（基础数学专业论文）f调和映射和紧致带边流形黎曼度量的ricci形变.pdf

浙江大学硕士学位论文f 一调和映射和紧致带边流形黎曼度量的r i c c i 形变 摘要 本文分两部分。在第一部分中，我们讨论了调和映射的推广f 一调和映射的 一些性质。在第二部分中我们研究了高维带边黎曼流形上的r i c c i 流 设f ：【0 ，+ o 。) 一 0 ，+ 。) 是c 2 函数且在( o ，+ o 。) 上 0 ，对于黎曼流形 ( 尬9 ) ，( ，h ) 之间的光滑映射：m n ，a r a 1 引进了f 一能量的定义： 晰) = 厶f ( 譬 f 一调和映射击就是f 一能量泛函的的临界点； 当f ( t ) = ，学，时分别就是通常的调和映射，p 调和映射和指数调和映 射。 通过计算f 一能量泛函的第一变分，a r c t 得到了 命题1 1 1 a r a l ；妒：m 一是f 一调和映射当且仅当印( 妒) = o 其中 印( ) ：一d + ( 一( 掣) d 妒) 称为f 一张力场在文 a r a l l 中还得到了f 一能量泛函的第二变分，李锦堂把它 改写成以下形式 引理1 1 1 李 ：设庐：m 一是f 一调和映射，则第二变分可写成 + k ) = 厶 ! ”( 学) ( 可“删。一( 弘州) 凡耿i d r 毋1 2 ) 圳) ) + 厶f ，( 学) ( 一2 弘彬( v 。+ 酬v 。昆一r i c m ”) = p + q 其中v r ( 庐t n ) ，可为r ( 咖一1 t ) 上的联络。 若对于任何v r ( 一1 t ) ，都有( v v ) 0 ，则称f 一调和映射是稳定 的；否则称函为不稳定的。 利用上面的引理我们得到 定理1 1 1 ：设m n 一形+ p 是一紧致无边子流形，若存在负常数b 使得 2 ( h ( e i ：) ，h ( e l ，勺) ) 一( h ( e i 龟) ，h ( e k ，勺) ) b 岛 笫牙页 浙江大学硕士学位论文f 一调和映射和紧致带边流形黎曼度量的五z c c z 形变 其中h ( e 舭k ) 为第二基本形式，且f “s0 ，则从m “到任何黎曼流形的稳定 f 一调和映射必为常值映射。 类似调和映射a r a 在m r a l l 中定义了p 一能量泛函的应力能量张量 s f ( 咖) ：f ( 下 d e 2 ) 9 一f ，( 筚) 矿 我们得到下面两个重要公式 1 若向量场x 具有紧致集 ( d i v s f ( ) ) ( x ) + ( v x ，跏( 妒) ) = 0 ( 2 2 若o d 是m 中的超曲面 一 z 。f ( 譬) ( 墨n ) = z 。一( 譬+ 五机n ) + 厶( v x ，跏( 纠+ 上( 执s f ( ( ( 3 ) 利用以上公式我们证明了下面的定理： 定理1 2 1 ：设m 是完备单连通具有非正截面曲率的m 维r i e m a n n 流形， 它截面曲率的变化不大( 具体范围见证明) 设咖是从m 到任何r i e m a n n 流形 的f 一调和映射，f 满足：z f ，( z ) s ( c f + 1 ) f ( z ) ， 其中0 = i n f c 2o f ( z ) g 非增加) 如果的f 一能量慢发散( 定义见证明) ，那么必为常值映射。 定理1 2 2 ：设：m 一是f 一调和映射，f 满足：x f 7 ( z ) s ( c + 1 ) f ( $ ) 那么，对任何z 晚( z o ) 和0 0 若f ： 0 一o o 】一 0 一o 。 是严格增加g 2 的函数那么：任 何从m 到水平共形的f 一调和映射西必定是常值映射。 定理1 4 2 ：假设m 是完备非紧黎曼流形，是一黎曼流形，其上存在 一个严格下调和函数 ， 0 如果助( f 7 ( 世笋) 彬1 ) 2 o 。且e ( f ) b d j k w h e r e ( e t ，e k ) d e n o t et h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r m ，a s s u m ef ”so ，t h e nt h e r ei sn o n o n c o n s t a n th a r m o n i cm a p p i n gf r o mm ”t oa n yr i e m a n n i a nm a n i f o l dn s i m i l a ra sh a r m o n i cm a p s ，i n a r a l ，a r ad e f i n et h ef - s t r e s ste n e r g yt e n s o rt o t h ef e n e r g yf u n c t i o n a le f 昂( 护f ( t d e 2 ) g - - f ，( 譬) 叫 a n d t h e f t e n s o r f i e l dc a n w r i t e8 s ： 州) ：训矾掣) 却) ( 学m 扔喇g r a d ( 掣) ) w h e r er ( 毋) i st h ef e n e r g yf u n c t i o n mt e n s o rf i e l do f 咖w ec a nd e r i v et h ef o l l o w i n g i m p o r t a n tf o r m u l a s ： 1 f o ra n yv e c t o rf i e l dxw i t hc o m p a c ts u p p o r t ( d i w 。9 f ( 咖) ) ( x ) + 7 ( v x ，s f ( 庐) ) = 0 ( 2 ) j m j m 2 i fo di sah y p e r s u r f a c ei nm z 。f ( 譬) ( 五n ) = z o d f ( 1 1 d 1 2 + 墨如n ) + 上( v 置跏( 酬+ 上w 跏( 妫( 司( 3 ) b yu s ea b o v ef o r m u l a sw ec a np r o o f ： t h e o r e m1 2 1 ：l e tmb ea c o m p l e t e ds i m p l y c o n n e c t e dm - d i m e n s i o n a lr i e m a n n i a n m a n i f o l d ，w i t hn o n p o s i t i v es e c t i o nc u r v a t u r ea n dt h es e c t i o nc u r v a t u r eo nmv a r yn o t l a r g e l y ( s e et h ep r o o ff o rd e t a i l ) ， a s s u m e 西b eaf - h a r m o n i cm a pf r o mmt oa n yr i e m a n n i a “m a n i f o l ds a t i s f y ：x f 7 扛) ( c f + 1 ) f ( o ) ， 第7 页 浙江大学硕士学位论文 f 一调和映射和紧致带边流形黎曼度量的r i c c i 形变 w h e r e = i n f c o i f ( x ) t gi sn o n i n c r e a s i n g i ft h ef - e n e r g yo f s l o w l yd i f f u s e ( s e et h ed e f i n i t i o ni np r o o f ) ，t h e n m u s tb e c o n s t a n t 。 t h e o r e m1 2 2 ：l e t 妒：m _ b eaf - h a r m o n i cm a p ，fs a t i s f y ：x f 7 ( z ) 曼 ( ( + 1 ) f ( 石) ，t h e nf o ra n yz b ；( z o ) 和0 o , a s s u m ek ( f ，( 学) 螂j ) 2 0 0a n de ( ，) h 我们考虑： 挑( f ( 譬) ( 冽书。一下i d 1 2 ) 如；) 巩。f ( 譬) ( 酬+ f ( 学慨酬 一( 学胁譬州掣胛轴) 第j 3 页 浙江大学硕士学位论文 f 一调和映射和紧致带边流形黎曼度量的r i c c i 形变 冥中 e ) 是 彳上的局部幺正法标架场 分别计算： v x i 笔：d 西( ( 札x ，九e i ) e i ) 一( 机x r ( ) ) 一( v x ，扩动 f ，( 型些) 出。( ( 以x ，机。) 。i ) ：d i v ( ( 、i d ，1 2 ) ( 以x ，以岛) 。) 一v 。f ，( 堕# ) ( ( 机x ，札。) 。i ，。) ：出。( f ，( 掣) ( 也x ，机。加e ) 一( 九五丸铅) 可。( 筚) = d 。 ( f ，( 卫攀) ( 妒+ x ，曲+ e i ) 。；) 一f ，( 咖。x ，；e 。) v 。i 下d 1 2 肿( i d f 1 2 ) ：f ，( v 。，筚) 。 将上面式子代入( 1 ) 并利用命题( 2 1 ) 得到： 扰。( 坦# ) ( x ) ) ：战t ，( ( 堕些) ( 出x ，机岛) 日) + ( v x , s f ( ) ) + ( d i v s f ( 妒) ) ( x ) 由g r e e n 定理和命题2 1 立即得到 1 若向量场x 具有紧致集 ，( d i 口跏( 庐) ) ( x ) + ( v x ，跏( 毋) ) = 0 ( 2 ) j m j m 。 2 若a d 是m 中的超曲面 上。f ( 学) ( x 一= z 。f ，( i d 丁妒t _ ) ( 2a 置机n ) + 厶( v x ，曲( 删+ 上( 胁昂( 删) ( 3 ) 利用以上公式我们可以证明： 定理2 1 ：设m 墨完备单连通具有非正截面曲率的m 维r i e m a n n 流形， 它截面曲率的变化不大( 具体范围见证明) 设是从m 到任何r i e m a n n 流形 的f - 调和映射，f 满足：z f 7 ( z ) ( c ，+ 1 ) f ( z ) ， 其中c = i n f c o l s 7 ( z ) t g 非增加) 如果乒的f 一能量慢发散( 定义见证明) ，那么必为常值映射 证明：令b 凡( 。o ) 是以x 0 为中心，r 为半径的测地球在公式( 3 ) 中取x = r 鲁， 显然a b 兄( z o ) 的单位法向量n = 番，因此我们有： k 。、fc 譬怖，一z b e ( x o ) f z c 譬m n ， 第“页 塑兰! 塑圭兰竺堕圭 兰二塑塑堕塑童兰塾鲞垫姿型鳌墨垒兰竺墨! 竺兰奎 = j f 8 b n ( x o ) r f ( 丁j d 1 2 ) r z 州。f ( 丁 d 母1 2 ) 厶、删礴2 另万向： ( v 五) = 旦譬) m x 一( 譬) ( 如谢邶) ( v 。五诎1s 。m ) l s 。州 根据 忻j ： d i v x = 1 + r h e s s ( r ) ( e 。，e s ) 南e 。，钆印) ( v e 。x ，印) = r 日e s s ( r ) ( 岛，嘲( 靠札e t ) ) + 机石o ，出蚤 于是： ( v 五，昂( 劝) = f ( t i d 庐 2 ) ( 1 + r 丑e s s ( r ) ( ，岛) ) 一f ，( 旦笋) f 机熹i 2 一f ，( 筚) ，日( ，) ( 。) ( ( 九。，a 。t ) ) 以下就m 的曲率分两种情凋。考虑： ( 1 ) 一。2ss e c c m 一b 2 ! f 鱼：坐+ 1 d 我们有h e s s i a n 比较定理 忻】： 日( 6 r ) r 汀e s s ( r ) ( e 。，印) sh ( a r ) 其中h ( a r ) = a r c o t ha r 那么： ( v 五踯) ) 冽掣) ( 1 + ( m 叫坝卟f ，( 譬) 阮未卜f ，( 譬蚓i 。 兰f ( 丁i d 妒1 2 ) ( i + ( m 1 ) 缸c o t h 6 r ) 一f ，( 坦磐) a r c o t h a r i d 训2 2 f ( 1 d 弓妒一1 2 儿, , l 十( r n - - ) b rc o t h 2 ( c f + i ) n r c 。t h 口r ) f ( 筚) 1 + r c o t h h ( ( m 一1 ) 6 2 ( e _ + 1 ) 。) 6 f ( t l d q t 2 ) 萁中i 、n 第j 5 页 浙江大学硕士学位论文f 调和映射和紧致带边流形黎曼度量的r i c c i 彤变 一再a ss e c t m _ 2 p ( c f + 1 ) a 是一正常数，卢= + ( 1 + 4 a ) 由h e s s i a n 比较定理 忻】： ；( g - 打。d r ) 日e s s ( r ) ；( 9 一打圆打) 于是： ( v 置跏( 班f ( 学) ( 1 + ( m - 1 ) ) _ f ，( 譬+ 杀卜耿学) 肌铲 三m f ( 学) 埘, 。丁 d 1 2 ，丁 d 毋1 2 三( m 一2 ( + 1 ) 卢) f ( i d _ 庐q 2 , ， 6 f ( _ i d 1 2j, 综上： 冗厶，f e 譬t 。，咿e 学 反设 却f 2 不恒为0 ，则f ( 学) 亦不恒为o ，那么存在r o 使得当r 时 有 k 、f c 学g 从而得到 假设西f 能量慢发散， 的正函数妒( r ) ， 使 k 。f c 譬等 即存在满足 i 斋= 。 l i m ，勰出。 第6 页 浙江大学硕士学位论文 f 一调和映射和紧致带边流彤黎曼度量的r i c c i 形变 此时式葸味看 j i m ，踹一z 。焉匕。、f c 掣 一r o 。d r 6 e j 0 蒜v q , l l j 狮疋蠢= o 。 这与的f 一能量慢发散矛盾。所以我们得到西是常值映射。 一 设m 是n 维r i e m a n n 流形，b 。( 。) 是以z 为中心口为半径的测地球，假定 从某点到它割迹及边界的距离至少为1 定理2 2 ：设妒：m 一是f 一调和映射，f 满足：z f ( z ) ( c ，+ 1 ) f ( z ) 那 么，对任何。b ；( z o ) 和0 0 ，从以上二式可得： ( f ( 学) 刊屯( f ( 譬) 删赴习1f ( 下i d 妒1 2 ) 州。州学川舭w j d 曲l l 。 十f , ( 1 d c l 2 ) ( - ( 删，嘲+ e v d 卯) + ( 譬川蚓。巾i d c j e 。 厶( f ( 譬忖弛f ( 譬小一厶习1f ( 譬) _ l f ( 学川钟j v 胪 喈1r ( 学) v 洲+ 互1f ( 学川舭l v 2 + ；厶f ，( 譬) ( - ( 吲州卅， 注意到 一 i v l d 庐l1 2 l v d 1 2 j 似m ( 譬) 州赴( f ( 譬) 刊赴j ，ml v ( ；f ，( 掣) 一 知拳+ ) 。默学川酬2 毛，( 学h 蚓2 ) + 厶；f ，( 譬”( 蜊删m 由定理条件： 一 厶( f ( 譬m 舳( f ( 学m 序1 ! 锄ff ( e d 曲。l ：) ( - ( 吲删 设”是m 上任一具有紧致支集的函数，容易得到 ，q 2 ( f ( 筚) ；。) j ( f ( 毕) + ) ；+ 1 j m ：一2 ，q 2 ( f ( 坦些) + ) j ( v i ，v ( f ( 旦磐) + ) ) + l 一，q 2 f v ( f ( 下i d 咖1 2 ) + e ) 1 2 + l j m z z j m o 另一方面有： 引理3 1 厶归( 譬卜( 酬州荆啦f 、2 i d 毋1 2 小坳h v d | v r 2 l 证明： ，座p ，( 、i d 。1 2 ) ( 一( h d 庐，d ) ) + l ： 一( d - d 咖，d t ( q 2 f ，( l 娑) d 咖) ) j m j m z 第霉口页 浙江大学硕士学位论文f 一调和映射和紧致带边流形黎曼度量的r i e c i 形变 。( q 2 f ，( 筚) d 毋) ：( v 羽2f ，( 筚) d 庐) ( e ) ：v 。，( q 2f ，( 筚) ( 。：) ) 一目2 f ，( d f 咖1 2 ) 却( v 。e i ) ：v 。；口2 f ，( i d 了妒1 2 j , 螂( 。1 ) + r 2 v 。( f ，( 筚) 却( 。1 ) ) ，i “ “ 彳矾学) 酬v e e f ) ：v 。叩2 f ，( 筚) 螂( 。) - r 1 2 d * ( f ，( 筚) d 咖) 利用西的f 一调和性便得引理 固定一点z o mb n 和b 2 r 分别表示以x o 为中心r 及2 r 为半径的测地 球。取叩为如下截断函数 ， 卵( 。) ： 1 ，蚝 【0 ，z b 2 r 并且0sq s l ，l v q l 茎簧d 为正常数 于是得到： 厶叩( 学小川v 引v 稠茎一2 厶张f ( 譬m 崩v 啊( f ( 下i d 妒1 2 m , 向+ 1 一目2 i v ( f ( 筚) + 。) i 。+ 1 运用h o l d e r 不等式上式变为： o 茎2 ( 叩2 i v ( f ( 堕磐) + ) f 2 + 1 ) ( - ( f ( i d 。1 2 ，) + e ) i v ”1 2 ) j b 2 r b 1 rdb2nbn 一， - 矿1 v ( f ( 下t d c j 2 ) + 。) 1 2 + 1 ) 一 i v ( f ( 堕些) + e ) 1 2 + 1 ) j b 2 1 ：t b r z j b n + 上。l v 州+ 1 ) f ( 譬) 渊；， 视上式为关于2 ( 厶。小b 。叩2 f v ( 学) + ) f 2 + 1 ) ；的二次多项式，因此 厶。l v ( f ( 譬向2 小正。i v 州听+ 1 ) f ( 譬) 渊 第2 页 堑兰垄兰壁主堂堡笙圭 至二塑查堕堑童茎垦堂垫堕型整墨垦重竺丝竺兰墨 b e r b rq 2 1 v ( f ( 譬) 叫印+ 1 兰芸幻f c 譬m m 令一0 r 0 0 得 fi v ( f ( 筚炉卜1 ) o j b 日 于是 f ( 筚) ：。础， 熟知具有非负r i c c i 曲率的完备非紧流形的体积无限 如果f ( 毕) 不恒为0 ，这与f 一能量有限矛盾 于是i d 西1 2 兰0 即西为常值映射 o 4 水平共形f 一调和映射 引理4 1 a r e a 2 i ：设毋：m 是c 1 映射，是n 上的g 2 函数，f ： 1 0 一。 。 o 一。】是严格增加的e 2 函数，那么，对m 上的任何c 1 函数”我们有 一 ( f ( 筚) d ( ，0 观却) ：一( 筚渺( v d ，) ( 惦咖叩肿d 1 ) 嘲，耿掣) d 州6 ) 以下两个定义是熟知的 定义4 1 ：岛： 。m l d 咖。= o ) m 4 ：= m 一在点z 处的垂直空间为：k = k e r d 瓦m ；点z 处的水平空问为风= v 定义4 2 ：称为水平共形的，如果存在函数a ：m + + r + 使得a 2 9 ( x ，l ，) = ( 踯( x ) ，d e ( x ) ) 对所有x y 时和m + 成立 定理4 1 ：m 是紧致连通的黎曼流形，是一黎曼流形，其上存在一个严格 下调和函数， 0 若f ： o o 。 一f o o 。 是严格增加c 2 的函数那么，任何 从m 到水平共形的f 一调和映射必定是常值映射 证明：由水平共形性可以得到： t r ( v d ，) ( 踯，d e ) = 鼍笋( ，) o 咖 第船页 浙江大学硕士学位论文f 调和映射和紧致带边流形黎曼度量的r i c c i 形变 取q ；1 代入( 6 ) 并利用f 一调和性得 厶f ，( 学) 譬( ，) m = 。 因此，l 彬1 2 i0 即曲是常值映射 定理4 2 ：假设m 是完备非紧黎曼流形，是一黎曼流形，其上存在一 个严格下调和函数 ， 0 如果山( f 7 ( 毕) l d c t ) 2 。且e ( ，) d ，则一直保持大于零。 证明因为有曲率量的边界估计，可得在t 0 时r 不可能取到极小值。若取 到极小值，在边界上的极值点处就有v 。月= 0 。由h o p f 极大使原理得到v 。r 0 ， 而这与v 。r = 0 矛盾。 3 度量的长时间收敛性 由文献f s e n l 的定理，可得到具有全测地边界的n 维4 ) 紧致流形上 r i c c i 流的短时问解的存在性。因此只需证明长时间存在性和收敛性。在本 节中，将证明解的长时间存在性和收敛性，为了这个目的需要一个关键的拼挤估 计。我们需要下面的发展方程。 引理1 , 31 令，= 埕鬈，0 口 0 时取到，因为这 将意味着在边界上极值点处有u v ，= o ，所以根据抛物极大值原理可得在极值 点处有v 。， 0 成立。而这与v 。，= 0 矛唇。 由此可得 引理1 3 ，3 若不等式( 1 1 4 ) 在t = 0 时成立，则它在0 t 0 和c o 。，使得在0 0 ，可找到仅依赖于q 和初始度量的常数c ( q ) ， 使得在o t t ，有估计 i v 刷2 q 舻+ c ( v )( 1 36 ) 第船页 浙江大学硕士学位论文f 一调和映射和紧致带边流形黎曼度量的r i c c i 形变 成立。 根据文献h a l l ，相似地可得到 引理1 3 7 发展方程 羞护- 2 r 耙， 在0 茎t t 有解。若t 0 存在常数c ( n ) ，使得在0 t t ， v rj ；叩2 r ；+ c ( ”) 成立。因为t 1 i m t “一+ o 。，所瞄可以找到一时间，对于 t 有 c ( 1 ) si 17 7 2 菇。 成立。因此对于t t o ，有l v 刷”2 蘸。 根据文献【h a l 立即可得 冗瑚n ( 1 一町) r 瑚a x 引理1 3 9 l i 。墼：1 t 呻t 丘m i n 厂t j 0 r m a x d t 2 ” 引理1 3 1 0 t r d t = 。 其中，r = 特。 根据引理1 3 , 3 有 警螂。一。 为了证明收敛性，需要正规化的发展方程 塞一舭+ 知 ( 1 3 9 ) ( 1 3 1 0 ) ( 1 3 1 1 ) 第卿页 7 8 3 3 q q 浙江大学硕士学位论文f 一调和映射和紧致带边流形黎曼度量的r i c c i 形变 慨0 2 玎e r m i n _ 鳓r m ，“ 0 使得 一薷喘笋警猁 因此，：掣满足 堕o t s | + u k 可k f _ 氓 其中“k = 兰珞垦。应用抛物极；k i 莹原理立即可得 ，c e 一曲 因此有 引理1 3 1 1 可找到常数c 0 使得 五m 1 2 c e 一5 t ( 1 3 1 4 ) 成立。 由此立即可得 推论1 31 2 ， | r j 肼一i 瓦兰可r ( 肌毋z 一吼f 毋k ) l c e 一觇 ( 1 3 1 5 ) 若令 f = 可 v r l 2 + n ( s 一：确， 则对某常数c 0 有 瓦o f a f + c e 一如一6 f 成立。根据抛物极大值原理立即可得fsc ( 1 + t ) e 础，由此立即可得 推论1 3 1 3 可找到常数c 0 使得 r m “一r n l i n c e 一鼬 ( 1 3 1 6 ) 第了口页 挖 培 3 3 1 l 浙江大学硕士学位论文f 一调和映射和紧致带边流形黎曼度量的r i c c i 形变 由以上两个推论，有 推论1 3 1 4 1 i - 旷币与”( g 蚴i 一9 i t g j k ) i 墨c e - o r ( 1 3 - 1 7 ) 综上所述，得到黎曼陆率张量和数量曲率的拼挤结果，而由文【1 】我们可得到 长时间解的存在性。因此我们证明了主要定理。 第副页 浙江大学硕士学位论文 f 一调和映射和紧致带边流形黎曼度量的r i c c i 形变 参考文献 a r a l a r am g e o m e t r yo ff h a r m o n i cm a p s j k o d a im a t hj ，1 9 9 9 ，2 2 ：2 4 3 - 2 6 3 a r e 2 a r em i n s t a b i l i t ya n dn o n e x i s t e n c et h