（基础数学专业论文）e反演半群上的强r幂幺同余和强逆同余.pdf

e 一反演半群上的强r 幂幺同余和强逆同余 研究生姓名： 学科、专业： 研究方向： 导师、职称： 完成时间： 徐华博 基 础数学 半群代数理论 郑恒武教授 2 0 1 0 年4 月1 0 日 臀虿口mm_，-；fl。#i。；i卜p 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文b 反演半群上的强r 幂幺同 余和强逆同余，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间 独立进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发 表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均己 在文中已明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名 磐 醐囊彳钧 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 b 反演半群上的强r - 幂幺同余和强逆同余系本人在曲阜师范大学 攻读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成 果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本 人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本 人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发 表论文的全部或部分内容 作者签名： 导师签名： 期：埘佣 期： 曲阜师范大学硕士学位论文 e - 反演半群上的强r - 幂幺同余和强逆同余 摘要 本义主要研究b 反演半群s 上的强r 幂幺同余和强逆同余全文共分四 节 第一节是引言部分 第二节是预备知识 第三节主要研究b 反演半群上的强r - 幂幺同余在这节中我们得到d 反演半群上的每个强r - 幂幺同余都由它的核和超迹所唯一确定同时利用 强r - 幂幺同余对刻画了d 反演半群上的强r _ 幂幺同余，并且得到了b 反演 半群s 上所有强r - 幂幺同余组成的偏序集与s 上所有强r - 幂幺同余对组成 的偏序集是保序同构的 第四节主要研究d 反演半群上的强逆同余和群同余在本节中我们利 用强逆同余对刻画了b 反演半群上的强逆同余同时得到了b 反演半群s 上 所有强逆同余组成的偏序集与s 上所有强逆同余对组成的偏序集是保序同 构的 在本节中亦讨论了b 反演半群s 上的群同余，得到了b 反演半群上的群 同余可由它的核所唯一确定 关键词：b 反演半群，强正则同余，r - 幂幺同余，强r - 幂幺同 余，强逆同余，群同余，同余对 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yd e s c i 。i b es t r 。n g r - u n i p o t e n tc o n g r u e n c e sa n d s t r 。n 9 1 yi n v e r s es e m i g r o u pc 。n g r u e n c e s 。n e - i n v e r s i v es e m i 口。u p s i t1 se 。m p o s e do ff o u rs e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni sa ni n t r o d u c t i o n t h es e c o n ds e c t i o ni sp r e l i m i n a r i e s 。 i nt h et h l r ds e c t i o n ，w ed e s c r i b es t r o n gr - u n i p o t e n tc o n g r u e n c e s o np i n v e r s i v es e m i 擎。u p s w eo b t a i nt h a t 。e a c hs t r o n gr - u n i p 。t e n t c o n g r u e n c e o nb i n v e r s i v es e m i g r o u p si su n i q u e l yd e t e r m i n e d i t sk e r n e la n dh y p e r - t r a c e f u r t h e r m o r e ，s t r o n gr - u n i p o t e n tc o n g r u e n c e s 0 1 1a ne - i n v e r s l v es e m 堰r o u pa r e d e s c r i b e d b y m e a n so fs t r o n gr - u n i p 。t e n tc o n g r u e n c ep a i r s 妇t h 沿姗璐? s e m i g r o u p i ti so b t a i n e dt h a tt h ep a r t i a l 。r d e r s e to fa l ls t r 。n gr u n l p o t e 吼 c o n g r u e n c e so na nb i n v e r s i v es e m i g r o u ps i sm u t u a l l y1 n v e r s eo r d e s o m 三r - p h i ct ot h ep a r t i a lo r d e r s e to fa l ls t r o n gr - u n i p o t e n tc o n 铲u e n c ep a l r s t o r i nt h ef o u rs e c t i o n ，w ed e s c r i b es t r o n g l y i n v e r s ec o n g r u e n c e sa n dg r o u p c o n g r u e n c e so ne - i n v e r s i r es e m i g r o u p s w e o b t a i nt h a ts t r o n g l y1 n v e r s ec o n g r u e n c e so na nb i n v e r s i v es e m i g r o u p a r ed e s c r i b e db y 眦哪o f s 订0 n 斟y 1 _ 二r s ec o n g r u e n c e 耐r sf o r t h ee - i n v e r s i v es e m i g r o u p m o r e 帆r ，托选0 b 伽i | 8 d t h a tt h ep a r t i a lo r ( 王e rs e to fa l ls t r o n g l yi n v e r s ec o n g r u e n c e s o na ne - 1 n 、伦r s l v t s e m i g r o u psi si i m t u a l l y 帆s eo r d e ri s o m o r p h i c t ot h ep a r t i a lo r d e rs e to t a 】1s t r o n g l yi n v e r s ec o n g r u e n c ep a i r sf o rs w ea l s od e s c r i b eg r o u pc o n g r u e n c e so ne - i n v e r s i v es e m i g r o u p si nt h i s s e c t i o n w ep r e s e n th e r et h a tg r o u pc o n g r u e n c e so ne i n v e r s i v e s e m i g r o u p s a r eu n i q u e l yd e s c r i b e db yt h e i rk e r n e l s k e y w o r d se - i n v e r s i v es e m i g r o u p ，s t r o n g l yr e g u l a rc o n g r u e n c e ，r - u n i p 伊 t e n tc o n g r u e n c e ，s t r o n gr - u n i p o t e n tc o n g r u e n c e ，s t r o n g l yi n v e r s ec o n g r u e n c e ， g r o u pc o n g r u e n c e ，c o n g r u e n c ep a i r i n 目录 1 引言1 2 预备知识3 5 3 e 一反演半群上的强r 一幂幺同余7 4 e 一反演半群上的强逆同余2 3 参考文献2 7 曲阜师范大学硕士学位论文 1 引言 设s 是半群，如果对任意的a s ，存在z s 使得a x 为s 的幂等元，则 称s 是d 反演半群【1 】在 2 】中得到半群s 是b 反演半群当且仅当对任意的a s ，有w ( a ) = a s l a 7 = a a a 7 ) o 如果半群s 的幂等元集是s 的子半群， 则s 是b 反演半群关于b 反演半群的一些结果，读者可参考b l y t h ，a l m e i d a 【3 】，c a t i n o ，m i c c o l i 4 】，h a l l ，w u n n 【5 】，h a y e s 【6 ，7 】，m i t s c h 8 ，李小玲 9 】，罗 彦锋，范兴奎，李小玲【1 0 ，m i t s c h 【1 1 ，1 2 ，1 3 ，m i t s c h ，p e t r i c h 2 1 ，s i r i p i t u k d e t ， s a t t a y a p o r n 1 4 ，w e i p o l t s h a m m e r 【1 5 ，王守峰，杨军【1 6 】以及郑恒武【1 7 ，1 8 】i 如果对半群s 的任意元素a ，存在钆z + 使得口n 为s 的正则元，那么称s 是 毕竟正抛0 半群 1 9 】由文献 1 1 矢l l 道：任意的毕竟正则半群都是b 反演半群 关于正则半群同余的一些结果可参考t r o t t e rf 2 0 1 ，伊宝林f 2 1 ，2 2 1 ，m i t s c h 【2 s ，p a s t i j n ，p e r i c h 【2 4 ，p e r i c h 2 5 正则半群上的核迹方法的出现，使得正则半群上的同余得到了广泛研 究在文献 2 6 】中g o m e s 利用核超迹方法刻画了正则半群上的r _ 幂幺同余 在文献 2 7 】中罗彦锋和李小玲利用核一超迹方法刻画了毕竟正则半群上的m 幂幺同余，从而推广 2 6 】的主要结果本文利用核超迹方法研究d 反演半群 上的强r - 幂幺同余，推广了文献 2 7 1 的相应结果 本文第二节是预备知识，给出了本文所需要的若干概念和结果第三节 主要研究b 反演半群上的强r - 幂幺同余在这节中我们得到b 反演半群上 的每个强r - 幂幺同余都由它的核和超迹所唯一确定同时利用强r 幂幺同 余对刻画了d 反演半群上的强r 幂幺同余，并且得到了b 反演半群s 上所有 强r - 幂幺同余组成的偏序集与s 上所有强r - 幂幺同余对组成的偏序集是保 序同构的 第四节主要研究b 反演半群上的强逆同余和群同余在本节中我们利 用强逆同余对刻画了b 反演半群上的强逆同余同时得到了b 反演半群s 上 曲阜师范大学硕士学位论文 所有强逆同余组成的偏序集与s 上所有强逆同余对组成的偏序集是保序同 构的 在本节中亦讨论了b 反演半群s 上的群同余，得到了b 反演半群上的群 同余可由它的核所唯一确定 在文献【1 0 】中罗彦锋，范兴奎，李小玲利用核一迹方法研究了b 反演半群 上的强芷则同余，文中给出的同余是比较巧妙的，但同时同余又是相对模糊 的而本文利用核一超迹方法用具体可见的同余刻画b 反演半群上的强r - 幂 幺同余，强逆同余和群同余 2 曲阜师范大学硕士学位论文 2 预备知识 关丁半群的概念和符号参考文献2 8 1 设s 是半群，用e ( s ) 表示s 的所有幂等元的集合，即e ( s ) = 口s i n 2 = o ) - ，r e g ( s ) 表示s 所有正则元的集合对任意的a r e 9 ( s ) ，y ( o ) 表示n 的所 有逆元的集合，c ( s ) 表示s 上所有同余的集合 令c 为一类半群，p 2 半群s 上的同余如果s p 是c 半群，那么称p 为c 同 余例如，如果s p 是r 幂幺半群，那么称p 为s 上的r - 幂幺同余 设s 是正则半群，如果e ( s ) 是左正则带，即对任意的e ，厂e ( s ) ，有e f e = e ，那么称s 是r - 幂幺半群由f 2 8 矢n 正则半群s 是r 幂幺的当且仅当s 的每 个泥一类包含唯一的幂等元对偶地可定义l 一幂幺半群 如果正则半群s 既是r - 幂幺半群又是l 一幂幺半群，那么称s 是逆半群换 句话说，正则半群s 是逆半群当且仅当s 的每个蹰一类，每个z 一类都包含唯 一的幂等元 设s 是半群，任取a s ，定义 w ( o ) = z s z a z = z ) w ( o ) 中的元素称为。的弱逆元 设s 是b 反演半群，p 为s 上的同余如果对任意的a s ，存在o ，彬( o ) 使得a p a a 7 a ，那么称p 为s 上的强正则同余 注( 1 ) 在文献 t 0 中e - 反演半群上的强正则同余称为正则同余 ( 2 ) 下面的例子2 1 说明了在b 反演半群上的正则同余不一定是强 正则同余 例子2 1 令s = ，) ，即s 为自然数集关于普通乘法作成的半群，p 是 3 曲阜师范大学硕士学位论文 由划分 o ) ， 1 ) ，( m l m 1 - 确定的s 上的同余则s 是b 反演半群，且s p = 6 ，i ，主) 为带，即p 为带同余从而p 为正则同余，但p 不是强正则同余 设s 为半群，e ，e ( s ) 令 m ( e ，) = 9 e ( s ) lg e = g = f g s ( e ，厂) = 9ee ( s ) ig e = g = f g ，e g s = e ，) 那么称s ( e ，) 为e ，的夹心集从文献 1 0 】中知对b 反演半群s j = 任意的幂等 元e ，s ，有m ( e ，) o 下面给出本文经常用到的若干引理 引理2 2 【2 9 】设s 是b 反演半群，a ，b s ，a i 彬( n ) ，6 ，w ( 6 ) 则 ( 1 ) g m ( a 7 a ，b b 7 ) 辛b g a 7 w ( a b ) ny ( o 加) ( 2 ) 夕m ( a 7 a ，b b ) 兮b g a 7 w ( a b ) nv ( a g b 7 ) ( 3 ) g m ( a a 7 ，b b ) 兮b g a w ( 口7 b ) ny ( 0 7 9 b ) ( 4 ) 夕m ( a a 7 ，b b ) 兮b g a w ( n 7 b ) ny ( 0 7 9 b 7 ) 证明仅仅证明( 1 ) 设g m ( a 7 a ，b b ，) 则 故b 7 9 a 7 w ( a b ) 由丁 g e ( s ) ，g a 7 a = g ，b e g = g ， e g a | a b b g a | = b g g a = b g a + b g a la g b b g a i = b 7 9 9 9 a l = b g a l a g b e g a 7 a g b = a g g g b = a g b 故b g a 7 y ( a g b ) l l t b g a 7 w ( a b lny ( a g b ) 4 口 曲阜师范大学硕士学位论文 引理2 3 【1 0 】设p ) g e - 反演半群s _ h 8 9 强正则同余，a p e ( s p ) ，则存 在e e ( s ) na p 使得也h a 设p 为半群s 上的同余称 k e r p = n s ia p a 2 】 为同余p 的核 设为半群s 上的同余称p 在e ( s ) 上的限制，即pn ( e ( s ) xe ( s ) ) 为同 余p 的迹，记为t r p 设p 为半群s 上的同余令( e ( s ) ) 是由s 的所有幂等元生成的子半群称p 在( e ( s ) ) 上的限制为p 的超迹，记为h t r p 注当p 为b 反演半群s 上的强正则同余时，由引理2 3 知 k e r p = o6s ij e6e ( s ) ，s t ( a ，e ) j d ) 引理2 4 【1 0 】设p g e - 反演半群s 上的强正则同余，a ，b s ，b p6w ( a p ) ， 则存在a 76w ( n ) 使得a p b ，且h a ，协 引理2 5 i 0 】设p 曼0 e - 反演半群s 上的强正则同余，e ，f e ( s ) ，e p f ，则 存在96e ( s ) 使得e p g p f jg m ( e ，) 引理2 6 1 0 】设p ) 白e - 反演半群s 上的强正则同余，e ，f ，夕e ( s ) ，g p m ( e p ，f p ) 如果对任意的z e pne ( s ) ，y6f pne ( s ) ，那么存在z 9 pn e ( s ) 使得z6m ( z ，秒) 引理2 7 【2 0 】设s 是b 反演半群，则有 ( 1 ) 对任意的a6s ，a 76 ( o ) ，e ，f6s ( s ) e a 7 ，a l f ，e a 7 f6w ( 口) ( 2 ) 对任意的a6s ，6w ( o ) ，e6e ( s ) 兮a e a 7 ，a r e a6e ( s ) ( 3 ) 对任意的e6e ( s ) 穹w ( e ) e ( s ) 5 6 曲阜师范大学硕士学位论文 3 e 反演半群上的强r - 幂幺同余 本节主要研究b 反演半群上的强r - 幂幺同余我们得到b 反演半群上 的每个强r _ 幂幺同余都由它的核和超迹所唯一确定同时利用强r 幂幺同 余对刻画了b 反演半群上的强r - 幂幺同余，并且得到了b 反演半群s 上所有 强r 幂幺同余组成的偏序集与s 上所有强r - 幂幺同余对组成的偏序集是保 序同构的 注意到例2 1 中的同余p 是左正则带同余，当然是r _ 幂幺同余可见b 反 演半群上的左正则带同余不一定是强正则同余，从而r - 幂幺同余1 一定是 强正则同余反之，b 反演半群上的强正则同余也不一定是r 幂幺同余这 样就引入了下面的概念： 如果b 反演半群s 上的同余p 既是左正则带同余，又是强正则同余，那么 称p 为s 上的强左正则带同余 如果b 反演半群s 上的同余p 既是r 幂幺同余，又是强正则同余，则称p 为s 上 的强r _ 幂幺同余 下文中如无特别说明均假设s 是b 反演半群 定义3 1 假设k 是s 的子半群，如果下列条件成立 ( 1 ) r e g ( k ) = r e g ( s ) nk ， ( 2 ) e ( s ) k ，即k 是满的， ( 3 ) 对任意的a s ，任意的a 7 ( n ) ，有a k a 7 冬k ，a k ack ，即k 是 弱自共轭的，那么称k 是s 的正规子半群 注类似于文献 3 0 l e m m a 3 1 的证明知：对s 的满子半群k ，贝u r e g ( k ) = r e g ( s ) nk 的充要条件是 ( 1 ) 对任意的n k ，任意的n 7 w ( o ) ，有a 7 k ，耳p w ( a ) 冬k 7 曲阜师范大学硕士学位论文 故定义3 1 中的( 1 ) 等价= t - ( i ) 定义3 2 令为( e ( s ) ) 上的同余如果对任意的z ，y ( e ( s ) ) ，a s ，a ( o ) ，当z c y ，a x a 7 ，a y a 7 ，a x a ，a y a ( e ( s ) ) 时，总有 a x a a y a ，a x a a 7 y a 那么称为( e ( s ) ) 上的正规同余 定义3 3 设为( e ( s ) ) 上的正规同余和强左正则带同余，k 是s 的正规子 半群如果对任意的n ，6 s ，z ( e ( s ) ) ，下列条件成立： ( 1 ) 存在a + w ( n ) 使得对任意的n w ( n ) 有a a + a a c a a ， ( 2 ) x a k ，z o o + a k ， ( 3 ) a b k 令a x b k ， ( 4 ) a k ，a x a + ( e ( s ) ) 净a a + x a x a + ， 则称( ，k ) g s 的强r _ 幂幺同余对 设( ，k ) 为s 的强r _ 幂幺同余对，在s _ t 定义二元关系p ( ，k ) ： 。，( v a 7 w ( o ) ) ( 9 b w ( 6 ) ) 令( a b k ，a a 印b ，o 仅和6 ) ， 。p k ) 6 铮( v 6 ，w ( 6 ) ) ( j n ，w ( 。) ) 兮( b ，q k , a 0 ，莓彬，a i q 6 ) 记号在下文中用s r u c ( s ) 表示s 上的所有强r - 幂幺同余组成的集合， s r u c p ( s ) 表示s 的所有强r _ 幂幺同余对组成的集合 引理3 4 设( 专，k ) s r u c p ( s ) ，a s ，则对任意的口，w ( q ) ，有o o + o 莓 a a 证明设a i w ( o ) 则由定义3 3 ( 1 ) $ 1 a a + a 0 7 c a a 7 又因为是( e ( s ) ) 正规 的左正则带同余，所以有 a a = a a a 7 a c a 7 a a + a a 7 0 0 7 a a + a 8 口 曲阜师范大学硕士学位论文 性质3 5 设( ，k ) s n u c p ( s ) ，a ，b s 且存在6 ”w ( 6 ) ，使得口口+ 6 6 ， 则对任意的6 ，彬( 6 ) ，有a b k 证明假设n ，b s ，b ”( 6 ) 使得口矿6 6 ，因为k 是正规子半群，6 6 ”a b 7 k ，所以有n b ，( o b ，) + b b ”a b k 显然有b ，( o b ，) + 彤( o ) 由于是左正则带同 余，故有 q 6 7 ( a b ，) + 和o + a b 7 ( a b 7 ) + 亭q o + a b 7 ( a b ，) + a a + d n + n 6 ，( n 6 ，) + b b ”0 6 7 ( a b ，) + b b “ 由定义3 3 ( 2 ) 得a b k 对偶地，如果存在a ”彬( o ) 使得b 6 + 专o o ”，0 ，7 b k ，可得对任意的n ( o ) ，有b a 7 k 成立 口 由性质3 5 可得下面的 推论3 6 令( ，k ) s n u c p ( s ) ，d ，b s ，且o p ( f ，k ) b 则对任意的 ( n ) ，b 7 彤( 6 ) ，有b a k ，a b 7 k 引理3 7 令( ，k ) s r u c p ( s ) ，a r e g ( s ) nk ，z ( e ( s ) ) 女l l 果a x a + ( e ( s ) ) ，则对任意的n 7 y ( n ) ，每当o z q 7 ( e ( s ) ) 时，有a a 7 x a x a 7 证明设a 7 y ( a ) ，由定义3 3 ( 1 ) 知，a a q o + a a 因此 a a + = a a a a + o o a a + a a 7 o o 又由引理3 4 知，对任意的z ( e ( s ) ) 有 a a x a + q 7 a x a 7 a a + o 0 7 a x a 7 a 9 曲阜师范大学硕士学位论文 又因为是正规同余，当口z 0 7 ( e ( s ) ) 时有 a a 7 z 口n 7 x a a 7 o o + x a a 7 o z o + a a 7 = a a ，a x a + a a ， 0 0 7 a x a a a 7 = a x a ， ( 因为是左正则带同余) ( 由定义3 3 ( 4 ) ) 口 弓i 理3 8 令( ，k ) s n u c p ( s ) ，a k ，a 7 1 ( o ) 贝j j ( a a 7 ) y ( ( n 7 n ) ) ， 且a a a 。n a ：7 ，a a a a 7 0 7 a 且 证明设a k ，a w ( n ) 由于k 是s 的工f 规子半群，故a 7 ，a a 7 a k ， ( a a 7 a ) a a a ，( a a a ) - a a a + ，a a a 7 a a 7 a ，a 7 a a 7 ( 0 7 ) + ( e ( s ) ) 因此 a a aa a a | = l a a a ) a t a a a a + 0 0 7 a a 7 a a 7 = a a 7 a a a a 7 a 7 a = a ia a 7 a 、a a 7 a a 口7 a a 7 a a 7 a a a = a ，a ( 由引理3 7 ) ( 由引理3 7 ) 所以( 0 0 7 ) y ( ( o n ) ) 又因为亭是( e ( s ) ) 上的左正则带同余同余，所以 a a 川ao 0 0 7 ，a a a a 7 0 7 a 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 下面给出本节的主要结果 定理3 9 若( ，k ) s r u c p ( s ) ，则j p ( ，k ) 是使得k e r p = k 爿j _ h t r p = 唯 一的s 上的强r _ 幂幺同余 反之，若p s r u c ( s ) ，贝j j ( h t r p ，k e r p ) s r u c p ( s ) ，且p = p ( ，k ) 下面将定理3 9 的证明分成以下几个引理 引理3 1 0 令( ，k ) s r u c p ( s ) 则p ( ，k j 为s 上的同余 证明为了方便对任意的( ，k ) s r u c p ( s ) ，令p = p ( ，k ) 首先证 明p 是等价关系显然p 是对称的由于k 是满的，是自反的，故p 是自反的 下面证明p 是传递的令a p b ，b p c 则对任意的a 7 ( o ) ，存在b 7 w ( 6 ) 使得 a b 7 k ，a a b b ，a a b 7 b 对任意的6 7 彬( 6 ) ，存在c ，w ( c ) 使得 b c k ，b b c c 7 ，b b c 7 c 因为是传递的，所以q q c c f ，a a d c 又因为k 是s 的正规子半群，所以有 由引理2 5 知，存在 使得 a 7 b b 7 c k 9 m ( a a 7 ，b b ，) ) h m ( a a 7 ，d ) a a 7 g b b c d 由定义3 3 ( 3 ) 知o g a a 7 c = a b b 7 9 a a c k ，其r f l 0 7 9 a e ( s ) 易 矢n c ( a 7 c ) + w ( a ，) id h a w ( a 7 c ) ，从而得 1 1 曲阜师范大学硕士学位论文 a l c ( a 7 c ) + = d a a 7 c ( a 7 c ) + 0 7 c c h a a 7 c ( a 7 c ) +( 因为a a c c 7 h a a 7 且是正规同余) 莓0 7 c ( a 7 c ) + a 7 c c h a a 7 c ( a 7 c ) + ( 由定义3 3 ( 1 ) ) 善0 7 c ( a c ) + a c a h a( 因为是左正则带同余) 0 7 c c 7 h a ( 由定义3 3 ( 1 ) ) = 0 7 h a ( 因为h m ( a a 7 ，c d ) ) 0 7 9 0( 因为k 夕且是正规同余) 由定义3 3 ( 2 ) ，得a c k 对偶地可得对任意的c ，w ( c ) ，存在a 7 w ( a ) 使得c ，o k ，a a 7 c c 7 ， a a 7 c 因此有a p c 所以p 是传递的这样就证明了p 是s 上的等价关系 下证j d 是s 上的左同余设a ，b ，c s 且a p b 对任意的( c o ) 7 w ( c a ) ，令a i = ( c a ) c ，c ，= a ( c a ) 7 则0 7 w ( 口) ，c ，( c ) ，( c a ) 7 = 0 7 c ，a a 7 = d c 因为o j d 6 ， 所以存在6 ，w ( 6 ) 使得6 k ，a a 7 专6 6 7 ，a l a b b 故有( ) 7 c b = a b k 由 引理2 5 知，存在g m ( a a 7 ，b b 7 ) = m ( d c ，b b 7 ) 使得a a 7 必6 6 ，令( c 6 ) 7 = e g c 则( c 6 ) 7 = b g d w ( c b ) 所以 c a ( c a ) | = c a a | c c b b | g c = c b ( c b ) | ( c 6 ) 7 c b = e g d c b = b g b b 7 b b 7 b = b b a 7 a = a t a a 7 a = a i c t c a = ( c a ) 7 c a 对偶地可得对任意的( c 6 ) 7 w ( c b ) ，存在( ) 7 w ( c a ) 使得 ( c 6 ) 7 c a k ，c a ( c a ) 7 c b ( c b b ) 7 ，( c a ) 7 c a ( c b ) 7 c b 因此c a p c b 所以p 是左同余 最后证明p 是右同余任取( o c ) 7 w ( a c ) ，令a 7 = c ( a c ) ，c ，= ( a c ) 7 a n a 7 w ( 口) ，c ，( c ) ，( a c ) 7 = d a 7 ，a t a = c d 囚为。比所以存在6 ，w ( 6 ) 使 1 2 - 得a 7 b k ，a a 7 6 6 7 ，a a b 7 b 由于0 7 b k ，k 是自反的，得( 口c ) 7 b c = v i a 7 b c k 由引理2 5 知存在夕m ( b b ，a a ) = m ( b 7 b ，c c ，) 使得6 7 蜒9 0 7 a 令( 6 c ) 7 = d g b 7 贝o d g b 7 w ( b c ) 故 b c ( b c ) 7 = b c c g b = 劬曲扫76 6 ，= b b 7 0 0 7 = o c ( o c ) 7 ( 6 c ) 7 6 c = d g b b c = d g c c a 7 a a = c t c c l c = v i a = ( a c ) 7 a c 对偶地可证对任意的( 6 c ) 7 w ( 6 c ) ，存在( o c ) 7 w ( a c ) i 吏得 ( b e ) a c k ，a c ( a c ) 7 f 6 c ( 6 c ) 7 ，( a c ) 7 a c ( b c ) 7 b c 因此a c p b c 所以p 是右同余这样就完成了引理的证明 口 引理3 1 1 设( ，k ) s r u c p ( s ) 则p ( ，) 是s 上的强r _ 幂幺同余，j l k e r p = k ，h t r p = ， 证明下面分四步证明本引理设p = j d ( ， 第一步证明p 是s 上的强r - 正则同余假设口p s i p 对任意的0 7 ( o ) ，因为k 是满子半群，所以0 7 a a + a k 由引理3 4 得 o 矿a a 7 0 0 7 a a 7 a = n 7 0 则存在( a + o ) 7 w ( a + a ) n ( e ( s ) ) 使得( 矿o ) 7 口7 a 故 ( n + o ) 7 a + a a + o ) ( o + o ) 7 a + = ( n + n ) 7 a + ，( 口+ o ) 7 a + w ( a a + n ) 由是( e ( s ) ) 上正规的强r - 幂幺同余，得到 a a 7 o n + a a 7 c a a + a a a a + o n + a ( a + 口) 7 a + ( o + o ) 7 a + a a + a = ( 矿q ) 7 a + a c a 7 a a + a a a 1 3 曲阜师范大学硕士学位论文 另一方面，对任意的c w ( a a + o ) ，c a a + a c a a + = c a a + ，c a a + w ( o ) 显然 有c ( a a + a ) =( c a a + a 因此 c a a + a c a = c a a c a a + a c = a c 故c 口，a c ( e ( s ) ) k 注意到o + ( n ) 故 ( a a + a ) c a a + a c a a + a c a a + a c a a + = a ( c a a + ) 从而a p a a + 口，即j d 是s 上的强正则同余 第二步证明尼e 即= k 令o k e r p 则存在e e ( s ) 使得o p e ，故对o + w ( a + ) ，存在z w ( e ) 使得z o k ，a a + e z 由引理2 8 知z ( e ( s ) ) ，从 而e z o k 由定义3 3 ( 2 ) 矢1 1 a k 故k e r p k 反之，假设o k 下面证明o p 0 2 对任意的0 7 w ( n ) ，因为k 是s 的正规 子半群，所以有n 7 k ，a a 2 k 令z ( e ( s ) ) 且z s ( ( 口7 0 ) ，( a a 7 ) ) 贝0 由 引理2 5 知存在e e ( s ) 使得z e ，a a 7 e = e = e a 7 a ，即 因此 e m ( a 7 a ，a a ，) a a j a e a l = a a | a e a i a a i 0 0 7 a 7 a e a 7 a = n 0 ，a ，a e o o 川aa z ( a a | a | a = a a ， a e a 7 w ( a 2 1 ( 由引理3 7 ) ( 因为e n 7 a = e ) ( 因岁可z c e ) 1 4 ( 因为z s ( ( 0 7 口) ，( a a 健) ) ( 由引理3 8 ) 且 又 且 a f e a a f a = a j a a f e 0 7 a a a t e a ，a e a a ， n 7 a z a a 7 乏q ! a a a 4 = a ，a a a a a j e a j a = a a + a + a a a t e a f a ( 由引理3 7 ) ( 因为o n 7 e = e ) ( 因为z e ) ( 因为z s ( ( o n ) ，( a a 7 ) ) ) ( 由引理3 8 ) ( 由引n 3 7 ) o o + a + a a a 7 e a 7 a ( 由定义3 3 ( 1 ) ) = a a + a + a a a ，e n ，o o o + a a a 7 e a 7 a a + ， a + a a a e a o o + a a a 7 e a 7 a a + a a a + ( 由定义3 3 ( 4 ) ) ( 由引n 3 7 ) o + a a a e a 7 a a a + ( 由定义3 3 ( 1 ) ) o + a a e a 7 a a a + a ， 1 5 ( 由定义3 3 ( 4 ) ) o 口+ a a 7 e a 7 口 口0 7 e a 7 a = a a ，e = a a ，e a a ， o a l a a 7 = 0 0 ， ( 由定义3 3 ( 1 ) ) ( 因为e 0 7 a = e ) 另一方面，对任意的( 0 2 ) 7 w ( a 2 ) ，令0 7 = ( 0 2 ) a 由于k 是s 的正规子半群， 故a 7 ( 口) ， ( a 2 ) 7 a k 又显然0 7 a = ( a 2 ) 7 a a = ( 0 2 ) 7 a 2 a ( a 2 ) 7 w ( o ) ，a 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 k ，知 a ( 0 2 ) a ( a a + a ( a 2 ) 7 a ( 由定义3 3 ( 1 ) ) q 2 ( q 2 ) 7 a a +( 由定义3 3 ( 4 ) ) = n 2a 2 ) 7 a a + a 2 ( 0 2 ) ( 因为左正则带同余) q 2 ( n 2 ) 7 ( 由定义3 3 ( 1 ) ) 从而o p 0 2 ，a k e r p 故k k e r p 因此k = k e r p 第三步证明肮7 p = 令z ，y ( e ( s ) ) 且z 刀因为f 是( e ( s ) ) 上的强正则 同余，则存在z 7 彬( z ) 使得 故存在y 7 ( 可) 使得 x x z 7 z ，z 7 ( e ( s ) ) z z 可可7 ，z 7 z 可7 y 因为是( e ( s ) ) 上的左正则带同余，所以 从而 z z z 7 z z z 7 ( y y 7 可v 7 y 秒z y 可可7 可毒可可7 秒z ，z y y 可7 y y y y 7 y ( z 对偶地，可得z 可可可z 因此z ( y ，h t r pc 专 假设z ，y 仁( s ) ) 使得z 白令z 7 ( z ) 由引理2 8 知z 7 ( e ( s ) ) 因 此x y ( e ( s ) ) ck 因为是( e ( s ) ) 上的左正则带同余，所以 z z 7 y z 7 ，x y x 7 z 7 z z = 1 7 曲阜师范大学硕士学位论文 从而存在y 7 w ( y ) n ( e ( s ) ) 使得z 7 鼬7 因此 z z 7 f 可7 ，z x y 7 y 对偶地，可以得到对任意的可7 w ( 可) ，存在z 7 w ( z ) 使得 y x k ，z z 7 可7 ，x z y 7 y 从而x p y ：h t r p 故h t r p = 最后证明p 是强r - 幂幺同余令o p ，b p e ( 酬j d ) 由引理2 3 得存在e ，f e ( s ) 使得。胛，b p f 由于是( e ( s ) ) 上的左正则带同余，且e 厂，e f e ( e ( s ) ) 故e f e , s e f 又因为= h t r p ，所以e f e p e f ，甚p a p b p a p = a p b p 从而s p 是强r - 幂 幺同余这样就完成了引理3 1 1 的证明 口 引理3 1 2 若p 是s 上的强r - 幂幺同余，贝u k e r p 是s 的正规子半群，且h t r p 是( e ( s ) ) 上的正规的强左正则带同余 证明假设p 是s 上的强m 幂幺同余设