（基础数学专业论文）banach空间脉冲发展方程初值问题解的存在性.pdf

题 摘要 本文应用算子半群理论讨论了无穷区间上b a n a c h 空间x 中的脉冲发展方程初值问 陛撼：鬯爿，吼喇女 l l a b s t r a c t b a s e do nt h es e m i g r o u p so fl i n e a ro p e r a t o r st h e o r y , t h ep a p e rd i s c u s s e d t h ee x i s t e n c eo fm i l ds o l u t i o n sa n du n i q u e n e s so fc l a s s i c a ls o l u t i o n st ot h e i n i t i a lv a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a ri m p u l s i v ee v o l u t i o ne q u a t i o n s t t k i nb a n a c hs p a c e so ni n f i n i t ei n t e r v a la n dt h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s 1 t h ei m p u l s i v ef u n c t i o n sn o tu s i n ga n ye x t r ac o n d i t i o n sa n dt h es e m i - g r o u p sb e i n ga n a l y t i co rc o m p a c t ，t h ea u t h o ro b t a i n st h ee x i s t e n c er e s u l t s o fm i l ds o l u t i o n sa n du n i q u e n e s so fc l a s s i c a ls o l u t i o n sb yt h em e t h o do f e x t e n d i n gi n t e r v a lb yi n t e r v a lo ni n f i n i t ei n t e r v a l 2 t h ei m p u l s i v ef u n c t i o n su s i n gv e r yf e wc o n d i t i o n s e x t r ac o n d i t i o n sa n dt h es e m i g r o u p sb e i n gp o s i t i v e ，t h e t h ee x i s t e n c er e s u l t so fm i l ds o l u t i o n so nf i n i t eo ri n f i n i t e t h em o n o t o n ei t e r a t i v em e t h o d o rn o tu s i n ga n y a u t h o rd i s c u s s e s i n t e r v a lb yu s i n g 3 a p p l i c a t i o n st ot h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m sf o rt h ei m p u l s i v ep a r a b o l i c p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h ea u t h o ro b t a i n st h ee x i s t e n c er e s u l t so fc l a s - s i c a ls o l u t i o n s k e y w o r d s ：b a n a c hs p a c e s ；e v o l u t i o ne q u a t i o n s ；i m p u l s i v ef u n c t i o n s ； c 0 s e m i g r o u p s ；i n i t i a lv a l u ep r o b l e m s ；m e a s u r eo fn o n c o m p a c t n e s s ；c o n v e x c o n e ；p a r t i a lo r d e r ；m i l ds o l u t i o n ；c l a s s i c a ls o l u t i o n s u b j e c tc l a s s i c a t i o n ：0 1 7 5 1 5 一 叭 = 、j螂懒 厶 以1 | 知 1 i | | 幻叱”比如印 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：整日期：j 丝厶年月王日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文 的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保 密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：一熊 导师签名：查墨三鲎日期：立塑厶年月三日 l , - - i t - - 月l j 旨 发展方程( e v o l u t i o ne q u a t i o n ) ，又称演化方程或进化方程，广义地说，是包含时间变 数t 的许多重要的数学物理偏微分方程的统称，在物理、力学或其他自然科学中用来描 述随时间而演变的状态或过程狭义地说，它是指可以用半群方法化为一个b a n a c h 空 间中的抽象常微分方程的c a u c h y 问题来处理的那些数学物理方程波动方程、热传导 方程、s c h r & d i n g e r 方程、流体动力学方程组、k d v 方程、反应扩散方程等等以及由这 些方程通过适当的方式耦含起来的种种耦合方程组，都属于发展方程的范畴 近年来，从现实生活中抽象出来的数学模型中，脉冲微分方程和发展方程起着越来 越重要的作用，尤其是在控制论，生物或医药等领域1 3 】因此，关于脉冲方程的研究也越 来越引起人们的关注与重视，其理论正在不断的丰富和完善 关于b a n a c h 空间中一阶脉冲常微分方程初值问题 i 0 ) = ，8 ，e ( ) ) ，t j = f o ，司，t 靠 u l 目“= 疋( u ( k ) ) ，( k = 1 ，2 ，一，m ) i “( o ) = z o 解的存在性已有许多结果见文【l j i l l l 】， 1 2 】等然而，许多含时间t 的数学物理方程化为 抽象空间中的发展方程时，都含有无界闭算子项a ，a 对应于线性偏微分算子( 见文【2 】) 方程的基本形式如下： i ( t ) + a u ( t ) = f ( t ，u ( t ) ) ，t j = 【0 ，o 】，t t k 气 l “( o ) = x o 这时，方程的性质发生了质的变化，许多常微分方程的理论不再适用于是，这使得这 类问题变得比较复杂，其理论发展的比较缓慢，但也取得了些重要的成果，如在文献 f 3 0 】中，作者在较弱的非紧性测度条件下获得了该问题的m i l d 解的存在性，并利用单 调迭代方法获得了正m i l d 解的存在性，但这些都是在等度连续半群的条件下获得的 前言 对于脉冲发展方程： l 牡7 ( t ) + a u ( t ) = ( t ，u ( t ) ) ，t j = 【0 ，叫，t t k a u t ：t 。= 氏( u ( 如) ) ，( k = 1 ，2 ，m ) iu ( o ) = x o 也有一些结果，见文【5 - 8 1 然而，这些结果多是建立在有限区间上的，对于无穷区间上 的脉冲发展方程初值问题的整体m i l d 解以及古典解存在性结果还比较少，并且都对脉 冲项加了很强的条件 本文的主要目的是讨论无穷区间上脉冲发展方程初值问题的整体m i l d 解以及古典 解的存在性# 使用的主要工具是半序理论以及算子半群的相关知识；主要思路是先考虑 非脉冲情形下初值问题m i l d 解的整体存在性与唯一性，然后用逐段延拓的方法，考虑脉 冲发展方程初值问题m i l d 解的存在性与唯一性我们在对脉冲项加很少限制或不限制 任何条件的情形下，获得了无穷区间上脉冲发展方程初值问题的整体m i l d 解以及古典解 的存在性以及唯一性结果，推广了已有的工作本文的研究结果表明，对于脉冲发展方程 初值问题，本质上与非脉冲情形是一致的 本文结构安排如下： l 中，我们整理了本文要涉及到的预备知识，包括半序理论以及线性发展方程有 关预备结果 2 中，我们在紧半群以及解析半群的情形下，对脉冲函数不加任何限制，通过非脉 冲情形下初值问题解的存在性结果，用逐段延拓的方法，获得了b a n a c h 空间无穷区间上 脉冲发展方程初值问题m i l d 解的存在性以及古典解的存在唯一性 3 中，在正半群情形下，我们运用单调迭代方法，先讨论了有限区间上脉冲发展方 程初值问题m i l d 解的存在性。并且该解可通过单调迭代求解；然后在脉冲函数仅单调的 情形下得到了无穷区间上脉冲发展方程初值问题m i l d 解的存在性，建立了一个无穷区间 上的上下解定理；最后，在不假定上下解存在以及对脉冲函数不加任何限制条件的情形 下得到了无穷区间上脉冲发展方程初值问题正m i l d 解的存在唯一性用单调迭代方法 讨论有限或无穷区间上脉冲发展方程初值问题解的存在性，作者未见相关文献 4 中，我们将所得结果运用到了含脉冲的抛物型偏微分方程的初边值问题上，获得 了古典解的存在性结果 2 1 预备结果 1 1 锥与半序 熟知b a n a e h 空间中的序结构与闭凸锥是两个等价的概念，一个序关系总可由一个 闭凸锥引出( 见文【1 7 1 与【2 1 】) 设x 为b a n a c h 空间，p 为x 中的闭凸锥，则可由p 引 出x 中的序关系兰：z y 甘y z p ，使x 按” 0 ，使得当0 z 墨y 时，有 l g l l v l l ，其中n 为正规常数称p 是正则锥，是指：x 中任何单调序有界序列必收 敛如果任何。x 都可以表示成。= y z 的形式，其中y p z p i 则称锥p 是再 生的， 令i = i t o ，t i ，记c ( i ，x ) 为定义于j 取值于x 的抽象连续函数按范数i i u l l 。= m 。a xi i , , ( t ) l l 构成的b a n a c h 空间若x 为有序b a n a c h 空间，设其正元锥为p ，则g ( j ，x ) 按序关系牡u 营 ( t ) s 口( t ) ，i ，亦为有序b a n a c h 空间，以后c ( i ，x ) 中的半序s 总是这样引入显然该半序由c ( i ，x ) 中的闭凸锥k = u c ( i ，x ) iu p t j ) 引出当p 为正规锥时，k 亦为正规锥，且正规常数相同对z ，y x ，z y ，以后记 陋，口1 = u xizs 可) ，称为x 中的序区间，而对乱，”c ( i ，x ) ，us ，心， 】表 示c ( i ，x ) 中的序区问 1 2 非紧性测度 定义1 1 设x 是实b a n a e h 空间，s 是x 中的有界集，令 o ( s ) = i n f c f 0is = u n b l 马，d i a m ( b t ) 6 ，i = 1 ，2 ，礼) 显然，0 o ( s ) 0 时，t ( t ) 为x 中的紧 定义1 7f 2 】设= 如i 妒1 p ( z ) 妒2 ) 为复平面上的角形区域，其中一” 妒l 0 忱 0 ) 为一a 生成的解析半群，q 0 ，定义a 的 一。次幂为： 俨= 志z 。一t 出 5 1 预备结果 定义1 1 0 【2 l 设a 为扇形算子，n 0 ，定义a 的o f 次幂为： a 。= ( a 一。) 一1 特别地：n = 0 时，a o = i 定义1 1 11 2 】记托为d ( 月? ) ( 0 o 1 ) 按图象范数： i 。= i i a o x l l 构成的b a n a c h 空间称为内插空间 关于内插空间，有下面的基本性质： 引理1 4 【目设一a 生成指数稳定的解析半群t 0 ) ，则： ( o ) t ( t ) ：x 一托关于t 在( 0 ，+ 。) 上按算予范数连续； ( 6 ) 当z d ( a 。) 时，t ( t ) a 。= a 。t 0 ) $ ； ( c ) l i a 。t ( t ) j i 霸t ”e 一，( 缸 0 ) 1 4线性发展方程的有关预备结果 ( 1 ) 非脉冲的情形 设x 为b a n a c h 空间，a 为x 中的稠定闭线性算子，j = 耻o ，t ) 为右端可开可闭的区 间考虑线性发展方程初值问题： 攀叫咄川 ， 若初值问题( 1 1 ) 对应的线性齐次方程适定，则一a 生成c o 一半群1 2 】t ( t ) ( 亡0 ) ，由熟 知的算子半群知识，3 m l ，及实数5 ，使 i i t ( t ) 0 m e “， v t 0 以后总假设一a 生成岛一半群 记墨为d ( a ) 按图像范数1 1 = i + i i a x l i 构成的b a n a c h 空间，由熟知 的结果【2 】，对v 如d ( a ) 及h c 1 ( z x ) 线性初值问题( 1 1 ) 存在唯一古典解 让( t ) c 1 ( 正x ) n d x i ) ，且u ( t ) 可表示为： 札( t ) = r 0 一t o ) z o + t ( 亡一s ) h ( s ) d s ( 1 2 ) 1 预备结果 而对x 0 x 及h c ( 正x ) ，由( 1 2 ) 式确定的“( t ) g ( 正x ) 不一定可微，是( 1 1 ) 的一 种广义解，称之为m i l d 解 同样的，对非线性方程： 一曲枷以_ ，o ，叫茚) i 挺j ( 1 3 ) iu ( t o ) = x o 若“( t ) g ( z x ) 满足积分方程： “( t ) = t o t o ) x o + t p s ) ，0 ，“( s ) ) d s 则称札为方程( 1 3 ) 的m i l d 解 ( 2 ) 含脉冲的情形 设x 为b a n a c h 空间，考虑含脉冲线性发展方程初值问题： i ( t ) + a u ( t ) = 0 ) ，t j ( d r j 矗) ，t “ 1 u ( 叫0 ) 。= “x 。o 。l 2 = 1 2 。一，m ，。r 。= 1 2 ( 1 4 ) 其中j = 【0 ，卅( t 0 ) ，0 = t o t 1 k t m + l = t ( o r 如= i o ，+ o 。) ，0 = t o t 1 t 。 ，k _ o o ( m - o 。) ) x o x ，厶：x _ x ( k = 1 ，2 ，m ) ( o r k = 1 ，2 ，) uj 。表示u ( t ) 在t = 如处的跃度，也就是 u i t ：“= u ( t ) 一u ( t i ) “0 吉) ，u 嘛) 分别表示u ( t ) 在t = “处的右，左极限( k = 1 ，2 ，m ) ( o r k = 1 ，2 ，) 令p c ( j , x ) = 让：j xu ( t ) 在，上连续，在每个“点左连续，右极限存 在，= l ，2 ，m ) ) ，其中，= j t l ，t 2 ，) ( o rp g ( j 矗，x ) = u ：j 。一 xl 札( t ) 在屯上连续，在每个“点左连续，右极限存在，= 1 ，2 ，) ) ，其中l = j 矗 t 1 ，2 ，k ，) ) 令j o = 【o ，t 1 】， = ( t l ，t 2 ，j k = 0 。，卅( o r j o = 【o ，吼 = ( t l ，t 2 ，如= ( ，t 。+ - 】，) “p c ( j , x 1 ) nc 1 ( ，x ) na ( ，x 1 ) 叫做i v p ( 1 5 ) 的一个古典解，如果它满足 ( 1 5 ) 中各等式同样的m 尸g ( 厶，蜀) n 伊( 乇，x ) n g ( 厶，置) 叫做i v p ( 1 6 ) 的一个 古典解，如果它满足( 1 6 ) 中各等式 下面我们先来看i v p ( 1 5 ) 的古典解的存在唯一性结果： 7 1 预备结果 引理1 5 对v x o d ( a ) ，i k ：d ( a ) 一d ( a ) 忙= 1 ，2 ，m ) ，h ( t ) p c ( j , x ) r l c 1 ( ，x ) ，线性脉冲发展方程初值问题( 1 5 ) 存在唯一古典解t ( t ) p c ( j , x 1 ) n c 1 ( ，x ) ng ( ，x 1 ) ，且此解表示如下： 缸( t ) = t ( t ) 知+ ft ( t - s ) ( s ) d j + t ( 亡一“) ( 扎( “) ) ( 1 7 ) j o o 三不t 证明 先看t j o = 【0 ，t l 】时的情形，此时方程( 1 5 ) 即为线性非脉冲问题： o ) + a u o ) = 危o ) 。而 ( 1 8 ) lu ( o ) = x o 由非脉冲情形的结果，p ( 1 8 ) 存在唯一古典解咖( t ) c 1 ( j o ，x ) nc ( j o ，x 1 ) ，且可表示 如下： 一 t 幻( t ) = t o ) 。o + t ( 亡一s ) h ( s ) d s 此解即为w p ( 1 5 ) 在矗上的唯一古典解并且满足： r f l 咖( t 1 ) = t ( t 1 ) x o + t ( h s ) h ( s ) d s d ( a ) 又因为 ：d ( a ) + d ( a ) ，所以 ( n o ( t 1 ) ) d ( a ) ，因此 u o ( t 1 ) + i i ( u o ( h ) ) d ( a ) 再考虑t = 0 1 ，t 2 】时的情形，此时方程( 1 5 ) 即为线性非脉冲问题： 让，( t ) + a ” ) = o ) 。j 1 ( 1 9 ) iu ( h + ) = u o ( h ) + ( 0 0 ，) ) 仍由非脉冲情形的结果，r v p ( 1 9 ) 存在唯一古典解u l ( t ) g 1 ( ，x ) ng ( ，x 1 ) 此解即 为i v p ( 1 5 ) 在 上的唯一古典解，且可表示如下： u 1 ( t ) = t ( t t 1 ) ( 牡o 1 ) + i i ( u o ( t 1 ) ) ) + t 0 一s ) h ( s ) d s j h 一1一 = t ( t h ) ( t ( h ) x o + t 0 l s ) ( s ) d s + i i ( u o ( h ) ) ) + t o s ) h ( s ) d s j 0j t l 一1 ，亡 = t ( t ) x o + t 0 一s ) h ( s ) d s + t 0 一s ) ( s ) d s + t ( t t 1 ) ( 厶( ( t 1 ) ) ) j o j r l f t = t ( t ) x o + t 0 一s ) 危( s ) d s + r 0 一t j f f , ( u o ( t j ) ) 归纳地，对v t 一1 = 3 ，4 ，m ) ，i v p 0 5 ) 在以一l 上存在唯一的古典解，记为 u b l ( t ) c 1 ( 以一1 ，x ) ng ( 以一l ，x 1 ) 8 51 预备结果 i 钍，( ) + a u ( t ) = ( t ) ，t 以= 2 ，3 ，m ) lu o 女+ ) = n 一，( t k ) + ( u k 。o ) ) + c 。聃啪( s ) 娜伽一s 汕 = t ( t ) x o + t ( t s ) ( s ) d s + t ( t t j ) ( i j ( “j 一1 ( ) ) ) j o o ：t i t l “o ( ) t 如 吣卜 薹 n o ) = t ( t ) x o + t ( t s ) h ( s ) d s + t ( t t k ) i k ( u ( t k ) ) ( 1 l o ) u ( t ) = t ( t ) x o + t ( t s ) h ( s ) d s + t ( t 一“) 矗( u ( k ) ) ( 1 1 1 ) 1 预备结果 式) 不一定可微，仅有( ) p c ( j , x ) ( o r 牡( ) p c ( j o o ，x ) ) ，是( 1 5 ) ( o r ( 1 6 ) ) 的m i l d 解 同样地，对b a n a c h 空间x 中的非线性脉冲发展方程初值问题： 其中f ( t ，。) ：j ( o rj 0 ) xx x 连续，若让( ) p c ( j , x ) ( o tu ( t ) p g ( j 岛，x ) ) 满 足积分方程： 邮m 。+ f o r t ( h ) ，( s ，吣 幽+ 。聂。邢也州) ( 1 1 4 ) 则称( t ) 为方程( 1 1 2 ) ( o r ( 1 1 3 ) ) 的m i l d 解 1 0 如 睁“七 瑚 盯 脚 了 徙 幺 、” = 自 缸 “啪| l “取 如 一一 + 咄 | i 啪蚍州 ，-，、il 2 非线性脉冲发展方程初值问题的整体 解 2 1引言及预各知识 设x 为一般的b a n a c h 空间，我们讨论无穷区间上x 中的非线性脉冲发展方程初值 闰题f i v p ) ： it ( t ) + a u ( t ) = ，( t ，“( 砒t 厶，t t k u b 。= 厶( u ( 如) ) ，k = 1 ，2 ， ( 2 1 ) ju ( 0 ) = - t o m i l d 解的整体存在性以及古典解的存在唯一性其中f ( t ，。) ：。kxx x 连续，厶= 0 ，+ o 。) ，0 = t o t l h o ) ，0 6 1 , c 6 ( i o ，x ) 为定义于l 取值于x 的6 阶h s l d e r 连续 函数空间对于解析半群的m i l d 解，有下面两个正则性定理： 引理2 31 2 】设h g ，x ) ，0 a o i 血( o ) = z 的m i l d 解 c ( l ，x o ) ( 其中r = 卢一o ) 引理2 4 【2 j 设h c 6 ( x o ，x ) ，0 6 0 ，使得 l i f ( t ，让) 1 1 n ，v ( t ，札) 【t o , t o + a 】豆( z 。，b ) 令d = u c ( i ，x ) l | j u ( 一= o l is6 ) = 后( z o ，6 ) 则d 为c ( i ，x ) 中的有界凸闭集 定义算子q ：d c ( z ，x ) ，如下： ( q ) ( t ) = t o 一如) z o + t ( t x ) f ( s ，札( s ) ) d s( 2 4 ) 则i v p ( 2 3 ) 在i 上的m i l d 解等价于q 的不动点显然，q 为连续映射按t ( s ) 在 s = 0 点的强连续性，3 h l ( 0 ，口】，当0 s8 h 1 时，有： l i t ( s ) x 0 - - x o i i o ，令 ( 让u ) 0 ) = t ( t 如) z o + t 0 一s ) ，( s ，u ( s ) ) d s j 如 = t o 一如) z o + t 0 ) t ( t s e ) y ( s ，u ( s ) ) d s( 2 5 ) 对v u d ，t i ，由i i s ( t ，u ) l lsn ，知： 0 t 0 一s d f ( s ，u ( s ) ) 凼1 1 m n h 由? ( e ) 的紧性知，( 睡d ) 0 ) = “q 。“) ( t ) ：u d ) 为x 中的相对紧集，由( 2 4 ) 及( 2 5 ) 式知，对v u d ，有： , t 0 ( ( 扣) 0 ) 一( q 。u ) 0 ) 0 = 0 t 0 一s ) ，( s ，札( s ) ) d s | | sm n c j t - e 】3 2 非线性脉冲发展方程初值问题的整体解 即( q d ) ( t ) 为( q d ) ( t ) 的相对紧的m 一网故( 0 d ) ( t ) 为x 中的相对紧集 另一方面，对v u d ，t 7 ，t ”i ，r t 1 若t t 1 ，由条件( p 1 ) ，令 a = 罂a xa c t ) ，5 = m ，a x6 ( t ) ，= s u p i i t ( t ) l i t 【0 ，t - i 旧，t + l l 、 t i o t + 码 则有 。 l i u o ( t ) l i = 1 i t ( 0 = o l l + 1 l t 0 8 ) f ( s ，“o ( s ) ) 0d s j 0 ，亡 m 。0 1 l + 朋。( n ( s ) l l u o ( s ) 0 + 6 ( s ) ) d s j 0 ， m i i z o i i + 5 + 6 i i u o ( s ) l l d s j0 于是，由b e l l m a n 不等式，有： 0 札0 0 ) | i m ，( 1 i z o l l + 舌) e m 乍。 m 刈1 茹o i i + 5 ) e m 慷r 垒e 令 n 7 = s u p l i f ( t ，。) 0 t e o ，r + 1 】，i i = l l _ c 】4 2 非线性脉冲发展方程初值问题的整体解 由于t ( t ) 按算子范数连续，故对v0 t l t 1 即i v p ( 2 2 ) 的m i l d 解( t ) 在而上整体存在，咖( t ) 也就是 i v p ( 2 1 ) 在而= 【0 ，t r 上的m i l d 解 ( j ，) 再证t = ( t l ，t 2 l 时解的存在性考察j 1 = ( ，t 2 】上的非脉冲初值问题： ( 。) + 舭( 。) = 坤，删，。以( 2 7 ) lu ( t j _ ) = u o ( h ) + ( u o ( t ) ) 显然，i v p ( 2 7 ) 在 上的m i l d 解即为i v p ( 2 1 ) 在 上的m i l d 解 仿照( j ) 中的证明，i v p ( 2 7 ) 在 上存在m i l d 解，记为u l ( t ) g ( ，x ) 即乱1 0 ) 为i v p ( 2 1 ) 在 上的m i l d 解，且满足： 札，( t ) = t 0 ) ( 钍o ( t 1 ) + i i ( u o ( h ) ) ) + t 0 一s ) f ( s ，u ( s ) ) j “ r t = t ( t ) x o + t o 一8 ) f ( s ，u ( s ) ) + t 0 一t ，) 厶( 伽( t 1 ) ) j 0 归纳地，对v 亡j k 一1 ( = 3 ，4 ，) ，i v p ( 2 1 ) 在 一1 上存在m i l d 解，记为 一1 ( t ) g ( 以一1 ，x ) ，( k = 3 ，4 ，) 1 5 2 非线性脉冲发展方程初值问题的整体解 于是，对v t ( = 2 ，3 ，) ，非脉冲初值问题： lu 心) + a u ( t ) = f ( t ，u ( t ) ) ，t 以( = 2 ，3 ，) l u ( t k + ) = u ( “) + 疋( u ( “) ) 存在m i l d 解u k ( t ) g ( ，x ) ，且表示如下： 女( 亡) = t ( 亡一t ) ( u b 一1 ( “) + i k ( u k 一1 ( t k ) ) ) + t o s ) f ( s ，( s ) ) d s j t k = t ( t 一“) 【厶( u 一1 ( “) ) + t ( t k 一“一1 ) ( u h 一2 ( t k 一1 ) + 一l ( u k 一2 ( t 一1 ) ) ) ，“，l + t ( t k s ) ，o ，“( 3 ) ) d e + t o s ) ，( s ，“( s ) ) d s j t k 一1 j t r , = t ( t ) x o + t ( t s ) f ( s ，u ( 5 ) ) d s + t ( t t j ) ( 1 j ( u j 一1 ( 白) ) ) j o o t ， 0 及p = o ( a ，r ) ( 0 ，1 】，使对v t l ，t 2 【o ，n 】，x l ，z 2 b s ( o ，r ) ，有： 1 i f ( t 1 ，。1 ) 一f ( t z ，。2 ) i l l ( i h t 2 1 9 + l i 。l z 2 l i e ) ( 2 8 ) 1 6 2 非线性脉冲发展方程初值问题的整体解 则初值问题( 2 1 ) 在j 矗上存在整体古典解： ( t ) p c ( g o 。，e ) n g l ( ，x ) n g ( 瓦，x 1 ) 且此解唯一 证明 ( i ) 先证方程( 2 1 ) 在j o = o ，t 】上古典解的存在唯一性此时方程( 2 1 ) 即 为非脉冲初值问题： r 。) + a “( 。) = 坤，删，。 0( 2 9 ) i “( o ) = x o 分三步来证明i v p ( 2 9 ) 在矗上存在唯一的古典解 i ) 对v 亡o 【0 ，d ，。o 鼠( 口，r ) ( 口，r 0 ) ，证明非脉冲初值问题： o ) + a 缸o ) = f ( t ，u o ) ) ，。 如 ( 2 1 0 ) lu ( t o ) = x o 的局部m i l d 解的存在唯一性 取h 0 ，使： i i x l l e q 1 1 。1 1 。墨 因为a 为扇形算子，则有： i i a 。t ( 圳s m 0 ，( 毛 0 ) 定义算子q ：c ( i ，丘) 一c ( z ，托) 如下： ( q u ) ( 亡) = t o t o ) x o + 7t ( 亡一s ) f ( s ，u ( s ) ) d s 则i v p ( 2 1 0 ) 的m i l d 解等价于q 的不动点显然，q 为连续映射令 m 2 。船i l t ( t ) l l ，( n ) 2 黼愀驯 t 旧，口】 屹叫 取k = 2 m r ，h = m i n l ，h ，) ( 其中h - = 【瓦两而毪舞髻岳瓣 击) 令 n = f u c ( i ，j 0 ) 1 | i u ( t ) l l 。墨 = 既( j ，) ( 口，k ) 则对任意的t ，当u n 时，结合条件( p 2 ) 有： 1 l ( q 缸) ( t ) 睢m r + 1 i a 叼如一s ) 洲，( s ，“( s ) ) 1 1d s j t o ， m r + 矗0 一s ) 一。【g ( a ) + l ( + 1 ，g ：k ) l 五0 u ( s ) 0 n 1d s j f o k 1 一q = m r + 尥 ( 口) + l ( 口+ 1 ，以) g 吲亡石 0 ) ，0 = t o t l t , n + 1 = 正( o r j k = 【0 ，+ 。) ，0 = t o t l t 。 0 ，使得对任意的单调序列b = “。) c v o ，撕】，有： q ( ，( t ，b ( t ) ) ) l a ( b ( t ) ) 则初值问题( 3 1 ) 在，叫0 中存在最小m i l d 解u 和最大m i l d 解面，并且u 和面分别可 用上下解单调迭代求解 证明 记d = 【 o ，】，s ( ) = e - g t t ( ) 0 0 ) 为一+ g ，) 生成的正c o 一半群 令 m = s u pi i s ( o i i 对v h d 考虑x 中的线性脉冲发展方程初值问题 lu 7 0 ) + a u ( t ) + c u ( t ) = ，( t ， ( ) ) + c h ( t ) ，t zt t k a u t = _ t 。= 厶( 危( 如) ) ，k = 1 川2 一，m ( 3 6 ) iu ( o ) = x 0 按线性脉冲发展方程的有关结果，i v p ( 3 6 ) 存在唯一的m i l d 解 “( ) = s ( t ) x o + s o s ) ( ，( s ， ( s ) ) + g h ( s ) ) d s + s o 一“) ( o k ) ) 垒( q ) ( t ) ( 3 7 ) 由厶= 1 ，2 ，m ) 的连续性，易见q ：d p c ( j , x ) 连续若u d 为q 的不动 点：= q u ，则u 满足积分方程( 3 5 ) ，从而由引理3 2 知，“为i v p ( 3 1 ) 的m i l d 解，反之 亦然故i v p ( 3 1 ) 的m i l d 解等价于0 的不动点 对v h l ，h 2 d ，h 1 h 2 ，由假设( h 1 ) 和( h 2 ) ，有 ，( t ， 1 ( t ) ) + c h l ( t ) f ( t ， 2 ( t ) ) 4 - c h 2 ( t ) i k ( h l ( t k ) ) i k ( h 2 ( t k ) ) ( k = 1 ，2 ，一，m ) 又因为s ( t ) ( t 0 ) 为正g 一半群，故有 p t ， s ( t s ) ( ，( s ，h i ( s ) ) + c h ，( s ) ) d s s 0 一s ) ( ，( s ，h 2 ( s ) ) - 4 - g h 2 ( s ) ) d s j o j o s o 一“) 厶- ( “) ) s o t 月) ( z o k ) ) 0 “ t o “ t 于是按( 3 7 ) 式有 ( q h l ) ( t ) ( q h 2 ) ( t ) ， v t ， 2 2 即q h ，q h 2 故q ：d p c ( j , x ) 为增算子， 下证：”o q u o ，q w os w o 因为为方程( 3 1 ) 的下解，故 ( ) 皇 ：( t ) + a v o ( t ) + c v o ( t ) p c ( j , x ) 且 ( t ) f ( t ，( t ) ) + c v o ( t ) 由线性脉冲发展方程m i l d 解的积分表示，有 如o ) = s o ) t b ( o ) + s ( t s ) h ( s ) d s + s 0 一t k ) a v o l e ：“ j o o ；“ o s ( 啊o + s ( t 一玑，( s ，啪( s ) ) + o ( s ) ) d s + s ( t t k ) z k ( v o ( t k ) ) j o o t k 处处收敛 记b = ) ，b o = b u 如 先考虑t j o = 【o ，坷时的情形，此时有： 钍0 ) = s ( t ) z o + s ( t s ) ( ，( s ，t ( s ) ) + c u ( s ) ) d s t j o 3 有序b a n a c h 空间脉冲发展方程初值问题解的单调迭代方法 利用引理( 3 4 ) 、( 3 5 ) 结合条件( h 3 ) 有： o ( b 0 ) ) = a ( s 0 ) o + s ( 亡一s ) f f ( s ，v n 一- ( s ) ) + c t k 一1 ( s ) ) d sn = 1 ，2 ，) ) j 0 一 = a ( s o s ) ( ，( s ， t i n 一( s ) ) + c v 一，( s ) ) d s in = 1 ，2 ，- ) ) j 0 一 = n ( s 0 一s ) ( ，( s ，b 0 ( s ) ) + g 岛( s ) ) d s ) j 0 一 s2 a ( s ( 亡s ) ( ，( s ，b o ( s ) ) + g b o ( s ) ) ) d s j 0 一 墨2 m ( o ( ，( s ，口0 ( s ) ) ) + c a ( b o ( s ) ) ) d s j 0 一 2 m ( l + c ) 口( b ( s ) ) d s 由b e l l m a n 不等式，a ( t ) ) = 0 ，o e t g o 因此片。旧( s ) ) d s 兰0 ，故由上面不等式 知：a ( b ( t ) ) s0 ，又由非紧性测度的性质知a ( b ( t ) ) 0 ，故。旧( t ) ) 三0 ，t 如( 特别地 o t ( b ( t 1 ) ) = o ) 所以对v t j o ， ( t )