（基础数学专业论文）armendariz环、baer模及广义quasibaer环.pdf

摘要 内容摘要：本硕士论文分为三部分 第一部分：介绍a r m e n d a r i z 环和b o e r 环的研究概述以及本文的 主要工作 一7 第二部分：我们研究了a r m e n d a r i z 环的一些性质，深化了前人 的成果，并给出了更多a r m e n d n r i z 环的例子 主要结果： 定理2 1 1 设a ，且是五的理想，如果置m 是a r m e n d a r i z 环，则 矗( a ：b ) 是a r r n e n d a r i z 环 定理2 ，1 - 4 设m 是a r m e n d a r i z 左r 一模，则r a ( m ) 是a r m e n d a r i z 环 定理2 2 2 若矿是( a 口) 一双模，是( b ，a ) - 双模，那么e 是a r m e n d a r i z 环的充要条件是 ( 1 ) a ，b 是a r m e n d a r i z 环 ( 2 ) y 是a r m e n d a r i z 左a ，右且一模，是a r m e n d a r i z 左b ， 右a 一模 ( 3 ) 若，扛) a i 司，夕( z ) b 【司，则，( 。) y m n v m 夕扛) = 0 ， 王】，( z ) n 可( 王) w 嘲= 0 定理2 3 1z 一整数环a 是a r m e n d a r i z 环， 第三部分：我们给出了关于理想a 的广义q u a s i b a e r 环及 b a e r 模的定义，同时研究了他们和b a e r 环的一些性质主要结果： 定理3 1 2 2设，：置m _ r 是m 到上的可分裂满模同态 若是b a e r ( q u a s i b a e r ，p g b a e r ) 模，那么是b a e r ( q u a s i b a e r ，p q b a e r ) 模 定理3 1 2 6 设且m 是m o r p h i c 模，那么下列条件等价： ( 1 ) m 是b o e r ( q u a s i b a e r ，p q b a e r ) 模， ( 2 ) m 的任意子模，k 若m n 兰耳，那么m k 是8 嘶( 哪鲥一 a r r n e n d a r i z 环、b a e r 模及广义q u a s i b a e r 环 b o e r ，p q b a e r ) 模 定理3 1 2 7r 是a b e l i a n 环，如果r 尬，i a = 1 ，2 ，n ) 是 b a e r 模，则尬，i 人的直积1 1 i a 尬是b a e r 模 定理3 1 2 9 r 是a b e l i a n 环，如果r 尬，i a = 1 ，2 ，住) 是 b a e r ( q u a s i b a e r ，p q b a e r ) 模，则舰，i 人的直和0 迮a 坛是 b a e r ( q u a s i b a e r ，p 口一b a e r ) 模 定理3 2 2 1如果r 是关于a 的广义q u a s i b a e r 环，那么 r 似是q u a s i b a e r 环 定理3 2 2 2 冗是r e d u c e d 环，那么冗是关于a 的广义q u a s i b o e r 环的充要条件是冗k 】是关于州z 】的广义q u a s i b a e r 环 定理3 2 2 3r 是关于理想a 的广义q u a s i b a e r 环，e 是r 中 的中心幂等元，那么e r e 是关于e a e 的广义q u a s i b a e r 环 定理3 2 2 4r 是关于理想a 的广义q u a s i b a e r 环，：r _ t 是环同态，那么f ( r ) 是关于，( q 的广义q u a s i b a e r 环 定理3 2 3 1 如果尼，i a 是b a e r 环，则尼，i a 的直积 n i ar 是b o e r 环 关键词：a r m e n d a r i z 环；b a e r 环；b o e r 模；关于理想a 的广义 q u a s i b a e r 环 a b s tr a c t c o n t e n t ：w eh a v et h r e ep a r t si nt h i sp a p e r t h ef i r s tp a r t ：w ei n t r o d u c et h eg r a n dr e s u l t si nt h ea r m e n d a r i z r i n ga n db a e rr i n g ，a n d o u rm a i nw o r ki nt h ep a p e r t h es e c o n dp a r t ：w ei n v e s t i g a t es o m ep r o p e r t i e sa b o u ta r m e n d a r i z r i n g s ，d e e p e np r e h o m i n i n d sr e s u l t s w eg i v em o r ee x a m p l e s o f a r m e n d a r i z r i n g t h es t a t e m e n ta r et h em a i nr e s u l t s ： t h e o r e m2 1 1l e ta ，ba r ei d e a lo fr ，i fr ai sa r m e n d 【0 r i z r i n g ，t h e nr ( a ：b ) i sa r m e n d a r i zr i n g s t h e o r e m2 1 4 l e tmi sa r m e n d a r i zl e f tr m o d u l e ，t h e n r a ( m ) i sa r m e n d a r i zr i n g t h e o r e m2 2 2l e tv i s ( a ，b ) 一d o u b l em o d u l e ，wi s ( b ，a ) - d o u b l em o d u l e ，t h e nci sa r m e n d a r i zr i n gi fa n do n l yi f ( 1 ) a ，bi sa r r n e n d a r i zr i n g ( 2 ) vi sa r m e r m a r i zl e f ta ，r i g h tb m o d u l e ，w i sa r r n e n d a r i z l e f tb ，r i g h ta m o d u l e ( 3 ) i f f ( z ) a 【z ，g ( x ) b 【z 】，t h e ni ( x ) v x n v x g ( x ) = 0 ，w l z l ( x ) n g ( x ) w x 】= 0 t h e o r e m2 3 1z i n t e g e rr i n ga i sa r m e n d a r i zr i n g t h et h i r dp a r t ：w ep o s et h ec o n c e p to fe x t e n d e dq u a s i - b a e r r i n g a l j o u ti d e a la ，a n db a e rm o d u l e ，t h e nw ei n v e s t i g a t es o m e p r o p e r t i e so ne x t e n d e dq u a s - b a e rr i n g sa n db a e rm o d u l e t h e f o l l o w i n gs t a t e m e n ta r et h er e s u l t s ： t h e o r e m3 1 2 2l e tf ：rm rni ss p l i te p i m o r p h i s m i fm i sb a e r ( q u a s i b a e r ，p g b a e r ) m o d u l e ，t h e nni sb a e r ( q u a s i i i i b a e r ，p q b o e r ) m o d u l e t h e o r e m3 1 2 6l e tr mi sm o r p h i cm o d u l e ，t h e nt h e f o l l o w i n g ( 1 ) mi sb a e r ( q u a s i b a e r ，p g b a e r ) m o d u l e ( 2 ) ，ka r es u b m o d u l eo fm ，i fm n 竺k ，t h e nm ki s b a e r ( q u a s i b a e r ，p g b a e r ) m o d u l e t h e o r e m3 1 2 7l e tri sa b e l i a nr j n g ，i fr 尬，i a = 1 ，2 ，n ，i sb a e rm o d u l e ，t h e nn a 尬w h i c hi sd i r e c tp r o d u c t o f 尬，i ai s b a e r m o d u l e t h e o r e m3 1 2 9l e t ri s a b e l i a n r i n g ，i f n m i ，i a = 1 ，2 ，n i sb a e r ( q u a s i b a e r ，p g b a e r ) m o d u l e ，t h e nq a 坛w h i c hi s d i r e c t 阢mo f 坛，i ai sb a e r ( q u a s i b a e r ，p g b a e r ) m o d u l e t h e o r e m3 2 2 1i f 五i se x t e n d e dq u a s i b a e rr i n ga b o u ta ，t h e n 月ai sq u a s i b a e rr i n g t h e o r e m3 2 2 2l e tri sr e d u c e d r i n g ，t h e nri se x t e n d e d q u a s i - b a e rr i n ga b o u tai f 只n do n l yi fr 互】i se z t e n d e dq u a s i b a e rr i n g a b o u ta z 】 t h e o r e m3 2 2 3l e tri sr e d u c e d r i n g ，i f ri se x t e n d e d q u a s i - b a e rr i n ga b o u taei ss e m i c e n t r a li d e m p o t e n ti nr ，t h e ne r ei s e x t e n d e dq u a s i b a e rr i n ga b o u te a e t h e o r e m3 2 2 4ri se x t e n d e dq u a s i b a e r r i n ga b o u ta f ： 兄一ti sh o m o m o r p h i s mo f r i n g ，t h e nf ( r ) i se z t e n d e dq u a s i - b o e r r i n ga b o u t ，( a ) t h e o r e m3 2 3 1l e tr ，i ai sb a e rr i n g ，t h e nt h ed i r e c t s 啪o f 最j 人n 谳丑i s b a e rr i n g k e yw o r d s ：a r m e n d a r i zr i n g ；b a e r r i n g ；b a e rm o d u l e ；e x t e n d e dq u a s i b a e rr i n ga b o u ti d e a la ； v 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中除特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同 志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做出了明确的声明并表示谢意 学位论文作者签名：粤角奴 日 期：) 卯2 辛s 日母 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权辽宁师 范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或其他复制手段保存、汇编学位论文保密的论文在解密后使用本授权书 学僦文储虢孽酥 指导教师签名：函哆己 日 期：砌9 罩卵土，目 a r m e n d a r i z 环、b a e r 模及广义q u a s i b a e r 环 a r m e n d a r i z 环、b a e r 模及广义 q u a s i b a e r 环 1 引言 1 1a r m e n d a r i z 环的研究概述 r e g e 和c h h a w c h h a r i a i 于1 9 9 7 年提出a r m e m t a r i z 环的概念称环r 是 a r r n e n d a r i z 环如果f ( x ) = 舀a i x ，夕0 ) = 咨岛b r x 】满足，0 ) 夕0 ) = 0 ， 则有啦b = 0 ( 0 i m ，0 歹功用a r m e n d a r i z 环命名是因为早在1 9 7 4 年a r m e n d a h z 就发现了r e d u c e d 环( 不含非零幂零元的环) 满足这个条件在这 之后很多人对a r m e n d a r i z 环进行了讨论和研究a n d e r s o n 和c a m i l l o 2 1 在1 9 9 8 年给出以下结果： 1 若冗是a r m e n d a r i z 环，则r m 也是a r m e n d a r i z 环 2 ，t h e o r e m 2 】 2 若r 是a r m e n d a r i z 环，( k ) 是月上的可交换不定元集那么r 【( 咒 1 的任意子环是a r m e n d a r i z 环【2 ，c o r o l l a r y 3 】 3 设尺是环，自然数n 2 ，那么r x l ( x n ) 是a r m e n d a r i z 环的充要条件 是r 是r e d u c e d 环f 2 ，t h e o r e m 5 】 4 设尺是交换环，那么r 是g a u s s i a n 环的充要条件是r 的每个环同态像 是a r m e r u t a r i z 环f 2 ，t h e o r e m 8 1 2 0 0 3 年l e e 和w 随g 【3 l 证明了一类商环的a r m e n d a r i z 性在2 0 0 4 年l e e 和y iq i m gz h o u 4 1 又讨论了特殊矩阵环的a r m e n d a r i z 性 他们给出了m 是( 兄，r ) 双模，r 和m 的平凡扩张r m ： f 口仇1l 口 0a 足m r m r 是a r m e n d a r i z 环的充要条件是： ( 1 ) n 是a r m e n d a r i z 环 ( 2 ) m 是a r m e n d a r i z 左、右只一模 ( 3 ) 如果在r 中，( z ) 9 ( z ) = 0 ，那么，( z ) m 嘲nm x g ( x ) = 0 本文将继续讨论几种环的a r m e n d a r i z 性本文中环r 均指有单位元的结 合环 1 a r m e n d a r i z 环、b a e r 模及广义q u a s i b a e r 环 1 2b a e r 环的研究概述 k a p l a 珊k y 5 在1 9 6 5 年给出b a e r 环的概念称环只是b a e r 环，如果r 的 任意非空子集的左( 右) 零化子是由一个幂等元生成的在文中它给出这样一个 结论： 若r 是b a e r 环，幂等元e r ，那么e r e 是b a e r 环 c l a z k 6 1 在1 9 6 7 年给出了q u a s i b a e r 环的概念称环r 是q u a s i b a e r 环，如果r 的任意左( 右) 理想的左( 右) 零化子是由一个幂等元生成的他得出 了以下结论： 1 若r 是有单位元的环，那么以下的结论是等价的： ( 1 ) r 是q u a s i b a e r 环 ( 2 ) r 的每个左理想的左零化子由一个幂等元生成 ( 3 ) r 的每个右理想的右零化子由一个幂等元生成 “) 冗的每个理想的右零化子由一个幂等元生成 2 若r 是q u a s i b a e r 环，幂等元e r ，那么e r e 是q u a s i b a e r 环 对于q u a s i b a e r 环概念的进一步延伸，b r i k e n m e i e r 7 给出了主理想 q u a s i b a e r 环，即p q 一b a e r 环的概念称环r 是左( 右) p 口一b 0 e r 环，如果 冗的任意左( 右) 主理想的左( 右) 零化子是由一个幂等元生成的如果月即是右 p 口一b a e r 环又是左p g 一b a e r 环则称r 是p q 一b a e r 环b a e r 环的另外一个 推广是p p 一环称环兄是左( 右) p 伊一环，如果r 中的任意元的左( 右) 零化子 是由一个幂等元生成的如果r 即是右p p 一环又是左p p 一环则称r 是p p 一 环由定义我们很容易看出b a e r 环是q u a s i b a e r 环和p p 一环q u a s i b a e r 环是p g 一b a e r 环但是p q 一b a e r 环不一定是p p 一环( 【8 ，e x a m p l e 2 ) p p 一 环也不一定是p q 一b a e r 环( 【9 ，e x a m p l e 8 2 】) a r m e n d a r i z 1 0 】讨论了环和他的多 项式环之间的性质关系他给出： 1 设r 是r e d u c e d 环，那么r 是p p 一环的充要条件是r 是p p 一环 2 设r 是r e d u c e d 环，那么r 是b a e r 环的充要条件是r 吲是b a e r 环 同样，b r i k e n m e i e r t n l 也讨论了q u a s i b a e r 性在一个环及它的多项式环、 斜多项式环、幂级数环之间的传递性。 1 设r 是q u a s i b a e r 环，以下扩张环也是q u a s i b a e r 环，其中q 是环 r 的自同态变换，x 是非空未必可交换的不定元集 ( 1 ) r 【翻；( 2 ) r 【 】；( 3 ) 冗陋；叫；( 4 ) r 【p ；叫】；( 5 ) r 陋，z 一1 ；卅；( 6 ) 冗 陋，z 一1 ；q 】 2 墨! 竺坐! 丝墅：里坚堕壁 墨垡婴! = 里垒竺至 2 对于环r ，x 是非空未必可交换的不定元集，若r 硼和r 【捌】任意一个 是q u a s i b a e r ( b a e r ) 环，那么r 也是 3 对于环r ，x 是非空未必可交换的不定元集，以下是等价的： ( 1 ) r 是q u a s i b a e r 环 。 ( 2 ) r x 】是q u a s i b a e r 环 ( 3 ) r 【l 硎是q u a s i b a e r 环 ( 4 ) r 陋，z 一1 】是q u a s i b a e r 环 ( 5 ) r 【p ，z 一1 】是q u a s i b a e r 环 1 3 本文的主要工作 本硕士论文分为三部分主要讨论a r m e n d a r i z 环和b a e r 环下面对各章 作一简要介绍 第一部分：介绍a r m e n d a r i z 环和b a e r 环的研究概述以及本文的主要工作 第二部分：我们首先研究了一个环何时具有a r m e n d a r i z 性使用通常环论 的一般方法讨论了在一定条件下商环、具有一对零同态的m o r i t ac o n t e x t 环 以及映射环是a r m e n d a r i z 环推广了前人的某些结果，并给出一些新的结论 主要结果： 定理2 1 1 设a ，b 是r 的理想，如果r a 是a r m e n d a r i z 环，则r ( a ：b ) 是a r m e n d a r i z 环 定理2 1 4 设m 是a r m e n d a r i z 左月一模，则r a ( m ) 是a r m e n d a r i z 环 定理2 2 2 若y 是似，b ) 一双模，是( b ，a ) 一双模，那么c 是a r m e n d a r i z 环的充要条件是 ( 1 ) a ，b 是a r m e n d a r i z 环 ( 2 ) v 是a r m e n d a r i z 左a ，右男一模，彤是a r m e n d a r i z 左b ，右a 一模 ( 3 ) 若，( z ) a t x ，g ( x ) b 【司，则，( z ) y k 】nv 旧9 缸) = 0 ，i 矿p 】， ) i 1 9 ( z ) 吲= 0 定理2 3 1z 一整数环a 是a r m e n d a r i z 环 第三部分：我们定义了b a e r 模、q u a s i b a e r 模和p g 一b a e r 模使用了 环论和模论的一般方法，讨论了在一定条件下模的子模、商模、直积( 直和) 和 3 鲤呈竺尘! 丝墅：里璺竺堡壁 墨里竺! = 星垒! ! 堡 同态象保b a e r 性( q u a s i b a e r 性、p q 一b a e r 性) 又定义了关于理想a 的 广义q u a s i b o e r 环，研究了他和b a e r 环的一些性质。主要结果： 定理3 1 2 2 设，：rm _ r 是m 到上的可分裂满模同态若m 是 b a e r ( q u a s i b a e r ，p q b a e r ) 模，那么是b a e r c q u a s i b a e r ，p q b a e r ) 模 定理3 1 2 6 设r m 是m o r p h i c 模，那么下列条件等价： ( 1 ) m 是b a e r ( q u a s i b a e r ，p q b a e r ) 模 ( 2 ) m 的任意子模，k 若m n 垡k ，那么m k 是b o e r ( q u a s i b a e r ，p q b a e r ) 模 定理3 1 2 7 r 是a b e l i a n 环，如果r 尬，i a = 1 ，2 ，n ) 是b a e r 模， 则尬，i a 的直积i i i 尬是b a e r 模 定理3 1 2 9 r 是a b e l i a n 环，如果月坛，i a = l ，2 ，佗) 是b a e r ( q u a s i b a e r ，p q b a e r ) 模，则坛，i a 的直和。诓a 坛是b a e r ( q u a s i b a e r ，p q b a e r ) 模 定理3 2 2 1如果r 是关于a 的广义q u a s i b a e r 环，那么局m 是 q u a s i b a e r 环 定理3 2 2 2r 是r e d u c e d 环，那么r 是关于a 的广义q u a s i b a e r 环的 充要条件是r m 是关于a x 】的广义q u a s i b a e r 环 定理3 2 2 3 尺是关于理想a 的广义q u a s i b a e r 环，e 是冗中的中心幂等 元，那么e r e 是关于e a e 的广义q u a s i b o e r 环 定理3 2 2 4 兄是关于理想a 的广义q u a s i b a e r 环，：r _ t 是环同态， 那么f ( r ) 是关于f ( a ) 的广义q u a s i b a e r 环 定理3 2 3 1 如果r ，i a 是b a e r 环，则r ，i a 的直积1 7 i e a 冠是b o e r 环 4 叁! 堡! 型竺丝墅：呈璺竺堡壁亡墨垡塑生= 里兰! ! 銮 2a r m e n d a r i z 环 2 1商环的a r m e n d a r i z 性 研究环的性质很自然的就会想到一个环的商环是否继承这个性质2 0 0 3 年 l e e 和w o n g s 研究了一类商环即冗k ( ，) 的a r m e n d a r i z 性相对于一个理想 的零化子有以下的推广概念即两个理想的商 4 ，b 是r 的理想，那么a ，b 的商是似：b ) = 0 r ix b a 【1 2 1 当理想 a 是。时就有( a ：b ) = ( 0 ：b ) = 坛( 男) 、这时就是一个理想的零化子了由此 定义我们可得以下结论： 定理2 1 1 设a ，b 是r 的理想，如果兄a 是a r m e n d a r i z 环，则r ( a ：b ) 是a r m e n d a r i z 环 证明设a = r ( a ：b ) ，a = 口+ ( a ：b ) ，a r 若( a o + a l z + + k z n ) ( 若0 + 否1 z + + 占h z n ) = 0 ，则知o 妇n ，川：七啦b 似：j e 7 ) ，0 k 2 n ，从而对于任 意的u b ，有 a i b j u a ，0 墨k 2 n ( 1 ) o i d ：啦m = 0 ，0 七2 n ( 2 ) o i d n ，“j = 七 设， ) = a 0 + a l x + + z n ，9 ( z ) = b o r n + b l m x + + b m x n ，( z ) r m ，g ( x ) m n 由( 2 ) 知，0 ) 夕0 ) = 0 ，又m 是a r m e n d a r i z 左兄一模，知 q 6 i m = 0 0 i ，歹n 由m 的任意性可得o , b j m = 0 ，0 t ，歹仃所以， q a ( m ) 这样就知画弓= o ，0 i ，歹n 因此，r a ( m ) 是a r r n e n d a r i z 环 这样我们得出了一个环的商环是a r m e n d a r i z 环的外部刻划同时可以 将冗的理想，看作是左冗模r 的情形，那么推论2 1 2 也可看作此定理 的一个推论文献【1 4 】给出既约模的定义，称r 一模m 是既约模，如果( 1 ) 6 坐苎! ! 垒! 丝墅二里璺竺矍壁 墨里竺竺生= 星垒竺至 r m = 以啦ix , i 尬啦r ) 0 ，( 2 ) m 没有真r 一子模对于既约模这个 特殊模根据上面的定理我们就有以下的推论： 推论2 1 5 环r 有一个既约模m 是a r m e n d a r i z 左r 一模当且仅当环r 存在一个极大左理想、正则左理想t ，使得n i t 是a r r n e n d a r i z 环 、证明m 是月的既约左月一模，则任意0 m 尬t = ( 0 ：7 7 1 ) 是冗的极大 左理想，正则左理想，a ( m ) ( 0 ：m ) 由定理2 1 4 知r a ( m ) 是a r m e n d a r i z 环，所以r t = r ( o ：m ) 是a r m e n d a r i z 环 反之，t 是r 的极大左理想、正则左理想则存在只既约左模m ，m m 使 得t = ( 0 ：t 7 1 ) ，r t = r ( o ：m ) 是a r m e n d a r i z 环，并且m = r m ，所以对任 何，( z ) = a 0 + a l x + + z 竹，夕( z ) = 6 | 0 m + b l m x + + k 仇z n = 0 ，( z ) r m ，夕0 ) m z l ，如果，0 ) 9 0 ) = 0 ，那么e o i j s i i 打；k a t b j m = o ，0 k 2 n 所以 啦吩t , 0 k 2 n ( 3 ) 0 i o n ，i + j - - - k 设画= a i + z 弓= + 正那么取，0 ) = a o + a l z + + z n ，夕0 ) = 品+ b l x + + 6 n z n ) r t x ，由( 3 ) 得， ) 9 ) = 0 而r t 是a r m e n d a r i z 环， 可得啦t = ( 0 ：仇) ，0 i ，歹仃，即q 毛m = 0 ，0 i ，j n 所以m 是 a r m e n d a r i z 左r 一模 由既约模的特殊性我们马上可以得到下面的推论 推论2 1 6 若m 是冗既约模，则对任意的m m ，n ( o ：m ) 是a r m e n d a r i z 环当且仅当r ( o ：m ) 是a r m e n d a r i z 环 人们在讨论环的a r m e n d 也r i z 性时，自然会想到矩阵环r e g e 和c h h a w c h h a i r a 1 1 冗o cm = ( ：) 的加僦雠储出km 舭向 一撇= ( 吾：) 肌舭赢。栖螗删一一 对零同态的m o r 死口c 。m e 耐环c = ( b y ) ，讨论了c 与a b 之间的一些 7 坐翌! 翌尘! 丝堑：里璺竺堡壁 墨垡竺璺堑= 望璺! ! 至 性质关系m o t 记口c 。m 铭t 环的定义可参见【1 5 】我们记c = ( a ：) ，其中 a ，b 是有单位元的结合环按照 3 】中v i i i ，w m 的意义，可得 引理2 2 1y 是( a ，b ) 一双模，w 是( b ，a ) - 双模，则v h 是嘲，b m ) 一 麒聊嘶坝舭且( 嚣引嘶】 定理2 2 2 若y 是( a ，b ) 一双模，w 是( b ，a ) 一双模，那么c 是a r r n e n d 尬r i z 环的充要条件是 ( 1 ) a ，b 是a r m e r u t a r i z 环 ( 2 ) v 是a r m e n d a r i z 左4 右b 一模，w 是a r m e n d a r i z 左b ，右a 一模 ( 3 ) 若，( z ) a p 】，9 0 ) b p 】，则，0 ) y i x ny 陋】夕0 ) = 0 ，陋】，扛) r l 夕( z ) m = 0 证明必要性( 1 ) 成立显然 则t a o 三) + ( ：三) z + + ( 言兰) z 2 ，t ( 三：) + ( ：h 0 ) z + + 0 ：) 卅= ( ，宇：) ( 兰。苫) = ( 兰，( z ：f z ) = 。因为 c 是小m e 狮以( 山00 ) ( 0 0b 0 ) = 0 咄0 ) = 0 ，有 q b = o ，0sist ，0 歹n 由此得证v 是a r m e n d a r i z 左a 一模同理刚让 y 是a r m e n d a r i z 右b 一模。对于w 用同种方法易证其是a r m e n d a r i z 左b ， 右a 一模 ( 3 ) 若存在f ( x ) l ( x ) = 一f ，( z ) 9 ( 茹) 0 ，! ( z ) ，z ( z ) v i i i ，( 石) a 【z 】，夕( z ) ( 嚣引一源叫掣= ) + ( 搿m ) + ( 三2 苫) 刎= 。，而( ，宇兰) ( 三2 苫) = ( 三，( z 三z ) 。这 与g h 是a r m e n d a r i z 扑是矛盾阴所以f ( x ) v 例nv l z j 夕婶) = 0 同埋，肴 8 但是t ( 三夕三，) + ( r ，：，兰) 胡【( ，宇三) + ( r 三，兰) 叫= 。，而 ( 麓) 小三) 舢铡鼬僦 环是矛盾的所以m ， ) n 夕( z ) m = 0 一一一一 ，、 。 充分性设a ) p ) = 0 其中a ) = ( 撕a ov 6 0 0 ) + a 1 ：x + - - - + ( a n 之) z n c 纠；p c z ，= c o 三) + ic i 1 1 ) z + + ( ：乏：) z m c 纠设 0 ) = a o + a l x + + a ，1 ，2 0 ) = g 0 + c i t + - i - c x m a k 】， g l ( x ) = b o + b l x + + k z 住，晚( z ) = d o + d l x + + 厶z 仇b 【z 】， l l ( z ) = v o + 砚z + + z n ，1 2 ( x ) = l o + z 1 茹+ + k z m v i i i ， n 任) ：t 如+ 伽】z + + 伽n z n ，r 2 ( z ) = r o + f i x + + r m z m w i l l 由口 ) p ) = 0 司得 。= ( 妻篆；三暑) ( 窆竺；三暑) = f 0 ) ，2 0 ) 0 ) z 2 0 ) + 1 1 ( x ) 9 2 ( x ) r l ( z ) 如( z ) + 9 l ( z ) r 2 ( z ) 夕1 ( 互) 夕2 ( z ) 所以 ) 尼 ) = o ，吼 ) 虫 ) = 0 由a ，b 是a r m e n d a r i z 环可得 q q = 0 ，6 i 而= 0 ，0 i n ，0 歹m ) z 2 ) + 2 1 0 ) 夕2 0 ) = 0 所 以，l ) 2 2 0 ) = 一z 1 0 ) 现 ) 0 ) y p 】ny 陋】夕2 0 ) = 0 ，由v 是a r m e n d a r i z 左a 、右b 模，可得啦2 j = o ，u i 呜= 0 ， 铷i 勺= 0 ，6 i 0 = 0 ，0 i n ，0 歹m 0 i 礼，0 综上可得( 三 m 同理可得 ) = ( 钮；算奶m 譬而) = o 吲如。彳鲰所以c 鼬m e 当w = o ( v = 0 ) 时，正是上( 下) 形式三角矩阵环，那么这里就给出了形式 三角矩阵环是a r m e n d a r i z 环的充要条件而【2 ，t h e o r e m 2 2 】可以看作是此定 理的特殊情况 9 一， ，地饥 尘翌! ! 坐! 丝堑：里皇竺堡壁 墨垡竺堑= 星璺竺堑 2 3映射环 设a = u i f ：s z ) ，其中，是s 到z 的映射而加法，乘法定义 为：，+ g ：( ，+ 夕) ( 5 ) = ，( s ) + g ( 5 ) ，g ：( ，9 ) ( 5 ) = ，( s ) 夕( s ) 显然a 构成一 个环，称a 为z 一整数环 定理2 3 1z 一整数环a 是a - r m e 伽k i 名环 证明设，仁) = i o + z + + 厶z n ，9 0 ) = g o + g l x + + g x n a 【z 】 如果，( z ) g ( z ) = 0 ，则o s i j ，l ，嘶：七 纺= o ，0 k 2 n 欲证，五易= o ，0 ，j n 对于任意的3 s ，) = 南( s ) + ( s ) z + + 厶( s ) 矿，夕 ) = 卯( 5 ) + 夕1 ( 3 ) z + 4 - g n ( s ) x 拓z p 】由，( z ) 9 0 ) = 0 可得，( z ) - g ( x ) = 0 而 z 是a r m e n d a r i z 环，所以，五( 5 ) 彩( s ) = 0 ，0 i ，歹n ，在由s 的任意性可知 五g l = 0 ，0 i ，歹n 所以a 是a r m e n d a r i z 环 设r 是环，根据z 一整数环可以定义r 一环a = u l l ：s 一月) ，其加法和 乘法定义如上这样我们可以根据上面定理的证明方法得到下面结论： 推论2 3 2 如果r 是a r m e n d a r i z 环，那么月一环a 是a r m e n d a r i z 环 1 0 叁塑! ! 尘! 丝至：里型兰堡壁 墨窒竺! 二里璺! ! 堑 3 b a e r 模及广义q u a s i b a e r 环 3 1b a e r 模 8 1 1b a e r 模的定义 定义3 1 1 1 称左丑一模m 是b a e r 模。如果对于m 的任意子集都存 在孑= e r 使得k ( ) = r e 定义3 1 1 2称左r 一模m 是q u a s i b a e r 模，如果对于m 的任意冗一 子模都存在e 2 = e r 使得k ( ) = r e 定义3 1 1 3称左r 一模m 是p q b a e r 模，如果对于任意仇m ，由它 生成r 一子模都存在e 2 = e r 使得k ( ) = r e 上述定义对称的可定义右的情况。本文中b a e r 模、哗丽一b a e r 模和 p 口一b a e r 模分别指左b a e r 模，左q u a s i b o e r 模和左p q b o e r 模对于 b a e r 环兄的左理想，我们都能做成模r ，是b a e r 模所以类似的可以得到 q u a s i b a e r 模和p q b a e r 模的例子 3 1 2b a e r 模的性质 由定义显然可得 命题3 1 2 1b a e r ( q u a s i b a e r , p q b o e r ) 模的子模仍然是b a e r ( q u a s i b a e r ，p q b a e r ) 模 下面我们研究一下什么样的模同态保b o e r 性我们注意到可分裂的满( 单) 同态是特殊的模同态若，：m 一和，：n m 是模同态，且，= 1 n ，那 么我们称，是分裂满同态，是可分裂的单同态由此定义我们可得下面的结 论： 定理3 1 2 2 设，：rm _ r 是m 到上的可分裂满模同态若m 是 b a e r ( q u a 捌i b a e r ，p q b a e r ) 模，那么是b a e r ( q u a s i b o e r , p q b o e r ) 模 证明由，是可分裂满同态可知存在单同态，7 ：冗n _ rm 使得，= 1 j 、r 那么我们可得m = k e r r o ，仇，显然i m f 是m 的子模，所以，m ，7 是 b 唧( 邺矗一b a e r , p q b o e r ) 模又由，7 是单同态，可得n 竺，m ，因此 n 竺i m 是b a e r ( q u a s i b o e r ，p g b a e r ) 模 1 1 a r m e n d a r i z 环、b a e r 模及厂义q u a s i b a e r 环 研究模性质的时候我们自然会想到模的商所保持的性质这时我们从上定 理就可以看出模的直和项是一个非常特殊的子模用这个子模