（基础数学专业论文）firey+p和的christoffelminkowski问题.pdf

摘要 本文中我们利用完全非线性椭圆方程的理论讨论欧氏空 间中凸体关于f i r e yp - 和的中间曲率测度的预定，这就是所谓 的f i r e yp - 和的c h r i s t o f f e l - m i n k o w s k i 口 题 经典的c h r i s t o f f e l - m i n k o w s k i 问题就是寻找这样的n 维凸体 ，使得关于边界o k 的主曲率半径( 相对于外法向量) 的第个初 等对称函数为预先给定的函莪这等价于预定凸体k 的第k 阶 ( 1s 女sn ) 面积测度当= n 时这就是著名的m i n k o w s k i 问题 1 9 6 2 年，w j f i r e y 将凸体的m i n k o w s k i 和的概念推广为p 一和，这 里p 1 ；e l u t w a k 在1 9 9 1 年开始的一系列工作说明：对每一 个f i r e yp - 和，都有相应的b r u n n - m i n k o w s k i 理论，从而显示出f i r e y p 一和是一个很重要的概念相应于f i r e yp - 和，我们可以提出类似 的问题：寻求欧氏空间册“中的凸体k ，使得它的第k 阶p 一曲率 函数为预先给定的函数p 一和的m i n k o w s k i 问题已经被e l u t w a k ，管鹏飞和林长寿等数学家所考虑 在本文中我们考虑预定第阶( 1 k 1 t h e 惫；ne a 8 eh a sb e e nt r e a t e db ys o m ea u t h o r ss u c ha se l u t w a k ， p g u a 珏勰dc ，s + l i n ，e t c o u rp r o b l e mi s & g e n e r a l i z a t i o n o ft h e c l a s s i c a lc h r i s t o f f e l - m i n k o wp r o b l e m w et r e a t e dt h et h i sp r o b - l e mb ys e e k i n gf o rt h ep o s 建i v ec o n v e x s o l u t i o n so ft h ea s s o c i a t e d f u l l yn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s f i r s tw ep r o v e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ea d m i s - s i b l es o l u t i o n sb yt h em e t h o do fc o n t i n u i t ya n da p p r o x i m a t i o n ； t h e nb yad e f o r m a t i o nl e m m a w eo b t a i n e dt h ec o n v e xs o l u t i o n s u n d e rs u i t a b l ea s s u m p t i o n t h e r e f o r e ，w es o l v e dt h ep r o b l e m f o r p 蠡+ i u n d e rr e a s o n a b l e c o n v e xa s s u m p t i o n 。o u rr e s u l t s a b o u tt h ef u l l yn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sm a y h a v ei t si n d e p e n - d e n ti n t e r e s t 。 k e yw o r d s ：f i r e yp - s u m ，p - c u r v a t u r e f u n c t i o n ，f u l l y n o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ，c o n t i n u i t ym e t h o d 学位论文独创性声明 本入辫至交的学位论文是我丧导拜酶稽导下进行魏磅究王佟及取褥戆研究 戚皋据我所知，除文孛曼经注明l 鼹的疼容外，本论文不包会其毽个人已经 发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重簧贡献的个人和集体，均已在 文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：蝴苎章 日期：丛丝觳幺! 圣 学位论文使用授权声骥 本人燕奎了勰挚寒师范丈学露关保磐、夔用学位论文粒裁定，学校褰粳保 帮学位论戈并向1 3 1 家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权 将攀位谂文燕子静赢鬟嚣静羲夕豢囊稍劳龛弹论文遘入学校垂毒馏被奎耀褰 杈将学位论文的内容编入有关数精库进行检索有权将学位论文的标题和摘要 积编出藏保密静学位论文在辩i 窿着适蔫容规定 学位论文作者签名：堋舨赘导师签名：撼脯， 爵期：哪a 6 1 5 爵期跏b - l ， 1 引言 本论义的研究属于几何分析的范畴 在凸体几何中，经典的b r u n n m i n k o w s k i 理论占有中心的地位它发端于h e r m a n nb r u n n 在1 8 8 7 年的博士论文；在1 9 0 0 年左右，由于著名数学家h e r m r n nm i n k o w s k i 的工作而成形( 参看 2 r l ，或1 3 0 及其所引的相关文献) 在上个世纪 三十年代，包括a d a l e x a n d r o v ( i l l 【2 】) 在内的许多数学家都致力于凸体理 论的研究，获得了许多经典性的结果当时的这些工作以及随后的进展总 结b e n s s e n 和f e n c h d 及r s c h n e i d e r 的著作中( 【9 】，【2 9 】) 直到最近，凸体理论仍 有相当的发展，并与其它数学分支相互联系，相互影响在这个过程中，b r u n n m i n k o w s k i 理论由于被发现有许多新的应用而一直受到人们的关注 h m i n k o w s k i 的工作表明：b r u n n m i n k o w s k i 理论可以由下列两个简单而基 本的概念展开一欧氏空间中子集的向量和( 又称m i n k o w s k i 和) ，以及体积将体 积与m i n k o w s k i 和这两个概念结合在一起，自然地导致基本的b r u n n m i n k o w s k i 不等式和混合体积的概念当从局部的观点看混合体积时，自然地导出混合 面积测度的概念作为混合体积的特例，我们可以对一个凸体引入一列重要 的几何量一截影测度积分( 也称m i n k o w s k i 泛函) ，他们的局部表示就是凸体的 曲面面积测度 1 9 6 2 年，w j f i r e y 将凸体的m i n k o w s k i 和的概念进行推广，引入了p 一和的概 念( 【1 0 1 ) ，这里p 1 e l u t w a k 在1 9 9 1 年开始的一系列工作说明( t 2 4 1 ，【2 5 】) ： 对每一个f i r e y p - 和，都有相应的b r u n n - m i n k o w s k i 理论，从而显示出f i r e y p - 和 是一个很重要的概念；在 2 4 d 0 ，l u t w a k 考察了截影测度积分关于f i r e y p - 和的 变分，自然地将凸体的曲面测度推广为p 一曲面面积测度 经典的c h r i s t o f f e l m i n k o w s k i 问题就是寻找这样的n 维凸体耳，使得关于边界 o k 的主曲率半径( 相对于外法向量) 的第k 个初等对称函数为预先给定的函 数，这等价于预定凸体盯的第k 阶( 1sksn ) 面积测度这个问题关心的是 具有预定第k 阶曲面面积测度的凸体的存在性，唯一性和正则性；当k = n 时 这就是著名的m i n k o w s k i 问题，这实质上是求解单位球面上的m o n g e - a m p e r e 方 程这个问题最终为s t y a u 和s yc h e n g 解决( 【2 8 2 9 6 】) 对于1sk 1 ) ： s ( “+ 6 i i u ) = u p - l ，0 1 l s “ ( 11 ) 即寻求这个方程的正解u ，满足正定条件 ( “u + 6 i j u ) 0 o n ( 1 2 ) f b e yp - 和的m i n k o w s k i 问题首先为e l u t w a k 考虑( 2 4 1 1 2 6 1 ) ，当p 1 及p n + 1 时，l u t w a k ( 【2 4 1 ) 在偶性的假设下，证明了p - m i n k o w s k i 问题的弱解的存在 性具体地说，l u t w a k 证明了如下的结论：如果p 是单位球面s n 上的偶的正 b o r e l 测度，它不集中于p 的大球上，假设实数p 1 且p n + 1 ，则存在唯一 的一个凸体彤，它包含原点作为内点，并且第n 阶p 一曲面面积测度就是“其 后，l u t w a k 与o l i k e r ( 【2 6 】) 证明了弱解的正则性最近，管鹏飞和林长寿( 1 1 】) 考虑了p n + 1 的情形，去掉了偶性的假设，并且还考虑了1 p n 的情形， 这在 2 4 】和【2 6 】中是没有涉及的 在本文中我们考虑预定第阶( 1s 女 n ) p _ 曲率函数的问题，在陈述我们 的结果之前，我们先给出如下的定义( 参看【1 2 】) ： 定义o 1 设0 ，g “( 扩) 2 ) ，我们称，在s n 上是凸的，如果矩 i 砗 ( ，u4 - 6 ，) 在p 上是半正定的，这里 ，表示在s “的某一个幺正标架下的共变导数 我们得到的结论是 主要定理设1 兰 k + 1 时，对任何0 k 时，我们发现可以用标准的连续性 方法来得到k - 凸正解，这需要我们对女一凸正解做直到二阶导数的先验估计 4 仉是对j ，。= 女的情形方程( 13 ) 在伸缩变换下是不变的，我们不能得到c o 估 计，另一方面，方程的线性化算子不是可逆的，从而连续性方法失效为了克 服这些凼难，我们采州了f 1 1 】中的逼近方法，即对每一个p o k 我们已经可以 得到k 一凸正解u 。我们希望当p o 趋向于时从这一族解u p 。中能抽取一个收 敛的子序列，它的极限函数满足某一个p o = k 情形的方程( 1 3 ) ，从而得到定 理2 的存在性部分这个方法的有效性依赖于在p 0 k 情形下对k 一凸正解得 到独直于p o 的h a r n a c k 不等式我t f l 将在本文中给出这些估计唯一性的结论 是利刷标准的极大值原理得到 本文的内容是这样安排的：在第二节中，我们叙述在本文中所需要的一 些基本概念和结论，在这一节中，我们侧重陈述凸体几何的一些基本概念； 在第三节，我们对方程( o 3 ) 的一凸正解作先验估计，这是我们证明定理1 和定 理2 的基础；在第四节，我们将管鹏飞和麻希南的形变引理推广到f i r e yp - 和的 情形，并且，我们给出主要定理的证明 2 预备知识 在本节中，我们首先叙述欧氏空间中的凸体几何有关的一些基本概念和 结论，有关的细节请参考【3 】或 3 0 1 1 凸体的f i 面测度，截影测度积分 我们将欧氏空间中的一个非空，紧致的，且具有内点的凸子集叫做凸体，以 舻+ 1 表示欧氏空间r ”+ 1 中的凸体构成的集合；并且以留+ 1 表示包含r “+ 1 中原 点作为内部点的凸体的全体 对于凸体k 尼“+ l ，定义它的支撑函数h = h ( k ，) ：r n + - _ r 为 h ( k ，) ：= s u p 扭k )对“r ”1 ( 2 1 ) 易知，支撑函数h x 是定义在r ”上的正一次齐次函数；反过来，任何正一次齐 次函数是某一个凸体的支撑函数( 有可能退化) 5 对于r n + 中的子集，以及实数n 口，定义它们的线性组合q k + 口c 为 n + 卢= ( o 。+ z y l z k ，y j ( 22 ) 并称之为，t r ，l 的m i n k o w s k i 和熟知，对于k ，l “+ 1 及o ，口0 ( 不全为零) ， 、 i n k o w s k i 线性组合oa _ + 3 l k ”1 也可以由支撑函数来定义： h ( a k + 口l ，) = a h ( k ，) + 卢 ( l ，)( 23 ) 对每个p 1 ，f i r e y ( 【l o 】) 引入了新的凸体的线性组合：对k ，l ( r 1 以 及o ，口20 ( 不全为零) ，f i r e yp - 和d k + p 声l 矿1 可以利用支撑函数如下 地定义： ( a k + p 卢l ) = a h ( k ，) 9 + f l h ( l ，) 9 ( 2 4 ) 当p = 1 时，f i r e y p - 和就是经典的m i n k o w s k i - 和对于凸体k ，我们称k 是暖的， 如果a 是c 2 超曲面并且主曲率处处为正由微分几何的知识，此时o k 的g a u s s 映 射v ：8 k + s “是从o k 到s “的微分同胚( 例如，可参看【2 2 1 ) 这时k 的支撑 函数可以写为 h ( g ，z ) = 对z s “( 2 5 ) 这里一- 1 表示高斯映射v 的逆这里我们将h = h ( k ，- ) 看作p 上的函数，做正 次齐次延拓h 便可定义在整个r ”- 上 利用欧氏空间中超曲面的基本公式，我们可知道( 详细的证明可参看，例 如 3 1 】) ： 命题2 1对于僻的凸体k ，支撑函数h ( k ，- ) 的球面h e s s i a n ( b + 妨 ) 的特征值就是边界o k 的主曲率半径，r 。这里支撑函数是在铲的某个 幺正标架下求共变导数 下面介绍凸体的面积测度的概念，这是本文所需的中心概念之一面积 测度这个概念是对一般凸体定义的但是我们仅对g 类凸体进行讨论，这 6 样做的理由是：我们希望在光滑的范畴中讨论问题；另一方面，对畔类的凸 体，利用微分几何的知识，可以给出面积测度的明确表达式，从而方程( 11 ) 的 来源就很清楚了在后面的讨论中，如果没有特别的声明，我们所说的凸体都 是指巴的 我们先回忆r n + - 中超曲面的基本公式设m 为r ”1 中c 2 超曲面，以x 表 示m 的位置向量，”表示m 的单位外法向量，则m 的g a u s s 公式和w e i n g a r t e n 公 式分别为( 参看【3 2 】) x i j = r ：瓢一i j v ， ( 26 ) , i i ：n ：瓜 ( 2 7 ) 这里x 。j 表示位置向量x 关于超曲面参数通常的二阶导数，r 0 为m a = 诱导 度量的联络系数；( 2 6 ) 中负号的选取使得当吖是僻类超曲面时，第二基本形 式n 。，为正定的由于m 是c ；类超曲面，( n 。j ) 是可逆的，记( n ) 的逆矩阵为( 畦) ， 其中n ；= n “g “，( 矿) = ( 蚍) ，g d 为超曲面的诱导度量此时，( 2 7 ) 可写成 墨= 砖( 2 7 ) 注意m 的度量g ：，= ，而e 。= 是s “上的诱导度量，故根据( 2 7 ) 超 曲面m 的面积元可写为 删“( m ) = 、d e t ( 趵) = i x l ，| = d e t ( b j ) d e l ( e i ，) ( 2 8 ) 这里d e t ( e u ) 是s “上的体积元 我们知道，方程d e t ( h 圹a 鲫) = 0 的根是m 的主曲率，这个方程等价于d e ( 吩一 蝎) = 0 两端乘以逆矩阵( 蟛) = ( 砖) 一，后一个方程等价于d e t ( 碍一蝎) = 0 ，由此我们知道矩阵( 西) 的特征值是m 的主曲率半径r l ，r 。对于实数t ，矩 阵蝣+ 霹) 的特征值是# + r l ，t + r n ，从而 d e f ( 鹂+ t q ) = ( + 。) = ( ：) 一 ( 2 9 ) 在这里，我们引入了标准化的初等对称多项式 s 小”，2 ( ：) 峰。点畦。r “ 怛1 0 ， 在下文中俄们将继续使_ h j 这个记号 有了前面的准备，我们可以叙述凸体的面积测度的概念对c 辜凸体k 硝“先引入两个记曩对任一点z r “+ t 存在k 中唯一的一点p ( k ，z ) ，使得 l z p ( ，z ) l 曼l z 一讣 对任何2 r “ 换句话说，p ( k ，z ) 是k 中到的距离为最小的点，既l 。一p ( k ，z ) i = d ( k ，z ) 对于 z 舻+ 1 耳定义 u ( 即) ：= 署 为从最近点p ( k ，z ) 指向。的单位向量我们以如下两种方式定义k 的”局部 平行集 ：对于o k 的相对开子集p 令 p ( k ，口) ：= z r “+ 1 10 d ( k ，z ) 冬p 并且p f k ，z ) 口) 设ucs “为开集，由u 确定的的”局部平行集”定义为 b ( e u ) ：= 扛r “+ 1 f0 f u 乳( “一6 i s u ) 坩= ( + 1 ) 乳“u 一咖) 州“， 3 7 ) 这里d t - n 是s n 上的l e b e s g u e 测度 由前面的讨论我们知道，从方程的角度来说，f i r e yp - 和的c h r i s t o f f e l m i n k o w s k i 实质上是求解单位球面s n 上的h e s s i a n 方程这是一个典型的非线性方 程初等对称多项式的代数性质对这个方程的结构起着实质性的决定作用 首先，一次齐次函数一t = 站的凹性使得我们在做先验估计时可以利用k r y l o v - s a f o n o v 的理论，即只要对方程( 13 ) 的解傲c 2 估计，就可以得到高阶导数的估计； 其次，我们将看到，即使在做g 。估计时，初等对称函数的代数性质也起着关 键性的作用在这一部分，我们陈述在本文中需要的与初等对称函数有关的 一些定义和基本性质我们不给出这些结论的证明，因为这些结论有的是十 分初等的，有的则是经典性的结果，其它的结论虽然不容易证明，但有相关的 文献所以我们将满足于叙述这些结论，并指出相关的参考文献 定义2 4对1 ksn ，和a = ( a ，a 。) r “，令 鼠( a ) = a 。 ( 2 3 8 ) l i 0 ，s k ( w ) o ) ( 2 3 9 ) 如果n c 2 ( 弘) ，我们称u 是女一凸的，如果对所有的z s ”，w ( z ) = ( “d ( z ) + 6 。u ( z ) ) 属于n 】5 显然，集合r 。是一个开锥，并且对任何k = 1 ，n 一1 ，有关系r cf k 进 一步根据【g a r d i n g 关于双f f i 多项式的理论，对每一个1sk n ( 例如可参 看f 1 3 】或 1 5 】) f k 是凸集 命题24设w = ( 。) 是n n 对称矩阵，对l ksn 令g ( ) = 鼠( ) 则 下列关系成立： 乳( ) = 击壹眠 ，记扎m ) 。眠。， 盖：j ：羔兰 g 。口：瓦o g ( ) = 赢 6 ( 州“一，址- ；p 肌，j k - 1 ) 睨m 眦一t ， 伊一斋 = 赢b a ( i ，小一，址刈，s ，小，a 一2 ) 眦而职一一， l - - 一2 。i a c l 川= ；，雾：嚣罢纂翥； 命题2 6对任何k = 0 ，n ，i = 1 ，n 及a r n 咚掣：& ( 帆 a 九 。 乳( a ) = s ( a l i ) + 凡s k lc a l ) ( a 1 1 ) = ( n 一) & ( a ) ， 丸鼠( = 佧+ 1 ) 乳+ i ( ) 1 6 我们还需要如下的 命题27 ( 【1 6 )假设对某个k 2 ，n ) ，a f k ，则对任何0sh 一1 及i 曼isn 甄( 球) 0 故 推论2 8如果对某个k 2 ，a n ，则 a 。s 1 ，i = 1 ，一，n( 24 0 ) 证明关系式nc n l 蕴含ncr l 由命题2 7 ，s l ( a i i ) 0 ，i = 1 ，n s l ( ) = a i + 鼠( a i i ) 九 下面加细的n e w t o n m a c l a u r i n 不等式对我们的先验估计是非常关键的( 2 3 】) 3 k r y l o v s a f o n o v 估计与完全非线性椭圆方程的正则性 1 9 7 9 年，k r y l o v 和s a f o n o v ( 【1 8 1 9 1 ) 对非散度形式的，系数为可测函数的二阶 椭圆方程的解证明了h a r n a c k 不等式这个工作为完全非线性椭圆方程的正 财性理论的发展开辟了道路，首先是在8 0 年代出现了l t v m m - k r y l o v 的c 2 一内估 计( 【7 2 0 2 1 】) ，稍后是直到边界的正则性结果( ( 2 0 】【2 1 】) ，这就是著名的k r y l o v s a f o n o v 理论( 亦可参看 8 1 1 1 4 ) 这是完全非线性椭圆方程理论的一个实质性的 进展 因为根据这个理论，对于一致椭圆的完全非线性二阶方程，只要我们对 方程的解做二阶导数的先验估计，就可以得到更高阶导数的先验估计自然， 我们在证明定理1 和定理2 时，也要用到这个理论 1 7 有我 一 一 七 一釉 s， 一 k 的情形，我们可以利用标准的 连续性方法首先我们说明，对于任何一凸正解u ，方程( 1 3 ) 的线性化算子 在u 处是可逆的 命题3 1 设u 0 是方程( 13 ) 的一凸正解，并且p o k ，则线性化算子。 的核是平凡的 证明 令= u “+ 屯u 及f = 砖，则f 关于胍，是一次齐次函数将 方程( 1 3 ) 写成 f ( w i j ) = t 4 妒 ( 3 1 ) 这里我们记一= 譬，妒= ， 直接计算可知，方程( 3 1 ) 的线性化算子是： l 。扣) = f j - ( v q + 如 ) 一盯u o - - 1 q ，( 3 2 ) 这里f = 辄8 f 由u 的女一凸性，矩阵( f “) 0 采用【5 】的想法，我们设”= “” 则方程( 3 2 ) 可以写为 假设l 。( ”) = 0 ，贝0 工。0 ) = ( 1 一口) u 4 妒圳+ 2 f q u i w j + u f 蚶叫玎 ( 3 3 ) u f t j w i j + 2 f ”u i w j + ( 1 一盯) u 4 妒叫= 0 ( 3 4 ) 其中一 1 在的最大值点，我们有( ”) 0 ，( f i j ) 0 以及u 。= 0 ，于是在 该点处我们得到 0 u f ”w i j = ( 口一1 ) u 4 0 ” 1 9 故m n 。s 。o 在。的最小值点，类似的讨论说明r a i n s n u 兰0 因此，w i 0 d l s n ，即ui0 这就证明了k e r l 。= 0 利用f r e d h o l m 的二择一定理，线 性算子。是可逆的 口 为了说明闭性，我们需要对方程( 13 ) 的k 一凸正解作先验估计c o 估计是 很容易的 引t 1 3 2 假设p o k 如果u o 是方程( 1 3 ) 的一凸解，则 磊妒“s 磊。q t n sm d o s n ，- ， 注当p 0 k 时，( 3 5 ) 给出u 的伊估计 ( 3 5 ) 证明对伊的一个固定点z o ，选取x o 附近的一个局部幺正标架 自) 使 得h e s s i a n阵( u ) ，在z o 处是对角的，于是在这一点 ( “玎+ 如u ) = d i a g ( u + b l l ，+ u n n ) ， 女i i 果如是u 的最大值点，则在1 7 ：0 处，b i is0 ，i = 1 ，n 并且由于u 是k 一凸的， 利用m c l a u r i n 不等式，我们有 赛s ( 磊) ：i b i t4 卜b i i j 故 “，s u 铹 这就证明了命题中的第二个不等式藻一个不等式的证明是显然的 口 如果我们得到一凸正解的e 2 估计，则利用插值不等式就可以得到它们 的c 1 估计对于p o k 的情形，这个方法是有效的但是为了处理p o = 女的情 形，我们需要在p o k 的情形下，对方程( 1 3 ) 正的女一凸正解碍到一致的g - 估 计 2 0 引理3 3假设p 0 如果u 0 是方程( 1 3 ) 的k - 凸正解 于n 女，和m o z s 。甲( 独立于p o 兰) 的正常数g 使得 m 。细型e 证明将方程( 13 ) 写成 风( 眦，) = u p o s t o f ts “ 则存在仅依赖 ( 3 6 ) 这里p o k 并且的含义与命题3 1 中相同对任何女一凸正解u 0 ，令 = l o g u ，n ( 3 6 ) 成为 s k ( + 仇啦+ 如) = e ( p o - k ) ”， o ns “ ( 3 7 ) 作辅助函数p = l v ”1 2 ，并且假设z o 是p 的最大值点，选取局部幺正标架，使得 在。o 点 v = 玑e 1 0 这里我们已假设p 0 在z o 处，r = o 且只 0 ( i = 1 ，n ) 于是 n 蛳= o e l 严o ，v j j = l i , ln 2 + 畸“兰0 j = lj = l 根据( 38 ) ，我们可以旋转e ”一，e 。使得( v q ) 在知处是对角的，从而 ( a 1 ) ：= ”玎+ 1 2 0 + 6 甜 = d i a g ( 1 + 口 ，1 + 也2 ，l + 1 3 n 。) ：= d i a g ( a t ，- ，a n ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 下面的计算始终是在。o 点进行由u 的k - 凸性，我们知道矩阵( o 玎) 是女一凸 的 记= 掣，贝| ( f “) 。并且在勒处是对角的，从而。宝。f 廿s 。 即f “p i t 0 利用r i c e i 恒等式， 叶“= 口“= u l 玎+ r ，州= “，+ ( 如最一以最) = ”嘶+ 民一仇6 玎 于是 故 f l l r = 曼0 ( 3 1 0 ) 对方程( 36 ) 沿岛的方向取共变导数并与地缩并，我们得到 n f i i v i i m = ( p 0 一k ) v 1 2 f + v l f t e ”4 h ( 3 1 1 ) l j = l ( 3 1 0 ) - ( 3 1 1 ) 及p o o 给出 利用命题2 4 ， 乏二f “= s k 一- n t ) = ( n t + 1 ) s k 一1 ( ) 一乳一l 似1 1 ) ( n 一) 鼠一l ( a ) 进一步，由n e w t o n m a c l a u r i n 不等式 碟k - 1 ( 掣) 舛1 【等，】7 于是( 3 1 2 ) 蕴含 ”- 端e 等扩+ 争9 注意e ”= u 是方程( 1 3 ) 的k - 凸解，由( 3 5 ) 我们得到 ”t 黼s 一学( 舞) + 由于掰可以被m ”甲控制，故 i v 邮c 砧( 一一学) ” 从而引理3 3 得证 口 ( 3 1 2 ) uf 。州 + 2 = = f 占一 +u b f 。硝 + 2 “ uf 。 = 暗 + f 。 + 晾 f 。 0 枷| 勺假定下对方程( 1 3 ) 的k - 凸正解得到c 2 估计 设u 0 为方程( 13 ) 的k 一凸解，记 则( 13 ) 刚以与威 风( i u + 函，d ) = d ”， 这里我们记，= 舯“，由( 3 5 ) ，我们有 南碟，南磷 m i n d = 1 d p 0 一而m a z f ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 定义 g ：。h ， u 这里宫= t r ( d ”+ 幻6 ) 则g = 譬其中h = t r ( u i # + 如u ) 引理34 设p 02 对( 1 3 ) 的任何k 一凸解u 0 ，存在仅依赖n ，k ，m a x 粤i m n z 蝉1 ，及p o 的正常数c 使得 m ( 1 2 s - g s g 进一步，如果女 0 是方程( 3 1 7 ) 的解据引理3 2 罴蒡钟s ，伊“茎篙孑磷 ( 3 3 0 ) 于是( 3 2 7 ) ( 3 3 0 ) 蕴含着 端膏匈g 由( 3 3 1 ) 其中c o 一( n ，k ，m n z 啐1 ) 现在( 3 2 6 ) 和( 3 3 1 ) 给出 c o g 。一。一( 口一i ) g 一口( 口一1 ) c l c 2 冬0 ( 3 3 2 ) 这样我们得到了引理3 4 口 当p 0 女时，利用引理3 3 我们可以对方程( 1 3 ) 的女一凸正解u o n 到一个h a r - n a c k 不等式；引理3 4 则给出这些正的女一凸解的c 2 估计 推论3 5 设p ，存在仅依赖于n ，i ，及m 甲( 独立于p o ) 的正常 数c 0 使得 堕妒禹 4 定理1 和定理2 的证明 定理l 的证明对0 ts i ，考虑方程 乳( “u + 6 l j u ) = i z p o ( ) 这里 = ( 1 一t ) 磷+ t 容易看出我们可以对 得到不依赖于t 的c - 界令 i = f t10 t 1使得( + c ) 具有正的k 一凸解) 显然，“i1 是方程( + 。) 的解，从而，0 由命题3 1 我们可以知道，是开集 利用引理3 2 推论3 5 我们可以对方程( + t ) 正的一凸解得到一致的c 2 估计 ( p o 固定) ，从而对于k 一凸正解方程( 扎) 是一致椭圆的根据e v a n s - k r y l o v 的 理论，我们可以得到这些解的高阶导数的估计这就说明，是闭集由区 间 0 ，1 】的连通性，我们有i = 【0 ，1 】特别地，方程( + t ) 有解，这就证明了定理1 的 存在性部分 现在我们证明k 一凸正解的唯一性假设u 和”是方程( 1 6 ) 的两个 一凸正解将 方程( 13 ) 写成等价的形式( 3 1 ) ，如果u ”，则我们可以假设在某一点5 f f 0 的一 个邻域o 中u 1 使得在o 中p u 而p u ( x o ) = v ( z o ) 令w = 舢，则在0 中”一口0 并且扣一”) ( 。o ) = 0 定义 并且记 u ；( u b + f ：j l j u ) = ( 1 t ) y + t 暇 这里v = ( ”“+ 幻 ) 并且w = ( w o + 6 0 w ) 利用u 和 的k 一凸性，我们有v 朋以及wem 由于朋是一个凸锥，我们有u m 因此 ( f o ( u ) ) 0 这里( f 玎( ) ) = 菇令，( t ) = f ( ) ，则 f ( - 矿) 一f ( y ) = f l ，( t ) 出 = ( f 0 ( u ) d t ) 【( w “一) + 3 i j 一u ) 】_ ”6 另一方面，由方程( 17 ) f ( w ) 一f ( v ) = p 1 4 9 妒一u 。妒 记。j ：j f 。( ) d t ，则( 。j ) o 因此从( 4 1 ) 和( 4 2 ) 我们得到 0 ( 41 ) ( 4 2 ) ( p l - a 4 一矿) 妒= a q ( “一) + ( n 。i ) m 一 ) ( 4 3 ) ” i 由于z 。是”一u 芝0 在o 中的局部极小值点， ( w l j 一) 0 a t 。o 并且( 4 3 ) 式的右边在z o 处是非负的但是( 4 3 ) 的左端在x 0 处的值为 这是一个矛盾 口 ( p “4 1 ) v ( z o ) 4 l p ( 。o ) k 的情 形那样得到e o 估计；进一步，方程( 1 3 ) 的线性化算子不是可逆的，从而开性不 成立由于这个原因我们不能利用连续性方法来解这个方程我们发现周f 1 1 】 中的方法处理这个方程是有效的，在下面的讨论中我们将采用管鹏飞和林 长寿的逼近方法 定理2 的证明我们现在考虑方程 对v r z + ，设u r 为 & ( “玎+ 6 i j u ) = u ， & 扣0 + 如u ) = 矿) + ， ( 4 4 ) ( 4 5 ) 的解，我们将u 规格化： = f u r 其中f ，= m 讥u 7 ，l ，= h t a x r7 则i 适合方程 & ；+ d 。，) = ( 矿) + 五 其中，r = 站，g a ( 3 5 ) 我们有 另外 一 ，1 t 茜冬辟一s ：一赫 南碟g lg 南磷 m a x f rm a x f m 。i n 。 ，2 m 。i n f i ，i 下2 了 根据引理3 3 和推论3 5 ，存在与r 无关的常数c 使得 并且 1 ，s c ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) 0 或s c 于是伊的所有二阶导数是一致有界的( 与r 无关) 利用e v a n s - k r y l o v 的理 论， l i 矿i i o 。s 白。 其中a ，。与r 无关于是存在一个子序列r i _ o o 使得 在o ( s “) 中 2 9 并且对某个正常数7 由( 47 ) 于是u 适合方程 鑫郴磊 s k ( u “+ 幻u ) = 扩1 ， 在 s “ 上 ( 4 9 ) 这就证明了定理2 的存在性部分 现在我们证明方程的女一凸正解在相差伸缩的意义下是唯一的将方程( 4 4 ) 写成等价的形式：f ( w ) = u _ p ，其中_ p = ，t 设u 和”是这个方程的两个k 一凸 正解，我们可以选取常数p 0 ，使得在s “上肚”并且在某一点跏s “处 ，p u ( x o ) = ( z o ) 令= p t ，则在s 4 上， 一 o 并且w ( x o ) = v c x o ) 类似于定 理l 的唯一性部分的讨论，我们可得到如下的二阶椭圆方程： 叼一 ) 玎+ f ( o r 妒) 】一u ) = 0 i j = l i 利用经典的极大值原理( 例如，参翻1 4 】) ，我们断言在s “上”一”e0 于是 ”ip u 这就说明方程( ) 的 一凸正解在同位相似的意义下是唯一的 最后我们来证明1 的唯一性令m ( t ) = s hu + 4 1 u 服设存在两个正的常 数饥，恤以及函数u 1 0 护 0 ，使得 是( u 0 + 如矿) = ( 矿) 舶， s ；l ，2 我们不妨设7 i 7 2 于是 m ( u 1 ) 一m ( u 2 ) = ( 讥一加) ， 0 i hi f ，在伸缩变换下是不变的，我们可以假设u 1 u 2 并且在某一点z o s ” u 1 ( z o ) = u 2 ( z o ) 令 则 我们有 另一方面 u = t u l + ( 1 一) ，且地= m ( u 。) ( “；+ 6 q u ) = t ( u b + 6 。j u l ) + ( 1 一t ) ( u 苦+ 6 i j u 2 ) m ( u 1 ) 一m ( u 2 ) = 未忱出 未舰= 未c 掣， = 鱼竺二! ! _ = 二! ；掣一! 兰! 铲( u l u 2 ) ( ) ( u ) ”1 。 = 学+ 紫c u l - - u 2 ，( u ) 。 ( u 。) ”1 、 这里g “= 溉由于矿是k 一凸的，并且t k 是一个凸锥，我们有 ( g 玎) 0对0 t 1 记 铲7 瓮产a t ， c = 7 紫a t 则 ( n 玎) 0 并且( 4 1 1 ) 可以写成 ( 4 1 1 ) m ( u 1 ) 一肘( u 2 ) = n 玎( u 1 一“2 ) - ( u 1 一u 2 ) 玎+ c ( u 1 ，u 2 ) ( u l u 2 ) ( 4 1 2 ) 玎 在z o 点，( ( u 1 一u 2 ) ) s0 ，从而8 ( u 1 一u 2 ) l j 0 这意味着在j ；o 处 ” m ( u 1 ) 一m ( u 2 ) 0 这与 矛盾 口 m o , 1 ) 一m o 2 ) = ( 1 1 一仇) ， 0 3 1 5 形变引理和主要定理的证明 在这一节中我们将管鹏飞和麻希南证明的形变引理推广到方程 鼠( u + 6 ”) = u