（基础数学专业论文）hilbert空间中的框架及其相关算子的研究.pdf

山末科技文学硬士学位论文 摘要 本论文由四部分构成。 第一章介绍了d a u b e c h i e s ，p e t e rgc a s a z z a 和o l ec h r i s t e n s e n 对框架及其算子的研 究和屠内对框槊及箕算子的研究状况，然后介绍了本论文的主要结论。 第= 章在研究了框架的进一步性质的基础上给出了两个框架分解式。 第三章研究了i - i i l b e v t 空间中伪逆算子的性质并给出了框架的一般分解。首先给出 了h i l b e r t 空间中伪逆算子”的定义，研究了它的若干性质，补充证明了：设u 是有界 算子，且值域如闭，则( 【，u ) = 口u 叶：给出了算子的逆与伪逆之间的一些关系；由预 框架算子及其伴随算予与伪逆算子的关系得到了在算子无界下的框架分解。 第四章研究了强框架的一些性质，给出了强框架的框架系数的遭近条件。第一节给 出了强框架的若干性质；第二节给出了在强框架条件下框架系数遥近的一些条件。这些 条件简化了o | e a 妇l 啪在( 1 4 ) 中的结果。 关键词：框架 框架算子；伪逆算子；框架分解：强框架：系数逼近。 生查翌垫奎堂堡圭兰垒兰苎缝曼墅坚 a b s t r a c t t h i sm a s t e r st h e s i sm a i n l yc o n s i s t so ff o u r c h a p t e r s i nc h a p t o ro i l ew e i n t r o d u c e dt h es t u d yw o r ko ft h ef r a m e sa n do p 删t o r sp r o v i d e db yd a n b e c h i e s ，p e t e r gc a s a z z aa n do l ec h r i s t e n s e n , w ea l s oi n t r o d u c e dt h es t u d yo nf r a n l sa n do p e r a t o r s i no u rc o u n t r y , a n dt h em a i n l yc o n c l u s i o no f t h i sm a s t 盯t h e s i s i nc h a p t e rt w o ，o nt h e b a s i so ff l l r t h c rc h a r a c t e r so ft h ef r a m e sw ep r o d d e dt w of l a m ed e c o m p o s i t i o n f o r m u l a s i nc h a p t o rt h r e ew em a i n l ys t u d i e dt h ep s c u d o - i n v c r o p 删a n dt h e f r a m ei nh i l b c r ts p a c e f i 搐a y , w cp r o v i d e ds o m ec h a r a c t e r so ft h ep s e 脚o - i n v e r s e o p e r a t o ri nh i l b c r ts p a c e , a n dp r o v et h ef o l l o w i n gp r o p o s i t i o n ：l o tu b cab o n n d e d o p o r a t o rw i t hc l o s e dr a n g e t h e n ( u u l t = u t u 叶；w ea l s op m v i d e ds o m em l a t i o n s b e t w e e n 吐玲i n v e n mo p e r a t o ra n dt h ep 6 e u d o - i n v e r s co p e r a t o ro ft h ef l a m e t h e nw e g o tt h eg e n e r a ld e c o m p o s i t i o no ft h ef r a n l e s i nc h a p t e rf o u r , w es t u d i e ds o f t i e c h a r a c t e r so ft h es t r o n g 危卿i e ，a n dp m v i d e ds c v e = a lo 。n d i t i o n so ff r a m ec 0 倒删 a p p r o x i m a t i o nt h o s ec o n d i t i o n ss i m p l i f i e dt h er e s u l t so fo l ec h r i s t c n s e ni nh i s d o c u m t ( 1 4 ) k e y w o r d s ：f i m l c ；f l a m eo p e r a t o r ；p s e u d o i n v e r s e ；f r a m ed e c o m p o s i t i o n ；蜘g f r a m e ；c o e f f i c i o n ta p p r o x i m a t i o n 2 声明 本人呈交给山东科技大学的这篇硕士学位论文，除了所列参考文献和世所公 认的文献外，全部是本人在导师指导下的研究成果该论文资料尚没有呈交于 其它任何学术机关作鉴定。 硕士生签名； 日期： a f f h n 曩a ：i i o n id e c l a r et h a tt h i sd i s s e r t a t i o n , s u b m i t t e di nf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t s f o rt h ea w a r do fm a s t e ro fp h i l o s o p h yi ns h a u d o n gu n i v e r s i t yo fs c l e a f ea n d t e c h n o l o g y , i sw u o u ym yo w nw o r kl i l i e sr e f e r e n c e do fa c k n o w l e d g e t h e d o c u m e n th a sn o tb e e ns u b m i t t e df o rq u a l i f i c a t i o na ta n yo t h e ra c a d e m i c i n s t t t u t e 魄嘣u 心： p 、屯 d a t e ： p 口f - 5 j 备 帆r 狮 山东科技大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 框架研究的概况和基本结论 小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用广泛的 双重意义。框架是小波分析的一个重要组成部分，它由d u t t m 和s c h a e f f e r 在1 9 5 2 年研 究非调和分析中的f o u r i e r 级数的一些深层次问题时正式提出来的。在七十年代，c a l d e r o n 表示定理的发现、h a r d y 空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波的诞生做了理论 上的准备，而且s t r o m s b u r g 还构造了历史上非常类似于现在的小波基i 直到1 9 8 6 年著 名数学家m e y e r 偶然构造出一个真正的小波基，并与m f l l 砒在1 9 8 8 年合作提出了多尺 度分析的理论之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。m e y e r 在1 9 9 0 年出版了第一部小波 分析的系统性专著小波与算子，详细研究了各种小波基的构造，小波基与函数空间的 关系。c a l d e r s o n 算子在小波基上的表现以及小波分析在复分析、算予论、偏微分方程与 非线性分析等方面的应用。至此d u f f i n 和s c h a e f f e r 提出的框架的概念逐渐被人们所重视， 框架的理论开始被广泛的研究和应用。 1 i id a u b e c h l 对椴架及其算子的研究 1 9 9 2 年比利时女数学家d a u b e c h i e s 撰写的小波十讲( t e nl e c t u r e so nw a v e l m s ) 对小波的普及起了熏簧的推动作用。在书中d a u b e e h i e s 给出了框架如下的定义： 设( 仍) me h i l b e r t 空f a - - j h ，如果存在常数 o ，b 1 2 茎l l r l l 21 1 ：1 1 2 m 只要不等式左边的级数收敛，式( 1 。l1 ) 一定成立。基于此，o l ec l u i s t c 啦s e n 给出了b e s - s e l 列的概念： 使得 日中的集合 。，称为b e s s e l 列，为可数的指标集，如果存在一个常数丑 0 ， 阢z ) l o ，使得 a i i i i2 x 。i ( f ，饥ve 日 成立，则称) 。，是一个框架式( 1 1 3 ) 称为下框架条件。 ( 1 1 3 ) 在p e t e rgc a s a z z a 和o l ec h r i s t e n s e n 的不懈努力下，框架与r i e s z 基，框架与r i c s z 框架，r i e s z 基与g i e s z 框架的关系得到了厘清与界定。如p e t e rgc a s a z z a 在1 9 9 8 年证 明了“h i l b e r t 空间上的任意一个框架可以写成三个正规正交基的和。”“”从这一 点可以看出，研究框架与基的关系有着非常重要的意义，一方面我们可以借助基来研究 框架，另一方面我们可以从框架的角度来重新认识和理解基。又如为研究框架与r j e s z 基，他们引入了国一线性无关1 的概念： 集合 z ) ”i a 。是向量空间日中的序列，对列值 c | ) ：，级数c f z 收敛，并且 q 工= o 时必有c f = o ，则称集合 ， ：，是一线性无关的。 江i 国一线性无关实际上是有限维向量空间中线性无关概念在无限维空闻中的推广。 o l ec h r i s t s c n 在( 1 4 ) 中指出，若 z 。，是一个框架，对一大类算子c ，来说，序列 颂 。，可能是框架，而用算子s 一1 去作用以 。得到新框架 s 一1 z 。，只是一种特殊情况 而已；并给出了如下的结果“”： 设 石 培，是村的框架，一，口是框架界， ( 1 ) 若秽：目啼群是具有闭值域的有界线性算子，则 峨 。是嚣的以 4 当堡型茎查量堡主兰堡丝兰 璧鎏 彳p i - 2 ，口i i u l l 2 为框架界的框架列。 ( 2 ) 若【，：日_ 日是有界的满线性算子，则 w ) 。是h 的以爿l | u 旷，b i i u l 2 为框架 界的框架。 ( 3 ) 若u ：_ 日是酉算子，则 w 。，仍是日的以a , b 为框架界的框架。 如果用较特殊的算子作用对，结论更好， q ，设s 是 z 。对应的框架算子，用s 表示s 。1 的正的平方根，则 s z ) 。是h 的以1 为框架界的框架，并且具有如下的框架分解“”： i 、 1 厂= ( ，s l z p l z ，v f h ( 1 1 4 ) i e l 、 若 z ) 。，是框架， 毋) 。是与 z 。，非常接近的序列，满足什么条件时 毋) 。，也是框 架昵? 这就是框架的摄动问题。框架的摄动是框架理论研究的重点之一”“”“”“”。为此， 0 1 ec h r i s t e n s e n 引入了摄动算子( p e r t u r b a t i o no p e r a t o r ) k ：1 z ( n ) 叶h ，足 c f - - z q ( z g ，) ( 1 1 5 ) k ， 有了( 1 1 5 ) 的关系后，所有关于摄动的结果都可以看作是对算子k 附加适当的条件 丽得到的。 他还推广了p a l e l y 和w i e n e r 关于r i e s z 基的稳定性研究“，1 9 9 7 年，0 1 ec h r i s t c n n s c n 和h e i l 合作推广了关于b a n a c h 空间中算予【，可逆的摄动性。得出一个更弱的摄动结果， 并把这个结果运用到h i l b e r t 空间和b a n a c h 空间中框架的摄动性的研究“”。1 9 9 9 年， 0 1 ec h r i s t c n s o n 先推广d i n g 和h u a n g 关于闭值域算子扰动性的结论，得出一个更弱的扰 动条件，再把这个结果运用到子空间中框架的摄动性研究”( 注：关于框架的摄动问题 曲阜师范大学周家云教授得到了许多有意义的结果”。”，因此本文较少涉及) 。 由( 1 1 0 ) 式知，要“重构”f 的关键是求s 一，而在实际应用中，s 。1 的逼近是很难的 有时甚至是不可能的，为此o l c c h r i s t e n s e n 引入了“正交投影”方法“”“”“，用有 訾拦等譬笺攀嚣一墼 限维空间上的e 一来遇近s 。 。 设 z 。，是一框架，取一，考虑有限集合 石) ：，则它是子空间以# s p a 一 z ) ：。对 应的框架，且对应的框架算子是墨：= 以_ + 矾，s f = 窆( ，z ) 石 ，z l 相应的框架分解是 ，= ( 厂，石) 石，厂以 ( 1 1 6 ) 接下来很自然地要问：( f , s n 一1 z ) 一( 厂，s 1 z ) ，( 一_ m ) v 厂日，v f e n ( 1 1 7 ) 是否成立? 在什么条件下成立? o l e c h r i s t e n s e n 称( 1 _ 1 7 ) 成立为“正交投影”方法有效。 他在随后的论文( 【1 4 ) ( 1 8 ) 【1 9 ) ( 2 1 ) ) 中给出了( 1 1 7 ) 式成立的一些条件和逼近s 一， 的方法， ( 1 ) 设 z 。，是一框架，并且是线性无关的，( 1 。1 7 ) 式成立当且仅当 v j e n ，9 勺r ：t l s ：乃0 勺，v n j ( 1 1 a ) ( 2 ) 设 z 乙是框架，s 是框架算子，则h 到h 的i e 交投影为 只，= 窆( 厂，最一1 z ) ，；，h 随后o l ec h d s t c n s v n 和al i n d e r 又将这些方法进行了推广，并应用到具体的小波中， 取得了令人满意的结果“”“”“”。 1 1 3 国内对框架墨其算子的研究 曲阜师范大学周家云教授对框架理论( 特别是b a n a c h 空间的框架理论) 做了大羞的 研究。周教授在他的文献中给出了预框架算子的态和框架分类之间的对应关系，讨论了 框架的线性分解问题，特别是两个框架的线性组合在何时仍是框架的问题”；利用框架 理论对b a n a c h 空间的框架及原子分解的摄动及其稳定性进行了研究，改进弗推广了 f a i l e rs ，z a l i kr 和o l ec h r i s t e n s e n ，h e f t 的结论；研究了r i e s z 框架的稳定性和摄动， b e s s e l 框架的性质。”：利用b a n a c h 空间的框架理论对b a n a c h 空间的框架及原子分解的 6 当查篓楚查量璺主堂燕堡苎堡堡 解的性质进行了研究，给出了b a n a c h 空间的框架及原子分解的个充分条件，并讨论了 b a u a c h 空间的框架和原子分解的关系”“。 近几年来drl a r s o n , d c g u a n gh a r t 和x i n # ed a i 等人又把算子代数理论运用到框 架的理论中，并获得了许多重要的结论。我们认识到，以算子为工具研究框架。使我们 对框架的认识更深刻研究更深入了。 1 2 本文的主要缩论 i 本文第二章研究了框架及其算子的进一步性质并给出了框架分解的进一步结论，给 出了若集合 z 。，是日的一个框架，那么它的满足一定条件的摄动( p e r t u r b a t i o n ) 也是日 的一个框架( 定理2 l3 ) ，井给出了相应的框架分解；然后在文献f 2 2 ) 和( 2 6 】启发 下研究了算予酽似r ) 对框架的作用，并由此将框架分解式( 1 2 ) ，( 1 1 0 ) 和( 1 1 4 ) 推广 为： ，= ( s - i - a z ，) s 4 _ = x ( s v , ，) s 。1 _ ，口e r 。 i ，“j 第三童则着重研究了伪逆算子的性质，伪逆算子与框架的关系等，补充证明了文献 ( 1 6 ) 中的定理3 1 6 和定理3 1 1 2 t 利用伪逆算子对任何稠定的算子都有定义，给出 了在算子无界条件下的框架分解( 定理32 1 ) 。 第四章在文献【1 3 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 2 0 ) 的基础上研究了一种特殊框架强框架的 性质( 定理4 2 2 ，定理4 2 3 ，定理4 2 4 ，定理4 2 5 ) 并给出了强框架下框架系数逼 近的条件( 定理4 2 6 - 4 2 8 ) 。 近的条件( 定理4 2 6 - 4 2 8 ) 。 山东科技大学颈士学位论文 h i l l x , r t 空筒孛的框颦分解 第二章h il b e r t 空间枣的框架分解 我们知道，如果给出了h i l b e r t 空间日中的一个规范正交基k ) ：。我们就可以将日中 的元素，写成，= ( 厂，乌) 岛，从而可以通过研究系数( 厂，乞) 来了解，但是在实际应 用中很难找到相应于问题要求的规范正交基，这就限制了其应用的范围。由于这样的原 因，促使人们引入了更广的概念。框架的概念是规范正交基概念的推广。规范e 交基就 是最简单的框架。如果 i 是h 的框架，我们仍可以通过系数( z ) 来了解，仍有展 开公式( 框架分解式) 。 2 1 框架的进一步结论 本节我们在框架及其算子已有结论的基础上给出迸一步的结论。 设 z ) 。，是一个框架，s 是对应的框架算子，则有 定理2 1 1s 是单射当且仅当 z 。是完全的 证明若 ，) 。是完全的，如果s f = 0 ，则o = ( s y ，s ) ：l l 0使得 b ( ，) f 七l l s l l ，b ，厂日 山东科技大学硕士学位论文h i b e r t 空闻中的框架分解 ，= q ( 厂) z ，可h ， 抽 则 七。2s z i ( s ，z ) 1 2 ，可日。 证明由展开式，= q ( 厂) z ，我们可以得到 i e i r1 2 w = l c f ( 州z ，f ) i l i t lj i q ( ，) f 2 z t ( ，硝k v i l 2 z i ( ，刮2 定建2 1 4 石) 。，是框架的充要条件是 z i ( ，z 2 1 2 ( d 为 可= 砒，d ( u ) = f 训善1 ， 石) 1 2 一土2 时，a 2 a + l 为下框架界，曰“为上框架界；当口 一言 时，a 一为上框架界，b 2 a + t 为下框架界；口= 一1 2 时，l 为框架界。 坐壅型苎查竺堡主兰垒堕兰垡! 璧! 塞苎! 塑堡墨塑 ( 3 ) z 。对应的框架算子是最。 在证明此定理之前，先用算子的观点研究一下以前的结论。框架的定义用算子来 描述就是： a i s s b i 为了方便，不妨假设& = s = ，由于s = t t ，所以s 是上下方范数有界的( 即 a - 0 ) ：自伴的( f f 口s = s ) ；可逆的线性算子。 证明第一步，先看比较简单的情况，受文献( 2 2 ) 和( 2 6 】的启发框架 s “石 。， 对应的预框架算子是s t ，其伴随算子是从日到f 2 ( ，) 的算子i = r ( 口“) ，并且具 有性质： ( 酚) ，= ( r ( 盯) 。1 厂l = ( 厂，( 刀。) 。z ) = ( ，1 z ) ) 。 i ：r 否。i 。 事实上证明很简单，比如证：i r 。= ( r ( r r ) 1 ) r = ( ( 玎) _ 1 ) 玎= i ； 7 童= z 7 f 丁丁1 = i 。 由性质可以对v f 日。作框架分解 r 夥= r 骱s 1 城。，2 ( ，石) z ， 这与( 1 _ 1 0 ) 的分解式是一致的。 一般地，定义算子最= s a ，并且约定s o = s 。= i 不难证明算子疋具有性质： ( i ) e 是正的，自伴的，可逆的有界线性算子； ( i i ) ( & ) 9 = ； ( i i i ) s 。s b = s o + b 。 j 第二步，令k 为s 的谱算子的集合，则( s 中，甲) = p d ( e 。m ，掣) ，v m ，甲专日。 由于0 a 蔓b ，我们可以定义s 的幂， 因此有 毒 ( 咒中。、壬，) s ( s 。由，l 王，) = p 4 d ( e - 西，掣) ，v 中，、壬，仃，v 口e r 。 j 4 山东科技大学硬士学位论文h i l b c n 空旧中的捱架分解 a 。i 是b 。i ，v a 0 ；b 。i 疋a “i ，v a 一j i 时，a 2 口+ i 为下框 架界，曰“3 为上框架界；当口 0 是框黼 证明首先，量匿以一| = 妻睡( 矾，z ) 勺i证明首先，箧以j 巳| = l ( 矾，s 。1 z ) 勺i f - 1 l ，1li = 1 i 卢i = 喜i r 萎。乃，s 1 z ) 1 2 去0 r 委q 乃0 2 咖瞽阳邮i i 舭 坐查型塾查堂婴圭堂垒笙兰 坚! ! 苎皇苎主塑塾望苎三皇堡墨坌竺 此即 n ( o ) ，2 ( i ) t 刚i i | i 踟 对不等式的另一半由定理3 1 9 知，0 胄0 l 纠n 洲r 所以 | | 兀| l 踟| o 由足理3 1 7 的( 1 ) 还司以得剑 推论3 ，1 1 1 0 p | 1 2 去 i 正n , e j 由，= ( ，s 。1 z ) 0 v f h 有 眇| | 2 = 善一谢s 却2 ，v 日。 从而结论得证。 如果再考虑预框架算子及其伴随算子与伪逆的关系则有： 定理3 1 1 2 设丁：x 日是有界满算子，则p = r ( 玎r 证明首先刀是日上的双射。由于是r 满射，因此，r = r r l = 0 ；故r 是单射； 若7 r x = 0 ，则( r 而r 工) = ( z t 五x ) = o ，由此知r x = o ，a 而x = o ，所以z 丁是单射 由于t 的值域时闭的，因此丁也是闭值域， 于是，t t h = 珥= t ( r r e n d ) = t ( r r o r z 1 ) = = 日a 故玎是上的满射。 其次验证r ( 玎) 。1 是r 的伪逆。若r ( 玎- ix = o ，i t i 有( t t ) ( 竹) x = o 即x = o ， 所以r ( z t ) “也是单射a 因此r ( ) _ l2 o 2 碍1 ，i 孑。一r r = ，上；而玎( 盯) 一= j 这里，是单位算 子) 。由定义3 1 1 可得结论。 洼：若r 仍满足定理3 1 1 2 的条件，结论f = ( r r ) 一r 不一定成立，因为r 丁不 一定是单射。 山东科技大学硕士学位论文h i l b e r t 空间中的伪逆算予与框架分解 以上结论将与框架有密切关系的几种算予联系了起来。 3 2 伪逆算子作用下的框架分解 根据框架的定义，框架分解中的框架算子是有界的。因为任何稠定的算子都有伪逆， 所以利用伪逆算予对框架进行分解时，由伪逆算子产生的“框架算子”可能无界，这样就 扩大了使用范围。 f1 设? 1 ：d ( 丁) ，2 ( ，) _ h 为r q - _ q z ，n ( r ) = q e ，2 ( 驯q z 1 2 卜譬1 1 ：1 1 2 证明由框架的定义，删2 秘硝= 1 孙删2 1 ，。材( 俐2 再由引理4 1 5 移项即得。 脯i 理4 1 5 中的氐厚就黼蚓理4 1 2 。 引理4 1 7 设 z 二是以的序列t 给定行e n ，记4 + n 。的下框架界，则对 以l 荟阢删2s 譬m a x m 丕i ( 五，乃) 1 2 1 1 ：1 1 2 ，v ，以 坐变型垫查竺堡主堂垡丝苎 璺! 鲤i 箜堡塑墨墼望塾 引建4 1 8 “”设 ：。是以一，曰为界的框架， 毛 量【o 爿】且递减收敛到o ，取行e n ， 4 是 石 - l 的下框架界，选择一个有限集以，使得 班硝静w 芒厶 址| j i 记：以_ 以为有限集 只z 。 对应的框架算子， 则 k 。只，哼s - i 厂( 当n 呻。o ) ，v f h 4 2 强框架的框架系数的逼近 强框架是一种特殊的框架，o l ec h r i s t e n s m a 给出了下面强框架的定义 定义4 2 1 “7 设 上 。是的框架，丑为框架界， z ) ”i - 。是巩_ 印a h z 三l ，的框 架，若存在 z j 。，的f 框架界与 石j 二的f 框架界相同，则称 j i j 。，是强框架( s t r o n g f r a m e ) 。 下面研究强框架的性质。 定理4 2 2 记l 。为h 中的单位算子，设 z 。是一强框架，则在日。c x 寸v n n ， 垭。s 鼠s b i 。，从而三b i 。s 只+ 上a i 。 下面考虑这样的问题，若i f - 。，是一强框架，其对偶框架为 s - i z 。，它与框架 s _ 1 z 二l ，有相同的下框架界吗? 为研究方便，不妨假设 s 一z 三l 。对应的框架算子为咒：s p a n s 。z ) = l ，- - ，s p a n s “z ) 二i 。， 则 咒，= 窆( s 。石) s 一z = s 一1 最s 一1 ，。即疋= s - s s 一。 所以 参i 墨疋爷一s , s1 蔓知， 即 可a 7 b 。 于是可以褥到 定理4 - 2 3 设 z 甜是一强框架，其对偶框架为 s “z 。，也为对应的框架算子， 则 s l z 。，为强框架 由以上定理可知若 石) 。，是日强框架，则可以用 帆的下框架界来替代 z 。，的 下框架界。 下面给出关于强框架系数逼近的一些结论。 定理4 2 。4 正交投影方法对强框架有效。 证明此时逼近的条件简化为：0 e 一1 2 8 0 最i i 0 z | | s - - 2 曰- ，一_ ，。 由( 1 1 8 ) 式结论成立。 定理4 2 5 正交投影方法对强框架有效当且仅当对其对偶框架 s 一1 z ) 。，有效。 证明延用上面的记号，由r , f = s 。s n s f ，每一个r 是可逆的 并且对f = l ，n 有r z = s 1 最s 。， 所以 ，= r 一1 s 一s , s 一1 正= ( s 心) 。( 躐一) 。， 即 瓯z = ( 躐。) 。1 z ， 所以 r 1 s 。1 z = 嬲一z ，给定j e n ，9 r 一s 正l l l l s l l - i 墨。乃l 。 由上一定理知结论成立。 在强框架条件下关于框架系数逼近的一些条件可以得到简化。 定理4 2 6 设彳是框架 z 。，的下框架界，记i l | 为l 中元素的个数，则对任意 ，。：，有 到，棚| 2 - m a x j 。l , 。z k ：硝删2 ，v ，e h 证明取，毫以，因为 z ) “是以的框架应用框架分解，。磊( ，瓦。乃) 乃有 对所有i 暮以求和得 ( 由c a u c h y - s c h w a r t z 不等式) 荔l ( ，z ) | 2 否去_ | i 州2 磊i 仍，石) 1 2 定瑾4 2 7 设 z 。，是日强框架，a ，曰为框架界，若 二( o 4 ) 是趋于0 的递 减序列，对n n 及任意正：，- 满足 班，五) | 2 静w e l 记吒：只_ 以是有限集 z ) 如 对应的框架算子，则 p ，卅驯陋石与十( 击) | | ( h ) 州v ，日 力汗仍 “ 埘副硝 疗 矗 盯 ，私 删 “ “，剥 ， ， 烈m 协 脯 甙伊腻m爿 删 ：小月 州 z h 0 ， 石 乃 k 扣 嗽 m k 以蛆4 坐奎型苎查堂堡主堂竺兰兰 璺! 墼! 塑壁墨墼垄鲎 证明取一，对，珥有( ( 只s 一圪) ，厂) = ( 只酽，厂) 一( 圪，f ) 因此只s - v 是h 。上的正算子， = ( 善( “) 十( 薹( 肥z ) p z ，小i 、拒，、| j _ - - z l ( s ，z ) f z l ( s ，石) 1 2 i l l虬 一z l s ，刷2 o i t j ， 记它在日。上的限制是( 只s 一l k 则有 0 ( 只s 一_ ) 峨0 = s u p 虮，m 。( (