（基础数学专业论文）gamma算子在lp空间中的强逆不等式.pdf

g a m m a 算子在三，空间中的强逆不等式 摘要 g 猢a 算子是一类重要的线性正算子，它广泛应用于概率论及 计算数学领域，对于该算子的性质及逼近定理已有较深入的研究，目 前有关其强逆不等式的结果还很少。为了对其逼近性质有更细致的刻 划，本文利用带权k 一泛函霹( 厂，f 2 ) 。，考虑g 锄m a 算子在上， ( 1 p + o o ) 空间上的近，给h ，r 它的b 一型强逆不等式。 关键词：g 姗a 算子：逼近：k 一泛函： 强逆不等式 s t m n gc o n v e r s ei n e q u a l i t j e sf o rg a m m a o p e r a t o ri n t h e 三，s p a c e s a b s h a c t g a m m a o p c r a t o ri s 锄i m p o n 肌tp o s i 讥el i n e a ro n e ：i ti so 船nu s e d i np r o b a b i l 埘t h e o r ya n dc o n l p u t 撕o n a lm a t h e m a t i c s i t sp r o p e n i e sa l l d a p p r o ) ( i m a t i o nm e o r 锄sh a v eb e 锄诵d e l yd i s c u s s e d b u tm e r ea r e 岛w r c s u l t sa b o u ti t ss 仃o n gc o n v e r s ei n e q u a l 岖i no r d e r t o g e ti t sm e t i c u l o u s c h a r a c t 嘶s t i c s ，w ec o n s i d e r e d l e 删r o x h 碰o nb ym eg 锄m a o p e r a t o r 锄de s t a b l i s h e d 廿l es 仃o n gc o n v e r s ei n e q u a l i 哆o f 勺r p ebf o rm e o p e r a 士o r w i mm ew e i g h t c d k f h n c t i o n a l 霹( ，f 2 ) 。，p k e y w o r d s ：g 锄m a o p e r a t o r ；a p p r o ) d m a 6 0 n ；k 一矗m c t i o n a l ： s 仃0 n gc o n v e r s ei i l e q u a i 蚵 河北师范大学硕士研究生学位论文 g a m m a 算子在空间中的强逆不等式 1 引言 有关正线性算子在三p ( 1 p + 。) 范数下的正定理及逆定 理，已有广泛的研究 1 。为了对逼近性质有更细致的刻划，人们进一 步研究强逆不等式 2 7 。在三。范数下b 一型强逆不等式的证明方 法和结果参见t o 敬的文献 2 ，在文献 3 中，c h e n 与d i t z i a i l 给出了 o ( 1 p + 。o ) 空间中b e n i s t e i l l k 锄t o r o v i c h 多项式的b 一型强 逆不等式。 g a m m a 算子是一类重要的线性正算子，它广泛应用于概率论及计 算数学中，对于g a m m a 算子的性质及逼近定理已有深刻的研究 8 ，9 ， 1 1 ，而g 瑚a 算子强逆定理的研究结果较少，在文 4 中， a d e l l 研究了非中心的g 觚吼a 算子在确界范下的4 一型强逆不等式。有关 1 p + 情形下g 舢a 算子的强逆结果未见正式发表。本文将利 用修正的带权k 一泛函k ；( 厂，f 2 ) 。，得到般的g 黜a 算子在 三p ( 1 p + ) 范下同时逼近的b 一型强逆不等式。 设f 为( o ，+ 一) 上的可积函数，g 锄m a 算子定义如下： g “，j ) = 击小。z 州竽m 为方便起见，我们引入一个新的算子g ( g ，x ) ：设 g 上。( o ，+ )( 1 p + 。) ，s o = u o ) ，定义 g 。( ) = 击p 甲( g ( 争加- x ( o ，删 河北师范大学硕士研究生学位论文 如果厂5 三，( o ，+ o 。) ( 1 p + 。o ) ，有瓯5 ( 厂，工) = 瓯；。( ，“，x ) 。 就带权逼近来说，赵德钧在文献 1 0 中给出了p o s t w i d d e r 算子在 三。( 1 p l ，当，砌时，有 k ；( 广音) c 知i ) ( q 5 厂一广地+ 愀掣，一n ”割可岭 其中妒q ) = x ，w ( 工) = 工4 ( 1 + x ) 6 ，k ；( ，f2 ) 。，p 如( 1 。2 ) 所定义。 定理2 设三。( 0 ，+ o 。) ( 1 p + ) ，门 l ， 口一3 ， 口+ 6 一3 ，存在常数k l ，当，k 栉时，有 k ；( 厂，去) 。，c 寺( 1 j w ( g 。厂一厂) k + 1 w ( g ，一厂) ，) 本文中c 表示不依赖n 和x 的常数，不同地方可表示不同的数值。 2 引理 为了证明我们的主要结论，先给出一些引理。 经过简单计算，可得到 引理2 g 。( 1 加竺， g 。：。( f x ，x ) = g 。( ( f x ) 2 ，x ) = g 。( ( f 一，曲= ( ”+ s2 + s ) 妇5 ( 聆一s 一2 ) ! 。2 一 堡竺竺堑垄芝塑二! 二型， 蹦( ) 4 ，小薯， d 幻 幻 功 q 弦 妲 亿 河北师范大学硕士研究生学位论文 4 g 。：。( 妒“( f ) ，x ) c 妒( 工) ，妒( x ) = 工 应用j e n s e n 不等式，结合 1 ，p 1 6 5 ，有 引理2 2 1 1 w g 。，k c9 0 ，( 1 p + o 。) 。 我们在许多地方要用到下列关系： 引理2 3 1 ，p 1 6 5 ( 1 ) v d ，6 尺，w ( 工) = 工。( 1 + x ) 6 ，有 器剑6 4 + ( c 2 ，。：；ir e 一r ”f ( 詈 4 r ( 詈) 4 + 6 a ，r ! ；c 引理2 4 设“，w 2 ，p + 2 l 。( o ，佃) ( 1 p + 。o ) ， 门 s + 1 ，那么 0 w 妒3 g 嚣广虬sb 打f l w 矿广埘 此处b 是与栉，x 无关，只依籁s 的常数。 证明令竺：甜，当，? s + 1 时，应用分部积分得到 f 吒( 广，加去p 以严( f ：丛妥二o z c 删( 甜) 幽 2 lp “材“，”。( 2 f ) d 甜 门! j o 。、 ：一丛篓二二o t ，( 甜) 咖 2 一ip “”，”“( 甜) 咖 门! ，o 。 、。 + 尘二! 二1 2 竺：兰： 即! p i 甜5 ，2 ( 材) 出 = 鲁p 广哪尸士州f ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 妒( 工) = 工， 塑些堕薹查兰婴圭婴塞兰兰堡堡苎 ! 情形i 当p = + o 。时，应用引理2 3 中的( 2 8 ) 式，可以得到 w ( x ) 妒3 ( 工) g 量。( 厂，工) 忆 忆等 剑渺产删屿 r 坐杀茅叫 ff r 矿c 一j 一，一f ，f ”5 ( 寺) 。+ ( 吾 ”6 d f f 剑胗崤 p ( + 妒广协 i | e 。e 一7 r ( 吾 4 + ( 三 日打2 。“忆 l 如 _ j 情形i i 当p = 1 时，应用广义的m i l l l ( o w s k i 不等式，同情形i 可得 w 妒3 g z 。厂“ 1 w c x 矽c 工，等r e 弋门一s 一一咖一2 厂“c 等，斗 剑“ f w 矿( 抄均( 等) 刮 玎5 + 2 ，z ! 阳小咖悯+ 旷h 剑广埘蜉 f e 一7 c 甩一s 一，一力f 7 h 一2 ( ( 云 “3 + 暖) “3 r l b 打2 o + 2 m 根据融e s z t h o r i n 插值定理，可知结论成立。 证毕。 q， 6 厂 皂_ k = 河北师范大学硕士研究生学位论文6 引理2 5 设s ，盯”。三。( o ，+ o 。) i = o ，l ，2 ，3 ， w 妒。l p ( o ，+ 0 0 ) ，i = 2 ，3 ，( 1 p + o 。) 当“s 一3 ，口+ 6 s 一3 时，有 卜。严掣广l 塑等型尸( d ) 广，) 2 玎! 7 爿胗广一私3 广删一2 妒) | | p ) ， 此处a 表示与n 和x 无关，只依赖s 的常数。 证明将厂5 ( f ) 在工处t a y l o r 展开 广) = 广沁) + ，( “懒) + 去广锄( 项) 2 + 击( ( 卜v ) 2 广州( v ) 批 并结合引理2 1 中( 2 1 ) 一( 2 3 ) 式，得到 ( 2 9 ) 删吲广棚一篙广协- 芝产p ( d o ) ) = 型坐絮竺型w ( 咖：( ：b ) + 以巩， ( 2 1 0 ) z ，z ! 其中，。= 去g 。( c ( ) 2 广( v ) 咖，x ) 当v 介于t 与x 之间时，由关系式 止 止型和三上+ ! ， 妒( v ) 一p ( ) vz ， 根据引理2 3 ，我们得到： w 引= 等忙f 俐一删( 等一材) 2 掀 河北师范大学硕士研究生学位论文 扣y ( 笥笫( 捌m “ - 睁协一咖川i 斗f ( 2 - 当l p + 。时，令 ，小s yl 专m 胁| ， g ( v ) = i 厂们( v ) 妒3 ( v ) w ( v ) i ，即m o ，x ) 是函数g ( x ) 的h a r d y - l i m e w 。0 d 极大值函数，由于l m ( g ，x ) 忆c ( p ) 蚓j ，( 1 p + 。) ，应用h o l d e r 。峪c 月1 惮( 蹦) 峪4 玎1 3 ，“+ 3 忆 ( 2 1 2 ) 所以，结合关系式( 2 1 0 ) 一( 21 2 ) ，当1 p 时，引理2 5 厶的情形稍微复杂点。根据 1 _ ，p 1 4 5 的计算过程，我们知道，当 - ，= 一3 ，一2 ，一1 ，o ，1 ，时，有 鲁( 0 + f 矿屹”出c ( o 9 卜 ( 2 - s ) 下面估计i l w ，。忆，即估计| 1 w ( z ) g 。( 也( 。x ) ，x ) 忆 其中姒产，) = 击 ( 卜v ) 2 严( v ) 机 令g 。( ”) = 士睡一7 r “( 兰) 。g ( 竺) d ( o ，+ 。) ， 门! irr 令= “，应用f u b i i l i 定理及( 2 1 3 ) ，当口s 一3 ，口+ 6 s 一3 时， 河北师范大学硕士研究生学位论文 8 1 1 w ( g 。，厂j g 。；。5 ) i i f 丛等 l c 乎+ i ，e z i ，c l 出卜 2 f l w ( ) ，( ) l 幽等( 露+ e ) e z ”“( z 4 + z “) 出 c ( o 9 ) ”桫” 2 - 1 4 另一方面，应用t a y l o r 公式及( 2 1 ) 一( 2 3 ) 和( 2 1 3 ) ，有 l l w g 。，：f ) g 。：，j g 。；，r ：厂$ + g 。：。r ：厂j ) l i 。 ：娄f：。i厂tj+j(x)l!学(f-f：)e一詈“52 l “j l 7c ，出 sc 壹( o 9 ) ”rj w ( j ) 工，b 2 1 5 c ( o 9 洲w 妒2 广”桫。 参考 1 ，p 1 5 1 引理9 6 6 的证e 臌巧，可以得到 i | w 色，r 广峪白4 ( i | 岬2 广墒” ( 2 1 6 综上( 2 1 1 ) ( 2 1 4 ) 一( 2 1 6 ) ，我们证明了 。| | l = 忙瓯；。尺：厂卜c 刀。2 ( 2 扣埘卜炒扣怜 再次应用r i e s z m 面n 插值定理可证明引理2 5 证毕。 引理2 6 设s ，w g “1 乙( o ，栅) ，佶o ，1 ，2 ，w 妒2 9 5 + ， w 妒g 5 + 1 l p ( o ，+ ) ，1 l ，当，砌时，有 k ；( 广， ， c 如( q 5 厂一厂8 地+ l f 喇5 ) ，一厂。) ) | | p + 判矿抄， ( 3 1 ) 证明令g = g i 。( ，“，x ) = g 。( g 。“，x ) 显然有 w 嚷。厂“，卯( d ) g 嚣。厂5 0 ( o ，佃) 由砖( 广，f 2 ) w 的定义( 1 2 ) 塑型! 翌奎兰婴主婴塞竺兰堡笙壅 ! ! 式及引理2 2 ，有 足；( 。，a ， 小( g 。广) - 厂5 + 扣p ( d ) 嚷。叫 下面只需估计尸( d ) 嚷。( “，石) = j p ( d ) ( g ；) j ( j ) ( 3 2 ) 征引埋z 5 甲以( g ：厂) d d ) 代替扣0 ) ，代替n 得 钟一掣c 钟一塑与掣删c 钟) j j d 爿( ，_ 21 w 妒2 ( g ：) “虬+ ，一ij j w 妒3 ( g ：厂) h 3 忆 + r 2 慨g 洲5 ” ( 3 ，3 ) 当n s + 1 时，应用引理2 4 ， 3 ( g 。2 厂) ( m 蚣b 打2 ( g 。2 州m 虬 口石4 阿( 吒一嚷，p 砘+ 8 谚眠，r 刎。， 根据引理2 6 及关系式( 3 3 ) ，我们可以得到 型萧型d ) ( g 。2 。，肚 讣c 叫g 。坩l 掣c g 。坩，札 + ( 彳，。c + 一占c ，一：i ) f w j d ( d ) ( g 。：，) ，f f” i id + ( 4 ，一2 c + 爿b c ，一；打) g 。z ，忆 + 彳b ，一2 石2 ( g 。产一g 。2 ，) ”虬 其中a 、b 、c 均为常数，我们可以选取k 1 ，当z 砌时， 河北师范大学硕士研究生学位论文 使得 ：c + 4 删打等毫 又由于 如c g 。2 “一等型c ，虬 及 删蝎，。，”一厂。地+ 0 瞩2 ，“_ ，曲枷劫炉 铡以g ；，广，一，5 州i 峨“一，。地+ 割5 怕 w 2 ( 瓯；广一q ，广训，白1 1 w 眠；。广一厂) 0 ， 所以，当，砌时，有 掣d ) ( g 。2 川5 忆 到f 蛹“一，批+ | | 蚂，“一，5 砘+ 割5 岫 综合( 3 2 ) 式，即可得到 砗，* c 翱瞩争n 州l 蛹肾尸炉副屿 证毕。 定理3 2 设w 厂三p ( o ，+ o 。) ，1 p + ，z l ，口一3 ，口+ 6 一3 ， 存在常数k 1 ，当，豇行时，有 世m ，c 翱w ( 瓯卅州1 w ( g ，卅岫 证明类似于定理3 1 的证明过程，只需估计( 3 2 ) 式中当s = 0 时 _ p ( d ) ( 研厂) ( 工) 一项：利用类似的方法及引理2 7 ，有 河北师范大学硕士研究生学位论文 q ( 钟伊，一寺p ( d ) 瓯2 叫i 。 ，3、 爿l f _ 2 8 矿( q 2 n ”忆+ ，。| | 矿( 瓯2 ，) ”i i ，+ 严1 1 w 瓯2 卅，】， 再利用引理2 4 及关系式l l w p ( d ) g5 l ，= i l w 妒2 9 ”t 可推出 音1 1 w 尸( d ) g ：州， 愀g 舯：，) 一g 驯i ，+ ( 彳，。c + 4 占c ，一i 石) 妒( d ) g 巩 。 删一；石2 ( g 。，一g ：”舻21 1 w g 圳， 下面选择后 1 ，当7 砌时，有4 ，- 2 c + 4 曰c ，一；i 六。 类似于定理3 1 的证明过程，狄关系式 1 1 w ( g ，( g ：，) 一g ：，) i i ，c ( | w ( g ，一，) | | ，+ i l w ( g ：，一，) | ，) ， 可推出定理3 2 。 证毕。 推论1 在定理3 2 的条件下，w ( x ) s 1 ，由于国；( 厂，f ) ，世；( 厂，r2 ) ， ( 1 ，p l l ( 2 1 4 ) ) ，则存在常数m ，使得 ；( ，专，c ( 慨，一刘，+ i l g 。，一州，) 吖 推论2 在定理3 1 的条件下，当s 口 s + 2 时， m g 一产) 卜o ( n 一芋) jk ：( 厂( “，f2 ) 。= o ( f ) 河北师范大学硕士研究生学位论文 1 5 参考文献： 1 d i t z i a n z a n dt o t i kv ，m o d u l io fs m o o t h n e s s ，s p r i n g e r v e r l a g ，n e w y o i k 1 9 8 7 2 t o t i kv ，s t r 。n gc o n v e r s ei n e q u a l i t i e s ，j a p p r o x t h e o r y ，7 6 ( 1 9 9 4 ) ， 3 6 9 3 7 5 3 c h e nw a n dd i t z i a nz ， s t r o n gc o n v e r s ei n e q u a l i t yf o rk a n t o r o v i c h p o l y l l o m i a l s ，c o n s t r a p p r o x ，l o ( 1 9 9 4 ) ，1 0 7 1 2 9 4 a d e l lj ，as t r o n gc o n v e r s ei n e q u a l i t yf o rg a m m a t y p eo p e r a t o r s ，c o n s t r a p p r o x ，1 5 ( 1 9 9 9 ) ，5 3 7 5 5 1 5 c h e nw ，s t r o n gc o n v e r s ei n e q uj l i t yf o rt h efo p e r a t o r s ，a n a l y s i s ， 1 4 ( 1 9 9 4 ) 。2 6 7 2 7 9 6 d i t z i a nz a n di v a n o vk g ，s t r o n gc o n v e r s ei n e q u a l i t i e s ， j a n a l m a t h ，6 1 ( 1 9 9 3 ) ，6 l 一1 1 1 7 g o n s k ah h a n dz h o ux l ， t h es t r o n gc o n v e r s ei n e q u a l i t yf o r b e r n s t e i n k a n t o r o v i c ho p e r a t o r s ，c o m p u t m a t h a p p l ，3 0 ( 1 9 9 5 ) ，1 0 3 1 2 8 8 t o t i kv ， t 1 1 eg 锄ao p e r a t o r si nl ps p a c e s ，p u b l m a t h ( d e b r e c e n ) ， 3 2 ( 1 9 8 5 ) ，4 3 5 5 9 g u os a n d0 iq ，p o i n