（基础数学专业论文）cn中局部q凸楔形上e方程带权因子解的一致估计.pdf

竺主生鱼堡墅土望二壶堡堂壑垦至堡丝二鍪垡进 1 中文摘要 。c l a u r e n t - t h i e b a u t & j l e i t e r e r 1 0 l 研究c n 中局部午凸楔形，它是逐块 光滑强拟凸域的拓广，从而得到了c n 中局部中凸楔形的c a u c h y - r i e m a u n 方程解的一致估计作者利用c l a u r e n t - t h i e b a u t & j l e i t e r e r 1 0 】的思想，得 到c n 中局部午凸楔形上带权因子的同伦公式和乱方程带权因子解的一致 估计 全文分四章，主要是把c n 上局部q 凸楔形的象方程带权因子解的一 致估计推广到乱方程带权因子解的致估计 第一章介绍了。上的一些定义和记号，构造了带权因子的积分核等 第二章引进了伊上局部q 凸楔形，给出了l e r a y 映射 第三章得到了c n 上局部g 一凸楔形的带权因子的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式和压方程带权因子的解构造了不含边界的局部g 一凸楔形的 新的积分核，并由此得到了个新的带权因子同伦公式和良方程带权因子的 解首先，这个带权因子的公式不含有边界积分，尤其适合于边界非光滑的局 部q - 凸楔形，避免了边界积分的复杂估计并且，积分密度不必定义在边界 上而仅仅定义在区域内其次，。引进了权因子，带权因子的积分公式在应用上 ( 比如在函数插值方面的应用 1 7 1 ) 具有更大的灵活性最后，由于局部q - 凸 楔形是逐块光滑强拟凸域的拓广，所以得到的同伦公式是具有普遍意义的， 它在局部q 凸楔形上的覆方程带权因子的解的一致估计和c r ：- 流形的全纯 开拓上有重要作用 最后一章应用c l a u r e n t t h i e b a u t j l e i t e r e r 1 0 l 的思想，首先给出了 c n 上局部q 凸楔形( 佗，r ) ( 7 0 ) 型微分形式的积分算子日核的一些估计， 然后利用r m r a n g e y t s i u i s 的方法得到了c n 上局部q - 凸楔形上( 礼，r ) 形式的a 方程带权因子的解的一致估计 关键词：同伦公式；局部午凸楔形；权因子；一致估计 a b s t r a c t 2 c l a u r e n t - t h i e b a u t j l e i t e r e r 1 o ls t u d i e dl o c a lq - c o n v e xw e d g e si n c n ，w h i c ha l ee x t e n s i o n so fp i e c e w i s es m o o t hp s e u d o c o n v e xd o m a i n s ，o b t a i n e d t h eh o m o t o p yf o r m u l aa n dt h eu n i f o r me s t i m a t e sf o rt h ec a u c h y - r i e m a n n e q u a t i o no nq - c o n v e xw e d g e si nc n b ym e a n so ft h ei d e a so fc l a u r e n t - t h i e b a u t j l e i t e r e r 圳t h ea u t h o ro b t a i n st h eh o m o t o p yf o r m u l aw i t h w e i g h tf a c t o r sa n du n i f o r me s t i m a t e so ft h es o l u t i o n sw i t hw e i g h tf a c t o r so f a - e q u a t i o n so nl o c a lq - c o n v e xw e d g e si nc n t h ew h o l ed i s s e r t a t i o ni n c l u d e sf o u rc h a p t e r s t h ea i mo ft h i sp a p e ri s t og e n e r a l i z et h eu n i f o r me s t i m a t e so fs o l u t i o n so ft - e q u a t i o n st ot h eu n i f o r m e s t i m a t e so fs o l u t i o n sw i t hw e i g h tf a c t o r so fo - e q u a t i o n so nl o c a lq - c o n v e x w e d g e si nc n i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h ea u t h o ri n t r o d u c e ss o m ed e f i n i t i o n s ，t h eb a s i c l e m m aa n dn o t a t i o n s ，c o n s t r u c t st h ei n t e g r a lk e r n e lw i t hw e i g h tf a c t o r s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h el o c a lq - c o n v e xw e d g e si nc na r ed e f i n e d al e r a y m a p i sg i v e n i nt h et h i r dc h a p t e r ，w eo b t a i n saw e i g h t e dk o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t f o r m u l a sa n ds o l u t i o n sw i t hw e i g h tf a c t o r so f0 - e q u a t i o no nl o c a lq - c o n v e x w e d g e si nc n w ec o n s t r u c tan e wi n t e g r a lk e r n e lw i t hw e i g h tf a c t o r so fl o c a l q - c o n v e xw e d g e sw i t h o u tb o u n d a r y t h e nw eg e tan e wh o m o t o p yf o r m u l aw i t h w e i g h tf a c t o r sa n ds o l u t i o n sw i t hw e i g h tf a c t o r so fc e q u a t i o n f i r s t l y , t h en e w w e i g h t e df o r m u l ad o e sn o ti n v o l v eb o u n d a r yi n t e g r a l s ，a n di se s p e c i a l l ys u i t a b l e f o rt h ec a s eo ft h el o c a lq - c o n v e xw e d g ew i t han o n s m o o t hb o u n d a r y , s oo n e c a na v o i dc o m p l e xe s t i m a t e so fb o u n d a r yi n t e g r a l s ，a n dt h ed e s i t yo fi n t e g r a l m a yb en o td e f i n e do nt h eb o u n d a r yb u to n l yi nt h ed o m a i n s e c o n d l y , s i n c e t h ew e i g h tf a c t o r sa r ei n t r o d u c e d ，t h ew e i g h t e di n t e g r a lf o r m u l a sh a v em u c h f r e e d o mi na p p l i c a t i o n ss u c ha st h ei n t e r p o l a t i o no ff u n c t i o n s f i n a l l y , al o - 3 c a lq - c o n v e xw e d g e si n i sa l le x t e n s i o no fp i e c e w i s es m o o t hp s e u d o c o n v e x d o m a i n ，s ot h eh o m o t o p yf o r m u l a rw i t hw e i g h t f a c t o r sh a si t sg e n e r a l i z a t i o n m e a n i n g ，i th a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nu n i f o r me s t i m a t e so fs o l u t i o nw i t h w e i g h tf a c t o r so fo - e q u a t i o na n dh o l o m o p h i ce x t e r n s i o no fc r - m a n i f o l d s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，b ym e a r l so ft h ei d e a so fc l a u r e n t - t h i e b a u t j l e i t e r e r 1 0 l ，t h ea u t h o rf i r s ta d m i t ss o m ee s t i m a t eo ft h ei n t e g r mo p e r a t o r hf o r r ) ( r 0 ) d i f f e r e n t i a lf o r m so nl o c a lq - c o n v e xw e d g e si no t h e n b vi n e a i l 8o ft h et r i c ko fr a n g e - s i ut r i c k 8 t h ea u t h o rc o m p l i c a t e d l yc a l c u l a t e s t h eu n i f o r me s t i m a t e so fs o l u t i o n so fa - e q u a t i o no nl o c a lq - c o n v e xw e d g e si n c n k e y w o r d s ：h o m o t o p yf o r m u l a ；l o c a lq - c o n v e xw e d g e ；w e i g h tf a c t o r ； u n i f o r me s t i m a t e 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究 成果，均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担由 此论文而产生的权利和责任。 声明人( 签名) ： 珈d 弓年j 月瑰e t 柱毛墙 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规 定厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将 学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用 本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( u ( 请在以上相应括号内打 ”) 作者签名：老擅确，日期：劲鸽年j 月龆日 导师签名：即磊吃 日期：渺孑年厂月谚日 c ”中q 凸楔形上a 一方程带权因子解的一致估计 4 c 礼中局部q - 凸楔形上a 一方程带权因子解的一致估计宰 引言 现代数学的特点之是高维，而多元复分析正是反映这特点的方向之 一多元复分析研究的主要内容是复流形的分析与复几何，而多复变与复几何 是一门交叉性极强的方向，反映了数学的统性，是现代数学的核心与前沿之 一由于内容十分广泛和深刻，所以几乎用到现代数学的所有方法 早在1 8 3 1 年，c a n c h y 发现了以其名字命名的著名的c a u c h y 积分公 式，数学家就认识到积分表示在复分析中的重要性自从上个世纪7 0 年代 g m h e n k i n 1 , 2 】和h g r a u e r t i l i e b s 1 分别得到了空间中强拟凸域上丞 方程的解的积分公式后，多复变数的积分表示方法迅速发展起来，成为多元复 分析的主要方法之一，它的主要优点是象单变数的c a u c h y 积分公式一样便于 估计 熟知，空间中全纯函数和光滑函数的积分表示及其应用已经有许多 研究 i - 6 ，自从w k o p p e l m a n m 于1 9 6 7 年得到了c n 空间中( 0 ，s ) 型微分 形式的k o p p e l m a n 公式有关c n 空间中( 0 ，s ) 型微分形式的积分表示理论 也已经有许多研究 4 - 6 1 1 9 7 0 年g m h e n k i n 1 】和h g r a u e r t i l i e b a l 开 始了对空间中具有光滑边界的强拟凸域上的a 方程解进行研究，给出了 a 方程解的一致估计1 9 7 3 年r m r a n g e y t s i u s 首先给出了c n 空间 中具有逐块光滑边界的强拟凸域上( 0 ，8 ) 型k o p p e l m a n l e r a y - n o r g u e t 公式 及其口方程解的一致估计对于_ 般的具有逐块光滑边界的强拟凸多面体， g m h e n k i n & e m c h i r k a 9 1 给出了k o p p e l m a n l e r a y - n o r g u e t 公式及其乱 方程解的致估计 国家自然科学基金资助项目( 项目批准号；1 0 5 7 1 1 4 4 ) 和厦门大学新世纪优秀人才支 持计划 c n 中q 一凸楔形上a 一方程带权因子解的一致估计 5 1 9 9 3 年c l a u r e n t t h i e b a u t & j l e i t e r e r t l o l 构造了一个关于a 是非线 性的l e r a y 映射，从而得到了c ，l 中局部q - 凸楔形上的同伦公式和参方 程解的一致估计对于q = n 一1 ，由定义，局部g 凸楔形是逐块光滑强拟 凸邻域因此局部口- 凸楔形代表了一类很广泛的域，它被r a a i r a p e t j a n g m h e n k i n 1 1 】 f l2 1 ，等广泛应用于讨论c r 流形，切线c a u c h y - r i e m a n n 方程， c r - 函数的全纯开拓和乱上同调理论 c l a u r a n t - t h i e b a u t j l e i t e r e r 1 0 】构造了c n 中局部铲凸楔形上关于 ( n ，7 ) 型微分形式下的积分核，得到了c ，l 上k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式 和夙方程的解，在此基础_ k g g 造了c n 上局部口- 凸楔形( n ，r ) 微分形式的各 种积分核，得到了c n 上局部口- 凸楔形上的同伦公式和乱方程的解如此得 到的公式不含有边界积分，从而避免了边界积分的复杂估计，并且积分核也不 必定义在边界上而只需定义在区域内，它可来讨论全纯开拓的问题 对于局部q - 凸楔形，当f b 曼，( d ) 时，1 9 7 3 年，r m r a n g e y t s i u s l 证明了当q = 竹一1 且p = 0 时扣方程解的一致估计对于任意g ，但边界 a d 光滑和p = 0 ，1 9 7 4 年w f i s c h e r & i l i e b 1 3 】给出了证明对于p 0 ， 但光滑边界o d 和q = n 一1 时的扣方程解的一致估计于1 9 8 6 年由i l i e b r m r a n g e 1 4 】获得( 也可参考b f i s c h e r 1 5 1 ) 但是这些都是考虑l e r a y 映射 关于入是线性的情况，因此可以对a 直接积分当拓广强拟凸域后，即考虑 1 口n 一2 且边界c 3 d 的光滑数增加时，人们就遇到了困难：l e r a y 映射 关于入不再是线性的当这个问题首次被r a a i r a p e t j a n g m h e n k i n n l 1 1 2 i 提出时，他们发现当l e r a y 映射关于a 是非线性的时候，对a 直接积分变的 很难，因此他们提出一个很重要的思想：如果l e r a y 映射关于a 是以某一特 殊有序的形式存在时，利用推广的f a n t a p p i e - f e y n m a n 公式1 1 1 l 【l 御，消除积分 还是有可能的接着h e n k i n 1 6 】提出s 1 ) 构造个关于入是特殊有序的形式的l e r a y 映射 2 ) 利用推广的f a n t a p p i e - f e y n m a n 公式对入积分 3 ) 对获得的积分模进行估计 但是c l a u r e n t - t h i e b a u t j l e i t e r e r 1 0 l 发现要完成这个结果也很难， c n 中q 一凸楔形上a 一方程带权因子解的一致估计 6 所以他们就修改了h e n k i n 的方法：不找特殊形式的l e r a y 映射，而是利用由 r m r a n g e y t s i u 8 l 和w f i s c h e r i l i e b l l 3 】推广构造的映射且证明 了在某一狭义意义下，这个l e r a y 映射是所讨论的特殊形式虽然这时对a 进 行消除积分还是不可能，但是通过r a a i r a p e t j a n & g m h e n k i n 1 1 】【1 2 】推广 的f a n t a p p i e - f e y n m a n 公式类似的辅助估计，可以得到这个积分的适当的估 计从而得到了c n 上局部g - 凸楔形上( n ，r ) 形式的良方程解的一致估计 本文的目的是应用c l a u r e n t t h i e b a u t j l e i t e r e r 1 0 i 的思想，引进带 权因子l l q ，构造带权因子的积分核，对c ，l 上局部口凸楔形上压方程带权 因子的解进行一致估计 第一章介绍了上的一些定义和记号，构造了带权因子的积分核等 第二章引进了伊上局部午凸楔形，给出了l e r a y 映射 第三章得到了伊上局部口一凸楔形的带权因子的k o p p e l m a n l e r a y - n o r g u e t 公式和0 - 方程带权因子的解构造了不含边界的局部g 一凸楔形的 新的积分核，并由此得到了个新的带权因子同伦公式和良方程带权因子的 解首先，这个带权因子的公式不含有边界积分，尤其适合于边界非光滑的局 部q - 凸楔形，避免了边界积分的复杂估计并且，积分密度不必定义在边界 上而仅仅定义在区域内其次，引进了权因子，带权因子的积分公式在应用上 ( 比如在函数插值方面的应用1 1 7 ) 具有更大的灵活性最后，由于局部q - 凸 楔形是逐块光滑强拟凸域的拓广，所以得到的同伦公式是具有普遍意义的， 它在牛凸楔形上的乱方程带权因子的解的一致估计和c r - 流形的全纯开拓 上有重要作用 最后一章应用c l a u r e n t - t h i e b a u t j l e i t e r e r l l o l 的思想，首先给出了 d 上局部牛凸楔形( n ，r ) ( r 0 ) 型微分形式的积分算子日核的一些估计， 然后利用r m r a n g e y t s i u s l 的方法得到了c n 上局部午凸楔形上( n ，7 ) 形式的a 一方程带权因子的解的一致估计 c n 中q 一凸楔形上a 一方程带权因子解的一致估计 7 第一章预备知识 对z ，我们定义z 的标准复坐标为z l ，磊我们记 = z i t 0 1 + + z n t u n ，i z l = 1 1 2 设域qc ，p 是q 上的实c 2 函数我们定义p 在( q 上的l e v i 形式k ( e ) ，及l e 访多项式b ( ，( ) 姒 = 熹等驰e f l , tec 及 杈) - 2 骞哿( ) - 拈t - l v a 2 扩p ( e 誊) 白刊( 白刊 e q ，z c n 由t a y l o r 定理知： r e g ( z ，e ) = p ( ( ) 一p ( z ) + l p ( ( ) ( ( 一z ) + d ( 1 e z 1 2 ) 命j = ( j l ，五) ，1sz o o ，为整数的有序集记川= ，j ( 多) = ( j l ，j p l ，j p + l ，j 1 ) ，= 1 ，c ，记歹，如果j j l ，五】， 命n l 是个整数则我们记尸( ) 为所有有序集k = ( k l ，觑) ， 2 1 ，其中1 k l ，k l n ，记p ( ) 为所有k = ( k l ，k 1 ) p ( ) ， k l 缸的子集 命j = ( 歹1 ，j r ) ，1 z o 。，是个有序集，且整数0 歹l 五 则我们记j ( 或今。j i ) 为所有数0 s1 的数列 ) 墨。的单形，使得 = 0 如果歹g ，并且= 1 若l 2 ，以形式d a j 。a a 来作为 a j 的定向，若z = l ，则- ，的定向为+ 1 我们记x 是个固定的c o 。函数 受：【o ，1 】一【o ，1 】 ( 1 1 ) 堡：史旦：鱼塑垄圭坌二查堡堂壑垦王壁丝二墼焦盐8 如果0 a 1 4 贝0 曼( 入) = 0 ，如果1 2 a 1 贝0 曼( 入) ：1 命整数n 1 且k = ( k l ，岛) p ( ) 则对于a a o k 且入o 1 ， 我们记a 为a k 上如下定义的点 屯= 盏( = 1 z ) ( 1 2 ) 命dc cc n 为一区域d 称为一c 七交集( i n t e r s e c t i o n ) ( k = 1 ，2 ，co ) ， 如果存在西的个邻域和的邻域中有有限个实c 七函数p ，p 使得 d = z ：丹 0 ，歹= 1 ，) 并目对所有( k l ，硒) p ( ) 及使p k 。( z ) = = p k 。( z ) = 0 的z o d d p k ( z ) a d j d h ( z ) 0 这时集合( ，p 1 ，p n ) 称为d 的一c 七标架( 或标架) 命dc cc n 为c 1 交集，( ，p l ，肌) 为d 的标架那么对k = ( 南l ，岛) p ( ) ，如果七1 ，k t 为不同的配对，则置 = z a d ：p k 。( z ) = = p k 。( z ) = o ) ， 否则令 s k = 氆 选择流形定向使得定向对七l ，硒是斜对称的，并且 o d = s j ， ( 1 3 ) 慨= ( 1 4 ) j = l 这里o d ，a 的定向分别是由d 和s k 诱导的定向 c n 中q 一凸楔形上a 一方程带权因子解的一致估计 9 命dc cc n 为c 1 交集， ( v b ，p 1 ，肌) 为d 的标架d 的l e r a y 映射，或者更精确地说对标架( u p ，p l ，肌) 的l e r a y 映射定义为一映射妒， 它联系于每一k = ( k l ，乜) p ( ) ，对( z ，( ，入) d s r a k 定义的 一值映射 c k ( z ，( ，入) = ( 妒毛( z ，e ，a ) ，妒蚤( z ，e ，a ) ) 使得对 ( 砂k ( 名，( ，入) ，( e z ) ) = 1 ， 并且对= 1 ，z 砂k ( 庐) ( 名，( ，a ) = 惦( z ，( ，入) 其中k ( 痧) = ( k l ，b l ，+ 1 ，岛) ，( z ，( ，入) d ( 口) a k ( o 命dc cc n 为g 1 交集，( u p ，p l ，肌) 为d 的标架命矽为关于标 架( ，p l ，似) 的l e r a y 映射，对k p ( ) 和( z ，( ，a ) d a o k 置 妒o k ( “，入) = 粕禺+ ( 1 - 蛐) 妇( “，爻) ( 1 5 ) 由于对o 的邻域o k 叁o k 中的a ，1 一曼( a o ) ：0 ，所以咖k 是c ( 1 ) 类的 引进个c 映射q ( z ，e ) = ( q 1 ( z ，( ) ，q n ( z ，e ) ) ：d d _ 口 设c ( z ) 在复平面c ( 1 ) 上全纯，其定义域包含映射西西一c 1 , ( z ，( ) _ 的像集，且g ( o ) = 1 形式 仍记为 q ( z ，e ) ，这并不会引起混淆 设k p 。( ) ，对( 名，e ) d d ，定义带权因子的b o c h n e r - m a r t i n e l l i 核 配e ) = 两( - 1 ) - 1 台n - 扩1 ( 脚七入( h d ( e z ) ) a 竹一七一1 1 ( 一z 1 2 n ( 1 6 ) 对( z ，( ，a ) d a o x 定义带权因子的k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 核 妣 ( 壮筹薹抄( 叭一徊洲圳”砌 a n 一七( 1 7 ) 对( z ，( ，入) d - 毁a o k 定义带权因子的核 张“= 器薹抄( 钒一炉秽 ( 妒k ，d ( ( 一z ) ) n 一七一1 ( 1 8 ) 【注】t 当g 三1 ，q 三0 时，h ( z ，e ) ，j f i 之( z ， 0 ， 0 ，( z ) l l c d i s t ( z ，0 d ) i ，z d 所成的空间其中d i s t ( z ，o d ) 是z 到a d 对p 之0 和b ? ( d ) ，命 u i i 一口= 1 1 1 1 一p ，d = s u p z e d i i f ( z ) l l d i s t ( z ，a d ) 1 卢 设八n 。( d ) 为d 上( 7 ，s ) 型微分形式所成的空间，命 暖。( d ) = c o ( d ) n 八( d ) ， 喏。( d ) = 四( d ) n 八( d ) ， 锣。( d ) = u 晌nc o ( d ) ， 四。( d ) = v 嘶 n 暖。( d ) ， b 乒。( d ) = b ? ( d ) n 八r ，( d ) ， 磁。( d ) = u o 。 0 使 得对所有入1 n 和z ，e ， r e g 。z ，e ) p a ( ( ) 一p a ( z ) + q l e z 1 2 一a1w ( 入) ( ( 一z ) 1 2 其中p a ：= a x p l + + a n p n 由于p l ，p n 是定义在的邻域的c ( 2 ) 类函数，所以可以在上 找到c 函数口箩( = i ，；七，歹= 1 ，n ) 使得对所有e 有 愀) _ 篙l 0 是定义2 1 条件( i i ) 中的常数特别圣( 名，e ，a ) 0 ，如果( z ，( ，入) d 西1 ，所以对所有( 名，e ，a ) dxd a o l ，z ( 可定义c 1 映射 pk 酌 r 触 一 i i k ra 哪n 1 理 弓 c ”中q 一凸楔形上a 一方程带权因子解的一致估计 1 7 心壮鼬品+ ( 1 确糊) 渊 ( 3 9 ) 注意到 心疋壮品，当丢妯 l ( 3 1 0 ) ，7 ( z ，e ，入) = 铡，当o s 入。五1 ， ( 3 1 1 ) 圣( z ，e ，入) 哇 犯( 炉渊，当a o = 0 ( 3 1 2 ) 并且由( 2 6 ) ，( 3 7 ) 和( 1 5 ) 式，对所有k p ( ) 有关系式 ? 7 ( 名，e ，a ) = 妒d k ( z ，e ，a ) ，当( ，入) s k x a o k ( 3 1 3 ) 引理3 3 【1 0 l 对固定的( e ，入) 1 r ，函数圣( z ，e ，a ) 关于z 伊 是( q + 1 ) 一全纯的，并且映射7 7 ( z ，e ，入) 关于z d 是( q + 1 ) 一全纯的 对所有( z ，e ，入) d d a o l n 和z ( 引进连续微分形式 郎炉器薹抄( 钒m 炉甜伸磁) ) a ”b 1( 3 1 4 ) 记 d 金( z ，( ，a ) = 疗( 名，e ，a ) ( 3 1 5 ) 引理3 4 由( 3 1 0 ) 和b o c h n e r - m a r t i n e l l i 核台的定义( 1 6 ) 式可知 宝i d d 。= 台 由( 3 1 3 ) 式和c a u c h y - f a n t a p p i e 核的定义( 1 7 ) 式可知，对所有k p ( ) 二 i d x s k x a o k = ( 一1 ) i k i k 会k 2 l 一上j ” c “中q 一凸楔形上a 一方程带权因子解的一致估计 1 8 引理3 5 记【一( z ，( ，a ) 】d 昭齄k 和【h ( z ，( ，入) 】d a ：k 为形式e ( z ，( ，a ) 和 h ( z ，( ，a ) 中关于a 的次数为k 的部分，则下述结果成立： ( i ) 形式【一( z ，( ，a ) 1 d a ：七在z = ( 的奇性阶2 n 一2 k 一1 ( i i ) 【c ( z ，( ，a ) 】d 哪：k 的系数关于z 的一阶导数在z = ( 的奇性阶 2 n 2 k ( i i i ) 形式【h ( z ，( ，入) 】d 讲：k 在z = ( 的奇性阶2 n 一2 七+ 1 引理3 6 ( i ) 如果，c o ，( 西) ，n q + 1 7 _ 礼，则对所有k p ( ) 和z d ，有 ，( e ) a 三( z ，( ，a ) = 0 ( ，a ) e r k x ( i i ) 如果f 砩, n - - q ( 西) ，则对所有名d 和k p ( ) ， ， d ： ，( ) z ( z ，e ，a ) = 0 ，( e ，a ) e f k a k 证明：记【三( z ，( ，入) 】，为z ( z ，( ，a ) 中关于z 是( n ，7 ) 型分量，若， c o ，( d ) ，k p ( j v ) 那么 ，( ( ) 量( 名，( ，a ) = ，( ( ) 【量( z ，( ，a ) 】，z d ( e ，a ) e f k x k( e ，a ) e r k 耳 jj 另方面，当a o = 0 时，由引理3 3 ，7 7 ( z ，( ，入) 关于z 是( q + 1 ) 一全纯的但由 假设r 一1 扎一q ，因此 壹( z ，e ，入) 】，一l = 0 ，( z ，e ，入) d f k a k 即( i ) 成立 同理，当a o = 0 时，7 7 ( z ，( ，a ) 关于z 是( q + 1 ) 一全纯的 也【三( z ，( ，入) 】n q 一1 = 0 ， ( z ，( ，入) d r k k 即( i i ) 成立 命，e 磁。( d ) ，0 p 1 对所有kep ( ) ，定义 ， g k f ( z ) = ，( ( ) 疗( z ，e ，a ) z d ( 3 1 6 ) c ”中q 凸楔形上百一方程带权因子解的一致估计 1 9 由引理3 5 ( i i i ) 可知这些积分收敛并且这样定义的微分形式h k ，在d 连续 对，b 曼，( j d ) ，0 p 1 ，定义 h = ( 一1 ) i g l h k f ( 3 1 7 ) k g p ( ) 现命f 磁，( d ) ，0 p 1 ，0 r n 由于疗( z ，e ，入) 是2 n 次的，并 且包含对z 是n 次的单项式，而d i m f gxa o k = 2 n + 1 所以h ( z ，e ，a ) 中 只有关于( e ，入) 是n + 1 一r 次的单项式，因此关于名是( n ，r 1 ) 双次的才 对积分有贡献，这表示鲰f = 0 ，如果，- = 0 或者竹+ 1 一r i i = d i m a o k 因此，对f b 量，( d ) ，0 p 1 ，0 7 n ，有 fh f = ( 一1 ) 陋i h r f ， k e p ( n ) ( 3 1 8 i k l n + l - r ) 1 、一 ， 【日，= o ，如果r = o ；h f 砩，- l ( d ) ，如果1 rs n 下面我们给出不含边界积分带权因子的同伦公式 定理3 2 设d 为中局部争凸楔形( n q r 几) ，0 p 1 ，0 p 1 那么，对所有，磁，( d ) ，并使得彤b ? ( d ) 的，在d 上有同伦 公式 即 f = d h f + h