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b a n a c h 空间上下半连续函数的线性扰动p - s 条件 摘要 本文首先回顾了变分原理，最优化，扰动优化，扰动强优化和p s 条件发展 的历史过程，从而自然引入了线性扰动p - s 条件的概念接着对本文所要用到的 基本概念作了个简单的介绍，最后通过强暴露点，强暴露泛函和非凸函数凸化 的方法给出了本文主要定理的证明 主要结果如下： 1 举例说明了线| 生扰动p s 条件严格弱于p s 条件； 2 给出了定义在具有r n p 的b a n a c h 空间上有下界的下半连续函数的线性扰动 p s 条件成立的特征条件 关键词：扰动p s 条件；r n p ；b a n a c h 空间 b a n a c h 空间上下半连续函数的线性扰动p - s 条件 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s sl i n e a rp e r t u r b e dp a l a i s - s m a l ec o n d i t i o nf o rr e a l v a l u e d f u n c t i o n so i lb a n a c hs p a c e sw i t hr a d o n - n i k o d 夕mp r o p e r t y ( r n p ) w em a i n l y s h o wt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： 1 b ya ne x a m p l es h o w i n gt h a tl i n e a rp e r t u r b e dp sc o n d i t i o ni ss t r i c t l yw e a k e r t h a nt h ep sc o n d i t i o n ； 2 i nt e r m so fs t r o n g l ye x p o s e dp o i n t s ，w ep r e s e n tac h a r a c t e r i z a t i o nw h i c hg u a r a n - t e e sl i n e a rp e r t u r b e dp a l a i s - s m a l ec o n d i t i o nh o l d sf o rl o w e rs e m i c o n t i n u o u sf u n c - t i o n sd e f i n e do nac l o s e db o u n d e ds e to fab a n a c hs p a c ew i t ht h er a d o n n i k o d ：尹m p r o p e r t y k e y w o r d s ：p e r t u r b e dp sc o n d i t i o n ；r a d o n n i k o d y mp r o p e r t y ；b n a n c h s p a c e 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成果， 均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担由此论文而产 生的权利和责任 责任人( 签名) ：虚受芳 2 t ，0 7 年手月笋日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留，使用学位论文的规定 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的 纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编 入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版保密的学位论文在解密后适用本规定 本学位论文属于 1 保密( ) ，在年解密后适用本授权书 2 不保密( ) ( 请在以上相应括号内打“ ) 作者签名：左轰芳日期：矽唧年钼膨日 导师答铆降盼日期励7 移m 日 b a n a c h 空间上下半连续函数的线性扰动p s 条件 1 第一章绪论 众所周知，p s 条件在非线性分析中对于各种主题都起了很重要的作用一 般说来，p s 条件可以作为实值函数强最优化的解释： 个定义在b a n a c h 空间x 的子集a 上有下界的下半连续实值函数，被 称为满足p - s 条件，如果对于x 中的每个序列 z n ) ，( z n ) 啼i n f a ，蕴涵 着 z n 收敛，也就是说，的每卟殴d 讹序列都收敛 很明显，p s 条件等价于下面的表述； ， ( 1 ) d 存在知咒使得八x o ) 2 噘n ii i ) 当口一o + 时d i a m s ( 0 1 ) 一0 s ( q ) 表示 z a ：f ( x ) i n f a ，+ a ) 的水平集从( 1 ) 中很容易可以看出i i ) 蕴含着i ) 如果，的有效定义域在个有限维空间x 中是个有界的闭集，i ) 自然成立如果x 是个无穷维空间，那么即使，在个闭有界集中是连续的 线性函数i ) 也不再成立 三十年来，优化问题在许多学科分支上都有所涉及，并且日益显现出了它的 重要性，如控制论，决策论，数学规划等领域都有很多问题考虑优化性我们将某 类实值函数的最小值( 最大值) 点存在问题称为优化问题在有限维优化中， 存在性常常是显而易见的，比如，定义在个有界闭集上的下( 上) 半连续实值函 数的最小( 大) 值点的存在性总是可以证明的，原因在于它们的定义域是紧的； 但在无穷维空间中，经典的优化常常是不存在的，而逼近论，变分学，最优控制等 b a n a c h 空间上下半连续函数的线性扰动p - s 条件 2 都面临着处理无穷维空间上非光滑函数极值问题，就不能利用通常的变分原理来 求极值应满足的条件 1 9 7 2 年e k e l a n d s 1 9 2 0 变分原理问世以来为匕述极值( 最优化) 问题开拓 个崭新的领域，并且对许多应用来说都是本质和深刻的，它的有效性使扰动优 化在无穷维空间的最优化中占有中心地位在无穷维空间中，经典的优化常常是 无意义的，这就迫使我们退而求其次考虑扰动最优化，扰动最优化的出发点很简 单。假如给定个下半连续有下界的广义实值函数，要证明存在个任意小的 “扰动函数h ”，使得，+ h 在它的有效定义域内达到最小值，这就是扰动最优 化它在无穷维动力系统，非线陛分析，b a n a c h 空间几舸学等方面都有重要作 用扰动最优化的实质是变分问题，也就是说，对于给定的定义在b a n a c h 空间 x 上有下界的下半连续函数，对任意的e 0 ，我们要求个l i p s c h i t z 范数 小于的l i p s c h i t z 函数h 使得，十h 达到最小值由于它在很多学科上都可能有 广泛的应用前景，所以关于这种扰动优化问题的存在陛问题很早就引起了人们的 关注，很多人为此作了有用的工作一般而言，在任何b a n a c h 空间或完备的度 量空间， e k e l a n d s 变分原理均可以保证这类下半连续有下界的广义实值函数的 扰动优化的存在性，但当空间x 具有某种光滑 生的等价范数时，e k e l a n d s 变分 原理中的扰动函数h 却不具有此种光滑陡，这样在应用上有很大的局限性 自e k e l a n d 7 s 变分原理 1 9 2 0 】以来，数学家们在b a n a c h 空间中讨论了各种 各样的扰动优化，不可否认人类许多工作通常都会和最优化联系在起 1 9 7 8 年，s t e g a l l 3 5 1 率先考虑了强扰动最优化； 设x 是个b a n a c h 空间，c 为x 上具有r n p 的闭凸有界子集，是c b a n a c h 空间上下半连续函数的线性扰动p - s 条件 3 上下半连续有下界的函数，则对任意s 0 ，都存在忙40 0 ，都存在l i p s c h i t z 范数小于的l i p s c h i t z 函数k 使得 l ( 2 ) ，+ h e 在点z 。处达到强最小值； l l 税) 对满足i ) 的( k ，z ) ，当_ o 时 如) 收敛 因此介绍个关于扰动p s 条件的概念是自然的 定义：假设，是定义在b a n a c h 空间x 上的个广义实值函数： i ) 如果( 2 ) 成立，我们说，满足扰动p s 条件； i i ) 如果( 2 ) 对形成x + 的h 成立，我们说，满足线性扰动p s 条件； i i i ) 如果( 2 ) 对凸函数k 成立，我们说，满足凸扰动p s 条件 本文给出了如下结果： 这篇文章的目的是专门用来寻找定义在具有r n p 的b a n a c h 空间上的下半 连续有下界的真函数关于线性扰动p s 条件下的个挣陛定理在第2 部分，我 们首先回顾了些定义和定理，如r n f ，强暴露点和强暴露泛函，p s 条件等 概念，接着在最后部分的3 1 举例说明了扰动p s 条件是严格弱于p s 条件 的；在3 2 中，我们给出并证明了定义在具有r n p 的b a n a c h 空间上的下半连 b a n a c h 空间上下半连续函数的线性扰动p - s 条件 5 续真函数的线性扰动p s 条件的特性定理 b a n a c h 空间上下半连续函数的线性扰动p - s 条件6 第二章基本概念与性质 我们首先回顾下些预备知识，这些预备知识包含了定义，命题等s 它们 基本贯穿了我们论文的始终不做特别声明x 总表示b a n a c h 空间，表示自 然数集，r 表示实数集，d i a m a 表示x 中的集合a 的直径，c = 历a 代表a 的闭凸包，x 表示x 的对偶空间，d o m y 兰【z x ：， ) 0 及，( z o ) i n f f ( x ) ：z x + ，那么对任意0 入 0 ，都 存在占 0 ，z + x + 使得切片的直径 s ( b ，z 4 ，6 ) 三 z b ：( z ，z ) s u p ( x 4 ，z ) 一6 ) 名b 小于e 下面举例说明了扰动p s 条件严格弱于p s 条件 命题3 1 2假设，是个下半连续有下界的广义实值真函数，且它的有效定义 域d o m f 是有界的，如果f 满足p s 条件，则，就满足扰动p s 条件；反之不成 立 证明：假设，满足p s 条件，也就是说，x 中的每个序列 z n ) 满足，( z 竹) 收敛到 b a n a c h 空间上下半连续函数的线性扰动p - s 条件 1 0 i n f x ，对任意的e 0 ，令h e = 0 ，显然扰动函数厶三，+ k 满足p s 条件因此 第个条件在( 2 ) 中成立现在，假设k 是l i p s c h i t z 函数，且i i k i i l i p s c h i t z 0 是，的个最小网，即， z ) 0 收敛 接下来，令，：z 1 r + u + o o ) ，由 m ) ： 搿d ， 其中。圳怪1 d 邳涎n l+ o 。，其余 定义，显然，在点z o = 0 处述到他的严格最小值0 但，不满足p s 条 件，因为对任意g 0 ，水平集酽三 z z 1 ：，( z ) 0 ，( 入z + ，a r + ) 是c 的强暴露泛函且在 相同的点处强暴露c ，对任意 0 ，都存在c 的个强暴露泛函( 一z ：，一1 ) 且 i i x $ 1 i 针伍毛硝黼蜒( 1 1 ) l 钇) ( f + z ；) 0 n ) 一吃+ ( z ：，) 蕴含着( z 竹) 收敛 因为r e f ( x e ) ，取z = 如在i ) 中我们知道r e = f ( x e ) ，所以，+ z ；在z 1 匕达到强最+ f g ，因此，满足( 2 ) 中i ) 假设z ：是x + 中函数且i 窿0 0 因此， z ) e 0 收 敛，所以，满足线i 生扰动p s 条件 3 2 线性扰动p s 条件的一个特征 在这节中，我们将给出下半连续真函数的线陛扰动p s 条件的个等价这就是 我们下面的定理： 定理3 2 1假设x 为具有r n p 的b a n a c h 空间，是定义在x 上有下界的 下半连续真函数且有效定义域d o m f 是有界的则，满足线陛扰动p s 条件当 且仅当对任意g 0 存在6 0 使得e p i f 在点( 耽，8 i ) 处的强暴露泛函( z ；，r i ) 0 = 1 ，2 ) 均有 罂 一 nn q ， 竹触 “ 岛 = a 、于 z = q n 芦 巳 a ，上 = b n 岸 0 一 n n 勺 ， 知 竹芦 ，t p us = 0 8 b a n a c h 空间上下半连续函数的线性扰动p - s 条件 1 3 进而有s u p f = s u p 厶，i n f f = i n f 厶 给定局部凸空间e 上的个广义实值函数，定义，在e 拿上的共轭，如下； z e ， ，( z ) = s u p o 个稠密铙子集，所以f 1n c 也是c 上的个稠密g 6 子集在乃n c 上固定 ，s ) ，8 0 不失般性，可以假设8 = - 1 ，z + 研，我们可以断定( z ，- 1 ) 是e p i g 的个强暴露泛函，注意( x + ，一1 ) 是q 的个强暴露泛函假设( z + ，- 1 ) 在点( x 0 ，r ) c 1 处强暴露q ，其中g ( x o ) r 1 ，显然r = g ( x o ) 并且d 1 上 的函数g z + 在点z o 处达到强最小值我们也可以断定g ( x o ) 1 ，若不然， g ( o ) = 0 0 使得e p i f 在点( 砚，8 1 ) 处的强暴露泛 b a n a c h 空间上下半连续函数的线性扰动p - s 条件 1 5 函( z ；，n ) ，i = 1 ，2 ，均有，蚴- - r i 6 ( i = 1 ，2 ) 号忙1 一z 2 0 0 ，存在0 z 州 0 ，对每个z + x + 其中i i z 到 0 使得l l 一l l 0 ，存在e p i f 在 点( z 6 ，1 ，f ( x 6 ，1 ) ) 和( z 6 ，2 ，( z 6 ，2 ) ) 处的两个强暴露泛函( z ；1 s 1 ) ，扛；。2 ，8 2 ) ，特 别的，使得 o 掣 0 和( x 6 ，2 6 0 收敛到相同 点x o ，其中f ( z o ) = m i n xf 显然矛盾! b a n a c h 空间上下半连续函数的线性扰动p - s 条件 r e f e r e n c e s 参考文献 【1 】1j m b o r w e i n ；l i x i nc h e n g ；m f a b i n ；j r e v a l s m ，ao n ep e r t u r b a t i o n v a r i a t i o n a lp r i n c i p l ea n da p p l i c a t i o n s 【j 】，s e tv a l u e da n a l y s i s1 2 ( 2 0 0 4 ) ，1 1 2 【2 】a b r o n d s t e d ；r t r o c k a f e l l a r ，o nt h es u b - d i f f e r e n t i a b i l i t y o fc o n - v e xf u n c t i o n s 【j 】，p r o c a m e r m a t h s o c ，1 6 ( 1 9 6 5 ) ，6 0 5 - 6 1 1 3 】j m b o r w e i n ；d a p r e i s s ，s m o o t h v a r i a t i o n a lp r i n c i p l ew i t ha p p l i - c a t i o n s t os u b - d i f f e r e n t i a b i l i t ya n dt od i f f e r e n t i a b i l i t yo fc o n v e xf u n c t i o n s 【j 】， t r a n s a m e r m a t h s o c ，3 0 3 ( 1 9 8 7 ) ，5 1 5 2 7 【4 】j m b o r w e i n ；c o n v e xr e l a t i o n s i na n a l y s i sa n do p t i m i z a t i o n 【j 】 a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，1 9 8 1 【5 】r d b o u r g i n ；g e o m e t r i ca s p e c t so fc o n v e xs e t s w i t ht h er a d o n - n i k o d ! ) mp r o p e r t y j 】，l e c t n o t e si nm a t h ，9 9 3 ，s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 8 3 【6 】e b i s h o p ；r r p h e l p s ，ap r o o ft h a te v e r yb a n a c hs p a c e i 8s u b r e - f l e x i v e 【j 】 b u l l a m e r m a t h s o c ，6 7 ( 1 9 6 1 ) ，9 9 8 7 】l x c h e n g ；s z s h i ；b w w a n g ；e s l e e ，g e n e r i cf r d c h e t d i f - f e r e n t i a b i l i t yo fc o n v e xf u n c t i o n sd o m a i n a t e db y al o w e rs e m i c o n t i n u o u sc o n v e x f u n c t i o n ( j 】，j m a t h a n a l a p p l ，2 2 5 ( 1 9 9 8 ) ，3 8 9 4 0 0 【8 】l i x i nc h e n g ；y a n m e i t e n g ，d i f f e r e n t i a b i l i t yo fc o n v e xf u n c t i o n so n b a n a c h 空间上下半连续函数的线性扰动p - s 条件1 7 s u b l i n e a rt o p o - l o g i c a ls p a c e sa n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e si n l o c a l l yc o n v e x s p a c e s 【j 】，c h i n a n n m a t h ，2 6 b ：4 ( 2 0 0 5 ) ，6 1 1 6 3 2 【9 】l x c h e n g ；s z s h i ；e s l e e ，g e n e r i cf r d c h e td i f f e r e n t i a b i l i t yo f c o n v e xf u n c t i o n so nn o n a s p l u n ds p a c e s 【j 】，j m a t h a n a l a p p l ，2 1 4 ( 1 9 9 7 ) ， 3 6 5 - 3 7 7 【1 0 】l x c h e n g ，o nt h ep - a s p l u n ds p a c eo fab a n a c hs p a c e 【j 】，a c t a a n a l f u n c t a p p l ，3 ：2 ( 2 0 0 1 ) ，1 2 0 - 1 2 8 1 1 】l x c h e n g ；m f a b i a n ，t h ep r o d u c to fag a t e a u xd i f f e r e n t i a b i l i t y s p a c ea n das e p a r ab l eb a n a c hs p a c ei sag a t e a u xd i f f e r e n t i a b i l i t ys p a c e 【j 】， p r o c a m e r m a t h s o c ，1 2 9 ：1 2 ( 2 0 0 1 ) ，3 5 3 9 - 3 5 4 1 f 1 2 j d a n e s ，ag e o m e t r i ct h e o r e mu s e f u li nn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y - 8 i s 【j 】，b o l l u n m e t it a l 6 ( 1 9 7 2 ) ，3 6 9 3 7 5 【1 3 】r d e v i l l e ；g g o d e f r o y ；v z i z l e r ，as m o o t hv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e w i t ha p p l i c a t i o n st oh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n si ni n f i n i t ed i m e n s i o n s 【j 】，j f u n c t a n a l ，1 1 1 ( 1 9 9 3 ) ，1 9 2 1 2 1 4 j d a n e s ，ag e o m e t r i ct h e o r e mu s e f u l i nn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y - s i s j 】，b o l l u n m e t i t a l 6 ( 1 9 7 2 ) ，3 6 9 - 3 7 5 【1 5 】r d e v i l l e ；g g o d e f r o y ；v z i z l e r ，s m o o t h n e s sa n dr e n o r m i n g si n b a n a c hs p a c e s j 】，p i t m a nm o n o g r a p h sa n ds u r v e yi np u r ea n da p p l i e d m a t h e m a t i c s ，v 0 1 6 4 j o h nw i l e ya n ds o n s ，i n c ，n e wy o r k ，1 9 9 3 b a n a c h 空间上下半连续函数的线性扰动p - s 条件 【1 6 j d i e s t e l ，g e o m e t r yo fb a n a c hs p a c e s 【j 】 l e c tn o t e si nm a t h ，4 8 5 ， s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 7 5 【1 7 】i e k e l a n d ，o nt h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l e 【j 】，j m a t h a p p l 4 7 ( 1 9 7 4 ) ， 3 2 4 - 3 5 3 【1 8 】i e k e l a n d ，n o n c o n v e xm i n i m i z a t i o np r o b l e m s 【j 】 b u l l a m e r m a t h s o c ， 1 ( 1 9 7 9 ) 4 3 孓4 7 4 【1 9 i e k e l a n d ，s u rl e sp r o b l e m sv a r i a t i o n a l j l ，c r a c a d s c i p a r i s ， 2 7 5 ( 1 9 7 2 ) ，1 0 5 7 - 1 0 5 9 【2 0 i e k e l a n d ，o n t h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l e 【j 】，j m a t h a n a l ，4 7 ( 1 9 7 4 ) ， 3 2 4 - 3 5 3 【2 l 】r e y l a n d ；b s h a r p ，c o n v e xs p a c e s ：c l a s s i f i c a t i o nb yd i f f e r e n t i a b l e c o n v e xf u n c t i o n s j 】，b u l l a u s t r a l m a t h s o c ，4 6 ( 1 9 9 2 ) ，1 2 7 - 1 3 8 【2 2 】m f a b i a n ，o nm i n i m u mp r i n c i p l e s ，a c t ap o l y t e c h n i c a 【j 】，2 0 ( 1 9 8 3 ) ， 1 0 9 - 1 1 8 【2 3 】j r g i l e s ；s s c i f f e r ，s e p a r a b l e d e t e r m i n a t i o no ff r d c h e td i f f e r e n - t i a b i l i t yo fc o n v e x f u n c t i o n s 吲，b u l l a u s t r a l m a t h s o c ，5 2 ( 1 9 9 5 ) ，1 6 1 1 7 6 ， 【2 4 1n g h o u s s o u b ；b m a u r e y , h 6 一e m b e d d i n g si n h i l b e r ts p a c ea n do p - t i m i z a t i o no n 岛s e t s j 】，m e r e a m e r m a t h s o c ，6 2 ：3 4 9 ( 1 9 8 6 ) ，1 1 0 1 2 5 】郭大钧，非线陛泛函分析【m 】，山东科学技术出版社， 2 0 0 2 b a n a c h 空间上下半连续函数的线性扰动p s 条件 【2 6 】j p p e n o t ，t h ed r o pt h e o r e m ，t h ep e t a lt h e o r e ma n de k e l a n d s v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e 【j 】，n o n l i n a n e l t h e o r y , m a t h a p p l 1 0 ( 1 9 8 0 ) ，8 1 3 - 8 2 2 【2 7 d g l a r m a n ；r r p h e l p s ，g a t e a u xd i f f e r e n t i a b i h t y o fc o n v e x f u n c t i o n so nb a n a c hs p a c e s 【j 】，j l o n d o n m a t h s o c ，2 0 ( 1 9 7 9 ) ，1 1 5 - 1 2 7 【2 s y x l i ；s z s h i ，d i f f e r e n t i a b i l i t yo fc o n v e xf u n c t i o n s o nab a - n a c hs p a c ew i t hs m o o t hb u m pf u n c t i o n 【j 】，j c o n v e xa n a l y s i s ，1 ( 1 9 9 4 ) ，4 7 - 6 0 2 9 】y x l i ；s z s h i ，ag e n e r a l i z a t i o no fe k e l a n d sv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ea n d i t sb o r w e i n - p r e i s ss m o o t hv a r i a n t 【j 】，j m a t h a n a l a p p l ，2 4 6 ( 2 0 0 0 ) ，3 0 8 - 3 1 9 3 0 j p p e n o t ，t h ed r o pt h e o r e m ，t h ep e t a lt h e o r e ma n d e k e l a n d s v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e 【j 】，n o n - l i n e a ra n a l y s i s ，1 0 ( 1 9 8 6 ) ，8 1 3 - 8 2 2 3 1 】r r p h e l p s ，c o n v e xf u n c t i o n ，m o n o t o n eo p e r a t o r s ，a n dd i f f e r e n - t i a b i l i t y j 】，l e c t ，n o t e si nm a t h ，1 3 6 4 ，s p r i n g e