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r o 代数及v a g u e 集的相似度理论 觏 韩诚 摘要长期以来，作为模推理的数学基础，模糊逻辑一直是人工智能界关注的 热点许多基于不同实际背景的模糊逻辑的形式演绎系统被提出，与之相对应的代 数语义方面的研究也硕果累累，其中基于连续t 一模的b l 代数和基于左连续t 一模 的m t l 代数的提出尤为引入注目 2 0 0 3 年裴道武教授证明了m t l 代数的一个 重要扩张一n m 代数与r o 代数等价，这就使得国内关于r 0 代数的众多研究成果 和方法可以被移植到n m 代数中去，进而丰富和完善m t l 代数理论有鉴于此， 本文详细考察了风代数的定义、性质、分类、存在性及其构造，通过对风代数簇 分类得到了系统的全部公理扩张，并证明了扩张系统的一完备性定理，为寻 找和构建基于风代数的应用模型作了必要的理论准备 另一方面，随着模糊信息处理技术的发展，对不确定信息融合的要求也越来越 高，v a g u e 集理论因其对模糊信息较强的表达能力而逐渐受到重视，被广泛应用于 人工智能的各个分支在它的诸多应用中，两个v a g u e 集间的相似性度量作为一项 关键技术成为专家们关注的焦点本文在对现有度量公式综合分析的基础上给出了 v a g u e 集相似度的规范定义，引入了反映距离与相似度本质联系的边界条件，提出 了基于h a u s d o r f f 距离的相似度度量新方法 全文共分三章： 第一章较为系统地研究了凰代数定义的简化及结构分类首先，通过对风代 数特征定理的详细分析，给出了代数目前为止一个最简定义，大大方便了风代 数的判定其次，基于确定集( v a l i d a t i o n 集) 和广义重言式理论，给出公式集f ( s ) 基于岛算子的一个1 6 类分划，并解决了该分划关于语义m p 运算及语义h s 运 算的封闭性问题接着，从r 0 代数的中点和真布尔元出发，得到了凰代数的一 个完全分类，进而，通过引入风代数根的概念清晰刻画了局部风代数( 也即不 含真布尔元的岛代数) 的结构最后，研究了非全序风代数的存在性及风代数 的构造方法，给出了局部凰代数的存在性判别定理通过本章的工作，为弄清风 代数的结构，明确风代数的分类，丰富风代数的研究手段，增强d 系统的推理 能力作了积极有效的探索 第二章结合风代数的完备性定理与系统的广义演绎定理，给出推理系 统中的代数演绎定理，并以此为工具讨论了形式推理的数值化问题，有效地简化了 推理步骤，降低了推理难度，并通过对一类特殊命题的考察说明了口推理系统的 局限性通过研究了岛代数簇的分类，给出了系统的全部公理扩张并证明了 扩张系统”，；。+ l 以及c ；。的一完备性定理及强完备性定理本章还分析了原 有的c + 系统强完备性定理证明中的错误，给出了一个全新的证明通过本章的工 作，扩展了形式推理的应用范围，为实现基于c + 系统及其扩展系统的自动定理证 明提供了可能 第三章基于对现有v a g u e 集( 值) 之间相似度度量方法的分析，给出了基本相 似度和强相似度的定义，通过对一例基于经典集间相似度的比较和分析，引入了能 反映相似度与距离内在联系的边界条件，减少了相似度选取与构造的盲目性与随意 性文中最后基于h a u s d o r f f 距离给出了一种相似度度量新方法，并将该方法应用 于离散论域及连续论域得到了若干对应的加权相似度的计算公式本章的工作为 提出和解决基于v a g u e 集的模式匹配和决策分析等问题作了理论上的准备，提出并 考察了v a g u e 集之间相似度的边界问题为吸收和利用f u z z y 集、r o u g h 集理论的 相关结果和思想提供了方便 关键词：r o 代数；系统；一完备性；v a g u e 集；相似度 2 r 0 - a l g e b r a sa n dt h e o r yo fs i m i l a r i t ym e a s u r e s b e t w e e nv a g u es e t s h a nc h e n g a b s t r a c ti nt h ef i l e do fa r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e ，f u z z yc o n t r o la n df u z z yi n f o r m a - t i o np r o c e s s i n gh a v eb e e nd r a w i n gd e e pi n t e r e s to fm a n yr e s e a r c h e r si nt h ew o r l d h o w e v e r ，i t sm a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o ni sn o ts op e r f e c t t os o l v et h ep r o b l e m ，m a n y f o r m a ld e d u c t i o ns y s t e m sb a s e do nd i f f e r e n tp r a c t i c a lb a c k g r o u n d sa r eb u i l tu p ，a n d t h ea l g e b r a i cs e m a t i c sw i t hr e s p e c tt ot h o s ef u z z yl o g i ca l s or e a c hm a n ys i g n i f i c a n t r e s u l t s a m o n gt h e m ，b l a l g e b r a sa n dm t l a l g e b r a sb a s e do nc o n t i n u o u st - n o r m s a n dl e f t - c o n t i n u o u st - n o r m sa r em o r em e a n i n g f u l n m a l g e b r a s ，a sa ni m p o r t a n t e x t e n s i o no fm t l a l g e b r a s ，i sp r o v e dt ob ee q u i v a l e n tt o t o a l g e b r a s ，w h i c hw a s p r o p o s e db yp r o f e s s o rw a n go u o - j u ni n1 9 9 8b a s e do nc + l i n d e n b a u ma l g e b r a s t h i sc o n c l u s i o nm a k e si tp o s s i b l et h a tt h er e l a t i v e l ym a t u r et h e o r i e sa n dm e t h o d s o fr o a l g e b r a sc a nb et r a n s p l a n t e di n t on m a l g e b r a si nap a r a l l e l i n gw a y i ti sa s i g n i f i c a n ts t e pt o w a r d st h ep e r f e c t i o na n dm a t u r i t yo ft h et h e o r yo fm t l - a l g e b r a s s p i r e db yi t ，t h i sw o r kd e v o t e st oe x t r a c tt h ef u n d a m e n t a lc h a r a c t e r i s t i c s ，i tc o n c e r n e dw i t hs i m p l i f y i n gt h ed e f i n i t i o n ，c l a s s i f y i n ga n dc o n s t r u c t i n go fr o - a l g e b r a s b yw o r k i n go nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nr 0 一a l g e b r a sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gl o g i c s y s t e mc + ，s o m ev a l u a b l er e s u l t sh a v eb e e nd e v e l o p e d ，i ti n c l u d e st h er e d u c i n go f t h ec o m p l e x i t yo ft h ef o r m a l i z e dr e a s o n i n gi ns y s t e mc ：t h ea x i o m a t i z i n go fa l l e x t e n s i o n so fs y s t e mc + a n dt h ed i s c u s s i n go fi t se - c o m p l e t e n e s s o nt h eo t h e rs i d e ，a so n eo ft h eh o t s p o t si nt h ef i e l do fi n f o r m a t i o na m a l g a m a t i o nt e c h n o l o g y , f u z z yi n f o r m a t i o np r o c e s s i n gn e e d sm o r ep o w e r f u lt o o l st o r e p r e s e n ta n dh a n d l ei n f o r m a t i o nw i t hu n c e r t a i n t y v a g u es e t sw a sp r o p o s e db y g a na n db u e h r e ri n1 9 9 3 ，a n dh a sb e e na p p l i e di nm a n yf i e l d so fa i ，s u c ha s ， m a c h i n el e a r n i n g ，d e c i s i o na n a l y s i s ，k n o w l e d g er e p r e s e n t a t i o na n dm o d em a t c h i n g ， e t c a m o n gt h o s ea p p l i c a t i o n s ，t h ei n t e r e s t i n gs p o ti sh o wt om e a s u r et h es i m i l a r - i t yb e t w e e nv a g u es e t s i ti ss u c ha l le s s e n t i a lk e yt e c h n o l o g yt h a ti tg a i n e dc l o s e a t t e n t i o no fm a n yr e s e a r c h e r e s m a n ym e t h o d sw e r ep r e s e n t e df o rt h em e a s u r eo f s i m i l a r l yd e g r e e b a s e do nt h ea n a l y s i so fk n o w nr e s u l t s ，t h ew o r kd e s c r i b e di nt h i s t h e s i sp r o v i d e st h en o r m a ld e f i n i t i o no ft h es i m i l a r i t yd e g r e eb e t w e e nv a g u es e t s m o r e o v e r ，an e wm e t h o dw a sp u r p o s e db a s e do nh a u s d o r f fd i s t a n c e t h i sw o r ki sd e s c r i b e di nt h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h es i m p l i f y i n go ft h ed e f i n i t i o no fr o a l g e b r a si ss t u d i e ds y s 3 t e m a t i c a l l y b a s e do nt h ed e t a i l e da n a l y s i so ft h ec h a r a c t e r i s t i ct h e o r e mo fr 0 一 a l g e b r a s ，t h em o s ts i m p l i f i e dd e f i n i t i o no fr 0 一a l g e b r a si sd e v e l o p e d ，a n dt h ec o m p l e x i t yo fm a k i n gj u d g m e n to fr o a l g e b r a si sr e d u c e dg r e a t l y t h en e x t ，c o m b i n i n g w i t ht h ec o n c e p t so fv a l i d a t i o ns e t sa n dt h et h e o r yo fg e n e r a l i z e dt a u t o l o g i e s ，a 1 6 c l a s s i f i c a t i o np a r t i t i o no ft h ef o r m u l as e t sf ( s ) i sw o r k e do u t ，a n dt h ep r o b l e m ， w h e t h e rt h eo p e r a t i o n sm pa n dh sa r ec l o s e dw i t hr e s p e c tt ot h i sp a r t i t i o n ，i st o t a l l y s o l v e d a f t e rt h a t ，u t i l i z i n gt h ef i x p o i n ta n dp r o p e rb o o l e a ne l e m e n t s ，ac o m p l e t e c l a s s i f i c a t i o no fr o a l g e b r a si so b t a i n e d f i n a l l y , w ed e s c r i b et h es t r u c t u r eo fl o c a l r 0 一a l g e b r a sc l e a r l ya n dt h ee x i s t e n c eo fn o n t o a l l yo r d e r e dr 0 一a l g e b r a s t h r o u g h c l a r i f y i n gt h es t r u c t u r ea n dt h ec l a s s i f i c a t i o n so f 岛一a l g e b r a s ，t h ew o r ko ft h i st h c s i s p r o v i d e dt h et h e o r e t i cp r e p a r a t i o nf o rt h es e a r c h i n go ft h eg e n e r a lm o d e l sb a s e do n 风一a l g e b r a s ，a n dt h ep r e s e n ts t u d y i n gm e t h o d sw i l lb ee x p a n d e dg r e a t l y i nc h a p t e r2 ，t h r o u g ht h ec o m b i n a t i o no fc o m p l e t e n e s st h e o r e mo nr 0 一a l g e - b r a sa n dg e n e r a l i z e dt h ed e d u c t i o nt h e o r e mo fc + t h ea l g e b r a i cd e d u c t i o nt h e o r e m i sb u i l tu p i tp r o v i d e sap o w e r f u lt o o lt ot r a n s f o r mf o r m a l i z e dd e d u c t i o n si n t o a l g e b r a i cf o r m s a n ds i m p l i f i e st h er e a s o n i n gs t e p sg r e a t l y t h el i m i t a t i o n o fc r e a s o n i n gs y s t e mi sa l s oe x p l a i n e d ，i ti sa c h i e v e db yi n v e s t i g a t i n gs o m ep a r t i c u l a r p r o p o s i t i o n s f u r t h e r m o r e ，u t i l i z i n gt h er e s u l t so ft h ev a r i t i e s o fr 0 一a l g e b r a s ，a l l a x i o m a t i ce x t e n s i o n so fc + a 4 er e a c h e d ，a n dt h ee x t e n s i o ns y s t e m s ( ”，；n + 1 ，；n ) a r ep r o v e dt ob ee c o m p l e t e da n ds t r o n gc o m p l e t e d f i n a l l y ，ar e v i s e dv e r s i o no f t h ep r o o fo fs t r o n gc o m p l e t e n e s st h e o r e mo nc + i sp r o v i d e d i nc h a p t e r3 ，t h en o r m a ld e f i n i t i o no ft h es i m i l a r i t yd e g r e eb e t w e e nv a g u es e t s ( o re l e m e n t s ) i sp r o p o s e db a s e do ns o m ep r e s e n tm e t h o d s m o r e o v e r ，t h eb o u n d a r y c o n d i t i o ni sw o r k e do u tt h r o u g ht h ei n v e s t i g a t i n go nt h ed i f f e r e n c e sa n dr e l a t i o n s h i p s b e t w e e nt h ed i s t a n c ea n dt h es i m i l a r i t y ，a n da ne x a m p l ec o n e r n e dw i t ht h es i m i l a r t y b e t w e e nc l a s s i c a ls e t sa l s oh e l p e dt oc l a r i f yt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n k n o w i n gt h e b o u n d a r yc o n d i t i o n ，t h eb l i n d n e s si nc o n s t r u c t i n ga n dc h o o s i n gap r o p e rs i m i l a r i t y m e a s u r ei ss u r e l yr e d u c e d f i n a l l y , an e wm e t h o db a s e do nh a u s d o r f fd i s t a n c ei se s - t a b l i s h e d ，a n dt h ec a s eo fc o n t i n u o u s ，o rd i s c r e t eu n i v e r s eo fd i s c o u r s ei sc o n s i d e r e d ， r e s p e c t i v e l y k e yw o r d s 风一a l g e r a s ；s y s t e mc + ；一c o m p l e t e n e s s ；v a g u es e t ；s i m i l a r i t y m e a s l l r e 4 学位论文独创性声明 y 9 0 0 8 2 4 木人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：重垄丛-日期：! ! ! ：! ： 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：嘲械日期： z 一 b ) - - 一口vb ) = 1 这里1 是( m ，墨) 中的最大元，则称m 为r 0 代数，记作m 亿o 若( m ，v ，_ ，0 ，1 ) 满足除( m 6 ) 之外的所有条件，则称m 为弱岛代数，记作m 7 瑶 以下常用a 表示，o 又，由为逆序对合对应知d em o r g a n 对偶律成立 7 l 】， 即( a v6 ) = a 7 a6 ，( a a6 y = a v 6 ， 定义1 1 2 7 9 若m 是全序的风代数，则称m 为一个凰一链，记作m 死； 命题1 1 3 【7 q 设m 冗r ，则 f1 n b = 风( ，b ) = 1 一 ( n ，bem ) i a vb ，否则 称此_ 运算为岛蕴涵算子 例1 1 4 【6 7 】设b 是b o o l e 代数，对b 中任二元n 与b ，规定一a = a ，这里a ， 是a 的补元规定a _ b = a 7vb ，则b 成为墙代数特别地，对于二元b o o l e 代 4 数，我们记作岛 例1 1 5 【6 7 ，6 8 】取m = 0 ，1 ，v a ，b 0 ，1 】，令，o a t 1 o ，a v b = m a x f a ，6 ) ， f1 n m 2 是映射，若c p 保，v ，- - - 运算， 则称i p 为同态如果i p 还是双射，则称妒为同构，记作 矗鱼 显然，眠为的子代数事实上，我们有： 命题1 1 1 0 若m 为形的竹元子代数，则m 竺w 。 命题1 1 1 1 6 8 】设 舰卜，) 是一族风代数，m = 兀尬是其直积在m 中点式地定义偏序以及一，v ，_ ，则m 构成一个墙代数，称为 m d i ，) 的 乘积凰代数 命题1 1 1 2 1 6 8 , 7 9 】每个风代数都同构于一族全序风代数的乘积风代数的某 子凰代数 定义1 1 1 3 若对任一可数序列( o 。) 。 l m 冗o ，均有审n 。m 且 m n = 1 a 。m ，则称m 为凰口一代数 注1 1 1 4 岛代数m 也可看作( 一，- ) 型代数事实上，我们有如下结论 t o o 】： a v b = 、( ( ( ( o _ ( g 6 ) ) _ a ) - a ) 叶一( ( o _ b ) - 6 ) ) v 运算用、，_ 运算表示的方式并不唯一，它还可以表示成 avb = 、( ( ( ( o _ b ) _ a ) - ( ( 6 _ g ) _ o ) ) _ 、( ( o _ b ) _ 6 ) ) 下面，我们基于剩余格的观点给出风代数的另一等价描述 5 定义1 1 1 5 6 7 】设p 是偏序集，p 上的二元运算。与_ 叫做互为伴随，若以 下条件成立： ( 1 ) o ：pxp - - - 是单调递增的 ( 2 ) _ ：pxp - - p 关于第一变量是不增的，关于第二变量是不减的 ( 3 ) a ob c 当且仅当a b _ c ，其中a ，b ，cep 这时( o ，_ ) 叫做p 上的伴随对 定义1 1 1 6 【6 7 1 有界格l 叫剩余格，若 ( i ) l 上有伴随对( o ，- ) ( i i ) 是带单位元1 的交换半群，这里1 是l 的最大元 文献【2 2 在讨论幂零极小( n m ) 逻辑系统时，给出了n m 一代数的定义： 定义1 1 1 7 2 2 】m 称为n m 一代数，若对一切a ，b m ，以下条件成立： ( 1 ) 是一个剩余格，这里v ，a 是格上的并、交运算，圆 与一互为伴随 ( 2 ) ( a _ b ) v ( b - a ) = 1 ( 3 ) ( a ob _ 0 ) v ( a ab _ + a b ) = 1 ( 4 ) ( a 一0 ) _ 0 = a 命题1 1 1 8 4 5 | a o 代数与n m 代数具有相同的代数结构 特别地，若me 冗o ，记a o b = ( a 一) ，o = a - - 40 ，则 为剩余格 i t s 】当_ 算子为r o 蕴涵算子时，易得到它的伴随。：口。6 ： o ，。+ 6 s1 ， 【口ab ，o + b 1 1 1 2 基本性质 命题1 1 1 9 1 6 7 , 6 8 1 设me7 ，a ，b ，c m ，则以下性质成立： ( p 1 ) a _ + b = 1 当且仅当a b ( p 2 ) a b - - - + c 当且仅当b a - c ( p 3 ) avb - - c = ( a - c ) a ( b _ c ) ，aab - - c = ( n _ c ) v ( b _ c ) ( p 4 ) 若b c ，则a 一b a _ c 若a b ，则b - - 9 c a _ c ( p 5 ) a vb a _ + b ( p 6 ) ( a b ) v ( b _ + a ) = 1 ( p 7 ) a _ ( b _ a ) = 1 ( p 8 ) a vb = ( ( n - - + b ) - - b ) a ( ( 6 - - + a ) _ n ) 6 ( p 9 ) a a 7 茎b v 6 ， ( p i o ) a _ b a vc _ b vc ，a _ b a ac b a c ( p 1 1 ) a _ b ( a _ c ) v ( c 斗6 ) 命题1 1 2 0 1 6 s 设m 冗o ，a ，b ，c m ，则以下性质成立： ( p 1 2 ) ( ( n - b ) 一c ) - - - ( ( ( 6 _ a ) _ 十c ) _ c ) = 1 ( p 1 3 ) ( a _ b ) - - + ( b - - + a ) = b _ a ( p 1 4 ) 、( 0 _ b ) - - + ( b _ a ) = 1 证明( p 1 2 ) 的证明见文【2 2 1 ；( p 1 3 ) 可由( p 8 ) 和( p 9 ) 证得；令c = 0 ，则由 ( p 1 2 ) 可得( p 1 4 ) 命题1 1 2 1 6 8 ，t s l 设m 冗0 在m 中引入两个新的算子。与 如下： a ob = a _ b ，a b = ( a - 6 ，) ，a ，b m 则( p 1 5 ) ( m ，o ，0 ) 是以0 为单位的交换半群 ( p 1 6 ) ( m ，+ ，1 ) 是以1 为单位的交换半群 ( p 1 7 ) 0 与十都是单调算子 ( p 1 8 ) a b a a6 avb aob ( p 1 9 ) a b c 当且仅当a b - c ( p 2 0 ) a b _ c = a - 4 ( b _ c ) ，a _ ( b _ a b ) = 1 ( p 2 1 ) a = 0 ，a oa = 1 ( p 2 2 ) r t a = 2 a ，a “= a 2 ，这里n 2 n a 2 1 里：鱼竺，o “2 9 ! ：1 9 。个。n 个n ( p 2 3 ) a ( b vc ) = b ) v ( a c ) ( p 2 4 ) ( a v6 ) “= a “vb “，( a 6 ) “= 扩a 护 ( p 2 5 ) 2 ( a vb ) = 2 a v2 b ，2 ( a ab ) = 2 a a 2 b ( p 2 6 ) a 2 = 1 当且仅当a = 1 ，2 a = 0 当且仅当a = 0 ( p 2 7 ) n 2 - a ( b - + c ) = ( 0 2 _ b ) _ ( d 2 斗c ) 在证明岛代数的一些复杂性质时，风代数的完备性定理发挥了至关重要的 作用，文献【6 8 给出了这一定理的详细证明，这里对此作一简要介绍： 7 定义1 1 2 2 6 8 】设3 7 l ，z 。是n 个不同的符号，x = 扛1 ，z 。) ，f ( x ) 是 由x 生成的( ，v ，- y ) 型自由代数，这里，为一元运算，v 与_ 是二元运算，设 f ( x l ，z 。) f 伍) ，则称形如 的等式为岛等式这里= 与1 都是符号，f ( x l ，z 。) 称为风表达式设 m 冗o ，若对m 的任意n 个元a 1 ，a 。恒有 了( 0 1 f 一，a 。) = 1 m ，a h - ，a 。m ，( 1 1 2 ) 这里1 吖是m 中的最大元，= 为等号，且7 作用于a - ，a 。的方式恰如，作用 于x - ，x 。的方式，则称由式( 1 1 1 ) 表示的风等式在场代数m 中成立 定义1 1 2 3 已知风表达式f ( x l ，x 。) 和g ( x l ，z 。) ( msn ) ，称 f ( x l ，一，。) = g ( x l ，x 。)( 1 1 3 ) 为风方程若对风代数m 的任意礼个元a ，a 。恒有 了( o l ，一，a 。) = 可( o l ，a 。)( 1 1 4 ) 成立，则称风代数m 满足由式( 1 1 3 ) 表示的风方程，或称凰方程( 1 1 3 ) 可 被岛代数m 满足显然，岛等式亦可看作是一种特殊的岛方程 命题1 1 2 4 ( r o 代数的完备性定理) 侧一个风等式在每个r 0 代数中都成立 当且仅当它在风单位区间 o ，1 中成立 推论1 1 2 5 一个凰方程可被每个凰代数满足当且仅当它可被凰单位区间 0 ，1 】满足 证明因为( 1 1 4 ) 式等价于( 了- 可) a ( _ - 了) = 1 m ，故由命题1 1 2 4 即证 下面，我们考察r oo - 一代数的相关性质 命题1 1 2 6 在每个风口一代数中以下性质成立： ( 1 ) o o 人a 。= ( aoa 。)( 2 ) a v 。= v ( a a 。) n = ln = ln = ln = l ( 3 ) o a ( va 。) = v ( a aa 。)( 4 ) av ( a 。) = ( a va 。) n = ln = ln = ln = l ( 5 ) ( va n ) = n ： 证明( 1 ) 因为o 。天a n n oa m所以。天a n 兰天( noo 。) ， n = ln = l t l = i r f 证 ( no n 。) noan 。即可 n = l n = 1 若 ( on 。) t ，则。o t ，即n o 。2t ，故o ：_ t 即 n = 1 。o o n ：t _ d ，o 。2o _ n ) ，得到 n 。0 一n ) 7 ，进而o o 口。n o ( t - - + o ) 7 = n = ln = l 口- ( t - o ) = ( t - n ) - n t 故 ( o o n 。) n o 。 ( 2 ) 类似可证 ( 3 ) 首先证明na ( v ) = v ( 口a 8 。) 在全序岛a 一代数中成立 n = l n = 1 m 若o vo 。，则2n 。= 1 ，2 ，) ，故右式= v ( a a n 。) = va n = 左式 n = ln = ln = t 若o vo 。，则存在n 口故右式= 【v ( a a ) 】v ( a o k ) = o v v ( a o 。) = n = l n = l n = l n c k n k n = o ( v 口。) = 左式 其次，我们证明( 3 ) 在任一凰盯一代数m 中成立由命题1 1 1 2 知m 同构于 全序风代数尬0 i ) 的乘积咒。代数的子代数，设m = 兀尬，n = ( n i ) i e i ，o 。= i e l 0 0o oo o ( 口。) i ，贝0 ga ( v 。) = ( a i ) i e ，a ( v ( o 。i ) i ，) = ( 口i ) i e ，a ( vn 。；) f i = 【a i n = 1n = 1n = l 0 0o 。 ( v o 。) 】f ，_ v ( n i n 。，) k i = v ( a i a c e n i ) 训= v ) i a ( a n l ) t i _ v ( a a a 。) 在证明( 4 ) 之前，我们先给出( 5 ) 的证明如下： 因为( va n ) 当且仅当vo 。t ， n = ln = l 当且仅当对任意n ，。曼t 当且仅当对任意n ，n ：2t ： 当且仅当 n ：t ， n = j m 所以( vo 。) = 下面我们利用( 3 ) 和( 5 ) 来证明( 4 ) 。v ( o 。) = ( 。7a ( an 。) ) = ( o av ) n = 1n = 1n = 1 o oo oo 。 = ( v ( 0 ， o ：) ) = ( 。an ：) 7 = ( a vn 。) 注1 1 2 7 在凰o - 一代数中，以下等式未必成立： ( 6 ) aovo 。= v ( n on 。)( 7 ) o 十 o 。= ( o 十o 。) 事实上，以 0 ，l j 为例，取n = j ，o 。= 焘，= l ，2 ，) ，显然nov n 。= o 。 oo o 。 i 1 _ i 1 = 1 ，而v ，( oon n ) = v ，( _ 赤) = v ，j 1 = j 1 1 ，故( 6 ) 不成立另取 g o = ，n 。= 器，则o + ； ，a n = ( 一+ ) ，= 0 ，而；，( n + 。) = 天，( 一+ 赤) ，= n = ln = in = i ； ： 0 ，故( 7 ) 不成立 n = i 而在基于连续t 模的m v 盯一代数中，性质( 1 ) 一( 7 ) 均成立 3 】 1 2 代数的简化定义 由于凰代数公理系统并不是独立的，因而有必要对其进行简化文献【7 8 】 中给出了风代数的第一特征定理和第二特征定理，并证明了各自的独立性然而 事实上，第一特征定理中的条件并不相互独立本节将给出修正的特征定理并证明 其独立性，从而得到( 弱) 凰代数的一个极为简洁的定义 1 2 1r o 代数的特征定理及其独立性 首先，给出文献【7 8 】的主要结果 定理1 2 1 ( 第一特征定理) 设m 是有界分配格，、是m 上的逆序对合对应，- 是m 上的二元运算，则( m ，、，v ，_ ) 7 的充要条件是条件( m 1 ) ，( m 2 ) ，( m 3 ) ，( m 4 ) ， ( m 5 ) ，( m 6 ) 成立其中 ( m 2 ) 1 _ a = a ( m 5 ) a _ b vc = ( a _ b ) v ( a _ c ) 定理1 2 2 ( 第二特征定理) 设m 是有界分配格，是m 上的一元运算，- 是m 上的二元运算，则( m ，v ，_ + ) 冗。的充要条件是性质( m 1 ) ，( m 4 ) ，( m 5 ) 7 ，( m 6 ) ，( p 1 ) 成立 事实上，上述两特征定理中的部分条件可以去除，即有如下更为简洁的特征定 理： 定理1 2 3 ( 凰代数特征定理) 设( m ，0 ，1 ) 是有界格，一和_ 分别是m 上的 一元运算和二元运算，则( m ，v ，_ ) 冗。的充要条件是( m 1 ) ( m 2 ) 7 ，( m 3 ) ，( m 5 ) ，( m 6 ) 成立 证明必要性显然成立 充分性由定理1 2 2 知，只需证明( m 4 ) ，( p 1 ) 以及分配律成立即可首先，证 明性质： v a ，b ，c m ，a _ b s ( b - c ) _ ( a _ c ) ( 1 2 1 ) 事实上，由( m 1 ) 和( m 3 ) 得： a _ b = 而_ 、ns ( ，c _ 6 ) _ ( ，c _ 、n ) = ( b _ c ) - ( a _ c ) 1 0 其次，由式( 1 2 1 ) 和( m 2 ) 7 知1 = 1 _ 1 ( 1 一n ) _ ( 1 _ + n ) = n - o ，故 n _ o = 1 即( m 2 ) 成立 再次，证明( p 1 ) 成立若o b ，则b = ovb ，由( m 5 ) 7 和( m 2 ) 得： o _ b = n - n vb = ( o - - + n ) v ( o _ b ) = 1 反过来，设o - - + b = 1 ，则由( m 2 ) 7 和( 1 2 1 ) 得 n = 1 _ n ( o _ b ) _ ( 1 - - 4 b ) = 1 - - 4 b = b 这就证明了( p 1 ) 接下来证明( m 4 ) ，分两步进行 1 ) 因为o b 错o - - + b = 1 骨一6 - - + 一o = 1 舒一6 一n ，所以、是 m 上的逆序双射又、0 = 1 ，、1 = 0 ，故o = 1 一。= 、口_ 0 ，一o = 口_ 0 = ， 1 1 p ，是对合的由，是m 上的逆序对合对应知d em o r g a n 对偶律成立，即 一( o v6 ) = 一o 一6 ，一( o ab ) = 一o v 、6 2 ) 由( m s ) 和1 。知 ( p 3 ) ab c = 、c 、( o a6 ) = 、c _ 、o v 、6 = ( 一c ，o ) v ( ，c - , b ) = ( o _ c ) v ( b - - + c ) 由( m s ) 和( p 3 ) 7 立刻可得 ( p 4 ) 若nsb ，则o _ c = o ab _ c = ( o _ c ) v ( 6 - c ) b _ c 又，由( m 2 ) 和( l 2 1 ) 有o