（基础数学专业论文）gelfandponomarev代数的hochschild上同调群.pdf

中文摘要 摘要 g e l f a n d p o n o m a r e v 代数a = 七( z ，可) ( z 可，y x ，矿，矿) ，8 ，t 1 ，是一类十分重 要的特殊双列代数，其中k 为代数闭域它是第一类能够对其不可分解模进行 完全分类的驯顺表示型指数增长的代数类之一，其不可分解模完全f l j s t d n g 模 与b o u n d 模所刻画 本文主要讨论g e l f a n d p o n o m a r e v 代数人的h o c h s c h i l d 上同调性质代 数人的h o c h s c h i l d _ 1 2 同调群h h n ( 人) = e x 峻。( a ，a ) 在有限维代数的表示理论中 起着十分重要的作用 b a r d z e l l 对直向箭图的零关系代数的极小投射双模分解进行了细致分析 本文利用b a r d z e l l 的方法，首先构造了g e l f a n d p o n o m a r e v 代数的极小投射双模 分解，并基于此投射分解，利用组合的方法，清晰地计算了g e l f a n d p o n o m a r e v 代 数的各阶h o c h s c h i l d 上同调空间的k 维数，并由此得到了g e l f a n d - p o n o m a r e v 代数 的h i l b e r t 级数 关键词：g e l f a n d p o n o m a r e v 代数；极小投射双模分解；h o c h s c h i l d 上同调群 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t g e l f a n d - p o n o m a r e va l g e b r aa = 忌( z ，v ) ( x v ，y z ，z 8 ，3 ，) i saq u i t ei m p o r t a n tc l a s s o fs p e c i a lb i s e r i a la l g e b r a s ，w h e r e 后i sa na l g e b r a i c a l l yd o s e df i e l da n d8 ，t 1 i t i so n eo ft h ec l a s s e so fi n d e xi n c r e a s i n gt a m e r e p r e s e n t a t i o na l g e b r a ，w h i c hi st h ef i r s t c l a s so fa l g e b r aw o u l db ec l a s s i f i e db yi t si n d e c o m p o s a b l em o d u l e sc o m p l e t e l y t h e i n d e c o m p o s a b l em o d u l e sa r ed e s c r i b e dc o m p l e t e l yb ys t r i n gm o d u l ea n db o u n d m o d - u l e i nt h i st h e s i s ，t h eh o c h s c h i l dc o h o m o l o g yp r o p e r t i e so fg e l f a n d - p o n o m a r e va l g e b r aa a r ei n v e s t i g a t e d t h eh o c h s c h i l dc o h o m o l o g yg r o u p sh h ( a ) = e x t x 。( a ，a ) o fa p l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nr e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo ff i n i t e - d i m e n s i o n a la l g e b r a s b a r d z e l lm a k e sc a r e f u la n a l y s i sf o rm i n i m a lp r o j e c t i v eb i m o d u l er e s o l u t i o no f m o n o m i a la l g e b r aw i t hd i r e c t e dp a t h s i nt h i st h e s i s ，u s i n gb a r d z e l l sm e t h o d ，w e c o n s t r u c tt h em i n i m a lp r o j e c t i v eb i m o d u l er e s o l u t i o n so fg e l f a n d p o n o m a r e va l g e b r a t h e nt h ed i m e n s i o n so fa l lh o c h s c h i l dc o h o m o l o g yg r o u p so faa r ec a l c u l a t e d e x p l i c i t l yb ym e a no fc o m b i n a t o r i c s f u r t h e r , w eg e tt h eh i l b e r ts e r i e so fg e l f a n d p o n o m a r e va l g e b r a k e yw o r d s ： g e l f a n d p o n o m a r e va l g e b r a ；m i n i m a lp r o j e c t i v eb i m o d u l er e s o l u t i o n ； h o c h s c h i l dc o h o m o l o g yg r o u p s 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 论文作者签名张 签名日期：硝妒表归 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。 ( 保密论文在 解密后遵守此规定) 论文作者签名刍p 欣 签名日期：蝣崩勿日 名：糖闲 签名日期沙谚璋移月凋 第一章绪论 1 1 背景知识 第一章绪论 代数的同调与上同调理论是2 0 世纪4 0 年代起由拓扑学的一个分支发展起来 的，同调论是一种从拓扑空间获取某些信息的基本代数工具 同调概念的另一个源头可以追溯至w j h i l b e r t 及其关于多项式的研究中多项式 是非线性的函数，它们相乘可以得到更高次数的多项式，i - i i l b e r t 要寻找具有公共 零点的多项式的线性组合的生成元生成元可能有很多，他研究它们之间的关系 以及关系之间的关系，得到这些关系的一个分层谱系一一h i l b e r t 合冲h i l b e r t 的 这个理论是一种非常复杂的方法，他试图将一个非线性的情形( 多项式的研究) 化为线性情形本质上来讲，h i l b e r t 构造了一个线性关系的复杂体系，能够把像多 项式这样的非线性事物的某些信息纳入其中这个代数理论实际上是与上述拓扑 理论平行的，而且现在它们已融合在一起构成了同调代数在代数几何学中，2 0 世 纪5 0 年代最伟大的成就之一是层的上同调理论的发展及在代数几何学中的扩展， 这是f l 了l e r a y 、c a r t a n 、s e r r e 和g r o t h e n d i e c k 等人组成的法国学派取得的这是_ 种既有r i e m a n n p o i n c a r d 的拓扑思想，又有h i l b e r t 的代数思想，再加上某些分析手 段的融合 同调代数最初以线性空间和交换群为载体，后来推广到模上和更一般 的a b e l i a n 范畴中经过几十年在代数拓扑和代数几何中的应用，同调代数 在1 9 6 0 年左右已基本定型，成为一个独立的数学分支同调代数所用的方法、技 巧和思路已渗透到代数、几何和分析的方方面面，成为解决数学问题最有力的工 具之一同调代数是代数学中研究群、环、模理论的重要工具，也是研究数学中 其它分支如代数几何学、拓扑学、微分几何、函数论、代数数论的有效工具用 它将一些数学对象放大后，研究起来就比较方便和深入同调群的概念通常是与 非线性事物相关的线性事物，我们可以将之应用于群论，如有限群，以及李代数， 它们都有相应的同调群。在数论方面，同调群通过g a l o i s 群产生了非常重要的应 用 h o c h s c h i l d 上同调理论是1 9 4 5 年由h o c h s c h i l d j i 入【，后来经 过c a f t a n 和e i l e n b e r g 发展并逐步完善形成的一个同调代数分支【2 1 章璞 继c i b i l s 和h a p p e l 后，在国际上较早用代数表示论的方法来计算h o c h s c h i l d 同调与 湖北大学硕士学位论文 上同调群【3 一，从而把结构、表示和( 上) 同调群通过组合数据联系起来 设a 是域k 上的有限维结合代数( 含单位元1 ) ，m 为a a 双模，记o ：= 七，则 存在上同调复形眇( a ，m ) ： o m 三h o r n 南( a ，m ) 一d 1一h o m ( a 肌，m ) 三h o ( 人。时，m ) 叫 其中人肌表示域忌上的张量积人oa a ( 共有n 次) 映射护( m ) = 【一，m 】，其 中【一，m 】( 入) = 入m m a ，v 入a ；v f h o m a ( a 固”，m ) ，入o 入1 0 o a n 人固( 竹+ 1 1 ， ( d n f ) ( a o a x o o 入n ) = a o 厂( 入1 0 o h ) + ( - - 1 ) i + 1 f ( a o o o a i a i + 1 q o k ) + ( - 1 ) n + l f ( a o o 圆k 一1 ) k 由此可得人的系数在m 中的第n 阶h o c h s c h i l d 上 同调群【1 】为： h n ( a ，m ) = h n ( c + ( a ，m ) ) 对任意的有限维代数人，文献【7 】给出了其标准复形( 人) ： 一a o ( n + 2 ) _ ! 与a o ( 1 ) _ _ a 3 竺 人0 2 一a _ 0 n 其中( o 入1o o 入n + 1 ) = ( - - 1 ) ( ho oa i a i + xo o 入n + 1 ) 记a 8 = i = 0 a 叩。七a 为人的包络代数，其中人印是a 的反代数，贝j j h o m a e ( & ( a ) ，a ) = c + ( a ) ，从 而有 h h ( a ) = e x 媛。( a ，a ) 在研究代数a 的同调性质时，经常会考虑其h o c h s c h i l d 上同调群h i - i n ( a ) = w ( a ，a ) 它在有限维代数的表示理论中起着十分重要的作用上同 调群与代数的单连通性、可分性质及形变理论有重要联系【7 _ 1 4 】章 璞、s k o w r o c t s k i 、g e r s t e n h a b e r 和h a p p e l 等人证明了h o c h s c h i l d 上同调是结合代 数的一个较精细的不变量【3 , 6 - - 9 , 1 5 , 1 6 ，如m o r i t a 等价不变量，t i l t i n g 等价不变量以及 导出等价不变量【7 17 】等 一些特殊的代数类，如弱直向代数【5 】、自正交根代判1 3 】、对应于根双模 的拟遗传代数【1 8 】1 8 、有限维遗传代数【7 , 1 9 、根方零代刿2 0 】、关联代数【2 1 】、外代 刿2 2 】、对偶扩张代数【2 3 】、截面代数【2 4 - - 2 6 以及某些零关系代数【2 7 2 8 】、特殊双列 代数【2 9 】及其平凡扩张代数【删等，它们的上同调群已被计算 2 第一章绪论 要计算一个代数的h o c h s c h i l d 上同调群，我们可以通过构造其投射双模分解 来实现投射分解是研究环与模同调性质的有力工具，并且它在交换环理论、有 限维代数的表示理论、群的表示理论、代数几何及代数拓扑等许多数学分支中 都起着重要的作用对于代数a 而言，a 的投射分解特别是a 在其包络代数a e 上的 极小投射分解，是研究a 的同调性质的有力工具：它被用于计算a 的h o c h s c h i l d 同 调与上同调群；提供单边模的函子投射分解以及计算n o m a ( 一，一) 与一o a 一的 导出函子，并且a 的极小投射分解在同构意义下是唯一的，它蕴涵着a 的一些重 要性质例如，极小投射分解的长度等于人的整体维数文【2 】中给出了a 在a e 上 的标准( 投射) 分解，但这个分解太大。不利于计算a 的h o c h s c h i l d 同调与上同调群； 当a j ( j 为人的j a c o b s o n 根) 为可分代数时，c i b i l s 给出了a 的一个较小的双模分 解f 3 1 】；文f 7 1 中，h a p p e l 给出了有限维后代数的极小投射双模分解，但没有给出其态 射；b a r d z e l l 对有限维零关系代数进行了细致的分析，并给出了有限维零关系代数 的极小投射双模分解的构造方法 3 2 】 1 2g e l f a n d p o n o m a r e v 代数 本文研究的g e l f a n d p o n o m a r e v 代数a = 七( z ，可) ( z ! ，y x ，矿，y t ) ，s ，亡 l ，是 一类十分重要的特殊双列代数( 特别地，s t r i n g 代数) 特殊双列代数是一类重要的 代数类型，它们广泛地出现在许多数学分支中所有有限表示型的有限群代数 以及很多驯顺表示型群代数都是特殊双列代数一3 6 1 g e l f a n d - p o n o m a r e v 代数是 第一类能够对其不可分解模进行完全分类的驯顺表示型指数增长的代数类之 一，其不可分解模完全由s t r i n g 模与b o u n d 模所刻画，g e l f a n d 和p o n o m a r e v 给出 了其不可分解模的构造【3 7 1 b a u e s 和h e n n e s 将( n 1 ) 连通的( n + 3 ) 维多面体( n 4 ) 的同伦分类问题归结为特殊双歹i j 代数的不可分解模的分类问题而加以解决【鹪1 ， d r o z d 和g r e u e l 也注意到射影线的某些构形上的层的分类问题与其对应的特殊 双列代数的不可分解模的分类问题密切相关f 3 9 g e l f a n d 和p o n o m a r e v 利用特殊 双列代数构造了l o r e n t z 群的表示【3 7 】；h u i s g e n z i m m e r m a n n 利用特殊双列代数讨 论了a u s l a n d e r 与s m a l 移的反变有限理论【删；k r u l l g a b r i e l 维数为n ( 3 n 1 ) ， j 是由7 已生成的路代数庇q 的理想，则k q i x 与g e l f a n d p o n o m a r e v 代数a 同构对任 意的道路p q ，记d ( p ) ，亡( p ) 分别为p 的起点和终点，p 的长度即p 中箭向的个 数记为l ( p ) ，且视e o 为长度为零的路记召= e o ，z ，矿，y ，y t - 1 ， 令e o z z 2 矿一1 y y 2 y 。一，且视召中元素与其在人中的像 等同，则召构成a 的一组有序k 基，从而d i m 七a = 8 + 亡一1 设f 是q 中某些道路组成的集合，则对任意道路p 七q ，我们记f p = q pio t f ) ，p f = 胆io z f ) 对k q 中的任意道路p ，如果存在七q 中的 路口，卢满足p = q p ，则称为p 的子路，整除p 下面构造人的极小投射双模分解，首先构造集合a p ( 礼) ： 令a p ( o ) = e o ，a p ( 1 ) = z ，可) ，a p ( 2 ) = z 可，y x ，z 8 ，y t ) ，当佗23 时， 对4 p ) 进行归纳构造，假i 4 ) a p ( n 一1 ) = 砖”1 ) u 砖n 一1 ) u 硌了1 u 磁f ，其 中砖竹一，可“一，破了，磷f 1 分别表示a p ( 佗一1 ) 中以z 妇，y 乱，x i s + 1 ，y i t + 1 结尾 的路组成的集合，整数i 之0 令 砖n ) = 破f 1 ) z ，硌l = 砖铲1 ) xu n - 1 ) zu 磁f 1 z ； 砖n = 砍f 1 y ，硌i _ 可n - 1 ) yu 砖) 可u 破j y 则可归纳得到 a p ( n ) = 砖n ) u “uj 磐juf 磐； 5 湖北大学硕士学位论文 由以上构造可知，集合砖川，碍川，磷j ，础；两两互不相交，且i a p ( n ) i = 2 i a p ( n 一1 ) 1 ，虽p l a p ( n ) i = 2 n 上述构造称为左构造，对应的有右构造，记 为a p ( 礼) 叩： 令a p ( o ) 印= e o ) ，a p ( 1 ) 。p = z ，y ) ，a p ( 2 ) 。p = x y ，y x ，z 8 ，y t ，当佗3 时， 对a p ( 扎) 印进行归纳构造，假设a p ( n 一1 ) 印= g 妒_ 1 ug l n - - 1 ) ug 岔1 ug l 箝， 其中g 驴1 ) ，g n - - 1 ) ，g 。7 + - , - - 1 ，。g 蚪( n - 11 ) 分别表示a p ( 佗一1 ) 印中以z 妇，y i t ，z 外1 ，y i t + 1 开始的路组成的集合，整数i 0 令 g ，) = 正x a - - l u r - 。( n + - 1 1 1 ，g = z g 紫一1 ) uz g l n 一1 ) uz g t ( + n - - l1 ) ； g l n ) = 旷1 g 黯，g 龆= 可g r l u 可g 孑一1 ) u 秒g 1 1 则可归纳得到 a p ( n ) 叩= g 孑ug ug 。c n + ) 1ug l 冀 并且有 引理2 1 1 3 2 】a p ( n ) = a p ( 礼) 印，n 0 证明由a p ( n ) 印的构造知，i a p ( n ) 印i = 2 i a p ( n 一1 ) 叩i = 2 竹= i a p ( 几) 1 礼= 0 ，1 ，2 时，显然a p ( n ) = a p ( n ) 。p 礼3 时，假设命题对 - ro8 ，则r 一1 中芒硒九oq ) t i p 九ros ) 8 第二章极小投射双模分解 证明设p 圆q a o ( h “) o t ( h n ) a ，ro8 a o ( k n ) 圆t ( k n ) 人 当驴z 暑8 ，! ，暑。时，设舻= 螺一1 冠= l 。t ，吒n 一，则 ( p q ) = p i e n ( o ( 胪) t ( h 几) ) 】q 印( e 固t ( h n ) + ( - 1 ) n o ( h n ) o 霹) q = p l 。oo ( 矿) 口+ ( - 1 ) n p o ( h n ) o 霹g ， 亡伽仞oq ) = p 磋ot ( h ”) g = p 聪og ； 当胪= z 暑8 时， q ) = p i e ( o ( z 鸶5 ) o 亡( z 暑8 ) ) 】g = p ( e ox s - l - i ) q ， t 印如 q ) = p x 卜1o g ； 当 n = 可詈。时，九poq ) = p i e n ( d ( 可詈。) ot ( 秒号2 ) ) 】口= p ( e 矿oy t - t - j ) q ， t 咖( p o 口) = p y 卜1o q 记亡细oq ) = p loq a o ( h ”1 ) ot ( h n - 1 ) a ，其中胪= l h 沪1 同理， 记t i p d p n ( r 圆8 ) = r l o8 h o ( k 俨1 ) ot ( k n - - 1 ) a ，其中k n = l k 舾1 因为poq - ro8 ，所以，( 1 ) q - t i p ros ) ；( 2 ) q = s 且p 胪 r k n 时，p l h 俨1 7r l 7 k 一1 ，从而亡硒加pq ) 卜t w 如pos ) 证毕 下面证明( r ，) 在r 点的正合性 首先证明( r ，竹) 在r 点的正合性： ( 1 ) 我们证明i m 1 k e r 7 r ： 对任意p a p ( 1 ) ，7 r 咖1 ( d ot ( p ) ) = 7 r po 亡0 ) 一o ( p ) o p ) = 0 ，所以i m l k e r 7 i - ( 2 ) 我们证明k e r 7 r i m 1 ： 令p k e r 7 i ，设t w ( u ) = r 8 aoa ，将7 的最后一个箭向记枷，7 s 记 为i p s ，则1 ( d 白) pt ( p ) ) = po 亡仞) 一d p ) p ，亡劫1 ( d 0 ) 圆t p ) ) = ppt ( p ) ， 且pot p ) ) ( zo8 ) = r 圆s ，即存在z 圆8 只，使得t i p l ( to8 ) = ? o8 归纳 得肛i m l ，所以k e r 7 i i m i ( b 1 其次证明( r ，九) 在r ( 扎1 ) 点的正合性： i 当n 为奇数时， ( 1 ) 我们证明i m + 1 k e r 加：对任意矿+ 1 a p ( n + 1 ) ， o 一 湖北大学硕士学位论文 ( i ) 当矿+ 1 z 墨笋8 ，可旦笋。时，i 受p - + l = l 1 p 7 = p n 。r 2 ，贝u 九九+ 1 ( d q 严+ 1 ) 圆t ( p - + 1 ) ) - - - - 咖n ( l 1o q ) 1 ) + d ( 2 扩+ 1 ) r e ) = l 1 ( d ( 衍) o 亡0 7 ) ) + 九( 0 ( n ) q 亡( 谚) ) 冗2 ， 勘? = l 3 砖一1 = 瑶- 1 忍，理= 厶瑶一1 = 瑶- 1 风，则 九( 0 0 ，7 ) ot ( p 7 ) ) = l aot ) 一d ) q 风， ( d ) t 掳) ) = l 5o 亡) 一d ) o 风， 所以九加+ l ( o ( p n + 1 ) o 亡( p n “) ) = l i l 3 0 t ( p ) - l 1 0 r 4 + l 5 q r 2 - - 0 ) o r 6 r 2 因为l 1 = l 5 ，r 4 = r 2 ，所以，l 5or 2 一l 1 圆r 4 = 0 又l 1 ，l 3 ，r 2 ，r 6 z ，y ，x 卜1 ，y t - 1 】，所以，l 1 l 3 = 0 ，风冗2 = 0 所以，砂n 九+ l ( o ( p n + 1 ) q 亡( 矿+ 1 ) ) = 0 ，即i m n + 1 k b r e n ( i i ) 当矿+ 1 ：z 孚咐，s u 6 ( z 警s ) ：x 尹州ii ：1 ，s ) ， n 九+ 1 ( d ( z 刊 8 ) ot ( z 2 学8 ) ) = ( 8 1 z o z 。一1 一) = 九( 。( z 鬲n - 1 州) 。亡 i 孚+ 1 州) ) 矿小t i - - - - 0 = ( zq 亡( z i 孚+ 1 州) 一。( z 篙州) 。z ) 扩小 8 1 f x i + lo x 8 - 1 一一 二一 i = o = 矿oe o e o 矿 = 0 s 一1 f o 矿一i 二， i = o 所以，i m 九+ 1 l ( e r 九 同理，当矿+ 1 = 可警2 时，九+ l ( d ( 可半2 ) ot ( y - 字) ) = 0 ，t 改i m 咖n + 1 k e r 1 0 铷 第二章极小投射双模分解 所以，任给p n + 1 a p ( n + 1 ) ，i m 札+ 1 k e r q b n ( 2 ) 我们证明k e r c n i m 加+ 1 ： 令p k e r n ，设t 咖( p ) = r o s 人d ( 赡) 圆亡( 刃) a ，其中力= l l 衍- 1 = 赡r 2 ， 则九( 7 os ) = r c n ( d ) 圆t ( p d ) s = r ( l 1o t ) 一o ) o 兄) s = r l lot ( p n ) s r d ) or 2 s ，t i p 机p 圆s ) = r l lp 亡懈) s = r l lo s 由引理2 2 坎日，t i p 九( p ) = r l lo8 ，所以存在q 2 冗，使9 2 整除r l l ，但口2 不能 整除r ，l 1 ，j l t o z ，y ，x 8 - 1 , y 扣1 ! 2 2 曼 ； i 珑；l 1 i卫芏二： ； ； ； ；琏二：；r 2 ； i 孑i芷； 图2 2 i 妇a p ( n ) 的构造知，从o ( q 2 ) 到亡( 硝) 的路即为矿+ 1 ( i ) 若矿+ 1 z 2 学8 ，孚。，记d ( 9 2 ) 到亡。) 的路为矿，贝l j s u b ( p n + 1 ) = 矿，硝) ， 加+ l ( o ( w i ) t 眇“) ) = l 。t 斟。n + 1 ) + d “) o r 2 ，t i p c n + 1 ( d 沙“) o t 眇+ 1 ) ) = l t o t ( 矿+ 1 ) ，j t ( l t o o t ( p n + 1 ) ) ( 9 2 0 s ) = r o s ，即存在q 2 s r + l ，使得t i p n + 1 ( 口2 0 s ) = 7 p8 归纳得p i m 加+ l 所以k e t c h i m 以+ 1 ( i i ) 若矿+ 1 = z 半s ，贝u s u b ( x 一2 量a ) = z i 半8 + 1li = 1 ，s ) ，九+ 1 ( d ( z 2 学。) 亡( z 2 学5 ) ) = z oz 8 1 一，t i p n + 1 ( d ( z ! 学8 ) o 亡( z 字。) ) = z 8 1 圆e o ，且z 5 1 = 聪， ( z 卜1oe o ) ( q 2o8 ) = ro8 ，即存在9 2 8 r + 1 ，使得t i p n + l ( 口2os ) = ro 8 归 纳得p i m c n + l ，所以k e r c n i m 九+ 1 同理，p n + l = 可学。时，可得p i m n + 1 ，k e r c n i m c n + 1 所以k e r n i m 九+ 1 由( 1 ) ，( 2 ) 得，k c r 。= i m 九+ 1 ，故序列在r 点正合 i i 佗为偶数时， ( 1 ) 我们证明i i i 峭件l k e r 以： 1 1 湖北大学硕士学位论文 任给矿+ 1 a p ( n + 1 ) ，设矿+ 1 = l 1 衍= 赡r 2 ，则 九加+ 1 ( d ( 矿+ 1 ) ot ( f + 1 ) ) = ( 三1 圆t ( p n + 1 ) 一o ( f + 1 ) or 2 ) = l 1 n ( d 0 ) ot ( p t ) ) 一九( d ( 碹) ot ( 赡) ) r 2 ， ( i ) 若衍，赡都不等于z 暑8 ，量。，设衍= l 3 愆= 瑶_ 1 忍，赡 赡一1 风，则 ( o ) ot ) ) = l 3p 亡) + o ( p 7 ) or 4 ， 九( o ) 圆t ) ) = l 5 亡) + d ) o 风， = l 5 赡以= 所以n 九+ 1 ( d 铲+ 1 ) o t 抄+ 1 ) ) = l 1 l 3 圆t ( p ? ) + l i r 4 一l 5 r 2 一o ( p 呈) r 6 r 2 因为l 1 = l 5 ，r 4 = 岛，所以，l lop 4 一l 5q 兄= 0 又l 1 ，l 3 ，r 2 ，r 6 茁，y ，x s - 1y 扣1 ) ，所以，l 1 l s = 0 ，风r 2 = 0 所以，矽n + 1 ( d ( 矿+ 1 ) t ( f + 1 ) ) = 0 ，i m c n + l k e r e 竹 ( i i ) 若研，赡都等于x 2 ，则矿+ 1 = z 警s + 1 ， 九+ l ( o 号外1 ) o 亡 量8 + 1 ) ) = 九 圆亡( z 号外1 ) 一d 0 8 + 1 ) oz ) = z 九( d ( z 号8 ) ot ( z 号8 ) ) 一九( d ( z 号8 ) ot ( z - 警8 ) ) z 8 - - 1 ：zf o 矿一1 一 二， i = 0 占一1 ；f x i + 1 二， i - - - - o = o z o z 8 一l t z i = o 8 1 oz s 一1 一一f o 矿一 j 二- i = o 所以，i m c n + 1 k 鲫 同理，若衍，赡都等于可詈。，则矿+ 1 = 可号外1 ，九+ 1 ( d ( 可詈件1 ) t 詈件1 ) ) = 0 ， i m 九+ 1 l i 渐 ( i i i ) 若赡，赡不同时等于z 詈3 或可号。，不# g o ! 职几p n 2 = z 詈8 ，则p n + 1 = z 5 y ，p 7 = 1 2 “ z 丁n - - 2 5 + l y ， 第二章极小投射双模分解 九+ 1 ( d ( z 号8 可) 亡( z 詈8 可) ) = 九( z 。一1o 亡( z 詈8 秒) 一o ( z 号8 可) p 可) 所以，i m + 1 k e r 九 = 矿一1 如( d ( z t n - 2 b + 1 可) pt ( z t n - - 2 s + 1 秒) ) 一 ( d ( z 詈8 ) o 亡( z 暑8 ) ) 可 = 矿一1 p 亡( z 宇州可) + o ( z 下n - 2 州可) ) 一 8 - - 1 px s - l - i y i - - 0 = z 卜1o y 一矿一1oy = 0 同理赡= 可弘或钟= z 鸶8 ，翰= 警。时，九+ l ( o 杪+ 1 ) 亡杪+ 1 ) ) = 0 ， i m + l k e r 因此，任给p n + 1 a p ( n + 1 ) ，i m + 1 k - e r c n ( 2 ) 我们证明k e r c n i m 九+ l ： 令肛k e r c n ，y 发t i p ( # ) = ro8 a o ) o 亡( 刃) a ， ( i ) 若刃z 墨矗，可詈。，设刃= 己1 衍= 理冗2 ，则妣p o s ) = r e n ( d ) o 亡) ) s = r ( 三l 圆) + d ) or 2 ) s = r l lot ) s + r d ) 圆r 2 s ，t i p c n ( ro8 ) = r l lo t ) s = r l x 8 由奇数时的证明知，存在q 2 使e z ，y ，矿，y t - 1 ，且d ( 9 2 ) 到t ( 磅) 的路 为p 卅1 ，贝j s u b ( p n “) = 【旷，赡 ，其中q n 是o ( q 2 ) 到芒q 毋) 的路机+ l ( 0 0 n + 1 ) o 亡0 严+ 1 ) ) = l oo t ( p n + 1 ) 一d ( 矿+ 1 ) or 2 ，t p 加+ 1 ( d 0 严+ 1 ) o 亡0 严+ 1 ) ) = l oo t ( p n + 1 ) ， 且( ：q t ( p 种1 ) ) ( q 2 固s ) = r s ，即存在q 2 固s r + l ，使 导t i p c n + x ( q - 2 圆s ) = r q s 归纳得弘i m 九+ 1 ，所以k c r i m + 1 ( i i ) j ；= z 号。，则九( r 圆s ) = 7 锄( d ( 。暑。) pt ( z 暑8 ) ) s = r 圆x s - - l - i 8 ， t 伽加( r 圆s ) = r 矿_ 1 8 ，由上面的讨论知，肛i m 咖n + 1 ，所以k e r c n i m 九+ 1 同理，若力= y 量，有p i m c n + l ，k e t c h i m c n + 1 所以k e r c n i m n + 1 由( 1 ) ，( 2 ) 得，k e r c n = i m 咖n + 1 ，序列在r 点正合证毕 1 3 湖北大学硕士学位论文 第三章h o c h s c h i l d 上同调群 这一节将计算g e l f a n d p o n o m a r e v 代数a 的各阶h o c h s c h i l d 上同调群的维数 首先定义b a p ( n ) = 【( 6 ，矿) b a p ( n ) io ( 6 ) = o ( p n ) ，t ( b ) = t ( 矿) ) ，记 以b a p ( n ) 作为基的k - 向量空间为k ( b a p ( n ) ) 将函子h o m a 。( 一，人) 作用于极小投射分解( r ，c n ) 的删除复形，得上同调复 形： o m o 三m 1 乓二m n 妒一n q - 1m 州叫 其中m = h o m a c ( 只，a ) ，则有 引理3 1m n 釜k ( b a p ( n ) ) ，且对任意6 召，p n 一1 a p ( n 一1 ) ，有 q o n ( b ，z 孚州) = ( 加，可z 孚州) + ( 叻，z 譬州可) + ( b x s - - l - iz 詈8 ) ； i = 0 t - 1 q o n ( b ，y 孚州) = ( 拍，z 可学州) + ( k ，秒孚州z ) + ( 矿的，可犰 当矿一1 z 孚卧1 ，可孚件1 时， 矿( 6 ，p n - 1 ) = ( a b ，硝) + ( f i b ，碹) - t - ( - 1 ) “( 舡，赡) - i - ( - 1 ) n ( b y ，筋) ， 其中p 7 = a p n ，赡= 缈，p ；= p n 一1 肛，赡= p n 。z ，是砑a p ( 佗) 的分解， 且矿一1 s u b ( p ? ) ，i = 1 ，2 ，3 ，4 证明显然m 竹= h o m a e ( r ，a ) = h o m a e ( l ia o ( p n ) 圆亡( 矿) a ，a ) 竺 p ne a p ( n ) uh o m a e ( a o ( p n ) o 亡0 竹) a ，a ) 垡uo ( p n ) a t ( p n ) 兰uk ( t v i p ) 竺 p n e a p ( n )p “e a p ( n ) p n e a p ( n ) k ( b a p ( n ) ) 由此，可得交换图 一h o m a c ( r 一1 ，a ) 且h o m a e ( r ，a ) 一 工， 一2 l - - 1 ) ) k ( b a p ( n 止k ( b a p ( n ) ) 一一卫二) 一 图3 1 1 4 第三章h o c h s c h i l d 上同调群 微分矿由九诱导出【删：对任意( 6 ，矿q ) b a p ( n 1 ) ， 即。妒- 1 ) 配杪- 1 ) o ( p n _ 1 ) a t 0 舻1 ) 将( o ，d ( 矿_ 1 ) b t ( p n - 1 ) ，o ) 等 同于 uh o m a e ( a o ( f - 1 ) pt ( x n - 1 ) a ，a ) 的矿_ 1 分量中 的映 射( o ，鳓，o ) ，这里m 陋d ( 矿_ 1 ) ot ( p n - 1 ) 冈= q 印 当矿一1 z 2 宁卧1 ，耖2 宇+ 1 时，i 由a p ( n ) 的构造知，矿一1 分别为硝= o t p n ，p ；= 缈，赡= p n 。p ，力= p n - 1 z ，的子路，且矿q s u b ( p ? ) 记硝= o t p n - 1 = 贫r 1 ，赡= p 矿_ 1 = 醇r 2 ，瑶= 矿q p = l 3 砖，力= p n 一1 = l 域，则纯( o ，o ( f 1 ) b t ( f _ 1 ) ，o ) 的西分量为( o ，m 机，o ) ，其中 鳓( o ) 圆t ) ) = p b a 亡。) + ( 一1 ) n d 一1 ) or 1 】- q 6 ， m ( d ) 固t ) ) = 肋归。亡- 1 ) + ( 一1 ) n o _ 1 ) r 2 】= p 6 ， p 6 ( o 。n ) ot 储) ) = i 1 b l 3 亡一1 ) + ( 一1 ) 竹d 一1 ) op 】= ( 一1 ) n 吼， 舶n0 ) 圆t ) ) = p b l 4q 亡一1 ) + ( 一1 ) n o ( f 一1 ) 圆】= ( 一1 ) 竹b y 即 1 1h o m a e ( a 0 眇) 圆t ( p n ) a ，a ) 的刃分量中的( o ，扩一，o ) ，赡分 量中的( o ，p 邡，o ) ，赡分量中的( o ，肛( 一1 ) n b i j ，o ) ，赡分量中 的( o ，p ( 一1 ) n b y ，o ) 所以( 口6 ，衍) ，( 肋，刃) ，( - 1 ) n ( 舡，赡) ，( - 1 ) n ( b y ，赡) 1 3 l a p ( n ) ，矿( 6 ，p n - 1 ) = ( a b ，衍) + ( 邡，理) + ( - 1 ) n ( 舡，赡) + ( - 1 ) n ( b y ，碹) 具体地 ( 1 ) 都扎一1 凹_ 1 或g n - - 1 ) ，勘行一1 砖n - 1 ) 或砖n - 1 ) ，则 矿( 6 ，矿- 1 ) = ( x b ，x p n - 1 ) + ( 加，y p n q