（基础数学专业论文）a+mean+value+theorem+for+automorphic+lfunctions.pdf

中文摘要 l 函数是一种生成函数，它的来源可以是算术几何，比如定义在数域上的椭圆 曲线，或是自守形式根据l a n g l a d s 纲领，任何一个一般的厶函数都可以分解 为g l 。q 上的自守表示的l 函数的乘积因此，g l 。q 上的这些自守l 一函数 就是构建l a n g l a n d s 纲领大厦的砖瓦，因而具有非常深刻的理论意义 本文中，我们将研究g l 2 q 上的全纯尖形式对应的自守l 一函数 我们首先考虑g l l 的情况 ( ( s ) 为r i e m a n n z e t a 函数，这里s = 盯+ i t h a r d y 和l i t t l e w o o d 研究了二次积分均值 3 c t ，= 扪e ( 扣) 卜 并且证明了当丁_ 时， 3 ( t ) 一l o g t( o 1 ) 这就是说l ( ( + t ) 1 2 的均值为l o g t 记7s7 + 为( ( s ) 函数的连续零点的纵坐标 在r i e m a n n 猜想下，c o n r e ya n dg h o s h 定义了离散均值 。c t ，= 丽1 。毫州m ”= t l e ( 1 2 ， 并且证明了 。( t ) 一下e 2 - - 5 l 。g 丁， 这里n ( t ) 是非显然零点p = + i 7 的个数，0 7 t 界情况下的均值为学l o g t 注意到5 等= 1 f 1 9 4 5 ， 把公式( o 1 ) 和( 0 2 ) 记做 9 ( 丁) 一学了( n ( 0 2 ) 这说明i ( ( + 越) 1 2 在临 大于1 所以。我们可以 ( o 3 ) 本文中，我们研究s l 2 ( z ) 上的全纯尖形式，对应的自守l 一函数l ( f ，s ) v s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n 定义 了c t ，= ；：r l 二f ，互1 + i t ) 1 2 如 在广义r i e m a n n 假设下，即l ( f ，s ) 的所有非显然零点都位于扩= j 上 为l ( f ，8 数连续零点鲍缴坐檬， 静慎t ) 一丽1 。磊，墨蚤主1 棚) 2 ， ( 0 4 ) 记7 曼7 + ( 0 5 ) 这里n ( f ，t ) 鼹l ( f ，s ) 的非戥然零点p = + 竹的个数，0 7 曼t 我们有 n ( f ，? ) 。寺1 0 9 赢+ o ( t 2 o g r ) ； ( o 6 ) 个个 和经典的r i e m a n d - z e t a 函数的零点个数 嗣= 嘉l o g 豪+ o ( 1 0 9 t ) 皴魄较 我们有下面的结果 宠谨o 1 。设l ( f ，s ) 为s 2 z ) 上静全纯灸形式，黯应豹囊守三一蕊数，在广 义r i e m a n n 假设下， d ( ，t ) 一3 ( ，t ) + 两( ，丁) ，( o 7 ) 这里 聊，= 黑 哪) = 鬻c 。s ( 4 霄再一；) ( 0 8 ) l n ( p r ( n ) 为依赖子，的菜个常数 v l s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n 这里l ( f ，s ) 是2 阶l 函数，而( ( s ) 阶为1 由( 0 8 ) ，易知l ( f ，s ) 比( ( s ) 研究起来更困难在引理7 1 中我们将证明 h ( t 1 t 1 “， 遗憾地是，现在的方法不能得到( 0 8 ) 中h ( t ) 的渐进公式因此，我们在5 7 中将 给出一些探索性的讨论，给出 t h ( t ) t l 0 9 2 t ， 以及如果甘( 丁) 阶为t l 0 9 2 t ，则有渐进公式h ( 丁) 一c l t l 0 9 2 t 我们提出了 猜想0 2 存在常数c 0 ， 曰( t ) 一( 1 + c ) 了( ，t ) 常数c 至多依赖于，的权 关键词：全纯尖形式，自守厶函数，广义r i e m a n n 猜想，广义r a m a n u j a n 猜想。 广义l i n d e l s f 猜想 a b s t r a c t g e n e r a l l ys p e a k m g ，a nl - f u n c t i o ni sat y p eo fg e n e r a t i n gf u n c t i o nf o r m e do u t o fl o c a ld a t aw i t he i t h e ra na r i t h m e t i c - g e o m e t r i co b j e c t s u c ha sa i le l l i p t i cc u r v e d e f i n e do v e ran u m b e rf i e l d ，o ra na u t o m o r p h i cf o r m a c c o r d i n gt oc o n j e c t u r e si n t h el a n g l a n d sp r o g r a m ，a n y m o s tg e n e r a l l - f u n c t i o ns h o u l di nf a c tf a c t o r i z ei n t o ap r o d u c to fl - f u n c t i o n so fa u t o m o r p h i cc u s p i d a lr e p r e s e n t a t i o n so fg l 。； t h u s t h e s ea u t o m o r p h i cl - f u n c t i o n so fg l m qa r eb u i l d i n gb l o c k sf o ra l l ”m o s tg e n e r a l ” l - f u n c t i o n s ，a n dh e n c ed e s e r v e sd e e pi n v e s t i g a t i o n i nt h i st h e s i s ，w es t u d ya u t o m o r p h i cl f u n c t i o n sa t t a c h e dt oh o l o m o r p h i cc u s p f o r m so fg 如q w eb e g i no u rd i s c u s s i o nw i t ht h ec a s eo fg l i l e t ( ( s ) w i t h8 = 盯+ 乱b e t h er i e m a n nz e t a - f u n c t i o n h a r d ya n dl i t t l e w o o di n v e s t i g a t e dt h ei n t e g r a lm e a n 刚扑8 3 ( t ，：抓( 划i t 2 d t ) = 景fl l 云+l l a n dp r o v e d t h a t ，a s t o 。， 丁( ? 。) 一l o g r【0 1 ) t h i sm e a n st h a tt h ea v e r a g ev a l u eo fj ( ( + i t ) 1 2i sl o gt a s s u m i n gt h er i e m a n n h y p o t h e s i sa n dd e n o t i n gb y y 7 + s u c c e s s i v eo r d i n a t e so fz e r o so f ( ( s ) ，c o n r e y a n dg h o s hd e 矗n e dt h ed i s c r e t em e a ns q u a r e 刃c t ，= 南。乏，m t a x - t + 舱j 枷) | 2 a n de s t a b l i s h e dt h ef o r m u l a d ( t ) 。掣l o g t ， ( o 2 ) w h e r en ( t ) i st h en u m b e ro fn o n - t r i v i a lz e r o sp = j + 竹w i t h0 7stt h i s s h o w st h a tt h ea v e r a g eo f ( ( + 托) i 。a tac r i t i c a lp o i n ti s 每5l o gt n o t et h a t s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n 5 挚= 1 1 9 4 5 i sl a r g e r t h a n1 a l s o ，w em a y r e w r i t et h ef o r m u l a e ( o 1 ) a n d ( o 2 ) 。( t ) 。擘了( t ) ( o 3 ) i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t et h i sp h e n o m e n o nf o rt h ea u t o m o r p h i cl f u n c t i o n s l ( ， s ) a t t a c h e dt oah o l o m o r p h i cc u s pf o r m sfo fs l 2 ( z ) d e f i n e 耵= 扪f 扣) 卜 c o t ， a s s u m et h eg e n e r a l i z e dr i e m a n nh y p o t h e s i sf o rl ( f ，s ) t h a ta l lt h en o n t r i v i a l z e r o so fl ( f ，s ) l i eo nt h ec r i t i c a ll i n e 仃= i 1 l e t7 7 + b es u c c e s s i v eo r d i n a t e so f z e r o so fl ( f ，s ) ，a n d 。丁，= 击。毫倒m ”a x 吣1 2 ， 他 w h e r en ( f ，t ) i st h en u m b e ro f n o n - t r i v i a lz e r o sp = + i 7o f l ( f ，s ) w i t h0 7 t i 伯r e m a r kt h a t ( ，t ) = 嘉1 0 9 南+ o ( 1 0 9 r ) ； ( o 6 ) pr2 t h i sc a nb ec o m p a r e dw i t ht h ec l a s s i c a lf o r m u l a ( t ) = 爵tl 。g 丽t + o ( 1 0 9 t ) f o rt h er i e m a n nz e t a ，f h n c t i o n o u rm a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n g t h e o r e m0 1 l e t 工( ，s ) b et h ea u t o m o r p h i cl - f u n c t i o n sa t t a c h e dt oh o l o m o r p h i cc u s p ，d r m 8fo s l 2 ( z ) ，a n d s “m et h eg e n e r a l i z e dr i e m a n nh y p o t h e s i s ，d rl ( f ，8 ) t h e n o ( ，t ) 一了( ，t ) + 两( ，t ) ， ( o 7 ) 1 1 s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n w i t e r e w i t h 孵，= 爨 即) = 筹c o s ( 4 ”而一；) f 0 8 ) 1 n t 2 a n dr ( 7 7 ) c e r t a z nc o e f f i c i e n t sd e p e n d i n go n ， o u rl ( f ，s ) i sa nl - f u n c t i o no f o r d e r2 ，w h i l e ( ( s ) i so f o r d e r1 f r o m ( o 8 ) ，i ti s c l e a r l ys e e nt h a tl ( i 8 ) i se s s e n t i a l l ym o r ed i f f i c u l tt h a ne ( s ) w ep r o v ei nl e m m a 71t h a t h ( t 1 t 1 “ u n f o r t u n a t e l y h o w e v e r ，c u r r e n tt e c h n i q u e sd on o ts e e mc a p a b l eo fd e r i v i n ga n a s y m p t o t i cf o r m u l af o rh ( t ) v i a ( 0 8 ) w et h e r e f o r eg i v ei n5 7h e u r i s t i ca r g u m e n t s ， w h i c hs u g g e s tt h a t t h ( t ) t l 0 9 2 t ， a n di fh ( t ) i so fo r d e rtl 0 9 2t ，t h e na na s y m p t o t i cf o r m u l ah ( t ) 一c 1tl 0 9 2 丁 e x i s t s t h i sl e a d sf u r t h e rt o c o n j e c t u r e0 2 t h e r ee x i s t sac o n s t a n tc20 ，s u c ht h a t d ( ，t ) 一( 1 + c ) 3 ( f ，t ) t h ec o n s t a n tcd e p e n d sa tm o s to nt h ew e i g h tko fi k e yw o r d s ：h o l o m o r p h i cc u s pf o r m ，a u t o m o r p h i cl - f u n c t i o n ，g e n e r a l i z e dr i e m a n n h y p o t h e s i s g e n e r a l i z e dr a m a n u j a nc o n j e c t u r e ，g e n e r a l i z e dl i n d e l s fh y p o t h e s i s 1 1 1 s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n 原刨性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中己经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方 式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：塑盔日期： 关于学位论文使用授权的声明 乃卯以偿5 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 论：篁雯：垒争期：趟：限j论文作者签名：皇王丑导师签名! ! 些芋期：趟：，zj c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n g e n e r a l l ys p e a k i n g ，a nl - f u n c t i o ni sat y p eo fg e n e r a t i n gf u n c t i o nf o r m e do u t o fl o c a ld a t aw i t he i t h e ra na r i t h m e t i c g e o m e t r i co b j e c t ，s u c ha sa ne l l i p t i cc u r v e d e f t n e do 、r e ran u m b e rf i e l d ，o ra na u t o m o r p h i cf o r m a c c o r d i n gt oc o n j e c t u r e si n t h el a n g l a n d sp r o g r a m ，a n y m o s tg e n e r a l ”l f u n c t i o ns h o u l di nf a c tf a c t o r i z ei n t o ad r o d u c to fl - f u n c t i o n so fa u t o m o r p h i cc u s p i d a lr e p r e s e n t a t i o n so fg l m q t h u s t h e s ea u t o m o r p h i cl - f u n c t i o n so fg l m qa r eb u i l d i n gb l o c k sf o ra l l ”m o s tg e n e r a l ” l - f u n c t i o n s ，a n dh e n c ed e s e r v e sd e e pi n v e s t i g a t i o n i nt h i st h e s i s ，w es t u d ya u t o m o r p h i cl - f u n c t i o n sa t t a c h e dt oh o l o m o r p h i cc u s p f o r m so fg l 2 q w eb e g i no u rd i s c u s s i o nw i t ht h ec a s eo fg l l l e t ( ( s ) w i t hs = 盯+ i t b et h e r j e m a n nz e t a - f u n c t i o n ，h a r d ya n dl i t t l e w o o d1 8 】i n v e s t i g a t e d t h ei n t e g r a lm e a n 孵，= 堋e ( 扣) 卜 a n dp r o v e dt h a t a st _ o o ， 3 ( t ) 一l o g t ( 1 1 ) t h i sm e a n st h a tt h ea v e r a g ev a l u eo fi ( ( + 删。i sl o g t a s s u m i n gt h em 8 m a n n h y p o t h e s i sa n dd e n o t i n gb y ，y 7 + s u c c e s s i v eo r d i n a t e so fz e r o so f ( ( s ) ，c o n r e y a n dg h o s h 【2 jd e f i n e dt h ed i s c r e t em e a ns q u a r e 9 e 丁，= 志。乏器枷) 2 ， a n de s t a b l i s h e dt h ef o r m u l a o ( t ) 。掣1 l o g t ， ( 1 2 ) o ( t ) 一三i _ = ， ( 1 2 ) s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n w h e r en ( t ) i st h en u m b d ro fn o n - t r i v i a lz e r o sp = j 1 + i 7w i t h0 7 t ，t h i s s h o w st h a tt h ea v e r a g eo fl ( ( ；+ 删2a tac r i t i c a lp o i n ti s 挚l o g n o t et h a t 单= 1 1 9 4 5 i sl a r g e rt h a n1 a l s o ，w em a yr e w r i t et h ef o r m u l a e ( 1 1 ) a n d ( 12 ) o ( t ) 。三3 ( 丁) ( 13 1 o ( t ) 一二_ 二3 ( 丁) ( 13 1 i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t et h i sp h e n o m e n o nf o rt h ea u t o m o r p h i c 一f u n c t i o n s l ( ，s ) a t t a c h e dt oah o l o m o r p h i cc u s pf o r m s ，o fs l y ( z ) d e f i n e 附，t ，= 参丁l l 扣) 卜 。， a s s u m et h eg e n e r a l i z e dr i e m a n nh y p o t h e s i sf o rl ( ，s ) t h a ta l lt h el i o n t r i x i a l z e r o so fl ( ，s ) l i eo nt h ec r i t i c a ll i n e 盯2j 1 l e t1 兰7 + b es u c c e s s i x eo r d i n a t e so f z e r o so fl ( i ，s ) ，a n d 。( ，丁) = 丽1 。萎t ，器娶互1 棚) 1 2 ， ( 1 s ， w h e r en ( f ，t ) i st h en u m b e ro f n o n t r i v i a lz e r o sp = + 竹o fl ( i ，s ) w i t h0 7s7 w er e m a r kt h a tb y1 w a n i e ca n dk o w a l s k il l o l ，t h e o r e m5 8 ， ( ，t ) = 寺1 。g 南+ d ( 1 。g 丁) ： ( 16 ) t们 t h i sc a l lb ec o m p a r e dw i t ht h ec l a s s i c a lf o r m u l a ( t ) = l 2 7 r 1 。8 丽t + o o 。g t ) f o rt h er i e m a n nz e t a f 1 1 n c t i o n o u rm a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n g t h e o r e m1 1 l e tl ( ，s ) b et h ea u t o m o r p h i cl - f u n c t i o n sa t t a c h e dt oh o l o ” m o r p h i cc u s pl o r m s o fs l 2 ( z ) a n d s t m et h eg e n e r a l i z e dr i e m a n nh y p o t h e s i s s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n 扫r l ( ，s ) t h e n w h e r e w i t h 9 ( ，t ) 一3 ( ，t + 痨，? ) ，l + ? ) 再( ，t ) ； ( t ) = 7 叫( n 。) c o s ( 4 霄诉一鼍) 1 n t 2 a n dr ( n ) c e r t a i nc o e l 乔c i e n t 8d e p e n d i n go nf ( 1 , 8 ) f o rap r e c i s ed e f i n i t i o no fr ( n ) i nt e r m so ft h ec o n v o l u t i o no ff o u r i e rc o e f f i c i e n t s f ，s e e 7 ，2 j o u rl ( f ，8 ) i sa nl - f u n c t i o no fo r d e r2 ，w h i l e ( ( s ) i so fo r d e r1 。f r o m ( 1 8 ) ， i ti sc l e a r l ys e e nt h a tl ( i ，s ) i se s s e n t i a l l ym o r ed i f f i c u l tt h a n ( f s ) a c t u a l l y t h e f o l l o w i n gt w om a i nd i f f i c u l t i e si n ( 1 8 ) a r ei n t r i n s i cf o rt h ea u t o m o r p h i cl - f u n c t i o n s l ( f ，s ) ： ( 1 ) t h ee x t r ao s c i l l a t i n gt e r mc o s ( 4 7 r 而：) ，w h i c hi sv e r yd i f f i c u l tt oh a n d l e i np r a c t i c e ； ( 2 ) t h eb i g g e ri n t e r v a lo fs u m m a t i o n1 n ( 嚣) 2w h i c h ，w i t he f f o r t ，i sj u s t u n d e rc o n t r o lb u tw i t hab a de r r o rt e r m f o rc o m p a r i s o n ，w en o t et h a t ，i nt h ec a s eo ft h ec l a s s i c a lr i e m a n nz e t a - f u n c t i o n i nc o n r e ya n dg h o s h 潞t h ec o sf a c t o ri n 1 8 ) i sr e p l a c e db y e a s ( 4 r n - ：) 一诱1 ， t h e 付叫4i n ( 1 8 ) d i s a p p e a r s ，a n dt h es u m m a t i o ni so v e rt h es h o r t e rr a n g e t 磊 3 ，o 羔新 皤一锯 璺酗 s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n t h a ti s ，i nt h ec a s eo f ( ( 瓴w eh a v e ，i n s t e a do ft h e8 1 1 mo nt h er i g h t - h a n ds i d eo f ( 1 8 ) ， 6 嚣) n s 蟊 f o rc e r t a i ng o o d6 ( 嚣) ，w h i c hc a l lb ee v a l u a t e dq u i t ec o m f o r t a b l yb yp e r r o n sf o r m u l a w ep r o v ei nl e m m a7 1t h a t h ( t 1 t 1 + 5 u n f o r t u n a t e l y , h o w e v e r ，c u r r e n tt e c h n i q u e sd on o ts e e mc a p a b l eo fd e r i v i n ga n a s y m p t o t i cf o r m u l a f o rh ( t ) v i a ( 1 。8 ) w et h e r e f o r eg i v ei n 7h e u r i s t i ca r g u m e n t s ， w h i c hs u g g e s tt h a t t h ( t ) t l 0 9 2 疋 a n di fh ( t ) i so fo r d e rt l 0 9 2 t ，t h e na na s y m p t o t i cf o r m u l ah ( t ) 一c l t l 0 9 2 t e x i s t s 。t h i si m p l i e st h a t o ( i ) s 两( ，t ) l o g 正 a n di ft h eo r d e ro fs ( f ，i sl o gt ，t h e na na s y m p t o t i cf o r m u l a 两( ，t ) 一c 2l o gt e x i s t s t h i s ，t o g e t h e rw i t hg o o d s 臻m e a ns q u a r ee s t i m a t e r l 己f 1t t ) 1 2 d t = c 3 t l o g t + c 4 t + o ( t l o g t 3 ( 1 。) w h e r ec 3 ，c 4a r ec o n s t a n t sd e p e n d i n g0 n ，l e a d st ot h ef o l l o w i n g c o n j e c t u r e1 2 t h e r ee x i s t s 球c o n s t a n tc 0 ，s u c h 瑰耐 霉( 矗t ) 一( 1 + c ) 0 ( 六t ) t h ec o n s t a n ted e p e n d sa tm o s to nt h ew e i g h t 奄o ff 4 c h a p t e r2h o l o m o r p h i ca u t o m o r p h i cf d r m sa n d t h e i rl f u n c t i o n s i nt h i ss e c t i o n ，w er e v i e w tf o rl a t e ru s e ，s o m eb a s i cf a c t sa b o u th o l o m o r p h i c a u t o m o r p h i cf o r m sa n dt h e i rl - f u n c t i o n s 。p r o o f so re x p l a n a t i o n sf o rt h e s er e s u l t s c a nb ef o u n di ne , g 1 w a n i e cf 9 ，c o n r e ya n d1 w a n i e c 3 1 ，a n d1 w a n i e ca n dk o w a l s k i 【l 翻。 2 1 h o l o m o r p h i ca u t o m o r p h i cf o r m sf o rs l y ( z ) t h eg r o u p r = s l ：t 嚣，= 1 ：7 = ( ：) ，a , b , c , d ez , d e t 7 = 1 ) a c t so nt h eu p p e rh a l fp l a n e 醒b y 俨诩a z + b ，i f 一7 = ( ：) a n dz 7 。2 i 雨，7 2 【cdj a n 北h l e tkb eap o s i t i v ee v e ni n t e g e r ；f o rt e c h n i c a lr e a s o n sw er e q u i r e4 1 k t h es p a c eo f c u s pf o r m so fw e i g h t i sd e n o t e db y 文( r ) ；i ti saf i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c e w i t hr e s p e c tt ot h ei n n e rp r o d u c t ，擘：，弛) ；两矿壁譬， j r n f w h e r e 譬i s t h ei n v a r i a n tm e a s u r eo n 珏l e t = ， b ea no r t h o n o r m a lb a s i so f 最( r ) w ec a r la s s u m et h a te v e r yfi sa ne i g e n f u n c t i o no ft h eh e c k eo p e r a t o r s 酗扣去三( 菱。，( 掣) f o ra l l 豫i e 矗f = a ，( 礼) ， w ec a l lj 。t h eh e c k eb a s i so f 敬f ) 。t h ee 逗e n v a l u e sa ，f 罪) a r er e l a t e dt ot h ef o u r i e r c o e f f i c i e n t so f ，( 2 ) i nf a c t ，i fw ew r i t et h ef o u r i e re x p a n s i o no f ( z ) a s 弛) = 。办) 锋丁6 - 1 e 泓) ， 5 s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n t h e n a 1 ( n ) = a f ( 1 ) a a n ) n o t et h a ti fa i ( 1 ) = 0t h e na l lt h en ，( n ) = 0 t h eh e c k ee i g e n v a l u e sa ，( 礼) a r er e a l a ，( 礼) = a f ( n ) ( 2 1 ) i no t h e rw o r d s ，si ss e l f - c o n t r a g r e d i e n t t h ee i g e n v a l u e sh a v et h ef o l l o w i n gm u l t i p l i c a t i v ep r o p e r t y a 加) a 小) = a ，( 警) 圳( m ，n j ( 2 2 ) 2 2 a u t o m o r p h i cl - f u n c t i o n sf o rh o l o m o r p h i cc u s pf o r m s t oa n yf w ea t t a c ht h ef u n c t i o n 叫= 薹学= 玎( ，一半夸1 ) 。， w h e r ef o rt h el a s te q u a l i t yw en e e dt h em u l t i p l i c a t i v ep r o p e r t y ( 2 2 ) p r o m ( 21 ) l ( 扣) = t h i si si m p o r t a n ta n dw i l lb eu s e ds e v e r a lt i m e st h r o u g h o u tt h et h e s i st h ec o m p l e t e l f u n c t i o n 岍) - ( 。矿5 r ( s + 字) 岍) i se n t i r e ，a n di ts a t i s f i e st h ef u n c t i o n a le q u a t i o n w h e r e ( s e ee g 【3 】2 ) h ( f ，s ) = w ( f ) a ( f ，1 一s ) 叫( ，) = i 6 ( 2 4 ) ( 2 5 ) s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n s i n c e4 1 kb ya s s u m p t i o n ，w ea l w a y sh a v ew ( f ) = 1 a c t u a l l yt h i si st h e r e a s o nt h a t w ea s s u m e4 i w r i t i n g g ( s ) - ( 2 柙( s + 孚) ， ( 2 。) o n ec a nr e w r i t et h ef u n c t i o n a le q u a t i o na s w h e r e l ( f ，s ) = x ( s ) l ( f ，1 一s ) x ( s ) = 掣 ( 2 ，7 ) ( 2 8 ) t h r e em a i nc o n j e c t u r e sf o ra u t o m o r p h i cl - f u n c t i o n s n o ww et u r n t ot h r e ef a r - r e a c h i n gc o n j e c t u r e si nt h et h e o r yo fa u t o m o r p h i cl f u n c t i o n s ：t h e g e n e r a l i z e dc o n j e c t u r e so fr i e m a n n ，o fl i n d e l h f , a n do fr a m a n u j a n t h e g e n e r a l i z e dr a m a n u j a nc o n j e c t u r e ( g r ci nb r i e f ) s a y st h a t ，i nt h ed e n o m i n a t o ro f ( 2 3 ) ，t h eq u a d r a t i cp o l y n o m i a l 1 一a a p ) x + x 2 w i t hx = p ，h a sc o m p l e xc o n j u g a t er e c i p r o c a lr o o t sa 加) a n d 百丽；e q u i v a l e n t l y l e 1 一a t ( p ) x + x 2 = ( 1 一n ，( p ) x ) ( 1 一面7 砑x ) - ( p ) + 一a t e ) = a t ( p ) ，口，( p ) 五灭两= 1 d ，) i 卜i ( 2 9 ) i nt h ep r e s e n tc a s e ，t h i sd e e pc o n j e c t u r eh a sb e e np r o v e db yd e l i g n e 【5 1 i tf o l l o w s f r o m ( 2 9 ) t h a t l a ，( p ) 1 2 ， s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n a n dh e n c e x i ( n ) l d 坼) ( 2 1 0 1 w h e r ed ( 礼) i st h ed i v i s o rf u n c t i o n s e ee g 【1 0 1 ，( 1 4 5 4 ) t h e g e n e r a l i z e dp d e m a n nh y p o t h e s i s ( g r hi nb r i e f ) c o n c e r n st h ed i s t r i b u t i o n o fz e r o s