（基础数学专业论文）bd空间和相关性质.pdf

山东大学硕士学位论文 bd 空间和相关性质 于峰 ( 山东大学数学与系统科学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要中又捅要 本文主要讨论了bd 空间和他的派生空间的性质提出了两个命题：关于bd 空问的闭子遗传性质和乘积空问的性质首先，证明了在亚紧空问中。bd 空间是 闭子遗传的并且得出在同样的假设下，d 空问的派生空间，包括ad 空间、bd 空间和弱ad 空问都是等价的进一步，我们给出亚紧空间是ad 空间其次，我们 讨论了bd 空间的乘积空间证明了有限个bd 空间的乘积空间仍然是bd 空间 这是问题2 的个部分解最后我们引进了一组新的概念：d 完备映射以及其派生 的映射这些定义对今后的研究有一定的意义 关键词；d 空间，ad 空问，bd 空间，弱bd 空间，亚紧，闭子遗传，成绩 空间，d 完备映射，ad 完备映射，bd 完备映射，若ad 完备映射 山东大学硕士学位论文 o nbd s p a c e sa n dr e l a t i v ep r o p e r t i e s y uf e n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 010 0 ) a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s sm a i n l yo ns o m ebd s p a c ep r o p e r t i e sa n dt h e i rg e n e r a l i z a - t i o n s w er a i s et w oh y p o t h e s e s ：t h eh e r e d i t yo f c l o s e ds u b s e t sa ：dp r o d u c ts p a c e so f bd - s p a c e s f i r s t l y , w ee s t a b l i s ht h a ti nm e t a c o m p a c ts p a c e s ，abd - s p a c ei sc l o s e d h e r e d i t a r y a n dw eg a i nt h a t ，u n d e rt h es a m ea s s u m p t i o n ，t h eg e n e r a l i z e ds p a c e so fd s p a c e s ，i n - e l u d i n gad s p a c e s ，bd s p a c e sa n dw e a k l yad s p a c e s ，a r ee q u i v a l e n t f u r t h e r m o r e ，w e g e tt h a tm e t a c o m p a c t n e s si m p l i e sad s p a c e s s e c o n d l y , w et a l ka b o u tt h ep r o d u c to fb d - s p a c e s t h i sw o r ks h o wt h a tt h ef i n i t e l yp r o d u c ts p a c eo fbd s p a c e si sabd - s p a c e ， w h i c hi sap a r t i a ls o l u t i o no fp r o b l e m 2 i nt h ee n d ，w ei n t r o d u c ean e wc o n c e p to fd p e r f e c tm a p p i n g sa n dt h e i rg e n e r a l i z a t i o n s ，w h i c hc o u l db ew o r t h yo ff u _ r t h e rr e s e a r c h k e yw o r d s ：d s p a c e ，ad s p a c e ，bd - s p a c e ，w e a k l yad - s p a c e ，m e t a c o m p a c t ，c l o s e d h e r e d i t a r y , p r o d u c ts p a c e ，d - p e r f e c tm a p p i n g ，ad p e r f e c tm a p p i n g ，bd - p e r f e c tm a p p i n g 。 w e a k l yad p e r f e c tm a p p i n g 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 望：翌 日 ， - ， 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文储虢埠翩虢 日期：鱼堕。l c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n g e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e sa r en a m e l yg e n e r a l i z a t i o n so f t h ew e l l k n o w nm e t r i cs p a c e s h o w e v e r , t h e r ei sn os t r i c td e f i n i t i o nt h a te s t a b l i s hw h a ts p a c e sa r ee x a c t l yg e n e r a l i z e d m e t r i cs p a c e s p a r a c o m p a c ts p a c e sa n do t h e rs p a c e s ，d e r i v e df r o md i f f e r e n tk i n d so f c o v e r i n gp r o p e r t i e s ，a r ea l lg e n e r a l i z a t i o n so fm e t r i cs p a c e s ，e x c e p tf o rs t r o n g l yp a r a c o m p a c t s p a c e t h e r ea r ed e e pr e l a t i o n s h i p sb e t w e e nc o v e r i n gp r o p e r t i e sa n dg e n e r a l i z e dm e t r i c s p a c e s t og e n e r a l i z em e t r i cs p a c e s ，f i r s t l y ，w ec a l lm a k et h em e t r i ca x i o mw e a k e r f o r e x a m p l e ，w ep r e s e n tt h em e t r i ca x i o m sh e r e ： d e f i n i t i o n1 1l e txb eas e t ，w ec a l lxam e t r i cs p a c e ，i ff o ra n yt w op o i n t sz ，y x ， w ec a nd e f i n ean o n n e g a t i v ef u n c t i o np 扛，y ) s t ( m 1 ) p ( x ，y ) = 0 ，i f a n do n l yi f z = y ( m 2 ) p ( x ，y ) = p ( v ，z ) ( m 3 ) p ( z ，可) sp ( z ，：) + p ( z ，翟) ，：x i nw h i c h ，p ( x ，耖) i sc a l l e dam e t r i co nx a n dw ed e n o t eam e t r i cs p a c ex b y ( x ：p ) o r s i m p l yx ( m 1 ) 一( m 3 ) a r ec a l l e dt h em e t r i ca x i o m s b yr e p l a c i n gt h ea x i o m ( m1 ) w i t h ( m 1 7 ) ：p ( z ，可) = 0i fz = y ，w eh a v et h ep s e u d o m e t r i cs p a c e a l s ow ec a no m i t ( m 3 ) ，a n da p p e n do t h e ra x i o m st og a i no t h e rt y p e so f g e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e s t h em a i ng e n e r a l i z a t i o nm e t h o di st ow e a k e nt h em e t r i z a t i o nt h e o r e m s f o re x a m p l e ，i ft h ef i r s tc o n d i t i o no fa l e x a n d r o f f - u r y s o h nm e t d z a t i o nt h e o r e m , w h i c hi s + l ( n ) ，i so m i t t e d , w ew i l lh a v ed e v e l o p m e n ts p a c e s a n dan o r m a ld e v e l o p m e n t s p a c ei sc a l l e dam o o r es p a c e i na d d i t i o n ，i ft h es e c o n dc o n d i t i o ni sa b a t e d ，w ew i l lh a v e m s p a c e s m o o r es p a c e sa n dm s p a c e sa r eb o t hi m p o r t a n tg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e s f u r - t h e r m o r e ，f r o mn a g a t a s i m i m o v - b i n gm e t r i z a t i o nt h e o r e m ，v a r i o u sw e a k e n i n gm e t h o d s l e a d st od i f f e r e n tt y p e so fi m p o r t a n tg e n e r a l i z e ds p a c e s d - s p a c ei sac o n c e p t i o nw i t hc l o s er e l a t i o n s h i pw i t hg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e sa n d c o v e t i n gp r o p e r t i e s t h i sc o n c e p ti sf i r s ti n t r o d u c e db ye k v a nd o u w e ni nh i sw o r k 2 0 i n1 9 7 9 。o n eo f t h ef i r s tt h i n g sa b o u td - s p a c e si nt h ec i t e dp a p e ri st h ef o l l o w i n g ： u pt on o wn os a t i s f a c t o r ye x a m p l eo fas p a c ew h i c hi sn o tad s p a c ei sk n o w n , w h e r eb ys a t i s f a c t o r ye x a m p l ew em e a na ne x a m p l eh a v i n gac o v e r i n gp r o p e r t y a t1 e a s ta ss t r o n ga sm e t a c o m p a c t n e s so rs u b p a r a c o m p a c r n e s s 山东大学硕士学位论文 o v e rt w e n t yy e a r sl a t e r , t h es i t u a t i o ni sm u c ht h es a m e w es t i l ll a c kab a s i cu n d e r - s t a n d i n go ft h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nc o v e r i n gp r o p e r t i e sa n dt h es t a t e o fb e i n gad s p a c e i nf a c t ，a sf l e i s s n e ra n ds t a n l e yn o t e di n2 0 01 【l4 】： b e s i d e st h et r i v i a lo b s e r v a t i o nt h a tac o m p a c t 乃- s p a c ei sad s p a c e ，t h e r , = a r en o p r o o f sk n o w nt h a tac o v e r i n gp r o p e r t yi m p l i e sd - s p a c e m o s tg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e sa r ed s p a c e s ，i nr e c e n tr e s u l t s ，w h e np e o p l ea c h i e v e at r i d m p ho nas i n g l ep a r to ft h ef i e l do fd s p a c e s ，t h a tt h e yp r o v eac e r t a i ng e n e r a l i z e d m e t r i cs p a c e ，s a yx ，i sad s p a c e ，w ec a ni m m e d i a t e l yp r o v et h a ts o m es p e c i a le x a m p l e o fx w h i c hi sa l s oaw e l l - k n o w ng e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c eu n d e rac e r t a i nc o n d i t i o ni s ad s p a c e f o re x a m p l e ，w h e nb u z y a k o v ai n 【10 】s h o wt h 3 t2 v c r ys w o n g 一s p a c ei sa d s p a c e w ec a ni m m e d i a t e l yh a v et h a ta l lt y c h o n o f fs p a c e sw i t hac o u n t a b l en e t w o r k , a l l 盯一s p a c e s a n da l ll i n d e r s fe s p a c e sa r ed - s p a c e s t h ei n t e r e s to ft h i sf i e l d ，d s p a c e s ，i su n i q u e t h e r ea r ev a r i o u sp r o b l e m sr e m a i n - i n go p e nn o w , i n c l u d i n gt h er e l a t i o n s h i po fd s p a c e sa n dc o v e r i n gp r o p e r t i e sa n dt h a to f d s p a c e sa n dac e r t a i nk i n do fg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e t h ef o r m u l a t i o no ft h e s eq u e s - t i o n si ss i m p l e t h ep o s s i b i l i t yo fs o l u t i o nf o rt h e s eq u e s t i o n si se l e g a n t t h en u m b e ro f m a t h e m a t i c i a n sw h oh a v es t a y e do nt h e s eq u e s t i o n sf o rap e r i o do ft i m ew i t h o u ta n s w e r i sl a r g ee n o u g h a l lt h e s em a k e si tc u r i o u st oam a t h e m a t i c i a no fg e n e r a lt o p o l o g y i nt h i sp a p e r ，w ew i l lt a k eab r i e fs u r v e yi nt h i sf i e l d , a n dt h eg e n e r a l i z a t i o n so fd s p a c e s ，e s p e c i a l l yo nbd - s p a c e s w h ybd s p a c e s ，b e c a u s et h e r ei s ad e e pc o n n e c t i o n b e t w e e nt w om e m b e r so fg e n e r a l i z a t i o n so fd - s p a c e s ，ad s p a c e sa n dbd s p a c e s t h e i n i t i a t i o no ft h i sp a p e rc o m e sf r o map r o b l e mo fc l o s e d - h e r e d i t a r yo fbd - s p a c e s i ti s r e l a t e dt ot h es t r u c t u r eo fad s p a c e s ，w h i c hi st h a tas p a c ei sa nad - s p a c ei fa n do n l y i fi t se v e r yc l o s e ds u b s p a c ei sabd s p a c e h o w e v e r , n o te v e r ys u b s p a c eo fabd s p a c e i sabd s p a c e ，t h u sw ea d ds o m ec o n d i t i o n st ot h i sp r o b l e m ，w h i c hl e a dt os o m er e s u l t s f u r t h e r m o r e ，a f t e ra n o t h e rs u r v e yo ft h e s ec o n d i t i o n sw eg e ts o m eo t h e rr e s u l t sa n da d e e p e rc o m p r e h e n s i o no ft h e m a l lt h e s er e s u l t sw i l lb ep r e s e n t e di nt h i sp a p e rs t e pb y s t e p l i s to fs y m b o l s ： x u s u a l l yd e n o t e sat o p o l o g i c a ls p a c e nd e n o t e st h es e to fp o s i t i v en a t u r a ln u m b e r s n = n ( z ) ，i nw h i c ht , n ，m e a n st h a tt h en a t u r a ln u m b e rn i sr e l a t e dt ot h eg i v e n v a r i a b l ez 1 a ii st h ec a r d i n a ln u m b e ro f as e ta 一ai s t h ec l o s u r eo f as e t 4 2 山东大学硕士学位论文 a 。i st h ei n t e r i o ro f as e ta f l ai st h er e s t r i c t i o no f m a p p i n g o nas e ta c h a p t e r2d e f i n i t i o n sa n dp r e p a r a t i o n 2 1 d s p a c e d e f i n i t i o n2 1 ( d i s c r e t ea n dl o c a l l yf i n i t es e t ) as u b s e tao f as p a c ex i sd i s c r e t e ( 1 0 c q l l y 鼻n i t e ) i nxi f e v e r yp o i n tz xh a sa l lo p e nn e i g h b o r h o o d0 zc o n t a i n i n gn o tm o r e t h a no n ee l e m e n t ( o n l yf i n i t e l ye l e m e n t s ) o fa t h e o r e m2 1i f xi sam s p a c e ，as e ta i sl o c a l l yf i n i t ei nxi f a n do n l yi f i ti sd i s c r e t e i nx p r o o f g i v e nat o p o l o g i c a ls p a c ex ，w h i c hi s 死，a n das u b s e tao f x i f ai sd i s c r e t e a i st r i v i a l l yl o c a l l yf i n i t e i fai sl o c a l l yf i n i t e ，v z x ，t h e r ee x i s t sa no p e nn e i g h b o r h o o d0 z s t 0 zna ： 扣1 ，靠，n = n ( 2 7 ) n u n d e rt h ea s s u m p t i o no f 死，e v e r ys i n g l ep o i n ts e ti sa c l o s e ds u b s e t t h u s d ：= c 乙一 x , l i = 1 扎，a n d z i z 】i sa n o p e n n e i g h b o r h o o d o f z i f z a ，1 0 ：na i = 1 ，e l s ei d ：na l = 0 t h u sai sd i s c r e t ei nx 口 r e m a r k ：i nf o l l o w i n gp a r t s ，w ea s s u m et h a te v e r ym e n t i o n e d t o p o l o g i c a ls p a c ei sa 丑 s p a c e t h u sw ed on o td i s t i n g u i s hb e t w e e nd i s c r e t es e t sa n dl o c a l l yf i n i t es e t s t h e r ei sa n o t h e rc o n c e p tr e l a t e dt ol o c a l l yf i n i t e n e s sw h i c hw i l lb er e f e r r e dt ol a t e r d e f i n i t i o n2 2 ( p o i n t - f i n i t e ) af a m i l yo fs e t 彩= 以) 。ai sc a l l e d p o i n t - f i n i t e i ff o r e v e r y2 7 x ，t h e r ea r eo n l yf i n i t e as t z 以 d e f i n i t i o n2 3 ( n e i g h b o r h o o da s s i g n m e n t ) an e i g h b o r h o o d a s s i g n m e n to nat o p o l o g i c a ls p a c exi sam a p p i n go f xi n t ot h et o p o l o g yt o f xs u c ht h a tx 西( 2 ) d e f i n i t i o n2 4 ( d - s p a c e ) as p a c exi sc a l l e dad - s p a c e ，i ff o re v e r yn e i g h b o r h o o d 签 s i g n m e n t o nx ，t h e r ee x i s t sac l o s e dd i s c r e t es u b s e tao f xs u c ht h a tt h ef a m i i y 矽( a ) c o v e r sx d e f i n i t i o n2 5 ( e x t e n t ) t h ee x t e n te ( x ) o fas p a c ex i st h es m a l l e s ti n f i n i t ec a r d i n a i n u m b e r7 - s t a i 7 f o re v e r ys u b s e tao fx w h i c hi sc l o s e dd i s c r e t ei nx d e f i n i t i o n2 6 ( l i n d e r i 6 fn u m b e r ) t h e s m a l l e s tc a r d i n a ln u m b e rms u c ht h a te v e r yo p e n c o v e ro f as p a c exh a sa no p e nr e 丘n e m e n to f c a l r d i n a l i t y mi sc a l l e dt h el i n d e r l 6 f n u m b e ro f t h es p a c exa n di sd e n o t e db yf ( x ) 4 山东大学硕士学位论文 h e r ea r es o m ee a s yf a c t s ： p r o p e r s i t i o n2 1 i fxi sad - 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s p a c e t os e et h el a s tf a c t ，n o t et h a txc o n t a i n sac l o s e dc o p yo fw la n di ti ss t r a i g h t f o r w a r d t os e et h a tt h i sp r e c l u d e sxb e i n gad s p a c e h o w e v e r , s h en o t e st h a tt h ef o l l o w i n g q u e s t i o nm a y b eo fi n t e r e s t ： q u e s t i o n2 1 ( q u e s t i o n3 6o f 9 】) s u p p o s et h a tz ( r ) = e ( r ) f o re v e r ys u b s p a c ey o f x i sxt h e na d s p a c e ? a n dt h e r ei sa n o t h e rp r o b l e m ： q u e s t i o n2 2 ( v a nd o u w e n 2 0 ) i se v e r yr e g u l a rl i n d e r s fs p a c ead s p a c e ? i ti ss t i l lu n k n o w nw h e t h e re v e r yh e r e d i t a r i l yl i n d e r 6 fr e g u l a r 丑一s p a c ei sad s p a c e v a n d o u w e na l s oa s k e d ： q u e s t i o n2 3d o e st h e r ee x i s t sas u b p a r a c o m p a c to rm e t a c o m p a c ts p a c ew h i c hi sn o t a d - s p a c e ? t h e s eq u e s t i o n sa r es t i l lo p e n r e c a l lt h ed e f i n i t i o no f s u b p a r a c o m p a c ta n dm e t a c o m p a c t d e f i n i t i o n2 7 ( s u b p a r a c o m p a c t ) as p a c ex i ss a i dt ob es u b p a r a c o m p a c ti f e v e r yo p e n c o v e t i n go fx c a r lb er e f i n e db ya 盯d i s c r e t ec l o s e dc o v e r i n g 5 山东大学硕士学位论文 d e f i n i t i o n2 8 ( m e t a c o m p a c t ) as p a c ex i ss a i dt ob em e t a c o m p a c ti fe v e r yo p e nc o y e r i n go fx c a nb er e f i n e db yap o i n t f i n i t eo p e nc o v e t i n g g e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c eh a sac l o s er e l a t i o n s h i pw i t hc o v e t i n gp r o p e r t i e s t h e f o r m e rp a r a g r a p h ss t a t et h er e l a t i o n s h i po fd s p a c e sw i t hs o m ec o v e r i n gp r o p e r t i e s d s p a c e sa l s or e l a t e sc l o s e l yw i t hg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e s i t i sp r o v e dt h a ta l lm e t r i z a b l es p a c e s ，a sw e l la sa l lm o o r es p a c e sa n da l ls e m i - s t r a t i f i a b l es p a c e s ( 坞一s p a c e s ) ，a r ed - s p a c e s 7 】t h e r ei sa n o t h e rg e n e r a lr e s u l tb y b u z y a k o v a ： t h e o r e m2 2 ( r z b u z y a k o v a 1 0 1 ) e v e r ys t r o n g 一s p a c ei sad s p a c e i tf o l l o w si m m e d i a t e l yt h a ta l lt y c h o n o f fs p a c e sw i t hac o u n t a b l en e t w o r k ，a l lo r s p a c e s ，a n da l ll i n d e r s fe s p a c e sa r ed s p a c e s ，i nw h i c hal i n d e r 6 fe - s p a c ei sa l lt h e t y c h o n o f fc o n t i n u o u si m a g e so fl i n d e r t fp - s p a c e s ，a n dao r - s p a c ei s as p a c ew i t ho r - d i s c r e t en e t w o r k h o w e v e r , t h e r ea r ec o u n t e r e x a m p l e s o tw h i c ht h em o s ti m p o r t a n to n ei st h es p a c er c o n s t r u c t e db yw i c k ea n dv a nd o u w e ni n 2 1 t h es p a c efi sah a u s d o r f f , l o c a l l yc o r n p a c t , l o c a l l yc o u n t a b l e ，s e p a r a b l e ，f i r s tc o u n t a b l e ，s u b m e t r i z a b l e ，盯一d i s c r e t e ，r e a l c o m p a c t s p a c ew i t hag 6 - d i a g o n a lw h i c hi sn o t ad s p a c e t h u s ，t h o s ep r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e d m e t r i z a b l es p a c e sd on o tn e c e s s a r i l yl e a dt od - s p a c e s i nc o n n e c t i o nw i t ht h es p a c ef ，i far e g u l a r 乃一s p a c ex i st h eu n i o no faf i n i t ec o l - l e c t i o no fm e t r i z a b l es u b s p a c e s ，t h e nx i sad s p a c e 【3 】h o w e v e rt h en e x tq u e s t i o ni s s t i l lo p e n ： q u e s t i o n2 4s u p p o s et h a ta ( r e g u l a r , h a u s d o r f f , t y c h o n o f f ) 正一s p a c ex i st h eu n i o no f t w os u b s p a c e sw h i c ha r eb o t hd s p a c e s ，i st h e nxad s p a c ea sw e l l ? 2 2 ad s p a c e d e f i n i t i o n2 9 ( ad s p a c e ) as p a c exi sa nad - s p a c ei f , f o re a c hc l o s e ds u b s e tfo fx a n de a c ho p e nc o v e t i n g7o fxt h e r ee x i s t sad i s c r e t e