（基础数学专业论文）hermitian矩阵几何定理中的等价条件研究.pdf

_ 。 e q u i v a l e n tc o n d i t i o n si nt h e o r e mo fg e o m e t r yo fh e r m i ti a n m a t r i c e s b y y ir u y u e b e ( s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e b a c k g r o u n dm a t h e m a t i c s c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rh u a n gl i p i n g m a r c h ，2 0 1 1 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究 成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经 发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明 确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：励如眺 日期：砷ff 年，月鸟日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授 权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“刀) 日期：w f7 年r 月哆日 日期：加f 阵户月冲日 揿砰 鼽羲 c 名 名 签 签 者 师 作 导 摘要 矩阵几何是数学家华罗庚于2 0 世纪4 0 年代中期由于研究多元复变函数论的需要所 开创的一个数学领域万哲先、黄礼平等学者证明了任意域上对称矩阵几何基本定理 以及特征不等于2 的对合除环d 上佗n ( n 2 ) h e r m i t i a n 矩阵几何基本定理最近，黄 礼平用图论方法讨论了基本定理中的等价条件，并定义了“好的距离图”，证明了特征不 等于2 的对合除环( 域) 上h e r m i t i a n ( 对称) 矩阵集合可以构成好的距离图 在这些工作的基础上，本文对特征等于2 的对合除环上h e r m i t i a n 矩阵几何进行了探 索设d 是带对合一的除环，2 | d 为d 的中心域，f = 口d ：口= 瓦，用咒n ( d ) 表示d 上n 佗( n 2 ) h e r m i t i a n 矩阵构成的集合，用岛( 砸2 ) 表示有限域f 2 上3 3 对称矩阵 构成的集合定义a b 兮r a n k ( a b ) = 1v a ，b 孕厶( d ) 根据琢棚1 i t i 8 n 矩阵之 间的粘切关系，所有h e r m i t i a n 矩阵构成一个连通图( ( d ) ，一) 本文共分三章第一章介绍本文的课题背景、发展状况及主要结果第二章给出 岛( f 2 ) 上双向保可逆性但不双向保粘切的双射的反例第三章讨论特征等于2 的带对合 的除环d 满足条件d f 与f 2 岛时关于7 厶( d ) 的双向保有界距离的映射，证明了 当l f i 2 时图( 争乙( d ) ，一) 是一个“好的距离图 ，当d = 乳( 仅含4 个元素的有限域) 时 m c c r , ) ，一) 不是一个“好的距离图”最后一节证明了下面的结果：设d 是带对合的 除环而且d 不是满足条件d = f 的特征等于2 的域，并且l d i 5 或i fn 历i 4 设妒：7 厶( d ) o 咒m ( d ) 为一个映射，则垆是保算术距离的映射当且仅当妒保粘切并且 存在p q 咒n c d ) 使得n d ( 妒( p ) ，妒( q ) ) = n 关键词：矩阵几何；h e r m i t i a n 矩阵；好的距离图；距离；保直径；保粘切；保可逆性 a b s t r a c t t h es t u d yo fg e o m e t r yo fm a t r i c e sw a si n i t i a t e db yh u al - k i nf o r t i e so ft h e2 0 t h c e n t u r y s c h o l a r ss u c ha sw a nz 一x a n dh u a n gl 一p h a v ep r o v e dt h ef u n d a m e n t a l t h e o r e mo fg e o m e t r yo fs y m m e t r i cm a t r i c e so v e ra n yf i e l da n dt h ef u n d a m e n t a lt h e o r e m o fg e o m e t r yo fn n ( 礼2 ) h e r m i t i a nm a t r i c e so v e rad i v i s i o nr i n go fc h a r a c t e r i s t i c n o tt w o r e c e n t l y , h u a n gl 一p h a sd i s c u s s e de q u a lc o n d i t i o n so nt h ef u n d a m e n t a l t h e o r e m sb yg r a p ht h e o r y , h ed e f i n e d “g o o dd i s t a n c eg r a p h a n dp r o v e dt h e to f h e r m i t i a n ( r e s p s y m m e t r i c ) m a t r i c e so v e rad i v i s i o nr i n gw i t ha ni n v o l u t i o n ( r e s p f i e l d ) o fc h a r a c t e r i s t i cn o tt w o i sag o o dd i s t a n c eg r a p h b a s e do nt h e i rw o r k ，t h eg e o m e t r yo fh e r m i t i a nm a t r i c e so v e rad i v i s i o nr i n go f c h a r a c t e r i s t i ct w oi sd i s c u s s e di n t h i sp a p e r l e tdb ead i v i s i o nr i n gw i t ha ni n v o l u t i o n 一，z db et h ec e n t r a lf i e l do fd ，f = 口d ：a = 西 d e n o t eb y ( d ) a8 e t0 f n 佗( n 2 ) h e r m i t i a nm a t r i c e so v e rd ，b y 岛( f 2 ) a8 e 乞o f3 3s y m m e t r i cm a t r i c e s o v e rt h ef i n i t ef i e l df 2 d e f i n ea b 甘r a n k ( a b ) = 1v a ，b 他( d ) t h e nw e h a v eac o n n e c t e dg r a p h ( ( d ) ，一) t h i sp a p e rh a st h r e ep a r t s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d ，s t a t u so f r e c e n tr e s e a r c ha n dm a i nr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，w eg i v eac o u n t e r e x a m p l ew h i c hi sa n i n v e r s ep r e s e r v i n gb i j e c t i o nb u ti ti sn o ta na d j a c e n c yp r e s e r v i n gm a pi nb o t hd i r e c t i o n s c h a p t e r3d i s c u s s e st h eb o u n d e dd i s t a n c ep r e s e r v i n gm a p si nb o t hd i r e c t i o n so n ( d ) w h e nds a t i s f y i n gd f ，f 幻a n dc h a r ( d ) = 2 ，p r o v e st h a tt h eg r a p h ( 咒n ( d ) ，一) i sa g o o dd i s t a n c eg r a p hw h e ni f i 2 ，a n d ( 咒n ( f 4 ) ，一) i sn o tag o o dd i s t a n c eg r a p h w h e r ef 4i st h ef i n i t ef i e l do f4e l e m e n t s ar e s u l ti sg i v e ni nt h el a s ts e c t i o na sf o l l o w i n g ： l e tdb ead i v i s i o nr i n gw i t ha ni n v o l u t i o ns u c ht h a tdi sn o taf i e l do fc h a r a c t e r i s t i c 2w i t hd = f ，a n de i t h e ri d i 5o rl fnz o i 4 l e t 垆：( d ) 一w m ( d ) b ea m a p t h e n 妒i sa na r i t h m e t i cd i s t a n c ep r e s e r v i n gm a pi fa n do n l yi f 妒i sa na d j a c e n c y p r e s e r v i n gm a pa n dt h e r ee x i s tp q ( d ) s u c ht h a tn d ( 妒( p ) ，妒( q ) ) = n k e yw o r d s ：g e o m e t r yo fm a t r i c e s ，h e r m i t i a nm a t r i x ，g o o dd i s t a n c eg r a p h ， d i s t a n c e ，d i a m e t e rp r e s e r v i n g ，a d j a c e n c yp r e s e r v i n g ，i n v e r s ep r e s e r v i n g i i 目录 摘要i a b s t r a c t i i 符号表、 第一章绪论 1 1 课题背景与发展状况1 1 ：2 本文预备知识3 1 3 本文的主要结果简介6 第二章对称矩阵几何定理中的等价条件 2 1 对称矩阵几何中的双向保粘切 7 2 2 关于对称矩阵的保有界算术距离映射的订正1 4 第三章h e r m i t i a n 矩阵几何定理中的等价条件 3 1h e r m i t i a n 矩阵几何中的双向保粘切1 6 3 2 ( ( f 4 ) ，一) 不是好的距离图2 1 3 3 关于h e r m i t i a u 矩阵的保粘切映射2 3 结论j 2 9 参考文献3 1 致谢3 5 附录( 攻读学位期间所发表的学术论文目录) 3 7 。1 。_ _ _ 。一 一 符号表 f ( d ，一) 带对合一的除环d 上关于对合的对称元的集合 k ( d ，一) 带对合一的除环d 上关于对合的斜对称元的集合 幻除环d 的中心域 i x i 集合x 的基数 d e t ( a ) 矩阵a 的行列式 峨仅有q 个元素的有限域 g l n ( d ) 除环d 上所有佗阶可逆矩阵的集合 d 除环d 上所有可逆元的集合 叼n ( 五b )( 毛歹) 一位置元素为1 ，其它位置元素全为。的mxn 矩阵 a 矩阵a 的转置矩阵 以( a ，b )矩阵a 与b 的算术距离 d ( a ，b ) 矩阵a 与b 的距离 a b矩阵a 与b 粘切 a b矩阵a 与b 合同 c h a r ( d ) 除环d 的特征 d i a m ( g ) 图g 的直径 w n ( d ) 除环d 上所有礼阶h e r m i t i a n 矩阵的集合 & ( f ) 域f 上所有礼阶对称矩阵的集合 1 品( f )域f 上所有n 阶交错矩阵的集合 d i a g ( a 1 ，a )对角块为a l ，4 的对角矩阵 d f属于集合d 但不属于集合f 的元素的集合 s “ 图g 中所有满足d ( x ，y ) k ，s 的元素z 的集合 i v 1 1 课题背景与发展状况 第一章绪论 矩阵几何是数学家华罗庚于2 0 世纪4 0 年代中期由于研究多元复变函数论的需要所 开创的一个数学领域在矩阵几何里，空间的点是某一类矩阵，还有一个变换群作用在这 个空间上，矩阵几何基本定理用尽可能少的不变量来刻画这个几何的变换群，这是数学 各学科领域关注的问题，这种问题常常有较强的实际背景和实用价值除环或域上长 方矩阵、对称矩阵、h e r m i t i a n 矩阵、分块三角矩阵、交错矩阵几何基本定理都已经得 出了很好的结果，它们在代数、几何、图论中均有较广泛的应用 华罗庚教授 3 】一【6 】证明了复数域上的4 类矩阵几何基本定理之后国内外一批学者 继续了对矩阵几何的研究，得到一些重要的结果( 见【3 5 】【4 0 】) 上世纪9 0 年代前期，万 哲先院士用极大集方法证明了任意域上对称矩阵几何基本定理以及满足一些附加条件 的对合除环上h e r m i t i a n 矩阵几何基本定理( n = 2 ，f 是特征为2 的域上的情形由高家 言、万哲先、冯荣权、王殿军 2 1 证明) ，在其出版的( g e o m e t r yo fm a t r i c e s ) 酬一书中 有对各类矩阵几何的详细总结黄礼平教授与万哲先院士合作，在2 0 0 2 年证明了特征 不等于2 的四元数除环上的h e r m i t i a n 矩阵几何基本定理【2 2 】，同时给出满足两个假设条 件的对合除环的代数结构定理在2 0 0 5 年，他们证明了满足假设1 ( 见3 1 节) 的对合除环d 上斜h e r m i t i a n 矩阵几何基本定理酬2 0 0 8 年，黄礼平教授证明了特征不等于2 的除环d 上竹nm 3 ) h e r m i t i a n 矩阵几何基本定理【1 2 1 2 0 0 9 年，黄礼平教授证明了特征不等 于2 的任意除环上2 2h e r m i t i a n 矩阵几何基本定理【1 0 l ，这是h e r m i t i a n 矩阵几何研究的 重要成果 近年来，矩阵几何的发展趋势是研究范围的扩大和基本定理中的条件化简及等价 条件它重新激起了国内外学者的兴趣，得到了一系列重要成果例如，文献【8 】、【1 5 卜 【1 8 】分别将域或除环上的矩阵几何扩大至u b e z o u t 整环和半单环上文献【1 ，1 3 ，1 9 介绍 了环上矩阵几何有关定理的等价条件及应用黄礼平教授的专著( g e o m e t r yo fm a - t r i c e so v e rr i n g ) 【7 】包含了很多环上的重要研究成果2 0 0 0 年，黄文玲与万哲先院士合 作简化了满足一个假设条件的对合除环d 上h e r m i t i a n 矩阵几何基本定理中的条件矧 2 0 0 4 年，黄礼平教授将h e r m i t i a u 矩阵几何基本定理中的条件“双向保粘切 简化为“单 向保粘切【7 ，1 1 】同年还证明了h e r m i t i a n 矩阵上保秩1 的加法满射与保粘切双射的等价 性2 0 0 8 年，黄文玲和h a n sh a v l i c e k 用图论的方法证明了满足两个假设条件的对合除 环_ h h e r m i t i a n ( 对称) 矩阵几何中，双向保直径的满射是一个图同构，即双向保粘切的双 射【2 6 】2 0 0 9 年，黄礼平教授研究了交错矩阵几何中的“双向保直径的双射 等价于“双向 保粘切的双射【9 】同年，m i n g - h u a tl i r a 和j j h t a n 已经刻画出长方矩阵、h e r m i t i a n 矩阵和交错矩阵上的保有界距离的满射【3 0 ，3 1 】2 0 1 0 年，黄礼平教授用图论的方法定义 了一个新的概念一好的距离图 1 4 j 在本文中，设图g = ( ve ) = ( v 一) 满足esv v ，其中v 和e 分别为g 的点集 和边集， 一为v v 的子集上的粘切关系( 乱一口兮v 一乱且u v 今乱 ) 若图g 中 任意两点之间都有一条有限长的通道则称g 为连通图在连通图g = ( u 一) 中，两点z 与y 之间的距离d ( x ，y ) 是指从z 到可的最短路径的长度若图g 的距离是有限的，则称其 上距离的最大值为图的直径，记作d i a m ( g ) 设s 为y 一个非空子集，对任意正整数k ，我 们定义 萨知= z g ：d ( x ，y ) k ，v y s ) ， 并且若弘知d ，则弘- “= ( s “) “，其中1 k d i a m ( g ) 根据定义易知，t s 兮 s 上- 产- ，铲- 谚专s ( 萨t ) l 定义1 1 1 ( 见【1 4 】中的定义1 1 ) 设图g = ( v 一) ，我们称图g 为好的距离图，若g 满足下列五个条件： ( d 1 )g = 一) 是一个连通图且出口m ( g ) 2 ( d 2 ) 若点z ，v 满足七：= d ( x ，夕) d i a m ( g ) ，则存在点z v 使得可一z 且 d ( x ，z ) = d ( x ，y ) + d ( y ，名) = k + 1 ( d 3 ) 若点z ，y v 且2 d ( z ，y ) k d i a m ( g ) ，其中七者e 个整数，贝9i z ，秒) 上- 上知 = 2 ( 注意d i a m ( g ) = 2 时( d 3 ) 不成立，) ( d 4 ) 若点z ，y v 且z 一可，则对任意满足1 r d i a m ( g ) 的整数r ，都有 i z ，秒) 上r 上7 l 3 ( d 5 ) 若点z ，y v 且d ( z ，箩) 2 k ，其中七 l 使得d ( x ，y ) = 尼当且仅当d ( 妒( z ) ，妒( 可) ) = k ， i x ，y y ，则称妒是双向保距离庇的映射 若d ( x ，y ) = d ( x ，z ) + d ( z ，y ) 当且仅当d ( 妒( z ) ，垆( 秒) ) = d ( 妒( z ) ，妒( z ) ) + d ( 妒( z ) ，妒( 可) ) ， ，y ，z v ，则称妒是双向保距离可加性的映射 2 若d ( z ，y ) = d i a m ( v ) d ( 妒( z ) ，妒( 可) ) = d i a m ( v ) ，v z ，y v ，则称c p 是双向保直 径的映射 、 若存在两个固定的正整数1 r d i a m ( v ) ，1 k d i a m ( v ) ，使得d ( x ，y ) 7 兮 d ( 妒( z ) ，妒( 秒) ) 尼，比，y v ，则称妒是双向保有界距离的映射 定理1 1 3 ( 见 1 4 】中的定理2 1 ) 设g = ( k 一) 和g ，= ( ， 一) 为两个好的距离图， 妒：v _ 为一映射，则下列条件是等价的： ( p 1 ) l p 是双向保粘切的双射，即图同构i ( p 2 )垆是双向保粘切的满射i ( p 3 ) 妒是保距离的满射i ( p 4 ) 妒是双向保距离可加性的双射； ( p 5 ) 妒是双向保有界距离的满射i ( p 6 ) 妒是双向保有界距离的双射 另外，若( p 1 ) 一( p 6 ) 中的某个命题成立，贝l j d i a m ( a ) = d i a m ( g ) 并且，d i a m ( g ) 5 且d 沈m ( g ，) 5 时，( p 1 ) 一( p 6 ) 中的每个命题都并口下列命题等价： ( p 7 )妒是双向保有界距离七的满射，其中七是满足条件七 d i a m ( a ) 2 和砖 d i a m ( g ) 2 的固定的正整数 定理1 1 4 【见 1 4 】中的定理2 3 ) 设g = ( k 一) 和g ，= ( ，一7 ) 为两个好的距离图， d i a m ( g ) l e t 得d ( a ，b ) = 忌当且仅当d ( 妒( a ) ，妒( b ) ) = 七， v a ，b v ，则称妒是双向保距离七的映射类似地，可定义双向保算术距离七的映射 若d ( a ，b ) = d ( a ，c ) + d ( c ，b ) 兮d ( 妒( a ) ，妒( b ) ) = d ( 垆( a ) ，妒( c ) ) + d ( 妒( c ) ，妒( j e 7 ) ) ， c a ，b ，c v ，则称妒是双向保距离可加性的映射类似地，可定义双向保算术距离可 加性的映射 若d ( a ，b ) = d i a m ( v ) 兮d ( 妒( a ) ，妒( b ) ) = d i a m ( v ) ，v a ，b v ，则称妒是双向保 直径的映射 5 若a b 可逆当且仅当妒( a ) 一妒( b ) 可逆，w ，b v ，则称妒是双向保可逆性的映 射 若存在两个固定的正整数1 r 2 ，则 图g = ( ( d ) ，一) 是一个好的距离图，其中对所有a ，b 他( d ) ，a b 兮a d ( a ，b ) = 1 对于i f i = 2 即d = f 4 的情况，得m ( n n ( f 4 ) ，一) 不是好的距离图的结论，即( 见定 理3 2 7 ) ：设d = ：f 4 i e i i f i = 2 ，设n 是2 的整数，则图g = ( 争厶( 乳) ，一) 不是一个好的距 离图，其中对所有a ，b ( 4 ) ，a b 兮a d ( a ，b ) = 1 最后一节证明了下面的重要结果( 见定理3 3 1 0 ) ：设d 是带对合的除环而且d 不是 满足条件d = f 的特征等于2 的域，并且i d i 5 或i fn 幻i 4 设妒：他( d ) - k ( d ) 为个映射，则妒是保算术距离的映射当且仅当垆保粘切并且存在p ，q 咒n ( d ) 使得q d ( 妒( 尸) ，妒( q ) ) = n 6 第二章对称矩阵几何定理中的等价条件 文献【1 4 用图论的方法定义了满足五个条件的“好的距离图”，得出一系列相关映 射的等价条件，证明了特征不等于2 的对合除环( 域) 上h e r m i t i a n ( 对称) 矩阵集合可 以构成好的距离图基于这一成果，本章第一节重点研究了特征等于2 的域上对称矩阵几 何中双向保直径的双射、双向保可逆性的双射、保( 算术) 距离的双射或满射、双向保 有界( 算术) 距离的双射、双向保距离可加性的双射与双向保粘切的双射之间的等价情 况，给出岛( f 2 ) 上双向保可逆性但不双向保粘切的反例第二节是对文献 3 1 】中保有界 算术距离映射的订正 2 1 对称矩阵几何中的双向保粘切 ， 设d 是一个带对合的除环，当d = f 时，一是恒等映射且d 是域，此时h e r m i t i a n 矩阵 是对称矩阵当域f 的特征为2 时，对任意的s = ( 叼) n n & ( f ) ，q i = 一叼= a q f ， 1 主j 佗所以c h a r ( f ) = 2 时，对称矩阵还是斜对称矩阵，并且交错矩阵是对称矩 阵的一种特殊形式 首先给出任意域上对称矩阵几何基本定理，此定理是由华罗庚、万哲先及其弟子经 多年研究得到的 对称矩阵几何基本定理 ( 见【3 4 】) 设f 是任意域，n 是2 的整数，妒：晶( f ) - & ( f ) 是双向保粘切的双射，我们有 ( i ) 若& ( f ) 岛( 2 ) ，则妒形如 、妒( x ) = q 。p x p p + 岛，v x & ( f ) ，( 2 1 1 ) 其中q f ，p g k ( f ) ，岛& ( f ) ，p 是f 的一个自同构 ( i i ) 若& ( f ) = 岛( f 2 ) ，则除了( 2 1 1 ) ，还存在双向保粘切的双射 七* h n 使得妒是形如( 2 1 1 ) 或( 2 1 2 ) 的映射的乘积 7 ( 2 1 2 ) 、l-、 巩o 玩 巩观0 n 垃 坞 $ z z ，一一、 h 、lj， 3 3 观o 魄 乱勉0 u 硷 培 z z z ，iii、 、lilij， 3 3 研1 魏 2 2 n 勉1 1 2 3 1 1 l z z z ，fiilillil 一 反之，( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 均为双向保粘切的双射 定义2 1 1 设f 为域，x 1 ，拖瓦n ( f ) ，n 是4 的整数我们定义o d ( x 1 ，x 2 ) = r a n k ( x 1 一x 2 ) 2 ，称a d ( x z ，x 2 ) 2 x l 与恐的算术距离 注意，k ( f ) 中矩阵的非零的最小秩为2 ，这与对称矩阵明显不同，因此两种矩阵的 粘切关系也稍有差异若a d ( x z ，x 2 ) = l ，最p r a n k ( x 1 一x 2 ) = 2 ，则称蜀与为粘切，记 作墨一假设妒：k ( f ) 一k ( f ) 为一个双射，若x 1 一拖当且仅当妒( x 1 ) 一， v ( x 2 ) ，则称妒为k ( f ) 上的双向保粘切的双射 定义2 1 2 设f 为域，礼是4 的整数，x ，x 是k ( f ) 中两个不同的点定煳与x 7 的距离为满足下列性质的最小正整数r ：存在，+ 1 个点，x 1 ，墨j i c ，l ( f ) ，其 c x o = x ，墨= x ，使得k 一1 五，i = 1 ，2 ，t _ ，记作d ( x ，x 7 ) = r 定义d ( x ，x ) = 0 、 设f 为域，扎是4 的整数对任意两个点x ，x j | | ；勺( f ) ，都有a d ( x ，x 7 ) = d ( x ，x ，) 1 9 6 6 年，刘木兰用极大集的方法证明了任意域上交错矩阵几何基本定理，其具体内 容如下： 交错矩阵几何基本定理 ( 见【3 4 】或 3 2 1 中的定理1 1 ) 设f 是一个域，扎是4 的整 数，妒是从k ( f ) 到自身的双向保粘切的双射，则有： ( i ) 当佗 4 时，妒为如下形式 妒( x ) = 口。p x p p + 凰，vx k ( f ) ，( 2 1 3 ) 其中a f + ，p g l n ( f ) ，g o k ( f ) ，p 为f 的一个自同构 ( i i ) 当n = 4 时，妒为如下形式 妒) = q2 p ( x ) p p + ，vx 缸( 一，( 2 1 4 ) 其中x x 是恒等映射或是下列映射 銎0 2 ：兰1 2 三x 1 3 寸x 1 4 0 x 1 2x 1 3 x 2 3 1 5 ， 其中及f ，p g l 4 ( f ) ，g o 肠( f ) ，p 为f 的一个自同构 8 引理2 1 3 ( 见【3 4 】中的命题5 5 ) 设f 为域，对任意a ，b & ( f ) ，有 d ( a ，b ) a d ( a ，b ) 。 ( i ) 当f 的特征不等于2 时，等号成立，居p d ( a ，b ) = a d ( a ，b ) ； ( i i ) 当f 的特征等于2 时， ， 舭= 咄a d ( 秭a , b ) “霎三二暑至黛嚣，； 由于& ( f ) 的直径是图的距离的最大值，因此当c o r ( f ) = 2 时，d i a m ( & ( f ) ) = n 或n + 1 当佗为奇数时，d i a m ( 8 n ( f ) ) = 佗；当n 为偶数时，d i a m ( & ( f ) ) = 扎+ 1 推论2 1 4 设f 为任意域，对任意a ，b & ( f ) ，a b ，有d 似，b ) = 1 当且仅 当a d ( a ，b ) = 1 证明若d ( a ，b ) = l ，由引理2 1 3 知1 a d ( a ，b ) d ( a ，b ) = 1 ，因此a d ( a ，b ) = 1 反过来，若a d ( a ，b ) = 1 , 贝f j a b 不是交错矩阵，所以d 似，b ) = a d ( a ，b ) = 1 口 引理2 1 5 ( 见【7 】中的定理2 5 1 ，【3 】中的定理7 ；3 1 ) 设d 是带对合一的除环，h 他( d ) 若d f ，或者当d = f 时日不是交错矩阵，则日合同于对角矩阵 因此，当c h a r ( d ) = 2 时，若d f ，则a s c f ) 合同于对角矩阵；若d = f ，则 当a & ( f ) 不是交错矩阵时，a 合同于对角矩阵 引理2 1 6 ( 见【1 1 中的定理1 2 ) 设d 为任意带对合一的除环，设妒是从以n ( d ) 2 ) 到自身的保粘切的双射，则妒一1 也保粘切并且，若 t l ( d ) 岛( f 2 ) ，则妒还保持 算术距离 在文献【1 4 】中，黄礼平教授证得当f 的特征不等于2 时，( 瓯( f ) ，一) 是一个好的距离 图，并得出一系列“双向保粘切的双射”的等价条件，现将其推广到特征等于2 的情形 定理2 1 7 设f 为特征等于2 的域，妒：& ( f ) 一& ( f ) 为一映射，则下列条件是等 价的： ( m 1 ) 妒是双向保粘切的双射，即图同构j ( m 2 ) 妒是双向保粘切的满射i ( m 3 ) 妒是单向保粘切的双射i ( m 4 ) 妒是保距离的双射i ( m 5 ) ( p 是保距离的满射i ( m 6 ) 妒是双向保距离可加性的双射 9 证明根据引理2 1 6 可知，对称矩阵作为h e r m i t i a n 矩阵的一种特殊情形，有( m i ) 营( m 2 ) 铮( m 3 ) ( m 4 ) ( m 5 ) ，( m 5 ) 兮( m 6 ) ，结论显然 ( m 2 ) 令( m 5 ) 设a ，b 晶( f ) 且d ( a ，b ) = r ，存在r 一1 个点a 1 ，4 1 品( f ) 使得a a 1 一一4 1 一b ，因此妒( a ) 一妒( 4 1 ) 一一垆( a r 1 ) 一妒( b ) ，推 出 d ( 垆( a ) ，妒( b ) ) d ( a ，b ) 反过来，若d ( 妒( a ) ，妒( b ) ) = 8 ，存在8 1 个点妒( a 1 ) ，妒( 也一1 ) & ( f ) 使得妒( a ) 一妒( a 1 ) 一一妒( a 卜1 ) 妒( b ) ，因此a a 1 一一厶一1 一b ，推吐l d ( a ，b ) d ( 妒( a ) ，9 ( b ) ) 所以对任意a ，b & ( f ) ，有d ( a ，b ) = d ( 妒( a ) ，妒) ) ( m 6 ) 兮( m i ) 设a ，b 晶( f ) 且d ( a ，b ) = ，则存在r + 1 个点a = a o ，a 1 ， a 一1 ，4 = b & ( f ) 使得d ( a ，b ) = d ( a ，a 1 ) + d ( a 1 ，a 2 ) + + d ( a ，- 1 b ) ，其 中a a 1 一一4 1 一b ，因此 d o p ( a ) ，垆( b ) ) = d ( 妒( a ) ，妒( a 1 ) ) + d ( 垆( a 1 ) ，垆( a 2 ) ) + + d ( 妒( 小一1 ) ，p c b ) ) ， 考虑妒，用类似的方法可以证明d ，b ) d ( 妒) ，妒( b ) ) 所以对任意a ，b 晶( f ) ， ( m 4 ) 成立，p d ( a ，b ) = d ( 垆( a ) ，妒( b ) ) = ，同取r = 1 ，显然( m 1 ) 成立 口 在域f 上，当& ( f ) 焉( 砸2 ) 时，根据对称矩阵几何基本定理可知“双向保粘切的双 射”等价于“保算术距离的双射”，从而双向保有界算术距离而当& ( f ) = 岛( 砸2 ) 时，双 向保粘切的双射不一定保算术距离因此“双向保粘切的双射与“双向保算术距离可 加性的双射 不等价 例题2 1 8 根据对称矩阵几何基本定理，映射( 2 1 2 ) 不保算术距离事实上，如果 我们取a = ( ；ii ) ，应用双射c 2 工2 ，则妒c 由= ( ：1 ；i ) ，显然砌c 目，川= 3 ，而a d ( e ：l ，妒( a ) ) = 2 3 ，因此( 2 1 2 ) 不保算栖巨离 万哲先院士在文献【3 4 】命题5 3 2 中指出，在对称矩阵几何中，从岛( 砸 2 ) 到自身的保 算术距离的映射只有形如( 2 1 1 ) 的双射因此在& ( f ) 中，所有保算术距离的双射只有形 如( 2 1 1 ) 的形式 由于& ( f ) 中“双向保可逆性的双射即为“保算术距离n 的双射 当& ( 门 品( f 2 ) 时，若妒是“双向保粘切的双射”，可以推出它是“双向保可逆性的