（基础数学专业论文）fc—空间上的kkm型定理及其应用.pdf

摘要 本文共分四章，首先给出了无凸性结构无线性结构的有限连续拓扑空间f 简 称f c 空间) 的新概念，其次在f c 一空间上以古典的k k m 原理为基础建立新的k k m 型定理，并利用从一个拓扑空间到另一个拓扑空间的集值映射及k k m 型定理得到相 交定理，进一步利用已知的k k m 型定理的变形结论，在比较弱的假设下，对定义在非 紧f c 一空间上的两个集值映射得到重叠定理和不动点定理最后作为重叠定理和不 动点定理的应用，得山若干个截口定理和择一性定理 本文丰富了k k m 理论的研究成果，并且使k k m 理论可以被更广泛地应用和研 究 关键词：f c 一空间，f c 一子空问，k k m 映射，转移闭f 开) 值的 第i 页 a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s a tf i r s t ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to ff i n i t cc o n t i n u o u st o p o l o g i c a ls p a c ew i t ho u tc o n v e xs t r u c t u r ea n dl i n e a rs t r u c t u r e s e c o n d l y ，w e o b t a i nn e wk k m t y p et h e o r e m so nt h eb a s i so fc l a s s i c a lk k mp r i n c i p l ei nf c s p a c e s a n dt h e n ，w eo b t a i ni n t e r s e c t i o nt h e o r e m sb ya p p l y i n gm u l t i m a pf r o mat o p o l o g i c a l s p a c et oa n o t h e rt o p o l o g i c a ls p a c ea n dk k mt y p et h e o r e m sf u r t h e r ，w eo b t a i nc o i n c i d e n c et h e o r e m sa n df i x e dp o i n tt h e o r e m sb yu s i n gk n o w nv a r i a n tr e s u l t so ft h ek k m t y p et h e o r e m si nf c s p a c e su n d e rw e a k e ra s s u m p t i o n sf i n a l l y ，w eg i v es o m es e c t i o n t h e o r e m sa n da l t e r n a t i v et h e o r e m sa sa p p l i c a t i o no fc o i n c i d e n c et h e o r e m sa n df i x e d p o i n tt h e o r e m s t h i st h e s i se n r i c h e st h es t u d yr e s u l t so nk k mt h e o r ya n dk k mt h e o r yc a nb e s t u d i e da n da p p l i e dm b r ew i d e l y k e y w o r d s ：f c - s p a c e s ，f c s u b s p a c e s ，k k mm a p p i n g ，t r a n s f e rc l o s e d ( o p e n ) v a l u e d 第i i 页 第一章引言与基本概念 k k m 理论是解决非线性问题的重要理论和有力工具，它已经成为非线性分析的 重要组成部分 1 9 1 2 年，b r o u w e r 得出下列定理( 简称, b r o u w e r 定理) ，见1 1 1 b r o u w e r 定理一个连续映射f ：a 。一。必有一不动点z o = f ( x o ) 。其 中。表示n 一单型 1 9 2 9 年，k n a s t e r ，k u r a t o w s k i 芹 i m a z u r k i e w i c z 得出下列原理f 简称k k m 原理) ， 见【2 】 k k m 原理闭值映射f ：d 一。满足c o a c f ( a ) ，对任何a c d ，n n 。d f ( v ) 0 其中d 表示n 一单形。的顶点集合并称满足c o acf ( a ) 的映射f 为k k m 映 射 b r o u w e r 定理、k k m 定理这二个定理在某种意义上是等价的因为k k m 定理可 以直接证明b r o u w e r 定理；用b r o u w e r 定理也能证明k k m 定理，见f 3 1 4 1 f 5 1 由此可见 这二个定理在某种意义上是相互等价的，这一发现后相继出现了很多不同形式的等价 命题，并把它们应用到了统计学、非线性分析、经济学平衡理论等众多领域 k k m 理论是对k k m 定理不同等价形式的应用与研究，见 6 】1 7 【8 】【9 【1 0 】_ 起 初k k m 定理主要是在h a u s d o r f f 拓扑线性空间的凸子集上研究；接着应用至l j l a s s o n d e 意义下的凸空间上，见i i l l ；后来应用到由h o v a r t h 引进的具有某种可缩子集族的空 间上( 简称c 一空间或h 一空间) ，见【1 2 】 1 3 】，而这些空问都包含在i t s e h i ep a r k 引进的 一般化凸空间( 简称g 一凸空间) 内这样k k m 原理在g 一凸空问上更广泛地被应用并 取得了一定的理论突破，见 9 1 1 1 4 1 5 1 1 1 6 1 1 1 7 】 18 【1 9 】【2 0 【2 1 】 2 2 】 2 3 】- 此外，利用k k m 定理及其相关理论能够解决一些实际问题，例如重叠定理，见 2 4 】 2 5 2 6 】；截口定 理，见【2 7 2 8 2 9 ；相交定理，贝, 1 3 0 3 1 1 1 3 2 1 ；变分不等式，见【3 3 】【3 4 1 1 3 5 3 6 1 ；共存定理， 见 3 1 1 1 3 2 3 7 ；平衡点问题，见 3 8 1 3 9 1 1 4 0 】等它对非线性理论的研究起着非常重要的 作用 最近丁协平【4 l 】建立了无线性结构无凸性结构的有限连续拓扑空间f 简称f c 一空 间)该空间几乎包含了非线性理论中所谈论的空间，比如：凸空问i 1 1 】、h 一空 间，z 一空i h 4 2 1 ，超凸空i n 4 3 ，g 一凸空间【1 目及其它凸结构，而且不少作者在f c 一空间 上建立了一些k k m 理论，见 4 1 1 4 4 4 5 1 本文主要在无任何凸性结构的有限连续拓扑空问( 简称f c 一空间) 上，以古典 的k k m 原理为基础建立新的k k m 型定理，并利用从一个拓扑空间到另一个拓扑空 第1 页 一 笙二笺! 堕量董奎塑垒 问的集值映射及k k m 型定理得到相交定理，进步利用已知的k k m 型定理的变形 结论得到重叠定理和不动点定理，最后作为它们的应用给出截口定理和择一性定理 本章主要引入一些基本的定义和相关的注记首先介绍集值映射和转移闭f 开) 值 映射的概念 定义1 1 设x 和y 是两个非空集台，若映射t ：x y 是从x 到y 的幕集2 7 的一个函数，则称映射t 为集值映射，并记r ( a ) = u 。 丁( z ) ，对任何acx 当y 为拓扑空问时，我们根据集值映射t ：x y 定义如下几个新的集值映射： t 。：x y ，p ( o ) = y r ) ，对任何z x t 一：y x ，t _ ( ) = x x ：y t ( z ) ) ，对任何y y t ：x - y ，t ( x ) = 丁0 ) ，对任何。x 了1 + ：y x ，丁+ ( ”) = x t ( f ) ，对任何y y i n t t ：x y ，i n t t ( x ) = i n t ( t ( x ) ) ，对任何z x 其中b 表示b 的闭包，i n t b 表示b 的内部( 对任何bc ，) 定义1 2 设x 是一个非空集合，y 是一个拓扑空问，f ：x y 是集值映射 若x x ，y y 且隹f ( z ) ，存在x x ，有y 譬f ( x ，) 1 则称f 为转移闭值映射 定义1 3 设x 是一个非空集合，y 是一个拓扑空问，f ：x l ，是集值映射 若z x ，y y 且y f ( z ) ，存在x 。x ，有y i n t f ( x ) ，则称f 为转移开值映射 注记1 文【4 6 中已证 o ) f 是转移闭值映射当且仅当n 。；xf ( z ) = n 。xf 两 ( i i ) f 是转移开值映射当且仅当u 。xf ( x ) = u 。xi n t f ( x ) 下面介绍本文中所涉及的空问与相关的概念，并给出已有的结论 定义1 4 设x 是个拓扑空问，d 是x 的非空子集，使得对每一： 。o ，z h 一， z n ) ( d ) ，都存在连续映射妒：a 。一x ，则称( x ，d ； 妒) ) 为有限连续拓扑空 间f 简称f c 一空问) 定义1 5 称f c 一空间( x ，d ； 妒 ) 的子集m 为f c 一子空间，若对每一= z o ，。1 ， ，z n ，( d ) 和任何 z 。，x i 。，- ，x i 。) cmn n ，推出妒( ) cm 当d = x 时，z ( x ，x ； 妒) ) = ( x ， 妒) ) 定义1 - 6 设( x ，d ； 妒) ) 为f c 一空间，f ：d x 是集值映射若对于任 意n = x o ，x l ，- ，。) ( d ) 和 嚣。o ，x i 。，。) x o ，z 1 ，- ，。 ，妒_ ( ) u 羔o f ( x g ) ：则称f 为k k m 映射这里f c o ( 岛，：j = 0 ，l ，一，n ) ) 定义1 7 设f ：x y 和g ：y z 是两个集值映射，这两个映射的合成定义 为g 。f ：x z ，g f ( x ) = g ( f 忙) ) = u 。f ( 。) g ( ) ，对任意z x 第2 页 第二章f c 一空间上的k k m 型定理 在本文，我们将利用古典的k k m 原理，在f c 一空间上引入若干个不同形式 的k k m 型定理首先给出k k m 原理 引理2 0 k k m 原理一设只( o i n ) 是n 单形r o y l 的n + 1 个闭 集( 开集) 若对于此n 一单形的任意面u i o v i ，v ( 0 k n ，0 i o i l i e n ) n 2 ：v i 。v i 。v i 。ce 。u 只。u u r 。，则n 叁。只d 定理2 1 设( x ，d ； 妒 ) 为- - f c 一空间，f ：d x 是集值映射若 ( i ) 对任意x d ，f ( x ) 是闭( 开) 的； ( i i ) f 是k k m 映射 n f ( z ) ：z d 具有有限交性质进一步若 ( i i i ) 对某个m ( d ) ，n 。村p ( z ) 是紧的 n n 。d f ( z ) 0 证明( 1 ) 设n = x o ，z ，z 。) ( d ) ，由f c 一空间的定义，存在一个连续映 射l p ：n x 又i 扫k k m 映射定义，对任意 z 。z 。，x i k ) cn ，有妒( k ) c u 警of ( z i ，) ，又显然妒( ) c 妒( 。) 所以 妒n ( a k ) cu 【f ( z q ) n 蛳( n ) 】 j = o 这里= c o ( e v ：j = 0 ，l ，、，) )因此cu l 。q o n ( f ( x ，) n 妒( 。) ) 因 n f ( z ，) n 妒( 。) 是妒( 。) 中的闭( 开) 集且妒连续，因此妒j ( f ( ，) nq g n ( a 。) ) 是n 中的闭( 开) 集由引理2 0 ，有n ：o l p i ( f ( z q ) n 妒_ ( 。) ) o ，则n 。f ( x ；) 0 ， 即 f ) ：。d ) 具有有限交性质 ( 2 ) 由条件( i i i ) 和第一部分的结论易得n 。d 雨0 r n 由定理2 1 能直接得出下面的定理 。 定理2 2 设( x ，d ； 妒 ) 为一f c 一空间，f ：d - 。x 是集值映射若 ( i ) 对任意n ：df ( 。) = n ：；口雨( 即f 是转移闭值映射) ； ( i i ) y 是k k m 映射： ( i i i ) 灵j 某个me ( d ) ，n ：mf ( z ) 是紧的 n n 。；d f ( z ) o 证明 因为，为k k m 映射，而i i 可为闭的( 列任何z d ) ，所以由定理21 知f 丽 z d ) 具有有限交性质：匪j i ：h ( i i i ) ，有n 。；d 雨o 因为n ：。d f ( z ) = n ：。d 雨， 第3 页 第二章f c兰塑兰塑坚垦丝兰! 堑翌 所以n 。d f ( z ) 0 口 定理2 3 设( x ，d ； 妒) ) 为f c 一空间，y 是x 的f c 一子空间，且ynd 0 ，则( y n d ，f 妒) ) 是f c 一空间 i e n 因为( x ，d ； 妒) ) 为f c 一空间，对任意n = 跏，z 1 ，z 。) ( y n d ) ， 即cy 且n ( d ) ，所以由f c 一空间的定义存在一连续映射妒n ：。一x 又因 为y 是x 的f c 一子空间，所以对任何 z mz ，z “) cn = y n n ，妒( k ) cy 特别地妒( z x 。) y 因此存在连续映射妒：。一y 口 由定理2l 得到下而的定理 定理2 4 设( x ，d ； 妒 ) 为- - p c 一空间，f ：d x 是k k m 映射，则对x 的 任何紧f c 一子空问，且j ，ond 0 ，有x onn 。- g o n df ( x ) 0 4 证明定义一映射f ：凰o l d j ，0 为f ( 。) = f ( z ) n x o ，对任意z j 而o l d ，则f 是k k m 映射 因为f 是k k m 映射，对任何n ( n d ) 及任何 z 。甄一，。砸) cn ， 妒n ( a k ) cu 警of ( z i ，) 又因为n ，j 白是f c 一子空间，所以妒j v ( ) cx o 因此l p ( 女) cu 是of ( x i ，) n x o = u 釜of ( z q ) 】由定理2 3 ，( j ，o ，x n n d ； 妒 ) 为f c 一空 间容易看出户满足定理2 1 的所有条件因此，j 而nn ：；。d 可可o 口 定理2 5 设( x ，d ； 妒) ) 为- - f c 一空间，y 为拓扑空间，g ：d y 是集值映 射，5 c ( x ，) ，k 是y 的非空紧子集若 ( i ) s g ：d x 是k k m 映射； f i i ) 存在一映射h ：d _ ox 满足下列条件： ( a ) 对每一z ( d ) ，日( z ) c8 - ( g ( 。) ) ； ( b ) 对每一d ，存在包含v 的x 的紧f c 一子空间j o ，使得 x k n f1 月( 岔) ：z 。x _ n d ) cs - ( k ) ； ( c ) x nnn 。x 。n d 日( 。) = 0 推出 j ，n f1 sg ( z ) ：z x ncd ) cs - ( ) 贝0 s ( y ) nk n n 卢 进一步若，卢一a = s u p 。x g ( x ，s ( ) ) ) a = ( 。，) e - x y ：g ( x ，) 卢) 则对任意z d ，f ( z ) = y ( z ，) 隹_ 日) ，并f 有下列性质： ( 1 ) r e ( i ) ，b a 且对任意”s ( x ) ， z x ：( z ，) a ) 是f c 一子空问 第1 2 页 第四章截口定理与择一性定理 ( 2 ) 由( i i i ) ，对任何( d ) ，存在包含的x 的紧f c 子空间x ，使得 n z x n a d ( ey ：( z ，y ) 岳b ) ns ( ) ) k ( 3 ) 由( i i ) ，f 是转移闭值的； ( 4 ) 由假定，刘任意z x ，( z ，s 0 ) ) 隹a 因此根据( 1 ) ，( 4 ) 和定n 44 ( i ) ，s f ：d y 是k k m 映射，又根据( 2 ) ，( 3 ) 和定 理4 4 ( i i ) ，存在y o s ( x ) nk cy 使得 z d ：扛，y o ) 口) = 0 因此( 。，y o ) 隹b ：列 一切x d ，即对一切z d ，f ( x ，y o ) s 口结论( i ) 成立 若卢= 口= s l l p x e x 9 ( z ，s ( z ) ) 卢 第1 3 页 第五章结论 本文是在无任何凸性结构无线性结构的f c 一空问上，重审了一般化凸空间中 能j k k m 定理，主要以古典的k k m 原理为基础得到新 q k k m 型定理，并利用从一个 拓扑空间到另一个拓扑空间的集值映射及k k m 型定理得到相交定理，进一步利用已 知的k k m 型定理的变形结论得到重叠定理和不动点定理，最后作为它们的应用得出 若干个截u 定理和择一性定理本文更丰富t k k m 理论，使它更广泛的应用到解决 实际问颖r 第1 4 页 致谢 本学位论文是在导师朴勇杰教授的精心指导下完成的 在攻读硕士学位的三年时间里，朴教授给予了我学习上的悉心指导，无论是从选 题到成文，从文章的构造到语言的组织都给予了最无私的帮助我衷心地感谢朴教授， 朴教授不仅教会了我许多非线性理论的知识，最重要的是朴教授在学术上的孜孜进 取、踏实的治学态度、正直善良的为人品质潜移默化地影响着我的人生观、世界观 其次，我要感谢一直支持我学习的数学系领导和在各方面帮助过我的所有老师 我还要向所有关心，帮助过我的同学们致谢! 正是有了你们的陪伴，我的研究生 生活更加精彩 最后要感谢我的家人和男朋友对我求学的无限的鼓励和全力支持! 第1 5 页 参考文献 1 】l e j b r o u w e ro b e ra b b i l d u n g e nv o nm a n n i g f m t i g k e i t e n j m a t h a n n 1 9 1 2 7 1 ：9 7 - 1 1 5 【2 jb k n a s t e r ，k k u r a t o w s k ia n dsm a z u r k i e w i c ze i nb e w e i sd e sf i x p n k t s a t z e 8 f a rn - d i m e n s i o n a l es i m p l e x e ，f u n d m a t h 1 9 2 9 ，1 4 ：1 3 2 1 3 7 3 t i c h i i s h i c a m et h e o r yf o re c o n o m i ca n a l y s i s a c a d e m i cp r e s s n e wy o r k l o n d o n ，1 9 8 3 4 1 e z e i d l e r a p p l i e df u n c t i o n a la n a l y s i s - a p p l i c a t i o n st om a t h e m a t i c a lp h y s i c s s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 9 5 5 】j d u g u n d j i ia n dag r a n a s f i x e dp o i n tt h e o r y p w n p o l i s hs c i p u b l w a r s z a w a ，1 9 8 2 6 】s e h i ep a r kr e m a r k so naf i x e dp o i n tp r o b l e mo fb e n e 1 一m e c h a l e k h n o n l i n e a r a n a l y s i sa n dc o n v e xa n a l y s i s ( p r o c n a c a 9 8 ，n i i g a t a ，j a p a n j u l y2 8 ，3 1 ，1 9 9 8 ) ， w o r l ds c i ，s i n g a p o r e ，1 9 9 9 ，7 9 8 6 7 】s e h i ep a r k n i n e t yy e a r so fb r o u w e rf i x e dp o i n tt h e o r e mv i e t n mj m a t h1 9 9 9 2 7 ：1 8 7 - 2 2 2 8 s e h i ep a r kn e w s u s c l a s s e so fg e n e r a l i z e dc o n v e xs p a c e s f i x e dp o i n t st h e o r ya n d a p p l i c a t i o n s ( y j c h o ，e d ) ，n o v as c ip u b l ，n e w y o r k 2 0 0 0 ，9 1 9 8 9 】s e h i ep a r ke l e m e n t so ft h ek k mt h e o r yf o rg e n e r a l i z e dc o n v e xs p a c e s ，k o r e a n j c o m pa p p l m a t h 2 0 0 0 7 ：1 - 2 8 1 0 】s e h i ep a r k r e m a r k so nt o p o l o g i e so fg e n e r a l i z e dc o n v e xs p a c e sn o n l i n e a rf u n c t s a n a l a p p l2 0 0 0 5 ：6 7 - 6 9 1 1 m l a s s o n d eo nt h eu s eo fk k mm u l t i m a p si nf i x e dp o i n tt h e o r ya n dr e l a t e d t o p i c sjm a t ha n a l a p p l1 9 8 3 ，9 7 ：1 5 1 2 0 1 1 2 c d h o r v a t h c o n t r a c t i b i l i t ya n dg e n e r a l i z e dc o n v e x i t yjm a t h a n a l a p p l 1 9 9 1 ，1 5 6 ：3 4 1 - 3 5 7 第1 6 页 茎耋窒丛 1 3 jc d - h o r v a t he x t e n s i o na n ds e l e c t i 0 1 1t h e o r e r o si nt o p o l o g i c a ls p a c c sw i t ha ，g e n e r a l i z e dc o n v e x i t ys t r u c t u r ea n n a l f a cs c i t o u l o u s e1 9 9 3 2 ：2 5 3 2 6 9 14 】s e h i ep a r k f i v ee p i s o d e sr e l a t e dt og e n e r a l i z e dc o n v e xs p a c e s n o n l i n e a rf u n c t a n a l a p p l1 9 9 7 、2 ：4 9 6 1 i s s e h i ep a r k a n o t h e rf i v ee p i s o d e sr e l a t e dt og e n e r a l i z e dc o n v e xs p a c e sn o l i n e a r f u n e ta n a l a p p l 1 9 9 8 ，3 ：1 - 1 2 1 6 】s e h i ep a r ks o m ee q u i l i b i u mp r o b l e m si ng e n e r a l i z e dc o n v e xs p a c e s c o m m k o r e a nm a t hs o c2 0 0 0 ，1 5 ：1 9 2 3 1 【1 7 s e h i ep a r k r e m a r k so nf i x e dp o i n tt h e o r e m sf o rg e n e r a l i z e dc o n v e xs d a c e sf i x e d p o i n tt h e o r ya n da p p l i e a t i o n s ( y jc h o ，e d ) ，n o v as c i p u b l ，n e w5 ( o r k 2 0 0 0 1 3 5 1 4 4 【1 8 s p a r ka n dh j k i m a d m i s s i b l ec l a s s e so fm u l t i f u n e t i o n so ng e n e r a l i z e dc o r l v e x s p a c e s p r o cc o i ln a t u r s c i ，s n u1 9 9 3 ，1 8 ：1 2 1 f 1 9 s p a r ka n dhj k i m c o i n c i d e n c et h e o r e m sf o ra d m i s s i b l em u l t i f u n c t i o n so n g e n e r a l i z e dc o n v e xs p a c e sj m a t h a n a l a p p l 1 9 9 6 ，1 9 7 ：1 7 3 1 8 7 2 0 】s p a r ka n dh jk i m f o u n d a t i o n so ft h ek k m t h e o r yo ng e n e r a l i z e dc o n v e x s p a c e s jm a t ha n a l a p p l 1 9 9 7 ，2 0 9 ：5 5 1 5 7 1 2 1 s p a r ka n dh jk i m g e n e r a l i z a t i o n so ft h ek k m t y p et h e 。r e l n so ng e n e r a l i z e d c o n v e xs p a c e s i n d i a njp u r ea p p l m a t h 1 9 9 8 ，2 9 ：1 2 1 1 3 2 2 2 s p a r ka n dh jk i m g e n e r a l i z e dk k mm a p so ng e n e r a l i z e dc o n v e xs d a c e s n o n l i e a ra n a lf o r u m2 0 0 0 5 ：1 5 3 4 2 3 1sp a r ka n dis k i mc o i n c i d e n c ea n ds a d d l ep o i n tt h e o r e m s 。ng e n e r a l i z e dc o n v e x s p a c e sb u l lk o r e a nm a t hs o e 2 0 0 0 ，3 7 ：1 1 - 1 9 2 4 p i a oy o n g j i ek yf a nt y p ec o i n e i d e n c ep o i n tt h e o r e ma n di t s a p p l i c a t i o n so n g e n e r a l i z e dc o n v e xs p a c e s 纯粹数学与应用数学2 0 0 6 ，2 2 ( 1 ) ：9 1 3 2 s l 朴勇杰 。般化r 窄间上等价于k yf a n 型重叠定理和不动点定理j 哈尔滨师范 大学学报，2 0 0 3 ，1 9 ( 1 ) ：2 0 2 3 第1 7 页 参考文献 2 6 】s p a r ka n dks j e o n ga g e n e r a lc o i n c i d e n c et h e o r e mo nc o l l t r a c t i b l es p a c e s p r o c a m e rm a t hs o c 1 9