空间的单位球面上每一点都是闭单位球的足弱可凹点当且仅当该空间是后严 格凸的，自反的b a n a c h 空问的单位球面上每一点都是闭单位球的尼可凹点当且仅当 内蒙古师范大学硕士学位论文 该空间是七强凸的，自反b a i l a c h 空间的单位球是七一致可凹集当且仅当该空间是七一 致凸的；得到了各种尼可凹性的很多好的性质( 如，如果磊s ( x + ) 是u ( x ) 的后弱 可凹点，则s ( x ) 是u ( x ) 的尼弱。强暴露点等等) ；说明了尼可凹性蕴涵让+ 1 ) 可凹性，但反过来不成立 本章内容主要取材于笔者在导师指导下完成的下列文章：肛d e m a b i l i t yi nb a i l a c h s p a c 懿( 已投n o n l i n e a ra n a l y s i s ) 第三章：b 锄a c h 空间的凸性研究总是以单位球为其研究对象，本章中以b 觚a c h 空间的一般凸集为研究对象，将b a l l a c h 空间的凸性研究的部分结果推广到了内部非 空的凸集上，给出了严格凸集，一致凸集的定义，得到严格凸集和一致凸集的一些好 的性质事实上，b a l l a c h 空间的凸集研究比b a i l a c h 空间的凸性更具有广泛性，b a i l a c h 空间的凸性研究是b a i l a c h 空间的凸集的凸性研究的一个特例 本章内容主要取材于笔者在导师指导下完成的下列文章：b 锄a c h 空间的凸集的 凸性( 已投泛函分析) 4 第一章可凹性和凸性 第一章可凹性和凸性 1 1 有关定义、记号和引理 。本文中所涉及的空间x 为b a i l a c h 空间，x 是b a i l a c h 空间x 的共轭空间，x ”表 示x 的二次共轭空间，x 的单位球和单位球面分别用u ( x ) = x i x z ，恻i 1 ) 和 s ( 砷= x i x 置= l 表示，用k ) = x l x 置肛一而8 田表示以为球心为半径的闭 单位球，q r ) 和s ( r ) 可类似定义；对z s ( x ) ，记s = 厂l 厂文r ) ，厂( 习= 1 = ) ，对 厂s ( x ) ，记4 = 扛i x s ( 砷，厂( 习= 1 = i 吲i ) ，对任意x x 和万 o ，集合f ( 厂，万) 表示 切片缸：工u ( x ) ：厂( 石) 1 一万) ；x 中元列 吒) 强收敛于x 时，记为删，x 中元 列 毛) 弱收敛于工时，记为毛l 粉，x 中元列 弱。收敛于厂时，记为z 立专； 用j x ：x 专x ”表示典型嵌入映像，即对任意的厂f 及x x ，以( x ) ( 厂) = 厂( x ) ； 盯( x ，x + ) 表示x 的弱拓扑，在弱拓扑下的邻域叫做弱邻域，关于弱拓扑的紧( 闭) 集 叫做弱紧( 闭) 集，仃( x ，x ) 表示x 的弱拓扑，在弱拓扑下的邻域叫做弱+ 邻域，关 于弱+ 拓扑的紧( 闭) 集叫做弱紧( 闭) 集， 关于弱+ 拓扑的聚点叫做弱+ 聚点 定义1 1 1 设m 是x 的有界子集，点而m 称为m 的弱暴露点，如果存在泛函 ，s ( x + ) ，使，( 而) = s u p 缸( 力：x m ) 且对任意序列k ) ：。cm ，当，( 毛) 一，( ) 时，有_ ( 刀寸) 定义1 1 2 点而s ( x ) 称为c ，( x ) 的非常端点，如果对任意占 0 ，存在0 点的弱 邻域y ，使得对任意厂s ( x ) ，不存在口，6 u ( 柳+ l 满足而= 去( 口+ 功，i 厂( 口一功i = 岛 妇+ ( 1 一f ) 协c u ( x ) + y ( 这里f 【0 ，1 】) 定义1 1 3 【3 1 设m 是x 的子集，m 称为可凹集，如果对任意s o ，存在m ， 使得诺( m 院( t ) ) ，这里位( t ) = 缸x ：忙一t i l o ，有x 萑c d ( m 眈( 工) ) 定义1 1 4 设m 是x 的子集，m 称为弱可凹集，如果对任意0 点的弱邻域y ，有 即m ，使得矗诺( m ( 西+ y ) ) 点x m 称为m 的弱可凹点，如果对o 点的任意弱 5 内蒙古师范大学硕士学位论文 邻域矿，有x 萑c d ( m ( x + y ) ) 定义1 1 5 设是x 的子集，点，称为的弱可凹点，如果对o 点的任意 弱+ 邻域矿，有，叠历矿似( ，+ 矿) ) 定义1 1 6 【，( x ) 称为一致可凹集，如果对任意占 0 ，x s ( x ) ，存在刁 o ，使得 i n f x ( x ) 一，( y ) ：v f 蔓，y ( m 芝( x ) ) 刁 定义1 1 7 7 1x 称为强凸空间，若对任意x s ( x ) ， ) ：。cs ( x ) ，存在，最， 使得当x ( ) 一1 0 专o o ) 时，有专而仰一) 定义1 1 8 例x 称为非常凸空间，若对任意z s ( x ) ， ) ：。cs ( x ) ，存在，足， 使得当，( 吒) 专l q 专) 时，有_ 而仰一o o ) 定义1 1 9 l 1b a i l a c h 空间x 称为一致凸空间当且仅当对任意s 0 ，存在艿 o ，使 得对任意洲艄8 半i l 1 - 矾刮酬 o ， 厂s ( x ) ，存在万 o 和满足条件d i m c 尼的紧集c ，使同回c 抄x ：d c ) ，则是一个有序集再构造一个集合 n 纯) ：- ：是磊的弱+ 邻域) ，则由z e m e l o 引理，存在映射厂，使得 ( r 、 ) 田- 一) n 吒) ：一，令= 厂( n ) ：) ，则 ) 口酏c ) ：- 是x 中的 网，并且与磊 令厂= l i ( 而) j ，则厂= 1 否则o 厂 三 ，于是 ：i ( ) i 竿) 6 蔓二兰里些堡塑鱼堡 是有限集合，由于盯( x ，x ) 是h a u s d o 册拓扑，于是必存在x ：点的弱邻域矿，使得 磊：l z ( 而) i 时，有 扛：p ( 而) 一( 而) 寺( 1 一，) ) r 、y 一方面，由 z + ：| z ( 而) 一磊( 而) i 三( 1 一，) ) ，有l ( 而) i 孚另一方面，因为 ) 二c ，口：| z ( 而) 一写( 而) i o x s ( x ) ，量，存在万 0 ， 使得f ( ，万) c x ：眇一x i i 0 ，存在万 o 使 得对任削删n 当l 半l l 卜毗砟叫 o ，使以，回c 仁x ：忙一而i i o ，使得对任意，叫) 肛+ n 不等式，( ) j ，+ ( ) + ，成立若不然，存在0 点的任意弱+ 邻域矿，对任意以， 存在z u ( x ) ( ，+ 矿) ，使得，( ) o ，存在s ( x ) 上达到范数的点y s ( x ) ，使不等 式i p y 0 。，存在7 7 ( 。，1 ) ，使得粼 成立，考虑7 ，点的范 数邻域 z 。：卜刁引 字 l j 莩牛i i o ) 8 蔓二雯里磐竺塑鱼竺 证明充分性对任意z ，五，z 彳和占 0 令y = 口扛：防( 工) l s u p ，( c ) 一田和而s ( ，口，c ) ，使得 s ( 工，口，c ) c 而+ 矿，因此工( 而) s u p x ( c ) 一口 。 由于秒c ：，( y ) s u p x ( c ) 一口) 是弱闭凸集，并且 c ( 而+ y ) cc s ( x ，口，o = y c ：x ( y ) 吼l p ，( o 一口) ， 因此，历”( c ( 而+ y ) ) c y c ：x ( y ) s u p ，( c ) 一口) ，所以，叠历”( c ( 而+ 矿) ) ，因 此c 是弱可凹集 必要性设c 是弱可凹集，对任意彳，正，z x + 和占 o ，令y = 蠡扛：i z ( x ) l o ，使，( ) 一， s u p ，( 鬲”( c ( 而+ y ) ) ) ( ) 令口= 跚p x 。( c ) 一x ( ) + ，则，( 而) = s u p x ( c ) + ，一口 s u p ，( c ) 一口，这表明 而s ( ，口，c ) ，而对任意j ，s ( ，口，c ) ，有 ，( j ，) s u p x ( c ) 一口= s u p x ( c ) 一s u p ，( c ) + ( 而) 一厂= ，( 而) 一， 这表明少+ 矿，否则j ，正+ 矿，于是y c ( + 矿) c 鬲”( c ( 而+ 矿) ) ，由不等式 ( ) ，有x ( 而) 一， x ( y ) ，矛盾 定理1 3 2 设x 是自反的b 锄a c h 空间，如果s ( x ) 上的每一点都是，( x ) 的弱可 凹点，则s ( x ) 上的每一点都是u ( x ) 的弱暴露点 证明假设v s ( x ) 是u ( x ) 的弱可凹点，由h a l n - b a i l a c h 定理知，存在泛函 s ( x + ) ，使得( ) = 1 下面证明：如果存在y 。s ( x ) ，使( y 。) = 1 ，则= 否 则，而，显然，= 圭磊( 而+ 娲) 怯( 而+ ) 忙，因此性( + 虬) 忡由h a h n - b a n a c h 定理知，存在泛函盛s ( x ) ，使成( 而) 威( ) 考虑点去( + ) 的弱邻域 y = x ：l y ：c x 一圭c 而+ ，l o ，使得工( 而) 一， s u p x + ( 鬲”( x ) ( 而+ k ) ) ) ( ) 由于魄器r 、+ 劢= 勿故有气叠而+ k 进而职驯+ k ) c 了( 职驯+ 巧) ) ， 不等式( ) ，有x ( 而) 一， x ( ，) 由于x 是自反的空间，故存在 吒，) 高的子序列 氏) 函使得 h ) 品弱收敛于而，于是推出，( 而) 一， ，( 而) ，矛盾，因此s ( x ) 是 u ( x ) 的弱暴露点 定理1 3 3 设x 是自反的可分b 觚a c h 空间，如果而u ( x ) 是u ( x ) 的端点，则 而s ( x ) 是u ( 工) 的弱可凹点 证明设u ( x ) 是u ( x ) 的端点如果而s ( x ) 不是u ( x ) 的弱可凹点，则存 在。点的弱邻域矿，使得而历”( u ( x ) ( + y ) ) 由于鬲”( 饥驯( 而+ 即) c 【，( 朋且x 是自反的b a l l a c h 空间，故”( u ( 彳) ( 而+ y ) ) 是弱紧集，由l ( r e i n m i l m a l l 定理知， 历”( 鲥( 鬲”( u ( x ) ( + 矿) ) ) ) = 历”( u ( x ) ( 而+ 矿) ) ， 因此鬲”( 训( 鬲”( u ( x ) ( + y ) ) ) ) c 西琢习石再丽”事实上，由于x 是自反的可分空 间，故u ( x ) 在弱拓扑下是可度量化的，因此对任意j 鲥( 历”( ，( x ) ( 而+ y ) ) ) ，存在 一个序列 乙+ ( 1 一f 。) 只) ：。，使瓴+ ( 1 一乞堍l 瓶( 拧刊，其中，只u ( ( 而+ 功， 乙【o ，1 】由x 的自反性及0 的有界性知，存在子列协) c 锕，使得气：屯，! 嘲， _ 一f o ( f 0 0 ) ，显然f o 【o ，1 】，而，百蕊谚石i 葡”且0 + ( 1 一毛峨山( f 一呦 因此x = f o 而+ ( 卜f o ) 1 0 第一章可凹性和凸性 情形( 1 ) 如果岛= o ，则x = u ( x ) ( 而+ y ) ”； 情形( 2 ) 如果f 0 = l ，则工= 而u ( x ) ( 而+ y ) ”； 情形( 3 ) 如果f o ( o ，1 ) ，则由，y 。u ( x ) ( + y ) ”c 历”( u ( x ) ( + 矿) ) 和 c c d ( u ( x ) ( + 矿) ) 和 z 吲( 历”( u ( x ) ( + y ) ) ) ，有x = 而= 西蕊谚石了砑”，于是，综合( 1 ) ，( 2 ) 和( 3 ) ， 有历”( 鲥( 历”( u ( x ) ( 而+ y ) ”) c 西琢习石了而”，又因为 e 艇u ( x ) n 鬲”( 【，( x ) ( + y ) ) c 麟f ( 鬲”( u ( x ) ( + y ) ) ， 所以有而硎( 鬲”( u ( x ) ( 而+ y ) ) c 西琢习石了丽”，矛盾 定理1 3 4 如果而s ( x ) 是【，( x ) 的马马可凹点，则而是u ( x ) 的非常端点 证明假设而s ( x ) 不是【，( x ) 的非常端点，则存在 0 ，对任意o 点的任意弱 邻域矿，存在五s ( x + ) ，存在口，6 u ( x ) + 矿，满足 而= 去( n + 6 ) ，i 厂( 口一6 ) | - 岛， 细+ ( 1 一f ) 妨c u ( x ) + 矿( 这里f 【o ，1 】) 考虑。点的弱邻域y = 扛：i 兀( x ) i 詈) 和集合 ) ( 这里 ) 是弱拓扑的凸的，平 衡的邻域基) ，则 珞r 、y ) 是弱拓扑的凸的，平衡的邻域基对任意厂、y ，存在 ，u ( x ) + n y ，满足 = 去+ ，l ( 一) i = 岛， 砌占+ ( 1 一f ) ) c u ( 彳) + 厂、y ( 这里f o ，l 】) 而= 丢( + 哝) = 圭( 口：+ ) + 圭( 口：+ 醛) ， i 石( 一而) l = 隆五( 一) l = 詈， l 石( 口；一而) | i 五( 一而) i i 石( 一口钏一詈= 由于u ( x ) 是凸集且n y 是平衡凸集，故三( 口；+ ) u ( x ) ，三( 口；+ 醛) n y ， 令圪= x ：i 厶( x ) l 詈) ，显然口；正而+ ，同样萑+ ，因此以，u ( x ) ( 而+ ) ， 进而有圭( 口；+ ) ( u ( x ) ( 而+ ) ) 另一方面，由圭( 口；+ ) = 而一三( 口；+ 巧) 及 内蒙古师范大学硕士学位论文 一昙( 口；+ 西) n y ，有吾( + ) = 而+ ny 因为 n 乃是弱拓扑的凸的，平衡 的邻域基，于是由弱闭包的定义知，而历”( u ( x ) ( 而+ ) ) ，这与而s ( x ) 是u ( x ) 的弱可凹点矛盾 定理1 3 5 设x 为自反的可分空间，对x x 赋予范数i l ( x ，y ) 0 = m a ) 【钏x l | ，| i y i i ) ，则 z x 按上述范数构成一个b 锄a c h 空间，并且当五，而是u ( x ) 的弱可凹点时，( 五，而) 是u = u ( x ) u ( x ) 的弱可凹点 证明首先，很容易验证x 彳是b a i l a c h 空间其次，设五，恐是【厂( x ) 的弱可凹 点，则由定理1 3 4 知，五，恐是u ( x ) 的非常端点，显然五，而是u ( x ) 的端点下面证 明( 五，恐) 是u ( x ) u ( x ) 的端点若( 乃，扔) ，( z 。，乞) u ( x ) u ( x ) ，且 ( 五，恐) = 圭( 乃，奶) + 兰( z 。，z 2 ) = ( 圭咒+ 三z 。，三儿+ 圭z 2 ) ， 则五= 圭朋+ 三z 。，而= 三儿+ 圭z 2 ，由于玉，屯是u ( x ) 的端点，则五= 咒= z l ，恐= 儿= z ： 所以“，屯) = “，儿) = ( 毛，z 2 ) ，故( ，恐) 是硼硼的端点由定理1 3 3 知，( 五，屯) 是u ( x ) 【厂( x ) = u ( z x ) 的弱可凹点 定理1 3 6 设x 是非常凸空间，x x 是范数l l ( x ，y ) 0 = m a ) 【 l | x y 0 ) 下的b 粕a c h 空间若五，乃s ( x ) ，则( 五，乃) 是u ( x x ) 的弱可凹点，若忙0 = l ，慨0 o ，厂( x 加，考虑( o o ) 点在服x 的弱拓扑盯( x x ，( x x ) ) 下的邻 域 力：l 八五圳 砖，并定义泛函彳= mo ) ，石= 们破v x x 则忻( x ) i i l i 州例， 而且z 是线性泛函，这表明z x ，f = 1 ，2 构造集合g = 缸：i 彳( 曲l 导) 缸：阮( x ) i 等) ， 则g 是x ( 它的拓扑为弱拓扑仃( 彳，x + ) ) 的乘积拓扑盯( x ，x ) 仃( x ，x ) 的开集，