（基础数学专业论文）n维模糊数值函数的mcshane积分和henstock积分.pdf

摘要 本文把经典实分析的方法应用到模糊分析中，定义了n 维模糊数值函数的m c s h a n e 积分、a u m a n n 积分和h e n s t o c k 积分，讨论了这些积分的性质；根据n 维模糊数表示 定理和模糊数支撑函数的定义，用实值函数的l e b e s g u e 积分刻划了礼维模糊数值函数 的k a l e v a 积分和n 维模糊数值函数的m c s h a n e 积分、同时用实值函数的h e n s t o c k 积分 刻划了n 维模糊数值函数的a u m a n n 积分和n 维模糊数值函数的h e n s t o c k 积分；阐明了n 维模糊数值函数的m c s h a n e 积分、a u m a n n 积分、h e n s t o c k 积分和k a l e v a 积分间的关 系：最后给出了上述n 维模糊数值函数的积分的一些收敛定理 关键词：模糊数值函数；支撑函数；模糊数值函数的m c s h a n e 积分；模糊数值函数 的h e n s t o c k 积分 1 1 a b s t r a c t t h ep a p e rd e a l sw i t hi n t e g r a t i o no ff u z z y n u m b e r v a l u e df u n c t i o n si nnd i m e n - t h em c s h a n e ，a u m a n na n dh e n s t o c k i n t e g r a l so ff u z z y - n u m b e r v a l u e df u n c t i o n si nn d i m e n s i o n sa r ei n v e s t i g a t e d ，t h o s eb u i l tw i t ht h ec l a s s i c a lr e a la n a l y s i s t h e i n t e g r a b i h t y o ff u z z y n u m b e r - v a l u e df u n c t i o n si nnd i m e n s i o n sa r ec h a r a c t e r i z e db yt h ei n t e g r a b i l i t yo f r e a l v a l u e df u n c t i o n st h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h em c s h a n e h e n s t o c k a u m a n na n d k a l e v ai n t e g r a l so ff u z z y n u m b e r v a l u e df u n c t i o n si nnd i m e n s i o n sa r ef o u n d e d t h e c o n v e r g e n c et h e o r e m sf o rt h ek a l e v a ，m e s h a n e ，a u m a n na n dh e n s t o c ki n t e g r a l s o ff u z z y n u m b e r v a l u e df u n c t i o n si nnd i m e n s i o n sa r eb u i l t k e yw o r d s ：f u z z y n u m b e r v a l u e df u n c t i o n s ；s u p p o r t sf u n c t i o n ；m a s h a n ei n t e g r a lo f f u z z y - n u m b e r v a l u e df u n c t i o n ；h e n s t o c ki n t e g r a lo ff u z z y n u m b e r - v m u e df u n c t i o n n 1 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表 示了谢意。 签名：i 舞驾土盔 日期：圣丝宰：二2 一 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) ， 签名：i 氲舡歪导师签名：绉l 五f 毫 i - 一 刖舌 自1 9 6 5 年美国控制论专家l a z a d e h 提出模糊集概念以来，模糊数学成为了一个被 广泛应用的新学科，对这一领域的研究也有了迅猛的发展模糊数学中每一分支的内容都 十分丰富，其中对模糊分析学的研究也已相当深入模糊分析学的研究涉及到集值分析， 1 9 6 5 g ：rj a u m a n n 【13 由于研究经济学问题的需要，以可测集值映射的单值l e b e s g u e 可积选择定义了彤空间中集值映射的积分我们称其为a u m a n n 积分 模糊积分理论是模糊分析学的重要组成部分关于模糊积分的研究主要包括两个 方面：其一是实值函数关于非可加测度的模糊积分其二是模糊数值函数的积分本 文主要讨论n 维模糊数值函数的积分模糊数值函数的积分这一概念最早由m l p u r i 和da r m e s c u 5 1 为研究模糊随机变量，于1 9 8 6 年提出，这种积分完全基于水平截集 形成的集值映射的a u m a n n 积分同年，r g o e t s c h e i 和w v o x m a n 【1 2 】利用分割，求和， 取极限的方法定义了一种模糊数值函数的积分，我们称其为g o e t s c h e l 积分1 9 8 7 年， o k a l e v a 6 】为了研究模糊微分方程问题，把集值映射的a u m a n n 积分推广到模糊集上， 定义了模糊数值函数的k m e v a 积分1 9 9 0 年，o k a l e v am 对k m e v a 积分进行了迸一步的 讨论2 0 0 0 年，巩增泰和吴从忻 2 【1 6 | 1 7 先后定义了一维模糊数值函数的m c s h a n e 积 分、h e n s t o c k 积分和强h e n s t o c k 积分，根据模糊数表示定理 1 2 】，一维模糊数完全由区间 端点函数确定，据此文【2 】f 1 6 1 【1 7 1 分别给出了这些积分的刻划定理2 0 0 1 年，张博侃【2 3 】 给出了模糊数f 若无特别说明，本文中的模糊数均指维模糊数) 的水平截集和其支撑函 数之间的关系假设u e “，则对任意的r 0 ，1 ， m 7 = 。f l ( y ，z ) sh ( _ 。) ，。s “一1 ) 若模糊数值函数的积分能用一种实值函数的积分等价刻划，这会给我们的工作带来 许多方便本文利用张博侃的结果及模糊数的支撑函数的定义把经典实分析的方法应用 到模糊分析中，定义了模糊数值函数的m c s h a n e 积分、a u m a n n 积分和h e n s t o c k 积分， 并讨论了这些积分的性质；根据模糊数表示定理和模糊数支撑函数的定义，用实值函数 的l e b e s g u e 积分刻划了模糊数值函数的k a l e v a 积分和模糊数值函数的m c s h a n e 积分、 前言 同时用实值函数的h e n s t o c k 积分刻划了模糊数值函数的a u m a n n 积分和模糊数值函数 的h e n s t o c k 积分：阐明了模糊数值函数的m c s h a n e 积分、a u m a n n 积分、h e n s t o c k 积分 和k a l e v a 积分间的关系：最后给出了上述模糊数值函数的积分的一些收敛定理 本文包括四部分内容：第一部分作为预备，定义了集值函数的m c s h a n e 积分 和h e n s t o c k 积分，并讨论了它们的性质；第二部分定义了模糊数值函数的m c s h a n e 积 分，讨论了这种积分的性质，并用实值函数的l e b e s g u e 积分刻划了模糊数值函数的k a l e v a 积分和模糊数值函数的m c s h a n e 积分；第三部分定义了模糊数值函数的a u m a n n 积分 t l h e n s t o c k 积分、用实值函数的h e n s t o c k 积分刻划了模糊数值函数的a u m a n n 积分和模 糊数值函数的h e n s t o c k 积分，且得到模糊数值函数的a u m a n n 积分是k a | e v a 积分的一种 推广：第四部分给出了上述模糊数值函数的积分的一些收敛定理 2 5l 预备及说明 本文中t 为实直线r 上的闭区间，即t = 口，明，t 表示t 中的元素，i t 】为区间丁 的长度我们称区间点对集 ( 1 ，t j 婚正) ( 靠，t a 为区间? 的一个分法，是 指f ，6 ，& z 区间五，t 2 ，t k 互不重叠且u | 互= t ，并记t 的分法为5 ( 。，乃) ，( 。，正) ，( 靠，t a ，简记n = f ，阻， ) ，并称阻，口】为分法n 的典型区间【1 】 定义11 1 1 9 】 1 0 14 j 设h 是r - - + 9 法若存在丁上的正值函数6 ，使正c ( 已一6 ) ：毒+ 6 ( 磊) ) = 1 ，2 ，动，则称是r 的- - + 6 一精细m 分法 定义12 1 1 【9 ) 【10 】设h 是t 的一个分法若存在t 上的正值函数6 ，使矗正c ( 已一6 ( 6 ) ，& + 6 ( 锄) 0 = 1 ，2 ，k ) ，则称是t 的一个6 一精细分法- 定义13 1 】 o t 【l o 】设f ：t r “，称函数f 在r 上m c s h a n e 可积( 或h e n s t o c k 可 积) ，是指存在a 形，对任意g 0 ，g a s ( t ) 0 ，使对t 的任何j 一精细m 分法( 或d 一 精细分法) i i = ，hu 】) ，有 i l f ( ) ( ”一“) 一a l l 0 ，存在6 ( t ) o ，使对t 的任 何j 一精细m 分法( 或d 一精细分法) r l = ，m ，u ) ，有 1 | f ( 一“) 一z o 1 o 是紧集 对z t e n ，称“是一个n 维模糊数，e “表示7 2 维模糊数全体组成的集合，即n 维模糊 数空间设u e ”，对任意的r ( 0 ，1 】，记 “】r = z r 4lu ( z ) r ) ，f u o = u 阻1 7 ， 称m 7 p 【0 ，1 1 ) 为u 的水平截集 定理1 1 【1 9 】若u ： e “，r ，则对任意的r 【0 ，1 1 ， 阻+ 叫7 = 【u 7 + 【 】，【七叫= 岛沁】7 定理1 2 【1 9 】( 模糊数表示定理) 若e “，则 ( 1 ) 对任意的r 【0 ，l 】，i u r 是r n 上非空紧凸集，即【u 】r r ( j p ) ； ( 2 ) 若0 r l r 2 1 ，则【叫n 【u 】r 2 ； ( 3 ) 若正数列 r 。 非降收敛于r ( 0 ，1 ，则nm 】r m = 阻l 反之，如果对任意的r 0 ，l 】，均存在a rcr “满足上述条件( 1 ) 一( 3 ) ，则存在唯一的模糊 数“e n ，使得对r ( o ，i i ， 札】r = a 7 且【川o = 厂阿c a o r ( o ，1 1 定理1 3 在驴中定义d ：驴e “一【0 ，。o ) 为，对任意的u ， e “，d ( ，u ) = s u pd ( m 7 ， v 1 7 ) ，则 r e o ，lj ( 1 ) ( e “，d ) 是完备度量空间； ( 2 ) d ( 3 u ，a ) = i d ( u ，u ) ，a r ； 4 1 预备及说明 ( 3 ) d ( u + w ，口+ w ) = d ( u ，口) ； ( 4 ) d ( u + u ，w + e ) d ( ，训) + d ( v ，e ) ； ( 5 ) d ( u + u ，0 ) = d m ，0 ) + d ( v ，o ) ； ( 6 ) d ( u + v ，w ) d ( u ，w ) + d ( v ，o ) 其中，札，副，w ，e ，百e “，西= ) ( ( 0 ) ) 证明( 1 ) 一( 3 ) 见 1 9 ，( 5 ) 和( 6 ) 可以由( 4 ) 直接得到，以下证明( 4 ) 证毕 d ( u + u ， + e ) = s u pd ( u + 九 w + e 7 ) r e o ，1 】 s u p ( d ( 【u + u 】7 ，p + 训 ) + d ( 扣+ 叫】，【w + e 】) ) r e 【o ，1 】 s u pd ( u + 口 ，p + 叫】) + s u pd ( 卜+ 训】， w + e 】) r e 【0 ，1 r n 1 = d ( u + ， + w ) + d ( v + w ，w + e ) = d 扣，w ) + d 扣，e ) ， 对u e n 、u 的支撑函数“+ 定义为 ( r ，x ) = s u p ( a ，z ) ，( r ，x ) i s “一1 ， 其中j = 【0 ，1 ，z 铲一1 是彤的单位球面，即p 一1 = x r “z i i = 1 ，) 是即中 的内积i s 19 定理14 若u ， e “，z s ”1 ，r f 0 ，1 】，那么， ( 1 ) u + ( r ，z + y ) u + ( r ，x ) + u + ( r ，) ； ( 2 ) 当0 时，u + ( r ，z ) = k u + ( r ，。) ； ( 3 ) “( r ，z ) 在，伊_ 1 上一致有界，且 l u + ( r ，z ) l s u p i n i i ； a e 阻 0 ( 4 ) 对任意的z s ”1 ，u + ( ，x ) 关于r 非增左连续且在r = 0 处右连续； 5 1 预备及说明 ( 5 ) 对任意的r 0 ，1 】矿( r 1 ) 关于z 一致l i p s c h i t z 连续，且 f “4 ( r ，x ) 一“4 ( r ，) f ( s u pf n f ) f 。一g f f n 【u 】 ( 6 ) 对任意的r 0 ，1 ，u ，u e ”， d ( 阻】7 ，扣】7 ) = s u pl “( nz ) 一”+ ( r 。) f ； x e s ”一1 ( 7 ) 扣+ ) + ( r z ) = u + ( r z ) + u + ( n z ) ； ( 8 ) 一+ ( n z ) i t * ( nz ) ； ( 9 ) 当0 时，“+ ( r ，z ) = ( k u ) + ( n 。) 证明( 1 ) 一( 8 ) z s 1 9 l 【2 a ，以下证明( 9 ) 由定义 + ( r ，。) = ks u p ( a ，z ) = s u p ( k a ，z ) = s u p ( k a ，x ) = s u p ( b ，x ) = ( “) + ( r ，z ) l 卅o 【叫7k 口f k u 】b e i u 】 、 证毕 由于e ”的代数结构仅具有加法和正数乘法运算，即锥结构为此，马明 3 - 于1 9 9 3 年 将e ”等距同构的嵌入到一个具体的b a n a c h 空间虿( j ，c ( s “一1 ) ) 中其中虿( ，c ( s ”1 ) ) = f l y ：( 0 ，1 一c ( s ”1 ) 是有界左连续的抽象函数且对任何t 【0 ，1 ) ，均有右极限，特 别k t = 0 处右连续 ，其中g ( p - 1 ) 是伊_ 1 上以上确界为范数的全体连续函数构成 拘b a n a c h 格对，虿( j ，c ( s n - - 1 ) ) 定义 l i 1 l = s u pl i f ( r ) l l ， 则( 虿( ，c ( s n - - 1 ) ) ，| | i i ) 是b a n a c h 空间【3 1 【1 9 1 定理1 5 3 【1 9 对u 驴，定义j ( “) ：r 一“+ ( r ，。) c ( s ”1 ) ，则j ( u ) g ( ，c ( s ”1 ) ) 且 ( 1 ) 对任意的u ， e ”，8 ，t 2o ，j ( s “+ t v ) = s j ( u ) + 巧( ) ； ( 2 ) i i j ( u ) j ( u ) | | = d 扣， ) ，n ， e “； ( 3 ) j ( e “) 是虿( j ，c ( s n - 1 ) ) 中的闭集 根据定理1 5 ，模糊数空间e n 可以被等距同构地嵌入到具体的b a n a c h 空 间( 百( j ，c ( s “一1 ) ) ，| | ) 中 6 52 集值函数的m c s h a n e 积分和 h e n s t o c k 积分 定义2 1 对 r ( 即) ，。s “，定义集合a 的支撑函数为j ( z ，a ) = s u p ( y ，。) ，其 y e a 中s “一1 是彤的单位球面，( - ，) 为r “中的内积 说明2 1 对a ，b p k ( n “) ，$ 伊，显然有：( 1 ) 当0 时，o ( x ，k a ) = k c r ( x ，a ) ( 2 ) 口( z ，a + b ) = 口( 。，a ) + 口( z ，b ) 引理2 1 设4e r ( r n ) ，z 3 “一j ，则a = r “i ( y ，x ) 茎口( z ，a ) ，z ( p 一1 ) ) 证明设口= y r “l ( f ，z ) o ( x ，a ) ，x ( s ”一1 ) ) ，a cb 显然以下证明b a 假设，存在y b ，但f 隹a 因为a 最( j p ) ，则存在唯一的z a ，使 d ( g ，a ) = 一z i l 0 ( 2 - 1 ) 取蜘= l i 南扩，由a 的紧性可知，存在o a ，使a ( x o ，a ) = s u p ( b ，x 0 ) = ( n ，z o ) 因 。一i b e 为b ，则( g ，x o ) 口( z o ，a ) = ( o ，x o ) 所以，( y ，y z ) ( a ，y z ) ，即 ( y a ，y z ) 0 ( 2 - 2 ) 若= z ，则恬一z l l 2 = ( y 一。，y 一。) 0 与( 2 1 ) 矛盾因此，n z ，此时有， i o z 1 2 = ( n z ，一z ) 0 n h ( t ) = t z4 - ( 1 一t ) a ，t bf ( ) = l l y h ( t ) 1 1 2 = ( y 一( t z4 - ( 1 一t ) n ) ，y 一( t z + ( 1 一t ) ) ) = t 2 ( 2 一，z n ) 一2 t ( y a ，z o ) + 扫一o ，y n ) ，则z ( t ) = 2 t ( z 一。，z n ) 一 2 ( g n ，。一n ) 假设f 也。) = 0 ，, u t o = 蹦= 帮 若t o 1 ，n ( y n ，z a ) ( 2 一a ，z o ) ，即 ( 掣一2 ，z 一口) 0 ( 2 3 ) 由( 2 2 ) 和( 2 3 ) ，我 f 】有( y 一。，y o ) ( y z ，z o ) ，即| i 一z l l 2 = ( y z ，y z ) 0 与f 2 - 1 1 矛盾 7 2 集值函数的m c s h a n e 积分和h e n s t o c k 积分 若t o 0 则( 一a ，z a ) 0 ( 2 - 4 ) 由( 2 - 2 ) 和( 2 4 ) ，我f 门有，( y a ，一z ) 0 ，对t 的任何6 一精细m 分法= f ，( u ，v 3 ) ( 或d 一精细分法1 3 = ，【“，u 】) ) ，有 d ( e f ( ) 扣一“) ，) o ，存在5 ( t ) 0 ，对r 的任何6 一精细m 分法i i = ，f i t ，u ) ，有 d ( f ( f ) ( ”一u ) ，j ) 0 ，使对t 的任何6 一精细m 分法= 代， u ，u 】 有 i 盯( z ，f ( 洲”一“) 一a 一 s ( ) 对z s “一1 一致成立 下面首先证明妇r “l y ，。) a 。z s “一1 ) r ( 冠1 ) 集 r “| ( z ) a 。，。s “一1 ) j 空显然设o ，b e r ”l ( ，z ) a 。，。 s 一1 1 。则对任意的o s m ，有 ( a ，z ) 墨a 。，( b ，x ) s a 。， 于是对任意的se 【0 1 h ( s a + ( 1 一s ) b ，。) = s ( o ，。) + ( 1 一s ) ( 6 ，) sa 。，e n y r “f ( 玑z ) a 。，z s 一1 ) 是r “上的凸集， 设 n 。) 。o o ：1c 妇e 口。i ( y ，z ) a 。，z s 1 a - 1 ) 于是对任意的z s ”1 ( a m ，x ) s a 。= ( m r ) b 一( z ，f ( t ) ) d t ，即( o 。，x ) 有界所以，对任意的ze 伊。，( o 。，z ) 存在收敛子 列( 。，。) ，设i i m ( a m 。，z ) = 以，由保号性ks a 。显然， ( 世怒o t n * ，z ) 2 墨巴( n m t ，z ) = k a 。， 即1 i mo m 。 y 兄“ ( 可，z ) a 。，z s “1 ) ，所以 y r ”i ( y ，z ) sa 。，x s “一1 是r “ 上的紧集 设 er “ ( y ，z ) a 。，x s n - 1 ) = aer ( p 1 ) ，由引理2 1 ，口( z ，a ) = a 。于是据定 理21 和说明21 ，我们有， d ( f ( ) 扣一u ) ，a ) ( n ) 2 剃s u 。p i 巾，蒹f ( 。扣) ) 扛，脚i = 。雾。l 融 ( h 。i g 证毕 集值函数的m c s t m n e 积分有以下基本性质 定理23 设f g ：t r ( 即) 为t 上集值函数，则 1 1 2 集值函数的m c s h a n e 积分和h e n s t o c k 积分 ( 1 ) 若f g 都在ta ：( m i ) 可积，a ，卢r ，则a f + p g 也在t 上( m ，) 可积，且 ( 彳，) ( c v f ( t ) + 3 g ( t ) ) d t = a ( m i ) f ( t ) d t + p ( m j ) g ( t ) d t ； j tj tj t ( 2 ) 若，在ta = ( m i ) 可积，则f 在t 的任何子区间上( m ，) 可积，且当存在互不重叠 的区间正，是，使t = u 正时， i = l ( m i ) 上f ( 句出3 善 ) 厶f ( 搬 ( 3 ) 若，在ta = ( m i ) 可积f g 在t 上几乎处处成立，则g 也在t 上( m ) 可积? 且 ( m ，) 上f ( 踟括( m ，) 上g ( 踟缸 ( 4 ) 若f 为定义在t 上的简单集值函数，则f 在ta = ( m i ) 可积 由定理2 2 和实值函数的( m _ r ) 积分的性质，上述结论显然成立 定理2 4 集值函数f ：t p k ( r “) 在t 上( h 1 可积的充要条件是实值函 数口( z ，f ( t ) ) 在r 上关于z s “一1 一致( 日r ) 可积，且对任意的。伊_ 。，有 口( 文( h i ) zf ( t ) 出) = ( h r ) 上a ( z ，f ( 啪以j rj t 证明类似于定理22 推论21 设f ：丁一最( 郧) 是t 上的集值函数：若f 在丁a = ( m i ) 可积则f 在t 上( h 1 1 可积 该结论可由定理2 ，2 ，定理24 及文【1 的结果直接得到 1 2 53 模糊数值函数f l t j m c s h a n e 积分 称模糊数值函数f ：t e “在t 上强可测：是指对任意的r o 1 1 ，集值函 数b ( f ) = f ( f ) 】7 ；是l e b e s g u e 可测的称模糊数值函数户在丁上积分有界，是指存在f 三) 可积的实值函数 ：t 只，使对任意的跏f o ( t ) ，有i 粕| | ( t ) 6 定义3 1 6 强可测且积分有界的模糊数值函数f ：t 一点m 在t _ k k a l e 、，a 可积，是 指对任意的r 0 ，l 】， f ，( t ) d t 垒 f ( t ) d t f ：t r “为耳( t ) 的可测选择) t j t 可以确定唯一的模糊数彳e ”记为( k ) f t f ( t ) d t = 互 引理3 1 【6 】若模糊数值函数j ：t e n 在r 上强可测且积分有界，则f 在t 上f ) 可积 引理3 2 6 设模糊数值函数f ：t e n 在r 上( ) 可积，c t ，则 ( k ) z 5 j ( t ) 出= ( ) z 。f ( t ) 出+ ( k ) 6 声( t ) 出 引理3 3 6 】若模糊数值函数f ，g ：丁一e n 在r 上( 耳) 可积，则d ( f ，否) 在丁上( 工) 可积且 。( ( k ) zf ( 州“k ) 上。( t ) 出) ( 工) z 。( 卢( 班西( 啪批 引理3 4 【2 3 模糊数值函数芦：t e n 在t 上强可测的充要条件是对任意 的z 铲，r 0 ，1 ，实值函数f ( t ) ( r ，z ) 在rj = l e b e s g u e 可测 引理3 5 2 3 设u e “，则对任意的r 【0 ，1 ， f “ 7 = y r “ ( g ，。) “( r ，z ) ，z s ”一1 引理3 , 6 ( 1 5 1 6 】假设1 4 和b ：是l e b e s g u e 可测集，r acb ，而，( t ) 0 是b 上 的( 上) 可积函数，则对满足条件 ( l ) 上弛) 妪gs ( l ) 上坤) 出 的任意实数g ，存在l e b e s g u e 可测集g cg cb ) ，使 ( l ) f ( t ) d t = c j g 定理3 1 ( k a l e v a 积分刻划定理) 强可测且积分有界的模糊数值函数f ：t 。e n 在r 上( k ) 可积的充要条件是对任意的酽，r o ，1 ，f 的支撑函数p ( t ) ( r z ) 在丁 上( l ) 可积，且 ( ( 耳) 上j ( t ) 毗) 4 ( n 茁) 2 ( l ) 上p ( 吼n z ) 出 j tj 下 证明必要性，因为模糊数值函数f 在t 上强可测，由引理3 4 ，对任意的。 扩r 【0 ，1 f + ( t ) ( r ，z ) 在丁上l e b e s g u e 可测根据模糊数表示定理12 ( 1 ) 、对任 意的r 0 1 ，e ( t ) = y r “f ( z ) f ( t ) ( rz ) ，z 伊一1 是非空紧凸集，所 以 伊j ( ，z ) = f + ( ) ( z ) ：z 妒一1 ) 不空对任意的z s n ，显然f = i 0 ：于 是存在点值函数，( f ) f r ( t ) ，使( ，( t ) ，z ) = f ( t ) ( nz ) 此时 l f + ( t ) ( t 。) l = i ( ，( t ) ，z ) l l l f ( o l l l l z l l = h f ( 0 1 1 又因为模糊数值函数卢在t 上积分有界，即存在( l ) 可积函数危：t 。r ，对任意 的。f o ( t ) ，有忙l i 九( t ) 根据模糊数表示定理1 2 ( 2 ) ，( t ) f 0 ( t ) ，则l p ( t ) 0 - ，x ) l 墨 1 t f ( t ) l i ( t ) ，即p ( t ) ( r ，z ) 积分有界所以对任意的。扩，r 0 ，1 】，f + ( f ) ( r ，z ) 在t 上f 口可积 充分性，首先证明对任意的r f 0 ，l j ，下列等式成立， 上b ( t ) d 亡皇 上，( t ) 出i f ：t 一研为b ( f ) 的可测选择) = ( 且“i ( ，。) s ( 三) f + ( ) ( r l x ) d t ，z s - 1 ) 事实上，设，( ) 为f r ( t ) = y n l v ，。) f + ( t ) ( r j z ) ，茁s ”1 ) 的可测选择，则对 任意的z 驴一，由( ，。) 的连续性可知( ，( t ) ，。) 可测 2 4 】由定理1 4 ( 3 ) ，( ，( t ) ，z ) f + ( t ) ( n z ) s u p 恻k 即( ，( ，。) 有界所以对任意的。伊_ 。，( ，( ) ，。) 在丁上) 可 口岛( t ) 积，且 ( l ) ( 弛) ，z ) 出( l ) f + ( t ) ( n 茁) 出 j tj t 因为 ( 三) 上( 坤) 出 = ( 三) 厶( z ，1 ( ) + 。2 ，2 ( f ) + + 。a ( t ) ) d t 2 。1 ( l ) o ) d r + x 2 j t ( l ) j ( h ，2 ( t ) d t 十+ 。n ( 工) 二厶( t ) 出 t。7 ，m = ( ( 三) ，o ) d t , x ) ， 即，( 。) 在丁上) 可积，且对任意的。s “，( ( l ) f tf ( t ) d t , x ) ( z ) l r + ( ) ( r ，z ) d 亡所 以，( l ) f t f ( t ) d t 舻l ( 口，z ) ( l ) l f + ( t ) ( n z ) d r ，z 伊一，) ，从而厶e ( t ) 出 舒。) ( l ) b p ( t ) ( r ，x ) d t ，伊一1 ， 反之，对任意的a ，r ”f 功) 厶p ( t ) ( 一z ) 出，。伊一1 ，显 然( e 姊s ( 三) 厶f + ( ) ( n z ) 出， ( g ，一。) s ( l ) l f 4 0 ) ( n z ) d t 所以，( g ，z ) 一) 厶，+ ( ) ( r ，一。) 出，即( e z ) + ) 厶p ( t ) ( r j z ) 出0 以下证明存在f r ( f ) 的可 测选择，( t ) ，使 ( l ) f r y ( t 1 出= a 事实上，对任意的。s “，由定理1 4 ( 8 ) ，一f ( 亡) ( r ，一。) sf ( t ) ( ，。) 因为，对任意 的。6s n - - 1 1 l l 圳= 1 0 ，所以存在点值函数 ：t 一印，使( ”( t ) ，z ) ：f ( t ) ( ，。) + p ( 。) f n z ) o 又因为p ( t ) ( n z ) 和p ( t ) ( r ，一z ) 在丁上( 三) 可积，则似( f ) ，z ) 在r 上( 己) o ( e z ) + ( 三) f t ( ) ( r ，z ) d t j r ( 三) f + 0 ) ( r ，。) d t j + ( l ) f + ( t ) ( n z ) 出 t 。j t 、7 、。 = ( l ) z 呻) ，踟， 根据引理3 - 6 ，存在l e b e s g u e 可测集g ( 0cg ct ) 使 ( l ) z ( 蛾州拄( e ，卅( l ) z 州州卜拙 一) _ 恤) j 扣 ) ) n ( l ) z p 一冲 gj 下 、 2 ( 三) 厶( f + ( t ) ( n 。) + f + ( 亡) ( r i z ) ) d 芒一( 工) f o ) ( n z ) 出 j o、。，。7 。 = ( 三二m ，z ) + f 例卜z ) ) x g ( t ) 一f 1 - - x ) 皿 1 5 3 模糊数值函数自 m c s h a n e 积分 = ( l ) f 【f + ( t ) 盯，z ) x g ( t ) + f + ( t ) ( r ，一。) x g ( t ) 一f ( t ) ( n x ) d t j 1 r = ( l ) f 4 ( t ) ( r x ) z g ( t ) 一f + ( t ) ( n 一。) x n g ( t ) 出 j i 同样，对任意的z s ”1 ：因为忪i i = 1 0 ，则存在点值函数，：t 一形，使，( ) ，。) = f + ( ) ( r ，z ) x g ( ) 一f + ( t ) ( 一z ) x 趴g ( ) 于是由定理14 ( 8 ) ，有 ( ，( t ) ，z ) = f + 0 ) ( r ，z ) ) ( g ( t ) 一f + ) ( r ，一x ) ) ( r x a ( t ) 曼f 。( ) z ) ) ( g ( + f + ( t ) ( r ：茁) ) ( 丁、g ( t ) = f + ( t ) ( nz ) 因此对任意的z s “一1 ，f ( t ) 月”l ( 9 ，。) f + 0 ) ( r ，。) ，。s “一1 ) = 砰( t ) ，g ( l ) f t ( f ( t ) ，x ) d t = ( g ，z ) 又因为对任意的。s ”1 ，( l ) 厶( ，( t ) ，x ) d t = ( ( l ) 厶f ( t ) d t ，z ) ，则，( t ) 在ta l ( l ) 可积，且有( ( ) 矗f ( t ) d t ，z ) = ( c ，z ) ，即 ( l ) f ( t ) d t = c ，t 所以， r f ( t ) d t l f ：t j 护为耳( t ) 的可测选择， j ， c y r “i ( g ，z ) ( l ) f + 0 ) ( r ，x ) d t ，茹s - 1 j 2 1 综上， f ( t ) d t l f ：t r “为b ( t ) 的可测选择) j 丁 = ( y r “i ( ，z ) ( l ) f + ) ( n z ) 出，z s - - 1 j 1 以下证明对任意的r 【0 ，1 ，b f ，( t ) d t = y r ”l ( g ，z ) ( l ) b f + ( t ) ( n x ) d t ，z s 一1 1 满足模糊数表示定理1 2 的条件，即可以确定唯一的模糊数 ( a ) 因为j ：( t ) e “，则片( t ) 为r “上的非空紧凸集又因为b e ( ) 出垒 u ；f ( t ) d t f ：t 一彤为耳( t ) 的可测选择) ，所以根据 1 3 中定理l 和定理4 ，矗f