（基础数学专业论文）21维antide+sitter空间中bogomolny方程具有重特征值的孤立子解的渐近行为.pdf

内容摘要： 本文首先通过利用d a r b o u x 变换方法，给出了2 + i 维a n t i - d e s i t t e r 空间中满足b o g o m o l n y 方程的y a n g - m i l l s h i g g s 场的双孤立 子解，并对其中具有重特征值的解展开讨论，最后对这类双孤立子解 在f 0 0 时的渐进性质给出了细致的分析，得到的渐进解的形状为分 布在p o i n c a r e 半平面上的测地线附近的两条相邻的月牙形脊线。 关键字： a n t i d es i t t e r 空间 b o g o m o l n y 方程 渐近形态孤立子 d a r b o u x 变换 第1 页 a b s t r a c t s o l u t i o n sw i t had o u b l es p e c t r a lp a r a m e t e rf o rt h e b o g o m o l n y y a n g - m i l i s h i g g se q u a t i o n i n2 + 1 。d i m e n s i o n a l a n t i - d es i t t e rs p a c e t i m ea r ed e d u c e db yu s i n gd a r b o u x t r a n s f o r m a t i o n s ad e t a i l e da n a l y s i si sg i v e nf o ra s y m p o t i cb e h a v i o r st h es o l u t i o n sa sf 专t h ea s y m p t o t i c s o l u t i o n sb e h a v e sa st w or i d g e sl o c a t i n gb e s i d eag e o d e s i co ft h ep o i n c a r eh a l f p l a n e k e y w o r d s ：a n t i d es i t t e rs p a c e - - t i m e b o g o m o l n ye q u a t i o n a s y m p o t i cb e h a v i o r s s o l i t o n d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n s 第2 页 第一部分：引言 孤立子理论是非线性科学的一个重要发展方向。最初， 孤立子在数学上用来描述一类比较稳定的自然现象，比如江 河中的一类水波，光纤通讯中光信号的传播等，体现了一大 类非线性相互作用的若干特性，这类特性一般都是在相互作 用过程中不改变各自的方向、速度、形状等。同时，除了传 统理论物理之外，孤立子理论在量子场论中也有着广泛的应 用。孤立子理论在描述了这样一大类自然现象的同时，也为 非线性偏微分方程提供了种求显式解的方法，因此得到了 数学界和物理学界的广泛重视和研究。非线性偏微分方程和 方程组的求解是各个学科中都会遇到并急需解决的问题，对 大部分情况来说，只能通过计算机模拟等方法给出方程的近 似解，而要想求出这类方程的精确解是比较难的问题，一般 只有在极其特殊的情况下，才能得出这样的结果。但是通过 研究发现，对于许多孤立子方程，却已经有了多种求精确解 的方法，其中最常见的是反散射方法和b a c k l u n d 变换方法 等。其中反散射方法是利用非线性偏微分方程的l a x 对和常 微分方程的谱理论，把c a u c h y 问题变为求解线性积分方程， 在退化核的情况下，给出显式的解；而b a c k l u n d 变换则是以 已知的解为种子，导出一个完全可积的偏微分方程组，从而 得到新的解，并且可以通过多个解之间的关系进行非线性迭 加，从而得到新解。然而，当积分方程的核非退化的时候， 第3 页 解的显式表达式就很难给出。到上世纪7 0 年代，d a r b o u x 在 一个世纪以前用以处理二阶常微分方程谱问题的一个方法 被发现对于非线性偏微分方程的显式求解具有重要作用，当 把该方法用于孤立子理论和可积系统中之后，越发体现出其 价值，从而这种方法得到迅速发展成为一种相对比较完善的 体系，这就是d a r b o u x 变换法。这种方法可以应用的条件是 这个非线性偏微分方程要有相应的l a x 对，也就是这个非线 性偏微分方程是另一组超定线性方程组的可积条件，它的基 本思路就是：利用非线性方程的一个解和其l a x 对的解，用 代数算法和微分运算来得出非线性方程的新解和l a x 对相应 的解。随着近年来研究的不断深入，d a r b o u x 变换在可积系 统领域得到了极大的发展和应用，从最初的1 + 1 维可积系统 发展到多个空间变量的情形，并且这一方法被应用到几何领 域，得到显式的和普适的方法。本文就是把d a r b o u x 变换方 法应用于曲率为1 的a n t i d es i t t e r 空间中的b o g o m o l n y 方 程，从而得到方程的显式双孤立子解，并就解的渐近性质进 行了深入的分析和研究，并得到了一些有趣的结果。 很多1 + 1 维可积系统具有孤立子解，比如s i n e g o r d o n 方 程，手征场方程等，这些孤立子解的相互作用是比较简单的。 在2 + l 维或更高维空间的可积系统中，如2 + 1 维k p 方程， 2 + 1 维d s 方程，2 + l 维修正的主手征场方程等，它们的部 分双孤立子解和多孤立子解在相互作用过程中具有传统意 第4 页 义上孤立子的特征，即作用前后方向、速度、峰值不变，但 同时，它们也有一部分孤立子的相互作用要复杂得多，比如 在2 + 1 维m i n k o w s k i 空间中可积的b o g o m o l n y 方程，它就有 一类特殊的双孤立子解。这种解的相互作用有个有趣的现 象，就是在两个孤立予碰撞的过程中，两个孤立子的方向各 改变了9 0 度后以不变的速度和峰值散开 1 。那么，在不 同曲率空间中，2 + 1 维可积系统类似的解具有怎样的性质? 它们的相互作用情况是什么样子的? 这些孤立子随时间是 怎样变化的? 在这方面已经有了很多成果，如 6 】中，作者 就满足b o g o m o l n y 方程的y a n g m i l l s - h i g g s 场在m i n k o w s k i 空间和a n t i d es i t t e r 空间中的很多性质进行了研究并得到 了很多的成果。在 3 中给出了2 + 1 维a n t i d es i t t e r 空间 中b o g o m o l n y 方程的l a x 对，并给出了方程具有常谱参数 的单孤立子解。在 4 中，作者通过d a r b o u x 变换的方法 给出了方程在m i n k o w s k i 空间和a n t i d es i t t e r 空间中的精确 多孤立子解，并且在d a r b o u x 变换过程中的谱参数不再局限 于常数，它可以是满足一定方程的复函数。本文就其中一类 特殊解：有重复常特征值的双孤立子解的d a r b o u x 变换和解 的渐进行为进行了研究，并得到了一些有趣的结果。 首先，我们考虑的问题是这样的 2 + i 维a n t i d es i t t e r 空间是超双曲面 ，2 + 矿2 一z 2 一y 2 ：1 第5 页 的万有覆盖空间，它以欧氏空间r 2 ，2 中的 d s 2 ：一d u 2 一d v 2 + d x 2 + d y 2 为度量。 如果定义 r = 南舻南扣南 t ， 那么2 + 1 维a n t i d es i t t e r 空间当u + v 0 时能够用p o i n c a r e 坐标( ，x ，r ) 在r 0 时表示。如果取”= x + f ，v = x t ，那么此时的 度量表示为 d s 2 = t , - 2 ( 出2 + d r 2 + a k 2 ) = r - 2 ( d r 2 + a u a v ) 相应的坐标为( ”，v ) 。 2 + 1 维a n t i d es i t t e r 空间中的y a n g m i l l s h i g g s 场满足 b o g o m o l n y 方程 d o ：+ f( 1 2 ) 在局部坐标下，它的形式为 q 扯南一 ( 1 3 ) 这里d 。= a ，+ 爿，作用在上为d u o = a ，中+ 【彳，m 】，a ，= 0 0 x 9 ， 巴，_ 巩，d v 】。 如果用p o i n c a r e 坐标表示，那么方程( 1 3 ) 为 见西= 以 d 。m = 一以 ( 1 4 ) 4 中= - 2 r f ， 由 3 】，这个非线性偏微分方程组有l a x 对 第6 页 ( ，止0 + 西一2 ( a “) 见) y = 0 ( 2 d ，+ 丝d ，一掣中) 妒：o 1 5 ，。 这里d u g = a 。矿+ a u g ，名为复的谱参数。也就是说( 1 4 ) 是( 1 5 ) 的可积条件。 根据 6 】，可以取到一个规范假设 a 。= 0 1 ( 1 6 ) a 。= 一m r = 一秒一乩户 ( 1 7 ) 上 ， 1 、 4 = 寺叫一- 这里+ j ( r ，甜，v ) = 甲( 且= o ，1 4 ，。 对于这种情况，i o a n n i d o u 在 6 】中用代数的方法给出了具有 重特征值的双孤立子解，并就这种解在f 不是很大的时候的性 质进行了分析和研究。而本文通过d a r b o u x 变换的方法，得 出了同样的孤立子解然后就这种解的r 哼m 时的渐近性质进 行了分析和研究。 第7 页 第二部分d a r b o u x 变换 在 7 】中，作者已经给出了本文中( 1 4 ) ，( 1 5 ) 的d a r b o u x 变换。 7 中给出的是谱参数可为复函数的d a r b o u x 矩阵，而 这里讨论的是谱参数为复常数的情形，现在简单地叙述 d a r b o u x 变换的构造： 考虑( 1 4 ) ，( 1 5 ) 的d a r b o u x 变换 矿= ( z 一甜) p s v ( 2 1 ) 此时s ( 虬v ，) 是2 x 2 的矩阵。 如果 篡羔裂杀0 2 ， ( 2 占，+ 丝巨一掣面) 孑= r，。 成立，此时或= a ，+ 五。那么称妒寸孑为一个一阶d a r b o u x 变 换。 如果取s = h z h 一“，由 7 当z = 她( ，五) 时，h = ( h i ，h ：) ，其 中h 为l a x 对( 1 5 ) 当五= 时的列向量解时。则 矿_ = ( a 一“) y s 吵 是( 1 5 ) 的一个d a r b o u x 变换。 由此，如果取初始的解a 。= o = 虬v ，) ，巾= 0 ，z = d i a g ( ，如) ， 那么相应的氟满足方程组 第8 页 r o ，h 。一2 ( 一“) a 。吃= 0 2 a ， ，+ 生a ，啊：o ( 2 - 3 ) 因此 啊：，( 国( ) ) ，此时c o ( g ) ：v 一 ，z 是关于国( 五) 的任意全 纯函数。 由此通过d a r b o u x 变换的方法，可以从( 1 4 ) 的一个解和 l a x 对( 1 5 ) 的解，得到( i 4 ) 的一个新的解。 前面是没有约束的情形给出了a n t i d es i t t e r 空间中满 足b o g o m o l n y 方程的y a n g m i l l s - h i g g s 场的d a r b o u x 变换， 在有s u ( 2 ) 约束的情形，具体构造如下： 取厶是- 叶- r y j 部非零的复常数，z = d i a g ( 2 0 ，五) ，取f = ( 气) ， 那么由( 2 1 4 ) ，如果啊= ( ；昌 是方程组( 2 1 4 ) 当 = 厶时的 解，那么方程组当丑= 五时的解龇= ( 焉 o 因此和z = r 三 对应的日镪东 ，其忆为关于r 的全纯函数，如果取仃( ，) ：掣，那么 口l f j 由此 趾一2 赫【三 一、 i 孙小“ 4 珏邸小赫p 曼 ( 2 5 ) 得到方程( 1 4 ) 在s u ( 2 ) q b 的新解。以上给出了2 + 1 维a n t i d e 第9 页 u 一盯l 一 2 吒忙 盯 一 s i t t e r 空间中y a n g m i l l s h i g g s 场的一阶d a r b o u x 变换。后 面我们将以此为基础，做出它具有重特征值的双孤立子解。 第1 0 页 第三部分：用2 次d a r b o u x 变换构作有重特征值的双 孤立子解 个一次d a r b o u x 变换的复合构成的 1 2 。取 ，五为两个虚 部不为。的复常数，且 如以互曩1 = ( 菪 为方程组( 1 5 ) 当 ： 时的解，那么当五：互时方程组( 1 5 ) 相应的解为 冉琊么州龇为谱参数时的1 阶d a r b o u x 变换。其柚都以小( o 五o ，1 , h = n l a , 封 _ 多= g 矿给出的是d a r b o u x 变换，则由d a r b o u x 变换的复合 g ：丝= 璺= 苎型墨二堕堕型二业( 3 1 ) 取：( ) ：拿，那么 渊a 叫恤) 掣 2 ， 耻隅呐黼_ 广吐如如1 幽l + l g l ：3 ， g = 由此可以得到 g = 五l 一 五一 2 这种形式的解在 1 0 】， 5 】中以不同的方式给出过。 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 那么我们考虑特殊的如斗 时的情况。取初始解 a 。= o ( = ”，v ，) o = 0 ，那么由【7 】( 1 5 ) 的解的一般形式为 国( 旯) = v j 一的全纯函数。取= 口+ 猡为一个虚部非零的复 l 一“ 常数，令 = 麒旯：= 卢+ 占，其中占是一个趋近于。的实数。暖 是 方程组( 1 5 ) 当a ：五的解，i 口z ( ? ，占i 是方程组( 1 5 ) 当a ：五+ 占 ( , b 2 ( 1 + 占，f ) j 懈并且( 甜耄斟取 州小卜剐剖 m ) = 争州加) = 豢兰州舻掣i 却删，那么 口lq 2 【 + ，占) 。一 f , h 均为o j ( z ) = v 一；二_ 的全纯函数，取 一“ 第1 2 页 ( 3 6 ) vooooooooooo八 、一 荆 p b 可 一生喝 五一五 + p ：( 云，丘) ：( 1 ，) a l 。：娥掣( 蔬 占a l 那么由( 3 3 ) ，( 3 4 ) ( 3 7 ) 州l + l i l b o , 门+ 石喇l ( r 叫2 f , ：+ 疔p - 1 ) ( 3 8 ) 当占_ 0 时，相应的d a r b o u x 矩阵 缸1 1 + 挪2 i f lq f g f q 。八l l ，+ 考剥 9 ， 则妒的变换为 孑= ，+ 焉戮，+ 考科 由此通过d a r b o u x 变换的方式给出了和【6 】相同的解。 把( 1 7 ) 代入( 3 6 ) ，则得到了变换后的 面= 七p ( 3 其中j ( ，”，v ) = 甲( a = o ，r ，“，v ) 。 取初始的妒- - 1 ，那么由能量密度的定义 e = 一，2 0 ( 3 1 2 ) 由此得到这种特殊情形下的解的能量密度，并以此为基础研 究这类解的性质。 第1 3 页 第四部分：t 斗o 。时解的渐近形态 4 1 一般结果 我们看厂( 五) = ( 五) ，| l l ( 五) = o n 形，当t ；f 是很大的时候，这种 具有重特征值的双孤立子解的相互作用情况已经在 6 中有 着详细的研究。这时候解的形状为中间有一个洞的峰，但当 t 较大的时候是不是解的形状还是同样情形? 在【7 】中给出 在谱参数相同的情况下的单孤立子解在r 很大的时候是半圆 形的脊状峰。那么这种有重特征值的双孤立子在r 很大的时候 又会是怎样的呢? 这就是本文所着重讨论的。本文主要的结 果就是在t 斗。时，对这种具有重特征值的双孤立子解给出 了详细的研究结果。 首先，当t _ 佃时，做坐标变换，令 r = ( f 十r ) 。0 8 护 ( 4 1 ) x = “十g ) s i n o j 司时取 r = 一三口( - 一s i n + 主 这样就得到了新的坐标( r ，占) 。 则由( 3 7 ) 和( 3 8 ) ，利用计算机计算可以得出 e = - t r 2 0 = 鼍静 技单的 第1 4 页 ( 4 2 ) ( 4 3 ) 爿= z 4 + 2 p 2 ( 1 一s ) 2 + ( 1 + s ) 2 k 2 + 声4 ( 1 一s ) 4 2 p 2 ( 1 _ s 2 ) 2 + ( 1 + s ) 4 b = z 4 + 2 2 ( 1 一s ) 2 + ( 1 + s ) 2 - 2 + f 1 4 ( 1 一s ) 4 + 6 p 2 ( 1 一s 2 ) 2 + ( 1 + s ) 4 ( 4 4 ) 其中表示r 的低阶项。之所以这样取是因为我们要考虑 的是r 佃的情况，那么此时低阶项不起作用。 由此，在f 岭佃时，有 熙e ：昂；学 ( 4 5 ) ( 4 5 ) 给出了在时间无穷大的时候这种孤立子解的能量密 度，但是单从这个表达式中很难看出它的性质，在【6 】中已经 知道，在t 不是很大的时候，它的能量密度是个中间有洞的 峰，随着时间逐渐变大，似乎这个洞慢慢的被拉长，形成一 条狭长的谷，而这种情况在t 斗佃会发展成什么情况呢? 为 了得到答案，可以做如下处理： 通过计算= o e o ，可以得到在，_ 佃时，沿着直线x = t g o r 0 1 ( 能量密度的极值点。 导数等于0 的方程为 z ；6 + 3 2 0 一s ) 2 + ( 1 + s ) 2 4 + 3 2 ( 1 一s ) 2 + ( 1 十s ) r、( 4 6 ) + 6 ( 1 一s ) 6 9 p 4 ( 1 一s ) 4 ( 1 + s ) 2 9 f 1 2 0 一s ) 2 0 + s ) 4 + ( 1 + s ) 6 i = o 这是一个关于z 的7 次多项式，通过计算机计算可以得到它 可能的实解为z = 0 或= = g ) 此时 第1 5 页 z 。b ) ：f 孺了f f 矿函嗣 ( 4 7 ) 如果要z o o ) 为实数，那么只有当 网i p i - , 5 而- , 5 禚 ( 4 8 ) 才成立。 在s 满足( 4 8 ) 时，目的两个极大值点为z - - z 。o ) ，极小 值点为z = 0 。由( 4 2 ) 和( 4 7 ) 可以得出，沿直线工= 留口， 在r 寸+ o 。时，两个极大值之间的距离是一个常数，当然这个 常数和角度口有关。 沿直线x = 培口r ，在f 专佃时把( 4 7 ) 代入( 4 4 ) ，( 4 5 ) ， 可以得出的两个极大值为晶= 1 。 在s 不满足( 4 8 ) 时，岛只有一个极大值点= = 0 ，相应 的极大值为 e 0 = 3 2 p 2 ( 1 一s 2 ) 2 ( 4 9 ) 由( 4 9 ) 当s 寸1 ，即日_ 士要时，e o 一0 。 当s = 曷 舅主箬时，磊= ，此时的s 为( 4 8 ) 取等号的 情况。 对于给定的s ( 或口) 在，哼佃时两个峰值的间距为( 4 7 ) ， 而随s ( 或口) 的不同，两个峰值的间距也不同，当 j ：善鼍( 4 1 0 ) 归砺两 川 间距达到最大值。 第1 6 页 对于上面讨论的一般情况，我们在特征值取特定数值的 时候，可以通过作图直观的看出这种解的变化和渐近形态。 4 2 特例1 取= 一1 0 + i ，t = 4 0 时的情形，它在坐标( ，x ) 中的能量密 度如图一所示 图一 对图一从它的正上方可以看出它是个月牙形，中间有谷的 峰，具体如垂直投影图二所示 盂v 。 厂姒 、|；，i站 r 2 0 o 图二 x 第1 7 页 这两个峰值出现在曲线z = 0 附近，它们在坐标系( ，x ) 中对应 的方程 ，一寿) 2 ( 4 1 1 ) 由( 4 1 ) 和( 4 2 ) 可以看出，当f 呻佃时，这个方程趋近于 半圆方程z 2 + r2 = r 2 。 当取= 一1 0 + i ，t = 2 0 0 0 并且口= 1 5 0 时，r 和e 之间的关 系如图三所示 图三 此时两个波峰相互靠近，他们之间的距离为z ( s i n l 5 。) z 1 0 5 。 当取口= 一1 0 + j ，t = 2 0 0 0 时，在直线z = t g o x ，上的峰值e 和 相应的0 2 _ 间的关系如图四所示 第1 8 页 。 钒8 |邑0 6 0 2 图四 当蚓 3 3 。时，( 4 8 ) 不成立，此时的e o 随着蚓变化，相应 的e。，2(1-s2)2i：j：j；秀端，其中s=sm口。 当目_ 要时，相应的极大值e oj o 。 4 2 特例2 取= 一1 0 + 1 0 i ，t = 4 0 时的情形，它在坐标( ，x ) 中的能量密度 如图五所示 第j 9 页 图五 相应的垂直投影如图六所示 o i ， 、 4 0 3 0 r 童o 1 0 ox2 0们 图六 此时，两个极大值点间距最大值出现在臼= 4 6 8 。处。 当取掣= 一1 0 + 1 0 f ，f = 2 0 0 0 时，在直线x = i g s x ，上的峰值e 和 相应的0 2 问的关系如图七所示 第2 0 页 l 厂 l o 8 o 。6 e o 4 一 夕i 图七 和r 一佃时的情形相似，对，。一时取 r = j 1 口( 1 + s i n 臼) + j z ( 4 1 2 ) j = 一s i n 0 那么( 4 4 ) 一( 4 8 ) 仍然成立。 比较( 4 2 ) 和( 4 1 2 ) 可以看出r 寸佃时和f 斗一时只相差了 一个相差a r = a 。 综上所述，当r 一+ o o 时，在a n t i d es i t t e r 空间中满足 b o g o m o l n y 方程的y a n g - m i l l s h i g g s 场的具有非实重常数 特征值的双孤立子解具有如下性质： 随着，趋向于+ c o ，在p o i n c a r e 坐标系( r f ) 下，解的两个 能量密度峰值对于取定的角度o 趋近于常数 g ) = 、二万可j 厂彳i 万了习乖丽刁， 并且在对称中心 s = 二两时间距达到最大值，此时相应的角度 1 + 口2 + 2 4 3 1 8 i 第2 i 页 岛= 胛嗽习荔象赢。随着p e i 变大，相应的间距逐渐 变小，当。：鲤掣时，两个波峰的间距变为零，即两峰 l 崩+ 3 土2 合二为一，但在这个过程中能量密度的峰值始终为1 。当l 目一岛j 继续增大时，合到一起的波峰的峰值开始逐渐变小，并在 9 斗要时消失。此时波峰在平面( r ，x ) 上逐渐形成一个以l f | 为半 径的半圆。而r _ + m 时和f _ 一时相差了一个相差曲= 口。 注： 本文中只给出了，= 的情形，当，是一个关于只有实 根的多项式的时候，也有类似的结果。但是当，关于有复 根的的时候，情况就要复杂很多，甚至只有一个谱参数的单 孤立子解在，哼+ o q ，就不再是一个简单的峰能够刻画的。因 此本文的结果不适用于，关于国有复根的情形。 第2 2 页 参考文献 1 w a r dr s 尸枷l e t t a 2 0 8 ( 1 9 9 5 ) 2 0 3 2 】w a r dr sa s i a nj a 4 a t h 3 ( 1 9 9 9 ) 3 2 5 3 h i t c h i nnj ，s e g a lg ba n dw a r drs i n t e g r a b l e s y s t e m s ，t w i s t o r s ，l o o pg r o u p sa n dr i e m a n ns u r f a