（基础数学专业论文）dkoszul代数的hochschild上同调环.pdf

中文摘要 摘要 d k o s z u l 代数是类非常重要的代数，它在表示理论的研究中扮演着重要的 角色近年来，人们对d k o s z u l 代数及其表示的研究越来越多a m e sg 等人给出 了截而代数( 一类特殊的d k o s z u l 代数) 的h o c h s c h i l d 上i 刊调环的乘法结构 一方而，本文基丁b e r g e rr 对局部d k o s z u l 代数的k o s z u l t 2 模分解的描述以 及g r e e ne l 等人对非局部d k o s z u l 代数的单边模分解的细致描述，首先给出了 非局部d k o s z u l 4 弋数的k o s z u l 舣模分解( p ，d ) ，从而得剑了一个代数是d k o s z u l 代 数的充要条件另一方面，本文清晰地构造了链映射a ：p po 月p ，并利用给 出了d k o s z u l 代数的极小投射分解上的c u p 积，进而决定了它的h o c h s c h i l d 上同调 环的乘法结构 关键词：d k o s z u l 4 弋, 数；h o c h s c h i l d 上同调环；c u p 积：y o n e d a 积 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t d - k o s z u la l g e b r ai sav e r yi m p o r t a n tc l a s so fa l g e b r a s i tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l e i nt h es t u d yo fr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y r e c e n t l yd k o s z u ia l g e b r aa n di t sr e p r e s e n t a t i o n s h a v eb e e nw i d e l ya n dd e e p l ys t u d i e d a m e sg e ta lg a v et h em u l t i p l i c a t i v es t r u c t u r eo f h o c h s c h i l dc o h o m o l o g yr i n g so ft r u n c a t e dq u i v e ra l g e b r a s ( ac l a s so fs p e c i a ld k o s z u l a l g e b r a s ) i nt h i sp a p e r , o no n eh a n d ，b a s e do nt h ed e s c r i p t i o no fb i m o d u l ek o s z u lr e s o l u t i o n o fl o c a ld k o s z u la l g e b r a sg i v e nb yb e r g e rr a n dt h ed e s c r i p t i o no fk o s z u lr e s o l u t i o n o fn o n l o c a ld - k o s z u la l g e b r a sg i v e nb yg r e e ne l e ta l ，w ef i r s t l yg i v et h eb i m o d - u l ek o s z u lr e s o l u t i o n ( p ，d ) o fn o n l o c a ld k o s z u la l g e b r a s ，c o n s e q u e n t l yw eo b t a i na s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o ra na l g e b r at ob ed k o s z u l o nt h eo t h e rh a n d w eg i v ea ne x p l i c i tc o n s t r u c t i o no fac h a i nm a pa ：p p0 p l i f t i n gt h ei d e n t i t y a p p l y i n gt h ec h a i nm a pa w eo b t a i nac l e a rd e s c r i p t i o no ft h ec u pp r o d u c to nt h e m i n i m a lp r o j e c t i v er e s o l u t i o na n dd e t e r m i n et h em u l t i p l i c a t i v es t r u c t u r eo fh o c h s c h i l d c o h o m o l o g yt i n g so fd k o s z u la l g e b r a s k e yw o r d s ：d k o s z u la l g e b r a ；h o c h s c h i l dc o h o m o l o g yr i n g ；c u pp r o d u c t ； y o n e d ap r o d u c t 一 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独讧进行研究所取得 的研究成果。除了文巾特别加以标汴引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。奉人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 论文作者签名：俪华氓 签名u 期：) d 口7 年岁月加日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论义的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供1 ：t 录榆索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 论文作者签名：向华两 签名日期：研年s 月“日 _qiiij j u引。细 i_- ， 一劫 超可 椽彳 名期签日彬名导整 第一章绪论 第一章绪论弟一早殖t 匕 1 1h o c h s c h i l d 上同调群 设a 是域后卜的有限维结合代数( 含单位元1 ) ，并记a 的包络代数为a 8 = a 七a o p ，其中a 印是a 的反代数设m 为有限维a a 一双模，复形c 。= ( c “，扩) n z 定 义如下： c n = 0 ，v n 0 ， 其中a 伽表示k 上的张量积4o a 圆 a ( 共有n 次) ，微分定义为 扩：m h o m j , ( a ，m ) ，mh 【一，m 】，其中【一，m 】( n ) = a m m a ，va a ； 当佗1 时，扩：c n _ c n + 1 由下述法则给出： ( d n f ) ( a lo oo n + 1 ) = a l f ( a 2 oa n + 1 ) + ( 一1 ) 。f ( a l 。a j a j + 1 。p 。n + 1 ) j - - 1 + ( 一1 ) n + l ( a lo a n ) o n + 1 ， 其中，c n ，a 1o ：oa 。+ l a 固( ”+ 直接代入验证可知扩+ 1 d n = 0 由此定义 h h n ( a ，m ) = 日日”( c 。) = k e 矽i m 扩一， v 佗z 并称之为代数a 的系数在m 中的第n 阶h o c h s c h i l d 上i 一调群 特别地，当m = a 时，称h 日”( a ) = h h n ( a ，a ) 为代数4 的第n 阶h o c h s c h i l d _ l ： 同调群此上同调群为h o c h s c h i l dg 1 9 4 5 年引进1 1 】 1 9 5 6 年，c a r t a nh 年i e i l e n b e r gs 在书【2 】中利用h o c h s c h i l d 复形 一a 。( n + 1 ) 乌a 。n 如- - - - - 生a a 乌a 乌0 ， 湖北大学硕士学位论文 其中 d n ( a l 。圆a n + 1 ) = ( 一1 ) a 1 圆。a j a j + 1 。a n + 1 ) j = l + ( - 1 ) na 。+ l a lo oo 竹) ， 给出了第n 阶h o c h s c h i l d 同调群的定义： 日风( 以) = k e r d 。i m d n + 1 ，n 0 ， 并证明了 日日n ( a ) = e x t , j ，( a ，a ) ， 日玩( a ) 掣t 0 6 ( a ，a ) 垡d e x t j ，( a ，d ( a ) ) ， 其中d = h a m 七( 一，后) 从而，一个代数a 的第n 阶h o c h s c h i l d 同调群与上同调群也 可以利用导出函了来计算，即 h h “( a ) = e x t 二t 。( a ，4 ) ，日巩( a ) = t 0 瑶。( a ，a ) a 的h o c h s c h i l d 上同调环定义为 日日4 ( a ) = o n o 日日”( a ) = o 。o e z t j ，( a ，a ) 并且h 日+ ( a ) 在y o n e d a 积诱导的乘法结构。卜作成分次交换环【2 】 代数的同调与上同调理论是2 0 世纪4 0 年代发展起来的一门重要数学分 支它强调从人范围角度刻画研究对象，例如通过模范畴( 余模余范畴) 研究 环，代数，l i e 代数，群等代数对象的结构与性质【2 一h o c h s c h i l d 上同调理论 是1 9 4 5 年由h o c h s c h i l dg 引入【l l ，经c a r t a nh i e i l e n b e r gs 发展并逐步完善的同 调代数分支 2 1 近年来，有限维结合代数的h o c h s c h i i d 上同调群和h o c h s c h i l d 上 同调环得到广泛的研究，并在数学和物理的很多领域扮演着重要的角色低 阶h o c h s c h i l d 上同调群h h n ( a ) ( n 2 ) 在代数的表示理论中扮演着十分重要的 角色：例! t e i g e r s t e n h a b e rm 证明了二阶上同调群日日2 ( a ) 与代数a 的形变理论有着 密切的联系【4 j ；一阶卜同调群日日1 ( a ) 与代数a 的g a b r i e l 箭图顶点的可分性质密 2 第一章绪论 切相关【5 - 8 1 h o c h s c h i l d 上同调环近年来已经得到普遍的关注，如广义四元数群的 整群环 9 1 ，半单l i e 代数的包络代数的正则极大本原商1 1 0 i ，循环块f 1 1 】，交换h o p 玳 数i 捌，群代数【1 3 l ，外代数f 1 4 】，s t r i n g 代数1 1 5 1 ，k o s z u i 代数【1 6 | ，根方零代数【1 7 1 ，自入 射n a k a y a m a 代数1 8 】，有限表示型白入射代数f 19 j 及截面代数【2 0 一2 2 】等然而，大部分 有限维代数的h o c h s c h i l d 卜同调群还不为人们所知，人们对它的h o c h s c h i l d 上同 调环了解地更少g r e e ne l 和s o l b e r g 仍观察到很多有限维代数的h o c h s c h i l d 上 同调环的乘法结构是平凡的1 2 3 】，而且c i b i l sc 已经证明了不带定向幽的根方零代 数的h o c h s c h i l d 卜同调环的乘法结构是平凡的【1 7 | 尽管人们已经知道很多自入 射n a k a y a m a 代数的h o c h s c h i l d 上同调环有非零的乘积，但人们对整体维数有限的 代数的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法结构是非平凡的这样的代数仍然知道的不多 1 2d k o s z u l 代数 首先，川顾。i k o s z u h 弋, 数的定义1 2 4 】设后是。个域，a = a o + a l + a 2 + 是 域尼上的一个分次代数若对于每个n 1 ，a = a 1 a n ，则称a 是由零次元和一 次元生成的我们称一个分次代数a 是k o s z u l 代数，如果它满足以下四个条件： ( 1 ) 凡是域七上的半单a r t i n 代数： ( 2 ) 每个a 是域七卜的有限维向量空间； ( 3 ) a 足由零次元和一次元生成的； ( 4 ) a o 有线性( 分次) 投射分解，即存在一个a o 的极小投射a 模分解： p ： 一r 叫叫岛一p 1 叫晶一4 0 叫0 使得对每r 个佗0 ，r 仅南次数为t t 的元生成 其次，1 0 j 顾卜d k o s z u i 代数的定义【2 5 1 设七是。个交换的诺特环，a = a o + a 1 + a 2 + 是结合分次后- 代数我们称一个分次代数a 是d k o s z u l 代数，如 果它满足以下四个条件： ( 1 ) a o 是有限生成的半单后代数； ( 2 ) a 1 是有限生成的七一模； ( 3 ) a 是由零次元和一次元生成的； 一3 湖北大学硕士学位论文 ( 4 ) 存在一个以。的极小投射a 模分解： p ： 一r 叫叫恳一p 1 _ 岛一a o 叫0 使得对每一个n 0 ，r 仅由一个次数的元生成，记这个次数为) ( ( n ) ，它满足 x ( 钆) = 鸶d ， n 2 1 d + l ， 若n 是偶数： 若n 奇数 我们注意到如果d = 2 ，那么a 是k o s z u l 代数，这类代数可以被理解为“尽可能接 近于半单性”的止分次代数对于d 3 ，a 不是l ( 0 s z u l 代数 由于受到三次a r t i n s c h e l t e r 正则代数的启发，b e r g e rr 将k o s z u l 代数的概念 推广到更高次的齐次代数，即所谓的局部情形下的广义k o s z u l 代数【2 6 】，以及 非局部情形下的d k o s z u l 代数【2 5 1 广义k o s z u l 代数也已经被许多作者广泛地研 究了：b e r g e rr 首次把二次代数的k o s z u l 性推广到关系是次数n ( n 大于2 ) 的齐 次代数( 一齐次代数) 上去，这个推广沿用了b e i l i n s o na a ，g i n z b u r gv 和s o e r g e l w 对于n = 2 时的定义f 2 7 1 b e r g e rr 把广义的k o s z u l 性与格点分布( 1 a t t i c ed i s t r i b u t i v i t y ) ，合流( c o n f l u e n c e ) 联系起来，研究了j “义的k o s z u l 双模分解并将它 与h o c h s c h i l d l 百j 调相联系；其次，b e r g e rr ，d u b o i s v i o l e t t em 和w a m b s tm 根据 复形f 2 8 1 给m 了广义k o s z u l 性的另一种解释：进一步地，b e r g e rr 和m a r c o n n e tn 证 明了：如果一个齐次代数是广义k o s z u l ，a s g o r e n s t e i n ，以及有限整体维数的， 那么这个一齐次代数的h o c h s c h i l d 同调和上同调之间有一个p o i n c a r 芭对偶【2 9 j 最 近，g r e e ne l ，m a r c o se n ，m a r t i n e z v i l l ar 和章璞又将广义k o s z u l 代数推广到 非局部情形下的d k o s z u l 代数【2 5 】，清晰地构造了d k o s z u l 代数的极小投射单边模 分解；证明了个d 齐次代数以是d k o s z u l 的当且仅当a 的e x t 一代数e ( a ) 是南零 次无、一次元和次元生成的；最后还证明了d k o s z u l 的e x t 代数在适当重新分 次以后是k o s z u l 的。并给出了它的e x t 一代数的结构 b u c h w e i t zr ，g r e e ne l ，s n a s h a l ln 基于极小投射双模分解的“余乘”结 构，描述了k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法结构【1 6 1 ；a m e sg ，c a g l i e r ol ， t i r a oe 基于清晰地构造截面代数的约化b a r 分解和极小投射双模分解之间的链 映射，从而给出了截面代数的h o c h s c h i l d 上| 一j 调环的乘法结构我们已经知道 截面代数只是一类特殊的d k o s z u l 代数，所以在这篇文章中我们希望借助其他 一4 一 第一幸绪论 作者得到的结论来构造出d k o s z u l 代数的极小投射双模分解并给出d - k o s z u l 代数 的h o c h s c h i l d 卜同调环的乘法结构 1 3 本文主要研究工作思路与论文内容组织 本文旨在解决如下两个问题： ( 1 ) 基于g r e e ne l ，m a r c o se n ，m a r t i n e z v i l l ar 和章璞构造的d k o s z u l 代 数a 的极小投射单边模分解，构造了代数a 的双模复r e ( p ，d ) ，并证n y ( p ，d ) 足a 的 极小投射双模分解； ( 2 ) 为了得到d k o s z u l 代数a 的h o c h s c h i l d 上同调环的结构，我们借助于a 的极 小投射双模分解( p ，d ) 来定义c u p 积，从而构造了复形( p ，d ) 与( po p ，d ) 之间的 映射，并证明了是链映射 本文按如下形式组织：第二章构造了非局部d k o s z u l 4 弋, 数a 的双模复形( p ，d ) ， 并证明( p ，d ) 是a 的极小投射双模分解第j 章构造了复形( p ，d ) 与( po ap ，d ) 之 间的映射，并证明了是这两个复形之间的链映射，从而决定了d l o s z u l 代数 的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法结构 一5 第一：幸d k o s z u l 代数的双模分解 第二章d k o s z u l 代数的双模分解 这一章，我们将利用b e r g e rr 对局部d k o s z u l 代数的k o s z u l 双模分解的描述 以及g r e e ne l 等人对非局部d - k o s z u l 代数的单边模分解的细致描述，给出非局 部d k o s z u l 代数的k o s z u l 双模分解( p ，d ) ，从而得剑了一个代数是d k o s z u l 代数的 充要条件 2 1 预备知识 设a = a o0a 1oa 2o 是d k o s z u l 代数，由于a o 是有限生成的半单k 一代 数，a 1 是有限生成的k 一模，且a 由零次元和一次元生成，那么a 一定l j 构丁张量代 数t a 。( a 1 ) = a 0 十a m + o 刍。a l + 的商代数，不妨记为a = 死。( a 1 ) z ，其中，是 南次数为d 的齐次元生成的理想令r = in ( o 盔。a 1 ) ，则兄是。舞。a 1 的一a o - 子模 在整篇文章中，我们总假定k 是一个域，a o 不仪是半单七代数，而且作为环，a o 等 于七xkx xk 文 2 5 】已给出了d k o s z u l 代数的一个等价刻画： 定理2 1 1 1 2 5 ，t 概4 1 】设a = t a 。( a 1 ) i i ，其中，是由。盔。a 1 ( d 2 ) 中的元素 生成的理想那么a 是d - k o s z u l 代数当且仅f f a e x t 代数e ( a ) 是由零次元、一次元 和二次元生成的 2 。有 文 2 5 1 还给出了广义k o s z u l 复形的定义如下：设凰= a o ，h 1 = a l ，对于扎 凰= n ( 。轧a 1 ) 圆a 。r a 。( 圆二。a 1 ) t + j + d = t l 简便起见，我们不妨记o _ 。a i ：= ，圆a 。：= o 冈为r a ，a ，故可 将风巾元素写成x lox 2o ox n 的形式，其中每一个甄属于a 1 命题2 1 2 【2 5 ，工跏伽8 1 1 若a 是c f k o s z u l 代数，对于2 i d ，有 ( r 圆a i ) n ( a jor ) a f lo r qa 1 利用此事实作者进一步得剑了以下命题： 一7 一 以及 命题2 1 3 f 2 5 c d r 口8 2 】若a 是( f k o s z u l 代数，对于n 0 ，有 魄+ 1 ( 冗圆a ；”一1 d + 1 ) n ( a 1 圆r 。a p 一1 ) d ) n ( a f 。尺 a p 一2 d + 1 ) n ( a p l 。r 。a i ”一2 ) d ) n n ( a ，一1 d 。冗圆a 1 ) n ( a ，一1 ) d + 1vr ) ( r 圆a ”- 1 ) d ) n ( a 一1o r o a n 一2 “1 ) n ( a roz l n 一2 ) d ) n ( a 1 2 2 1 rq a p 一3 d + 1 ) n ( a 产。兄。m l 札3 ) d ) n n ( a i n 一1 d 一1 圆兄pa 1 ) n ( a ，一1 ) d 圆r ) 在命题2 1 3 的基础，卜，作者定义了复形( q ，如下：当礼0 时，投射左a 模q n = a 固a o 蛾( n ) ，以及咒l 时的态射：q n q 。一l ，其中 当札= 2 k 1 e f ，任取ooz 1o z 枷q 。，有 ( nq z 1 。) = 咖址1 圆。 当礼= 2 k + 1 时，任取。z 1 。oz 后d + 1 q n ，有 ( o 。z 1 qx k d + 1 ) ：a x l 。z 2 圆qz 蒯+ ， 由以上关于复形的定义义【2 5 】进- 步得到了： 命题2 1 4 【2 5 ，t m 8 3 】设a = k p i ，其中，由次数是d 的元生成，则下述条件 是等价的： ( 1 ) a 是d - k o s z u l 代数： ( 2 ) 复形( q ，盯) 是的极小分次投射a 模分解 一8 第：章d k o s z u l 代数的双模分解 2 2k o s z u l 双模分解 对于局部d k o s z u i 代数，b e r g e rr 和m a r c o n n e tn 已在文【2 9 】中给出了它的极 小投射双模分解，本节将给出非局部d k o s z u l 代数的极小投射双模分解 当佗0 时，定义k l ，。= a 圆以及a 线性映射5 l ：k l ，n _ 玩n 一1 ，其 中观由自然嵌入映射巩qao 巩一1 而定义由此定义口j 以得到( 观) d = 0 ， 即( 虬，屯) 是一个d 一复形；类似地可以定义d 复形( k r ，如) ：k r ，n = oa 以及a 线性映射5 r ：k r ，。一k r ，n 1 令k l r = k l a = aok r ，既= 九 1 ( 或 者= 1 ao 靠) ，则( k l r ，既) ( 或者( 虬一r ，) ) 是双模d - 复形且既与可交换， e p a l a = 酩研我们定义 r = a o a o 三k ( n ) q a oa 以及微分d n ：r r l 如下： 当n 为奇数时。 d n = 畦一， 当n 为偶数时， d n = 1 + 6 7 2 6 尺+ 6 l 6 奢2 + 6 7 奢1 更确切地。 当佗= 2 k + 1 时，任取ao x lo qx k d + lob r ，有 厶( a q x 1 。+ 1 。6 ) = ( 。z 1 。x 2 。+ 1 。b - n 圆z 1 o 抛。x k d + l b ) ； 当佗= 2 k l l , t ，任取aox lo ox k dob r ，有 d n ( n 。z 1 。 x k d 。6 ) d = ( 。”一1 。圆x j 水_ 1 ) dox j 郴叫d + l x k d b ) j = l 易证如一1 如= 0 ，故( p ，d ) 是一个复形 9 湖北大学硕士学位论文 为了证明c f k o s z u l 代数与复形( p ，c f ) 之问的关系，我们首先需要给出与局部 。i 青形 2 9 ，p r o p 4 1 】时类似的引理： 引理2 2 1 设a = a o + a 1 + 是连通分次k 代数，属于范畴a - g r m o d i 弘j 形l 二m 三n 由分次自由模构成，i l l t 有# 那么若复形 a o 。al1 地当，a oo am 1 垒当ga o n 正合，则复形l 上mln 也是正合的 证明 因为复形厶m ，由分次自由模构成，则存在复形e ，eg 由分次自 由模构成，使得l = ao 凡e ，m = ao en = ao a og 又因为l 是卜- 有界 的，所以存存整数s ，使得e = 0 ，i 仡一s 时，有( a po a 。e ) n ( ao j 4 。e ) 。= 0 ，所以l 的滤链诱导了l 的齐 次分支l 。上的有限滤链，即l 的滤链是分次一完备的 复形a oo al1 a 叫0 a ，a o 圆am 1 坐暨9a oo a 属j ：a o g r m o d ，目a oo al 笺 e ，a oo m 垡ea o 圆an 笺g ，那么上述复形可以等价于e 上f 与g ，这 里，是映射eq 三二m 卅f 的合成，其中eql ( m 呻f ) 是典范入射( 典范投 射) ；蚕是映射fqm 与坤g 的合成，其中fqm ( n 啼g ) 是典范入射( 典范 投射) 因为a 是n 一分次代数，将e 映到4 oof ，由厂线性性质知，将a poe 映 到a p 圆f ，所以，与lm 的滤链是相容的，类似地有9 与m ，的滤链是相容的 因为a p a p + 1 型a p ，所以结合分次代数g r ( a ) l 亓j 构于a ，且 g r ( l ) 掣ao a 。e ，g r ( m ) 竺ao a 。fg r ( n ) 笺ao og ， 1 0 第：章d k o s z u l 代数的双模分解 g r ( f ) = i ao o ，：ao a oe a 圆a oe g r ( g ) = 1 mo o 雪：ao t of 叫ao a 。g 当复形凡。al 1 鼍粤，a 。am 1 a o p a 9a o 圆a i e 合时，将j 卜合函子a 。山一作 用于正合复形e 三f 三g 得到g r ( l ) g r ( 1 ) 驴( m ) 型夕r ( ) 足正合的再利 用 3 1 ，t h m 3 3 】得证结论成立证毕 下面将给出d k o s z u l 代数与复形( p ，d ) 之间的关系： 定理2 2 2 设a = t a 。( a 1 ) ，是南次数为d 的齐次元生成的死。( a 1 ) 的理 想则下述条件等价： ( a ) a 是d k o s z u l 代数； ( b ) 复形 ( p ，d ) 一r 乌r l 红一只乌p 0 立a 一0 是a 的极小投射a e 一分解 证明( a ) 弓( 6 ) ：若a 是d k o s z u l 的将函子一o aa o 作用于复形( p ，d ) ，则 得到a g r m o d 范畴中a o 的k o s z u l 分解，由引理2 2 1 知( 6 ) 成j 泣 ( b ) 弓( o ) ：若复形( p ，d ) 正合将( p ，d ) 看作是4 g r m o d 范畴巾4 的投射分解， 不妨记复形：一0 0 一一o a a 一0 为a 由比较定理 知，在a - g r m o d 范畴中，存在两个复形之间的态射厂：( p ，d ) 一a ，夕：a 一( p ，d ) ， 以及同伦映射5 ：( i f d ，d ) 一( p ，d ) ，使得 1 ( p ，d ) 一g f = s d + d s 当次数礼大于0 时，明显有1 ( p ，d ) = s d + d s 用函子一o aa o 作用，得到当次数扎大 于0 时有 i ( q ，) = ( 8o a1 a 。) 盯+ 盯( so a1 a o ) 所以( q ，盯) 在次数n 大t - o 处是i g # 的，即( q ，盯) 是a o 的极小分次投射a 一模分解，由 命题2 1 4 知a 是d k o s z u l 的证毕 第三章d k o s z u i 代数的h o c h s c h i l d 卜同调环 第三章d k o s z u l 代数的h o c h s ch i i d 上同调环 3 1 y o n e d a 积幂l l c u p 积 设a 是域k 卜的有限维结合代数( 含单位元1 ) ，记a 。= aq 七4 叩为a 的包络代 数，其中a 印是a 的反代数 设 ( p ) 一r + 1 鸳r 生乌尸l 立局一。 是a 的极小投射左小一模分解，将函子h o m a r ( 一，a ) 作用于上述a 的删除复形得到 以下上同调复形： o 一日咖a ，( 岛，a ) 旦一日d m 。( r 乩a ) 置h 帆a 。( r ，a ) 堑 由c a r t a n e i l e n b e 曙公式【2 】知：a 的第n 阶h o c h s c h i l d 上同调群为 日日”( a ) = e x t r a ，( a ，a ) a 的h o c h s c h i l d 上同调环定义为 日日+ ( a ) = o n o 日h n ( a ) ， h o c h s c h i l d 卜同调环日h + c a ) 的乘法结构是i 丰l y o n e d a 积诱导的。即设r 日日n ( a ) ，p 日日”( a ) ，n ，m 0 ，贝j j y o n e d a 积刀术秽= 7 70r + m ，其中r + m 是 提升映射： 卜 图3 1 1 3 湖北大学硕士学位论文 下面再介绍代数a 的约化b a r 分解( r e d u c e db a rr e s o l u t i o n ) ( b b ) 如下： 一b 州鱼b n b i t 与b 1 工b o 叫a 叫0 其中b ”= a a o ( ”+ ，任取a oo oa 札+ 1 b ”有 k ( a oo 。a n + 1 ) = ( 一1 ) i 入。 。九a 件l 。入。+ 1 i = 0 当a o = 七时，( b ，b ) 是通常的b a r 分解；但当a o = k 七时，由于a o 一般地1 i 是 巾心的，所以此时a 不一定是a o 。代数 若7 7 h h “( a ) ，口日日m ( a ) ，不妨将其表示为7 7 ：b n ，a ，p ：b ”一a ， 那么h h “+ m ( a ) 中的c u p 积叩uo k 映射 b 土bo ab 翌ao aa 二a 的复合，其中：ao aa a 是乘法映射，即任取a ，b a 有( oob ) = a b 链映 射a ：b 叫bq 4b 为 a ( , x o 。a n + 1 ) = ( a 。九。1 ) 。a ( 1 。a 件1 。入n + 1 ) i = 0 所以c u p 积 r l _ io ( a o 圆a n + m + 1 ) = ( 7 7o 伊) a ( a oo qa n + m + 1 ) = 7 7 ( 入。圆 入no1 ) 0 ( 1oa 。+ l oa ，l + m + 1 ) s i e g e ls e 和w i t h e r s p o o ns j 在文【1 3 】巾表明c u p 积与a 的投射分解以及链映 射的选取无关 g e r s t e n h a b e rm 在文【3 2 】中表明c u p 秋和y o n e d a 积是一致的，并且b u c h w e i t z r o 等人在文【1 6 中给出了详细的证明，叙述如下： 设a 是域k 上的代数，是a 的理想，令a o = a i ，代数同态a a o 是可 裂k 一代数同态，且a o = k k 代数a 的c u p 积与y o n e d a 积如上所述，则有 一1 4 一 第三章d k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 一卜同调环 命题3 1 1 1 1 6 ，尸o p 1 1 】设叩h h n ( a ) ，口h h m ( a ) ，即7 7 ：b n a ，口： b m a ，那么 ? 7 木p = 7 7l jp 特别地，在h o c h s c h i l d _ l 同调环h 日+ ( a ) d p c u p 积与y o n e d a 积是相等的 证明由田h h n ( a ) ，口h h m ( a ) 知r ，e n - 7 表示为a e _ 映射r ：b n _ a ，口：b m _ a 下面通过构造映射p 的提升映射百= 瓯) ：b _ b m 得 到y o n e d a 积7 7 宰秽，其中b 礼】表示复形b 的几次平移定义扫是映射 b _ - bo ab 璺骂bo aa 叫_ b 几】 的复合由上述定义易知痧是复形问的态射更近一步地，直接计算日j 知舀是口的提 升映射由每的定义得到 r 木口= 7 7 p = r l v ( bo 口) = ( 7 7qa 【n 】) ( bo0 ) ai - - - ( ，7op ) = 叩up 证毕 3 2d k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调环 在这一节中，我们将给出d k o s z u l 代数a 的h o c h s c h i l d 上i 司调环h 日+ ( a ) 的乘 法结构，i l l l d k o s z u i 代数a 的y o n e d a 积而a 的c u p 积和y o n e d a 积是致的所以问 题转化为研究a 的c u p 积已知c u p 积与a 的投射分解以及链映射的选取无关，并 且在第2 章中我们已给出了( f k o s z u l 代数a 的一个极小投射a e _ 分解( p ，d ) ，下而将 给出的具体表达式以备研究c u p 积所用 已知d k o s z u l 代数a 的一个极小投射a e _ 分解( p ，d ) 女f l 第2 章中所述，则po a p 也是a 的一个投射a 8 一分解，其中 ( pop ) 。= l l i + j ：竹只 a 弓 d 。：( po p ) n 一( p p ) 。一1 ，其中 n 1 d n = ( ( 一1 ) pd ，l t + 妣l 圆1 ) i = 0 定义3 2 1 设( p ，d ) 是第2 章中所述的a 的极小投射小一分解，( p 圆p ，d ) 女i ii - 一1 5 一 湖北大学硕士学位论文 所述，定义a ：( p ，d ) 一( p o p ，d ) 如下： 对于n = 2 k + 1 ，1 圆x lox 2o ox k d + 1o1 p 2 k + l ， 2 詹+ 1 ( 1 圆z l 。z 2 。x k d + l 。1 ) 2 k + 1 = ( 1 。x l 。圆z x ( ，) 。1 ) 。 ( 1p z x ( ，) + l ox k d + 1 1 ) r = 0 对于n = 2 k ，1 x lox 2 圆ox k d 圆1 r 七， 2 知( 1q z 1 。z 2 。 z 七d 1 ) k = z ( 1 qz 1 。圆z r d 圆1 ) 圆 ( 1 。z ，d + l 。1 函x k d 圆1 ) r = 0 + r = 0j + m + l = d 一2( 圆+ ， 聃州o1 ) a j 【z j + r d + 2 z j + r d + m + lo 奶+ r d + m + 2o x j + m + ( k 一1 ) d + 2o - y - j 乏：= 坚监! ：翌) 其中x o = 1 卜面将证明：p po ap 是链映射 定理3 2 2 定义3 2 1 中的a ：p p o ap 是一个链映射 证明为了证明a ：p po ap 是链映射，首先需要证明交换图 p l j l r 1 lo 上 ( p 。p ) l且( p p ) o 图3 2 成立证明如下：设p = 1ox 1o1 p 1 ，其中z 1 a 1 因为 a o d l ( p ) = a o ( z lo1 1 x 1 ) = ( x lo1 ) o ( 1o1 ) 一( 1o1 ) a ( 1ox 1 ) 1 6 第三章d k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 卜同调环 以及 d 1 a 1 仞) = d i ( 1 圆1 ) o ( 1o x lo1 ) + ( 1qx lq1 ) o ( 1o1 ) 】 = ( 1od 1 ) 【( 1o1 ) 圆a ( 1 圆x lo1 ) 】+ ( d lo1 ) ( 1o x lo1 ) o a ( 1o1 ) 】 = ( 1 1 ) o ( x lo1 1ox 1 ) + ( x lo1 1 圆z 1 ) a ( 1 圆1 ) = 1oz 1o1 一( 1o 1 ) o a ( 1ox 1 ) + ( x lo1 ) o ( 1 圆1 ) 一1o z 1o 1 = a o d lc p ) 所以d 1 a l = a o d l 下面再证明交换图对所有的n 2 都成立： p 。虫r 一， n 土。一1 上 ( p 。p ) n且( 尸。p ) t l 一1 图3 3 ( 情y f ：a ) 当n = 2 k + 1 时，任取1oz lo ox k d + 1 圆1 p 2 k + 1 由和d 的 线性性质，我们仅需考虑直和项p = 1 圆z 1o ox k d + 1o1 ，其中每一个戤am 因为 ( pop ) 2 k = u 。2 k o 只o ap 2 角一r ， 我们可以按分量证明在( p 圆p ) 2 七中有a 2 七d 2 七+ 1 ( p ) = d 2 k + 1 2 蠡+ 1 ( p ) ，即我们将证 明2 k d 2 k + 1 ( p ) 的第r 个分量等于现七+ 1 a 2 k + 1 ( p ) 的第r 个分量，其中0 r 2 k ( a 1 ) 首先考虑r = 2 s 是偶数的情形因为 d 2 詹+ l ( p ) = x l0x 2 ox k d + lp 1 1o x loz 2o 圆z 七d + 1 ， 将2 七作用于上述等式，我们得至：l j a 2 k d 2 k + 1 ( p ) 的第7 个分量是 ( x l 2 1 7 2o oz 8 d + 1o1 ) o a ( 1ox s d + 2o ox k d + l 1 ) 一1 7 湖北大学硕士学位论文 - ( 1ox lo oz 积 1 ) o a ( 1 圆d + l 圆ox k dox k d + 1 ) 它是属于只op 2 k 一，= p 2 。